命题逻辑的推理理论(牛连强)

1.7 推 理 理 论从假设前提利用推理规则得到其他命题，即形成结论的过程就是推理，这是研究逻辑的主要目标。

1.7.1 蕴含与论证1．推理的含义与形式[定义1-22] 当且仅当p →q 为永真式时，称为p 蕴含q （logical implication ），记作p q ⇒，或p q 。

此时，称p 为前提，q 为p 的有效结论或逻辑结论，也称为q 可由p 逻辑推出。

得出此逻辑关系的过程称为论证。

[辨析] 由于仅在p 为1而q 为0时公式p q →为0，可见，p q →永真意味着不可能存在前件p 为1而后件q 为0的情况，或者说，若p q ⇒，则只要前件p 为1，后件q 也一定为1。

因此，p q ⇒也称为“永真蕴含”，即p 永真蕴含q 。

[延伸] 通常，定理（theorem ）被解释为“经过受逻辑限制的证明为真的陈述”，就是指对“在一定条件成立的情况下必然产生某个（些）结论”的陈述。

因此，定理证明也就是对蕴含关系的论证。

当然，通常只有重要或有趣的陈述才被视为定理。

所有逻辑推理的实质就是证明p q ⇒，也就是证明p q →为永真式。

例如，以下是一个简单的初等数学证明题目：已知a 、b 、c 为实数，且22a b bc -=，0c ≠，则有2/(/1)a c b b c =+。

如果记p ：22a b bc -=，q ：0c ≠，r ：2/(/1)a c b b c =+则上述论证要求可描述为：p q r ∧⇒证明的目的就是说明：若前提p q ∧正确，则结论r 也正确，即证明p q r ∧→为永真式。

通常的逻辑推理问题都会由一组前提来推断一个逻辑结论，此时的多个前提可写成合取式12n H H H ∧∧∧ ，或写成用逗号分隔的命题序列H 1, H 2, ..., H n ，即论证要求可写作：12n H H H C ∧∧∧⇒ ，或12,...,n H H H C ⇒，，或12n H H H C ∧∧∧ ，或12,...,,n H H H C可见，论证A C 、A C ⇒或A C →是永真式都是同义的，且前提也可以用集合表示，如： 12{,..,},.n H H H C 在数学上，总是要求前提为真，从而推导出有效的结论，并不需要研究从假的前提能得到什么结论，且推理形式与前提的排列次序无关。

尽管由前提A 到结论C 的推理一般记作A C ，如果推理是正确的，则可记作A ⊨C 。

2．常规的推理方法在日常生活和科学实践中，可以采用一些形式不太严格的方法进行推理论证。

(1) 真值表法，即列出公式12n H H H C ∧∧∧→ 的真值表。

若公式中所有行的真值全为1则得证。

这种证明方法没有什么逻辑味道，在命题变元较多时也很困难。

(2) 叙述型推理，说明不存在12n H H H ∧∧∧ 为1且C 为0的情况。

可以有两种叙述形式：① 假定前提12n H H H ∧∧∧ 为1，说明结论C 必为1。

② 假定结论C 为0，说明前提12n H H H ∧∧∧ 必为0。

例1-20 证明()q p q p ∧→⇒┐┐。

证明 这里采用形式①。

假定前件()q p q ∧→┐为1。

那么，q ┐和p q →都为1。

由前者知q 为0，再由后者知p 为0，故p ┐为1。

结论成立。

若采用形式②，可论证如下：假定后件p ┐为0。

于是，p 为1。

若q 为1，则q ┐为0，故()q p q ∧→┐为0。

若q 为0，则p q →为0，故()q p q ∧→┐为0。

总之，前件()q p q ∧→┐为0。

结论成立。

例1-21 用符号描述推理过程并验证论证的有效性：如果6是偶数，则7被2除不尽。

或5不是素数，或7可被2除尽。

但5是素数。

所以6是奇数。

解 记p ：6是偶数，q ：7可被2除尽，r ：5是素数，则推理过程可符号化为：p q r q r p →∨⇒┐，┐，┐假定前提为1，则p q →┐，r q ∨┐和r 都为1。

由r 为1知r ┐为0，从而q 为1。

因此，q ┐为0，再由p q →┐为1可知p 为0。

于是，p ┐为1。

论证有效。

[辨析] 论证有效并不代表结论是客观真实的，因为我们并不研究前提是否具有客观真实性，仅假定其逻辑意义为真，从而进行形式上的推导。

(3) 消解法证明，粗略地说，就是当两个同时为1的条件中分别含有某个命题及其否定时，可以消去该命题的证明方法。

例1-21 证明下述蕴含关系成立： ① ()()┐→∧→⇒∨p q p r q r 。

② ()()┐∨∧∨⇒∨p q p r q r 。

证明 若()()┐→∧→p q p r 为1，则┐→p q 和→p r 为1。

若p 为1，则r 为1，得∨q r 为1；若p 为0，即┐p 为1，则q 为1，得∨q r 为1。

总之，∨q r 为1，故式①成立。

将式①中的条件联结词转换为析取联结词就证明了式②。

[理解] p 与┐p 是相反的命题。

┐→p q 和→p r 都为1是说，不管p 是否为真总有q 或r 为真，因此，∨q r 总是真的。

很明显，式②中的两个子公式∨p q 和┐∨p r 都是子句，二者共同推理的结果∨q r 消去了命题p ，此过程称为“消解”或“归结”（resolution ）。

此问题将在自然推理部分做进一步讨论，而②也被视为一条基本的推理规则。

(4) 等值演算，利用等价变换说明条件式为永真式。

例如，通过演算可推出(())1p q p q →∧→⇔┐┐ 这说明(())p q p q →∧⇒┐┐。

(5) 主析取范式法，即说明条件式的主析取范式包含所有的小项。

例如，因为0,1,2,{}3(())1→∧→⇔⇔∨┐┐p q p q 说明(())p q p q →∧⇒┐┐。

应注意条件式的非对称性。

一般称q p →为p q →的逆换式（逆命题），称p q →┐┐为p q →的反换式（反命题），它们均不等同于p q →。

称q p →┐┐为p q →的逆反式（逆否命题），且有 p q q p →⇔→┐┐由此可见，如果一个命题成立，其逆否命题也成立。

反之亦然。

3．等价与蕴含的关系由()()p q p q q p ↔⇔→∧→可知，蕴含和等价之间有与条件式和双条件式之间类似的关系： [定理1-10] 对任意的命题公式p 和q ，p q ⇔的充分必要条件是p q ⇒且q p ⇒。

证明 p q ⇔等同于p q ↔为永真式，等同于()()p q q p →∧→为永真式，等同于p q →和q p →都是永真式，也就等同于p q ⇒且q p ⇒。

[辨析] 此定理是应该熟悉的基本逻辑常识，在逻辑证明中常用，也提供了一种证明命题公式等价的方法。

例1-23 设p 、q 、r 是任意命题公式，证明：(1) 若p q ⇒且p 是永真式，则q 为永真式。

(2) 若p q ⇒且q r ⇒，则p r ⇒。

(3) 若p q ⇒且p r ⇒，则p q r ⇒∧且p q r ⇒∨。

(4) 若p r ⇒且q r ⇒，则p q r ∨⇒。

证明 (1)、(2)略。

(3) 由条件知，p q →和p r →是永真式。

若p 为1，则q 和r 均为1，即q r ∧和q r ∨均为1，故()p q r →∧和()p q r →∨都是永真式。

结论成立。

(4) 由条件知，p r →和q r →为永真式，即p r ∨┐和q r ∨┐为永真式，从而()()p r q r ∨∧∨┐┐为永真式。

又因为()()()()p r q r p q r p q r ∨∧∨⇔∧∨⇔∨→┐┐┐┐故()p q r ∨→为永真式。

结论成立。

1.7.2 自然推理系统严格的论证过程可以采用自然推理系统或公理推理系统实现，这里仅介绍自然推理系统。

这种推理的基本思想是，不引入公理，仅依据事先确定的一些推理规则，从前提出发，利用推理规则构造出严格的命题序列，推导出最终的结论。

由于这种推理较符合人们的日常思维习惯，故称为“自然推理”，也称为“构造证明法”、“演绎法”或“形式证明”。

1．推理定律一些重要的逻辑关系如交换律、结合律、德•摩根律等是基本常识，是构成推理的基础。

表1-5中列出了最基本的等价关系。

为了完成推理，我们还需要承认一些简单的逻辑关系，以此作为公认的推理规则，而不是所有推理都从零做起。

例如，考虑如下的思维（论证）过程：如果你有口令，那么，你就能登录网络。

你有了口令。

因此，你能登录网络。

如果用p 表示“你有口令”，q 表示“你能登录网络”，则上述论证过程可描述为：p qp q→∴这种论证的实质是说，如果有p q →和p 都为1的前提，必有q 为1的结论，故可以用蕴含关系简化描述为：,p p q q →⇒或 ()p p q q ∧→⇒这样的一组基本蕴含关系被确定为可直接应用的推理规则，参见表1-8。

表1-8序号 蕴含关系含义I 1 I 2 p q p ∧⇒ p q q ∧⇒ 化简律I 3 I 4 p p q ⇒∨ q p q ⇒∨ 附加律I 5 I 6 p p q ⇒→┐ q p q ⇒→I 7 I 8 ()p q p →⇒┐ ()p q q →⇒┐┐ I 9 ,p q p q ⇒∧I 10 ,p p q q ∨⇒┐ 析取三段论 I 11 I 12 ,p p q q →⇒ ,q p q p →⇒┐┐ 假言推理 拒取式 I 13 ,p q q r p r →→⇒→ 假言三段论 I 14 ,p q q r p r ↔↔⇒↔ 等价三段论 I 15 ,,p q p r q r r ∨→→⇒I 16()()p q p r q r →⇒∨→∨I 17 ()()p q p r q r →⇒∧→∧ I 18 I 19 ,()p q p r p q r →→⇒→∨ ,()p q p r p q r →→⇒→∧ I 20()()┐∨∧∨⇒∨p q p r q r消解表1-5和1-8中的E 和I 分别表示基本等价和蕴含定律。

表中的序号没有意义，但要分清是I 还是E 。

定律的名字能知道更好，真正的要求是理解后记住中间列的蕴含或等价关系，即推理定律（也可称蕴含式为推理规则(Rules of Inference)，称等价式为推理定律（laws ））。

简言之，之所以推理定律能用于推理过程，其原因是，若公式p 为1，且有p q ⇒或p q ⇔，那么，一定可以推出q 为1。

因此，在推理过程中，推理定律可不加证明地引用。

[辨析] 表1-8的蕴含关系前提中的逗号（如I 9）表示两个命题可能在不同的步骤上推得，可能是前提，也可能是中间结论，都是已知的真命题。

[辨析] 表1-8所列的基本关系中的肯定形式与否定形式同样有效，如“p p q ⇒→┐”成立，则“p p q ⇒→┐”也成立。

对表1-8中的消解规则证明来自例1-23。

这是一个非常有用的规则，不仅可以用于一般推理过程，还可以独自建立一种消解证明法。