命题逻辑的推理理论(牛连强)

1.7 推 理 理 论

从假设前提利用推理规则得到其他命题，即形成结论的过程就是推理，这是研究逻辑的主要目标。

1.7.1 蕴含与论证

1．推理的含义与形式

[定义1-22] 当且仅当p →q 为永真式时，称为p 蕴含q （logical implication ），记作p q ⇒，或p q 。此时，称p 为前提，q 为p 的有效结论或逻辑结论，也称为q 可由p 逻辑推出。得出此逻辑关系的过程称为论证。

[辨析] 由于仅在p 为1而q 为0时公式p q →为0，可见，p q →永真意味着不可能存在前件p 为1而后件q 为0的情况，或者说，若p q ⇒，则只要前件p 为1，后件q 也一定为1。因此，p q ⇒也称为“永真蕴含”

，即p 永真蕴含q 。 [延伸] 通常，定理（theorem ）被解释为“经过受逻辑限制的证明为真的陈述”，就是指对“在一定条件成立的情况下必然产生某个（些）结论”的陈述。因此，定理证明也就是对蕴含关系的论证。当然，通常只有重要或有趣的陈述才被视为定理。

所有逻辑推理的实质就是证明p q ⇒，也就是证明p q →为永真式。例如，以下是一个简单的初等数学证明题目：

已知a 、b 、c 为实数，且22a b bc -=，0c ≠，则有2/(/1)a c b b c =+。 如果记

p ：22a b bc -=，q ：0c ≠，r ：2/(/1)a c b b c =+

则上述论证要求可描述为：

p q r ∧⇒

证明的目的就是说明：若前提p q ∧正确，则结论r 也正确，即证明p q r ∧→为永真式。 通常的逻辑推理问题都会由一组前提来推断一个逻辑结论，此时的多个前提可写成合取式12n H H H ∧∧∧ ，或写成用逗号分隔的命题序列H 1, H 2, ..., H n ，即论证要求可写作：

12n H H H C ∧∧∧⇒ ，或12,...,n H H H C ⇒，，或

12n H H H C ∧∧∧ ，或12,...,,n H H H C

可见，论证A C 、A C ⇒或A C →是永真式都是同义的，且前提也可以用集合表示，如： 12{,..,},.n H H H C 在数学上，总是要求前提为真，从而推导出有效的结论，并不需要研究从假的前提能得到什么结论，且推理形式与前提的排列次序无关。尽管由前提A 到结论C 的推理一般记作A C ，如

果推理是正确的，则可记作A ⊨C 。

2．常规的推理方法

在日常生活和科学实践中，可以采用一些形式不太严格的方法进行推理论证。

(1) 真值表法，即列出公式12n H H H C ∧∧∧→ 的真值表。若公式中所有行的真值全为1则得证。这种证明方法没有什么逻辑味道，在命题变元较多时也很困难。

(2) 叙述型推理，说明不存在12n H H H ∧∧∧ 为1且C 为0的情况。可以有两种叙述形式：

① 假定前提12n H H H ∧∧∧ 为1，说明结论C 必为1。 ② 假定结论C 为0，说明前提12n H H H ∧∧∧ 必为0。 例1-20 证明()q p q p ∧→⇒┐┐。

证明 这里采用形式①。假定前件()q p q ∧→┐为1。那么，q ┐和p q →都为1。由前者知q 为0，再由后者知p 为0，故p ┐为1。结论成立。

若采用形式②，可论证如下：

假定后件p ┐为0。于是，p 为1。

若q 为1，则q ┐为0，故()q p q ∧→┐为0。 若q 为0，则p q →为0，故()q p q ∧→┐为0。 总之，前件()q p q ∧→┐为0。结论成立。

例1-21 用符号描述推理过程并验证论证的有效性：如果6是偶数，则7被2除不尽。或5不是素数，或7可被2除尽。但5是素数。所以6是奇数。

解 记p ：6是偶数，q ：7可被2除尽，r ：5是素数，则推理过程可符号化为：

p q r q r p →∨⇒┐，┐，┐

假定前提为1，则p q →┐，r q ∨┐和r 都为1。由r 为1知r ┐为0，从而q 为1。因此，q ┐为0，再由p q →┐为1可知p 为0。于是，p ┐为1。论证有效。

[辨析] 论证有效并不代表结论是客观真实的，因为我们并不研究前提是否具有客观真实性，仅假定其逻辑意义为真，从而进行形式上的推导。

(3) 消解法证明，粗略地说，就是当两个同时为1的条件中分别含有某个命题及其否定时，可以消去该命题的证明方法。

例1-21 证明下述蕴含关系成立： ① ()()┐→∧→⇒∨p q p r q r 。 ② ()()┐∨∧∨⇒∨p q p r q r 。

证明 若()()┐→∧→p q p r 为1，则┐→p q 和→p r 为1。若p 为1，则r 为1，得∨q r 为1；若p 为0，即┐p 为1，则q 为1，得∨q r 为1。总之，∨q r 为1，故式①成立。

将式①中的条件联结词转换为析取联结词就证明了式②。

[理解] p 与┐p 是相反的命题。┐→p q 和→p r 都为1是说，不管p 是否为真总有q 或r 为真，因此，∨q r 总是真的。

很明显，式②中的两个子公式∨p q 和┐∨p r 都是子句，二者共同推理的结果∨q r 消去了命

题p ，此过程称为“消解”或“归结”（resolution ）。此问题将在自然推理部分做进一步讨论，而②也被视为一条基本的推理规则。

(4) 等值演算，利用等价变换说明条件式为永真式。例如，通过演算可推出

(())1p q p q →∧→⇔┐┐ 这说明(())p q p q →∧⇒┐┐。

(5) 主析取范式法，即说明条件式的主析取范式包含所有的小项。例如，因为

0,1,2,{}3(())1→∧→⇔⇔∨┐┐p q p q 说明(())p q p q →∧⇒┐┐。

应注意条件式的非对称性。一般称q p →为p q →的逆换式（逆命题），称p q →┐┐为p q →的反换式（反命题），它们均不等同于p q →。称q p →┐┐为p q →的逆反式（逆否命题），且有 p q q p →⇔→┐┐

由此可见，如果一个命题成立，其逆否命题也成立。反之亦然。 3．等价与蕴含的关系

由()()p q p q q p ↔⇔→∧→可知，蕴含和等价之间有与条件式和双条件式之间类似的关系： [定理1-10] 对任意的命题公式p 和q ，p q ⇔的充分必要条件是p q ⇒且q p ⇒。 证明 p q ⇔等同于p q ↔为永真式，等同于()()p q q p →∧→为永真式，等同于p q →和

q p →都是永真式，也就等同于p q ⇒且q p ⇒。

[辨析] 此定理是应该熟悉的基本逻辑常识，在逻辑证明中常用，也提供了一种证明命题公式等价的方法。

例1-23 设p 、q 、r 是任意命题公式，证明：

(1) 若p q ⇒且p 是永真式，则q 为永真式。 (2) 若p q ⇒且q r ⇒，则p r ⇒。

(3) 若p q ⇒且p r ⇒，则p q r ⇒∧且p q r ⇒∨。 (4) 若p r ⇒且q r ⇒，则p q r ∨⇒。

证明 (1)、(2)略。

(3) 由条件知，p q →和p r →是永真式。若p 为1，则q 和r 均为1，即q r ∧和q r ∨均为1，故()p q r →∧和()p q r →∨都是永真式。结论成立。

(4) 由条件知，p r →和q r →为永真式，即p r ∨┐和q r ∨┐为永真式，从而()()p r q r ∨∧∨┐┐为永真式。又因为

()()()()p r q r p q r p q r ∨∧∨⇔∧∨⇔∨→┐┐┐┐

故()p q r ∨→为永真式。结论成立。

1.7.2 自然推理系统

严格的论证过程可以采用自然推理系统或公理推理系统实现，这里仅介绍自然推理系统。这种推理的基本思想是，不引入公理，仅依据事先确定的一些推理规则，从前提出发，利用推理规