高数可分离变量的微分方程教案

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§7. 2 可分离变量的微分方程

观察与分析:

1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得

y =x 2+C .

一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.

因为y 是未知的, 所以积分⎰

dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解.

为求通解可将方程变为

xdx dy y 212

=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C

x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成

g (y )dy =f (x )dx

形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程

G (y )=F (x )+C ,

由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解

对称形式的一阶微分方程:

一阶微分方程有时也写成如下对称形式:

P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0

在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.

若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有

)

,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有

)

,(),(y x P y x Q dy dx -=.

可分离变量的微分方程:

如果一个一阶微分方程能写成

g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))

的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.

讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程?

(1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx .

(2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx .

(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.

(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2).

(5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)x

y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:

第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;

第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ;

第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )

G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx

dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得

xdx dy y

21=, 两边积分得

⎰⎰=xdx dy y 21,

即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2

112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解

2

x Ce y =.

例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.

解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dt

dM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程

M dt

dM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0

将方程分离变量得

dt M dM λ-=. 两边积分, 得⎰

⎰-=dt M dM )(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .

由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,

所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .

例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.

解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为

kv mg dt

dv m -=, 初始条件为

v |t =0=0.

方程分离变量, 得

m

dt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-m dt kv mg dv , 1

)ln(1

C m t kv mg k +=--, 即 t m k Ce k mg v -+=(k

e C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得k

mg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e k

mg v --=. 例4 求微分方程

221xy y x dx

dy +++=的通解. 解 方程可化为

)1)(1(2y x dx

dy ++=, 分离变量得 dx x dy y )1(112

+=+, 两边积分得

⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan . 于是原方程的通解为)2

1

tan(2C x x y ++=. 师生互动设计 P304:1(1)(2)(3)(5),2(3) 作业:P304:1(4)(7)(8)(10),2(2),6

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