高考数学总复习全套讲义(学生)

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高中数学全套讲义必修1 集合基础学生版

目录集合 (2)模块一：集合与元素 (2)考点1：集合与元素的关系 (2)模块二：集合间关系与运算 (4)考点2：集合相等 (5)考点3：已知集合关系反求参 (6)考点4：集合关系、运算综合 (7)课后作业 (9)集合模块一：集合与元素1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：∈、∉；3．常见的数集的写法：45．集合的表示法⑴ 列举法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图．⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集．考点1：集合与元素的关系例1.（1）（2016秋•凉州区校级月考）已知集合{M a =，b ，}c 中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长，那么此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形（2）（2017秋•河南月考）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = )A ．1-B ．0C ．1D ．0 或1例2.（1）（2010•安徽模拟）已知集合2{|210A x ax x =++=，}a R ∈只有一个元素，则a 的值( )A ．0B ．1C ．0或1D ．1-（2）（2018秋•宽城区校级期末）已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是．例3.（2016秋•钦州月考）已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈- （1）若2a =，求出A 中其他所有元素；（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中所有元素．例 4.（2017秋•杨浦区校级期中）设a ，b ，c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++记集合{|()0S x f x ==，}x R ∈，{|()0T x g x ==，}x R ∈．若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T =模块二：集合间关系与运算1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇；规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ． 2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．规定：∅是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．4．交集：{}|AB x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|AB x x A x B =∈∈或；6．补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且．7．A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=．考点2：集合相等例5.（1）（2014秋•大竹县校级月考）设a ，b R ∈，集合{0，b ，}{1b a=，a ，}a b +，则2(a b += )A ．1B ．0C ．1-D ．不确定（2）（2018•浙江模拟）已知集合{1A =，2}，2{|(1)0B x x a x a =-++=，}a R ∈，若A B =，则(a = )A ．1B ．2C ．1-D ．2-（3）（2018秋•香坊区校级月考）已知{3M a =-，21a -，21}a +，{2N =-，43a -，31}a -，若M N =，则实数a 的值为．考点3：已知集合关系反求参例6.（1）（2017秋•雁峰区校级期中）若集合2{|60}P x x x =+-=，{|10}S x mx =+=，且S P ⊆，求由m 的可能取值组成的集合．（2）（2019•湘潭三模）已知集合2{|}A x ax x ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 的值为( )A ．1或2B ．0或1C ．0或2D ．0或1或2（3）（2019•临沂三模）已知集合2{|2}A x x x =<+，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，2]C ．[2，)+∞D ．[1-，)+∞（4）（2018秋•磐安县校级月考）已知{|1}A x x =<，2{|40}B x x x m =--，若A B ，则实数m 的取值范围是( )。

高中数学复习讲义

高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。

一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。

我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。

掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。

1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。

我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。

1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。

我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。

1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。

向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。

我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。

1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。

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高考数学总复习资料高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析: 例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0 不等式的解为 x ∈∅.综上，当 0<a<1时，x ∈(a 2, a)当a<0或a>1时，x ∈(a,a 2) 当a=0或a=1时，x ∈∅.评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2．解关于x 的不等式 ax 2+2ax+1>0(a ∈R) 解:此题应按a 是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a ≠0时分为a>0 与a<0两类①10)1(00440002>⇒⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒⎩⎨⎧>>a a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根aa a a aa a a a a a x )1(12442222,1-±-=-±-=-±-=.则原不等式的解为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . ②101000440002<<⇒⎩⎨⎧<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<>a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-∞，+∞）.③ 11000440002=⇒⎩⎨⎧==>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->⇒⎩⎨⎧=>a a a a a a a a 或∆时，方程ax 2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞).④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a a a a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-. ⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）.当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞). 当a<0时，解集为))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-. 例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(西城2003’一模理科）解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时，不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a .当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a.-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a-.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值. 解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x 令sinx=t, t ∈[-1,1]. 则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a即a>2时，t=1，2533max =++-=a a y 解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）. (2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max =++-=a a y ,解方程为:34-=a 或a=4（舍）.(3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max =-a 2+a+5=2即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴ 2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2. 例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S n n --=1)1(1，从而.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++nn n n n n n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n n S S S . ∵ 函数xy 5.0log =为单调递减函数.∴15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=ab， ∴ b=2.∴ 555222==+==a a a b a c e . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=ba，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a .解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a0)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--aa，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a aa a 即a<1时，解为)12,2(a a --. ②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a a a a 时，解为∅.③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121aa a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(a a --.由（3）a>1时，aa--12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a aa a ⇒ a 不存在.② ⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aa a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ a a .综上:a=1时，x ∈(2,+∞). a<1时，x ∈)12,2(aa-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(a a-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa.评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M. （1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+235321 2.]4943[，3. (1) M 为），（），（2452 ∞-(2)),9()35,(+∞-∞∈ a 4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。

高中数学全套讲义选修2-2 数学归纳法简单学生版

目录目录 (1)考点一数学归纳法 (2)考点二用数学归纳法证明不等式 (3)课后综合巩固练习 (4)考点一数学归纳法1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n=n 0时命题成立；（2）假设当n=k （k∈N +，且k≥n 0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．1．（2019春•诸暨市期末）用数学归纳法证明：“(1)(2)1(12)(123)(123)6n n n n ++++++++Λ++++⋯⋯+=”，由n k =到1n k =+时，等式左边需要添加的项是( ) A ．(1)2k k + B ．(1)12k k ++ C ．(1)(1)(2)[1][]22k k k k +++++⋯⋯+ D ．(1)(2)2k k ++2．（2019春•嘉定区期末）已知()2462n f n =+++⋯⋯+，则()f n l +比()f n 多了几项( ) A ．1B ．nC ．1n +D ．21n -3．（2019春•广东期末）利用数学归纳法证明不等式1111()(22321n f n n +++⋯⋯+<-，*)n N ∈的过程，由n k =到1n k =+时左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项4．（2019春•长宁区期末）用数学归纳法证明11113(2)12224n n n n ++⋯+>++的过程中，设111()122k f k k k =++⋯+++，从n k =递推到1n k =+时，不等式左边为( ) A ．11()2k f k ++ B ．111()212k k f k ++++ C ．1111()2121k k f k k +++⋯+-++D ．111()21k f k k ++-+考点二用数学归纳法证明不等式2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n 0+1，n 0+2，…，是否正确．在第二步中，n=k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少） ②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1．（2016秋•杨浦区校级期中）用数学归纳法证明：*222111112(2)()23(21)21n n n n N +++⋯+<-∈--时第一步需要证明( ) A ．11221<--B ．221112221+<--C ．222111122321++<--D ．222211111223421+++<-- 2．（2019春•鲤城区校级期末）用数学归纳法证明不等式1111127124264n -+++⋯+>成立，起始值至少应取为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10课后综合巩固练习1．（2019春•绍兴期末）用数学归纳法证明“111111111(*)234212122n N n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+∈-++”，第一步应验证的等式是 11122-= ，从“n k =”到“n k l =+”左边需增加的代数式是 2．（2019春•淮安期中）用数学归纳法证明“*1111()1231n N n n n ++⋯+>∈+++，第一步，左边是3．（2019春•广陵区校级月考）用数学归纳法证明不等式1111(,2)1231n N n n n n ++⋯∈+++从n k =到1n k =+时，左边的项数增加了项． 4．（2019春•徐州期中）用数学归纳法证明1111(2321n n n N ++++⋯+<∈-，1)n >时，第一步应验证的不等式是．5．（2019春•常州期中）用数学归纳法证明等式：633123(*)2n n n n N ++++⋯+=∈，则从n k =到1n k =+时左边应添加的项为．6．（2019春•平遥县校级月考）用数学归纳法证明某个命题时，左边为12342345(1)(2)(3)n n n n ++⋯++++，从n k =到1n k =+左边需增加的代数式为． 7．（2019春•叶集区校级月考）用数学归纳法证明“2222111(1)1n n a a a a a a++-+++⋯+=≠-”，在验证1n =时，左端计算所得项为．。

高考数学总复习全套讲义

高中数学复习讲义第一章集合与简易逻辑第1课时集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ⋂=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8或2___．【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=，{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，求集合B .分析：先化简集合A ，由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1）{12}A x x =≤≤Q ，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=，R A C A R ⋃=，{0,2}可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.【反馈演练】1．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ⋂=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+. （1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围；（3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，Q P Q P ⋃=，Q P ∴⊆. ①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<．综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或．综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞．（3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．第2课命题及逻辑联结词【考点导读】1.了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x-=；②你是高三的学生吗？③315x->．+=；④536其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p，否命题可表若则，逆否命题可表示为q p若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题⌝⌝⌝⌝p q互为逆否命题．【范例解析】例1.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1）平行四边形的对边相等；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）设,,,+=+.a b c d R∈，若,==，则a c b da b c d分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题；逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题；否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题；逆否命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p 则q ”的形式，找出其条件p 和结论q ，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p 的否定即p ⌝时，要注意对p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假. （1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等. 分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程210-+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；x xp且q：方程210-+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；x x非p：方程210-+=的两实根的符号不同，真命题.x x点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()∃∈⌝”，特称命题“,()∃∈”的否定是x M p xx M p x∀∈”的否定是“,()x M p x“,()∀∈⌝” .x M p x解：（1）p⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（2）p⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3）p⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（4）p⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =；（2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >．解：（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题；否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题；（2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题；否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．若b M ∈，则a M ∉若a b ≤，则221ab≤-第3 课时充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件；若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件；若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件．若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件．（2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件．（3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的___必要不充分__条件． 3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >．【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件；（2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件；（3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件；（4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析：从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，反之不成立，若12x =，10y =，有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立，所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件.（2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2παβ==时，tan ,tan αβ均不存在；当tan tan αβ=时，取4πα=，54πβ=，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.【反馈演练】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分条件．2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的条件．3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则A B ⊆．若A =∅，则240a -<，即22a -<<；若A ≠∅，则240,a x ⎧-≥≤≤解得522a -≤≤-．充分不必要综上所述，522a -≤<．2012高中数学复习讲义第二章函数A【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

高考数学复习讲义共十一章

高考数学复习讲义共十一章SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高考复习数学讲义（共十一章）一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合A B 、，A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.✍3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n .22-n ，12-n4.“交的补等于补的并，即()U U U C AB C A C B =”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ✍.8.充要条件二、函数1. 指数式、对数式，mn a =1mn m na a -=，log a N a N =log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，.01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log log log c a c b b a=，.log log m n a a n b b m =. 2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：①1()()f a b f b a -=⇔=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，但11[()][()]f f x f f x --≠. ② 函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+.3.单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等. 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。

高中数学全套讲义选修2-1 向量2 基础学生版

目录第七讲：空间向量数量积 ............................................................................................ 错误!未定义书签。

考点一：空间向量的数量积运算 (2)题型一：数量积计算 (2)题型二：数量积计算向量模长 (3)题型三：数量积坐标运算计算向量夹角 (3)考点二：用坐标讨论共线和垂直 (4)题型四：数量积判断向量的共线和垂直 (5)题型五：空间向量的投影 (5)课后综合巩固练习 (5)考点一：空间向量的数量积运算两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，，．如果90a b 〈〉=︒，，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥．两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：cos a b a b a b ⋅=〈〉，，两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+ 21cos ||||a b a b a b a ⋅〈〉==，．空间两点的距离公式若，，则①； ②；③ AB 的中点坐标为121212222x +x y +y z +z ⎛⎫⎪⎝⎭，，．空间两个向量的数量积具有如下性质：⑴ 0ab a b ⇔⋅=；⑵ 2a a a =⋅；⑶ ab a b ⋅≤．空间两个向量的数量积满足如下运算律：⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅；⑵ a b b a ⋅=⋅；⑶ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．若：123()a a a a =，，，123()b b b b =，，，则：112233()a b a b a b a b +=+++，，；112233()a b a b a b a b -=---，，； 123()a a a a λλλλ=，，；112233a b a b a b a b ⋅=++．题型一：数量积计算1．（2018秋•黄山期末）在空间直角坐标系中，点(2A ，1-，3)关于平面xOz 的对称点为111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---2||(AB AB x ==B ，则(OA OB = )A ．10-B ．10C ．12-D ．122．（2018秋•福州期末）已知(1OA =，2，3)，(2OB =，1，2)，(1OP =，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB 取得最小值时，点Q 的坐标为( )A ．131(,,)243B ．133(,,)224C ．448(,,)333D ．447(,,)3333．（2017春•台江区校级期末）平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知((2)()0DB DC AD AB AC ++-=，则ABC ∆的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定题型二：数量积计算向量模长1．（2017秋•渝中区校级月考）已知点B 是点(3A ，7，4)-在xOz 平面上的射影，则2OB 等于( ) A ．74 B ．25C ．65D ．582．（2019春•宣城期末）已知点(A x ，0，2)和点(2B ，3，4)，且||AB =x 的值是( ) A ．5或1-B ．5或1C ．2或6-D ．2-或6题型三：数量积坐标运算计算向量夹角1．（2017春•杭州期末）设向量(1a =-，1-，1)，(1b =-，0，1)，则cos a <，(b >= )A ．12B ．2C D2．（2017秋•沙坡头区校级期末）已知(,2,0)a x =，2(3,2,)b x x =-，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )A ．4x >B ．04x <<C ．4x <-D ．40x -<<考点二：用坐标讨论共线和垂直空间向量的平行和垂直的条件：设111()a a b c =，，，123()b b b b =，，， a b ∥（0b ≠）a b λ⇔=112233a b a b a bλλλ=⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩；00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a方向向量：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，再作向量OA a =，则点A 在空间的位置就被向量a 所唯一确定了．这时，我们称这个向量a 为OA 方向向量．设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，12l l ∥（或1l 与2l 重合）12v v ⇔∥；→→⊥⇔⊥2121v v l l若向量1v 和2v 是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线l 的一个方向向量为v ，则l α∥或l 在α内⇔存在唯一两个实数x y ，，使12v xv yv =+．线线角：两条直线21,l l 所称角设为θ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ。

高三数学复习讲义

1、集合与简易逻辑复数1、已知复数134i z =+,2i z m =+,若12z z +是纯虚数,则实数m = ．2、已知复数z 满足|22i |1z +-=,则|22i |z --的最小值．3、集合{}2153,A x x x x Z =+<-∈的子集的个数是．4、命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为．5、在命题“若m n >-,则22m n >”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是6、已知命题p ：“∀x ∈1,2,错误!x 2－ln x －a ≥0”是真命题,则实数a 的取值范围是________7、若函数fx ＝ln x －错误!ax 2－2xa ≠0存在单调递减区间,则实数a 的取值范围是________________．8、给出下列命题： ①“2πϕ=”是“()sin y x ϕ=+的图像关于y 轴对称”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数fx ＝|x －a |在区间2,＋∞上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线m ＋3x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ,b ,c 分别是△ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边,若a ＝1,b ＝错误!,则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中,真命题的序号是________例1、设集合{}260P x x x =--<,{}|23Q x a x a =≤≤+.1若P Q P ⋃=,求实数a 的取值范围；2若P Q ⋂=∅,求实数a 的取值范围；3若{}03P Q x x ⋂=≤<,求实数a 的值;例2、已知0a >,设命题p ：函数xy a =在R 上单调递减,q ：函数22,22,2x a x a y a x a -≥⎧=⎨<⎩且1y >恒成立,若p q ∧为假,p q ∨为真,求a 的取值范围;例3、已知函数()()20f x ax bx a =->1当b>0时,若对任意的x R ∈都有()1f x ≤,证明：a ≤2当1b >时,证明：对任意[]()0,1,1x f x ∈≤成立的充要条件是1b a -≤≤2、函数的概念定义域与值域1、已知函数()y f x =的定义域为-1,1,值域为0,2,则函数(sin )y f x =的值域为2、函数122,(,2]x y x -=-∈-∞的值域为3、函数12y x x =--的值域为4、函数21x xe y e +=的值域是 5、函数12x y =的值域是6、“函数fx 在0,1上单调”是“函数fx 在0,1上有最大值”的条件.选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”7、用表示min{,,}a b c 表示,,a b c 三个实数中的最小者,记()min{2,2,10}x f x x x =+-,(0)x ≥,则()f x 的最大值为例1.1已知f=lg x ,求fx 的解析式;2已知fx 是一次函数,且满足3fx+1-2fx-1=2x+17,求fx 的解析式;3定义在-1,1内的函数fx 满足2fx-f-x=lg x+1,求函数fx 的解析式.例2．已知1a ≥,函数9()441f x x x =+++[]0,1x ∈,32()3216g x x a x a =--+[]0,1x ∈． 1求()f x 和()g x 的值域；2若[]10,1x ∀∈,[]20,1x ∃∈,使得21()()g x f x =成立,试求a 的取值范围．例3、已知函数fx=是定义在R 上的奇函数,其值域为.1试求a ,b 的值.2函数y=gxx ∈R 满足:当x ∈0,3时,gx=fx ;gx+3=gx ln mm ≠1.①求函数gx 在x ∈3,9上的解析式;②若函数gx 在x ∈0,+∞上的值域是闭区间,试探求m 的取值范围,并说明理由.3、函数性质1．若()f x 是偶函数,则()____()f x f x 填“<”“>”“=”． 2．已知()f x 是定义在实数集R 上的奇函数,且当0x >时,2()log f x x =,则(2)f -= ,(0)f = ．3．函数21()log 1x f x x-=+的图像关于对称． 4．设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x b =++b 为常数,则(1)f -= ．5．设函数()f x 定义在实数集上,它的图像关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31x f x =-,则13f ⎛⎫⎪⎝⎭,23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭从小到大的排列为． 6．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上为增函数,且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()0f x >的解集为．7．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,若2(2)()f a f a ->,则实数a 的取值范围是．8．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 ;例1．设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减,若(1)()f m f m -<,求实数m 的取值范围．例2．已知函数21()f x ax x=+,其中a R ∈．1讨论函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论；2若函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数,求a 的取值范围．例3．知函数f 错误!＝2x －错误!,x ∈0,1．.1 当a ＝－1时,求函数y ＝fx 的值域；2 若函数y ＝fx 在x ∈0,1上是减函数,求实数a 的取值范围．例4．设y ＝fx 是定义在R 上的奇函数, 且当x ≥0时, fx ＝2x －x 2..1 求当x<0时,fx 的解析式；2 请问是否存在这样的正数a 、b,当x ∈a,b 时,gx ＝fx,且gx 的值域为错误! 若存在,求出a 、b 的值；若不存在,请说明理由．4、二次函数指数对数幂函数1．函数2121x x y -=+的值域为．2．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是奇函数,则实数a = ． 3．为了得到函数y ＝lg 错误!的图象,只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点__________________________________________．4.当0<x ≤错误!时,4x <log a x,则a 的取值范围是________．5．若关于x 的方程2360x x a -+=的一个根大于1,另一个根小于1,则实数a 的取值范围是．6. 如图,已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 为实数,a ≠0的图象过点Ct,2,且与x 轴交于A 、B 两点,若AC⊥BC ,则a ＝________．7．已知二次函数fx ＝ax 2－4x ＋c 的值域是0,＋∞,则错误!＋错误!的最小值是____________． 8．已知函数21,1()2, 1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则222a b c ++的取值范围是．二、例题精讲：例1．函数2()21f x x ax =-+在闭区间[]1,1-上的最小值记为()g a ．1求()g a 的解析式； 2求()g a 的最大值．例2．设函数()log a x b f x x b+=-0,0a b >>且1a ≠． 1求()f x 的定义域；2讨论()f x 的奇偶性；3判断()f x 的单调性并加以证明．例3．已知函数2()1f x x mx m =-+-．1若函数|()|y f x =在[]2,4上单调递增,求实数m 的取值范围；2是否存在整数,a b 其中,a b 是常数,且a b <,使得关于x 的不等式()a f x b ≤≤的解集为{}x a x b ≤≤若存在,求出,a b 的值；若不存在,请说明理由．例4．已知函数fx ＝x2＋mx ＋n 的图象过点1,3,且f －1＋x ＝f －1－x 对任意实数都成立,函数y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于原点对称．1 求fx 与gx 的解析式；2 若Fx ＝gx －λfx 在－1,1上是增函数,求实数λ的取值范围;5、函数图像、零点1．函数2log (),0()0, 0(1), 0x x f x x f x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的图像与直线y x =的交点个数是．2．已知函数()y f x =是R 上的奇函数,则函数(3)2y f x =-+的图像经过定点．3．若函数(21)y f x =+的图像有唯一的对称轴,其方程为0x =,则函数(21)y f x =-的图像的对称轴方程为．4．已知直线1y =与曲线2||y x x a =-+有四个交点,则a 的取值范围是．5．若方程227x x =-在区间(),1k k +k Z ∈上有解,则所有满足条件的k 值的和为．6．已知函数()y f x =是定义在[],a b 上的单调函数,若()()0f a f b <,则()f x 的零点个数至多为．7．函数2()32x f x x =+-的零点共有个．8．已知函数()log a f x x x b =+-,当234a b <<<<时,函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+,则n = ．例1．已知函数()f x x m x =-x R ∈,且(4)0f =．1求实数m 的值；2作出函数()f x 的图像；3根据图像指出()f x 的单调区间； 4根据图像写出不等式()0f x >的解集．例2．已知,a b 是实数,函数()1f x ax b x =+-x R ∈．1若,(2,2)a b ∈-,且函数()f x 在(0,)+∞内存在最大值,试在平面直角坐标系aOb 内,求出动点(,)a b 运动区域的面积；2若0b >,且关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有2个,试求a b的取值范围．例3．设函数2()2x f x ax x =-+,其中a R ∈．1当2a =时,求函数()f x 的零点；2当0a >时,求证：函数()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点；3若函数()f x 有四个不同的零点,求a 的取值范围．。

高三数学复习备考讲座PPT课件

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11.空间向量：旧考纲对立体几何有A，B两种要求，
考生可以不掌握空间向量知识，新考纲突出了空间向量的应用，要求能用向量语言表述线面平行、垂直关系，能用向量方法证明线面位置关系的一些定理，解决空间三种角的计算问题.
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例（09年浙江卷理）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝ 16，PA＝PC＝10．
大小分别为2和4，则F3的大小为（）
A. 6 B. 2
C.2 5 D.2 7
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9.解三角形：
新考纲要求能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，强调解三角形的实际应用.
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例（09年宁夏/海南卷）为了测量两山顶M， N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，其图像
经过点( a, a)，则f(x)＝
A.log2 x B.log1 x
C.
1 2x
2
() D.x2
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3.圆的方程：新考纲要求能根据给定的两个圆的方程
判定两圆的位置关系，提高了考查圆方程的能力要求.
例（09年江苏卷）已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2 ＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. （1）若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长

高考数学总复习基础知识名师讲义第一章第一节集合的概念与运算理

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

高中数学全套讲义必修2 空间几何体初步基础学生版

目录立体几何初步 (2)模块一：空间几何体 (2)考点1：空间几何体概念判别 (2)考点2：几何体的表面积与体积 (6)模块二：直观图 (8)考点3：直观图求值 (8)模块三：三视图 (10)考点4：利用三视图求表面积、体积 (10)课后作业： (12)立体几何初步模块一：空间几何体考点1：空间几何体概念判别例1.（1）（2019春•宝坻区期中）下列命题中正确的是( )A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行空间几何体的基本元素：点、线、面．平面：无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示．用αβγ，，命名，或用大写字母表示：如平面ABCD 或平面AC ．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形（包括平面图形的内部）．棱柱的定义，相关概念、性质、分类、记法及特殊的四棱柱； S ch =直棱柱侧面积，Sh V =直棱柱，其中c 为直棱柱的底面周长，S 为底面积，h 为高；棱锥的定义、相关概念、特征、记法和分类，以及正棱锥的性质； 1122S nah ch ''==正棱锥侧，13V Sh =锥体，a 为底面边长，c 为底面周长，h '为斜高；棱台的定义、相关概念、记法、以及正棱台的性质；（h 为高，h '为斜高） 11()()22S n a a h c c h =''''+=+正棱台侧，1()3V h S S '=+台体．（S S '，为底面面积）旋转体的基本概念：轴、高、底面、侧面、侧面的母线；圆柱的定义，记法和性质，2πV r h =圆柱；r 为底面半径，h 为高；圆锥的定义，记法和性质，21π3V r h =圆锥；r 为底面半径，h 为高；圆台的定义，记法和性质，221π()3V h r rr r =''++圆台．r r '，为底面半径，h 为高；的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱（2）下列几个命题中，正确的个数是()①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱A．1B．2C．3D．4（3）（2018春•惠州期末）下列叙述中，错误的一项为()A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱住的底面B．棱柱的各个侧面都是平行四边形C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行（4）（2019春•舒城县期末）下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到下图所示几何体的是()A．B．C．D．（5）（2018秋•城关区校级月考）图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（1）（5）（6）（2018春•濮阳期末）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是()A．①②B．②④C．①②③D．②③④（7）（2015秋•宜春校级月考）如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是．（注:把你认为正确的命题的序号都填上）例2.（1）（2017春•昆都仑区校级期中）圆锥的底面半径为r，高是h，在这个圆锥内部有一个内接正方体，则此正方体的棱长等于()A．rhr h+B．2rhr h+C D（2）（2019•合肥二模）我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注:1丈10=尺）()A．1946立方尺B．3892立方尺C．7784立方尺D．11676立方尺（3）（2018秋•雁峰区校级月考）如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台O O'的母线长为cm．考点2：几何体的表面积与体积例3.（1）（2003•北京）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则Rr=．（2）（2018春•思明区校级月考）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径为圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是()A．3cm B．4cm C．D．（3）（2019春•徐州期中）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E ，F ，1F ，1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )A B ．2 C D ．94例4.（1）（2017秋•全国月考）如图所示，扇形AOB 的半径为2，圆心角为90︒，若扇形AOB 绕OA 旋转一周，则图中阴影部分绕OA 旋转一周所得几何体的体积为( )A ．3πB ．5πC ．83πD ．163π（2）（2017秋•王益区期末）如图，在直角梯形ABCD 中，90DAB CBA ∠=∠=︒，60DCB ∠=︒，1AD =，AB =在直角梯形内挖去一个以A 为圆心，以AD 为半径的四分之一圆，得到图中阴影部分，求图中阴影部分绕直线AB 旋转一周所得旋转体的体积、表面积．模块二：直观图1．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．2．画法：斜二测画法和正等测画法： ⑴斜二测画法规则：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） ②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） ③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．⑵正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观图是椭圆，具体画法不要求掌握．考点3：直观图求值例5.（1）（2016•淮南一模）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )A ．B ．C ．D ．。

(高中数学)高考复习详细讲义(汇编)

（高中数学）高考复习详细讲义（汇编）第一板块：函数、导数一、常见的基本初等函数1、b kx x f +=)(（一次函数）；2、)0()(2≠++=a c bx ax x f （二次函数）3、)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f （三次函数）；4、)0()(≠=k xkx f （反比例函数）；5、)0(||)(≠+=k b kx x f （V 形函数）；6、xk x x f +=)(（k ＞0）（对钩函数）；7、xkx x f +=)()0(<k ；8、a a x f x ()(=＞0且)1≠a （指数函数）9、a x x f a (log )(=＞0且)1≠a （对数函数）；10、αx x f =)(（幂函数）； 11、x x f sin )(=（正弦函数）；12、x x f cos )(=（余弦函数）；13、x x f tan )(=（正切函数）。

二、函数的性质（一）函数的单调性判定方法： 1、定义法：①I x x ∈21,且1x ＜2x ； ①②⇒③（证明单调性，主要用于抽象函数）②)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f ＞)(2x f ；②③⇒①（解抽象不等式、超越不等式） ③)(x f 在I ↗或)(x f 在I ↘。

①③⇒②（利用函数单调性求值域）⎩⎨⎧=--=单调递减在负，单调递增在正，I x f I x f x x x f x f k )()()()(2121；⎩⎨⎧=∆-∆+='=→∆单调递减在负，单调递增在正，I x f I x f x x f x x f x f k x )()()()(lim)(02、复合函数单调性遵循同增异减原则。

3、子母同性法（函数在母区间的单调性与子区间的单调性相同）。

4、运算法则法（增+增=增，减+减=减）。

5、移缩依旧法（平移变换与伸缩变换不影响函数的单调性）。

6、奇函数在其对称区间单调性相同，偶函数在其对称区间单调性相反，原函数与反函数的单调性一致）。

高考数学函数复习全套讲义45页

、解：① 和；② （此时）或（此时）。
●★【题12】、集合满足 =A，则称（）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，（）与（）为集合A的同一种分拆，则集合A={ }的不同分拆种数为多少？
解：当＝时， =A,此时只有1种分拆；
当为单元素集时， = 或A，此时有三种情况，故拆法为6种；
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
●7、（2007年北京文科·15题·12分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（）若，求；（）若，求正数的取值范围．
解：（）由，得．
（）．
由，得，，又，所以，即的取值范围是．
五、课后提高练习：
二、典例剖析：
★【题1】、(2006年·辽宁·T1·5分）设集合A=｛1，2｝，则满足A∪B=｛1,2,3｝的集合B的个数为( C ) A 1 B3 C4 D 8
★【题2】、(2006年·辽宁·T5·5分）设⊕是R上的一个运算,A是R上的非空子集,若对任意的a、b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（C）
★【题7】、已知集合P=｛x|x2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x2-(b+2)x+2b≤0｝且有PQ，求实数b的取值范围。(答案：{b|1≤b≤4}）
★【题8】、若全集I=R，(x),g(x)均为x的二次函数，且P=｛x|(x)<0｝,Q=｛x| g(x)≥0,｝则不等式组的解集可用P、Q表示为___( P∩CRQ)
问：（Ⅰ）用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）对集合，，，如果使k Z,那么，，所表示的集合分别是什么？并说明与的关系。

高中数学高考数学专题总复习全套课件

函数的性质
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性、对称性等。这些性质描述了函数在不同区间上的变化规律和特征。
导数的概念与运算
导数的定义
导数是函数在某一点处的切线斜率，表示函数在该点的变化率。导数是通过极限来定义的，是微积分的基本概念之一。
导数的运算
导数的运算是微积分的基本技能之一，包括求导法则、链式法则、乘积法则、商的导数等。通过这些法则，可以求出函数的导数，进而研究函数的单调性、极值等性质。
06
数列的综合应用与不等式
数列的应用题
如求和、求通项、判断数列的单调性等。
数列与不等式的结合
如利用放缩法证明不等式等。
数列中的最值问题
如求最大值、最小值等。
06
立体几何
空间几何体的结构与三视图
总结词
掌握空间几何体的结构特点和三视图的基本概念。
空间几何体的结构
了解常见的空间几何体，如长方体、球、圆锥、圆柱等，掌握其结构特点，如长方体的六个面都
表面积计算
了解常见空间几何体的表面积计算公式，如长方体、球、圆锥、圆柱等，掌握如何利用公式计算表面积。
体积计算
了解常见空间几何体的体积计算公式，如长方体、球、圆锥、圆柱等，掌握如何利用公式计算体积。
07
计数原理与概率统计
计数原理
分类加法计数原理
在解决计数问题时，如果事件的发生具有互斥性，则可用分类加法计数原理来计算事件发
圆锥曲线
总结词
重点与难点
详细描述
圆锥曲线是平面解析几何中的重点与难点，包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程和几何性质。这些知识点需要深入理解，并能够灵活运用解决相关问题。
参数方程与极坐标

上海高考数学复习全套讲义

图图 1-4 3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作 A B ，读作 A 并 B，如图 1-3 所示。 4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作 C U A ，读作 A 补，如图 1-4 所示。德摩根公式：
CU ( A B) CU A CU B; CU ( A B) CU A CU B .
图 2-4 二定义域题型 (一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：在
f ( x) 中 f ( x) 0 ；在
g ( x) 中， f ( x) 0 ； f ( x)
0
在 log a f ( x) 中， f ( x) 0 ；在 tan f ( x) 中， f ( x) k 在
2
x 是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。 2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】 {大于 2 小于 5 的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。 (三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。 1．子集：如果属于 A 的所有元素都属于 B，那么 A 就叫做 B 的子集，记作： A B ，如图 1-1 所示。图 1-1 子集有两种极限情况：(1)当 A 成为空集时，A 仍为 B 的子集； (2)当 A 和 B 相等时，A 仍为 B 的子集。真子集：如果所有属于 A 的元素都属于 B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于 A，那么 A 叫做 B 的真子集，记作 A

2
；在 f ( x) 中， f ( x) 0 ；

暑期-讲义-数学-学生版

3 基本初等函数
45
3.1 一次函数与二次函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 三次函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
好未来智慧教育事业群（Smart Education Group，简称 SEG）专心从事智慧教育，开展对公教学教研、信息化，制定一体化解决方案等合作.SEG 秉承教学教研是核心、信息化是支撑、制度机制是保障的核心理念，为公立校提供覆盖小学、初中、高中的整体解决方案.
SEG 高中产品主要包含竞赛自招产品、高考冲刺培尖、培优等系列产品，为学生提供高考命题研究、政策指导、课程教学等服务. 截止 2019 年，SEG 共服务学校 429 所，其中全国百强校 43 所，服务 3290 个班级的课程. 同时，为全国近百个区域/学校提供智慧教育一体化解决方案.
编委：崔用亮中科院硕士，高考数学 146 分好未来大 S 级老师好未来目标清华北大班主讲老师所带学生中超过 100 位考入清华北大撰写教师笔记超过 2000000 字，形成 3 本教学著作在《中学数理化》等杂志发表论文数篇
王宏斌好未来 S 级教师，高考数学 142 分好未来目标清华北大班主讲老师所带学生中超过 100 位考入清华北大 SEG· 高考产品专家组成员 SEG· 高考政策研究专家组成员
1.1 函数概念
1.1.2 函数定义
概念基础 . 函数
设 A 、B 是
的
一个数 x ，在集合 B 中都有

高中数学全套讲义选修2-3 正态分布基础学生版

目录第九讲：正态分布.......................................................................................................... 错误!未定义书签。

考点一：正态分布 (2)题型一、正态分布综合题型 (3)课后综合巩固练习 (5)考点一：正态分布(1)概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． (2)正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．(1)q p =-．题型一、正态分布综合题型1．（2016•绵阳模拟）设随机变量(,1)N ξμ-，若不等式20x -对任意实数x 都成立，且1()2P a ξ>=，则μ的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．（2016•抚州模拟）设随机变量2~(,)N ξμσ，对非负数常数k ，则(||)P k ξμσ-的值是( ) A ．只与k 有关B ．只与μ有关C ．只与σ有关D ．只与μ和σ有关3．（2019春•邢台期末）现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩ξ服从正态分布2(520,)N σ，已知(470570)0.8P ξ=，则成绩高于570的学生人数约为( ) A ．1200B ．2400C ．3000D ．15004．（2019春•河南期末）某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布(1N ，23)，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间(4,7)内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，(22)95.45%)(P μσξμσ-<<+= )A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56%5．（2019春•顺德区期末）某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70．经计算得101153.710i i x x ===∑，9.9s == 生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%．（Ⅰ）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若2~(,)X N μσ，(0.6827)P X μσμσ-<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<+≈课后综合巩固练习1．（2019春•上高县校级月考）已知两个正态分布密度函数22()2()(2i i x i ix e x R μσϕπσ--=∈，1i =，2)的图象如图所示，则( )A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ>，12σσ>C ．12μμ<，12σσ>D ．12μμ>，12σσ>2．（2019春•南昌期末）某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X 服从正态分布(75,121)N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为( )人．（参考数据()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544)P X μσμσ-<<+= A ．261B ．341C ．477D ．6833．（2019春•许昌期末）某次高二数学联考测试中，学生的成绩X 服从正态分布(100，2)(0)σσ>，若X 在(85,115)内的概率为0.75，任意选取一名学生，则该生数学成绩高于115的概率为．4．（2019春•五华区校级月考）某工厂抽取了一台设备A 在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）计算该样本的平均值x ，方差2s ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均值，2σ近似为样本方差2s ．任取一个产品，记其质量指标值为X ．若||X μσ-，则认为该产品为一等品；||2X σμσ<-，则认为该产品为二等品；若||2X μσ->，则认为该产品为不合格品．已知设备A 正常状态下每天生产这种产品1000个．()i 用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%？()ii 某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A 换得生产相同产品的改进设备B ．经测试，设备B 正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%．若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B ？参考数据：①()0.6826P X μσμσ-<+=；②(22)0.9544P X μσμσ-<+=；③(33)0.9974P X μσμσ-<+=12.2≈．5．（2019春•龙岩期末）《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、18%、22%、22%、18%、7%、3%，选考科目成绩计人考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71.80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩ξ基本服从正态分布(70,169)N ．（1）求化学原始成绩在区间(57,96)的人数；（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[71，90]的人数，求事件2X ”的概率（附：若随机变量2~(,)N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=、(33)0997)P μσξμσ-<<+=。

高三数学总复习讲义集合

高三数学总复习讲义——集合一、知识清单：1.元素与集合的关系:用∈或∉表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示;A 是B 的子集记为A ⊆B ；A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.6．交集A∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集.7.集合运算中常用结论:①;A B A B A ⊆⇔= A B A B B ⊆⇔= ②()()();U U U A B A B = 痧 ()()()U U U A B A B = 痧 ③()()card A B card A =+ ()()card B card A B - 二、课前预习1．下列关系式中正确的是（）(A){}Φ⊆Φ (B){}0∈Φ (C)0{}Φ= (D)0{}⊆Φ2． 3231x y x y +=⎧⎨-=⎩解集为______.3．设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B = ,求实数a 的值.4．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( ) (A){a }=M (B)M Ü{a } (C){a }ÝM (D)M ⊇{a }5．集合A={x |x =3k -2，k ∈Z}，B={y |y=3n +1，n ∈Z}，S={y |y =6m +1，m ∈Z}之间的关系是( ) (A)S ÜB ÜA (B)S=B ÜA (C)S ÜB=A (D)S ÝB=A6．用适当的符号()∈∉、、=、、茌填空： ①π___Q ; ②{3.14}____Q ;③-R ∪R +_____R; ④{x |x =2k +1, k ∈Z}___{x |x =2k －1, k ∈Z}。

上海高考数学复习全套讲义

上海高考数学复习全套讲义上海高考数学复习全套讲义面对即将到来的高考，许多学生都感到焦虑和紧张。

对于数学这门科目，有些人觉得它难如登天，而有些人则觉得它不过是小菜一碟。

无论大家的数学基础如何，只要大家认真阅读本文，按照本文所提供的方法进行复习，相信大家一定能够在高考中取得优异的成绩。

首先，我们需要明确数学高考所考察的内容。

根据历年高考的命题趋势，数学高考主要考察数与代数、空间与几何、概率与统计等方面的知识。

其中，数与代数、空间与几何是数学高考的两大重点，而概率与统计则相对较为简单。

因此，在复习时，我们应该将重点放在数与代数、空间与几何上。

针对数与代数，我们需要掌握初中和高中所学习的所有数学知识，尤其是整数、有理数、一元二次方程等基础知识的运用。

同时，我们还需要掌握一些数学思想和解题方法，如分类讨论、函数思想等。

在复习时，我们可以结合历年高考的数与代数题目进行练习，加深对知识点的理解和掌握。

针对空间与几何，我们需要掌握平面几何、立体几何等基础知识，尤其是三角形、四边形、圆等图形的性质和面积、体积的计算方法。

同时，我们还需要掌握一些几何证明的方法和技巧，如逆证法、反证法等。

在复习时，我们可以结合历年高考的空间与几何题目进行练习，加深对知识点的理解和掌握。

针对概率与统计，我们需要掌握概率论、统计学等基础知识，尤其是随机事件、概率分布、统计图表等知识的理解和运用。

在复习时，我们可以结合历年高考的概率与统计题目进行练习，加深对知识点的理解和掌握。

除了以上所提到的知识点，我们还需要注意一些解题技巧和方法的运用。

例如，在解答选择题时，我们可以利用排除法、特殊值法等技巧来快速得到答案；在解答填空题时，我们可以利用直接法、分析法等技巧来准确求解；在解答大题时，我们可以利用综合法、分类讨论法等技巧来逐步解决问题。

最后，我们需要注意一些复习方法和技巧。

首先，我们需要制定科学的复习计划，合理安排时间，做到有的放矢。

其次，我们需要注重练习和实践，通过做题来加深对知识点的理解和掌握。

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