初中数学平面几何解答题专题练习

平面几何解答题专题练习
资料整理：沈于童老师
高频考察知识点：
一、全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
二、等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
三、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
四、等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角
形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
历年真题：
1. （13-14一中月考）如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，B、C、E在同一直线上，
AE、BD交于点G，AC交BD于M，CD交AE于N，连接CG．
（1）若AB＝2，DE＝5，求AE的长．
（2）求证：EG＝CG+DG．
2.（17-18西附月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，AD＝BD，且
AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF ⊥CD交BC于点F．
（1）若BD＝DE=√5，CE=√2，求BC的长；
（2）若BD＝DE，求证：BF＝CF．
3. （17-18一外期中）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，过C作AB边上的高CD，H为BC
边上的中点，连接DH，CD上有一点F，且AD＝DF，连接BF并延长交AC于E，交DH 于G．
（1）若AC＝5，DH＝2，求DF的长．
（2）若AB＝CB，求证：BG=√2AE．
4. （17-18八中期中）在Rt△ABC中∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线
段AB上一点，连接DE，BF平分∠ABC交AC于点F
（1）如图1，连接EF，当∠C＝∠BEF，DE=√6，BC＝1时，求BD的长；
（2）如图2，AC＝DE，BC＝BE，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点．连接AH交BD于点K，连接KG，当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
5.（17-18巴南区期末）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB
＝90°．
（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝3√3，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；
（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．
6.（17-18九龙坡区期末）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，直线l经过点C，
AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．
（1）求证：△ACF≌△CBE；
（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE．若AB＝4√2，∠CBE＝30°，求DE的长．
7. （17-18沙坪坝区期末）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边BC上
任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E．
（1）如图1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求线段BD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF＝CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM＝BM．
好题练习：
1. △ABC为等边三角形，以AB边为腰作等腰Rt△ABD．AC与BD交于点E，连CD．
（1）如图1，若BD＝2√2，求AE的长；
（2）如图2，F为线段EC上一点．连接DF并以DF为斜边作等腰直角三角形DFG，连接BF、AG，M为BF的中点，适接MG．求证：AM⊥MG．
2. 如图（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点
D，BE⊥MN于点E．
（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE．
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．
3.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰BC上的中线，CE⊥AD交AB
于点E，连接ED，过点D作DF⊥AB于点F，
（1）S△ACD S△ABD．（填“＞”、“＜”或“＝”）若AC：AB＝1：√2，则DC：DF＝：．（2）如图2，过点C作CM⊥AB，垂足为M，CM交AD于点N，求证：∠CDA＝∠EDB．
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连
接AD，点M为AC上一点，且AM＝CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．（1）若AB＝3，AD=√10，求△BMC的面积；
（2）点E为AD的中点时，求证：AD=√2BN．
难题练习：
1. （1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD
到点G，使DG＝BE，连结EF，AG．求证：EF＝FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的长．
2. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上
的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．
3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证AE+CF＝EF；
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
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