第六章第四节 抛体运动的规律

但是,斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同,分别是v x =v cos θ和v y
=v sin θ。因此,斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ的匀速直线运动和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动。
6.斜抛物体的位置随时间变化的规律
如图6-58,物体以初速度v斜向上抛出,我们以物体离开手
y =-
2
2
cos 2(x v g θ+tan θ·x。
根据数学知识我们知道,函数方程y =-ax 2+bx +c代表一条开口向下的抛物线。因此,斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下讨论:
⑴数学知识告诉我们,对y =-ax 2
+bx +c ,当x =a
b 2时, y有最大值y m =
a
b
42
+c。
g
v 2
2。
除了上面的研究方案外,我们还可以发现,炮弹的运动轨迹对经过最高点的竖直线是左右对称的。这启发我们:是不是可以将斜抛运动转化为平抛运动来分析处理呢?有兴趣的同学不妨一试。
请思考:运动员在投掷铅球、标枪时,应把投射角控制在什么角度为好?运动员的身高对他的投掷成绩有没有影响?
你能进一步推导出这种斜抛运动的轨迹方程吗?请试一试!
第六章第四节抛体运动的规律
从理论上对抛体运动的规律做进一步的分析。抛体的运动发生在平面内,需要在x、y两个方向上分别进行受力分析,在两个方向上分别应用牛顿定律和运动学的规律,然后再根据要求综合处理。
1.分解平抛运动的理论依据
通过上节的实验探究,我们得到了这样的结论:平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动,水平方向的分运动是匀速直线运动。
这个结论还可从理论上得到论证:物体以一定初速度v水平抛出后,物体只受到重力的作用,方向竖直向下,根据牛顿第二定律,物体的加速度方向与所受合外力方向一致,大小为a =mg/m=g ,方向竖直向下;由于物体是被水平抛出的,在竖直方向的初速度为零。所以,平抛运动的竖直分运动就是自由落体运动。而水平方向上物体不受任何外力作用,加速度为零,所以水平方向的分运动是匀速直线运动,速度大小就等于物体抛出时的速度v。2.平抛物体的位置随时间变化的规律
y =
2
2v
g x 2
是平抛运动物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程,我们称之为平
抛运动的轨迹方程。由此方程可知,这是一个顶点在原点、开口向下的抛物线方程。4.平抛物体的速度随时间变化的规律
由平抛运动的特点不难得到:初速度为v的平抛运动,经过时间t后,其水平分速度v x
=v ,竖直分速度v y =gt。
如图6-57所示,以物体水平抛出时的位置为坐标原点,以水平抛出的方向为x轴的正方向,竖直向下的方向为y轴的正方向,建立坐标系,并从这一瞬间开始计时。
因平抛运动水平方向的分运动为匀速直线运动,故平抛物体的水平坐标随时间变化的规律是x =vt ;
因平抛运动竖直方向的分运动为自由落体运动,故平抛物体的竖直坐标随时间变化的规律是y 1
的加速度a =g ,方向竖直向下。注意,与平抛运动不同的是,小球在竖直方向的初速度并
不为零,而是等于v y =v sin θ,由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的关系为y =v y t 12 at 2=vt sin θ-12 gt 2
。
7.斜抛物体的运动轨迹
从以上两式中消去t ,可得
2
gt 2。
物体的位置可用它的坐标x、y来描述。所以,以上两式确定了平抛物体在任意时刻t的位置。
3.平抛物体的运动轨迹
从以上两式中消去t ,可得y =2
2v
g x 2,
式中g、v都是与x、y无关的常量,所以
2
2v
g也是常量。这正是初中数学中的抛物线方程y
=ax 2
。实际上,二次函数的图像叫做抛物线,就是来源于此!
斜向射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大,当然路线也不再是抛物线,而是所谓“弹道曲线”。理论计算表明,以610m/s速度射出的炮弹,在不计空气阻力的空间其最大射程可达38km ,炮弹将在空中划出一条高9.5km的巨大弧线,而实际炮弹在空气中只能飞行4km左右,其
8.抛体受空气阻力时的运动轨迹
我们在讨论抛体运动的位置、轨迹以及速度等问题时,都没有考虑空气阻力的影响,即讨论的是理想抛体运动。
实际上,物体在空气中运动会受到阻力,且阻力与物体运动速度的大小有密切关系:物体的速度低于200m/s时,可认为阻力与物体速度大小的平方成正比;速度达到400~600m/s时,空气阻力和速度大小的三次方成正比;在速度很大的情况下,阻力与速度大小的高次方成正比。由于空气阻力的影响,物体以较大的速度斜向上抛出后,其运动轨迹会形成不均等的弧形,升弧较长而直伸,降弧则较短而弯曲。
根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度(即合速度大小
v=2
222
2
t
g v v v y x +
=
+,
设这个时刻物体的速度与竖直方来自百度文库的夹角为θ,则有
图6-57
tan θ=
x
y v v =
v
gt。
5.斜抛运动的分解
如果物体抛出时的速度v不沿水平方向,而是斜向上方或斜向下方的(这种情况常称为斜抛,它的受力情况与平抛完全相同,即在水平方向仍不受力,加速度仍是零,在竖直方向仍只受重力,加速度仍为g。
所以,对上述斜抛运动轨迹方程,当
x=
g
v v g θ
θθ2sin cos 2(2tan 2
2
=
⋅
时, y有最大值y m =
g
v v g θ
θθ2
22
2
sin
cos 2(4tan =
⋅
。
对于炮弹的运动而言,此即弹道曲线最高点的位置坐标,也常称作射高。
x v y图6-58
⑵设斜抛运动轨迹方程中的y =0,则有
x1=0, x 2=
g
v g
v θ
θ
θ2sin 2cos sin 42
2
=
,
式中x 2的物理意义是斜上抛运动的水平射程(如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离。由此式可以知道,要增大射程,一是要增大发射速度,二是适当调节抛射方向,由水平射程表达式可知,在v一定时,当θ=45°(θ常称作投射角时,水平射程有最大值x m =
的位置为坐标原点,以水平抛出的方向为x轴的正方向,竖直向下的方向为y轴的正方向,建立坐标系,并从这一瞬间开始计时。物体在水平方向不受任何外力的作用,所以物体在水平方向做匀速直线运动,速度v x =v cos θ,则物体位置的横坐标随时间变
化的规律为x =v x t =vtcos θ;
物体在竖直方向只受重力作用,由牛顿第二定律可知,物体