高考数学第二轮专题复习 复数教学案

2011年高考第二轮专题复习（教学案）：复数

考纲指要：

了解引进复数的必要性，理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

考点扫描：

1.数的概念的发展;复数的有关概念.

2.复数的向量表示.

3.复数的加法与减法，乘法与除法.

考题先知：

例1 。 设1990=n ，求

)333331(2

11990

1990198899463422n n n n n n

C C C C C -++-+- 的值。 分析：将所求式子变形为

1990

199019881988664422333331(2

1n n n n n n C C C C C A -++-+-=

，显然它是 n

n

i )31(2

1+-的展开式的部分之和，即复数的实部。不妨取展开式的其余的项的和为A 的对偶式i C C C C C B n n n n n n )33333(2

11989

19891987198755331-++-+-= 。

则i i B A n n n 2321)31(21663

3+-====+-=

+⨯ωωωω，所以2

1=

A . 例2．复平面内点A 对应的复数是1,过点A 作虚轴的平行线l ,设l 上的点对应的复数为z ,

求

z

1

所对应的点的轨迹. 分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A 的坐标为(1,0),l 过点A 且

平行于虚轴,所以直线l 上的点对应的复数z 的实部为1,可设为z =1+b i(b ∈R ),然后再求

z

1

所对应的点的集合.

解:如下图.因为点A 对应的复数为1,直线l 过点A 且平行于虚轴,所以可设直线l 上的点对应的复数为z =1+b i(b ∈R

).

因此i b z +=

11

1i 1111i 12

22b b b b +-+=+-=.[来源:] 设

z

1

=x +y i(x 、y ∈R ),于是 x +y i=2

2111b

b

b +-+i.

根据复数相等的条件,有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+=.

1,1122

b b y b x

消去b ,有x 2

+y 2

=

22

22)1()1(1b

b b +-++ =22222)1()1(1b b b +++=2

22211)1(1b

b b +=++=x . 所以x 2

+y 2

=x (x ≠0), 即(x －21)2+y 2=4

1

(x ≠0). 所以

z 1所对应的点的集合是以(21,0)为圆心,2

1

为半径的圆,但不包括原点O (0,0). 评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x ,y ).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x ,y )所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x 、y 的范围可由参数函数的值域来确定. [来源:]

复习智略：

例3．对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，定义)sin (cos 3)(y i y z g x

+=。 (1) 若3)(=z g ，求相应的复数z ；

（2）若),(R b a bi a z ∈+=中的a 为常数，则令)()(b f z g =，对任意b ，是否一定有常数)0(≠m m 使得)()(b f m b f =+？这样的m 是否唯一？说明理由。 （3）计算)2

1(),4

1(),4

2(i g i g i g π

π

π

+

+

-+

，并设立它们之间的一个等式。由此发现一个

一般的等式，并证明之。

解：（1）由⎩⎨⎧==0sin 33cos 3y y x x ，得⎩⎨⎧==331cos x y 则⎩⎨⎧

∈==Z k k y x ,21π故Z k ki z ∈+=,21

（2） )()(b f m b f =+，得⎩

⎨⎧=+=+b m b b m b a

a a a sin 3)sin(3cos 3)cos(3即⎩⎨⎧=+=+

b m b b

m b sin )sin(cos )cos( ∴Z k k m ∈=,2π，所以m 是不唯一的。[来源:]

（3）)2222(

9)4

2(i i g +=+

π

，)2222(31)41(i i g +=+-π，i i g 3)2

1(=+π； ∴)2

1()4

1()4

2(i g i g i g π

π

π

+

=+

-+

一般地，对任意复数21z z 、，有)()()(2121z z g z g z g +=。 证明：设i y x z 111+=，i y x z 222+=),(2,12,1R y x ∈

)sin (cos 3)(1111y i y z g x +=，)sin (cos 3)(2222y i y z g x += )]sin()[cos(3)(21212121y y i y y z z g x x +++=++

∴)()()(2121z z g z g z g +=。

[来源:学|科|网] 检测评估：

1,若非零复数,x y 满足2

2

0x xy y ++=,则20052005

(

)()x y x y x y

+++的值是 A,1 B,1- C,2004

2 D,2004

2

-

2,设复数z 的共轭复数是z ,且1z =,又(1,0)A -与(0,1)B 为定点,则函数()f z =︱

(1)z +

()z i -︱取最大值时在复平面上以z ,A,B 三点为顶点的图形是

A,等边三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形

3．已知,x C ∈且1,x =则()2

1f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭的最小值 （ ）[来

源:]

A ．等于 -2

B ．等于 0

C ．等于 -4

D ．不存在

4．设复数(),z x yi x y R =+∈，则满足等式20z x ++=的复数z 对应的点的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

5.设f (n )=(

i i -+11)n +(i

i +-11)n

,n ∈N,如果A ⊆{f (n )},则满足条件的集合A 有 A.8个 B.7个 C.3个 D.无穷多个