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反三角函数的概念和运算·典型例题

【例1】回答下列问题：

(3)π-arcsinx是什么范围内的角？

(2)∵0≤arccosx≤π，3∈〔0，π〕∴arccosx=3有解x=cos3而

(4)∵cos(arccosx)=xx∈〔-1，1〕

[ ]

由选择题的唯一性知应选C．

【说明】本题考查对反正弦函数的概念的理解．题目给的θ∈

要灵活运用诱导公式加以变形，使得角进入主值区间且函数值可用已知表示，不能顾此失彼．解法二用的是排除法．

【分析】由于已知函数的定义域不在反正弦函数的主值区间内，因此不能直接用反正弦函数表示，要先用诱导公式解决角．

由y=2sinx=2sin(π-x)

[ ]

(1994年全国高考试题，难度0.50)

故已知函数的值域应选B．

【说明】本题采用由函数的内层到外层逐步解决的方法．最易出错的地方是sinx的取值范围，观察正弦函数的图象，采用数形结合进行

【例5】求函数y=arccos(x2-x)的单调减区间．

【分析】注意到已知函数是由函数u=x2-x和函数y=arccosu复合而成的，因此要先求定义域，再根据求复合函数单调区间的规律来解决．

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A．y=arcsin(sin2x)

B．y=2arcsin(sinx)

C．y=sin(arcsin2x)

D．y=2sin(arcsinx)

【分析】此题要从选项入手，主要考察反三角函数基本关系式成立的条件，可采用逐项验证的方法．

解：由基本关系式sin(arcsinx)=xx∈〔-1，1〕C．和D．的定义域

∴y=2arcsin(sinx)=2x选B．．否定A．

数，它可以是角的弧度数，也可以是三角函数的值，要正确理解．【例7】求下列各式的值

原式=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

【说明】第(1)题考查特殊值的反三角函数值及特殊角的三角函数值，按照由内及外的顺序运算即可．后三个小题采用设辅助角的方法，要注意角的范围，4个小题都是反三角函数的三角运算．

【例8】求下列各式的值

(2)arcsin(cos5)

【分析】该题型是三角函数的反三角运算，为合理的使用反三角函数基本关系式创造条件，需要灵活运用诱导公式．

【说明】把已知角的三角函数转化为反三角函数主值区间上的角的三角函数，要注意两方面，一是函数名称的变化，二是角的范围的变化，而这正是诱导公式具有的功能．

【分析】此题是关于角相等的证明题．一般采用转化的思想方法，即证明它们的同名三角函数值相等且角的范围是在同一单值对应区间．

【说明】此类题目也可改为求值题，在确定角的范围时有可能遇到困难，不足以保证角的唯一性，这时要根据各种条件将范围缩小，要掌握这种技能，保证推理的严谨性和计算的准确性．

【例10】求满足下列条件的x的取值集合

(1)arccos(1-x)≥arccosx

(2)arccos(-x)＜2arccosx

【分析】要注意两点：定义域和单调性

(2)∵arccos(-x)=π-arccosx ∴π-arccosx＜2arccosx