高2020届高2017级创新设计高考总复习数学人教A版第六章 第3节
2020版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第六章第4节

第4节 数列求和最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式;2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式: S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式:S n =⎩⎨⎧na 1,q =1,a 1-a n q 1-q=a 1(1-q n )1-q ,q ≠1W.2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. [微点提醒]1.1+2+3+4+…+n =n (n +1)2. 2.12+22+…+n 2=n (n +1)(2n +1)6.3.裂项求和常用的三种变形 (1)1n (n +1)=1n -1n +1.(2)1(2n -1)(2n +1)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1. (3)1n +n +1=n +1-n .基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +11-q .( )(2)当n ≥2时,1n 2-1=12(1n -1-1n +1).( ) (3)求S n =a +2a 2+3a 3+…+na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列a 1,a 2-a 1,…,a n -a n -1是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{a n }的通项公式是a n =3n -12.( )解析 (3)要分a =0或a =1或a ≠0且a ≠1讨论求解. 【参考答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(必修5P47B4改编)数列{a n }中,a n =1n (n +1),若{a n }的前n 项和为2 0192 020,则项数n 为( ) A.2 018B.2 019C.2 020D.2 021解析 a n =1n (n +1)=1n -1n +1,S n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=n n +1=2 0192 020,所以n =2019.【参考答案】B3.(必修5P56例1改编)等比数列{a n }中,若a 1=27,a 9=1243,q >0,S n 是其前n 项和,则S 6=________.解析 由a 1=27,a 9=1243知,1243=27·q 8, 又由q >0,解得q =13, 所以S 6=27⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1361-13=3649.【参考答案】36494.(2018·东北三省四校二模)已知数列{a n }满足a n +1-a n =2,a 1=-5,则|a 1|+|a 2|+…+|a 6|=( ) A.9B.15C.18D.30解析 由题意知{a n }是以2为公差的等差数列,又a 1=-5,所以|a 1|+|a 2|+…+|a 6|=|-5|+|-3|+|-1|+1+3+5=5+3+1+1+3+5=18. 【参考答案】C5.(2019·昆明诊断)已知数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,b n -a n =2n +1,且S n +T n =2n +1+n 2-2,则2T n =________________.解析 由题意知T n -S n =b 1-a 1+b 2-a 2+…+b n -a n =n +2n +1-2, 又S n +T n =2n +1+n 2-2,所以2T n =T n -S n +S n +T n =2n +2+n (n +1)-4. 【参考答案】2n +2+n (n +1)-46.(2019·河北“五个一”名校质检)若f (x )+f (1-x )=4,a n =f (0)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +…+f ⎝⎛⎭⎪⎫n -1n +f (1)(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为________.解析 由f (x )+f (1-x )=4,可得f (0)+f (1)=4,…,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +f ⎝⎛⎭⎪⎫n -1n =4,所以2a n =[f (0)+f (1)]+⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +f ⎝⎛⎭⎪⎫n -1n +…+[f (1)+f (0)]=4(n +1),即a n =2(n +1). 【参考答案】a n =2(n +1)考点一 分组转化法求和【例1】 (2019·郴州质检)已知在等比数列{a n }中,a 1=1,且a 1,a 2,a 3-1成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =2n -1+a n (n ∈N *),数列{b n }的前n 项和为S n ,试比较S n 与n 2+2n 的大小.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , ∵a 1,a 2,a 3-1成等差数列,∴2a 2=a 1+(a 3-1)=a 3,∴q =a 3a 2=2,∴a n =a 1q n -1=2n -1(n ∈N *).(2)由(1)知b n =2n -1+a n =2n -1+2n -1,∴S n =(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n -1+2n -1) =[1+3+5+…+(2n -1)]+(1+2+22+…+2n -1) =1+(2n -1)2·n +1-2n 1-2=n 2+2n -1.∵S n -(n 2+2n )=-1<0,∴S n <n 2+2n .规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n =a n ±b n ,且{a n },{b n }为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n =⎩⎨⎧a n ,n 为奇数,b n ,n 为偶数,其中数列{a n },{b n }是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练1】 (2019·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S 3+S 4=S 5.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(-1)n -1a n ,求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由S 3+S 4=S 5可得a 1+a 2+a 3=a 5,即3a 2=a 5, ∴3(1+d )=1+4d ,解得d =2. ∴a n =1+(n -1)×2=2n -1. (2)由(1)可得b n =(-1)n -1·(2n -1).∴T 2n =1-3+5-7+…+(2n -3)-(2n -1)=(-2)×n =-2n . 考点二 裂项相消法求和【例2】 (2019·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=8,S n =a n +12-n -1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2×3n a n a n +1的前n 项和T n .解 (1)∵a 2=8,S n =a n +12-n -1, ∴a 1=S 1=a 22-2=2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=a n +12-n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2-n ,即a n +1=3a n +2,又a 2=8=3a 1+2, ∴a n +1=3a n +2,n ∈N *, ∴a n +1+1=3(a n +1),∴数列{a n +1}是等比数列,且首项为a 1+1=3,公比为3, ∴a n +1=3×3n -1=3n ,∴a n =3n -1.(2)∵2×3n a n a n +1=2×3n (3n -1)(3n +1-1)=13n -1-13n +1-1. ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2×3n a n a n +1的前n 项和T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫13-1-132-1+⎝ ⎛⎭⎪⎫132-1-133-1+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1-13n +1-1=12-13n +1-1.规律方法 1.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.2.将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练2】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知S 3=a 7,a 8-2a 3=3. (1)求a n ;(2)设b n =1S n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧3a 1+3d =a 1+6d ,(a 1+7d )-2(a 1+2d )=3,解得a 1=3,d =2,∴a n =a 1+(n -1)d =2n +1. (2)由(1)得S n =na 1+n (n -1)2d =n (n +2), ∴b n =1n (n +2)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2.∴T n =b 1+b 2+…+b n -1+b n=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-14+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-1n +1-1n +2 =34-12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1+1n +2.考点三 错位相减法求和【例3】 已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n ,已知S 2n +1=b n b n +1,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q , 由题意知⎩⎨⎧a 1(1+q )=6,a 21q =a 1q 2, 又a n >0,解得⎩⎨⎧a 1=2,q =2,所以a n =2n .(2)由题意知:S 2n +1=(2n +1)(b 1+b 2n +1)2=(2n +1)b n +1,又S 2n +1=b n b n +1,b n +1≠0,所以b n =2n +1. 令c n =b na n,则c n =2n +12n ,因此T n =c 1+c 2+…+c n =32+522+723+…+2n -12n -1+2n +12n ,又12T n =322+523+724+…+2n -12n +2n +12n +1,两式相减得12T n =32+⎝ ⎛⎭⎪⎫12+122+…+12n -1-2n +12n +1, 所以T n =5-2n +52n .规律方法 1.一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“S n -qS n ”的表达式.【训练3】 已知等差数列{a n }满足:a n +1>a n (n ∈N *),a 1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,a n +2log 2b n =-1. (1)分别求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则d >0,由a 1=1,a 2=1+d ,a 3=1+2d 分别加上1,1,3后成等比数列, 得(2+d )2=2(4+2d ),解得d =2(舍负),所以a n =1+(n -1)×2=2n -1. 又因为a n +2log 2b n =-1,所以log 2b n =-n ,则b n =12n . (2)由(1)知a n ·b n =(2n -1)·12n , 则T n =121+322+523+…+2n -12n ,① 12T n =122+323+524+…+2n -12n +1,② 由①-②,得12T n =12+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122+123+124+…+12n -2n -12n +1.∴12T n =12+2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -11-12-2n -12n +1, ∴T n =1+2-22n -1-2n -12n =3-4+2n -12n =3-3+2n2n.[思维升华]非等差、等比数列的一般数列求和,主要有两种思想1.转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成;2.不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. [易错防范]1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时,要注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少项则后剩多少项.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24B.-3C.3D.8解析 设{a n }的公差为d ,根据题意得a 23=a 2·a 6,即(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ),解得d =-2,所以数列{a n }的前6项和为S 6=6a 1+6×52d =1×6+6×52×(-2)=-24. 【参考答案】A2.数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n -1·(4n -3),则它的前100项之和S 100等于( ) A.200B.-200C.400D.-400解析 S 100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200. 【参考答案】B3.数列{a n }的通项公式是a n =1n +n +1,前n 项和为9,则n 等于( )A.9B.99C.10D.100解析 因为a n =1n +n +1=n +1-n ,所以S n =a 1+a 2+…+a n =(n +1-n )+(n -n -1)+…+(3-2)+(2-1)=n +1-1, 令n +1-1=9,得n =99. 【参考答案】B 4.(2019·合肥调研)已知T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n +12n 的前n 项和,若m >T 10+1 013恒成立,则整数m 的最小值为( ) A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析 ∵2n +12n =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n,∴T n =n +1-12n ,∴T 10+1 013=11-1210+1 013=1 024-1210, 又m >T 10+1 013恒成立, ∴整数m 的最小值为1 024. 【参考答案】C5.(2019·厦门质检)已知数列{a n }满足a n +1+(-1)n +1a n =2,则其前100项和为( ) A.250B.200C.150D.100解析 当n =2k (k ∈N *)时,a 2k +1-a 2k =2,当n =2k -1(k ∈N *)时,a 2k +a 2k -1=2,当n =2k +1(k ∈N *)时,a 2k +2+a 2k +1=2,∴a 2k +1+a 2k -1=4,a 2k +2+a 2k =0,∴{a n }的前100项和=(a 1+a 3)+…+(a 97+a 99)+(a 2+a 4)+…+(a 98+a 100)=25×4+25×0=100.【参考答案】D 二、填空题6.已知正项数列{a n }满足a 2n +1-6a 2n =a n +1a n .若a 1=2,则数列{a n }的前n 项和S n =________.解析 由a 2n +1-6a 2n =a n +1a n ,得(a n +1-3a n )(a n +1+2a n )=0, 又a n >0,所以a n +1=3a n ,又a 1=2,所以{a n }是首项为2,公比为3的等比数列, 故S n =2(1-3n )1-3=3n -1.【参考答案】3n -17.(2019·武汉质检)设数列{(n 2+n )a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=154,则数列{3n a n }的前15项和为________.解析 等比数列{(n 2+n )a n }的首项为2a 1=13,第二项为6a 2=19,故公比为13,所以(n 2+n )a n =13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1=13n ,所以a n =13n (n 2+n ),则3n a n =1n 2+n =1n -1n +1,其前n 项和为1-1n +1,n =15时,为1-116=1516. 【参考答案】15168.(2019·福州调研)已知数列{na n }的前n 项和为S n ,且a n =2n ,且使得S n -na n +1+50<0的最小正整数n 的值为________. 解析 S n =1×21+2×22+…+n ×2n ,则2S n =1×22+2×23+…+n ×2n +1,两式相减得 -S n =2+22+ (2)-n ·2n +1=2(1-2n )1-2-n ·2n +1,故S n =2+(n -1)·2n +1. 又a n =2n ,∴S n -na n +1+50=2+(n -1)·2n +1-n ·2n +1+50 =52-2n +1,依题意52-2n +1<0,故最小正整数n 的值为5.【参考答案】5三、解答题9.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n 2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和. 解 (1)当n =1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n 2-(n -1)2+(n -1)2=n . a 1也满足a n =n ,故数列{a n }的通项公式为a n =n .(2)由(1)知a n =n ,故b n =2n +(-1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A =21+22+…+22n ,B =-1+2-3+4-…+2n ,则A =2(1-22n )1-2=22n +1-2, B =(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n -1)+2n ]=n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A +B =22n +1+n -2.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,a n +1=2+S n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1+log 2(a n )2,求证:数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n +1的前n 项和T n <16.(1)解 因为a n +1=2+S n (n ∈N *),所以a n =2+S n -1(n ≥2),所以a n +1-a n =S n -S n -1=a n ,所以a n +1=2a n (n ≥2).又因为a 2=2+a 1=4,a 1=2,所以a 2=2a 1,所以数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列, 则a n =2·2n -1=2n (n ∈N *).(2)证明 因b n =1+log 2(a n )2,则b n =2n +1.则1b n b n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n +3, 所以T n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+15-17+…+12n +1-12n +3 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-12n +3=16-12(2n +3)<16. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2019·广州模拟)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1-a n ≥2(n ∈N *),且S n 为{a n }的前n 项和,则( )A.a n ≥2n +1B.S n ≥n 2C.a n ≥2n -1D.S n ≥2n -1 解析 由题意得a 2-a 1≥2,a 3-a 2≥2,a 4-a 3≥2,…,a n -a n -1≥2, ∴a 2-a 1+a 3-a 2+a 4-a 3+…+a n -a n -1≥2(n -1), ∴a n -a 1≥2(n -1),∴a n ≥2n -1,∴a 1≥1,a 2≥3,a 3≥5,…,a n ≥2n -1,∴a 1+a 2+a 3+…+a n ≥1+3+5+…+2n -1,∴S n ≥n (1+2n -1)2=n 2. 【参考答案】B12.已知数列{a n }中,a n =-4n +5,等比数列{b n }的公比q 满足q =a n -a n -1(n ≥2)且b 1=a 2,则|b 1|+|b 2|+|b 3|+…+|b n |=________. 解析 由已知得b 1=a 2=-3,q =-4,∴b n =(-3)×(-4)n -1,∴|b n |=3×4n -1,即{|b n |}是以3为首项,4为公比的等比数列,∴|b 1|+|b 2|+…+|b n |=3(1-4n )1-4=4n -1. 【参考答案】4n -113.(2017·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑nk =11S k=________. 解析 设等差数列{a n }的公差为d ,则由⎩⎪⎨⎪⎧a 3=a 1+2d =3,S 4=4a 1+4×32d =10,得⎩⎨⎧a 1=1,d =1. ∴S n =n ×1+n (n -1)2×1=n (n +1)2, 1S n =2n (n +1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1. ∴∑nk =11S k =1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+12-13+13-14+…+1n -1n +1 =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1=2n n +1. 【参考答案】2n n +114.(2019·河南、河北两省联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=5,nS n +1-(n +1)S n =n 2+n .(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列; (2)令b n =2n a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .(1)证明 由nS n +1-(n +1)S n =n 2+n 得S n +1n +1-S n n=1, 又S 11=5,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为5,公差为1的等差数列. (2)解 由(1)可知S n n =5+(n -1)=n +4,所以S n =n 2+4n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+4n -(n -1)2-4(n -1)=2n +3. 又a 1=5也符合上式,所以a n =2n +3(n ∈N *), 所以b n =(2n +3)2n ,所以T n =5×2+7×22+9×23+…+(2n +3)2n ,① 2T n =5×22+7×23+9×24+…+(2n +1)2n +(2n +3)2n +1,② 所以②-①得T n =(2n +3)2n +1-10-(23+24+…+2n +1)=(2n +3)2n +1-10-23(1-2n -1)1-2=(2n+3)2n+1-10-(2n+2-8) =(2n+1)2n+1-2.。
高2020届高2017级创新设计高考总复习数学人教A版课件第七章 第2节

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知识衍化体验
考点聚集突破
2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析 连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求的角. 又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°. 答案 C
@《创新设计》
第2节 空间点、直线、平面的位置关系
考试要求 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上, 抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义;2.了解四个公理和一个定理.
1
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
1.平面的基本性质
知识梳理
(1)公理1:如果一条直线上的___两__点__在一个平面内,那么这条直线在此平面内. (2)公理2:过___不__在__同__一__条__直__线__上_的三点,有且只有一个平面. (3)公理3:如果两个不重合的平面有____一__个_公共点,那么它们有突破
基础自测
@《创新设计》
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( ) (4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.( )
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8
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
3.(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习配套课件-第六章 数列 6-2

第六章 数列
(2)由(1)知 bn=n-27,则 an=1+b1n=1+2n-2 7. 设 f(x)=1+2x-2 7, 则 f(x)在区间-∞,72和72,+∞上为减函数. 所以当 n=3 时,an 取得最小值-1, 当 n=4 时,an 取得最大值 3.
高考总复习·文科数学(RJ)
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课 标高考总复习配套课件-第六章 数列 6-2
第六章 数列
1.等差数列的定义 如果一个数列_从__第__2_项__起__,__每__一__项__减__去__它__的__前__一__项__所__得__ 的差都等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数 列,这个常数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 d表示.
(2)∵S4=2+6d=20,∴d=3,故 S6=3+15d=48.
高考总复习·文科数学(RJ)
第六章 数列
(3)∵Sn=n(a1+ 2 an),∴Snn=a1+2 an, 又S33-S22=1,得a1+2 a3-a1+2 a2=1,即 a3-a2=2, ∴数列{an}的公差为 2.
【答案】 (1)B (2)D (3)C
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第六章 数列
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第六章 数列
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第六章 数列
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第六章 数列
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常
数,则这个数列是等差数列.( )
【例 1】 (1)(2015·南昌市模拟测试)在数列{an}中,若 a1=- 2,且对任意的 n∈N*有 2an+1=1+2an,则数列{an}前 10 项的和 为( )
创新设计高考总复习数学人教A版理科

[常用结论与微点提醒] 1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个. 2.子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C. 3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ) (2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( ) (3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) (4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
A.{1,3}
B.{5,6}
C.{4,5,6} D.{4,5,6,7}
解析 A={1,3,7},B={x|x=log2(a+1),a∈A}={1,2,3},又U={1,2,3, 4,5,6,7},∴∁UA={2,4,5,6},∁UB={4,5,6,7},∴(∁UA)∩(∁UB)={4, 5,6}.
答案 C
5.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x, y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________. 解析 集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆 x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素. 答案 2
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习配套课件-第六章 数列 6-1

高考总复习· 文科数学(RJ)
第六章 数列
【解析】 (1)由题意得,当 n≥2 时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) (n-1)(2+n) n(n+1) =2+(2+3+…+n)=2+ = + 2 2 1. 1×(1+1) 又 a1=2= +1,符合上式, 2 n(n+1) 因此 an= +1. 2
高考总复习· 文科数学(RJ)
第六章 数列
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则
其通项公式为____________. 【解析】 当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1] =6n-5, 显然当n=1时,不满足上式.
高考总复习· 文科数学(RJ)
第六章 数列
【思维升华】 根据所给数列的前几项求其通项时,需
仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母 的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征; 符号特征,应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观 察、归纳、联想.
高考总复习· 文科数学(RJ)
第六章 数列
高考总复习· 文科数学(RJ)
第六章 数列
(3) 数列: 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ,…,通项公式只能是 an = 1+(-1)n 1 .( 2
+
)
(4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn,则对∀n∈N*,都有 an+1= Sn+1-Sn.( )
(5)在数列{an}中,对于任意正整数 m,n,am+n=amn+1,若 a1=1,则 a2=2.( )
*
1 ,1,3. 3
(1)若 n=3,则满足条件的所有数列{an}的个数为________; (2)若 n=10,则满足条件的所有数列{an}的个数为________.
2020版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版配套课件第六章 第1节

17
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
考点二 由an与Sn的关系求通项
易错警示
【例2】 (1)(2019·广州质检)已知Sn为数列{an}的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列
{an}的通项公式为________________.
(2)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________.
3
知识衍化体验
考点聚集突破
2.数列的分类 分类标准 项数
项与项间的 大小关系
4
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类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列
摆动数列
满足条件
项数___有__限_______
项数___无__限_______
an+1__>____an
an+1__<____an
其中n∈N*
an+1=an
5
知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
[微点提醒] 1.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,通项公式为 an,则 an=SS1n, -nS= n-11,,n≥2. 2.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与
这些“数”的排列顺序有关. 3.易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的
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知识衍化体验
考点聚集突破
@《创新设计》
5.(2019·北京朝阳区月考)数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式an等于( )
(-1)n+1
A.
2
n+1 C.cos 2 π
B.cos
nπ 2
n+2 D.cos 2 π
2020版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第六章第2节

第2节 等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)若a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a ,b 的等差中项,且A =a +b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d .(2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)d 2=n (a 1+a n )2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n项和,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. [微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列,且公差为p .2.在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( )解析 (3)若公差d =0,则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d =0,则前n 项和不是二次函数.【参考答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6=2且S 5=30,则S 8等于( )A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎨⎧a 1+5d =2,5a 1+10d =30,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=263,d =-43,∴S 8=8a 1+8×72d =32. 【参考答案】B3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,则a 2+a 8=________.解析 由等差数列的性质,得a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=450,∴a 5=90,∴a 2+a 8=2a 5=180.【参考答案】1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A.-12B.-10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ,则3(3a 1+3d )=2a 1+d +4a 1+6d ,即d =-32a 1.又a 1=2,∴d =-3,∴a 5=a 1+4d =2+4×(-3)=-10.【参考答案】B5.(2019·皖南八校模拟)已知等差数列{a n }中,a 2=1,前5项和S 5=-15,则数列{a n }的公差为( )A.-3B.-52C.-2D.-4解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,因为⎩⎨⎧a 2=1,S 5=-15,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =1,5a 1+5×42d =-15, 解得d =-4.【参考答案】D6.(2019·江西赣中南五校联考)在等差数列{a n }中,已知a 3+a 8>0,且S 9<0,则S 1,S 2,…,S 9中最小的是______.解析 在等差数列{a n }中,∵a 3+a 8>0,S 9<0,∴a 5+a 6=a 3+a 8>0,S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5<0, ∴a 5<0,a 6>0,∴S 1,S 2,…,S 9中最小的是S 5.【参考答案】S 5考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·云南省二次统一检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 11=22,a 4= -12,若a m =30,则m =( )A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1+3d )+(a 1+4d )=24,6a 1+6×52d =48,所以d =4. 法二 等差数列{a n }中,S 6=(a 1+a 6)×62=48,则a 1+a 6=16=a 2+a 5, 又a 4+a 5=24,所以a 4-a 2=2d =24-16=8,则d =4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11=11a 1+11×(11-1)2d =22,a 4=a 1+3d =-12,解得⎩⎨⎧a 1=-33,d =7, ∴a m =a 1+(m -1)d =7m -40=30,∴m =10.【参考答案】(1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x ),log 3(3x ),log 3(4x +2),…的第四项等于( )A.3B.4C.log 318D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 3=6,S 4=12,则S 6=________. 解析 (1)∵log 3(2x ),log 3(3x ),log 3(4x +2)成等差数列,∴log 3(2x )+log 3(4x +2)=2log 3(3x ),∴log 3[2x (4x +2)]=log 3(3x )2,则2x (4x +2)=9x 2,解之得x =4,x =0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38,log 312,log 318,∴公差d =log 312-log 38=log 332,∴数列的第四项为log 318+log 332=log 327=3.(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由S 3=6,S 4=12,可得⎩⎨⎧S 3=3a 1+3d =6,S 4=4a 1+6d =12,解得⎩⎨⎧a 1=0,d =2,所以S 6=6a 1+15d =30.法二 由{a n }为等差数列,故可设前n 项和S n =An 2+Bn ,由S 3=6,S 4=12可得⎩⎨⎧S 3=9A +3B =6,S 4=16A +4B =12,解得⎩⎨⎧A =1,B =-1,即S n =n 2-n ,则S 6=36-6=30. 【参考答案】(1)A (2)30考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0,得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2, 又1S 1=1a 1=2, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n=2n ,∴S n =12n . 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=n -1-n 2n (n -1)=-12n (n -1). 当n =1时,a 1=12不适合上式.故a n =⎩⎪⎨⎪⎧12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变,判断数列{a n }是否为等差数列,并说明理由. 解 因为a n =S n -S n -1(n ≥2),a n +2S n S n -1=0,所以S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2).所以1S n -1S n -1=2(n ≥2). 又1S 1=1a 1=2, 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项,2为公差的等差数列. 所以1S n=2+(n -1)×2=2n ,故S n =12n . 所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=-12n (n -1), 所以a n +1=-12n (n +1),又a n +1-a n =-12n (n +1)--12n (n -1)=-12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1-1n -1=1n (n -1)(n +1). 所以当n ≥2时,a n +1-a n 的值不是一个与n 无关的常数,故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】 本例中,若将条件变为a 1=35,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n +1n +1=a n n +1,即a n +1n +1-a n n=1, 又a 1=35,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=35为首项,1为公差的等差数列,∴a n n =35+(n -1)·1=n -25,∴a n =n 2-25n .规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法:(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证a n -a n -1为同一常数.(2)等差中项法:验证2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论:(1)通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ,由题设可得⎩⎨⎧a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6,解得⎩⎨⎧q =-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n .(2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q=-23+(-1)n 2n +13. 由于S n +2+S n +1=-43+(-1)n 2n +3-2n +23=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤-23+(-1)n ·2n +13=2S n , 故S n +1,S n ,S n +2成等差数列.考点三 等差数列的性质及应用多维探究角度1 等差数列项的性质【例3-1】 (2019·衡阳一模)在等差数列{a n }中,a 1+3a 8+a 15=120,则a 2+a 14的值为( )A.6B.12C.24D.48 解析 ∵在等差数列{a n }中,a 1+3a 8+a 15=120,由等差数列的性质,a 1+3a 8+a 15=5a 8=120,∴a 8=24,∴a 2+a 14=2a 8=48.【参考答案】D角度2 等差数列和的性质【例3-2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( )A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列,即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),得到S 9-S 6=2S 6-3S 3=45,所以a 7+a 8+a 9=45.【参考答案】B规律方法 1.项的性质:在等差数列{a n }中,若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .2.和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则(1)S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);(2)S 2n -1=(2n -1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 015,S 2 0152 015-S 2 0092 009=6,则S 2 019=________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5=3,a 8=8,则a 12的值是( )A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n=3n -22n +1,则a 7b 7等于( ) A.3727 B.1914C.3929D.43 解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.设其公差为d ,则S 2 0152 015-S 2 0092 009=6d =6,∴d =1. 故S 2 0192 019=S 11+2 018d =-2 015+2 018=3,∴S 2 019=3×2 019=6 057.(2)由a 3+a 4+a 5=3及等差数列的性质,∴3a 4=3,则a 4=1.又a 4+a 12=2a 8,得1+a 12=2×8.∴a 12=16-1=15.(3)a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=a 1+a 132×13b 1+b 132×13=S 13T 13=3×13-22×13+1=3727. 【参考答案】(1)6 057 (2)A (3)A考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1≠0,常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数n 都成立.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设a 1>0,λ=100,当n 为何值时,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大? 解 (1)令n =1,得λa 21=2S 1=2a 1,a 1(λa 1-2)=0,因为a 1≠0,所以a 1=2λ,当n ≥2时,2a n =2λ+S n ,2a n -1=2λ+S n -1,两式相减得2a n -2a n -1=a n (n ≥2).所以a n =2a n -1(n ≥2),从而数列{a n }为等比数列,a n =a 1·2n -1=2n λ.(2)当a 1>0,λ=100时,由(1)知,a n =2n 100,则b n =lg 1a n=lg 1002n =lg 100-lg 2n =2-n lg 2, 所以数列{b n }是单调递减的等差数列,公差为-lg 2,所以b 1>b 2>…>b 6=lg 10026=lg 10064>lg 1=0,当n ≥7时,b n ≤b 7=lg 10027<lg 1=0,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大. 规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法:(1)函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn (a ≠0),通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,进而求S n 的最值.①当a 1>0,d <0时,满足⎩⎨⎧a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m +1=0时,S m +1也为最大值);②当a 1<0,d >0时,满足⎩⎨⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m +1=0时,S m +1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 3,a 5,a 15成等比数列,若a 5=5,S n 为数列{a n }的前n 项和,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎨⎧(a 1+2d )(a 1+14d )=25,a 1+4d =5,由d ≠0,解得a 1=-3,d =2,∴S n n =na 1+n (n -1)2d n =-3+n -1=n -4,则n -4≥0,得n ≥4,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,S n =na 1+n (n -1)2d =20n -n (n -1)2×2 =-n 2+21n =-⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2122+⎝ ⎛⎭⎪⎫2122, 又因为n ∈N *,所以n =10或n =11时,S n 取得最大值,最大值为110.【参考答案】(1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质,另外还常用前n 项和S n =An 2+Bn 及通项a n =pn +q 来判断一个数列是否为等差数列.2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a 1,d 的方程组进行求解.(2)若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a -d ,a ,a +d .若偶数个数成等差数列,可设中间两项为a -d ,a +d ,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质,可以大大减少运算量.[易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”,如证明了a n +1-a n =d (n ≥2)时,应注意验证a 2-a 1是否等于d ,若a 2-a 1≠d ,则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时,一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.97解析 设等差数列{a n }的公差为d ,由已知,得⎩⎨⎧9a 1+36d =27,a 1+9d =8,所以⎩⎨⎧a 1=-1,d =1,所以a 100=a 1+99d =-1+99=98.【参考答案】C2.(2019·惠州调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 6a 5=911,则S 11S 9=( ) A.1 B.-1 C.2 D.12解析 由于S 11S 9=11a 69a 5=119×911=1. 【参考答案】A3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n +1-1a n=d (n ∈N *,d 为常数),则称数列{a n }为调和数列,已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列,且x 1+x 2+…+x 20=200,则x 5+x 16=( ) A.10 B.20 C.30 D.40解析 依题意,11x n +1-11x n=x n +1-x n =d ,∴{x n }是等差数列.又x 1+x 2+…+x 20=20(x 1+x 20)2=200. ∴x 1+x 20=20,从而x 5+x 16=x 1+x 20=20.【参考答案】B4.(2019·合肥质检)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1,a 2,…,a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a 1,a 2,…,a 8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,∴8a 1+8×72×17=996,解之得a 1=65.∴a 8=65+7×17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤.【参考答案】B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=9,S 99-S 55=-4,则S n 取最大值时的n 为( )A.4B.5C.6D.4或5解析 由{a n }为等差数列,得S 99-S 55=a 5-a 3=2d =-4,即d =-2,由于a 1=9,所以a n =-2n +11,令a n =-2n +11<0,得n >112, 所以S n 取最大值时的n 为5.【参考答案】B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为________.解析 设项数为2n ,则由S 偶-S 奇=nd 得,25-15=2n 解得n =5,故这个数列的项数为10.【参考答案】107.已知数列{a n }满足a 1=1,a n -a n +1=2a n a n +1,则a 6=________.解析 将a n -a n +1=2a n a n +1两边同时除以a n a n +1,1a n +1-1a n=2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1=1为首项,2为公差的等差数列, 所以1a 6=1+5×2=11,即a 6=111.【参考答案】1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 10=16,S 100-S 90=24,则S 100=________. 解析 依题意,S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…,S 100-S 90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d .又S 10=16,S 100-S 90=24,因此S 100-S 90=24=16+(10-1)d =16+9d ,解得d =89,因此S 100=10S 10+10×92d =10×16+10×92×89=200.【参考答案】200三、解答题9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1,公差为d ,由题意得⎩⎨⎧2a 1+5d =4,a 1+5d =3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =25. 所以{a n }的通项公式为a n =2n +35.(2)由(1)知,b n =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n +35. 当n =1,2,3时,1≤2n +35<2,b n =1;当n =4,5时,2≤2n +35<3,b n =2;当n =6,7,8时,3≤2n +35<4,b n =3;当n =9,10时,4≤2n +35<5,b n =4.所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.10.已知等差数列的前三项依次为a ,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k =110.(1)求a 及k 的值;(2)设数列{b n }的通项公式b n =S n n ,证明:数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n .(1)解 设该等差数列为{a n },则a 1=a ,a 2=4,a 3=3a ,由已知有a +3a =8,得a 1=a =2,公差d =4-2=2,所以S k =ka 1+k (k -1)2·d =2k +k (k -1)2×2=k 2+k , 由S k =110,得k 2+k -110=0,解得k =10或k =-11(舍去),故a =2,k =10.(2)证明 由(1)得S n =n (2+2n )2=n (n +1), 则b n =S n n =n +1,故b n +1-b n =(n +2)-(n +1)=1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列,所以T n =n (2+n +1)2=n (n +3)2. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,且2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1(n ≥2且n ∈N *),则a 18=( )A.259B.269C.3D.289 解析 令b n =na n ,则2b n =b n -1+b n +1(n ≥2),所以{b n }为等差数列,因为b 1=1,b 2=4,所以公差d =3,则b n =3n -2,所以b 18=52,则18a 18=52,所以a 18=269.【参考答案】B12.(2019·成都诊断)已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n (n ∈N *),若S n T n=2n -1n +1,则a 12b 6=( ) A.154 B.158 C.237 D.3 解析 由题意不妨设S n =n (2n -1),T n =n (n +1),所以a 12=S 12-S 11=12×23-11×21=45,b 6=T 6-T 5=6×(6+1)-5×(5+1)=42-30=12,所以a 12b 6=4512=154. 【参考答案】A13.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 解析 由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0得n ≥5,∴n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.【参考答案】13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1+a 13=26,S 9=81.(1)求{a n }的通项公式;(2)令b n =1a n +1a n +2,T n =b 1+b 2+…+b n ,若30T n -m ≤0对一切n ∈N *成立,求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中,a 1+a 13=26,S 9=81,∴⎩⎨⎧2a 7=26,9a 5=81,解得⎩⎨⎧a 7=13,a 5=9, ∴d =a 7-a 57-5=13-92=2, ∴a n =a 5+(n -5)d =9+2(n -5)=2n -1.(2)∵b n =1a n +1a n +2=1(2n +1)(2n +3)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n +3, ∴T n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+15-17+…+12n +1-12n +3 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-12n +3, ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-12n +3随着n 的增大而增大,知{T n }单调递增. 又12n +3>0,∴T n <16,∴m ≥5, ∴实数m 的最小值为5.。
高2020届高2017级高考数学创新设计总复习课件目录(数学人教A理)

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CONTENTS
@《创新设计》
第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
第3节 基本不等式及其应用
10
第八章 立体几何与空间向量
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CONTENTS
@《创新设计》
11
第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图 第2节 空间几何体的表面积和体积 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 第4节 直线、平面平行的判定及其性质 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质
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CONTENTS
@《创新设计》
第6节 空间向量及空间位置关系 第7节 立体几何中的向量方法
第1课时 利用空间向量求空间角 第2课时 利用空间向量解决有关空间角的开放
问题 教材高考·审题答题(四) 立体几何热点问题
12
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CONTENTS
@《创新设计》
13
第九章 平面解析几何
第1节 直线的方程 第2节 两直线的位置关系 第3节 圆的方程 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第5节 椭圆
第1课时 椭圆及简单几何性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
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CONTENTS
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14
第6节 双曲线 第7节 抛物线 第8节 曲线与方程 第9节 圆锥曲线的综合问题
第1课时 最值、范围、证明问题 第2课时 定点、定值、探索性问题 教材高考·审题答题(五) 解析几何热点问题
第十章 统计与统计案例 第1节 随机抽样
18
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CONTENTS
@《创新设计》
19
第十三章 选考部分 第1节 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系 第2课时 参数方程 第2节 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式 第2课时 不等式的证明
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13
主题四 概率与统计 第九章 统计
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CONTENTS
第1节 获取数据的基本途径及抽样方法 第2节 用样本估计总体及统计图表
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第3节 变量间的相关关系与统计案例
14
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
《创新设计》2020版 高考总复习
(人教A版 新高考)
数学
1
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CONTENTS
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主题一 预备知识
第一章 预备知识
第1节 第2节 第3节
集合 常用逻辑用语 相等关系与不等关系
第1课时 等式与不等式的性质
第2课时 基本不等式及其应用 第4节 从函数的观点看一元二次方程和一元二
次不等式
2
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11
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CONTENTS
@《创新设计》
12
第八章 平面解析几何
第1节 直线的方程 第2节 两直线的位置关系 第3节 圆与方程 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第5节 椭圆
第1课时 椭圆及简单几何性质 第2课时 直线与椭圆
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CONTENTS曲线的综合问题
@《创新设计》
第4节 直线、平面垂直的判定及性质 第5节 空间直角坐标系与空间向量
10
目录
CONTENTS
@《创新设计》
第6节 空间向量的应用 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直 第2课时 利用空间向量求夹角和距离(距离供 选用) 第3课时 利用空间向量解决有关空间角的开放 问题
教材高考·审题答题(四) 立体几何热点问题
5
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习配套课件-第六章 数列 6-3

第六章 数列 题型二 等比数列的性质及应用 【例 2】 (1)在等比数列{an}中,各项均为正值,且 a6a10+a3a5
=41,a4a8=5,则 a4+a8=________. (2)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若SS150=3312,
则公比 q=________. 【解析】 (1)由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=a28,a3a5=a24, 得 a24+a28=41.因为 a4a8=5, 所以(a4+a8)2=a24+2a4a8+a28=41+2×5=51. 又 an>0,所以 a4+a8= 51.
高考总复习·文科数学(RJ)
第六章 数列
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. ()
(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( ) (3)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等 比数列.( ) (4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列. ()
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课 标高考总复习配套课件-第六章 数列 6-3
Hale Waihona Puke 第六章 数列1.等比数列的定义 如果一个数列__从__第__2_项__起__,__每__一__项__与__它__的__前__一__项__的__比__等_ 于同一常数(不为零) ,那么这个数列叫做等比数列,这 个常数叫做等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= _a_1_·q_n_-__1 __.
高2020届高2017级理科创新设计高考数学总复习配套课件学案第六章第3节等比数列及其前n项和

第3节 等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式;2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式:a na n -1=q (n ≥2,q 为非零常数).(2)如果三个数a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项,其中G 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1,公比是q ,则其通项公式为a n =a 1q n -1; 通项公式的推广:a n =a m q n -m .(2)等比数列的前n 项和公式:当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n ) 1-q =a 1-a n q1-q. 3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列,S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则有a k ·a l =a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即a k , a k +m ,a k +2m ,…仍是等比数列,公比为q m .(3)当q ≠-1,或q =-1且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍成等比数列,其公比为q n . [微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列,则数列{c ·a n }(c ≠0),{|a n |},{a 2n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列.2.由a n +1=qa n ,q ≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形而导致解题失误.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q 是一个常数,它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ,b ,c 成等比数列的充要条件是b 2=ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n =a n,则其前n 项和为S n =a (1-a n )1-a.( )(4)数列{a n }为等比数列,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列.( ) 【试题解析】:(1)在等比数列中,q ≠0.(2)若a =0,b =0,c =0满足b 2=ac ,但a ,b ,c 不成等比数列. (3)当a =1时,S n =na .(4)若a 1=1,q =-1,则S 4=0,S 8-S 4=0,S 12-S 8=0,不成等比数列. 【参考答案】:(1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修5P53A1(2)改编)已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=14,则公比q 等于( ) A.-12B.-2C.2D.12【试题解析】:由题意知q 3=a 5a 2=18,即q =12. 【参考答案】:D3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.【试题解析】:设该数列的公比为q ,由题意知, 243=9×q 3,q 3=27,∴q =3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81. 【参考答案】:27,814.(2019·马鞍山质检)已知等比数列{a n }满足a 1=1,a 3·a 5=4(a 4-1),则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6【试题解析】:根据等比数列的性质得a 3a 5=a 24,∴a 24=4(a 4-1),即(a 4-2)2=0,解得a 4=2.又∵a 1=1,a 1a 7=a 24=4,∴a 7=4. 【参考答案】:B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f【试题解析】:由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ,公比为122的等比数列,设此数列为{a n },则a 8=1227f ,即第八个单音的频率为1227f .【参考答案】:D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n =________.【试题解析】:由a n +1=2a n ,知数列{a n }是以a 1=2为首项,公比q =2的等比数列,由S n =2(1-2n )1-2=126,解得n =6.【参考答案】:6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4=________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n ,已知S 3=74,S 6=634,则a 8=________.【试题解析】:(1)由{a n }为等比数列,设公比为q . 由⎩⎨⎧a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,得⎩⎨⎧a 1+a 1q =-1,①a 1-a 1q 2=-3,② 显然q ≠1,a 1≠0,②①得1-q =3,即q =-2,代入①式可得a 1=1, 所以a 4=a 1q 3=1×(-2)3=-8.(2)设数列{a n }首项为a 1,公比为q (q ≠1), 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3=a 1(1-q 3)1-q =74,S 6=a 1(1-q 6)1-q =634,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=14,q =2, 所以a 8=a 1q 7=14×27=32. 【参考答案】:(1)-8 (2)32【规律方法】:1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论,当q =1时,{a n }的前n 项和S n =na 1;当q ≠1时,{a n }的前n 项和S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数,S n 是其前n 项和,且满足2S 3=8a 1+3a 2,a 4=16,则S 4=( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a 2b 2=________.【试题解析】:(1)设数列{a n }的公比为q (q >0),则⎩⎨⎧2S 3=2(a 1+a 1q +a 1q 2)=8a 1+3a 1q ,a 1q 3=16,解得q =2,a 1=2,所以S 4=2(1-24)1-2=30.(2){a n }为等差数列,a 1=-1,a 4=8=a 1+3d =-1+3d ,∴d =3,∴a 2=a 1+d =-1+3=2.{b n }为等比数列,b 1=-1,b 4=8=b 1·q 3=-q 3,∴q =-2,∴b 2=b 1·q =2,则a 2b2=22=1.【参考答案】:(1)D (2)1 考点二 等比数列的判定与证明【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.(1)证明 由题意得a 1=S 1=1+λa 1,故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0.由S n =1+λa n ,S n +1=1+λa n +1, 得a n +1=λa n +1-λa n , 即a n +1(λ-1)=λa n ,由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n +1a n=λλ-1.因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-1n -1.(2)解 由(1)得S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-1n.由S 5=3132,得1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=3132,即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=132.解得λ=-1.【规律方法】:1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时,要注意对n =1的情形进行验证.【训练2】(2019·广东省级名校联考)已知S n是数列{a n}的前n项和,且满足S n -2a n=n-4.(1)证明:{S n-n+2}为等比数列;(2)求数列{S n}的前n项和T n.(1)证明因为a n=S n-S n-1(n≥2),所以S n-2(S n-S n-1)=n-4(n≥2),则S n=2S n-1-n+4(n≥2),所以S n-n+2=2[S n-1-(n-1)+2](n≥2),又由题意知a1-2a1=-3,所以a1=3,则S1-1+2=4,所以{S n-n+2}是首项为4,公比为2等比数列.(2)解由(1)知S n-n+2=2n+1,所以S n=2n+1+n-2,于是T n=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=4(1-2n)1-2+n(n+1)2-2n=2n+3+n2-3n-82.考点三等比数列的性质及应用【例3】(1)等比数列{a n}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=()A.12B.10C.8D.2+log35(2)已知数列{a n}是等比数列,S n为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=()A.40B.60C.32D.50【试题解析】:(1)由等比数列的性质知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,所以a5a6=9,则原式=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=10.(2)数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是首项为4,公比为2的等比数列,则S9-S6=a7+a8+a9=16,S12-S9=a10+a11+a12=32,因此S12=4+8+16+32=60.【参考答案】:(1)B(2)B【规律方法】:1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q ”,可以减少运算量,提高解题速度. 2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中,若a 3,a 7是方程x 2+4x +2=0的两根,则a 5的值是( ) A.-2B.- 2C.±2D. 2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6=________.【试题解析】:(1)根据根与系数之间的关系得a 3+a 7=-4, a 3a 7=2,由a 3+a 7=-4<0,a 3a 7>0, 所以a 3<0,a 7<0,即a 5<0,由a 3a 7=a 25,得a 5=-a 3a 7=- 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍成等比数列,由已知得S 6=3S 3, ∴S 6-S 3S 3=S 9-S 6S 6-S 3,即S 9-S 6=4S 3,S 9=7S 3,∴S 9S 6=73.法二 因为{a n }为等比数列,由S 6S 3=3,设S 6=3a ,S 3=a (a ≠0),所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等比数列,即a ,2a ,S 9-S 6成等比数列,所以S 9-S 6=4a ,解得S 9=7a , 所以S 9S 6=7a 3a =73.【参考答案】:(1)B (2)73[思维升华]1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想:如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想:如求和时要分q =1和q ≠1两种情况讨论,判断单调性时对a 1与q 分类讨论. [易错防范]1.特别注意q =1时,S n =na 1这一特殊情况.2.S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 未必成等比数列(例如:当公比q =-1且n 为偶数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 不成等比数列;当q ≠-1或q =-1时且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列),但等式(S 2n -S n )2=S n ·(S 3n -S 2n )总成立.数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为:理解数列问题,掌握数列运算法则,探究运算思路,求得运算结果.通过对数列性质的学习,发展数学运算能力,促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则,能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题,能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中,S n 为{a n }的前n 项和: (1)S 2n -1=(2n -1)a n ;(2)设{a n }的项数为2n ,公差为d ,则S 偶-S 奇=nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m =________.(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d =________.【试题解析】:(1)由a m -1+a m +1-a 2m =0得2a m -a 2m =0,解得a m =0或2.又S 2m -1=(2m -1)(a 1+a 2m -1)2=(2m -1)a m =38,显然可得a m ≠0,所以a m =2.代入上式可得2m -1=19,解得m =10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇,偶数项的和为S 偶,等差数列的公差为d .由已知条件,得⎩⎨⎧S 奇+S 偶=354,S 偶∶S 奇=32∶27,解得⎩⎨⎧S 偶=192,S 奇=162.又S 偶-S 奇=6d ,所以d =192-1626=5. 【参考答案】:(1)10 (2)5 类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中,(1)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a n ·a m =a p ·a q ;(2)当公比q ≠-1时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,已知S 3=8,S 6=7,则a 7+a 8+a 9等于( ) A.18B.-18C.578D.558【试题解析】:(1)数列{lg a n }的前8项和S 8=lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg (a 1·a 2·…·a 8)=lg (a 1·a 8)4=lg (a 4·a 5)4=lg (2×5)4=4.(2)因为a 7+a 8+a 9=S 9-S 6,且S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也成等比数列,即8,-1,S 9-S 6成等比数列,所以8(S 9-S 6)=1,即S 9-S 6=18,所以a 7+a 8+a 9=18. 【参考答案】:(1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{a n }中,公比为q . 若共有2n 项,则S 偶∶S 奇=q .(2)分段求和:S n +m =S n +q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q =________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.【试题解析】:(1)由题意,得⎩⎨⎧S 奇+S 偶=-240,S 奇-S 偶=80,解得⎩⎨⎧S 奇=-80,S 偶=-160,所以q =S 偶S 奇=-160-80=2. (2)设等比数列{a n }的公比q ,易知S 3≠0. 则S 6=S 3+S 3q 3=9S 3,所以q 3=8,q =2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公比为12的等比数列,其前5项和为1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1251-12=3116. 【参考答案】:(1)2 (2)3116基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6+a 4a 7=18,若a 1a m =9,则m 的值为( ) A.8B.9C.10D.11【试题解析】:由题意得,2a 5a 6=18,a 5a 6=9,∴a 1a m =a 5a 6=9, ∴m =10. 【参考答案】:C2.已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为22,则2a 7+a 11的最小值为( ) A.16B.8C.2 2D.4【试题解析】:因为a 4与a 14的等比中项为22, 所以a 4·a 14=a 7·a 11=(22)2=8, 所以2a 7+a 11≥22a 7a 11=22×8=8, 所以2a 7+a 11的最小值为8. 【参考答案】:B3.(2019·太原模拟)已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 3=3a 3,则S 5=( ) A.1B.5C.3148D.1116【试题解析】:由题意得a 1(1-q 3)1-q=3a 1q 2,解得q =-12或q =1(舍),所以S 5=a 1(1-q 5)1-q =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-1251-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=1116. 【参考答案】:D4.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏 【试题解析】:设塔的顶层的灯数为a 1,七层塔的总灯数为S 7,公比为q ,则依题意S 7=381,公比q =2.∴a 1(1-27)1-2=381,解得a 1=3. 【参考答案】:B5.(2019·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =a ·3n -1+b ,则a b =( )A.-3B.-1C.1D.3【试题解析】:∵等比数列{a n }的前n 项和S n =a ·3n -1+b ,∴a 1=S 1=a +b ,a 2=S 2-S 1=3a +b -a -b =2a ,a 3=S 3-S 2=9a +b -3a -b =6a ,∵等比数列{a n }中,a 22=a 1a 3,∴(2a )2=(a +b )×6a ,解得a b =-3.【参考答案】:A二、填空题6.等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 13+a 14a 14+a 15=________. 【试题解析】:设{a n }的公比为q .由题意得a 1+2a 2=a 3,则a 1(1+2q )=a 1q 2,q 2-2q -1=0,所以q =1+2(舍负).则a 13+a 14a 14+a 15=1q =2-1. 【参考答案】:2-17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +S n =1(n ∈N *),则通项a n =________.【试题解析】:∵a n +S n =1,①∴a 1=12,a n -1+S n -1=1(n ≥2),②由①-②,得a n -a n -1+a n =0,即a n a n -1=12(n ≥2), ∴数列{a n }是首项为12,公比为12的等比数列,则a n =12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=12n .【参考答案】:12n8.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中,a 1=2,且a 2n +1a n=4(a n +1-a n )(n ∈N *),则其前9项的和S 9=________.【试题解析】:由a 2n +1a n=4(a n +1-a n )得,a 2n +1-4a n +1a n +4a 2n =0, ∴(a n +1-2a n )2=0,a n +1a n=2,∴数列{a n }是首项a 1=2,公比为2的等比数列,∴S 9=2(1-29)1-2=1 022. 【参考答案】:1 022三、解答题9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3.(1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m .解 (1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n -1.由已知得q 4=4q 2,解得q =0(舍去),q =-2或q =2. 故a n =(-2)n -1或a n =2n -1.(2)若a n =(-2)n -1,则S n =1-(-2)n 3. 由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.若a n =2n -1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m =6.综上,m =6.10.已知数列{a n }中,点(a n ,a n +1)在直线y =x +2上,且首项a 1=1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }中,b 1=a 1,b 2=a 2,数列{b n }的前n 项和为T n ,请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值.解 (1)根据已知a 1=1,a n +1=a n +2,即a n +1-a n =2=d ,所以数列{a n }是一个首项为1,公差为2的等差数列,a n =a 1+(n -1)d =2n -1.(2)数列{a n }的前n 项和S n =n 2.等比数列{b n }中,b 1=a 1=1,b 2=a 2=3,所以q =3,b n =3n -1.数列{b n }的前n 项和T n =1-3n 1-3=3n -12. T n ≤S n 即3n -12≤n 2,又n ∈N *,所以n =1或2.能力提升题组(建议用时:20分钟)11.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1,前n 项积为T n ,且a 2a 4=a 3,则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7【试题解析】:∵{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 2a 4=a 3,∴a 23=a 3,∴a 3=1.又∵q >1,∴a 1<a 2<1,a n >1(n >3),∴T n >T n -1(n ≥4,n ∈N *),T 1<1,T 2=a 1·a 2<1,T 3=a 1·a 2·a 3=a 1a 2=T 2<1,T 4=a 1a 2a 3a 4=a 1<1,T 5=a 1·a 2·a 3·a 4·a 5=a 53=1,T 6=T 5·a 6=a 6>1,故n 的最小值为6.【参考答案】:C12.数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,则a 21+a 22+a 23+…+a 2n 等于( )A.(3n -1)2B.12(9n -1)C.9n -1D.14(3n -1)【试题解析】:∵a 1+a 2+…+a n =3n -1,n ∈N *,n ≥2时,a 1+a 2+…+a n -1=3n -1-1,∴当n ≥2时,a n =3n -3n -1=2·3n -1,又n =1时,a 1=2适合上式,∴a n =2·3n -1, 故数列{a 2n }是首项为4,公比为9的等比数列. 因此a 21+a 22+…+a 2n =4(1-9n)1-9=12(9n -1).【参考答案】:B13.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3a 11=2a 25,且S 4+S 12=λS 8,则λ=______.【试题解析】:∵{a n }是等比数列,a 3a 11=2a 25,∴a 27=2a 25,∴q 4=2,∵S 4+S 12=λS 8,∴a 1(1-q 4)1-q +a 1(1-q 12)1-q =λa 1(1-q 8)1-q, ∴1-q 4+1-q 12=λ(1-q 8),将q 4=2代入计算可得λ=83.【参考答案】:8314.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n +λ}是不是等比数列,并求a n ;(2)当λ=1时,求数列{n (a n +λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n +1=2a n +λ,所以a n +1+λ=2(a n +λ). 又a 1=1,所以当λ=-1时,a 1+λ=0,数列{a n +λ}不是等比数列, 此时a n +λ=a n -1=0,即a n =1;当λ≠-1时,a 1+λ≠0,所以a n +λ≠0, 所以数列{a n +λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列, 此时a n +λ=(1+λ)2n -1,即a n =(1+λ)2n -1-λ.(2)由(1)知a n =2n -1,所以n (a n +1)=n ×2n , T n =2+2×22+3×23+…+n ×2n ,① 2T n =22+2×23+3×24+…+n ×2n +1,②①-②得:-T n=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)2n+1-2. 所以T n=(n-1)2n+1+2.。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习配套课件-第六章 数列 6-4

第六章 数列
【解析】 (1)证明:由条件,对任意n∈N*,有 an+2=3Sn-Sn+1+3, 因而对任意n∈N*,n≥2,有 an+1=3Sn-1-Sn+3. 两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an, n≥2. 又a1=1,a2=2, 所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1. 故对一切n∈N*,an+2=3an.
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第六章 数列
从而 S2n-1=S2n-a2n=3(3n2-1)-2×3n-1 =23(5×3n-2-1).
23(5×3n-2 3-1),n是奇数, 综上所述,Sn= 32(32n-1),n是偶数.
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第六章 数列 【思维升华】 某些数列的求和是将数列分解转化为若
第六章 数列
跟踪训练 2 (2016·绵阳市诊断性考试)已知首项为12的等比数 列{an}是递减数列,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=an·log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求满足不等 式Tnn++22≥116的最大 n 值.
)
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第六章 数列
(5)若数列 a1,a2-a1,…,an-an-1 是首项为 1,公比为 3 的
等比数列,则数列{an}的通项公式是 an=3n-2 1.(
)
(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法
可求得 sin2 1°+sin2 2°+sin2 3°+…+sin2 88°+sin2 89°=
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第3节 平面向量的数量积及其应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角:已知两个非零向量a 和b ,记OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos__θ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a =0.(3)数量积的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为向量a ,b 的夹角. (1)数量积:a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2.(2)模:|a |=a ·a =x 21+y 21.(3)夹角:cos θ=a ·b |a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件:a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2+y 1y 2|≤ x 21+y 21·x 22+y 22.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b =b ·a (交换律).(2)λa ·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(结合律). (3)(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).[微点提醒]1.两个向量a ,b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ,b 不共线;两个向量a ,b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ,b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2. (2)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2. (3)(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b =a ·c (a ≠0),则b =c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0,π].(4)由a ·b =a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ,b 〉=|a ||c |·cos 〈a ,c 〉,所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(必修4P108A10改编)设a ,b 是非零向量.“a ·b =|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b =|a |·|b |cos θ=|a |·|b |,所以cos θ=1,即a 与b 的夹角为0°,故a ∥b .当a ∥b 时,a 与b 的夹角为0°或180°, 所以a ·b =|a |·|b |cos θ=±|a |·|b |,所以“a ·b =|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件. 答案 A3.(必修4P108A2改编)在圆O 中,长度为2的弦AB 不经过圆心,则AO →·AB →的值为________.解析 设向量AO →,AB →的夹角为θ,则AO →·AB →=|AO →||AB →|·cos θ=|AO →|cos θ·|AB→|=12|AB →|·|AB→|=12×(2)2=1. 答案 14.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ,b 满足|a |=1,a ·b =-1,则a ·(2a -b )=( ) A.4B.3C.2D.0解析 a ·(2a -b )=2|a |2-a ·b =2×12-(-1)=3. 答案 B5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°,a =(1,1),|b |=2,则|3a +b |等于( ) A.13+6 2 B.2 5 C.30D.34解析 依题意得a 2=2,a ·b =2×2×cos 45°=2,|3a +b |=(3a +b )2=9a 2+6a ·b +b 2=18+12+4=34. 答案 D6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a =(-1,2),b =(m ,1).若向量a +b 与a 垂直,则m =________.解析 由题意得a +b =(m -1,3),因为a +b 与a 垂直,所以(a +b )·a =0,所以-(m -1)+2×3=0,解得m =7. 答案 7考点一 平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m =(2k -1,k )与向量n =(4,1)共线,则m ·n =( ) A.0B.4C.-92D.-172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中,已知OM =1,ON =2,∠MON =120°,BM →=2MA →,CN →=2NA →,则BC →·OM→的值为( )A.-15B.-9C.-6D.0解析 (1)由题意得2k -1-4k =0,解得k =-12, 即m =⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-12, 所以m ·n =-2×4+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×1=-172.(2)连接OA .在△ABC 中,BC →=AC →-AB →=3AN →-3AM →=3(ON →-OA →)-3(OM →-OA →)=3(ON→-OM →), ∴BC →·OM →=3(ON →-OM →)·OM →=3(ON →·OM →-OM →2)=3×(2×1×cos 120°-12)=3×(-2)=-6. 答案 (1)D (2)C规律方法 1.数量积公式a ·b =|a ||b |cos θ在解题中的运用,解题过程具有一定的技巧性,需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形;也可建立平面直角坐标系,借助数量积的坐标运算公式a ·b =x 1x 2+y 1y 2求解,较为简捷、明了. 2.在分析两向量的夹角时,必须使两个向量的起点重合,如果起点不重合,可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中,AB =4,BC =6,∠ABC =π2,D 是AC 的中点,E 在BC 上,且AE ⊥BD ,则AE →·BC →等于( ) A.16B.12C.8D.-4(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |=|b |=1,向量a 与b 的夹角为45°,则(a +2b )·a =________.解析 (1)以B 为原点,BA ,BC 所在直线分别为x ,y 轴建立平面直角坐标系(图略),A (4,0),B (0,0),C (0,6),D (2,3).设E (0,t ),BD →·AE →=(2,3)·(-4,t )=-8+3t =0,∴t =83,即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,83,AE →·BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-4,83·(0,6)=16.(2)因为|a |=|b |=1,向量a 与b 的夹角为45°,所以(a +2b )·a =a 2+2a ·b =|a |2+2|a |·|b |cos 45°=1+ 2. 答案 (1)A (2)1+ 2考点二 平面向量数量积的应用 多维探究角度1 平面向量的垂直【例2-1】 (1)(2018·北京卷)设向量a =(1,0),b =(-1,m ).若a ⊥(m a -b ),则m =________.(2)(2019·宜昌二模)已知△ABC 中,∠A =120°,且AB =3,AC =4,若AP →=λAB →+AC →,且AP →⊥BC →,则实数λ的值为( ) A.2215B.103C.6D.127解析 (1)a =(1,0),b =(-1,m ),∴a 2=1,a ·b =-1, 由a ⊥(m a -b )得a ·(m a -b )=0,即m a 2-a ·b =0. ∴m -(-1)=0,∴m =-1. (2)因为AP→=λAB →+AC →,且AP →⊥BC →, 所以有AP →·BC →=(λAB →+AC →)·(AC →-AB →)=λAB →·AC →-λAB →2+AC →2-AB →·AC →=(λ-1)AB →·AC→-λAB →2+AC →2=0, 整理可得(λ-1)×3×4×cos 120°-9λ+16=0, 解得λ=2215. 答案 (1)-1 (2)A规律方法 1.当向量a ,b 是非坐标形式时,要把a ,b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角,从而进行运算.2.数量积的运算a ·b =0⇔a ⊥b 中,是对非零向量而言的,若a =0,虽然有a ·b =0,但不能说a ⊥b .角度2 平面向量的模【例2-2】 (1)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________.(2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC =90°,AD =2,BC =1,P 是腰DC 上的动点,则|P A →+3PB →|的最小值为________. 解析 (1)由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0, 所以α·β=12,所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×12=10, 所以|2α+β|=10.(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A (2,0),设P (0,y ),C (0,b ),则B (1,b ).所以P A →+3PB →=(2,-y )+3(1,b -y )=(5,3b -4y ), 所以|P A →+3PB →|=25+(3b -4y )2(0≤y ≤b ), 所以当y =34b 时,|P A →+3PB →|取得最小值5. 答案 (1)10 (2)5规律方法 1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a |=a ·a 及(a ±b )2=|a |2±2a ·b +|b |2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解. 角度3 平面向量的夹角【例2-3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |=233|a |,则向量a +b 与a -b 的夹角为________.(2)若向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),已知2a -3b 与c 的夹角为钝角,则k 的取值范围是________.解析 (1)将|a +b |=|a -b |两边平方,得a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2-2a ·b ,∴a ·b =0. 将|a +b |=233|a |两边平方,得a 2+b 2+2a ·b =43a 2,∴b 2=13a 2.设a +b 与a -b 的夹角为θ,∴cos θ=(a +b )·(a -b )|a +b |·|a -b |=a 2-b 2233|a |·233|a |=23a 243a2=12.又∵θ∈[0,π],∴θ=π3.(2)∵2a -3b 与c 的夹角为钝角, ∴(2a -3b )·c <0,即(2k -3,-6)·(2,1)<0,解得k <3. 又若(2a -3b )∥c ,则2k -3=-12,即k =-92.当k =-92时,2a -3b =(-12,-6)=-6c , 此时2a -3b 与c 反向,不合题意.综上,k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-92,3.答案 (1)π3 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-92,3规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角可能是0或π;注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接套用公式cos θ=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22求解. 2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【训练2】 (1)已知向量a =(-2,3),b =(3,m ),且a ⊥b ,则m =________.(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |=________.(3)(2017·山东卷)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量,若3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是________. 解析 (1)由a ⊥b ,得a ·b =0, 又a =(-2,3),b =(3,m ), ∴-6+3m =0,则m =2.(2)法一 |a +2b |=(a +2b )2=a 2+4a ·b +4b 2 =22+4×2×1×cos 60°+4×12=12=2 3. 法二 (数形结合法)由|a |=|2b |=2知,以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ,如图,则|a +2b |=|OC→|.又∠AOB =60°,所以|a +2b |=2 3. (3)由题意知|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=0,|3e 1-e 2|=(3e 1-e 2)2=3e 21-23e 1·e 2+e 22=3-0+1=2.同理|e 1+λe 2|=1+λ2. 所以cos 60°=(3e 1-e 2)·(e 1+λe 2)|3e 1-e 2||e 1+λe 2|=3e 21+(3λ-1)e 1·e 2-λe 2221+λ2=3-λ21+λ2=12, 解得λ=33.答案 (1)2 (2)23 (3)33 考点三 平面向量与三角函数【例3】 (2019·潍坊摸底)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(cos(A -B ),sin(A -B )),n =(cos B ,-sin B ),且m ·n =-35.(1)求sin A 的值;(2)若a =42,b =5,求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.解 (1)由m ·n =-35,得cos(A -B )cos B -sin(A -B )sin B =-35, 所以cos A =-35.因为0<A <π, 所以sin A =1-cos 2A =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=45. (2)由正弦定理,得a sin A =bsin B , 则sin B =b sin A a =5×4542=22, 因为a >b ,所以A >B ,且B 是△ABC 一内角,则B =π4.由余弦定理得(42)2=52+c 2-2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,解得c =1,c =-7舍去,故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B =c cos B =1×22=22.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. 【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A ,B ,C 分别为△ABC 的三边a ,b ,c 所对的角,向量m =(sin A ,sin B ),n =(cos B ,cos A ),且m ·n =sin 2C . (1)求角C 的大小;(2)若sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,且CA →·(AB →-AC →)=18,求边c 的长.解 (1)由已知得m ·n =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B ), 因为A +B +C =π,所以sin(A +B )=sin(π-C )=sin C , 所以m ·n =sin C ,又m ·n =sin 2C , 所以sin 2C =sin C ,所以cos C =12. 又0<C <π,所以C =π3.(2)由已知及正弦定理得2c =a +b . 因为CA →·(AB →-AC →)=CA →·CB →=18, 所以ab cos C =18,所以ab =36.由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b )2-3ab 所以c 2=4c 2-3×36, 所以c 2=36,所以c =6.[思维升华]1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活运用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 2.求向量模的常用方法利用公式|a |2=a 2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [易错防范]数量积运算律要准确理解、应用,例如,a ·b =a ·c (a ≠0)不能得出b =c ,两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律,(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ).数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”,学生能进一步发展数学运算能力,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中,发现问题并转化为数学问题,能够在关联的情境中,经历数学建模的过程,理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型,能够培养学生用模型的思想解决相关问题. 设O 为△ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|=|OB →|=|OC →|=a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA→+OB →+OC →=0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →=OB →·OC →=OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA→+bOB →+cOC →=0. 类型1 平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,O 为坐标原点,动点P 满足OP→=13[(1-λ)OA →+(1-λ)OB →+(1+2λ)·OC →],λ∈R ,则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心D.AB 边的中点解析 取AB 的中点D ,则2OD→=OA →+OB →, ∵OP →=13[(1-λ)OA →+(1-λ)OB →+(1+2λ)OC →], ∴OP→=13[2(1-λ)OD →+(1+2λ)OC →] =2(1-λ)3OD →+1+2λ3OC →, 而2(1-λ)3+1+2λ3=1,∴P ,C ,D 三点共线,∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 答案 C类型2 平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在△ABC 中,AB =5,AC =6,cos A =15,O 是△ABC 的内心,若OP →=xOB →+yOC →,其中x ,y ∈[0,1],则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B.1463C.4 3D.6 2解析 根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P 的轨迹是以OB ,OC 为邻边的平行四边形及其内部,其面积为△BOC 的面积的2倍.在△ABC 中,设内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得a =7.设△ABC 的内切圆的半径为r ,则 12bc sin A =12(a +b +c )r ,解得r =263,所以S △BOC =12×a ×r =12×7×263=763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC =1463. 答案 B类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O 是平面上的一个定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →=OA →+λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ,λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.重心B.垂心C.外心D.内心解析 因为OP →=OA →+λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C , 所以AP →=OP →-OA →=λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C , 所以BC →·AP →=BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C =λ(-|BC→|+|BC →|)=0,所以BC→⊥AP →,所以点P 在BC 的高线上, 即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 答案 B类型4 平面向量与三角形的“外心”问题【例4】 已知在△ABC 中,AB =1,BC =6,AC =2,点O 为△ABC 的外心,若AO →=xAB →+yAC →,则有序实数对(x ,y )为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45,35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35,45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-45,35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,45 解析 取AB 的中点M 和AC 的中点N ,连接OM ,ON ,则OM →⊥AB →,ON →⊥AC →,OM →=AM →-AO →=12AB →-(xAB →+yAC →)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x AB →-yAC→,ON →=AN →-AO →=12AC →-(xAB →+yAC →)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-y AC →-xAB→. 由OM →⊥AB →,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x AB →2-yAC →·AB →=0,① 由ON →⊥AC →,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12-y AC →2-xAC →·AB →=0,② 又因为BC →2=(AC →-AB →)2=AC →2-2AC →·AB →+AB →2,所以AC →·AB →=AC →2+AB →2-BC →22=-12,③把③代入①、②得⎩⎨⎧1-2x +y =0,4+x -8y =0,解得x =45,y =35.故实数对(x ,y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45,35.答案 A基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.已知向量a =(m -1,1),b =(m ,-2),则“m =2”是“a ⊥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当m =2时,a =(1,1),b =(2,-2), 所以a ·b =(1,1)·(2,-2)=2-2=0, 所以a ⊥b ,充分性成立;当a ⊥b 时,a ·b =(m -1,1)·(m ,-2)=m (m -1)-2=0,解得m=2或m=-1,必要性不成立.所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.答案 A2.(2019·北京通州区二模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=()A.12 B.1 C. 2 D.2解析由题意得a·b=|a|×1×12=|a|2,又|2a-b|=1,∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-2|a|+1=1, 即4|a|2-2|a|=0,又|a|≠0,解得|a|=1 2.答案 A3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a 的夹角为()A.π3 B.2π3 C.5π6 D.π6解析设|b|=1,则|a+b|=|a-b|=2.由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,故以a、b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|=3, 设向量a+b与a的夹角为θ,则cos θ=a·(a+b)|a|·|a+b|=a2+a·b|a|·|a+b|=|a||a+b|=32,又0≤θ≤π,所以θ=π6.答案 D4.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是边BC,AB上的点,且满足BEBC=AFAB=λ,则当AE→·DF→=0时,λ的值所在的区间是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18,14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14,38 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫38,12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,58 解析 在等腰梯形ABCD 中,AB =4,BC =CD =2, 可得〈AD →,BC →〉=60°,所以〈AB →,AD →〉=60°,〈AB →,BC →〉=120°, 所以AB →·AD→=4×2×12=4, AB →·BC →=4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-4,AD →·BC →=2×2×12=2,又BE BC =AF AB =λ,所以BE →=λBC →,AF →=λAB →, 则AE→=AB →+BE →=AB →+λBC →, DF→=AF →-AD →=λAB →-AD →, 所以AE →·DF →=(AB →+λBC →)·(λAB →-AD →) =λAB →2-AB →·AD →+λ2AB →·BC →-λAD →·BC →=0, 即2λ2-7λ+2=0,解得λ=7+334(舍去)或λ=7-334∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14,38.答案 B5.(2017·浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与BD 交于点O .记I 1=OA →·OB →,I 2=OB →·OC →,I 3=OC →·OD →,则( )A.I 1<I 2<I 3B.I 1<I 3<I 2C.I 3<I 1<I 2D.I 2<I 1<I 3解析 如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO <AF ,而∠AFB =90°,∴∠AOB 与∠COD 为钝角,∠AOD 与∠BOC 为锐角,根据题意,I 1-I 2=OA →·OB →-OB →·OC →=OB →·(OA →-OC →)=OB →·CA→=|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0,∴I 1<I 2,同理I 2>I 3,作AG ⊥BD 于G ,又AB =AD ,∴OB <BG =GD <OD ,而OA <AF =FC <OC ,∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|, 而cos ∠AOB =cos ∠COD <0,∴OA →·OB →>OC →·OD →,即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2. 答案 C 二、填空题6.(2019·杭州二模)在△ABC 中,三个顶点的坐标分别为A (3,t ),B (t ,-1),C (-3,-1),若△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形,则t =________. 解析 由已知,得BA →·BC →=0, 则(3-t ,t +1)·(-3-t ,0)=0,∴(3-t )(-3-t )=0,解得t =3或t =-3, 当t =-3时,点B 与点C 重合,舍去.故t =3. 答案 37.若非零向量a ,b 满足|a |=3|b |=|a +2b |,则a ,b 夹角θ的余弦值为________. 解析 |a |=|a +2b |,两边平方得,|a |2=|a |2+4|b |2+4a ·b =|a |2+4|b |2+4|a ||b |·cos θ. 又|a |=3|b |,所以0=4|b |2+12|b |2cos θ,得cos θ=-13. 答案 -138.(2019·佛山二模)在Rt △ABC 中,∠B =90°,BC =2,AB =1,D 为BC 的中点,E 在斜边AC 上,若AE →=2EC →,则DE →·AC→=________. 解析 如图,以B 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则B (0,0),A (1,0),C (0,2),所以AC→=(-1,2).因为D 为BC 的中点,所以D (0,1), 因为AE→=2EC →,所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,43, 所以DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,13, 所以DE →·AC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,13·(-1,2)=-13+23=13. 答案 13 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中,点A (-1,-2),B (2,3),C (-2,-1). (1)求以线段AB ,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t 满足(AB →-tOC →)·OC →=0,求t 的值.解 (1)由题设知AB→=(3,5),AC →=(-1,1), 则AB→+AC →=(2,6),AB →-AC →=(4,4). 所以|AB→+AC →|=210,|AB →-AC →|=4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42,210. (2)由题设知:OC →=(-2,-1),AB →-tOC →=(3+2t ,5+t ).由(AB →-tOC →)·OC →=0,得 (3+2t ,5+t )·(-2,-1)=0, 从而5t =-11,所以t =-115.10.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量a =(-1,2),又点A (8,0),B (n ,t ),C (k sin θ,t )(0≤θ≤π2). (1)若AB→⊥a ,且|AB →|=5|OA →|,求向量OB →; (2)若向量AC →与向量a 共线,当k >4,且t sin θ取最大值4时,求OA →·OC→.解 (1)由题设知AB →=(n -8,t ), ∵AB→⊥a ,∴8-n +2t =0. 又∵5|OA→|=|AB →|,∴5×64=(n -8)2+t 2=5t 2,得t =±8. 当t =8时,n =24;当t =-8时,n =-8, ∴OB→=(24,8)或OB →=(-8,-8). (2)由题设知AC→=(k sin θ-8,t ),∵AC→与a 共线,∴t =-2k sin θ+16, t sin θ=(-2k sin θ+16)sin θ =-2k (sin θ-4k )2+32k . ∵k >4,∴0<4k <1,∴当sin θ=4k 时,t sin θ取得最大值32k . 由32k=4,得k =8, 此时θ=π6,OC →=(4,8), ∴OA →·OC →=(8,0)·(4,8)=32.能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.在△ABC 中,∠C =90°,AB =6,点P 满足CP =2,则P A →·PB →的最大值为( ) A.9B.16C.18D.25解析 ∵∠C =90°,AB =6,∴CA →·CB→=0,∴|CA →+CB →|=|CA →-CB →|=|BA →|=6, ∴P A →·PB →=(PC →+CA →)·(PC →+CB →)=PC →2+PC →·(CA →+CB →)+CA →·CB → =PC →·(CA→+CB →)+4, ∴当PC →与CA →+CB →方向相同时,PC →·(CA→+CB →)取得最大值2×6=12,∴P A →·PB →的最大值为16. 答案 B12.(2018·浙江卷)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b +3=0,则|a -b |的最小值是( ) A.3-1 B.3+1 C.2D.2- 3解析 设O 为坐标原点,a =OA →,b =OB →=(x ,y ),e =(1,0),由b 2-4e ·b +3=0得x 2+y 2-4x +3=0,即(x -2)2+y 2=1,所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3,所以不妨令点A 在射线y =3x (x >0)上,如图,数形结合可知|a -b |min =|CA→|-|CB →|=3-1.答案 A13.(2019·安徽师大附中二模)在△ABC 中,AB =2AC =6,BA →·BC →=BA →2,点P 是△ABC所在平面内一点,则当P A →2+PB →2+PC →2取得最小值时,AP →·BC →=________. 解析 ∵BA →·BC →=|BA →|·|BC →|·cos B =|BA →|2, ∴|BC →|·cos B =|BA →|=6, ∴CA→⊥AB →,即A =π2, 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则B (6,0),C (0,3),设P (x ,y ),则P A →2+PB →2+PC →2=x 2+y 2+(x -6)2+y 2+x 2+(y -3)2=3x 2-12x +3y 2-6y +45=3[(x -2)2+(y -1)2+10]∴当x =2,y =1时,P A →2+PB →2+PC →2取得最小值, 此时AP →·BC →=(2,1)·(-6,3)=-9. 答案 -914.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足(2a -c )BA →·BC →=cCB →·CA →. (1)求角B 的大小;(2)若|BA→-BC →|=6,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意得(2a -c )cos B =b cos C .根据正弦定理得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C , 所以2sin A cos B =sin(C +B ),即2sin A cos B =sin A ,因为A ∈(0,π),所以sin A >0, 所以cos B =22,又B ∈(0,π),所以B =π4. (2)因为|BA→-BC →|=6,所以|CA →|=6,即b =6,根据余弦定理及基本不等式得6=a 2+c 2-2ac ≥2ac -2ac =(2-2)ac (当且仅当a =c 时取等号),即ac ≤3(2+2). 故△ABC 的面积S =12ac sin B ≤3(2+1)2,因此△ABC 的面积的最大值为32+32.新高考创新预测15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α⊗β=|α||β|cos θ,其中θ为α和β的夹角.若两个非零的平面向量a 和b 满足:①|a |≥|b |;②a 和b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4;③a ⊗b 和b ⊗a 的值都在集合{x |x =n 2,n ∈N }中,则a ⊗b 的值为________. 解析 a ⊗b =|a ||b |cos θ=n 2,b ⊗a =|b ||a |cos θ=m 2,m ,n ∈N .由a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,知cos 2θ=mn 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,故mn =3,m ,n ∈N .因为|a |≥|b |,所以0<b ⊗a =m 2<1,所以m =1,n =3,所以a ⊗b =32.答案 32。