2004考研数四真题及解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若0sin lim

(cos )5x x x

x b e a

→-=-，则a =

，b =.

(2) 设1

ln arctan 22+-=x x

x

e e e y ，则

1

x dy dx ==

.

(3) 设⎪⎩

⎪⎨⎧≥

-<≤-=21,12121,)(2

x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.

(4) 设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=10000

1010A ，AP P B 1-=，其中P 为三阶可逆矩阵, 则200422B A -=．

(5) 设()

3

3⨯=ij a A 是实正交矩阵，且111=a ，T

b )0,0,1(=，则线性方程组b Ax =的解是

．

(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=

>}{DX X P .

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 函数2

)

2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界( ) (A) (-1 , 0).

(B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3).

(8) 设f (x )在(,)-∞+∞内有定义，且a x f x =∞

→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,00

,)1()(x x x f x g ，则( )

(A)0x =必是()g x 的第一类间断点. (B) 0x =必是()g x 的第二类间断点. (C) 0x =必是()g x 的连续点.

(D) ()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关.

(9) 设()(1)f x x x =-, 则 ( )

(A) 0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B) 0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C) 0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D) 0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.

(10) 设⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0,10,00

,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0

)()(，则 ( )

(A) ()F x 在0x =点不连续.

(B) ()F x 在(,)-∞+∞内连续，但在0x =点不可导. (C) ()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足)()(x f x F ='.

(D) ()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.

(11) 设)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是( )

(A) 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得)(0x f >()f a . (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > ()f b . (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .

(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.

(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有( )

(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B .

(13) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,

若αx X P =<}|{|, 则x 等于( ) (A) 2

αu . (B) 2

1αu

-. (C) 2

1αu -. (D) αu -1.

(14) 设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布，且其方差为.02

>σ 令∑==n

i i X n Y 1

1，

则( )

(A) Cov(.),2

1n

Y X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .

(C) 212)(σn n Y X D +=

+. (D) 2

11)(σn

n Y X D +=-.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分8分)

求)cos sin 1(lim 2220x

x

x x -→. (16) (本题满分8分)

求

⎰⎰++D

d y y x σ)(

22，其中D 是由圆422=+y x

和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).

(17) (本题满分8分)

设(,)f u v f (u , v )具有连续偏导数，且满足(,)(,)u v f u v f u v uv ''+=. 求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格(0,20)P ∈，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；

(II) 推导

)1(d E Q dP

dR

-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加.

(19) (本题满分9分)

设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0

,)(22x e

x e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何0t >，

)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F x ≤≤的面积. 求

(I) ()S t = S -)(1t S 的表达式； (II) ()S t 的最小值.

(20) (本题满分13分)

设线性方程组