第六章概率分布解读
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教育与心理统计学第六章：概率分布
生活中有很多这样的事例
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
第六章概率分析
T 70 65 60 56
正态分布表的应用
①将原始数据整理为次数 分布表； ②计算各组上限以下累加 次数； ③计算各组中点以下累加 次数； ④计算各组中点以下累积 比率； ⑤查正态分布表，将概率 转化为Z分数； ⑥将正态化以后的Z值进行 线性转换：T=10Z+50
140135130125-
120115110105100959085807570-
122
117 112 107 102 97 92 87 82 77 72
28
16 16 8 9 8 7 6 6 5 5
0.14
-0.17 -0.40 -0.59 -0.73 -0.90 -1.06 -1.25 -1.46 -1.70 -2.12
51
48 46 44 43 41 39 38 35 33 29
分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；
先抽一白球、后抽一黑球。
3 2 2 3 P 0.48 5 5 5 5
例4
一枚硬币掷3次，或三枚硬币各掷一次，问出现两
次或两次以上H的概率是多少？
解：可能出现的情况有：HHH HHT HTH THH TTH
THT HTT TTT共8种。每种情况出现的概率，为
根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为
离散型随机变量与连续型随机变量。
当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离
散型随机变量。如投掷一枚硬币4次，几次正面朝上？因 取值只能为0、1、2、3、4，故为离散型随机变量。
离散分布与连续分布
离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分
布是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率 分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。
第六章 概率论基础知识
• 事实上，若事件A相对于事件B是独立的，即P(A｜B)=P(A),那么,当
P(A)>0时,有P(B｜A)= 独立的。
P( AB) P( A)
=
P( A) P( B) =P(B)即事件B相对于事件A也是 P( A)
• 若两事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立。若四对事件
{A,B},{ A ,B},{A, B },{ A , B }中有一对是相互独立的,则另外三对 也是相互独立的。任意两个事件A、B，满足下列条件之一，就称为相 互独立的随机事件： ⑴P(A｜B)=P(A)且P(B)>0； ⑵P(B︱A)=P(B)且P(A)>0。 对任意两个相互独立的事件A、B,有 P(AB)=P(AB)=P(A｜B)P(B)=P(A)P(B)
P A 乙 P 乙
0.08 0.5714 0.14
• 4.随机事件的独立性
设A,B是两个事件,一般而言P(A)P(A｜B),这表示事件B的发生对事件 A的发生的概率有影响,只有当P(A)=P(A｜B)时才可以认为B的发生与 否对A的发生毫无影响,就称两事件是独立的.其直观意义也比较明确: 若无论事件B的发生与否,对事件A的概率都没有影响,那么,事件A对于 事件B是独立的。由于从“A相对于B独立”，推导出“B相对于A独 立”，所以，只要P(A｜B)= P(A)成立,我们就说,A与B是相互独立的。
表6-2 分布计算表
离散型随机变量
X的取值
－1
2
3
X的概率 1／6
1／2
1／3
2.离散随机变量的累积概率
P(X≤x)的概率，称为随机变量X(小于等于x)的累积概率，在例1中，随机 变量X≤2的累积概率为P(X≤2)=2／3。
第六章 6.2 马尔可夫链的概率分布
0 .6 5 P = 0 .1 5 0 .1 2 0 .2 8 0 .6 7 0 .3 6 0 .0 7 0 .1 8 0 .5 2
如果个体当前收入等级为3，试分析经过三代后个体收 入等级转变为2的可能性，进一步分析经过n代后个体 收入等级的概率分布，并具体计算n=10时，个体收入 等级的概率分布。
i
= ∑ P ( X 0 = i, X n = j )
i
= ∑ P( X 0 = i) ⋅ P( X n = j X 0 = i)
i
= ∑ q p (0)
(0) i (n) ij i
n ≥ 0, i, j ∈ S
对于齐次马尔可夫链，上述结论可表示为
q
(n)
=q P , n≥0
(0) n
有限维分布 定理6.2.2 马尔可夫链X的有限维分布由其初始分 布和一步转移概率所完全确定. 证明 对∀n ≥ 1, ∀0 ≤ t1 < t2 < ⋯ < tn , i1 , i2 , ⋯, in , i ∈ S
i
= ∑ P ( X 0 = i, X t1 = i1 , X t2 = i2 ,⋯ , X tn = in )
i
= ∑ P ( X 0 = i ) ⋅ P( X t1 = i1 X 0 = i ) ⋅ P ( X t2 = i2 X 0 = i, X t1 = i1 )
i
⋅⋯ ⋅ P ( X tn = in X 0 = i , X t1 = i1 ,⋯ , X tn−1 = in −1 )
(2) 其中p02 为两步转移概率，是两步转移概率
矩阵中第一行第三列元素.
（2） 而P = P2
= 5 9 3 9 1 6 3 9 7 18 5 12 1 9 5 18 5 12
如果个体当前收入等级为3，试分析经过三代后个体收 入等级转变为2的可能性，进一步分析经过n代后个体 收入等级的概率分布，并具体计算n=10时，个体收入 等级的概率分布。
i
= ∑ P ( X 0 = i, X n = j )
i
= ∑ P( X 0 = i) ⋅ P( X n = j X 0 = i)
i
= ∑ q p (0)
(0) i (n) ij i
n ≥ 0, i, j ∈ S
对于齐次马尔可夫链，上述结论可表示为
q
(n)
=q P , n≥0
(0) n
有限维分布 定理6.2.2 马尔可夫链X的有限维分布由其初始分 布和一步转移概率所完全确定. 证明 对∀n ≥ 1, ∀0 ≤ t1 < t2 < ⋯ < tn , i1 , i2 , ⋯, in , i ∈ S
i
= ∑ P ( X 0 = i, X t1 = i1 , X t2 = i2 ,⋯ , X tn = in )
i
= ∑ P ( X 0 = i ) ⋅ P( X t1 = i1 X 0 = i ) ⋅ P ( X t2 = i2 X 0 = i, X t1 = i1 )
i
⋅⋯ ⋅ P ( X tn = in X 0 = i , X t1 = i1 ,⋯ , X tn−1 = in −1 )
(2) 其中p02 为两步转移概率，是两步转移概率
矩阵中第一行第三列元素.
（2） 而P = P2
= 5 9 3 9 1 6 3 9 7 18 5 12 1 9 5 18 5 12
第六章 6.4 转移概率的极限与平稳分布
(v) (nd j r v)
ij
jj
v1
除n时,p(jjn) 0. 仅当v ld j r时，
n
f p (ld j r ) ((nl )d j )
ij
jj
l 0
l 0，1， ,n有
p(nd j r v) jj
0)
n
即 p f p (nd j r) ij
(ld j r ) ((nl )d j )
一个平稳分布，如果有
j i pij , iS
或矩阵形式为
＝Ｐ
jS
其中 ={1,2, }, P ( pij )为X的转移概率矩阵。
显然 若概率分布{ j , j S}是齐次马氏链X
的平稳分布，则也有
j
p , (n) i ij
j S, n 1, 2,
iS
或矩阵形式为
＝Ｐn
总之，:当马氏链X={X n, n 0,1, }为不可约的遍历链时，
事实上若上式对某个j成立严格不等式则两边事实上若上式对某个j成立严格不等式则两边关于j求和得证极限满足条首先反复利用可以得到ikkjikkjikkj又由于转移概率一致有界因此令n又由于转移概率一致有界因此令nlimli最后证的唯一性唯一性得证例643设在任意一天里人的情绪是快乐的一般的和忧郁的
6.4 转移概率的极限与平稳分布
(n)不存在
jj
综上，转移概率的极限有不同的情况，为此，关于转 移概率极限问题的讨论做以下假设：
总假定 j是正常返且i是非常返 或者 j和i属于同一个正常返类
又考虑到，当j为正常返周期态时，lim n
p（jjn）不存在，
但是状态转移遵从周期链原则，为此, 一般讨论以下 形式的极限
lim
《概率与数理统计》第06章 - 样本及抽样分布
(3)g( x1, x2 ,L xn )是统计量g(X1, X2 ,L Xn )的观察值
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估计法的 理论根据
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,L .
(3)证明：E(S2 )
定义 设X1 , X2 ,L , Xn是来自总体X的一个样本， g( X1 , X 2 ,L , X n )是X1 , X 2 ,L , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1 , X 2 ,L , X n )称是一 个统计量.
请注意 :
(1)X1, X2 ,L
X
是样本，也是随机变量
n
(2)统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
1
e
(
xi 2
2
)2
2
n
( xi )2
1
e i1 2 2
n
2
第二节
抽样分布
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
概率论 第六章 样本及抽样分布
函数Fn(x)为 Fn(x)=S(x)/n , -∞<x< +∞。
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
概率论与数理统计-第六章
大街上随机抽取200人，进行调查。记录了
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
第六章__概率分布
面积的95%；正负2.58个标准差之间，包含总面积的 99%；正负3个标准差之间，包含总面积的99.74%。
二、正态分布表的编制与使用
• （一）正态分布表的编制与结构
• 正态分布表的结构一般包括三栏
• 第一栏：Z分数单位；
• 第二栏：密度函数或比率数值（y）；
• 第三栏：概率值（p）。
• （二）正态分布表的使用
2
3
• 当g2=0时，正态分布的峰度；g2>0时，分布的峰度 比正态分布的峰度低阔；g2<0时，表明分布的峰度比 正态分布的峰度高狭。当N>1000时，g2值才比较可 靠。
• （三）累加次数曲线法
• 正态分布概率曲线和样本的累加频率曲线完全重
合说明样本分布为正态；若偏离，则不符合。
• 四、正态分布理论在测验中的应用
-0.84 -0.525 0 0.84 1.645 2.33
4.160 4.475 5.000 5.840 6.645 7.330
• （三）在能力分组或等级评定时确定人数
• ①将6个标准差除以分组的或等级的数目，做到Z
分数等距；
• ②查正态分布表，从Z求p，即各等级或各组在等
距的情况下应有的比率； • ③将比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分 组该有的人数。
• （二）二项分布
• 二项分布：试验仅有两种不同性质结果的概率分布。也称 两个对立事件的概率分布。
• 二项分布同二项定理有着密切的关系：
n 1 n1 n1 n1 n n (p+q)n =C0 p +C p q + +C pq +C n n n nq
x x n x (p +q)n = Cn pq n
二、正态分布表的编制与使用
• （一）正态分布表的编制与结构
• 正态分布表的结构一般包括三栏
• 第一栏：Z分数单位；
• 第二栏：密度函数或比率数值（y）；
• 第三栏：概率值（p）。
• （二）正态分布表的使用
2
3
• 当g2=0时，正态分布的峰度；g2>0时，分布的峰度 比正态分布的峰度低阔；g2<0时，表明分布的峰度比 正态分布的峰度高狭。当N>1000时，g2值才比较可 靠。
• （三）累加次数曲线法
• 正态分布概率曲线和样本的累加频率曲线完全重
合说明样本分布为正态；若偏离，则不符合。
• 四、正态分布理论在测验中的应用
-0.84 -0.525 0 0.84 1.645 2.33
4.160 4.475 5.000 5.840 6.645 7.330
• （三）在能力分组或等级评定时确定人数
• ①将6个标准差除以分组的或等级的数目，做到Z
分数等距；
• ②查正态分布表，从Z求p，即各等级或各组在等
距的情况下应有的比率； • ③将比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分 组该有的人数。
• （二）二项分布
• 二项分布：试验仅有两种不同性质结果的概率分布。也称 两个对立事件的概率分布。
• 二项分布同二项定理有着密切的关系：
n 1 n1 n1 n1 n n (p+q)n =C0 p +C p q + +C pq +C n n n nq
x x n x (p +q)n = Cn pq n
心理统计学课件第六章 概率分布
（三）正态分布的特征
正态分布的形式是对称的，它的对称轴是 经过平均数点的垂线。
正态分布的中央点（即平均数点）最高， 然后逐渐向两侧下降。
正态曲线下的面积为1，平均数点的垂线 将面积划分为相等的两部分0.50。
正态分布曲线，标准差与概率有一定的数 量关系。
二、正态分布表的结构与使用
2、已知P值，求Z分数
已知从平均数开始的概率值，求Z值 已知位于两端的概率值，求该概率分界点
上的Z值 已知正态曲线中间部分的概率，特定区间的人数 求考试成绩中某一特定人数比率的分数界
限 按能力分组或等级评定时确定人数 将等级评定结果转化为测量数据
按能力分组或等级评定时确定人数
要把100人在某一能力上分成5个等级， 各等级应该有多少人？
将等级评定结果转化为测量数据
某教师评价全班50人的作文，有8人优， 17人良，20人中，5人及格，求各等级的 标准分数
求考试成绩中特定区间的人数
已知某年级200名学生考试呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲 的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低 的学生人数是多少？
求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10 分，要择优录取25%的学生进入高一级学 校学习，问最低分数线应是多少？
第六章 概率分布 第三节 正态分布
一、正态分布特征
（一）正态分布的概念 与二项概率分布对比 变量类型 图形
正态分布：
在一个概率分布中，中间频数多，两 端频数对称地减少，成为一种“钟”形对 称的理论概率分布。
（二）正态分布曲线
标准正态分布的密度函数：
概率论与数理统计第六章总结
概率论与数理统计第六章总结概率论与数理统计是数理学科中的重要分支，其应用广泛，涉及到许多领域，如工程、物理、自然科学、医学、经济学等等。
第六章主要讲述了离散型随机变量的概率分布、期望值、方差及其应用。
首先我们了解到离散型随机变量是指取值有限或者可以无限但是可以和自然数一一对应的随机变量，即不连续的随机变量。
其中概率分布的概念是很重要的，它告诉我们每种随机变量取值的可能性大小，从而可以计算一些重要的数值。
比如期望值，期望值是随机变量取值的平均值，它可以用概率分布函数计算得到。
期望值可以给我们一个随机变量所处于某个状态的平均位置，或者它对某个事件发生的平均贡献。
方差也是一个非常重要的概念，它是随机变量值与其期望值之差的平方的期望值。
方差表示了随机变量的分布范围，也就是它们取值的变化程度。
方差越大，代表随机变量距离其期望值越远，该随机变量取值的范围也相应较大。
求期望值和方差的过程中有一些公式会显著提高计算效率，比如线性变换的公式、缩放变换的公式、Chebyshev不等式等等。
这些公式的应用有助于简化计算，并且能帮助我们更容易地理解问题。
我们还讨论了一些常见离散型随机变量的概率分布，比如伯努利分布、二项分布、泊松分布等等。
这些分布的出现在实际问题中都有着很重要的意义，比如伯努利分布描述了实验只有两种可能结果的概率分布，比如是/否、头/尾等等。
而二项分布则描述了实验中成功的概率和试验次数的关系，给我们解决实际问题提供了基础。
除了离散型随机变量，我们还可以研究连续型随机变量的概率分布以及相应的数学理论。
这些知识在实际应用中也具有重要意义。
比如在统计财务账目时，需要研究一些连续型随机变量的概率分布，以便预测下一期客户付款时间的分布情况。
又比如在流量预测中，需要研究一些连续型随机变量的概率分布，以便预测某个时间段内的网络流量。
总之，离散型随机变量理论是概率论的核心内容，对于理解整个概率论课程和进行实际应用都有着重要的意义。
概率论与数理统计第六章总结
概率论与数理统计第六章总结一、概述在概率论与数理统计的第六章中，主要介绍了随机变量的概率分布以及常见的概率分布模型。
本章内容是概率论与数理统计的重点和难点之一，对于理解和应用概率统计的基本理论和方法具有重要意义。
二、随机变量的概率分布1. 随机变量及其概率分布的概念•随机变量是对随机试验结果的数值化描述，它的取值不仅依赖于随机试验的结果，还受到机会因素的影响。
•概率分布描述了随机变量可能取值的概率大小。
常用的概率分布有离散型和连续型两种。
2. 离散型随机变量及其概率分布•离散型随机变量的取值是有限或可列的，它的概率分布可以用概率质量函数来描述。
•常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项分布、泊松分布等。
3. 连续型随机变量及其概率分布•连续型随机变量的取值是无限的，它的概率分布可以用概率密度函数来描述。
•常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布等。
三、常见概率分布模型1. 二项分布•二项分布是指在 n 重伯努利试验中，成功的次数服从的概率分布。
其概率质量函数为二项式系数与成功概率的乘积。
•二项分布在实际应用中常用于描述成功次数的分布情况，如抽样调查中的样本中某一特征出现的次数。
2. 泊松分布•泊松分布是定义在非负整数集上的概率分布，它描述了在一段时间或空间内事件发生的次数。
其概率质量函数为事件发生率与时间（或空间）长度的乘积。
•泊松分布常用于描述罕见事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、一段时间内事故发生次数等。
3. 正态分布•正态分布是最重要的连续型概率分布模型之一，也称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值。
•正态分布在实际应用中广泛存在，如身高体重、测量误差、考试成绩等符合正态分布的情况较多。
4. 指数分布•指数分布是定义在非负实数集上的连续型概率分布，它描述了连续时间间隔或空间间隔内事件发生的情况。
其概率密度函数呈指数下降曲线。
•指数分布在实际应用中常用于描述无记忆性随机事件的发生情况，如设备失效时间、极端天气事件的间隔等。
概率论第六章样本及抽样分布
2 1 2 2
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
第六章.ppt数理统计
用频率近似概率
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
第6章概率分布
e
Cn
k!
其中λ=np,通常当n≥20,p≤0.05时,就可采用该近似公式.
返回
泊松分布<举例>
[例]假定某航空公司预顶票处平均每小时接到42次定票,那么10分钟内 恰好接到6次的概率是多少?
解:设X=10分钟内航空公司预定票处接到的次数
10427
60
P(X6)76e7 0.149 6!
泊松分布<举例>
X=xi
x1， x2， x3，…， xn
P(X=xi)=pi p1， p2， p3，…， pn
返回
离散型随机变量的概率分布〔举例〕
[例]投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散型随机变量.写出 掷一枚骰字出现点数的概率分布. 概率分布
X=xi P(X=xi)=pi
1 ， 2 ， 3 ， 4， 5 ， 6 1/6，1/6，1/6 ，1/6， 1/6 ， 1/6
则称f〔x〕为连续型随机变量X的概率密度函数.
注意：
f〔x〕不是概率,它表示X所有取值x及其频数f〔x〕
返回
概率密度函数
在平面直角坐标系中画出f〔x〕的图形,则对于任何实数x1＜x2,P 〔x1＜X≤x2〕是该曲线下从x1到x2的面积
P(aXb） bf（ x） dx a
分布函数
对密度函数f〔x〕的积分
连续型随机变量的概率分布
由于连续型随机变量的取值是某个区间,无法一一列举,因此不能 用分布列来描述这类随机变量的统计规律.通常我们用数学函数的 形式或分布函数的形式来描述. 设X为一连续型随机变量,x为任意实数,X的概率密度函数记为f 〔x〕,它满足以下两个条件： f〔x〕≥0 ,即概率密度曲线在x轴的上方； ∫f〔x〕dx=1,即曲线与x轴之间的面积为1.
管理统计学6 第六章 概率及其分布
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6.4 二项分布和泊松分布
6.4.1 二项分布
由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向 中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时，均 值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的变 化而变化，当P=0.5时基本对称。
式中，Cnx
n!
x!n
x!
表示n个产品取x个不合格品的组合数。
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6.4 二项分布和泊松分布
6.4.1 二项分布
例题: 已知产品合格率为0.9，对产品检验100次，出现2次不合格品的概 率。 解:
C1200 0.120.91002 4950 0.01 0.00003279 0.0016231
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6.3 正态分布
6.3.1 正态分布的特点
总体落在总体平均数1倍标准差周围的概率为68.26%。即 当t=1时，则有
P X P X 1 68.26%
总体落在总体平均数2倍标准差周围的概率为95.45%。即 当t=2时，则有
二项分布的均值为 标准差为
np
npq
由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向 中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时， 均值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的 变化而变化，当P=0.5时基本对称。
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学习目标
本章要掌握: 1. 数据与概率的关系; 2. 从概率分布上把握统计的特点; 3. 正态分布及其概率计算方法（学习的重点)。
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第六章概率分布2-二项分布、样本分布
抽样图示
抽样图示
回顾直方图、正态分布、近似正态
概率直方图——正态曲线
把一枚硬币抛100次，可能的型式有多少种？出现其中一种型 式的先验概率是多少？怎么计算？
正态近似：每个人都相信【正态近似】，试验者想这 是一个数学定理，数学家想这是一个试验事实。—— G.Lippman法国物理学家(1845-1921)
χ2分布为正偏态分布，自由度越小，偏 斜度越大，当自由度无限增大时，χ2分 布趋于正态分布
在统计检验中，χ2是计数资料分析常用 的统计检验方法。
189页， χ2的和服从自由度的和的χ2分 布
样本分布之四——F分布
F分布是由美国统计学家斯纳德克 （G.W.Snedecor）提出的一种分布。
概率P（A）的数学定义
P(A) Lim n N N
概率的运算规则
概率运算（n个事件同时发生） 加法：互不相容事件
乘法：互相独立的事件
互不相容事件和互斥事件
正态分布
概率密度函数式 正态分布图形态、构成、概率分布特点 正态分布的应用
总体——样本——样本点 正态分布——标准量尺 统一度量衡目的是什么——公平与效率
频率：FN(A)=n/N 概率：当观测次数N趋近于无穷大＋∞时，
FN(A)趋近于一个稳定的数值，我们把它叫做 事件A发生的概率P（A）。
显然，如果对于事件A，经过无穷大＋∞的观察， 果然存在一个P（A）值，那么这个值是由随机事 件本身客观的属性决定的。
在事件A发生的条件稳定的话，它的发生只有唯一 一个P（A）值与它对应。
正态分布曲线下，标准差和概率有一定的数量关系。
正态分布表包括三个部分内容：Z分数、y值和p值。
第六章概率与概率分布-精选
B B /A 或 A A /B
2020/5/30
11
两之 随间 机的 事关 件系
2020/5/30
12
3. 先验概率
在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古
典法和频率法。
由普拉斯1814年提出。以 想象总体为对象，利用模型本
用古典 法求出
身所具有的对称性来事先求得 概率，故被称为先验概率 。
的概率
1.样本点 2.样本空间
随机试验的每一个可能 的结果，称为基本事件
（或称样本点）
所有样本点的全体称作样本空 间(Sample space)，记作Ω
[例] 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。
2020/5/30
6
随
简单事件：仅含样本空间中
一个样本点的事件。
P() 0
机
P(S) 1
事
复合事件：含样本空间中一
件
个样本点以上的的事件。
极端的 随机事件
2020/5/30
不可能事件：从样本空间来看 ， 不含任何基本事件，记作Φ 。
必然事件：从样本空间来看 ， 该事件事件是由其全部基本事件 所组成，记作S 。
0P (E )17
[例 ] 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下
事件：①A为“点数是3”；②B为“出现奇数
事件B至少有一个事件发生所构成的事件C称为A 与B的事件和，记作
AB或 AB
（2）事件积(As-well-as conjunction)——事 件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与B 的事件积，记作
AB或A B
2020/5/30
9
（3）事件的包含与相等——事件A发生必然 导致事件B发生，则称为B包含A记作
2020/5/30
11
两之 随间 机的 事关 件系
2020/5/30
12
3. 先验概率
在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古
典法和频率法。
由普拉斯1814年提出。以 想象总体为对象，利用模型本
用古典 法求出
身所具有的对称性来事先求得 概率，故被称为先验概率 。
的概率
1.样本点 2.样本空间
随机试验的每一个可能 的结果，称为基本事件
（或称样本点）
所有样本点的全体称作样本空 间(Sample space)，记作Ω
[例] 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。
2020/5/30
6
随
简单事件：仅含样本空间中
一个样本点的事件。
P() 0
机
P(S) 1
事
复合事件：含样本空间中一
件
个样本点以上的的事件。
极端的 随机事件
2020/5/30
不可能事件：从样本空间来看 ， 不含任何基本事件，记作Φ 。
必然事件：从样本空间来看 ， 该事件事件是由其全部基本事件 所组成，记作S 。
0P (E )17
[例 ] 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下
事件：①A为“点数是3”；②B为“出现奇数
事件B至少有一个事件发生所构成的事件C称为A 与B的事件和，记作
AB或 AB
（2）事件积(As-well-as conjunction)——事 件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与B 的事件积，记作
AB或A B
2020/5/30
9
（3）事件的包含与相等——事件A发生必然 导致事件B发生，则称为B包含A记作
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Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生，这样的两个 事件为互不相容事件。 加法定理(additive rule)：两互不相容事件A、 B之和的概率，等于这两个事件概率之和。即
P( AB) PA PB
P( A1A2 +An ) P A1 P A2 P An
（三）概率的乘法定理 独立事件：一个事件的出现对另一个事件的出
【例】 从52张扑克牌（去掉大小王牌）中有放回地连续抽两
张牌，即抽完第一张后将所抽的牌再放回去，混合好 后再抽第二张。 （1）第一次抽取红桃K第二次抽取方块K的概率是多 少？ （2）第一次抽取红桃第二次抽取方块的概率是多少？ （3）抽牌两次皆为红色的概率是多少？
【例6-1】一枚硬币掷三次，或三枚硬币各 掷一次，问出现两次或两次以上H的概率是 多少？
方程为
y
1
X 2
e
2 2
2
分布函数与概率密度函数
分布函数F(x)=P(X<x)，表示随机变量X的值小于x 的概率。
概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变 化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那 么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx， 即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。
解：投掷硬币可能出现八种结果（HHH、
HHT、HTH、THH、TTH、THT、HTT、
TTT）。每种结果可能出现的概率，依概率
乘法规则计算：1 1 1 1 各为 1 。
222 8
8
设P(A)代表3次H的概率，P(B)代表 “HHT”这种结果的概率，P(C)代表 “HTH”的概率，P(D)代表“THH”的概 率。依据概率加法规则计算：
（一）后验概率(posterior probability)或
统计概率
随机事件A的频率
W( A)
m n
当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一
个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。
m
P A
lim
n
n
（二）先验概率(prior probability)或古典概 率
古典概率模型要求满足两个条件： ⑴ 实验的所有可能结果（基本事件）是有限
P A B C D P A PB PC PD
1111 1 8888 2
三、概率分布类型
概率分布(probability distribution)：对
随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函 数）进行描述，一般用概率分布函数进行描述。 概率分布依不同的标准可以分为不同的类型。
（二）经验分布与理论分布 依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与
理论分布。Байду номын сангаас 经验分布(empirical distribution)：根据观察或实验
所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。 理论分布(theoretical distribution)：随机变量概率
分布的函数-数学模型；按某种数学模型计算出的 总体的次数分布。
（一）离散分布与连续分布 离散分布：离散型随机变量的概率分布，即计
数数据的概率分布。常用的离散分布有二项分 布(binomi distribution)、泊松分布 (Poisson distribution)和超几何分布 (hypergeometric distribution)等。
连续分布：连续随机变量的概率分布，即测 量数据的概率分布。常用的连续分布有正态 分布、负指数分布、威布尔分布等。
第六章 概率分布
第一节 第二节 第三节 第四节
概率的基本概念 正态分布 二项分布 抽样分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 在心理与教育研究中，大部分现象属于随机现
象，随机现象又称随机事件。 随机是指在一定条件下可能出现也可能不出现
的，表明随机事件出现可能性大小的客观指标 就是概率（probability）。 概率的定义有两种，即后验概率和先验概率。
样本统计量主要有平均数、两平均数之差、 方差、标准差、相关系数、回归系数、百分 比率（或概率）等。
统计量是基本随机变量的函数，故抽样分布 也称随机变量函数的分布。
基本随机变量分布与抽样分布是应用于统计 学上的理论分布，是统计推论的重要依据， 只有对它们真正了解，才能明确各种统计方 法的应用条件及注意问题，并对各种具体方 法有较为深刻的理解。
随机变量概率分布的性质，由它的特征数来 表达。这些特征数主要有期望值（理论平均 数）和方差。
（三）基本随机变量分布与抽样分布 依概率分布所描述的数据特征，可将概率分布
分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。 基本随机变量分布：随机变量各种不同取值情 况的概率分布，常用的有二项分布、正态分布。 抽样分布：从同一总体内抽取的不同样本的统 计量的概率分布。
现不发生影响。
相关事件或相依事件：事件A的概率随事件B是 否出现而改变，事件B的概率随事件A是否出现 而改变。
乘法定理(product rule)：两个独立事件同 时出现的概率等于这两事件概率的乘积。
P( AB) PA PB
P( A1A2 An ) P A1 P A2 P An
概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。 “密度”一词可以由此理解。
（二）正态分布的特征
1.正态分布的形式是对称的，其对称轴是经过 平均数点的垂线。
2.正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下 降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐 点位于正负1个标准差处，曲线两端向靠近基 线处无限延伸，但终不能与基线相交。
第二节 正态分布
正态分布(normal distribution)：常态分 布、常态分配，是连续随机变量概率分布的一 种，在数理统计的理论与实际应用中占有最重 要地位的一种理论分布。
棣·莫弗、拉普拉斯、高斯
一、正态分布特征 （一）正态分布曲线函数 正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般
的； ⑵ 每一种可能结果出现的可能性相等。
P( A)
m n
二、概率的基本性质 （一）概率的公理系统 1．任何一个随机事件Ａ的概率都是非负的。
0 ≤ P（A）≤1 2．不可能事件的概率等于零。 3．必然事件的概率等于1。
（二）概率的加法定理 互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件
P( AB) PA PB
P( A1A2 +An ) P A1 P A2 P An
（三）概率的乘法定理 独立事件：一个事件的出现对另一个事件的出
【例】 从52张扑克牌（去掉大小王牌）中有放回地连续抽两
张牌，即抽完第一张后将所抽的牌再放回去，混合好 后再抽第二张。 （1）第一次抽取红桃K第二次抽取方块K的概率是多 少？ （2）第一次抽取红桃第二次抽取方块的概率是多少？ （3）抽牌两次皆为红色的概率是多少？
【例6-1】一枚硬币掷三次，或三枚硬币各 掷一次，问出现两次或两次以上H的概率是 多少？
方程为
y
1
X 2
e
2 2
2
分布函数与概率密度函数
分布函数F(x)=P(X<x)，表示随机变量X的值小于x 的概率。
概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变 化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那 么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx， 即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。
解：投掷硬币可能出现八种结果（HHH、
HHT、HTH、THH、TTH、THT、HTT、
TTT）。每种结果可能出现的概率，依概率
乘法规则计算：1 1 1 1 各为 1 。
222 8
8
设P(A)代表3次H的概率，P(B)代表 “HHT”这种结果的概率，P(C)代表 “HTH”的概率，P(D)代表“THH”的概 率。依据概率加法规则计算：
（一）后验概率(posterior probability)或
统计概率
随机事件A的频率
W( A)
m n
当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一
个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。
m
P A
lim
n
n
（二）先验概率(prior probability)或古典概 率
古典概率模型要求满足两个条件： ⑴ 实验的所有可能结果（基本事件）是有限
P A B C D P A PB PC PD
1111 1 8888 2
三、概率分布类型
概率分布(probability distribution)：对
随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函 数）进行描述，一般用概率分布函数进行描述。 概率分布依不同的标准可以分为不同的类型。
（二）经验分布与理论分布 依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与
理论分布。Байду номын сангаас 经验分布(empirical distribution)：根据观察或实验
所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。 理论分布(theoretical distribution)：随机变量概率
分布的函数-数学模型；按某种数学模型计算出的 总体的次数分布。
（一）离散分布与连续分布 离散分布：离散型随机变量的概率分布，即计
数数据的概率分布。常用的离散分布有二项分 布(binomi distribution)、泊松分布 (Poisson distribution)和超几何分布 (hypergeometric distribution)等。
连续分布：连续随机变量的概率分布，即测 量数据的概率分布。常用的连续分布有正态 分布、负指数分布、威布尔分布等。
第六章 概率分布
第一节 第二节 第三节 第四节
概率的基本概念 正态分布 二项分布 抽样分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 在心理与教育研究中，大部分现象属于随机现
象，随机现象又称随机事件。 随机是指在一定条件下可能出现也可能不出现
的，表明随机事件出现可能性大小的客观指标 就是概率（probability）。 概率的定义有两种，即后验概率和先验概率。
样本统计量主要有平均数、两平均数之差、 方差、标准差、相关系数、回归系数、百分 比率（或概率）等。
统计量是基本随机变量的函数，故抽样分布 也称随机变量函数的分布。
基本随机变量分布与抽样分布是应用于统计 学上的理论分布，是统计推论的重要依据， 只有对它们真正了解，才能明确各种统计方 法的应用条件及注意问题，并对各种具体方 法有较为深刻的理解。
随机变量概率分布的性质，由它的特征数来 表达。这些特征数主要有期望值（理论平均 数）和方差。
（三）基本随机变量分布与抽样分布 依概率分布所描述的数据特征，可将概率分布
分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。 基本随机变量分布：随机变量各种不同取值情 况的概率分布，常用的有二项分布、正态分布。 抽样分布：从同一总体内抽取的不同样本的统 计量的概率分布。
现不发生影响。
相关事件或相依事件：事件A的概率随事件B是 否出现而改变，事件B的概率随事件A是否出现 而改变。
乘法定理(product rule)：两个独立事件同 时出现的概率等于这两事件概率的乘积。
P( AB) PA PB
P( A1A2 An ) P A1 P A2 P An
概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。 “密度”一词可以由此理解。
（二）正态分布的特征
1.正态分布的形式是对称的，其对称轴是经过 平均数点的垂线。
2.正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下 降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐 点位于正负1个标准差处，曲线两端向靠近基 线处无限延伸，但终不能与基线相交。
第二节 正态分布
正态分布(normal distribution)：常态分 布、常态分配，是连续随机变量概率分布的一 种，在数理统计的理论与实际应用中占有最重 要地位的一种理论分布。
棣·莫弗、拉普拉斯、高斯
一、正态分布特征 （一）正态分布曲线函数 正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般
的； ⑵ 每一种可能结果出现的可能性相等。
P( A)
m n
二、概率的基本性质 （一）概率的公理系统 1．任何一个随机事件Ａ的概率都是非负的。
0 ≤ P（A）≤1 2．不可能事件的概率等于零。 3．必然事件的概率等于1。
（二）概率的加法定理 互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件