第六章概率分布解读
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概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。 “密度”一词可以由此理解。
（二）正态分布的特征
1.正态分布的形式是对称的，其对称轴是经过 平均数点的垂线。
2.正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下 降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐 点位于正负1个标准差处，曲线两端向靠近基 线处无限延伸，但终不能与基线相交。
【例】 从52张扑克牌（去掉大小王牌）中有放回地连续抽两
张牌，即抽完第一张后将所抽的牌再放回去，混合好 后再抽第二张。 （1）第一次抽取红桃K第二次抽取方块K的概率是多 少？ （2）第一次抽取红桃第二次抽取方块的概率是多少？ （3）抽牌两次皆为红色的概率是多少？
【例6-1】一枚硬币掷三次，或三枚硬币各 掷一次，问出现两次或两次以上H的概率是 多少？
现不发生影响。
相关事件或相依事件：事件A的概率随事件B是 否出现而改变，事件B的概率随事件A是否出现 而改变。
乘法定理(product rule)：两个独立事件同 时出现的概率等于这两事件概率的乘积。
P( AB) PA PB
P( A1A2 An ) P A1 P A2 P An
（一）离散分布与连续分布 离散分布：离散型随机变量的概率分布，即计
数数据的概率分布。常用的离散分布有二项分 布(binomi distribution)、泊松分布 (Poisson distribution)和超几何分布 (hypergeometric distribution)等。
连续分布：连续随机变量的概率分布，即测 量数据的概率分布。常用的连续分布有正态 分布、负指数分布、威布尔分布等。
第二节 正态分布
正态分布(normal distribution)：常态分 布、常态分配，是连续随机变量概率分布的一 种，在数理统计的理论与实际应用中占有最重 要地位的一种理论分布。
棣·莫弗、拉普拉斯、高斯
一、正态分布特征 （一）正态分布曲线函数 正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般
Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生，这样的两个 事件为互不相容事件。 加法定理(additive rule)：两互不相容事件A、 B之和的概率，等于这两个事件概率之和。即
P( AB) PA PB
P( A1A2 +An ) P A1 P A2 P An
（三）概率的乘法定理 独立事件：一个事件的出现对另一个事件的出
（二）经验分布与理论分布 依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与
理论分布。 经验分布(empirical distribution)：根据观察或实验
所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。 理论分布(theoretical distribution)：随机变量概率
分布的函数-数学模型；按某种数学模型计算出的 总体的次数分布。
（一）后验概率(posterior probability)或
统计概率
随机事件A的频率
W( A)
m n
当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一
个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。
m
P A
lim
n
n
（二）先验概率(prior probability)或古典概 率
古典概率模型要求满足两个条件： ⑴ 实验的所有可能结果（基本事件）是有限
P A B C D P A PB PC PD
1111 1 8888 2
三、概率分布类型
概率分布(probability distribution)：对
随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函 数）进行描述，一般用概率分布函数进行描述。 概率分布依不同的标准可以分为不同的类型。
第六章 概率分布
第一节 第二节 第三节 第四节
概率的基本概念 正态分布 二项分布 抽样分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 在心理与教育研究中，大部分现象属于随机现
象，随机现象又称随机事件。 随机是指在一定条件下可能出现也可能不出现
的，表明随机事件出现可能性大小的客观指标 就是概率（probability）。 概率的定义有两种，即后验概率和先验概率。
随机变量概率分布的性质，由它的特征数来 表达。这些特征数主要有期望值（理论平均 数）和方差。
（三）基本随机变量分布与抽样分布 依概率分布所描述的数据特征，可将概率分布
分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。 基本随机变量分布：随机变量各种不同取值情 况的概率分布，常用的有二项分布、正态分布。 抽样分布：从同一总体内抽取的不同样本的统 计量的概率分布。
样本统计量主要有平均数、两平均数之差、 方差、标准差、相关系数、回归系数、百分 比率（或概率）等。
统计量是基本随机变量的函数，故抽样分布 也称随机变量函数的分布。
基本随机变量分布与抽样分布是应用于统计 学上的理论分布，是统计推论的重要依据， 只有对它们真正了解，才能明确各种统计方 法的应用条件及注意问题，并对各种具体方 法有较为深刻的理解。
的； ⑵ 每一种可能结果出现的可能性相等。
P( A)
m n
二、概率的基本性质 （一）概率的公理系统 1．任何一个随机事件Ａ的概率都是非负的。
0 ≤ P（A）≤1 2．不可能事件的概率等于零。 3．必然事件的概率等于1。
（二）概率的加法定理 互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件
解：投掷硬币可能出现八种结果（HHH、
HHT、HTH、THH、TTH、THT、HTT、
TTT）。每种结果可能出现的概率，依概率
乘法规则计算：1 1 1 1 各为 1 。
222 8
8
设P(A)代表3次H的概率，P(B)代表 “HHT”这种结果的概率，P(C)代表 “HTH”的概率，P(D)代表“THH”的概 率。依据概率加法规则计算：
方程为
y
1
X 2
e
2 2
2
分布函数与概率密度函数
分布函数F(x)=P(X<x)，表示Baidu Nhomakorabea机变量X的值小于x 的概率。
概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变 化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那 么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx， 即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。
（二）正态分布的特征
1.正态分布的形式是对称的，其对称轴是经过 平均数点的垂线。
2.正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下 降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐 点位于正负1个标准差处，曲线两端向靠近基 线处无限延伸，但终不能与基线相交。
【例】 从52张扑克牌（去掉大小王牌）中有放回地连续抽两
张牌，即抽完第一张后将所抽的牌再放回去，混合好 后再抽第二张。 （1）第一次抽取红桃K第二次抽取方块K的概率是多 少？ （2）第一次抽取红桃第二次抽取方块的概率是多少？ （3）抽牌两次皆为红色的概率是多少？
【例6-1】一枚硬币掷三次，或三枚硬币各 掷一次，问出现两次或两次以上H的概率是 多少？
现不发生影响。
相关事件或相依事件：事件A的概率随事件B是 否出现而改变，事件B的概率随事件A是否出现 而改变。
乘法定理(product rule)：两个独立事件同 时出现的概率等于这两事件概率的乘积。
P( AB) PA PB
P( A1A2 An ) P A1 P A2 P An
（一）离散分布与连续分布 离散分布：离散型随机变量的概率分布，即计
数数据的概率分布。常用的离散分布有二项分 布(binomi distribution)、泊松分布 (Poisson distribution)和超几何分布 (hypergeometric distribution)等。
连续分布：连续随机变量的概率分布，即测 量数据的概率分布。常用的连续分布有正态 分布、负指数分布、威布尔分布等。
第二节 正态分布
正态分布(normal distribution)：常态分 布、常态分配，是连续随机变量概率分布的一 种，在数理统计的理论与实际应用中占有最重 要地位的一种理论分布。
棣·莫弗、拉普拉斯、高斯
一、正态分布特征 （一）正态分布曲线函数 正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般
Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生，这样的两个 事件为互不相容事件。 加法定理(additive rule)：两互不相容事件A、 B之和的概率，等于这两个事件概率之和。即
P( AB) PA PB
P( A1A2 +An ) P A1 P A2 P An
（三）概率的乘法定理 独立事件：一个事件的出现对另一个事件的出
（二）经验分布与理论分布 依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与
理论分布。 经验分布(empirical distribution)：根据观察或实验
所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。 理论分布(theoretical distribution)：随机变量概率
分布的函数-数学模型；按某种数学模型计算出的 总体的次数分布。
（一）后验概率(posterior probability)或
统计概率
随机事件A的频率
W( A)
m n
当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一
个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。
m
P A
lim
n
n
（二）先验概率(prior probability)或古典概 率
古典概率模型要求满足两个条件： ⑴ 实验的所有可能结果（基本事件）是有限
P A B C D P A PB PC PD
1111 1 8888 2
三、概率分布类型
概率分布(probability distribution)：对
随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函 数）进行描述，一般用概率分布函数进行描述。 概率分布依不同的标准可以分为不同的类型。
第六章 概率分布
第一节 第二节 第三节 第四节
概率的基本概念 正态分布 二项分布 抽样分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 在心理与教育研究中，大部分现象属于随机现
象，随机现象又称随机事件。 随机是指在一定条件下可能出现也可能不出现
的，表明随机事件出现可能性大小的客观指标 就是概率（probability）。 概率的定义有两种，即后验概率和先验概率。
随机变量概率分布的性质，由它的特征数来 表达。这些特征数主要有期望值（理论平均 数）和方差。
（三）基本随机变量分布与抽样分布 依概率分布所描述的数据特征，可将概率分布
分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。 基本随机变量分布：随机变量各种不同取值情 况的概率分布，常用的有二项分布、正态分布。 抽样分布：从同一总体内抽取的不同样本的统 计量的概率分布。
样本统计量主要有平均数、两平均数之差、 方差、标准差、相关系数、回归系数、百分 比率（或概率）等。
统计量是基本随机变量的函数，故抽样分布 也称随机变量函数的分布。
基本随机变量分布与抽样分布是应用于统计 学上的理论分布，是统计推论的重要依据， 只有对它们真正了解，才能明确各种统计方 法的应用条件及注意问题，并对各种具体方 法有较为深刻的理解。
的； ⑵ 每一种可能结果出现的可能性相等。
P( A)
m n
二、概率的基本性质 （一）概率的公理系统 1．任何一个随机事件Ａ的概率都是非负的。
0 ≤ P（A）≤1 2．不可能事件的概率等于零。 3．必然事件的概率等于1。
（二）概率的加法定理 互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件
解：投掷硬币可能出现八种结果（HHH、
HHT、HTH、THH、TTH、THT、HTT、
TTT）。每种结果可能出现的概率，依概率
乘法规则计算：1 1 1 1 各为 1 。
222 8
8
设P(A)代表3次H的概率，P(B)代表 “HHT”这种结果的概率，P(C)代表 “HTH”的概率，P(D)代表“THH”的概 率。依据概率加法规则计算：
方程为
y
1
X 2
e
2 2
2
分布函数与概率密度函数
分布函数F(x)=P(X<x)，表示Baidu Nhomakorabea机变量X的值小于x 的概率。
概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变 化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那 么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx， 即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。