1.3线段的垂直平分线 第一课时 导学案
线段的垂直平分线的性质导学案
《线段的垂直平分线的性质》导学案一．学习目标：1.探究线段垂直平分线的性质和判定，证明相关结论；2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决简单数学问题；3.学会尺规作图画出线段的垂直平分线。
二．学习过程（一）创设情境：如图：某地由于居民增多，要在公路边增加一个卫生所， A,B 是公路边两个村庄，这个卫生所建在什么位置，能使两个村庄到卫生所的路程一样长？（二）复习引入1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？2.你能画出线段的对称轴吗？（请在右边空白处画出图形）3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？4.什么是线段的垂直平分线？（三）探索性质（四）归纳性质。
（五）证明性质已知： ，求证： 。
（六）运用性质练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 与E ，则△ADE 的周长等 于______． A B CD E2 如图，AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE的垂直平分线上，AB ，AC ，CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE 有什么关系？（七）探索判定反过来，如果PA =PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？（八）证明判定已知： ，求证： 证明：（九）归纳判定线段垂直平分线的判定： 。
（十）运用判定 练习3 如图，直线AM 是线段BC 解：（十一）尺规作图作出线段AB 的垂直平分线（十二）解决问题请同学完成“创设情境”中提出的问题。
（十三）课堂小结（1）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？（十四）布置作业 教科书习题13.1A :第6、9题．B:第9、13题 A B C D E B C D A B。
1.3线段垂直平分线(1)(学案)
第一章 1.3线段的垂直平分线(1)(学案)班别姓名学号学习目标: 1.线段垂直平分线的性质定理，判定定理。
2.会用没有刻度的直尺和圆规画出线段的垂直平分线一、复习：老师演示：用折纸说明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等二、新课讲解：1、用尺规画线段AB的垂直平分线MN具体步骤看课本P27“做一做”A B2、在线段AB的垂直平分线MN上任意找一点P，然后连接PA、PB，求证：PA=PB定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等数学符号表示：∵MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上∴PA=PB3、写出上面命题的逆定理。
(也可写在课本的26页)逆命题：___________________________________，_______________________________. 4、已知：PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
定理：到一条线段两个端点距离相等到的点，在这条线段的垂直平分线上。
∵∴三、练习（可做《同步伴读》P14、15第1到8题）1.如图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若AB =10 cm ，则BD =__________cm ；若PA =10 cm ，则PB =__________cm ；此时，PD =__________cm.2.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°,DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于E ，BE =5，则AE =__________，∠AEC =__________，AC =__________ .3.如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC =5cm ，则AB +BD +AD =________cm ；AB +BD +DC=__________cm ；△ABC 的周长是__________cm.四、作业4.如图，BC 是等腰△ABC 和等腰△DBC 的公共底，则直线AD 必是__________的垂直平分线.5.如图，在锐角三角形ABC 中，∠A =50°，AC 、BC 的垂直平分线交于点O ，则∠1___∠2，∠3___∠4,∠5___∠6,∠2+∠3=____°,∠1+∠4=___°,∠5+∠6=____°,∠BOC =___°.6.如图，D 为BC 边上一点，且BC =BD +AD ，则AD _______DC ，点D 在_______的垂直平分线上.7.（思维训练）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .1题图2题图 3题图 5题图 4题图6题图。
《第1课时 线段的垂直平分线》导学案 2022年最新word版
1.3 线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．(重难点〕2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识.3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.合作探究探究一：线段的垂直平分线的性质定理性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．：如右图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS) ；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．定理运用时的数学语言：∵∴探究二：线段的垂直平分线的判定定理你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，那么需证明它；如果假，那么需用反例说明。
例题：：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且OB = OC.求证：直线AO 垂直平分线段BC。
．证明：∵ AB = AC，∴点 A 在线段BC 的垂直平分线上〔到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上〕.同理，点O 在线段BC 的垂直平分线上.∴直线AO 是线段BC 的垂直平分线〔两点确定一条直线〕.学生是第一次证明一条直线是线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
三.当堂检测1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线，那么〔1〕BD = ；〔2〕假设∠B = 40°，那么∠BAC = °，∠DAB = °，∠DAC = °。
〔3〕假设AC= 4，BC = 5，那么DA + DC = ，△ACD的周长为。
第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。
线段的垂直平分线的性质导学案1
线段的垂直平分线的性质班级________姓名_________学号______________学习目标：：1、初步掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理。
2、会运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。
活动一。
情景引入1、线段垂直平分线的定义： 2请你用直尺作出已知线段AB 的垂直平分线MN ：活动 二、探究新知：探究（一）在MN 上任取一点P ，连结PA 、PB ；量一量：PA 、PB 的长，你能发现什么？再任取一点Q 连结QA 、QB ； 试一试。
由此你能得出什么规律?已知，如图直线MN ⊥AB求证：PA=PB探究（二）反之，如果若PA=PB ，那么P 猜想已知，如图PA=PB,求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上 PA B归纳：线段垂直平分线的性质的推论（线段垂直平分线的判定）：（1）与一条线段两个端点距离相等的点，在 。
（2）由此，我们可以将线段的垂直平分线看成 的集合。
A B 这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这 C活动三。
运用新知1．如图，△ABC的周长为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，E为垂足，BC＝5cm，求△BCD的周长。
2.尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使他经过点C. .C作法：A B活动四。
巩固练习1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，求∠BCD的度数。
活动五。
课后测试1、如图，在△ABC中，AB＝AC，ED垂直平分AB，（1）若∠A＝50°，则∠ABD＝，∠DBC＝。
（2）若BD＝10，则AD= 。
（3）若AB＝14，△BCD的周长为24，则BC= 。
2．如下图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长．3．如图，已知AE=CE，BD⊥AC，求证：DA+BA=BC+DC自我评价：。
线段的垂直平分线导学案(第一课时)苏版数学
线段的垂直平分线导学案（第一课时）苏版数学学习目标：1、通过动手试验把握线段的垂直平分线的定义2、明白得线段垂直平分线与对称轴的关系3、把握线段垂直平分线的性质重点：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
难点：运用线段垂直平分线性质解决问题。
教学过程一、预习新知P31----P331、线段是轴对称图形吗?通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O1)点A的对称点是_______2)量出AO与BO的长度，它们有什么关系?3)AB与直线l在位置上有什么关系?2、通过线段________同时______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线。
3、观看课本P31摸索中的图，线段AA，BB，CC与直线MN的关系是________由上可得：对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系?4、已知直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点，连接AC,BC.1)量出AC,BC的长度，它们有什么关系?2)另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系?3)由1)，2)，你得到什么猜想?4)用我们往常学过的只是证明你的猜想。
6、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________。
7、。
课本P34练习题1.二、课堂展现例1、已知互不平行的两条线段AB, AB关于直线l对称，AB, AB所在的直线交于点P，判定下列正误。
1)AB=AB( ) 2)点P在直线l上( )3)若A, A是对称点，则l垂直平分线段A A( )事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
《线段的垂直平分线》教案 北师大版
1．3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线1．掌握线段垂直平分线的性质；(重点) 2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)一、情境导入如图所示，有一块三角形田地，AB ＝AC ＝10m ，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得△BDC 的周长为17m ，你能帮测量人员计算BC 的长吗？二、合作探究 探究点一：线段的垂直平分线的性质定理【类型一】 应用线段垂直平分线的性质定理求线段的长如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为()A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．17.5cm 解析：∵△DBC 的周长＝BC ＋BD ＋CD ＝35cm ，又∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，故BC ＋AD ＋CD ＝35cm.∵AC ＝AD ＋DC ＝20，∴BC ＝35－20＝15cm.故选C.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【类型二】 线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .求证：(1)FC ＝AD ；(2)AB ＝BC ＋AD . 解析：(1)根据AD ∥BC 可知∠ADC ＝∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB ＝BF 即可．证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠ECF .∵E 是CD 的中点，∴DE ＝EC .又∵∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△FCE ，∴FC ＝AD .(2)∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，AD ＝CF .∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB ＝BF ＝BC ＋CF .∵AD ＝CF ，∴AB ＝BC ＋AD .方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．探究点二：线段的垂直平分线的判定定理如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的关系．解析：先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，易证AD 垂直平分EF .解：AD 垂直平分EF .理由如下：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠EAD ＝∠F AD ，∠AED ＝∠AFD .在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，∠AED ＝∠AFD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，DE ＝DF ，∴直线AD 垂直平分线段EF .方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．三、板书设计1．线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.。
线段的垂直平分线(1)
10.4.线段的垂直平分线（1） 导学案学习目标1、 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.2、 能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论. 学习策略1.线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用2.线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明 学习过程 一.复习回顾：1.线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质定理: 1） 符号语言 ∵ P 在线段AB 的垂直平分线CD 上(如上图1) ∵PD ⊥AB AD=BD ∴ PA =2） 如图2，已知直线AD 是线段AB 的垂直平分线，则AB = 。
3） 如图3，AD 是线段BC 的垂直平分线，AB = 5，BD = 4，则AC = ，CD = ，AD = 。
4） 如图4，在△ABC 中，AB = AC ，∠AED = 50°，则∠B 的度数为 。
图2 图3E DAB CABCD图4二.新课学习：1.线段垂直平分线的判定定理线段垂直平分线的判定: 符号语言∵ PA = PB (如上图1)∴ P 在1） 已知点A 和线段BC ，且AB = AC ，则点A 在 。
2）如果平面内的点C 、D 、E 到线段AB 的两端点的距离相等，则C 、D 、E 均在线段AB 的 。
3）设l 是线段AB 的垂直平分线，且CA = CB ，则点C 一定 。
【合作探究】例题：已知：如下图，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC 。
A BCD三.尝试应用：1如下图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上的点E 处．已知BC=12，∠B=30°，则DE 的长是（ ） A ．3 B ．8 C ．4 D ． 52在△ABC 中，AB = AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60cm 和38cm ，求AB 、BC 。
线段垂直平分线的性质导学案
小结
13．1.2 线段的垂直平分线（一） 导学案 B
课
题
13．1.2 线段的垂直平分线（一）
1、正确理解线段的垂直平分线的概念;
完成时间
40min
学习目标
2、掌握垂直平分线的性质，并会灵活运用它们解决问题.
预习课本 61 页 探索线段垂直平分线的性质.
预习内容 及要求
1、复习旧识：
下列几何图形中：①角；平行四边形；③线段；④正方形，其中轴对称图形有 ( A．①②③ 预习检测 2、课前准备： 经过线段 并且 的直线，叫做这条线段的垂直平分线（又 其所在线段。 叫线段的中垂线）。垂直平分线 B．②③④ C．①③④ D．①②③④ )
问题反馈 探究： 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点， 分别量一量点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离，你有什么发现？
（1）猜想： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______． 合作学习 例题分享 题设是_______________________________________________， 结论是____________________________________ （2）结合右图请你写出已知和求证，并证明线段垂直平分线的性质的正确性。 已知： 求证： 证明：
知识总结： 线段垂直平分线的性质定理： 如上图，请用数学符号语言来表述线段的垂直平分线的性质定理： ∵ ∴ 辨别真假： 1、如图（1）直线 MN 垂直平分线段 AB，则 AE=AF. 2、如图（2）直线 AB 垂直平分线段 MN，则 ME=NE. 例：已知： △ABC 中，边 AB、 BC 的垂直平分线交于点 P， 求证：PA=PB=PC. （ 或者 ）
线段的垂直平分线的性质(1)导学方案
D
C
B
A
求△ABC的周长。
4、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知：
求作：
四、问题解决：（11分钟）
1、如图：某地居民增多，要在公路边上增加一个汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个汽车站建在什么位置能使两个小区到车站的路程相等？
2、如图所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长.
重点
探究线段垂直平分线的性质及判定．
学习方法
自主，合作
探究，展示
难点
线段垂直平分线的性质及判定的探究
关键
导学过程设计
一、问题回顾：（1分钟）
1、说出角平分线的性质与判定定理：
二、问题情境：（3分钟）
1、导入新课：
2、呈现目标
3、预习阅读教材61页—62页）
（二）新知导学：
1、[探究1]
（1）．作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
（2）．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．
线段垂直平分线的性质：
结合图形写出已知和求证并证明它的正确性:
2、[探究2]
作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有哪些可能?要使L与AB垂直，AP1、AP2；BP1、BP2应满足什么条件？由此你得到什么结论：
线段垂直平分线判定
证明此结论的正确性
3、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，
《线段的垂直平分线的性质》导学案
《线段的垂直平分线》导学案广水市长岭镇中心中学 刘先瑶学习目标：1．理解线段垂直平分线的性质和判定，并会运用此性质解决问题． 2．会用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线． 重点与难点重、难点：线段垂直平分线的性质和判定定理的理解与运用． 教学过程： 二、自学学案自学：自学课本P61页的内容，重点注意教材上的“探究”，完成下列填空． 1、如图(1)∵ ，∴AB ＝AC （ ____________________________________ ） 2、如图(1)∵ _______________________ ，∴ A 在线段BC 的中垂线上（ _____________________三．助学解疑：（一）1.动手操作：如图在纸上画一条线段AB,通过对折后点A 与点B 重合将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN,直线MN 与线段的交点为C,，思考下列问题：（1）直线MN 与线段AB 有怎样的关系？（2）如图，直线l 垂直平分线段AB ，P 1，P 2，P 3…是l 上的点，分别量一量点P 1，P 2，P 3…到点A 与点B 的距离，你有什么发现？你认为这个命题是真命题吗？若是，你能证明吗?（ 学生自主完成） 总结归纳：线段垂直平分线的性质定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 请用数学语言表示：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．（完成后请同学们相互交流,鼓励其采用多种方法证明。
）总结归纳：线段的垂直平分线判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 你会用数学语言表示吗？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3. （1）线段AB 的垂直平分线上的所有点都满足“与点A 、B 的距离相等”这一条件吗？ 满足“与A 、B 的距离相等”的所有点都在线段AB 的垂直平分线上吗？ 总结归纳：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的集合 四．课堂检测： 1.判断题：(1)、如图(1)线段MN 被直线AB 垂直平分，则ME=NE ( ) （2）、如图(2)直线MN 垂直平分线段AB ，则AE=AF ( ) (3)、如图(3)PA=PB ，则直线MN 是线段AB 的垂直平分线。
线段的垂直平分线导学案 (2)
榆中三中九年级导学案 姓名 班级
审核人签字
审核日期
课题
1.3-1线段的垂直平分线 课型 导学型 执笔者 滕兆荣 参与者 杨凯 魏万喜 丁萍 教学目标
1．知识目标：①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
2．能力目标：①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
3．情感与价值观要求 ：①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重、难点
重点：是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。
难点：两者的应用上的区别及各自的作用。
教学过程
一、情景创设、引入新课
如图，A 、B 表示两个仓库，要在A 、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
你是怎么做的？和同桌交流。
你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?
结论：
二、知识梳理
1、要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相
等”’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?．
已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC=BC ，P 是MN 上的点．
求证：PA=PB ．． 证明：
N A P B C M。
线段的垂直平分线(1.3.1)
5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，
则△BCD的周长是。
6、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置
中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。
课下训练：
AECD来自B1、 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，
如果EC=7cm,那么ED=cm；如果∠ECD=600，
那么∠EDC=∠B=300
2、如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCD的周长等于50，
求BC的长。
课后反思：通过本节课学习，有什么收获？还有什么疑惑的地方？
难点
能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。
导学案内容
智慧碰撞感受新知
一温故知新
什么是线段的垂直平分线？你会画线段的垂直平分线吗？
二自主学习
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？
M
P
A
B
C
N
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。
有什么问题记在学案上！
求证：PA=PB。
（分析：要想证明边相等，考虑证它们所在的三角形全等）
定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
三合作交流
想一想：你能写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请证明。
《线段的垂直平分线》第1课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《线段的垂直平分线》教学设计第1课时一、教学目标1.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.3.能用尺规做出已知线段的垂直平分线.4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.二、教学重难点重点：证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.难点：能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.问题1：线段的垂直平分线具有什么特征？预设：垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.如图，MN是线段AB的垂直平分线，交AB于点O，则MN⊥AB，且AO=OB.问题2：等腰三角形顶角平分线有哪些性质？预设：由等腰三角形三线合一的性质可得等腰三角形的顶角平分线垂直底边，并且平分底边．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC 的平分线AD所在的直线即线段BC的垂直平分线．【合作探究】拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′，FB和FB′的关系.可以发现折痕EB=EB′，FB=FB′.我们曾经用上面折纸的办法得到：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗？试一试.教师活动：引导学生回忆之前学习的轴对称图形中关于线段平分线的知识内容.并带领学生梳理证明思路，注意强调“要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表”.让学生写出已知、求证，并自主证明，最后再进行总结.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：P A = PB.分析：要证明P A=PB，只需证明△PCA ≌△PCB.注意：如果点P与点C重合，那么结论显然成立，因此证明过程中的点P与点C不重合.证明：∵MN∵AB，∵ ∵PCA=∵PCB=90 °.∵ AC=BC，PC=PC，∵∵PCA∵∵PCB（SAS）.∵ P A=PB(全等三角形的对应边相等).【归纳】线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.几何语言:如图，直线MN∵AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则P A=PB.应用：经常用来证明两条线段相等.【想一想】你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它.教师活动：引导学生运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.预设：逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.是真命题已知：如图，线段AB，P A=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：∵过点P作直线MN∵AB，垂足为点C，则PC是∵P AB的高.∵ P A=PB，∵∵P AB是等腰三角形.∵ PC是∵P AB的中线(三线合一).∵ AC=BC.∵直线MN是线段AB的垂直平分线.∵点P在线段AB的垂直平分线上.【归纳】线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.几何语言：如图，线段AB，P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC∵AB且AC=CB)．应用:经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.分析：由已知AB=AC，OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可以分别证出点A和点O为线段BC垂直平分线上的点，从而证出结论.证明：∵AB = AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).同理，点O 在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).教师活动：进一步提出思考，你还有其他的证明方法吗？方法2分析：可以用全等三角形证明:设AO交BC于点D，先依据基本事实SSS证明△ABO≌△ACO得到∠BAO=∠CAO，再证明△ABD≌△ACD，从而使问题得证.证明：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO(SSS).∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS).∴BD＝CD，∠ADB=∠ADC=90°.即直线AO垂直平分线段BC.教师活动：引导学生对比两种证明方法，会发现使用垂直平分线的判定定理证明更加简便.【做一做】(1)用尺规做出线段AB的垂直平分线.教师活动：让学生回忆前面学习过的作图知识，尝试作图，引导学生先写出已知及求作，作法不做要求，做出正确图形即可.已知:线段AB，如图.求作:线段AB的垂直平分线.作法:1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.2. 作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.(1)请你就尺规作线段AB的垂直平分线方法的正确性给出证明，并与同伴进行交流. 预设：证明：∵AC=BC∴点C在线段AB的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).同理，点D在线段AB的垂直平分线上.∴直线CD是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线).教师活动：进行总结说明，并提示CD 与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有() A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．以上都不正确3.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D.(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．答案：1.7 602. A3.解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
线段的垂直平分线(1)
堡面前中学七年级数学导学案班别姓名组别设计者：刘银华上课日期5月日课题线段的垂直平分线（1）课型新授课课时1课时(总第时）学习目标（1）通过自主学习与思考了解线段垂直平分线的概念；（2）经历合作探究与交流的过程，知道垂直平分线的基本性质和判定；（3)通过探究活动，学会归纳概括。
学习重点线段垂直平分线的概念和性质、判定学习难点理解线段垂直平分线的性质与判定的推导过程导学流程：一【自主探究】1.阅读教材117页的“观察”内容，观察图5-12，人字形屋顶框架，A、A' 两点是关于CD的对称点，那么线段AA'与线段CD有什么位置关系？AD与AD'是否相等？2.从图5-12得到的简化图5-13中，如果A、A'是关于直线L的对称点，沿直线L折叠后，点A与点A' ，于是AD DA',∠1 ∠2=90。
，说明直线L与线段AA’3.如图５－１３，如果Ｌ是线段的垂直平分线，由于∠１∠２，沿直线Ｌ折叠后，线段ＤＡ与线段ＤＡ'。
由于ＤＡＤＡ',从而点Ａ与点Ａ',因此点Ａ、Ａ'关于直线L 。
4.根据上述的学习与思考，请你进一步说一说，什么是线段的垂直平分线？什么是点A、A'关于直线L对称？二合作交流阅读教材118页“观察”后，和小组同学合作完成下列任务：探究一：如图5-14，直线L是线段AB的垂直平分线，P是L上的任意一点，量一量PA 与PB，则PA= cm，PB= cm,，然后又在L上另取一点P'，量得P'A P'B，再试试看，你能得到结论这就是线段的垂直平分线的性质。
探究二：如图5-15，设P点和A、B两点的距离相等，由折叠使PA与PB重合，因为PA=PB，所以点B与点A重合，从而A、B两点关于直线（折痕）PC对称，说明PC 是线段AB的垂直平分线。
由这种现象得到结论这就是线段垂直平分线的判定。
三实践应用(1)已知在⊿ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D,BE=6,⊿BCE的周长为22.求BD的长。
1.3线段的垂直平分线(教案)
4.线段垂直平分线的应用：利用垂直平分线解决有关线段长度、角度等问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观，通过观察和分析线段的垂直平分线，使学生能够形象地理解线段的垂直平分线的概念和性质，提高对几何图形的认识和把握。
1.3线段的垂直平分线（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学教材第二章“几何图形与证明”中的1.3节“线段的垂直平分线”。教学内容主要包括以下几部分：
1.线段垂直平分线的定义：通过线段中点且垂直于该线段的直线称为线段的垂直平分线。
2.线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线将线段平分，并且垂直于该线段。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了线段的垂直平分线，我发现学生们对这个概念的理解程度不尽相同。有的同学能够迅速抓住定义的核心，而有的同学在理解上还存在一些障碍。这让我意识到，在教学中，我们需要针对不同层次的学生进行差异化教学，以确保每个学生都能跟上课程的进度。
课堂上，我尝试通过生活中的实例来导入新课，激发学生的兴趣。从学生的反应来看，这种方法还是相当有效的。他们在思考实际问题时，能够更积极地参与到课堂讨论中来。但同时，我也注意到，在理论介绍环节，部分学生对于垂直平分线的定义和性质理解不够深入。因此，我决定在接下来的课程中，加强这一部分的讲解和实例演示。
-举例：给出具体的线段和直线，指导学生通过观察、推理和证明来判断直线是否符合线段垂直平分线的条件。
-线段垂直平分线的应用：培养学生将理论应用于解决实际问题，如求线段中点到某点的距离、判断点是否在线段的垂直平分线上等。
-举例：设计实际题目，让学生利用垂直平分线的性质和判定方法来ห้องสมุดไป่ตู้决，强化知识的应用。
八年级数学下册 1.3.1 线段的垂直平分线教案 北师大版(2021年整理)
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”
问题二：写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假,则需用反例说明．
想初步判断这一逆命题的真假可以利用几何画板来做实验：
课件出示：等腰三角形ABC，其中AD是顶角的平分线.
问题一：等腰三角形具有怎样的特殊性质?
问题二:根据这一特殊的性质你还能联想到我们学过的那一个定理?
问题三:我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．利用几何画板,我们也可以进行线段垂直平分线定理的验证.具体操作如下：
六、快乐套餐，体验成功
A类
一、判断题
1。如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线
2。如图(1）,射成OE为线段CD的垂直平分线
3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD
4.如图（3）,PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线
四、归纳总结，知识沉淀
问题：这节课大家通过自己的努力和小组的合作,相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写下来.
我掌握的定理有______；
我学会了_______；
我还知道了_______.
处理方式:
学生写完后,全班交流各自收获和心得.
教师巡视学生的答题情况，及时点评、鼓励。
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识,写下来更能加深印象．
3．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
1.3 线段的垂直平分线课件(第1课时)
探究新知
结论 线段垂直平分线的判定定理
文字语言：
P
到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
∟
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
作用1：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
作用2：判断一条直线是否是线段的垂直平分线.
探究新知
素养考点 2 线段垂直平分线的判定定理
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC和△APQ全等．
（3）不能．由（1）（2）知，只有直角三角形的两个锐角满足30°、60°，才能 通过折叠将一个直角三角形分成三个全等的小三角形．
巩固练习 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线.
O
B D
E CA
巩固练习
已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
例 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一
点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定 一条直线）.
A
线段的垂直平分线教案
线段 PB 的长为（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
2.如图②所示，在△ABC 中，BC=8cm,边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E, △BCE
的周长等于 18cm,则 AC 的长是________.
.
2．线段的垂直平分线的判定 你能写出上面这个＝PB. 求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上．
从刚才的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题,我们把它称为线段垂直平 分线的判定定理．
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的___________. 应用格式： ∵ PA =PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． 归纳： (1)线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合． (2)到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此只需作出这样的两个点即可 作出线段的垂直平分线． 例 2：已知：如图△ABC 中，AB=AC，O 是△ABC 内一点，且 OB=OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
二、探究新知 1．线段的垂直平分线的性质 观察：已知点 A 与点 A′关于直线 l 对称，如果线段 AA′沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′重合，AD=A′D， ∠1=∠2= 90°，即直线 l 既平分线段 AA′，又垂直线段 AA′.
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的____________. 探究发现 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B， P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
AE 交于 G.
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1.3 线段的垂直平分线（一）
一、学习准备：
1、什么叫线段的垂直平分线？
2、作出线段AB 的垂直平分线：
二、学习目标：
1、掌握线段的垂直平分线的性质定理和判定定理以及它们的证明。
2、能利用所学定理解决简单的实际问题。
三、学习提示：阅读P22~23完成下列任务： 1，自主探究：
做一做，在上面所做的线段的垂直平分线上任取一点P ，连接PA 、PB 利用折纸的方法比较一下PA 、PB 的大小。
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 相等。
2. 合作探究：证明上面的定理：
3、你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明。
定理：到一条线段两端点距离相等的点，在 上。
练习例：已知，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，
求证：直线AO 垂直平分线段BC
4、练习： 1、P23随堂练习
四、学习小结：你有哪些收获
B
A
五、夯实基础：
1、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果BC=3cm ，△DBC 的周长是7cm ，那么AC 的长度为（ ）。
A 、3cm
B 、4cm
C 、5cm
D 、6cm
2、在R t △ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ，已知∠BAE=10°，则∠的度数为（ ）。
A 、30°
B 、40°
C 、50°
D 、60°
1题 2题
3、如图、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于点E ，D 为垂足，连接EC ，(1)求∠ECD 的度数； (2)若CE=5，求BC 的长。
六、能力提升
1、在四边形ABCD 中，A D ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，B E ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ，求证：(1)FC=AD ；（2）AB=BC+AD.
作业：P23习题1.7--1、3、4、
B C。