指标无量纲化

评价指标的无量纲化处理

在多指标综合评价中涉及到两个基本变量:一是各评价指标的实际值，另一个是各指标的评价值。由于各指标所代表的物理涵义不同，因此存在着量纲上的差异。这种异量纲性是影响对事物整体评价的主要因素。指标的无量纲化处理是解决这一问题的主要手段。无量纲化，也称作数据的标准化、规格化，是一种通过数学变换来消除原始变量量纲影响的方法。

（1）直线型无量纲化方法

基本思想是假定实际指标和评价指标之间存在着线性关系，实际指标的变化将引起评价指标一个相应的比例变化。代表方法有：阈值法、标准化法(Z-score 法)、比重法等等。

a. 阈值法

阈值也称临界值，是衡量事物发展变化的一些特殊指标值，比如极大值、极小值、满意值、不允许值等。阈值法是用指标实际值与阈值相比以得到指标评价值的无量纲化方法。常用算法公式有：

n i i

i i x x y ≤≤=1m a x （2.24）

n i i

i

n i i n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤-+=111m a x m i n m a x （2.25）

n i i

n i i i

n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111m i n m a x m a x （2.26）

n i i

n i i n i i

i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111m i n m a x m a x （2.27）

q k x x x x y n i i

n i i n i i

i i +--=≤≤≤≤≤≤111m i n m a x m a x （2.28）

b 标准化法

统计学原理告诉我们，要对多组不同量纲数据进行比较，可以先将它 们标准化转化成无量纲的标准化数据。而综合评价就是要将多组不同的数 据进行综合，因而可以借助于标准化方法来消除数据量纲的影响。标准化 （Z-score ）公式为：

s x x y i i -= （2.29）

上式中：

∑==n

i i

x n x 11 （2.30） ∑=--=n i i x x n s 12

)(11 （2.31） c 比重法

比重法是将实际值转化为它在指标值总和中所占的比重，主要公式有

∑==n i i i i x

x y 1

（2.32）

或 ∑==n i i i i x

x y 1

2

（2.33）

以上介绍了三种常用的直线型无量纲化处理方法，这些方法的最大特点是简单、直观。直线型无量纲化方法的实质是假定指标评价值与实际值成线性关系，评价值随实际值等比例变化，而这往往与事物发展的实际情况不相符的。这也是直线型无量纲化方法的最大缺陷。为了解决这个问题，我们很自然想到用折线或曲线代替直线。

（2）折线型无量纲化方法

常用的有凸折线型、凹折线型和三折线型三种类型，现简单介绍一种用阈值法构造的凸折线型无量纲化法作为代表。常用公式如下：

⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>--+≤≤=≤≤m i m n i i m i m m i m

m i t x x y x x x y x x y x x y )1(max 01 （2.34） 式中m x 为转折点指标值，m y 为m x 的评价值。

从理论上来讲，折线型无量纲化方法比直线型无量纲化方法更符合事物发展的实际情况，但应用的前提是评价者必须对被评事物有较为深刻的理解和认识，合理的确定指标值的转折点及其评价值。

（3）曲线型无量纲化方法

有些事物发展阶段性的临界点不很明显，而前中后各期发展情况截然不同，也就是说指标值变化对事物发展水平的影响是逐渐变化的，而非突变的。在这种

情况下，曲线型无量纲化公式更为适用。常用的公式有：

⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤=--a x e a x y a x k 2)(100 （2.35）

⎪⎩

⎪⎨⎧>-+-≤≤=a x a y k a x k a x y 22)(1)(00

（2.36）

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧

+≥+≤<-≤≤=k k k a a x a a x a a x a a x y 111)

(00 （2.37）

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+---≤≤=b x b x a b a x a b x a x y 1)2(sin 2

12100

（2.38）

无量纲化方法在使用时，尽可能选择适合于讨论对象性质的方法，不能不加考虑随便选用一种方法。当然也可以选用几种，然后分析不同的无量纲化对结论会产生多大的影响。实际工作表明，不是越复杂的方法就越合适，关键在于是否切合实际的要求，在这个前提下，应该说越简单、越方面使用，越会受欢迎。