高三数学 一轮复习课件-2.4函数的周期性
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分析 求周期即求满足 f(x＋T)＝f(x)的 T 值．
解析 ∵f(x)及 f(x＋1)都是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，① f(－x＋1)＝－f(x＋1)，② 设－x＋1＝－t，则由②得 f(－t)＝－f(t＋2)，即 f(－x)＝－f(x ＋2)，③ 由①③得 f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为 2.
【解析】(1)∵函数 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)．① ∵函数 f(x)关于直线 x＝1 对称， ∴f(x)＝f(2－x)．② 由①②，得－f(－x)＝f(2－x)． 换－x 为 x，得 f(2＋x)＝－f(x)． ∴f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)． ∴函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数．
【答案】A
【解析】∵f(x＋1)＋f(x)＝0， ∴f(x＋2)＋f(x＋1)＝0. ∴f(x＋2)＝f(x). ∴函数f(x)是周期为2的周期函数． ∴a＝f( 2)＝f( 2－2), b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(－1)． ∵函数f(x)在区间[－1,0]上单调递增，∴c＜a＜b.
方法点拨：周期性的判断方法：①定义法：考虑是否存在 非零常数 T，使得对于任意 x 都有 f(x＋T)＝f(x)；
②公式法：若函数 f(x)的周期为 T，则函数 f(ωx＋φ)的周期 为|ωT |；
③图象法：若函数 f(x)的图象有两条对称轴 x＝a，x＝ b(b≠a)，则函数 f(x)是以 T＝2|a－b|为周期的周期函数．
解析 由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－ 1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝ 0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5) －f(4)＝0，
注意：若函数 f(x)对定义域中任意 x 满足 f(x＋a)＝－f(x)或 f(x
＋a)＝±f1x，则函数 f(x)是周期函数，周期为__2__a__．
考点 函数周期性的判断及其应用 示范1 已知函数 f(x)的定义域为 R 且函数 f(x)与 f(x＋1)都是 奇函数，则函数 f(x)的周期是________．
(2)∵f(x)＝x(0＜x≤1)， ∴当－1≤x＜0 时，0＜－x≤1. ∴f(－x)＝－x. ∵函数 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝－x，即 f(x)＝x. ∵f(0)＝0. ∴当－1≤x≤1 时，f(x)＝x； 当 1＜x≤3 时，f(x)＝－x＋2.
∴f(x)＝x－，x－＋12≤，x1≤＜1x，≤3.
∵函数f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(x)＝x－－x4＋k，2＋4k， 图略
4k－1≤x≤4k＋1， 4k＋1＜x≤4k＋3
(k∈Z)．
示范ห้องสมุดไป่ตู้ (2009山东)已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x)＝lfoxg－211－－xf，x－x≤20，，x>0， 则f(2 009)的值为(
)
A．－1 B．0 C．1 D．2
若函数 f(x)的图象有两个对称中点(a,0)，(b,0)(a≠b)，则函 数 f(x)是以 T＝4|a－b|为周期的周期函数．
本课的主要考点是周期性的判定及利用周期性求特定的函 数值或求函数解析式；判定一般用定义，注意式子的变形，可 以用换元法．求函数值有时需要考虑周期性.
1．(2011上海)设函数g(x)是定义在R上以1为周期的函数， 若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则函数f(x) 在区间[0,3]上的值域为________________．
【答案】[－2,7] 【解析】设 x1∈[0,1]， ∴f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]． ∵函数 g(x)是以 1 为周期的函数， ∴当 x2∈[1,2]时， f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]； 当 x3∈[2,3]时， f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]． 综上可知，当 x∈[0,3]时， f(x)∈[－2,7]．
答案 2
【点评】本题的关键是对式子②变形为③，一般可使用换 元法.
展示1 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且它的图象关于 直线x＝1对称，
(1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求当x∈R时，函数f(x)的解析式， 并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象．
周期性：
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义
域内的每一个值时，都有__f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)___，那么函数 f(x)就叫 做周期函数，___T___叫做这个函数的周期．_k_T__(k_∈___Z_，__k_≠__0_)_也 是函数 f(x)的周期，即有_f_(_x_＋__k_T_)_＝__f_(x_)_．
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2 009)＝f(5) ＝1，故选C.
答案 C
展示2 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(x)＝0且 在区间[－1,0]上单调递增，设a＝f( 2 )，b＝f(2)，c＝f(3)，则
() A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c
2．(2011 山东)已知函数 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期 函数且当 0≤x＜2 时，f(x)＝x3－x，则函数 f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴的交点的个数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【解析】当 0≤x＜2 时，f(x)＝x3－x＝x(x2－1)， 则 f(0)＝f(1)＝0. 而函数 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数， 则 f(2)＝f(4)＝f(6)＝f(0)＝0， f(3)＝f(5)＝f(1)＝0.故选 B.
解析 ∵f(x)及 f(x＋1)都是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，① f(－x＋1)＝－f(x＋1)，② 设－x＋1＝－t，则由②得 f(－t)＝－f(t＋2)，即 f(－x)＝－f(x ＋2)，③ 由①③得 f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为 2.
【解析】(1)∵函数 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)．① ∵函数 f(x)关于直线 x＝1 对称， ∴f(x)＝f(2－x)．② 由①②，得－f(－x)＝f(2－x)． 换－x 为 x，得 f(2＋x)＝－f(x)． ∴f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)． ∴函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数．
【答案】A
【解析】∵f(x＋1)＋f(x)＝0， ∴f(x＋2)＋f(x＋1)＝0. ∴f(x＋2)＝f(x). ∴函数f(x)是周期为2的周期函数． ∴a＝f( 2)＝f( 2－2), b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(－1)． ∵函数f(x)在区间[－1,0]上单调递增，∴c＜a＜b.
方法点拨：周期性的判断方法：①定义法：考虑是否存在 非零常数 T，使得对于任意 x 都有 f(x＋T)＝f(x)；
②公式法：若函数 f(x)的周期为 T，则函数 f(ωx＋φ)的周期 为|ωT |；
③图象法：若函数 f(x)的图象有两条对称轴 x＝a，x＝ b(b≠a)，则函数 f(x)是以 T＝2|a－b|为周期的周期函数．
解析 由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－ 1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝ 0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5) －f(4)＝0，
注意：若函数 f(x)对定义域中任意 x 满足 f(x＋a)＝－f(x)或 f(x
＋a)＝±f1x，则函数 f(x)是周期函数，周期为__2__a__．
考点 函数周期性的判断及其应用 示范1 已知函数 f(x)的定义域为 R 且函数 f(x)与 f(x＋1)都是 奇函数，则函数 f(x)的周期是________．
(2)∵f(x)＝x(0＜x≤1)， ∴当－1≤x＜0 时，0＜－x≤1. ∴f(－x)＝－x. ∵函数 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝－x，即 f(x)＝x. ∵f(0)＝0. ∴当－1≤x≤1 时，f(x)＝x； 当 1＜x≤3 时，f(x)＝－x＋2.
∴f(x)＝x－，x－＋12≤，x1≤＜1x，≤3.
∵函数f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(x)＝x－－x4＋k，2＋4k， 图略
4k－1≤x≤4k＋1， 4k＋1＜x≤4k＋3
(k∈Z)．
示范ห้องสมุดไป่ตู้ (2009山东)已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x)＝lfoxg－211－－xf，x－x≤20，，x>0， 则f(2 009)的值为(
)
A．－1 B．0 C．1 D．2
若函数 f(x)的图象有两个对称中点(a,0)，(b,0)(a≠b)，则函 数 f(x)是以 T＝4|a－b|为周期的周期函数．
本课的主要考点是周期性的判定及利用周期性求特定的函 数值或求函数解析式；判定一般用定义，注意式子的变形，可 以用换元法．求函数值有时需要考虑周期性.
1．(2011上海)设函数g(x)是定义在R上以1为周期的函数， 若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则函数f(x) 在区间[0,3]上的值域为________________．
【答案】[－2,7] 【解析】设 x1∈[0,1]， ∴f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]． ∵函数 g(x)是以 1 为周期的函数， ∴当 x2∈[1,2]时， f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]； 当 x3∈[2,3]时， f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]． 综上可知，当 x∈[0,3]时， f(x)∈[－2,7]．
答案 2
【点评】本题的关键是对式子②变形为③，一般可使用换 元法.
展示1 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且它的图象关于 直线x＝1对称，
(1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求当x∈R时，函数f(x)的解析式， 并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象．
周期性：
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义
域内的每一个值时，都有__f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)___，那么函数 f(x)就叫 做周期函数，___T___叫做这个函数的周期．_k_T__(k_∈___Z_，__k_≠__0_)_也 是函数 f(x)的周期，即有_f_(_x_＋__k_T_)_＝__f_(x_)_．
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2 009)＝f(5) ＝1，故选C.
答案 C
展示2 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(x)＝0且 在区间[－1,0]上单调递增，设a＝f( 2 )，b＝f(2)，c＝f(3)，则
() A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c
2．(2011 山东)已知函数 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期 函数且当 0≤x＜2 时，f(x)＝x3－x，则函数 f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴的交点的个数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【解析】当 0≤x＜2 时，f(x)＝x3－x＝x(x2－1)， 则 f(0)＝f(1)＝0. 而函数 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数， 则 f(2)＝f(4)＝f(6)＝f(0)＝0， f(3)＝f(5)＝f(1)＝0.故选 B.