六年级上册奥数试题-第8讲 圆与扇形 全国通用(含答案)

第8讲圆与扇形

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圆是所有几何图形中最完美的。当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O点称为这个圆的圆心。连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r表示。连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d表示，显然d=2r。圆的周长（用字母C表示）与直径的比，叫做圆周率。圆周率用字母表示，它是一个无

限不循环的小数，一般取近似值3.14。圆的周长。利用等分圆周拼成近似长方

形的方法可知圆的面积。顶点在圆心的角叫做圆心角。圆周上任意两点间的部分叫

做弧。

扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。如果扇形的半径为r，弧所对圆心角的度数为n，那么弧的长度。从而扇形的周长，扇形的面积。

重点·难点

本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。一般这类组合图形是不规则的，很难直接用公式计算它们的面积。这时候，可以利用分、合、移、补等方法将其转化为若干个基本几何图形的组合，然后再分别计算这若干个基本图形的面积，分析整体与各部分的和、差关系，问题就会迎刃而解。

学法指导

在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时，一般要先求出半径r，因为半径r是连接周长与面积的纽带。

经典例题

[例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。就在猛虎要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形的池塘边。小狗连忙纵身往水里一跳，猛虎抓了个空。猛虎舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住小狗，在池边跟着小狗跑动，打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。已知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。请问：小狗如何才能逃出虎口？

思路剖析

如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动，那末无论它游到哪里，都会被猛虎牢牢盯死。而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游，那么猛虎就要跑半个圆周。由于半圆周长是直

径的，而猛虎的速度是小狗的2.5倍，因此猛虎还是能够抓住小狗的。所以，小狗要想逃出虎口，就必须利用猛虎沿着圆周跑这个特点。

解答

小狗只要在跳下池塘后就游向圆形池塘的圆心位置，到达圆心后，看准猛虎所在的位置，立即沿着和猛虎连线的相反方向游去。这时，小狗只要游池塘的半径长，而猛虎要跑半个圆

周长，也就是半径的长，而猛虎的速度仅为小狗游水速度的2.5倍。在此当猛

虎跑到时，小狗已经上了岸，并逃之夭夭了。

[例2]如图1所示，在一个大圆内有许多个小圆，其直径的和等于大圆的直径。请问：大圆周长与所有小圆周长之和，哪个长？为什么？

思路剖析

本题并没有告诉我们大圆内有多少个小圆，又没有告诉我们大圆和小圆直径的长度，只告诉我们大圆的直径等于所有小圆直径的和。这样是不可能求出大圆以及所有小圆的周长的实际长度的，因此我们必须利用周长的计算公式来推出结果。

解答

设大圆的直径为d，小圆的直径分别为；因此，

根据圆周长

而

因此，大圆的周长等于所有小圆周长之和。

[例3]某学校举行运动会，有3人参加了200米赛跑，其跑道如图2所示，左右两边是直道，上边是弯道，已知弯道是半圆形的，每道宽为1米。为了保证比赛的公正性，1、2、3跑道的起点应各相距多少米？

思路剖析

首先应该清楚：跑道的长度的差异体现在弯道处，而在直道处的长度是相等的。同时，起点相距的多少与弯道处半圆的半径是无关的。所以不妨设最内道的半圆半径为r，来求出长度的差异。

解答

假设第一圈跑道所对应的半圆半径为r米，则第二圈跑道所对应的跑道的半圆半径为

r+1米，第三圈跑道所对应的跑道的半圆半径为r+2米。

则第一半周长为米，第二圈半周长为米，第三圈半周长米，从而第

一圈与第二圈跑道相差（米），第二圈与第三圈跑道相差

（米）。所以要保证比赛的公正性，就应把第二道的起点定

在第一道的起点前3.14米，而第三道的起点定在第二道的起点前3.14米。

[例4]如图3所示，三角形ABC为等腰直角三角形，∠ACB为直角，D是AB的中点，AB=10厘米，圆弧DE、DF是分别为A、B为圆心所作，求圆中阴影部分的面积。

思路剖析

看图形可以知道要求出阴影部分的面积，必须用四分之一的圆的面积减去它所包含的小三角形的面积，然而小三角形我们仅知其斜边长是5厘米，无法求出它的面积。因此我们考虑用旋转变换，将图3变成图4（即沿CD裁开，以D为轴旋转，使AD边与BD边重合）。此时阴影的面积就等于半圆的面积减去所含三角形AEF的面积。

解答

在图3中，因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠CAD=∠CBD=45°，从而在图4中，，所以三角形是直角三角形，并且

厘米，即，则

。

[例5]有一个边长为10厘米的等边三角形ABC，如图5所示。现将此三角形在水平面内沿水平线翻滚两次，那么A点从开始到结束所经过的总长度是多少？

思路剖析

三角形ABC是等边三角形，于是它的三个内角均为60°。在翻滚的过程中，A划过了

两段圆弧，一段是以B为圆心的弧，另一段是以为圆心的弧，并且圆心角的大小均为60°+60°=120°。这样可以用弧长公式来求出A点所经过的总长度。

解答

在翻滚的过程中，A点所经过的总长度是由弧和弧组成，由于ABC是等边三角形，所以这两段弧长完全相等，并且它们所对的圆心角均为120°。由弧长公式可得

A点所经过的总长度为

答：A点从开始到结束所经过的总长度为41.87厘米。

[例6]如图6所示，三个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心。求三块阴影部分的面积之和。

思路剖析

阴影部分是由三块面积相等的图形组成的，但是每一块都是不规则图形，若用常规思路分析比较难以计算。但是根据图形的对称性，利用分割和移补的方法，将之转化为图7，这样可以看出阴影部分被分割移补成一个规则的图形——半圆形。

解答

经过分割移补，上图了阴影部分被拼成图7的半圆形，所以阴影部分的面积是

答：阴影部分的面积是157平方厘米。

[例7]如图8所示，试求图中阴影部分的面积。

思路剖析

本题有常规解法和割法拼凑两种解法，我们用这两种方法来解，并比较哪种解法更简单。

解答

☆解法一：我们用常规解法来解。

因此，此图中阴影部分的面积是57+57=114（平方厘米）。

☆解法二：由圆的对称性，把下半圆到上半圆，如图9所示，则所求