专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第八篇平面解析几何
专题8.07双曲线及其几何性质
【考试要求】
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
【知识梳理】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0:
(1)若a (2)若a=c时,则集合P为两条射线; (3)若a>c时,则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0) y2 a2- x2 b2=1(a>0,b>0) 图形 性质 范围x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线y=± b a x y=± a b x 离心率e= c a,e∈(1,+∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做 双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 a , b , c 的关系 c 2=a 2+b 2 【微点提醒】 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a . 2.离心率e =c a =a 2+ b 2a = 1+b 2 a 2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m -y 2 n =1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( ) (4)双曲线x 2m 2-y 2n 2=λ(m >0,n >0,λ≠0)的渐近线方程是x m ±y n =0.( ) (5)若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)与x 2b 2-y 2a 2=1(a >0,b >0)的离心率分别是e 1,e 2,则1e 21+1 e 22=1(此条件中两条 双曲线称为共轭双曲线).( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 【解析】 (1)因为||MF 1|-|MF 2||=8=|F 1F 2|,表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部. (3)当m >0,n >0时表示焦点在x 轴上的双曲线,而m <0,n <0时则表示焦点在y 轴上的双曲线. 【教材衍化】 2.(选修2-1P62A6改编)经过点A (3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________. 【答案】 x 28-y 2 8=1 【解析】 设双曲线方程为:x 2-y 2=λ(λ≠0),把点 A (3,-1)代入,得λ=8,故所求双曲线方程为x 28-y 2 8 = 1. 3.(选修2-1P61A1改编)已知双曲线x 2- y 2 16 =1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4,那么点P 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】 6 【解析】 设双曲线的焦点为F 1,F 2,|PF 1|=4,则||PF 1|-|PF 2||=2,故|PF 2|=6或2,又双曲线上的点到焦 点的距离的最小值为c -a =17-1,故|PF 2|=6. 【真题体验】 4.(2018·浙江卷)双曲线x 23-y 2 =1的焦点坐标是( ) A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2) 【答案】 B 【解析】 由题可知双曲线的焦点在x 轴上,又c 2=a 2+b 2=3+1=4,所以c =2,故焦点坐标为(-2,0),(2,0). 5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的一条渐近线方程为y =35x ,则a =________. 【答案】 5 【解析】 由题意可得3a =3 5 ,所以a =5. 6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2-y 24=1(a >0)的离心率为5 2,则a =________. 【答案】 4 【解析】 由题意可得,a 2+4a 2=???? 522 ,即a 2=16,又a >0,所以a =4. 【考点聚焦】 考点一 双曲线的定义及应用 【例1】 (1)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( ) A.1 4 B.35 C.34 D.45 (2)(2019·济南调研)已知圆C 1:(x +3)2+y 2=1和圆C 2:(x -3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 【答案】 (1)C (2)x 2- y 2 8 =1(x ≤-1) 【解析】 (1)由x 2-y 2=2,知a =b =2,c =2.由双曲线定义知,|PF 1|-|PF 2|=2a =22,又|PF 1|=2|PF 2|, ∴|PF 1|=42,|PF 2|=22, 在△PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c =4,由余弦定理,得 cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=34 . (2)如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件, 得|MC 1|-|AC 1|=|MA |, |MC 2|-|BC 2|=|MB |, 因为|MA |=|MB |, 所以|MC 1|-|AC 1|=|MC 2|-|BC 2|, 即|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=2, 所以点M 到两定点C 1,C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|=6. 又根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大,与C 1的距离小), 其中a =1,c =3,则b 2=8. 故点M 的轨迹方程为 x 2- y 2 8 =1(x ≤-1). 【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程; 2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|,|PF 2|的联系. 【训练1】 (1)已知双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在双曲 线C 上,若△AF 1F 2的周长为10a ,则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2 D.15a 2 (2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y =±23 3x ,一个焦点为F (0,-7),点A (2,0),点P 为双 曲线第一象限内的点,则当点P 的位置变化时,△PAF 周长的最小值为( ) A.8 B.10 C.4+37 D.3+317 【答案】 (1)B (2)B 【解析】 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上,由e =c a =2,得c =2a ,∴△AF 1F 2的周长为 |AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|=|AF 1|+|AF 2|+4a ,又△AF 1F 2的周长为10a ,∴|AF 1|+|AF 2|=6a ,又∵|AF 1|-|AF 2|= 2a , ∴|AF 1|=4a ,|AF 2|=2a ,在△AF 1F 2中,|F 1F 2|=4a , ∴cos ∠F 1AF 2=|AF 1|2+|AF 2|2-|F 1F 2|2 2|AF 1|·|AF 2| =(4a )2+(2a )2-(4a )22×4a ×2a =1 4. 又0<∠F 1AF <π,∴sin ∠F 1AF 2= 15 4 , ∴S △AF 1F 2=12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2=12×4a ×2a ×15 4 =15a 2. (2)由已知得双曲线方程为y 24-x 2 3=1,设双曲线的另一个焦点为F ′,则|PF |=|PF ′|+4,△PAF 的周长为|PF | +|PA |+|AF |=|PF ′|+4+|PA |+3,当F ′,P ,A 三点共线时,|PF ′|+|PA |有最小值,为|AF ′|=3,故△PAF 的周长的最小值为10. 考点二 双曲线的标准方程 【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =52x ,且与椭圆 x 2 12+y 2 3=1有公共焦点,则C 的方程为( ) A.x 28-y 2 10=1 B.x 24-y 2 5=1 C.x 25-y 2 4 =1 D.x 24-y 2 3 =1 (2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交 于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( ) A.x 24-y 2 12=1 B.x 212-y 2 4=1 C.x 23-y 2 9=1 D.x 29-y 2 3 =1 【答案】 (1)B (2)C 【解析】 (1)由题设知b a =5 2,① 又由椭圆x 212+y 2 3=1与双曲线有公共焦点, 易知a 2+b 2=c 2=9,② 由①②解得a =2,b =5,则双曲线C 的方程为x 24-y 2 5 =1. (2)由d 1+d 2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b =3.因为双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的离心 率为2,所以c a =2,所以a 2+b 2a 2=4,所以a 2+9a 2=4,解得a 2 =3,所以双曲线的方程为x 23-y 2 9 =1. 【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a ,b ,c 的方程并求出a ,b ,c 的值. 2.与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2-y 2 b 2=λ(λ≠0). 【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚 轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212-y 2 =1 B.x 29-y 2 3=1 C.x 2- y 2 3 =1 D.x 223-y 2 32 =1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y =0,且双曲线经过点P (6,2),则双曲线的方程为 ________________. 【答案】 (1)C (2)y 243 -x 2 3=1 【解析】 (1)由双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成 一个等边三角形,可得? ??2a 2-3 b 2=1,b a =3,解得???a =1, b =3, ∴双曲线C 的标准方程是x 2- y 2 3 =1. (2)由双曲线的渐近线方程为y =±2 3x , 可设双曲线方程为x 29-y 2 4 =λ(λ≠0). 因为双曲线过点P (6,2),所以69-44=λ,λ=-1 3, 故所求双曲线方程为y 243-x 2 3=1. 考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线 【例3-1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为 ( ) A.y =±2x B.y =±3x C.y =±2 2x D.y =±3 2 x 【答案】 A 【解析】 法一 由题意知,e =c a =3,所以c =3a ,所以b =c 2-a 2=2a ,即b a =2,所以该双曲线 的渐近线方程为y =±b a x =±2x . 法二 由e =c a = 1+????b a 2 =3,得b a =2,所以该双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±2x . 角度2 求双曲线的离心率 【例3-2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,O 是坐标原点. 过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若|PF 1|=6|OP |,则C 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 (2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),圆C 2:x 2+y 2-2ax +3 4a 2=0,若双曲线C 1的一条 渐近线与圆C 2有两个不同的交点,则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.???? 1,233 B.?? ? ?233,+∞ C.(1,2) D.(2,+∞) 【答案】 (1)C (2)A 【解析】 (1)不妨设一条渐近线的方程为y =b a x ,则F 2到y =b a x 的距离d =|bc | a 2+ b 2=b ,在Rt △F 2PO 中, |F 2O |=c ,所以|PO |=a ,所以|PF 1|=6a ,又|F 1O |=c ,所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中,根据余弦定理得cos ∠POF 1=a 2+c 2-(6a )22ac =-cos ∠POF 2=-a c ,则3a 2+c 2-(6a )2=0,得3a 2=c 2,所以e =c a = 3. (2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y =±b a x ,即bx ±ay =0,圆C 2:x 2+y 2-2ax +3 4a 2=0可化为(x -a )2+y 2 =14a 2,圆心C 2的坐标为(a ,0),半径r =1 2a ,由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点,得|ab |a 2+b 2<12 a ,即c >2 b ,即 c 2>4b 2,又知b 2=c 2-a 2,所以c 2>4(c 2-a 2),即c 2<43a 2,所以e =c a <233,又知 e >1,所以双曲线C 1的离心率的取值范围为???? 1,233. 角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题 【例3-3】 已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→ <0,则 y 0的取值范围是( ) A.? ?? ? - 33, 33 B.? ?? ? - 36, 36 C.???? -223,223 D.??? ?-233,233 【答案】 A 【解析】 因为F 1(-3,0),F 2(3,0),x 202 -y 20=1,所以MF 1→·MF 2→=(-3-x 0,-y 0)·(3-x 0,-y 0)=x 20+y 20-3<0,即3y 2 0-1<0,解得- 33 3 . 【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ,b ,c 的值,由c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2 a 2直接求e . (2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助于b 2=c 2-a 2消去b ,然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解. 2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :y 2a 2-x 2 b 2=1(a >0,b >0)的一条渐 近线与圆(x -2)2+(y -1)2=1相切,则C 的离心率为( ) A.43 B.54 C.169 D.2516 (2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28-m +y 2 4-m =1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________. 【答案】 (1)B (2)(0,2) 【解析】 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax =0,结合图形易知与圆相切的只可能是by -ax =0,又圆心坐标为(2,1),则 |b -2a | a 2+ b 2 =1,得3a =4b , 所以9a 2=16b 2=16(c 2-a 2),则e 2=25 16 , 又e >1,故e =5 4 . (2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0),它的一个焦点(c ,0)到渐近线bx -ay =0的距离为 |bc |b 2+a 2=b .本题中,双曲线x 28-m +y 24-m =1即x 28-m -y 2 m -4=1,其焦点在x 轴上,则? ????8-m >0,m -4>0,解得 4 1.与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2-y 2 b 2=t (t ≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程x 2a 2-y 2b 2=0就是双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1 (a >0,b >0)的两条渐近线方程. 【易错防范】 1.双曲线方程中c 2=a 2+b 2,说明双曲线方程中c 最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆. 2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错. 3.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y =±b a x ,y 2a 2-x 2b 2=1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y =±a b x . 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时:40分钟) 一、选择题 1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y =±12x B.y =±2 2x C.y =±2x D.y =±2x 【答案】 B 【解析】 因为2b =2,所以b =1,因为2c =23,所以c =3,所以a =c 2-b 2=2,所以双曲线的渐 近线方程为y =±b a x =±2 2 x . 2.双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F ,过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为A ,且 交y 轴于B ,若A 为BF 的中点,则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 62 【答案】 A 【解析】 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π 4,故双曲线C 的离心率e =????cos π4-1 = 2. 3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ( ) A. 2 B.2 C.322 D.2 2 【答案】 D 【解析】 法一 由离心率e =c a =2,得c =2a ,又 b 2= c 2-a 2,得b =a ,所以双曲线C 的渐近线方程 为y =±x .由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C 的渐近线的距离为 4 1+1 =2 2. 法二 离心率e =2的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是y =±x ,∴点(4,0)到C 的渐近线的距离为4 1+1 =2 2. 4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为3 2,过右焦点F 作渐近线的垂线,垂足 为M .若△FOM 的面积为5,其中O 为坐标原点,则双曲线的方程为( ) A.x 2- 4y 2 5 =1 B.x 22-2y 2 5=1 C.x 24-y 2 5=1 D.x 216-y 2 20 =1 【答案】 C 【解析】 由题意可知e =c a =32,可得b a =5 2, 取一条渐近线为y =b a x , 可得F 到渐近线y =b a x 的距离d =bc a 2+b 2=b , 在Rt △FOM 中,由勾股定理可得|OM |=|OF |2-|MF |2=c 2-b 2=a ,由题意可得1 2 ab =5, 联立???b a =52,12ab =5,解得???a =2, b =5, 所以双曲线的方程为x 24-y 2 5 =1. 5.已知F 2,F 1是双曲线y 2a 2-x 2 b 2=1(a >0,b >0)的上、下两个焦点,过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于 点B ,A ,若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y =±2x B.y =±2 2x C.y =±6x D.y =±6 6 x 【答案】 D 【解析】 根据双曲线的定义,可得|BF 1|-|BF 2|=2a , ∵△ABF 2为等边三角形,∴|BF 2|=|AB |,∴|BF 1|-|AB |=|AF 1|=2a ,又∵|AF 2|-|AF 1|=2a ,∴|AF 2|=|AF 1|+2a =4a ,∵在△AF 1F 2中,|AF 1|=2a ,|AF 2|=4a ,∠F 1AF 2=120°,∴|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2-2|AF 1|·|AF 2|cos 120°,即4c 2=4a 2+16a 2-2×2a ×4a ×????-1 2=28a 2,亦即c 2=7a 2,则b =c 2-a 2=6a 2=6a ,由此可得双曲线C 的渐近线方程为y =±6 6x . 二、填空题 6.直线l :y =2x +10过双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为 _________________________________. 【答案】 x 25-y 2 20 =1 【解析】 由题意得一个焦点为F (-5,0),c =5,b a =2, 又a 2+b 2=c 2,所以a 2=5,b 2=20, 所以双曲线方程为x 25-y 2 20 =1. 7.设双曲线x 29-y 2 16=1的右顶点为A ,右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于 点B ,则△AFB 的面积为________. 【答案】 3215 【解析】 a 2=9,b 2=16,故c =5.∴A (3,0),F (5,0),不妨设直线BF 的方程为y =4 3 (x -5),代入双曲线 方程解得B ????175,-3215.∴S △AFB =12|AF |·|y B |=12·2·3215=3215 . 8.(2019·梅州质检)已知双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点.P 是双曲 线在第一象限上的点,直线PO ,PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ,N .若|PF 1|=2|PF 2|,且∠MF 2N =60°,则双曲线C 的离心率为________. 【答案】 3 【解析】 由题意,|PF 1|=2|PF 2|,由双曲线的定义可得,|PF 1|-|PF 2|=2a ,可得|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a ,又|F 1O |=|F 2O |,|PO |=|MO |,得四边形PF 1MF 2为平行四边形,又∠MF 2N =60°,可得∠F 1PF 2=60°,在△PF 1F 2中,由余弦定理可得,4c 2=16a 2+4a 2-2·4a ·2a ·cos 60°,即4c 2=20a 2-8a 2,c 2=3a 2,可得c =3a ,所以e =c a = 3. 三、解答题 9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点P (4,-10). (1)求双曲线的方程; (2)(一题多解)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→·MF 2→=0. 【答案】见解析 【解析】(1)解 ∵e =2, ∴可设双曲线的方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,-10),∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线的方程为 x 2-y 2=6,即 x 26-y 2 6 =1. (2)证明 法一 由(1)可知,a =b =6, ∴c =23,∴F 1(-23,0),F 2(23,0), ∴k MF 1= m 3+23,k MF 2=m 3-23 , k MF 1·k MF 2=m 29-12 =-m 2 3. ∵点M (3,m )在双曲线上,∴9-m 2=6,m 2=3, 故k MF 1·k MF 2=-1,∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→ =0. 法二 由(1)可知,a =b =6,∴c =23, ∴F 1(-23,0),F 2(23,0), MF 1→=(-23-3,-m ),MF 2→ =(23-3,-m ), ∴MF 1→·MF 2→=(3+23)×(3-23)+m 2=-3+m 2, ∵点M (3,m )在双曲线上,∴9-m 2=6,即m 2-3=0, ∴MF 1→·MF 2→=0. 10.设A ,B 分别为双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距 离为 3. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线y = 33 x -2与双曲线的右支交于M ,N 两点,且在双曲线的右支上存在点D ,使OM →+ON →=tOD → ,求t 的值及点D 的坐标. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意知a =23, ∵一条渐近线为y =b a x ,即bx -ay =0. ∴由焦点到渐近线的距离为3,得|bc | b 2+a 2 = 3. 又∵c 2=a 2+b 2,∴b 2=3, ∴双曲线的方程为x 212-y 2 3 =1. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),D (x 0,y 0),其中x 0≥2 3. 又OM →+ON →=tOD → ,即(x 1,y 1)+(x 2,y 2)=t (x 0,y 0), 则x 1+x 2=tx 0,y 1+y 2=ty 0. 将直线方程y =33x -2代入双曲线方程x 212-y 2 3=1得x 2-163x +84=0,其中Δ=(163)2-4×84>0, 则x 1+x 2=163,y 1+y 2= 3 3(x 1+x 2 )-4=12. ∴???x 0y 0 =433,x 20 12-y 20 3 =1.解得???x 0 =43,y 0 =3. ∴t =4,点D 的坐标为(43,3). 【能力提升题组】(建议用时:20分钟) 11.(2019·河南适应测试)已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点, 若|PF 1|+|PF 2|=6a ,且△PF 1F 2的最小内角为π 6,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y =±2x B.y =±1 2x C.y =±22x D.y =±2x 【答案】 D 【解析】 不妨设P 为双曲线右支上一点,则|PF 1|>|PF 2|,由双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=2a ,又|PF 1|+ |PF 2|=6a ,所以|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a .又因为?????2c >2a ,4a >2a , 所以∠PF 1F 2为最小内角,故∠PF 1F 2=π 6. 由余弦定理,可得(4a )2+(2c )2-(2a )22·4a ·2c =3 2,即(3a -c )2=0,所以c =3a ,则b =2a ,所以双 曲线的渐近线方程为y =±2x . 12.已知点F 为双曲线E :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的右焦点,直线y =kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ,N 两 点,若MF ⊥NF ,设∠MNF =β,且β∈???? π12,π6,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2,2+6] B.[2,3+1] C.[2,2+6] D.[2,3+1] 【答案】 D 【解析】 如图,设左焦点为F ′,连接MF ′,NF ′,令|MF |=r 1,|MF ′|=r 2,则|NF |=|MF ′|=r 2, 由双曲线定义可知r 2-r 1=2a ①,∵点M 与点N 关于原点对称,且MF ⊥NF ,∴|OM |=|ON |=|OF |=c ,∴r 21 +r 22=4c 2②, 由①②得r 1r 2=2(c 2-a 2),又知S △MNF =2S △MOF , ∴12r 1r 2=2·12 c 2·sin 2β,∴c 2-a 2=c 2·sin 2β, ∴e 2=11-sin 2β,又∵β∈????π12,π6,∴sin 2β∈????12,3 2, ∴e 2=1 1-sin 2β ∈[2,(3+1)2]. 又e >1,∴e ∈[2,3+1]. 13.(2018·北京卷)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线N :x 2m 2-y 2 n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为________;双曲线N 的离心率为________. 【答案】 3-1 2 【解析】 设椭圆的右焦点为F (c ,0),双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A , 由题意可知A ??? ?c 2,3c 2,由点A 在椭圆M 上得,c 24a 2+3c 24b 2=1,∴b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2,∵b 2=a 2-c 2,∴(a 2 -c 2)c 2+3a 2c 2=4a 2(a 2-c 2),∴4a 4-8a 2c 2+c 4=0,∴e 4椭-8e 2椭+4=0,∴e 2 椭=4± 23,∴e 椭 =3+1(舍去) 或 e 椭=3-1,∴椭圆M 的离心率为3-1.∵双曲线的渐近线过点A ????c 2,3c 2,∴渐近线方程为y =3x , ∴n m =3,故双曲线的离心率e 双=m 2+n 2 m 2 =2. 14.已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2 =1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点 分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程; (2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA →·OB → >2(其中O 为原点),求k 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0), 则a 2=3,c 2=4,再由a 2+b 2=c 2,得b 2=1. 故C 2的方程为x 23-y 2 =1. (2)将y =kx +2代入x 23-y 2 =1, 得(1-3k 2)x 2-62kx -9=0. 由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点,得 ?? ?1-3k 2≠0, Δ=(-62k )2+36(1-3k 2)=36(1-k 2)>0, ∴k 2≠1 3且k 2<1.① 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=62k 1-3k 2 ,x 1x 2=-9 1-3k 2. ∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2) =(k 2+1)x 1x 2+ 2k (x 1+x 2)+2=3k 2+7 3k 2-1 . 又∵OA →·OB →>2,得x 1x 2+y 1y 2>2, ∴3k 2+73k 2-1>2,即-3k 2+93k 2-1>0,解得13<k 2<3.② 由①②得1 3<k 2<1, 故k 的取值范围为? ???-1,- 33∪??? ?33,1. 【新高考创新预测】 15.(多填题)已知椭圆x 24+y 2m =1与双曲线x 2 -y 2 n =1的离心率分别为e 1,e 2,且有公共的焦点F 1,F 2,则4e 21 -e 22=________,若P 为两曲线的一个交点,则|PF 1|·|PF 2|=________. 【答案】 0 3 【解析】 由题意得椭圆的半焦距满足c 21=4-m ,双曲线的半焦距满足c 2 2=1+n , 又因为两曲线有相同的焦点,所以4-m =1+n , 即m +n =3, 则4e 21-e 22=4×4-m 4 -(1+n )=3-(m +n )=0. 不妨设F 1,F 2分别为两曲线的左、右焦点,点P 为两曲线在第一象限的交点, 则?????|PF 1|+|PF 2|=4,|PF 1|-|PF 2|=2.解得?????|PF 1|=3,|PF 2|=1, 则|PF 1|·|PF 2|=3.