随机过程第七章期末练习题
随机过程期末复习试题
期末复习试题一、填空题1. 假设()0.4,P A =()0.7P A B =， 若A 与B 互不相容，则()________P B =； 若A 与B 相互独立，则()________P B =.2.设0<P (A )<1,0<P (B )<11=+)|()|(B A P B A P ,则A 与B 满足什么关系__________.3．设A 与B 为两个事件，()0.9P A =，()0.3P AB =，则()P AB =___________.4. 设()0.5P A =，()0.3P B =()0.2P B A =，则()P B A ⋃=___________. 5．设随机变量X 的分布率为{}7aP X k ==，（ 1, 2, ,7k =）则常数a =_______.6．设随机变量X 的密度函数为, 01,()0, ax x f x <<⎧=⎨⎩其它.则常数a =_________7. 设X 和Y 是两个随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=， 则{max(,)0}P X Y ≥= ______________8. 设随机变量()Xπλ,且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=___________.9．设随机变量(,)XB n p 的二项分布，且()4,()3,E X D X ==则n =___，p =___10. 设X 服从2(,)N μσ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值________________. 11. 设X 服从(1,4)N ，则2()E X 为 ________________.12．设随机变量X 和Y 独立，且都服从(,1)N μ，若{1}0.5P X Y +≤=，则μ为____13．设随机变量X 和Y 独立，且X 服从(1,2)N ，Y 服从(0,1)N ，则23Z X Y =-+服从_________14. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则由切比雪夫不等式，有{||6}P X Y +≥≤_______________.15. 某人不断地掷骰子．设n X 表示前n 次抛掷中出现的最大点数，那么随机序列{},1n X n ≥的状态空间是____________________.16．设计数过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的泊松过程，令00t =，则均值函数为_____，方差函数为_____.17．设{(),0}W t t ≥是以2σ为参数的维纳过程，则0, ()t W t ∀>___________________.18．已知1{,}n X n T ∈为马尔可夫链，12{,,}I a a =为状态空间，对于120,r t t t m ≤<<<<（1,,i t m m n T +∈），都有1122{,,,,}r r m n t i t i i i m i p X a X a X a X a X a +======______二、简单计算题1. 已知1()()(),4P A P B P C ===1()0, ()(),8P AC P AB P BC ===求,,A B C 至少有一个发生的概率2．设X 的密度函数为, 0 1,()0, .ax x f x <<⎧=⎨⎩其他试求：（1）常数a ；（2）1{0}2P X ≤≤．3．设X 的密度函数为121, 0,()20, .x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他求以a 为未知数的一元二次方程2240a Xa ++=有实根的概率。
随机过程第七章期末练习题
填空题
1、假设某公交线路起点站的发车规则为：自上次发车后若乘客数达到 n 则立刻发下一 趟车，否则要等到 T 1 分钟才发车。若该站平均每分钟到达的乘客数为 ，每分钟到达的乘 客数是独立的，则等到 n 个乘客所需的时间 S n (单位：分钟)的概率密度分布函数为
f Sn (t )
发车间隔 T
计算题
1、如果明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关，并设今天下雨而明 天有雨的概率为 0.7，今天无雨而明天有雨的概率为 0.4，已知今天已经下雨，求第四天仍有 雨的概率。
2、设 E ( n) 为零均值、方差为 0.36 的离散时间正态白噪声，
X (n) 0.8 X (n 1) E (n) ( n )
1 / 4 1 / 4 0 1 / 2 0 1 0 0 P 1 / 2 0 1 / 2 0 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4
①、如果该马尔可夫链在 n 时刻处于 S3 状态，求在 n+2 时刻处于 S1 状态的概率； ②、如果该马尔可夫链在 0 时刻处于 S1 状态，求在 1 时刻处于状态 S4 而 2 时刻处于状 态 S3 的概率。 5 、独立重复地掷一颗均匀的骰子， Xn 表示第 n 次掷出的点数，令 Yn=Xn+1+Xn+2 ， n=0,1,2,……。 ①、计算 P{ Y2=12 | Y1=7, Y0=2}； ②、计算 P{ Y2=12 | Y1=7}； 。 ③、若 Yn 是否为马尔可夫链？为什么？ 6、在数字通信系统中，传输的信号只有 0、1 两种，一般分为多个阶段传输。设在每一 个阶段中出错的概率为 a（0<a<1） 。设 X(0)=0 是要传输的最原始的信号，X(n)（n>0）表示 经过 n 个阶段传输后收到的信号，设 X(n)（n>0）是一个马尔可夫链，试求： ①、X(n)的一步转移概率矩阵； ②、在头三个阶段中原始信号传输均不出错的概率； ③、原始信号经过头三个阶段的传输后收到正确信号的概率； ④、该链的平稳分布是否存在？为什么？如存在，求其平稳分布。 7、设 Xn 表示状态空间为 I={0,1,2}的齐次马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为
13级统计专业《随机过程》期末试卷B
.数学与统计学院2013级统计学专业（本科）《应用随机过程》期末试卷（B ）2015 — 2016 学年 第一学期 考试时间120 分钟 满分100分一、判断题（每题2分，满分10分）1.布朗运动和排队模型都属于随机过程。
（ ）2.如果随机过程{}(),X t t T ∈是严平稳过程，则它也是宽平稳过程。
（ ）3.Poisson 过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程。
（ ）4.i 为零常返状态⇔0lim )(=∞→n iin p。
（ ） 5.如果状态i 为非常返状态，且是非周期的，则i 是遍历状态。
（ ）二、填空题（每空2分，满分20分）1.设{}(),X t t T ∈是平稳过程，则[()]E X t = 。
2.乘客以10人/小时的平均速率到达售票处，则[0,t]内到达的乘客数{}()N t 是强度为 的Poisson 过程。
3.自相关函数(,)X R s t = 。
4.更新过程的时间间隔 ,,21X X 是分布函数为F 的独立同分布序列。
如果允许1X 服从其他分布G ，则称由 ,,21X X 确定的计数过程是 。
5. 有“开”、“关”两种状态的更新过程，称作 。
6.有一类随机过程，它具备 ，即要确定过程将来的状态，只需知道它现在的状态，而不需要知道它过去的状态。
7.设Markov 链一步转移概率矩阵为()ij p P =，n 步转移矩阵为())()(n ij n p P =，则二者之间的关系为 。
8.在Markov 链中，若()11n ii ii n f f ∞===∑，则称状态i 为 。
9.更新过程中有()N t n ≥⇔ 。
10.若状态j i ,同属一类，则两状态的周期)()(j d i d 与的关系是 。
三、计算题（每题10分，满分30分）1.假设某天文台观测到的流行数是一个泊松过程，根据以往资料统计为每小时平均观测到5颗流星。
试求：上午8:00 -12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率？观察到3颗的概率？2.设顾客在[0,t)内进入商场的人数是一泊松过程，平均每10min 进入25人。
随机过程期末复习题
，转移概率矩阵为：
则该链的状态分类为( A )． A. 1 和 2 都是遍历状态，3 和 4 是非常返状态； B. 1 和 2 都是遍历状态，3 和 4 是零返状态 ； C. 1 和 2 都是零常返状态，3 和 4 是正常返状态； D. 1 和 2 都是非常返状态，3 和 4 是遍历状态．
53. 如果状态 是常返的，则
0.
54. 如果状态 是零常返的，则从 出发再回到 的平均回转时间
55. 如果状态 是正常返的，则从 出发再回到 的平均回转时间
0.
. .
56. 马尔可夫链
从 出发到达 的平均次数为
.
57. 状态 是常返的充要条件是
.
58. 状态 是非常返的充要条件是
.
59. 为从状态 出发经有限步返回 的概率．如果
的矩母函数
，设 与 分别是以 ( B ).
A.
B.
C.
D.
7. 已知
是维纳过程，则下面错误的是(
B
).
A.Leabharlann 是独立增量过程B.
是平稳过程
C.
是平稳增量过程
D.
是正态过程
8. (
A
)的有限维分布关于时间是平移不变的.
A. 严平稳过程 B. 宽平稳过程 C. 平稳增量过程 D. 独立增量过程
9. 设
是泊松过程，下述结论不正确的是（ B ）.
元．
解题思路：索赔次数为一速率为 （次 月）泊松过程 ,总索赔金额为一复合泊松过程
赔付额为
，每次的赔付金额 ，故一年中保险公司的平均
39. 设顾客以每分钟 6 人的平均速率进入某商场，这一过程可以用泊松过程来描述．又设
表示进入该商场的第 位顾客在该商场所花费的金额（单位：元），且有
《随机过程》期末试题
《随机信号》期末试题学号：姓名：计算题和解答题（注：答题纸上作答，请写出必要的步骤，直接写出答案不得分）1、(10分)设随机过程(),(0,)X t Vt b t =+∈∞，b 为常数，V 是服从正态分布N(0,1)的随机变量。
求X(t)的一维概率密度、均值和相关函数。
2、(15分)设随机过程1nn j j Y X ==∑，其中X j (j=1,2,…,n)是相互独立的随机变量，且P{Xj=1}=p ，P{Xj=0}=1-p=q ，求{Yn ，n=1,2,…}的均值函数和协方差函数。
3、(15分)设电话总机在(0,t]内接到电话呼叫数X(t)是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率；4、(15分)某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达最高峰20人/时。
从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。
假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8:30-9:30问无顾客到达商店的概率是多少?在这段时间内到达商店的顾客数的数学期望是多少?5、(15分)设马尔科夫链的状态空间为I={1，2，3，4，5，6}，状态转移图如下所示，写出转移概率矩阵。
6、(15分)设马尔科夫链的转移概率矩阵分别为（1）11221233⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）112233000p q p q q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算1112,,1,2,3n n f f n =7、(15分)设S(t)是一周期为T 的函数，θ在(0,T )上均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。
概率统计随机过程-期末试卷-参考答案
7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15
D S 2 2 15
2
得 D S
2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二 参考答案 一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}
随机过程期末试题及答案(2)
课程所在学院： 理学院 姓名
成绩
1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 4 页，共 四 大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间； 3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 本试卷全部答案写在试卷上； 5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场； 6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！ 一．填空题（每空 2 分，共 20 分） 1．设随机变量 X 服从参数为
4
1 (sin(ω t+1)-sinω t) 。 2 1
λ
的同一指数分布。
4．设 {Wn ,n ≥ 1}是与泊松过程 {X(t),t ≥ 0} 对应的一个等待时间序列，则 Wn 服从 Γ 分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t
⎧ t ⎪ , 对 应 随 机 变 量 X (t ) = ⎨ 3 t ⎪ ⎩e ,
（2）一维分布函数 F(x;0),F(x;1) 。 求（1） {X(t),t ∈ ( −∞, +∞)} 的样本函数集合； 解： （1）样本函数集合为 {cosπ t,t}, t ∈ (-∞,+∞) ； （2）当 t=0 时， P {X(0)=0} = P {X(0)=1} =
1 ， 2
⎧0 ⎧0 x<0 x<-1 ⎪ ⎪ ⎪1 ⎪1 故 F(x;0)= ⎨ 0 ≤ x<1 ；同理 F(x;1)= ⎨ −1 ≤ x<1 ⎪2 x ≥ 1 ⎪2 x ≥ 1 1 ⎪ ⎪1 ⎩ ⎩
(n)
{
}
⎧ ⎩
= ∑ P {X(n)=j,X(l)=k X(0)=i} X(l)=k X(0)=i ⎬ ⎭
随机过程考试试题及答案详解
随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同1题。
依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。
故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
最新-期末随机过程试题及答案资料
《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题七答案
A fst1 x A ft2 s B x ft1 A ft2 t1 B A
x A2
B x 2
1
e 2st1
1
e 2t2 s
2 s t1
2 t2 s
B A2
1
e 2t2 t1
2 t2 t1
2
t2 t1 s t1 t2
大，即 tX 1 t 0, X 1 t 0 。由此可知Y t 0的上界就是求 X t 0 的下界
lim X 1 t X 0 0 ，则下界T 必为 0，即 PT 0 1
t
2、设 X t 同上，令W t X a2t a 0 ，验证W t ,t 0也是 Brown 运动。 a 证明： 由 X t 为 Brown 运动，对于任意 t 大于等于 0，
由上可知
covY t,Y s mint, s
5、设X
t
,
0
t
1
为
Brown
桥过程。证明：若W
t
t
1
X
t
t 1
，则
W t ,t 0是 Brown 运动。
证明：
令Bt ,t 0 为标准 Brown 运动，则 B0 0, Bt N 0,t
t2 t1 s t1 t2 s
B A2
e
2t2
t1
将其看作常数项
K1
]
K2
exp
t2
t1
x
2s
AB A t1 t2 s
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程期末试题及答案
随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。
B. 具有随机变量。
C. 具有时间集合。
D. 具有马尔可夫性质。
答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。
B. 布朗运动。
C. 维纳过程。
D. 马尔可夫链。
答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。
B. 随机过程的均值不随时间变化。
C. 随机过程的方差不随时间变化。
D. 随机过程的偏度不随时间变化。
答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。
B. 指数分布过程。
C. 广义强度过程。
D. 随机驱动过程。
答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。
2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。
3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。
4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。
三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。
随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。
它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。
时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。
取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。
2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。
时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。
即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。
例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。
在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。
3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。
随机过程复习题(含答案)
随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有______}|{|lim =<-∞>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。
2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则1592}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4831481348436133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。
湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华教授第一章：概述及概率论复习设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取 3个，求 其中有次品的概率。
设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放 回，求第3次才取得合格品的概率。
设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取 得红球的概率(甲取出的球不放回)。
设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回， 求连续n 次取得合格品的概率。
设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且其中0为常数，求常数A 、B 的值 设随机变量X 的分布函数为F (x) A Barctg(x) (- <x< )(1)求系数A 、B ； (2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。
已知二维随机变量(X,丫的联合概率密度分布函数为6xy(2 x y) 0 x,y 1f xY (x,y )elsewhere(1)求条件概率密度函数f xiY (x|y)、f Y|x (y|x) ； (2)问X 、丫是否相互独立 已知随机变量X 的概率密度分布函数为f X (x)21exp ［叮笛■- 2 X2 X随机变量丫与X 的关系为 Y=cX+b 其中c ，b 为常数。
求丫的概率密度分布函数 设X 、丫是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为F(x)A Be x x 00 x 0求随机变量Z=X+丫的概率密度分布函数。
设随机变量丫与X 的关系为对数关系，丫=ln(X),随机变量丫服从均值为m Y 、标准差为Y的正态分布，求X 的概率密度分布。
的数学期望及方差。
随机变量X 服从均值为m x 、标准差为X 的正态分布，X 通过双向平方率检波器，Y=c*(c>0),求丫的概率密度分布。
设二维随机变量的联合概率密度分布函数为f xY (x, y) Asin(x y) (0 x ,0 y -)2 2(1)求系数A ，(2)求数学期望E[X]、E[Y]，方差D[X]、D[Y]; (3)求X 、丫的相关函数及相 关系数。
期末随机过程试题及答案
《随机过程期末考试 卷》1设随机变量X 服从参数为的 泊松分布，贝U X 的特征函数为。
2 •设随机过程X(t)二Acos( t+ )，- <t< 其中为 率P j (n) P X n j , n 步转移概率 p j n )，三者之间的关系为。
8•设｛X(t),t0｝是泊松过程，且对于任意 t 2 t i 0 则P ｛ X (5) 6|X (3) 4｝—正常数，A 和是相互独立的随机变 量，且A 和服从在区间0,1上的 均匀分布，则X(t)的数学期望为。
3. 强度为入的泊松过程的点间间 距是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布。
9. 更新方程tK t H t K t sdF s 解的0 一般形式为。
10. 记EX n ,对一切a 0,当t 时，M。
4道小题，每题8分，共32分)列，则W n 服从分布5. 袋中放有一个白球，两个红球， 每隔单位时间从袋中任取一球，取后 放回，对每一个确定的t 对应随机变则这个随机过程的状态空间。
6. 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P ij )，n 步转移矩阵 P (n) (p (n))，二者之间的关系为。
7. 设X n ,n 0为马氏链，状态空1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明 条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(B A)P(C AB)。
2. 设｛X(t), t 0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t 0｝是一个马尔 科夫过程。
3. 设X n ,n 0为马尔科夫链，状态 空间为I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和i, j I ,n 步转移概率4. 设N(t),t 0是强度为的泊松间I ，初始概率p i P(X 0=i)，绝对概科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意 义。
4.X(t,n 1是与泊松过程评卷人 二、证明题(本大题共 ),t 0对应的一个等待时间序 t +a M t量 X(t)丄3 t e ,如果t 时取得红球 如果t 时取得白球(n)P ijp ik )p j )，称此式为切普曼一k I分布随机变量，且与 N(t),t 0独N(t)立，令X(t)= Y k ,t 0，证明：若k=1E(Y I 12V )，则 E X(t) tE Y i 。
随机过程期末考题(2018.1.9)
中国科学技术大学期末考试题考试科目：随机过程（B ） 得分： 学生所在系： 姓名： 学号：（2018年1月9日，半开卷）一、( 20分) 判断是非与填空： （1）（每空2分）设{,0}n X X =≥为一不可约、有限（N 个）状态的马氏链，且其转移概率矩阵P为双随机的（行和与列和均为1），则：.a X 的平稳分布不一定存在 ( ) ； .b X的平稳分布存在但不必唯一( ) ；Xc .的平稳分布为) (1)11N N N ，，，（（ ）； .d X的极限分布为：) (1)11N N N ，，，（（ ） 。
（2）（每空3分）设公路上某观察站红、黄、蓝三种颜色的汽车到达数分别是强度为2、3和5（辆/分钟）的泊松过程。
则：.a 第一辆车到达的平均时间为( ) ； .b 红车首先到达的概率为 ( ) ；.c 在第一辆红车到达之前恰好到达k 辆非红车的概率为（ ）。
（3）（3分）有关某种商品的销售状况共有24个季度的连续数据 ( 1—畅销，0—滞销 )：，，1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,10,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1若该商品销售状况满足齐次马氏链，则据以上数据可估计出该马氏链的转移概率矩阵P 为（ ）。
二、（15分）设到达某计数器的脉冲数}0),({≥t t N 是一速率为λ的泊松过程，每个脉冲被记录的概率均为p ，且各脉冲是否被记录是相互独立的。
现以)(1t N 表示被记录的脉冲数，试求)(1t N 的矩母函数)()(1v g t N 以及)(1t EN ,)]([1t N Var 和))(),((11t N s N Cov 。
三、（20分）设马氏链}0,{≥n X n 的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323132313231000321P（1）设30=X ，试求：)3,2,1(},{)2(},{121=====i i X P i X P i i ππ）（，并求： )(1X E 和)(2X E ；（2）试求该马氏链的极限分布：)3,2,1,(,)(,lim ==∞→j i p n j i n j π；（3）当初始分布)3,2,1(0=i i ）（π为什么分布时，该马氏链为严格平稳过程？并求此时的)(n X E 。
随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机过程_华东师范大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.隐马尔可夫链的三类基本问题不包括_____________.答案:识别问题2.有限状态时齐马氏链的任意一个状态都不是零常返的答案:正确3.接上题。
试用切比雪夫不等式估计小王在一个小时完成的概率最大是________？答案:0.064.小王同学要做一个社会调查，为此他打算到某公共场所发放调查问卷。
他先去该场所观察人群到达情况，发现到达的人流可以用强度为1000人/小时的泊松过程拟合。
由于人手不够，小王只能在到达的人群中随机发放问卷，每个人拿到问卷的可能性是30%，另外，不是所有人都会配合调查问卷，根据经验每个人拿到问卷的人都有50%的可能配合完成调查。
小王要获得200份已完成的调查问卷，请问配合小王完成调查问卷的人群所构成的泊松过程的强度是______人/小时。
答案:1505.【图片】表示相继两列列车之间的等待时间(单位：小时)，服从(1, 2)上的均匀分布，乘客按强度为100人/小时的泊松过程到达火车站，问乘上某列火车的乘客中等待时间超过1个小时的乘客数量。
答案:506.已知随机游动【图片】的步长分布为【图片】. 那么【图片】=——————(用小数表示，四舍五入，保留4位小数)。
答案:0.02887. 2. .若N(t)是个等待时间分布为F(t)的更新过程，g是一个定义在正整数上的函数, 满足g(0)=0, g(n+1)=g(1)+rg(n), 【图片】, 其中r是个常数，那么函数h(t)=E(g(N(t)))满足_____.答案:8.平稳独立增量过程一定是平稳过程答案:错误9.努利过程既是平稳过程也是严平稳过程答案:正确10.若随机变量序列【图片】为独立增量过程，那么【图片】.答案:错误11.对离散时间随机过程【图片】定义【图片】,那么【图片】是关于该随机过程的停时答案:错误12.已知W是初值为0, 步长分布为【图片】的随机游动，那么以下错误的是答案:13.已知非负整数值随机变量X的概率母函数为【图片】那么【图片】______.(用小数表示)答案:0.514.若X，Y是独立同分布的随机变量服从参数为a的指数分布, 那么在X+Y=1的条件下X的分布是_____.答案:均匀分布15.【图片】(注意结果用小数表示)答案:0.0516.【图片】(注意：结果用小数表示)答案:0.517.已知X, Y是两个方差有限的随机变量，若以X的一个函数随机变量g(X)作为Y的一个近似，为了使得近似误差的均方最小，那么在几乎处处意义下g(X)=_____。
随机过程试题及答案
一．填空题（每空2分，共20分）分）1．设随机变量X 服从参数为l 的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1)el 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<w F ¥¥ 其中w 为正常数，A 和F 是相互独立的随机变量，且A 和F 服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为1(sin(t+1)-sin t)2w w 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1l的同一指数分布。
的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1³是与泊松过程{}X(t),t 0³对应的一个等待时间序列，则n W 服从G 分布。
分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量ïîïíì=时取得白球如果时取得红球如果t t te tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间212t,t,;e,e 33ìüíýîþ。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为(n)nP P =。
7．设{}n X ,n 0³为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p Î=×å。
8．在马氏链{}n X ,n 0³中，记中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=¹££==³ (n)ij ij n=1f f ¥=å，若ii f 1<，称状态i 为非常返的。
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第七章练习题 判断题
齐次马尔可夫链任意两个不同时刻的联合分布律及转移概率只与时刻差有关。 （X） 如果齐次马尔可夫链可以从任意一个状态转移到任意状态，则一定遍历或渐近平 稳。 （X） 对于有限状态的马尔可夫链，至少有一个状态为常返态。 （V） 设 P 为齐次马尔可夫链的一步状态转移矩阵， p 为状态概率矢量，若 P p p 存
T
； 在唯一解且其元素值满足 0 pi 1 ，则当初始状态列阵为 p 时，该链为平稳链； 而当初始列阵不为 p 时，该链不一定渐近平稳。 （V） 若马尔可夫链为齐次的，则其任意时刻的概率密度分布函数不随时间变化而变化。 （X） 马尔可夫链的状态转移矩阵的所有元素值非负，且任意行内的所有元素值之和为 1，任意列内的所有元素值之和也为 1。 （X） 齐次马尔可夫链的状态转移矩阵刻画了其全部的统计特性。 （X）
1 / 4 1 / 4 0 1 / 2 0 1 0 0 P 1 / 2 0 1 / 2 0 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4
①、如果该马尔可夫链在 n 时刻处于 S3 状态，求在 n+2 时刻处于 S1 状态的概率； ②、如果该马尔可夫链在 0 时刻处于 S1 状态，求在 1 时刻处于状态 S4 而 2 时刻处于状 态 S3 的概率。 5 、独立重复地掷一颗均匀的骰子， Xn 表示第 n 次掷出的点数，令 Yn=Xn+1+Xn+2 ， n=0,1,2,……。 ①、计算 P{ Y2=12 | Y1=7, Y0=2}； ②、计算 P{ Y2=12 | Y1=7}； 。 ③、若 Yn 是否为马尔可夫链？为什么？ 6、在数字通信系统中，传输的信号只有 0、1 两种，一般分为多个阶段传输。设在每一 个阶段中出错的概率为 a（0<a<1） 。设 X(0)=0 是要传输的最原始的信号，X(n)（n>0）表示 经过 n 个阶段传输后收到的信号，设 X(n)（n>0）是一个马尔可夫链，试求： ①、X(n)的一步转移概率矩阵； ②、在头三个阶段中原始信号传输均不出错的概率； ③、原始信号经过头三个阶段的传输后收到正确信号的概率； ④、该链的平稳分布是否存在？为什么？如存在，求其平稳分布。 7、设 Xn 表示状态空间为 I={0,1,2}的齐次马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为
显然， X (n) 为马尔可夫过程；输入从 开始，输出过程为平稳正态过程。 ①、求 X ；
2
②、运用马尔可夫过程的无后效性求 X ( n) 、 X ( n 1) 、 X ( n 2) 的三维联合概率密度 分布函数 f X ( xn , xn 1 , xn 2 ) ； ③、 求 K X (1) 、K X (2) 并利用三维联合正态分布函数的表达式求三维联合概率密度分布 函数 f X ( xn , xn 1 , xn 2 ) ，验证两种方法的等效性。 3、设 X n 为三个状态｛a，b，c｝的马尔可夫链，其转移矩阵为
3 、设 X (t ) 为马尔可夫过程， t s tr tn ，若已知条件概率密度 f X ( xr , tr | xs , ts ) 、
f X ( xn , tn | xr , tr ) ，则 f X ( xn , tn | xs , ts )
。
1
应用统计与随机过程课程习题集
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P{Y (3) j3 , Y (2) j2 , Y (1) j1} pi3 j3 pi2 j2 pi1 j1 Ri1 qi i qi i
i1 1 i2 1 i3 1
1 2
I
I
I
23
②、设 U m ( n) 表示维数为 m 、第 n 个元素值为 1 且其余元素值为 0 的列矢量，试用
4
1/ 3 2 / 3 0 P 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1
已知 P{ X0=1}= P{ X1=2}=0.5，试求： ①、P{ X1=2，X3=0}和 P{ X2=1} ②、判断此链是否有遍历性？如果有，试求 lim P{ X n
n
2} 。
8、设有 6 个球（其中 2 个红球，4 个白球） ，分别放于甲、乙两个盒子中，每盒放 3 个， 今每次从两个盒中各任取一球并进行交换， 以 X(0)表示开始时甲盒中红球的个数， X(n（ ) n>0） 表示经 n 次交换后甲盒中的红球数，则 X(n)构成一个马尔可夫链。 ①、求 X(n)的一步转移概率矩阵； ②、该链的平稳分布是否存在？为什么？如存在，求其平稳分布。 ③、若 X(0)=0，求经过两次交换后甲盒中有两个红球的概率。 9、设某地的天气变化过程 X (n) 是一个齐次马尔可夫链（即第 n 1 天的天气变化只取
①、假设已知明天出现各种天气的概率为 Ri (i 1, 2,..., I ) ，该学校明天、后天、大后天 三天将要举行的活动形式为 Y (1) 、 Y (2) 、 Y (3) 。试证：
P{Y (3) j3,Y (2) j2 ,Y(1) j1 | X (3) i3, X (2) i2 , X (1) i1} pi3 j3 pi2 j2 pi1 j1
qik (i 1, 2,..., I ; k 1, 2,..., I ) ]；该地某学校每天都会举行一种活动，活动形式共有 J 种可
能性，并且每天举行什么类型的活动仅仅取决于当日的天气，天气/活动的转换矩阵为 P [第
i 行第 j 列为在第 i 种天气情况下从事第 j 种活动的概率 pij ( i 1, 2,..., I ; j 1, 2,..., J )]。
U J (n) 、 U I (l ) 以及 P 、 Q 、 s 表示今天( s 0 )天气为第 l 种、第 s ( s 0) 天该学校举行第
n 种活动的概率。
提示： 反复利用条件概率公式 P{Z ,W | U } P{Z | W , U }P{W | U } 、 利用马尔可夫链的 无后效性以及在当日天气确定的情况下当日活动与其他因素无关等特性。
计算题
1、如果明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关，并设今天下雨而明 天有雨的概率为 0.7，今天无雨而明天有雨的概率为 0.4，已知今天已经下雨，求第四天仍有 雨的概率。
2、设 E ( n) 为零均值、方差为 0.36 的离散时间正态白噪声，
X (n) 0.8 X (n 1) E (n) ( n )
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应用统计与随机过程课程习题集
湖天的天气，而与第 n 1 天的天气情况无关） ，其天气变化共有 I 种情况，其转移概 率 矩 阵 为 Q [ 第 n 天 的 天 气 为 第 i 种 的 情 况 下 第 n 1 天 的 天 气 为 第 k 种 的 概 率 为
，等到 T 1 分钟才发车的概率 P 。
，平均
2、设马尔可夫链的状态集为 {a1 , a2 ,..., aN } ， s 时刻到 r 时刻及 r 时刻到 n 时刻的状态 转移概率为 pik ( s, r ) P{ X ( r ) ak | X ( s ) ai } 、 pkj (r , n) P{ X ( n) a j | X ( r ) ak } ， 则 pij ( s, n) P{ X ( n) a j | X ( s ) ai } 。
填空题
1、假设某公交线路起点站的发车规则为：自上次发车后若乘客数达到 n 则立刻发下一 趟车，否则要等到 T 1 分钟才发车。若该站平均每分钟到达的乘客数为 ，每分钟到达的乘 客数是独立的，则等到 n 个乘客所需的时间 S n (单位：分钟)的概率密度分布函数为
f Sn (t )
发车间隔 T
试求： ① P{X1=b, X2=c, X3=a | X0=c } ② P{Xn+2=c | Xn=b } ③ 该链的平稳分布是否存在？如存在，求其平稳分布。 4、设齐次马尔可夫链 X n 有四个状态 S1，S2，S3，S4，其转移矩阵如下：
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