随机过程第七章期末练习题
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应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
第七章练习题 判断题
齐次马尔可夫链任意两个不同时刻的联合分布律及转移概率只与时刻差有关。 （X） 如果齐次马尔可夫链可以从任意一个状态转移到任意状态，则一定遍历或渐近平 稳。 （X） 对于有限状态的马尔可夫链，至少有一个状态为常返态。 （V） 设 P 为齐次马尔可夫链的一步状态转移矩阵， p 为状态概率矢量，若 P p p 存
3 、设 X (t ) 为马尔可夫过程， t s tr tn ，若已知条件概率密度 f X ( xr , tr | xs , ts ) 、
f X ( xn , tn | xr , tr ) ，则 f X ( xn , tn | xs , ts )
。
1
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T
； 在唯一解且其元素值满足 0 pi 1 ，则当初始状态列阵为 p 时，该链为平稳链； 而当初始列阵不为 p 时，该链不一定渐近平稳。 （V） 若马尔可夫链为齐次的，则其任意时刻的概率密度分布函数不随时间变化而变化。 （X） 马尔可夫链的状态转移矩阵的所有元素值非负，且任意行内的所有元素值之和为 1，任意列内的所有元素值之和也为 1。 （X） 齐次马尔可夫链的状态转移矩阵刻画了其全部的统计特性。 （X）
P{Y (3) j3 , Y (2) j2 , Y (1) j1} pi3 j3 pi2 j2 pi1 j1 Ri1 qi i qi i
i1 1 i2 1 i3 1
1 2
I
I
I
23
②、设 U m ( n) 表示维数为 m 、第 n 个元素值为 1 且其余元素值为 0 的列矢量，试用
试求： ① P{X1=b, X2=c, X3=a | X0=c } ② P{Xn+2=c | Xn=b } ③ 该链的平稳分布是否存在？如存在，求其平稳分布。 4、设齐次马尔可夫链 X n 有四个状态 S1，S2，S3，S4，其转移矩阵如下：
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计算题
1、如果明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关，并设今天下雨而明 天有雨的概率为 0.7，今天无雨而明天有雨的概率为 0.4，已知今天已经下雨，求第四天仍有 雨的概率。
2、设 E ( n) 为零均值、方差为 0.36 的离散时间正态白噪声，
X (n) 0.8 X (n 1) E (n) ( n )
，等到 T 1 分钟才发车的概率 P 。
，平均
2、设马尔可夫链的状态集为 {a1 , a2 ,..., aN } ， s 时刻到 r 时刻及 r 时刻到 n 时刻的状态 转移概率为 pik ( s, r ) P{ X ( r ) ak | X ( s ) ai } 、 pkj (r , n) P{ X ( n) a j | X ( r ) ak } ， 则 pij ( s, n) P{ X ( n) a j | X ( s ) ai } 。
①、假设已知明天出现各种天气的概率为 Ri (i 1, 2,..., I ) ，该学校明天、后天、大后天 三天将要举行的活动形式为 Y (1) 、 Y (2) 、 Y (3) 。试证：
P{Y (3) j3,Y (2) j2 ,Y(1) j1 | X (3) i3, X (2) i2 , X (1) i1} pi3 j3 pi2 j2 pi1 j1
qik (i 1, 2,..., I ; k 1, 2,..., I ) ]；该地某学校每天都会举行一种活动，活动形式共有 J 种可
能性，并且每天举行什么类型的活动仅仅取决于当日的天气，天气/活动的转换矩阵为 P [第
i 行第 j 列为在第 i 种天气情况下从事第 j 种活动的概率 pij ( i 1, 2,..., I ; j 1, 2,..., J )]。
U J (n) 、 U I (l ) 以及 P 、 Q 、 s 表示今天( s 0 )天气为第 l 种、第 s ( s 0) 天该学校举行第
n 种活动的概率。
提示： 反复利用条件概率公式 P{Z ,W | U } P{Z | W , U }P{W | U } 、 利用马尔可夫链的 无后效性以及在当日天气确定的情况下当日活动与其他因素无关等特性。
填空题
1、假设某公交线路起点站的发车规则为：自上次发车后若乘客数达到 n 则立刻发下一 趟车，否则要等到 T 1 分钟才发车。若该站平均每分钟到达的乘客数为 ，每分钟到达的乘 客数是独立的，则等到 n 个乘客所需的时间 S n (单位：分钟)的概率密度分布函数为
f Sn (t )
发车间隔 T
显然， X (n) 为马尔可夫过程；输入从 开始，输出过程为平稳正态过程。 ①、求 X ；
2
②、运用马尔可夫过程的无后效性求 X ( n) 、 X ( n 1) 、 X ( n 2) 的三维联合概率密度 分布函数 f X ( xn , xn 1 , xn 2 ) ； ③、 求 K X (1) 、K X (2) 并利用三维联合正态分布函数的表达式求三维联合概率密度分布 函数 f X ( xn , xn 1 , xn 2 ) ，验证两种方法的等效性。 3、设 X n 为三个状态｛a，b，c｝的马尔可夫链，其转移矩阵为
1/ 3 2 / 3 0 P 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1
已知 P{ X0=1}= P{ X1=2}=0.5，试求： ①、P{ X1=2，X3=0}和 P{ X2=1} ②、判断此链是否有遍历性？如果有，试求 lim P{ X n
n
2} 。
8、设有 6 个球（其中 2 个红球，4 个白球） ，分别放于甲、乙两个盒子中，每盒放 3 个， 今每次从两个盒中各任取一球并进行交换， 以 X(0)表示开始时甲盒中红球的个数， X(n（ ) n>0） 表示经 n 次交换后甲盒中的红球数，则 X(n)构成一个马尔可夫链。 ①、求 X(n)的一步转移概率矩阵； ②、该链的平稳分布是否存在？为什么？如存在，求其平稳分布。 ③、若 X(0)=0，求经过两次交换后甲盒中有两个红球的概率。 9、设某地的天气变化过程 X (n) 是一个齐次马尔可夫链（即第 n 1 天的天气变化只取
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决于第 n 天的天气，而与第 n 1 天的天气情况无关） ，其天气变化共有 I 种情况，其Fra Baidu bibliotek移概 率 矩 阵 为 Q [ 第 n 天 的 天 气 为 第 i 种 的 情 况 下 第 n 1 天 的 天 气 为 第 k 种 的 概 率 为
1 / 4 1 / 4 0 1 / 2 0 1 0 0 P 1 / 2 0 1 / 2 0 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4
①、如果该马尔可夫链在 n 时刻处于 S3 状态，求在 n+2 时刻处于 S1 状态的概率； ②、如果该马尔可夫链在 0 时刻处于 S1 状态，求在 1 时刻处于状态 S4 而 2 时刻处于状 态 S3 的概率。 5 、独立重复地掷一颗均匀的骰子， Xn 表示第 n 次掷出的点数，令 Yn=Xn+1+Xn+2 ， n=0,1,2,……。 ①、计算 P{ Y2=12 | Y1=7, Y0=2}； ②、计算 P{ Y2=12 | Y1=7}； 。 ③、若 Yn 是否为马尔可夫链？为什么？ 6、在数字通信系统中，传输的信号只有 0、1 两种，一般分为多个阶段传输。设在每一 个阶段中出错的概率为 a（0<a<1） 。设 X(0)=0 是要传输的最原始的信号，X(n)（n>0）表示 经过 n 个阶段传输后收到的信号，设 X(n)（n>0）是一个马尔可夫链，试求： ①、X(n)的一步转移概率矩阵； ②、在头三个阶段中原始信号传输均不出错的概率； ③、原始信号经过头三个阶段的传输后收到正确信号的概率； ④、该链的平稳分布是否存在？为什么？如存在，求其平稳分布。 7、设 Xn 表示状态空间为 I={0,1,2}的齐次马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为
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第七章练习题 判断题
齐次马尔可夫链任意两个不同时刻的联合分布律及转移概率只与时刻差有关。 （X） 如果齐次马尔可夫链可以从任意一个状态转移到任意状态，则一定遍历或渐近平 稳。 （X） 对于有限状态的马尔可夫链，至少有一个状态为常返态。 （V） 设 P 为齐次马尔可夫链的一步状态转移矩阵， p 为状态概率矢量，若 P p p 存
3 、设 X (t ) 为马尔可夫过程， t s tr tn ，若已知条件概率密度 f X ( xr , tr | xs , ts ) 、
f X ( xn , tn | xr , tr ) ，则 f X ( xn , tn | xs , ts )
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T
； 在唯一解且其元素值满足 0 pi 1 ，则当初始状态列阵为 p 时，该链为平稳链； 而当初始列阵不为 p 时，该链不一定渐近平稳。 （V） 若马尔可夫链为齐次的，则其任意时刻的概率密度分布函数不随时间变化而变化。 （X） 马尔可夫链的状态转移矩阵的所有元素值非负，且任意行内的所有元素值之和为 1，任意列内的所有元素值之和也为 1。 （X） 齐次马尔可夫链的状态转移矩阵刻画了其全部的统计特性。 （X）
P{Y (3) j3 , Y (2) j2 , Y (1) j1} pi3 j3 pi2 j2 pi1 j1 Ri1 qi i qi i
i1 1 i2 1 i3 1
1 2
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②、设 U m ( n) 表示维数为 m 、第 n 个元素值为 1 且其余元素值为 0 的列矢量，试用
试求： ① P{X1=b, X2=c, X3=a | X0=c } ② P{Xn+2=c | Xn=b } ③ 该链的平稳分布是否存在？如存在，求其平稳分布。 4、设齐次马尔可夫链 X n 有四个状态 S1，S2，S3，S4，其转移矩阵如下：
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计算题
1、如果明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关，并设今天下雨而明 天有雨的概率为 0.7，今天无雨而明天有雨的概率为 0.4，已知今天已经下雨，求第四天仍有 雨的概率。
2、设 E ( n) 为零均值、方差为 0.36 的离散时间正态白噪声，
X (n) 0.8 X (n 1) E (n) ( n )
，等到 T 1 分钟才发车的概率 P 。
，平均
2、设马尔可夫链的状态集为 {a1 , a2 ,..., aN } ， s 时刻到 r 时刻及 r 时刻到 n 时刻的状态 转移概率为 pik ( s, r ) P{ X ( r ) ak | X ( s ) ai } 、 pkj (r , n) P{ X ( n) a j | X ( r ) ak } ， 则 pij ( s, n) P{ X ( n) a j | X ( s ) ai } 。
①、假设已知明天出现各种天气的概率为 Ri (i 1, 2,..., I ) ，该学校明天、后天、大后天 三天将要举行的活动形式为 Y (1) 、 Y (2) 、 Y (3) 。试证：
P{Y (3) j3,Y (2) j2 ,Y(1) j1 | X (3) i3, X (2) i2 , X (1) i1} pi3 j3 pi2 j2 pi1 j1
qik (i 1, 2,..., I ; k 1, 2,..., I ) ]；该地某学校每天都会举行一种活动，活动形式共有 J 种可
能性，并且每天举行什么类型的活动仅仅取决于当日的天气，天气/活动的转换矩阵为 P [第
i 行第 j 列为在第 i 种天气情况下从事第 j 种活动的概率 pij ( i 1, 2,..., I ; j 1, 2,..., J )]。
U J (n) 、 U I (l ) 以及 P 、 Q 、 s 表示今天( s 0 )天气为第 l 种、第 s ( s 0) 天该学校举行第
n 种活动的概率。
提示： 反复利用条件概率公式 P{Z ,W | U } P{Z | W , U }P{W | U } 、 利用马尔可夫链的 无后效性以及在当日天气确定的情况下当日活动与其他因素无关等特性。
填空题
1、假设某公交线路起点站的发车规则为：自上次发车后若乘客数达到 n 则立刻发下一 趟车，否则要等到 T 1 分钟才发车。若该站平均每分钟到达的乘客数为 ，每分钟到达的乘 客数是独立的，则等到 n 个乘客所需的时间 S n (单位：分钟)的概率密度分布函数为
f Sn (t )
发车间隔 T
显然， X (n) 为马尔可夫过程；输入从 开始，输出过程为平稳正态过程。 ①、求 X ；
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②、运用马尔可夫过程的无后效性求 X ( n) 、 X ( n 1) 、 X ( n 2) 的三维联合概率密度 分布函数 f X ( xn , xn 1 , xn 2 ) ； ③、 求 K X (1) 、K X (2) 并利用三维联合正态分布函数的表达式求三维联合概率密度分布 函数 f X ( xn , xn 1 , xn 2 ) ，验证两种方法的等效性。 3、设 X n 为三个状态｛a，b，c｝的马尔可夫链，其转移矩阵为
1/ 3 2 / 3 0 P 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1
已知 P{ X0=1}= P{ X1=2}=0.5，试求： ①、P{ X1=2，X3=0}和 P{ X2=1} ②、判断此链是否有遍历性？如果有，试求 lim P{ X n
n
2} 。
8、设有 6 个球（其中 2 个红球，4 个白球） ，分别放于甲、乙两个盒子中，每盒放 3 个， 今每次从两个盒中各任取一球并进行交换， 以 X(0)表示开始时甲盒中红球的个数， X(n（ ) n>0） 表示经 n 次交换后甲盒中的红球数，则 X(n)构成一个马尔可夫链。 ①、求 X(n)的一步转移概率矩阵； ②、该链的平稳分布是否存在？为什么？如存在，求其平稳分布。 ③、若 X(0)=0，求经过两次交换后甲盒中有两个红球的概率。 9、设某地的天气变化过程 X (n) 是一个齐次马尔可夫链（即第 n 1 天的天气变化只取
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应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
决于第 n 天的天气，而与第 n 1 天的天气情况无关） ，其天气变化共有 I 种情况，其Fra Baidu bibliotek移概 率 矩 阵 为 Q [ 第 n 天 的 天 气 为 第 i 种 的 情 况 下 第 n 1 天 的 天 气 为 第 k 种 的 概 率 为
1 / 4 1 / 4 0 1 / 2 0 1 0 0 P 1 / 2 0 1 / 2 0 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4
①、如果该马尔可夫链在 n 时刻处于 S3 状态，求在 n+2 时刻处于 S1 状态的概率； ②、如果该马尔可夫链在 0 时刻处于 S1 状态，求在 1 时刻处于状态 S4 而 2 时刻处于状 态 S3 的概率。 5 、独立重复地掷一颗均匀的骰子， Xn 表示第 n 次掷出的点数，令 Yn=Xn+1+Xn+2 ， n=0,1,2,……。 ①、计算 P{ Y2=12 | Y1=7, Y0=2}； ②、计算 P{ Y2=12 | Y1=7}； 。 ③、若 Yn 是否为马尔可夫链？为什么？ 6、在数字通信系统中，传输的信号只有 0、1 两种，一般分为多个阶段传输。设在每一 个阶段中出错的概率为 a（0<a<1） 。设 X(0)=0 是要传输的最原始的信号，X(n)（n>0）表示 经过 n 个阶段传输后收到的信号，设 X(n)（n>0）是一个马尔可夫链，试求： ①、X(n)的一步转移概率矩阵； ②、在头三个阶段中原始信号传输均不出错的概率； ③、原始信号经过头三个阶段的传输后收到正确信号的概率； ④、该链的平稳分布是否存在？为什么？如存在，求其平稳分布。 7、设 Xn 表示状态空间为 I={0,1,2}的齐次马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为
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