第四章-谓词逻辑归结基本方法
《逻辑学》教案
《逻辑学》全套教案第一章：逻辑学概述1.1 教学目标了解逻辑学的定义、起源和发展历程。
理解逻辑学在学术和日常生活中的重要性。
掌握基本逻辑术语和概念。
1.2 教学内容逻辑学的定义和起源逻辑学的发展历程逻辑学在日常生活中的应用基本逻辑术语和概念介绍1.3 教学方法讲授法：讲解逻辑学的定义、起源和发展历程。
案例分析法：分析日常生活中常见的逻辑学应用。
小组讨论法：讨论基本逻辑术语和概念。
1.4 教学评估课堂参与度评估：学生参与小组讨论和提问。
作业评估：布置相关逻辑学练习题，检验学生掌握程度。
第二章：命题逻辑2.1 教学目标理解命题逻辑的基本概念和规则。
学会构造和分析命题逻辑表达式。
掌握命题逻辑推理的基本方法。
2.2 教学内容命题逻辑的基本概念和规则命题逻辑表达式的构造和分析命题逻辑推理的基本方法2.3 教学方法讲授法：讲解命题逻辑的基本概念和规则。
练习法：通过练习题让学生掌握命题逻辑表达式的构造和分析。
小组讨论法：讨论命题逻辑推理的基本方法。
2.4 教学评估课堂参与度评估：学生参与小组讨论和提问。
作业评估：布置相关命题逻辑练习题，检验学生掌握程度。
第三章：谓词逻辑3.1 教学目标理解谓词逻辑的基本概念和规则。
学会构造和分析谓词逻辑表达式。
掌握谓词逻辑推理的基本方法。
3.2 教学内容谓词逻辑的基本概念和规则谓词逻辑表达式的构造和分析谓词逻辑推理的基本方法3.3 教学方法讲授法：讲解谓词逻辑的基本概念和规则。
练习法：通过练习题让学生掌握谓词逻辑表达式的构造和分析。
小组讨论法：讨论谓词逻辑推理的基本方法。
3.4 教学评估课堂参与度评估：学生参与小组讨论和提问。
作业评估：布置相关谓词逻辑练习题，检验学生掌握程度。
第四章：演绎推理4.1 教学目标理解演绎推理的基本概念和规则。
学会运用演绎推理解决实际问题。
掌握演绎推理的常见错误和辨析方法。
4.2 教学内容演绎推理的基本概念和规则演绎推理在实际问题中的应用演绎推理的常见错误和辨析方法4.3 教学方法讲授法：讲解演绎推理的基本概念和规则。
人工智能导论课件：第四章 谓词逻辑与归结原理
谓词逻辑
是一种形式语言，具有严密的理论体系 是一种常用的知识表示方法, 例：
City（北京） City（上海） Age（张三，23） (X)(Y)(Z)(father(X, Y)father(Y,
Z)gf(X, Z)
6
归结原理
归结原理是一种定理证明方法，1965年由 J.A.Robinson提出，从理论上解决了定理证明 问题。当时被认为是人工智能领域的重大突破。
例如:令E为p(x,y,f(a))
={b/x,f(x)/y},则 E= ?
E=p(b,f(x),f(a)) 此例显示了同时置换的含义. 可以看到E是
在E上的作用,也就是将E中的(i=1, ,n)同时换成相 应的ti所得到的公式.
34
ห้องสมุดไป่ตู้
置换乘法
定义 令 ={s1/y1,,sm/ym}, ={t1/x1,,tn/xn},则与的复合是
32
置换
定义: 置换是形如{t1/x1,,tn/xn}的有限集,其中xi是 互不相同的变量,ti是不等于xi的项,且xi与ti互不循环 出现. 如果ti都是不含变量的项(基项),称该置换为基置换. 若={ },则称为空置换(表示不做置换),记为.
例如:1) {a/x,g(y)/y,f(g(b))/z}是一个置换? (是, 但不是基置换).
F1F2…Fn~W为永假，可以通过证明F所 对应的子句集S=S0∪{~W}是不可满足的。
22
命题： P|=F P{F}是不可满足的。 证明: ① 若P {~F}是不可满足的，则 P|= F ② 若P|=F 则 P {~F}是不可 满足的。（反证法）
23
归结原理
基本思想 将待证明的逻辑公式的结论（F），通过 等值公式转换成附加前提，再证明该逻 辑公式是不可满足的。
谓词逻辑的基本原理和推理方法
谓词逻辑的基本原理和推理方法谓词逻辑是数理逻辑的一种形式，它主要研究陈述句的真值和推理关系。
本文将探讨谓词逻辑的基本原理和推理方法，以帮助读者进一步理解和运用这一重要的逻辑体系。
一、谓词逻辑的基本原理谓词逻辑是由Richard Montague在20世纪50年代提出的，它是一种基于谓词和量词的逻辑形式。
谓词是描述个体和关系的词汇，而量词则表示个体的范围。
基于这些基本元素，谓词逻辑涉及命题的真值判断和逻辑推理。
1. 命题的真值判断在谓词逻辑中，命题的真值可以通过公式化的方式进行判断。
具体而言，谓词逻辑使用谓词和个体常量构建公式，通过赋值给个体常量和谓词变量来确定命题的真假。
这种方法可以使我们更加准确地判断复杂命题的真值。
2. 逻辑运算符谓词逻辑中常用的逻辑运算符包括否定、合取、析取、蕴涵和双条件。
通过这些逻辑运算符，我们可以对命题进行复合运算，并获得更加精确的逻辑推理。
3. 量词的运用量词在谓词逻辑中起着重要作用，它用来限定命题的个体范围。
通常使用的量词有普遍量词和存在量词，分别表示“对于所有的”和“存在一个”。
量词的运用使得我们能够对具有普遍性或存在性的命题进行精确的描述和推理。
二、谓词逻辑的推理方法谓词逻辑在推理中有着广泛的应用。
下面介绍几种常用的推理方法。
1. 求解真值通过给定谓词和量词的赋值，可以求解命题的真值。
这种方法可以通过证明或反证法来进行，根据不同的情况选择合适的推理策略。
2. 归结推理归结推理是一种通过消解规则进行推理的方法。
它通过将多个命题进行归结，从而得到新的命题。
这种方法在人工智能领域得到广泛应用。
3. 等词推理等词推理是一种通过等词的等同性进行推理的方法。
它通过推导两个等词相等的命题，从而间接地得出新的命题。
等词推理在代数逻辑和数学中有着重要的应用。
4. 形式化推理形式化推理是一种将命题转化为形式逻辑公式来进行推理的方法。
通过将推理过程形式化，可以减少人为因素的干扰，提高推理的准确性和可靠性。
第四章谓词逻辑的基本概念
4.2 函数和量词 4.2.1 函数
在谓词逻辑中出现变量，自然也会考虑引入函数
函数是某个体域(不必是实数)到另一个体域的映射 不同于谓词：将个体映射为真假值 函数并不单独使用，是嵌入在谓词中 函数father(x)表示x的父亲，若P(x)表示x是教师，则P(father(x)) 就表示x的父亲是教师 当x的取值确定后，P(father(x))的值或为真或为假 又如“张三的父亲和李四的哥哥是同事”可描述成 COLLEAGUE(father(张三), brother(李四)) 其中谓词COLLEAGUE(x，y)表示x和y是同事，而father(x), brother(x)是函数
举例
约定函数符号用小写字母表示，如f，g，father，…
4.2.2 量词
用来表示个体数量的词是量词 可看作是对个体词所加的限制、约束的词
主要不是对数量一个、二个、三十……的具体 描述，而是讨论两个最通用的数量限制词：一 个是“所有的”一个是“至少有一个”，分别 称为全称量词和存在量词。在某种意义上说， 这是一对相对立的词
全称量词
举例 “凡事物都是运动的”
符号: (x)读作所有的x或任一x，一切x．而就是全称 量词，它所约束的个体是x 定义: 命题(x)P(x)当且仅当对论域中的所有x来说，P(x) 均为真时方为真．这就是全称量词的定义 性质: (x)P(x)＝F成立, 当且仅当有一个x0D, 使P(x0) ＝F 注意(x)(P(x)Q(x)) (x)P(x)Q(x). 量词的运算优先 级高于逻辑联结词
命题逻辑的局限性
举例：凡有理数都是实数，2/7是有理数，所以2/7是实数
04-L.01 谓词逻辑的基本概念
−离散数学基础2017-11-19•定义：个体和谓词−在原子命题中，描述的对象称为个体，用于描述个体的性质或个体之间的关系部分称为谓词。
−例：张三是个大学生。
»个体：张三；谓词：是个大学生−例：张三和李四是表兄弟。
»个体：张三、李四；谓词：是表兄弟（关系）−习惯上，用小写字母 a, b, c, … 表示个体，大写字母 P, Q, R, … 表示谓词。
−例：a：张三；b：李四；P(x)：x 是个大学生；Q(x, y)：x 和 y 是表兄弟。
则：P(a)：张三是个大学生；P(b)：李四是个大学生；Q(a, b)：张三和李四是表兄弟。
•定义：原子命题的谓词形式−一个原子命题用一个谓词常项（如 P）和 n 个有次序的个体常量（如 a1, a2, …,a n）表示成 P(a1, a2, …, a n)，称为该原子命题的谓词形式。
−例：Q(a, b)：张三和李四是表兄弟。
−当讨论的个体处于一个论述范围时，个体常量被个体变量取代。
如 Q(x, y)。
•定义：n 元原子谓词−由一个谓词（如 P）和 n 个个体变量（如 x1, x2, …, x n）组成的 P(x1, x2, …, x n)，称为 n 元原子谓词，或简称 n 元谓词，或 n 元命题函数。
−一个 n 元谓词 P(x1, …, x n) 只有 P 取谓词常项，且其中所有个体变量均取得个体常项时，该谓词才成为命题。
»特别地将命题看成是0元谓词。
•定义：个体论域−个体变量 x i 的论述范围（取值范围）称为 x i 的论域或变程。
−全总论域：将一个 n 元谓词的各个个体论域综合在一起，称为该谓词的全总论域。
无特别声明时，谓词均在其全总论域下讨论。
−一元谓词 P(x) 更广泛的定义：从全总论域到 {1, 0} 的映射 P: D → {1, 0} •定义：个体函数−一个个体函数是个体域到个体域的映射。
−例：个体函数»father(x)： x 的父亲。
第四章谓词逻辑一(词项逻辑)
在真包含于关系和真包含关系中，都有一个外 延较大的词项和一个外延较小的词项。
外延较大的词项所表达的概念叫做属概念，
外延较小的词项所表达的概念叫做种概念。
真包含于关系和真包含关系就相应的可称为种 属关系和属种关系。
属概念和种概念的区别是相对的，例如，“大 学生”相对于“学生”来说，“大学生”是种概 念；而“大学生”相对于“女大学生”来说，则 是属概念。
否定词项总是相对于某个特定的范围而言的， 这个特定的范围，逻辑上称之为论域。
论域实际上是指一个否定词项与其相对应的肯 定词项所指称的对象组成的类。
例如，“非法行为”的论域就是非法行为与合法 行为组成的类——行为；“未成年人”的论域就 是未成年人与成年人组成的类——人。由此也可 以说，一个否定词项的论域恰好是这一否定词项 同与其相对应的肯定词项的外延之和。
S与P之间的真包含于关系可用图2表示。
3、真包含关系 如果S的部分外延同P的全部外延重合，即所有
的P都是S并且有S不是P，那么S与P之间的关系 就是真包含关系。例如，当S和P分别表示“违法 行为”与“犯罪行为”或“公民”与“年满十八 周岁的公民”时，S与P之间就是真包含关系。即 S⊃P。
S P
图3
例如：凡国家干部都要奉公守法，
凡检察干部都是国家干部；
所以，凡检察干部都要奉公守法。
这是一个有效的三段论推理。如果从命题逻辑 的角度分析，它的推理形式可表示为：
p∧q→r
用真值表判定可以知道，这个推理不是重言式， 也就是说，在命题逻辑中，它是无效的推理形式。 原因在于：这种推理的有效性不是依赖于命题之 间的关系，而是依赖于命题内部结构中各部分之 间的关系。
[案例]不同概念同一外延
有一们咬文嚼字的老秀才，对“跳”和“跃” 两字的注解记得特别深，说“跳”就是两脚平地 而起；“跃”是一脚在前，一脚在后蹬。有一次 老秀才外出看望朋友，一水沟挡住去路，一老农 告诉他：“你向前跳一步，不就过去了吗？”秀 才觉得言之有理，双脚并拢，闭起眼睛，奋力向 上一跳，“朴通”一声掉到水里。老农摇头说： “真笨，你一脚在前，一脚在后用力一蹬，不就 过去了吗。”秀才恼火地吼道：“那是跃，不是 跳。”
谓词逻辑与归结原理
辅助规则：samesort(x, y) samesort(y, x)
求证目标： samesort(红楼梦, 儒林外史) like(俞平伯, 三国)
第二步，将规则1化成SKOLEM标准形： like(x, 三国) read(x, 水浒) 第三步，将规则3变成 [(x) like(x, y)] samesort(y, 三国) 即
量词分配等值式：
消去量词等值式：设个体域为有穷集合（a1, a2, …an）
∧ P（ an ） ∨ P（ an ）
3.2 谓词逻辑基础
量词辖域收缩与扩张等值式：
( x ）( P（x） ∨ Q) <=> ( x ） P（x） ∨ Q ( x ）( P（x） ∧ Q) <=> ( x ） P（x） ∧ Q ( x ）( P（x） → Q) <=> ( x ） P（x） → Q ( x ）(Q → P（x） ) <=>Q → ( x ） P（x） ( x ）( P（x） ∨ Q) <=> ( x ） P（x） ∨ Q
Qixi
i = 1, 2, ..., n
其中，每个Qi或是，或是，从Q1始，到Qn止。 消去存在量词的算法如下： (1) 若Qi是，则移向下一个i，原Qixi不变动。 (2) 若Qi是，则消去Qixi ，并且 a) 若Qi前没有全称量词，则把后面公式中 的所有同名xi换成一个从未出现过的常数名；
( x ）( P（x） ∧ Q) <=> ( x ） P（x） ∧ Q ( x ）( P（x） → Q) <=> ( x ） P（x） → Q ( x ）(Q → P（x） ) <=>Q → ( x ） P（x）
谓词逻辑(4)
逻辑树方法
（1）全称量词消去规则 （ -） xAx | A(x/t) [A(x/t)表示消去全称量词x，并用个体词t代入A中的个体变 元x的每一次出现而得到的公式。]
命题自然推理的规则
规则 D 在推理过程中如果在原有前提下，假 定A，因而推出B，则在原有前提下就可以推出 A B。 归谬规则：如果从一前提集和A的否定可以推出 矛盾，则可以从该前提集推出A。
[例1]
如果工资提高(p)，或者物价提高(q) ，则将有通货膨胀 (r) 。如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s) ， 或者人民将遭受损失(t) 。如果人民遭受损失，改革就 会失去人心(u) 。国家将不采取紧缩政策，并且改革不 会失去人心。因此，物价不会提高。 pq r r s t t u s u …… q
是敌人。
Dx表示x是敌人，Yx表示x是友好的，论域为全域。 x(Dx → Yx)
…… x(Yx → Dx)
(1) x(Dx → Yx) (2) Dy → Yy (3) Dy Yy (4) Yy Dy (5) Yy → Dy (6) x(Yx → Dx) 推理有效。
构造真值树的规则，也称为生成新枝规则，包括
（1）合取分解规则：A B A B
（2）析取分解规则：A B
A B
（3）双否分解规则： A A
（4）蕴含分解 规则: A B A B （5）等值分解 规则: A B A B A B
第四章、谓词逻辑
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
更一般地，有n元谓词符号，表示n个个体之间的关系，用H(t1, …, tn)表达t1, …, tn 所代表的n个个体具有H所代表的关系。例如下面的三元关系：
（9）武汉位于重庆与上海之间。
（10）孙悟空、猪八戒和沙和尚是师兄弟。
这两个命题很容易写成用三元谓词符号表达的三元关系。对命题（9），用a表 示“武汉”，b表示“重庆”，c表示“上海”，用H(x1, x2, x3)表示“x1位于x2和x3之 间”，那么H(a, b, c)表示“武汉位于重庆与上海之间”。命题（10）的符号形式类似 表示。
除了“所有”和“有的”这两个量词之外，自然语言中还有许多量词。例如，至 少有两个、至多有两个、恰好有两个；大多数、少许、许多；有穷多个、无穷多个， 等等。在谓词逻辑中，我们仅仅关心“所有”和“有的”这两个量词以及能够在谓词 逻辑中定义的其它量词，如至少有两个、至多有两个、恰好有两个，等等。
第二节 谓词逻辑的形式语言
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
人工智能谓词逻辑及归结原理
反演求解的正确性 设公式L在逻辑上遵循公式集S，那么按照定义 满足S的每个解释也满足L。决不会有满足S的 解释能够满足～L的，所以不存在能够满足并 集S∪｛～L｝的解释。如果一个公式集不能被 任一解释所满足，那么这个公式是不可满足的 。因此，如果L在逻辑上遵循S，那么S∪｛～ L｝是不可满足的。可以证明，如果消解反演 反复应用到不可满足的子句集，那么最终将要 产生空子句NIL。因此，如果L在逻辑上遵循S
消解反演求解过程
消解反演
反演求解的步骤
给出一个公式集S和目标公式L，通过反证或反 演来求证目标公式L，其证明步骤如下： (1)否定L，得～L； (2)把～L添加到S中去； (3)把新产生的集合｛～L，S｝化成子句集； (4)应用消解原理，力图推导出一个表示矛盾 的空子句NIL。
消解反演求解过程
反演求解的举例
"菲多在哪里"例题的反演树
从消解求取答案例题的反演树 修改证明树
修改证明树
"菲多在哪里"例题的修改证明树
反演求解的举例
已知：①会朗读的人是识字的； ②海豚都不识字； ③有些海豚是很机灵的。
证明：有些很机灵的东西不会朗读。
把问题用谓词逻辑描述如下： 已知： ①（ x）（R（x）→L（x））
化成子句集
①~ pass(x,computer)∨~ win(x,prize)∨happy(x) ②~ study(y)∨pass(y,z) ③~ lucky(u)∨pass(u,v) ④~ study(zhang) ⑤lucky(zhang) ⑥~ lucky(w) ∨ win(w,prize) ⑦~happy(zhang)
谓词逻辑与归结原理
消解原理基本知识
• 合取范式：仅由有限个简单析取式构成的合取式，
第四章、谓词逻辑-李娜 (1)
我们也可以从函数符号复合得到新的函数符号，因此，从给定的个体词通过函 数复合可以得到新的个体词。例如，令f(x)表示“x的父亲”。那么我们有如下复合 函数：
每个项都是从个体变元和个体常元用函数符号构造起来的。最后，我们来看每个 项如何代表个体。为了谈论一些个体，首先要确定一个个体范围。这在数学中是常 见的，比如谈论实数、自然数、有理数或者整数，等等。在谈论项代表的个体时， 首先要明确所谈论的个体是取自哪个范围的。我们把这样的个体范围叫作论域，一 般地用D、W等表示论域。我们要假定论域是非空的，即每个论域至少有一个元素。
猫科动物都是哺乳动物。（p）
老虎都是猫科动物。 （q）
所以，老虎都是哺乳动物。（r）
这个推理是正确的。但是从命题逻辑的观点看，这个推理的前提和结论 分别是三个简单命题p、q和r。在命题逻辑中，从p和q不能推出r。
虽然传统三段论是有效的，但是传统三段论的推理形式是有限的，无法 处理一些更复杂的推理，比如：
这里f(x)是一个函数，它是以一些个体作为个体变元x的取值，从而得到另一个个 体作为它的函数值。像这样只有一个个体变元的函数称为一元函数。相应地还有一 些二元函数，例如：
（s1）x与y的和 （s2）中国与美国之间的最大海洋 （s3）直线x与直线y的交点 这三个表达式也都是个体词，因为它们代表唯一的个体。但是它们不是由一元 函数形成的，而是由二元函数形成的个体词。例如（s2），我们用g(x,y)表示x和y之 间的最大海洋；用a表示“中国”，用b表示“美国”，那么（s2）就写成g(a,b)。 一般地说，一个n元函数符号是带有n个个体变元的函数符号，记为f(x1, …, xn)。 这样我们得到构成第三种个体词的符号：
第四章 归结法原理
• • • •
x(R(x) Q(x))， x(R(x) Q(x))， R(b) Q(b) {R(b), Q(b)}
计算机学院
计算机学院
21 21
(4) 构造子句集S= SA∪SB∪SC (5) 构造以下反驳： • C1 = P(c) • C2 = R(x) S(c, x) • C3 = P(y) Q(z) S(y, z) • C4 = R(b), • C5 = Q(b) • C6= Q(z) S(c, z) C1, C3 ├res C6 计算机学院 • C7= S(c, b) C2, C4 ├res C7 • C8= Q(b) C6, C7 ├res C8 • C9= □ C5, C8 ├res □ 证毕。
归结子句不唯一
计算机学院 1Leabharlann 10反驳 定义：设S是子句集合，如果子句序列C1, …, Cn满足
如下条件，则称子句序列C1,…,Cn为子句集合S的一
个反驳。 (1) 对于每个1≤k<n， • CkS，或者 • Ck是Ci和Cj的归结子句，i<k，j<k。
(2) Cn是□。
计算机学院
计算机学院
计算机学院
计算机学院
5 5
定义
子句集：子句的有限集合称为子句集.
• 子句集{{P1,1, …, P1,m}, … , {Pn,1, …, Pn,m}}，
表示公式(P1,1 … P1,m) … (Pn,1 … Pn,m)的 闭包 • 子句集合{{P(x), Q(y)}, {P(c),计算机学院 Q(z)}}表示Skolem 范式xyz((P(x)Q(y)) (P(c) Q(z)))
• yz(P(y) R(z) L(y,z)) • {P(y) R(z) L(y,z)}
04-2第四章 推理技术-谓词逻辑
第4章 推理技术
解 释(语义)
语言的解释是在某个论域(domain)中定义非逻辑 符号。语句的语义是在解释下定义出语言L的真假值。 I是L的一个解释，且在I中为真，则记为 I ⊨ ，称作I满足 ，或者I 是的一个模型。 类似地，给定一个语句和一个语句 ，如果对 每个解释I ，有I ⊨ 蕴含I ⊨ ，换言之，如果I 是 的一个模型则I也是的一个模型，则记为 ⊨ ，我 们称为的一个逻辑结果。
推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻
辑。 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展，成为数学和计算 机科学基础。
8
第4章 推理技术
逻辑系统
一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。
逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号；
逻辑学与计算机科学
• 逻辑学：研究思维规律的科学 • 计算机科学：模拟人脑行为和功能（思维）的科学 • 思维：大脑、逻辑、语言、计算机 • 逻辑是知识表示和推理的重要形式和工具
第4章 推理技术
逻辑的历史
• Aristotle——逻辑学 • Leibnitz——数理逻辑： 逻辑+数学 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统 逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早 由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于
1、在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色； 2、每个房里住着不同国籍的人； 3、每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的 宠物。
问题是：谁养鱼？
第4章 推理技术
爱因斯坦的世界难题（2）
条件是：
1、英国人住红色房子； 2、瑞典人养狗； 3、丹麦人喝茶； 4、绿色房子在白色房子左面； 5、绿色房子主人喝咖啡； 6、抽PallMall香烟的人养鸟； 7、黄色房子主人抽Dunhill香烟；
交大数理逻辑4-2-谓词逻辑的基本概念PPT课件
→Q(|f (x)-b|, e))
对谓词变元多次量化的分析
设P(x, y)是二元谓词，则两变元的量化形式为： (x)(y)P(x, y)= (x)((y)P(x, y))
对一切的x和一切的y, 都有关系P，量词次序可互换
如(x)(y)P(x, y)在{1, 2}上的解释
对(x)(y)P(x, y)一个解释I如下：
D={1, 2}; 谓词: P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=F; P(2,2)= T;
(x)(y)P(x, y) (y)P(1, y) (y)P(2, y)
(P(1, 1) P (1, 2)) (P(2, 1) P (2, 2)) =(T F) (F T) =T
自然语句的形式化
在《数学分析》中极限定义为： 任给小正数e ，则存在一个正数d ，使得当
0<|x-a|< d 时有 |f (x)-b|<e。此时即称
limf (x) b
xa
解1: (e)(e>0(d)(x)(d>0 (0<|x-a|<d|f (x)-b|<e))) 解2：设 P(x, y)：x>y, Q(x, y)：x<y
公式的解释举例
对(x)(P(x)→Q(f (x), a))一个解释I如下：
D={1, 2}; D中特定元素a=1; 函数f (x): f (1)=2, f (2)=1 谓词: P(x): P(1)=F, P(2)=T
Q(x, y): Q(1, 1)=Q(1, 2)=Q(2, 2)= T ，Q(2, 1)= F
谓词逻辑与归结原理优秀课件
例：P∧Q
非重言式的可满足式
既是可满足式，又不是重言式
17
3.1 命题逻辑
等值逻辑运算
<=> 逻辑等值，等号连接的命题公式等价，≡ 基本等值算式 P80
交换律: A ∧ B <=> B ∧ A； A ∨B <=> B ∨ A ； 结合律: (A ∧ B) ∧ C<=> A ∧(B ∧ C) ；
2、3、教1、如室3果里不天有是下3偶0雨名数，男出生门和带10伞名~p女→生q
令令：令pp表表：示示p表““示天教“下室雨3里是”有偶，3数q0名表”男示，生“~p”出门，带
伞”q表示“教室里有10名女生”
p→pq∧q
5、只有不下雨，我才骑自行车上班 令p表示“天下雨”，q表示“骑自行车上班”
q →~p
(对角线不可以) 智能体有且仅有一支箭，用这支箭可以射杀怪物 某个房间中有金子，游戏的目标是智能体找到金子
4
怪物洞穴
智能体行动的关键是要 根据获得的信息推理， 从而判断哪个房间有怪 物？哪个房间有陷阱？ 哪个房间是安全的？
房间[4,2]和[2,3]有陷阱， 房间[3,4]有怪物，房间 [4,3]有金子
谓词逻辑与归结原 理
概述
本章的内容与目标
智能体如何认识事物并且进行推理 用形式化的语言描述推理过程 机器证明的一般方法—归结原理
2
概述
语言
自然语言：人们在日常生活中所使用的语言文字
半形式化语言：自然语言加特定的符号，如数学语 言(定义、定理等)
形式化语言：用精确的数学或机器可处理的公式定 义的语言 。(逻辑学语言，弗雷格Frege ，1879)
基于谓词逻辑的归结原理研究
基于谓词逻辑的归结原理研究引言：谓词逻辑是一种常用的逻辑推理方法，用于描述和推理关于对象和关系的命题。
在谓词逻辑中，通过定义谓词和量词来表达命题，通过逻辑运算符来进行推理。
归结是一种基于谓词逻辑的推理方法，通过将两个命题进行合并和化简，得到一个新的命题，从而推导出结论。
一、谓词逻辑的基本概念1. 谓词：谓词是用于描述对象或关系的符号，可以是一个简单的关系，也可以是一个复杂的命题。
例如，P(x)表示x具有性质P，R(x, y)表示x与y之间存在关系R。
2. 量词：量词用于限定谓词的范围，包括全称量词和存在量词。
全称量词表示谓词对于所有对象都成立，存在量词表示谓词对于存在的对象成立。
3. 逻辑运算符：逻辑运算符包括与、或、非等，用于连接和操作命题。
例如，∧表示与运算，∨表示或运算，¬表示非运算。
二、归结原理的基本思想归结是一种基于谓词逻辑的推理方法，通过将两个命题进行合并和化简，得到一个新的命题，从而推导出结论。
归结原理的基本思想是将待证命题与已知命题进行归结，即通过合并和化简来消除冗余信息，从而推导出结论。
三、归结的基本步骤1. 子句化：将命题转化为子句的形式，即将谓词逻辑的公式化简为子句集合的形式。
子句是由谓词和其参数组成的一个命题，可以表示为谓词与其参数的析取。
2. 归结操作：选择两个子句进行归结操作，即将两个子句通过合一操作找到归结项，并进行合一替换，得到一个新的子句。
3. 消解规则：根据不同的合一替换规则，对归结项进行化简，消除冗余的信息，得到一个更简化的子句。
4. 重复归结：重复进行归结操作，直到得到一个空子句或无法进行归结为止。
5. 结论推导：如果得到一个空子句，则说明原始命题成立，可以推导出结论；如果无法进行归结，则说明原始命题不成立。
四、归结原理的应用领域1. 自动推理：归结原理可以应用于自动推理系统中，通过将待证命题与已知命题进行归结，从而自动推导出结论。
这在人工智能领域中具有广泛的应用。
谓词逻辑知识点总结
谓词逻辑知识点总结一、语言和推理的形式化语言和推理的形式化是数理逻辑的基础，它主要研究如何用严格的符号化方法来表示和分析自然语言中的语言和推理。
在谓词逻辑中，我们通常将自然语言中的命题分解成基本的谓词和常量，然后用谓词逻辑公式来表示这些命题。
例如，对于命题“人类都是有智慧的”，我们可以用P(x)来表示“x是人类”，用Q(x)表示“x有智慧”，那么这个命题可以表示为∀x(P(x)→Q(x))。
而推理的形式化则主要是研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出符合逻辑规律的结论。
二、谓词演算及其语义谓词逻辑的核心内容就是谓词演算，它是一种用来分析和推导谓词逻辑公式的形式系统。
谓词演算主要包括语法、语义和推导三个方面。
在语法方面，我们主要研究谓词逻辑公式的形式和结构，包括原子公式、复合公式和量词公式等。
在语义方面，我们主要研究谓词逻辑公式的意义和解释，包括谓词的扩展、量词的解释、模型的概念等。
在推导方面，我们主要研究如何用逻辑规则和推导方法来推导谓词逻辑公式的推导系统。
三、逻辑推导逻辑推导是谓词逻辑的核心内容之一，它主要研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出新的谓词逻辑公式。
在逻辑推导中，我们主要研究形式系统中的推理规则和推导方法，包括假言推理、析取推理、量词引入和消去等基本推理规则。
通过逻辑推导，我们可以推导出符合逻辑规律的结论，从而解决一些具体的逻辑问题。
四、完全正式系统完全正式系统是谓词逻辑的一个重要概念，它主要指的是一个完全形式化的逻辑系统，包括语法、语义和推导等方面。
在完全正式系统中，我们可以用严格的形式化方法来表示和分析逻辑语言和推理，从而解决一些具体的数理逻辑问题。
完全正式系统的建立对于谓词逻辑的发展具有重要意义，它不仅为逻辑学理论的研究提供了统一的规范框架，同时也为数理逻辑在实际应用中的推广提供了重要的理论基础。
五、争议在谓词逻辑的发展过程中，一些争议性问题也是不可避免的。
比如，有关谓词逻辑的语言和推理的形式化方法，不同的学者有着不同的观点和理论，针对谓词逻辑公式的语法和语义，也存在一些争议性问题。
逻辑学第四章谓词逻辑
严格地讲，一阶语言的语义解释就是在把个体词解释 成为个体域中的个体、把谓词解释为个体域中的性质或个 体域上的关系的基础上，确定公式的真值即给公式赋值。
2021年4月23日星期五
第四章 谓词逻辑
第一节 谓词逻辑概述
命题逻辑和谓词逻辑
命题逻辑：不分析简单命题内部结构，讨论关于联 结词的推理理论。例如：
如果某甲作案，那么他一定有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲没有作案。
谓词逻辑：分析简单命题有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲不是作案者。
可满足性
设A是公式， µ是任意模型；如果存在赋值δ，使得δ（A）=T，则称模型µ满足A， 记为： µ =A，否则，称模型µ 不满足A，记为： µ ≠ A。
2021年4月23日星期五
22
公式的基本语义定义
设一阶语言L 包括二元谓词符号G，个体常项a和b，取模型µ，使得个体域D 是整数，Gµ是“＜”（整数上的小于关系），aµ=10，bµ=11。δ=〈µ,ρ〉,其中ρ 为：ρ(x)=－2，ρ(y)=13，ρ(z)=8，…
那么：δ(Gab)=T(命题“10＜11”为真)； δ(Gay)=T(命题“10＜13”为真)； δ(Gyx)=F(命题“13＜－2”为假)。
（1）对于公式Px→Qx，用A(x)来表示x是自由变元：A(x)：Px→Qx （2）对于公式x(Qx∧Rxy)，用B(y)来表示y是自由变元：B（y）：x(Qx∧Rxy)；（3）用个 体变元y代替A(x)中的自由变元：A(x/y)：Py→Qy； （4）用常元a代替A(x)中的自由变元：A(x/a)：Pa→Qa。
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若存在 L 的解释满足 S , 则称 S 是可满足的; 否则称 S 是不可满足的.
□
例3.3(可满足) 给定一阶语言 L , 假设 P,Q 是 1 元谓词符号, c 是常元, x,y 是变元.
z 子句 P(c)ZQ(x) 是可满足的.
z P(c)ZQ(x),\ Q(y)XP(c).
□
定义3.3(归结子句) 给定一阶语言 L , 假设 C1,C2 是 L 的两个子句. 形如
z 因为 IXB 且 IXPI(b) , 所以 若 QI(a)=1 则 SI(b,a)=0.
因而 QI(a)=0 . z 所以 IXC .
证毕.
□
证明(归结方法).
A 的转化为: ^ x(P(x)[] y(R(y)>S(x,y))), ^ x] y(P(x)[(R(y)>S(x,y))) , ^ x] y(P(x)[(\ R(y)ZS(x,y))) , ] y(P(c1)[(\ R(y)ZS(c1,y))) , ] x(P(c1)[(\ R(x)ZS(c1,x))) , {P(c1),\ R(x)ZS(c1,x)} .
是永假的, 即
是永真的. 子句集合
(^ xP(x)Z^ xQ(x))>^ x(P(x)ZQ(x))
对应的基实例集合是
{P(c1)ZQ(c2),\ P(z),\ Q(z)},
{P(c1)ZQ(c2),\ P(c1),\ P(c2),\ Q(c1),\ Q(c2),},
若将 P(c1),P(c2),Q(c1),Q(c2) 分别看成是命题变元 p1,p2,q1,q2 , 则上述基实例集合 对应于命题逻辑语句集合:
{
L2
,1,
l,
L2,n
}
2
,
l,
{ Lm , 1 ,l , Lm, n m}
}
表示以下合取范式的闭包:
(
L1,12
,
1Z
l
ZL
2,
n
)
2
[l
[
(L
m,1
ZlZLm,
nm).
因而表示一个 Skolem 范式. □
例3.2(基本概念) z P(c1) 与 \ P(c1) 是相反文字, 但是 P(c1) 与 \ P(z) 不是相反文字. z 假设代换 5={z/c1} , 则 5(\ P(z)) 等于 \ P(c1) . z 基子句 {P(c)} 表示 P(c) . z 子句 {P(x),Q(y)} 表示语句 ] x] y(P(x)ZQ(y)).
□
定理3.3(归结方法的完全性) 给定一阶语言 L , 假设 S 是 L 的子句集合. 若 S 是不可满足的, 则 S 有一个反驳.
□
例3.6(简单证明)
给定一阶语言 L={c1,c2,P,Q} , 其中 c1,c2 是常元, x 是变元, P,Q 是 1 元谓词符号. 语句
\ ((^ xP(x)Z^ xQ(x))>^ x(P(x)ZQ(x))), 的 Skolem 范式是:
谓词逻辑归结法
例3.1(永真性判断)
给定一阶语言 L={c1,c2,P,Q} , 其中 c1,c2 是两个常元, P,Q 是 1 元谓词符号, x,y,z 是不同的变元. 假设 A 是以下公式:
(^ xP(x)Z^ xQ(x))>^ x(P(x)ZQ(x))
考察公式 \ A :
\ ((^ xP(x)Z^ xQ(x))>^ x(P(x)ZQ(x))), 即
□
例3.7(多种证明) 给定一阶语言 L={c1,c2,P,Q,R,S} , 假设 P,Q,R 是 1 元谓词符号, S 是 2 元谓词符 号, x,y,z 是三个不同的变元, c1,c2 是两个不同的常元. 定义以下公式:
A: ^ x(P(x)[] y(R(y)>S(x,y))), B: ] x(P(x)>] y(Q(y)>\ S(x,y))), C: ] x(R(x)>\ Q(x)).
可知:
CX(P(c1)ZQ(c2))[\ P(c2)[\ Q(c2) ,
CXP(c1)ZQ(c2) ,
CX\ P(c1) , CX\ Q(c2) . 若将 P(c1),Q(c2) 看成是命题变元 p,q , 对于子句集合
{pZq,\ p,\ q},
它具有一个反驳, 这表明它能够语义推出一个恒假式, 所以, C 能够语义推出一个恒假式, 因而 C 是永假的.
C1, C2UresC4 C3 , C 4UresC5
□
定理3.1(归结推出与语义推出) 给定一阶语言 L , 假设 C1,C2 是 L 的两个子句.
若 C1,C2UresC3 则 C1,C2XC3 .
证明:从
C1, C2UresC3
可知存在代换
5
1
,52
及两个相反的文字
L1
与
L2
,
使得
L1J51(C1) , L2J52(C2) , 而
则A,BXC .
□
证明(解释赋值方法). 若 I 是一个解释. 假设 IXA[B , 以下证明:
对任意的 aJDI , 当 RI(a)=1 时 QI(a)=0 .
z 从 IXA , 可知存在 bJDI , 使得 PI(b)=1 , 且对任意的 aJDI , 都有当 RI(a)=1 时 SI(b,a)=1.
它有一个反驳:
{p1Zq2,\ p1,\ p2,\ q1,\ q2},
对应于谓词逻辑的反驳:
<p1Zq2,\ p1,\ q2,q2,`>.
<P(c1)ZQ(c2),\ P(c1),\ Q(c2),Q(c2),`>. 可以直接转换为最初子句集合的反驳:
<P(c1)ZQ(c2),\ P(z),\ Q(z),Q(c2),`>.
z P(x)ZQ(x),\ Q(y)UresP(f(x)) .
z P(x)ZQ(x),\ Q(y)UresP(f2(x)) . z 假设
{ A 是 P(x)ZP(f(y))ZR(g(y)) . { B 是 \ P(y)Z\ R(y) . 则:
A,BUresP(f(y))ZR(g(y))Z\ R(y),
它的前束范式是:
(^ xP(x)Z^ xQ(x))[] x(\ P(x)[\ Q(x)).
^ x^ y] z((P(x)ZQ(y))[\ P(z)[\ Q(z)). 它的 Skolem 范式 C 是:
] z((P(c1)ZQ(c2))[\ P(z)[\ Q(z)).
根据以下语义推出关系:
CX(P(c1)ZQ(c2))[\ P(c1)[\ Q(c1) ,
B 的转化为: ] x(P(x)>] y(Q(y)>\ S(x,y))), ] x] y(P(x)>(Q(y)>\ S(x,y))), ] x] y(\ P(x)Z\ Q(y)Z\ S(x,y)), ] y] x(\ P(y)Z\ Q(z)Z\ S(y,z)), {\ P(y)Z\ Q(z)Z\ S(y,z)}.
\ C 的转化为: \ ] x(R(x)>\ Q(x)). ^ x\ (R(x)>\ Q(x)) , ^ x(R(x)[Q(x)) , R(c2)[Q(c2) , {R(c2),Q(c2)} ,
前提与结论的反面可以转化为以下子句: C1: P(c1) C2: \ R(x)ZS(c1,x), C3: \ P(y)Z\ Q(z)Z\ S(y,z), C4: R(c2) C5: Q(c2)
所以 \ A 是永假的.
所以 A 是永真的.
□
定义3.1(文字,相反文字,子句,子句集合,空子句,基文字,基子句,子句代换,子句集合代换 ) 对于谓词逻辑, 可以定义类似于命题逻辑的一些概念:
z 原子公式或者原子公式的非称为文字.
z 若 L 是原子公式,则 \ L 是 L 的 相反文字, L 是 \ L 的相反文字. z 文字的有限集合称为子句. z 不出现变元的文字称为基文字. z 不出现变元的子句称为基子句. z 空的子句称为空子句. z 子句的有限集合称为子句集合. z 称 5: {x1/t1,l,xm/tm} 为一个代换.
A,BUresR(g(y))Z\ R(f(y)).
□
定义3.4(反驳) 子句集合 S 的一个反驳是指子句的有限序列 {Ci|15i5n} , 它满足以下条件:
z Cn 是 ` . z 对于每个 i :
{ 或者 CiJS , { 或者存在 j,k<i (15j,k<n) 使得 Cj,CkUresCi .
(
5
1
(
C1
)
-{L
1
})
P(
52(
C2)
-{
L2
}
)
的子句称为 C1 与 C2 的归结子句. 其中 51,52 是两个代换,
L1J51(C1), L2J52(C2),
而 L1 与 L2 是两个相反的文字.
若三个子句 C1,C2,C3 具有上述关系, 则记为 C1,C2UresC3 .
□
例3.4(归结子句)
C3
=(
5
1
(
C1)
-{L
1}
)
P(
52(
C2)
-{
L2
}
)
.
假设子句 Ci 分别表示公式9i . 则可知9iX5i(Ci) . (i=1,2)
因为
(
5
1
(
C1
)
-{L
1
})
P(
52(
C2)
-{
L2
}
)
=C3
,
所以
9
1
,
92XC3
,
91,92X93.
即:
C1 , C2X C3 .