大学物理课件___磁场的能量_[福州大学李培官]

2
B2
2n 2

1 2
B2

lS

B2
2
V体
6
B2
W V
m 2
体
由B H 上式还可以写成：
Wm

1 2
H
2V体

1 2
BHV体
l
S nI
磁场的能量只与磁场和磁场分布的空间有关。
磁场能量只能反映空间体积 V 内的总能量，不
能反映磁场的能量分布情况。须引入描写磁场分布的
物理量----能量密度。
j

I
R2
在圆柱形直导线内取逆时针绕向、半径r
<R 的同轴圆形环路，由安培环路定理,
B
dl

B(2r )

o
I
R2
(r 2 )

o
Ir 2 R2
L
B

o Ir 2R 2
(r R)
I
r
11
(2)磁场分布为:
B oIr (r R) 2R2
导线内的磁场能量密度为
存在场中 能量密度
C
We

1 CU 2
2
由平板电容器 得出下述结论
we

1 2
D
E

1 2
E 2
Wm

1 2
LI 2
L
由长直螺线管
得出下述结论
wm

1 2
B
H

1
2
B2
在电磁场中
w we wm
w

1
D

E

1
B

H
2
2
普遍适用各种 电场磁场
9
三.磁场能计算举例
外力所作功转换为储存于线圈中的磁能。WL

1 2
LI 2
当切断电源时，线圈中原已储存起来的能量通过自
感电动势作功全部释放出来。
自感电动势在电流减少过程中所作的功为：
A
Lidt

0
L idi

1 2
LI 2
I
因此，具有自感系数为L的线圈 通有电流I时所具有的磁能为：
Wm

1 2
LI 2
2 R1 2r
r dr
I 2l 4 ln( R2 / R1)
dV 2rldr
10
【例2】.设电流I 均匀地通过一半径为R的无限长圆柱
形直导线的横截面.(1)求导线内的磁场分布;(2)求证:
每单位长度导线内所储存的磁场能量为 o I 2
解:(1)电流 I 均匀分布在直
16
导线的横截面上,通过导线 横截面的电流密度为
得到：
(I)
idt
Ri2dt
I
Lidi
i0
0
左边为电源提供的电能，右边第一项表示电阻消耗
的焦耳热，第二项表示电源克服自感电动势所做的
功，该部分转化为线圈L所储存的磁场能。
4
线圈中电流从0变化到I 过程中电流作
的总功为：
A dA
0I Lidi
1 LI 2
2
【例1】 有一根无限长同轴电缆，由半
R2
径为R1 和R2 两同轴圆筒状导体组成，内 外圆筒上分别流有大小相等，方向相反的
R1
电流I，求长为 l 的一段电缆内储存的磁 能（两圆筒间的磁导率为μ）。
I
解： H I
, B I
I
l
2r
2r
Wm

V wmdV

1 H 2dV
V2
R2 1 ( I )2 2rldr
wm

B2
2o

oI 2r 2 8 2 R4
取一段长为l 的导线,并在r处取dr厚的同轴圆 柱壳,则此壳内的磁场能量为:
dWm

wmdV

o I 2r 2 8 2R4
2rldr

o I 2r 3 4R4
ldr
整个长度为l 的圆柱形导线内的磁场能量为:
Wm

0R
o I 2r 3 4R4
互感磁能
14
总磁能：
Wm

1 2
L1 I 12

1 2
L2
I
2 2

M12 I1I 2
自感磁通与互感磁通相互加强。
若先 2通，后1通, 重复以上讨论， 可得：
Wm

1 2
L1
I
2 1

1 2
L2
I
2 2

M 21I1I 2
而系统的能量应与电流建立的先后次序无关，
M 21 M12 M
自感磁通与互感磁通相互削弱时，总磁能为：
i2 : 0 I2
1 2
L2
I
2 2
改变电阻，保持 I1
13
L1
M
L2
K1
i1
K2
i2
当i2增大时，在回路1中会产生互感电动势
12

M 12
di2 dt
电源反抗此电动势作功：
A12
I112dt
I1M12
di2 dt dt

I2 0
I1M12di2
M12I1I2
5
二.磁场的能量
1.引言：按照磁场的近距作用观 点，磁能也是定域在磁场中的。 须引入磁场能量密度的概念。
l

S
n
I
长直螺线管中插有磁导率为 的磁介质，管内磁感
应强度为：B nI
则
IFra Baidu bibliotek B
n
长直螺线管的自感系数为： 磁场能量为：
L n 2lS
Wm
1 LI 2 2
1 n 2lS
积分应遍及磁场 存在的全空间。
2）再计算体积V体内的磁场能量，
Wm V dW m V wmdV 体
说明：载流线圈的磁场能量可以用公式
W自

1 2
L，I 2也可
以用磁场能量密度公式对空间求积分计算。在已知自
感系数的情况下，应用第一种公式计算较为简单。
8
类比
静电场 稳恒磁场
能量存 在的器 件
ldr

oI 2l 4R4
0R
r 3dr

oI 2l 16
单位长度的导线内储存的磁场能量为
Wm

oI 2 16
12
【例3】 求两个相互邻近的电流回路的磁场能量，
这两个回路的电流分别是I1和I2。
L1
M
L2
K1
i1
K2
i2
解： 先 1通，2开
i1 : 0 I1
1 2
L1I12
后 2通
Wm

1 2
L1 I 12

1 2
L2
I
2 2

MI1 I 2
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Tips for Better Life
欢f迎or 指201导3
再见
今天是2019年12月1日星期日
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2.能量密度wm：单位体积内的磁场能量。
wm

1 2
B2


1 BH 2

1 H2
2
wm
Wm V体
7
磁场能量密度 的计算式：
wm

1 2
B2


1 BH 2

1 H2
2
可以证明它对磁场是普遍成立的。 3.由能量密度计算任意一个磁场的能量：
1）先确定体积元内的磁场能量，
dWm wmdV体
今天是2019年12月1日星期日
大学物理
---磁场的能量
福州大学至诚学院
大学物理教研室 李培官
第八章.电磁感应 -电磁场
8-3-3.磁场的能量
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自感现象实验【动画演示】
3
一.通电线圈储存的磁能
在接通电源后，电流变化的暂态
过程中，电路满足的方程式为
L
R
L di iR
dt
BATT
ε ERY 电池