空间点过程与随机测度
数学专业的随机过程与随机分析
数学专业的随机过程与随机分析在数学专业中，随机过程与随机分析是重要的研究领域。
本文将从数学专业的角度出发，对随机过程与随机分析进行探讨并介绍其应用领域。
一、随机过程的概念与基本性质随机过程是随机变量的一族，这些随机变量是定义在一定的概率空间上的。
随机过程可以用来描述随机事件在时间上的演变。
它有两个索引：时间参数和状态空间参数。
在随机过程中，常用的描述方法是概率分布函数、概率密度函数、随机变量的累积分布函数等。
此外，还可以通过研究均值、方差、协方差等统计量来揭示随机过程的性质。
随机过程的基本性质包括两个方面，即自相关性和平稳性。
自相关性是指随机过程在不同时间点上的取值之间的相关性，可以通过计算自相关函数来衡量。
平稳性是指随机过程的统计特性与时间的平移无关，包括弱平稳和严平稳两种形式。
二、随机分析的基础理论随机分析是处理随机过程的数学工具，主要依赖于测度论和概率论的基础知识。
它是对随机过程进行微积分和积分学的推广，可以用来研究随机过程的性质和行为。
在随机分析中，常用的方法包括随机微分方程、伊藤引理、伊藤积分等。
这些工具可以帮助我们描述和求解随机过程的演化规律，并且在金融工程、信号处理、统计学等领域中有广泛的应用。
三、应用领域1. 金融工程：随机过程与随机分析在金融领域中具有重要的应用价值。
比如，随机微分方程可以用来描述金融市场中的价格变动，通过分析随机过程的统计特性，可以制定合理的投资策略和风险管理方案。
2. 信号处理：随机过程与随机分析在信号处理中也起到关键的作用。
比如，通过对随机过程的频谱分析和相关性分析，可以提高信号的识别和恢复能力，改善通信系统的性能。
3. 统计学：随机过程与随机分析是统计学中的重要工具之一。
通过对随机过程的建模和参数估计，可以进行数据分析和预测。
此外，随机过程还可以用来研究随机实验和随机现象，揭示其背后的规律。
四、发展趋势随机过程与随机分析作为数学专业的重要分支，正不断发展和完善。
空间分析(56)空间点数据分析精品PPT课件
2.000
Var/Mean 1.111
随机
2 2 2 2 2
Quadrat # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 2 2 2
x
Number of Points
Per Quadrat
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20
(xi -xa )^2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Variance Mean
Var/Mean
0.000 2.000 0.000
均匀
0
0
0
0
10
10
0
0
0
0
x
Number of
Quadrat Points Per
#
Quadrat (xi -xa )^2
抢 劫 案
Data
城市发展的空间演变模式
星罗棋布的村庄
来源：USGS
Arp 272是两个螺旋星云——NGC 6050 和 IC 1179相撞形成的，这两个星云的螺旋 臂相互扭结在一起。它们是武仙座星群的一部分。武仙座星群是已知的宇宙中最 大的结构：所谓的长城的一部分。Arp 272距离地球大约4.5亿光年。
聚集分布：许多点集中在一个或少数几个区域， 大面积的区域没有或仅有少量点。总体中一个 或多个点的存在影响其它点在同一取样单位中 的出现概率。
点数据的三种基本空间分布模式
随机
均匀
聚集
怎样描述点模式?
一阶效应(First-Order Effects) – 事件间的绝对位置具有决定作用，单位面 积的事件数量在空间上有比较清楚的变化。 如，空间上平均值/密度的变化。
有影响 – 如果样方太大/小，那么 ……?
空间分布的测度和时间序列分析
空间分布的测度和时间序列分析空间分布的测度是指对于一定范围内的空间内部物体或现象的数量或属性进行量化和描述的方法。
它包括了多个指标和方法，常用的有点模式分析、距离分析、空间自相关等。
时间序列分析则是对时间序列数据进行研究和分析的一种方法。
点模式分析是一种常用的空间分布测度方法。
它通过对空间中的点数据进行统计分析，揭示出点分布的规律性。
常用的方法有点密度分析、Ripley函数分析等。
点密度分析通过计算单位面积或单位体积内点的数量来量化点的分布密度。
Ripley函数分析则是通过计算点周围一定范围内其他点的数量来描述点的聚集情况。
距离分析是对空间分布的测度方法之一，它通过计算不同点之间的距离来揭示点的分布特征。
距离分析可分为欧氏距离、曼哈顿距离、最短路径距离等。
通过计算不同点之间的距离，可以揭示出空间中点的分布规律和聚集程度。
时间序列分析是对时间序列数据进行研究和分析的一种方法。
时间序列数据是按时间顺序排列的一系列观测值。
通过时间序列分析，可以揭示出时间序列数据中的规律性和趋势，为未来的预测和决策提供依据。
时间序列分析常用的方法包括平稳性检验、自相关分析、滑动平均、指数平滑法、ARMA模型等。
平稳性检验是判断时间序列数据是否具有平稳性的方法，平稳性是进行时间序列分析的基础条件。
自相关分析是计算时间序列数据的相关性，包括自相关系数和偏自相关系数。
滑动平均和指数平滑法是对时间序列数据进行平滑处理的方法，可以减少噪声和波动。
ARMA模型则是一种常用的时间序列模型，基于自回归和移动平均过程来对时间序列数据进行描述和预测。
综上所述，空间分布的测度和时间序列分析是描述和研究空间内部物体和现象的数量或属性以及时间序列数据的一种方法。
通过这两种分析方法，可以揭示出空间和时间的规律和特征，为相关研究提供依据和指导。
数学中的随机过程与随机分析
数学中的随机过程与随机分析随机过程是概率论的一个重要分支，在数学、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
随机分析是研究随机过程的一种数学工具，通过对随机过程进行形式化的描述、分析和推理，帮助我们更好地理解随机现象并进行预测和决策。
一、随机过程的概念与分类随机过程是描述随机现象随时间变化的数学模型。
它是一族随机变量的集合，表示一个系统在不同时刻的状态。
根据状态变量的取值集合以及时间的取值集合，可以将随机过程分为离散随机过程和连续随机过程两类。
离散随机过程是在离散时间点上取值的随机过程，常见的例子有随机游走、马尔可夫链等。
连续随机过程是在连续时间上取值的随机过程，如布朗运动、扩散过程等。
二、随机过程的性质与特征随机过程具有一些重要的性质与特征，其中最基本的是概率分布函数和数学期望。
概率分布函数可以描述随机过程在各个状态下的概率分布情况，数学期望可以用来度量随机过程的平均值。
此外，随机过程还具有自回归性、马尔可夫性、平稳性等特征。
自回归性指的是后一时刻的值与前一时刻的值相关，马尔可夫性表示未来状态只与当前状态相关，平稳性表示随机过程的统计特征在时间上具有不变性。
三、随机分析的基础概念随机分析是研究随机过程的一种数学工具，它常常利用微积分、概率论和测度论等工具来推导随机过程的性质与解析解。
随机分析的基础概念包括随机变量、随机过程的概率测度、随机积分等。
随机变量是随机过程的最基本元素，它是定义在概率空间上的实值函数。
随机过程的概率测度描述了随机过程在不同状态下的发生概率，可以用于计算随机过程的期望、方差等统计量。
随机积分是对随机过程的积分运算，通过对积分过程的分析，可以得到随机过程的解析解。
四、随机过程在实际应用中的意义随机过程在实际应用中具有广泛的意义，它被广泛应用于金融、物理学、工程学、信号处理等领域。
在金融学中，随机过程用于建立股票价格模型、期权定价模型等，帮助投资者进行风险管理和资产定价。
在物理学中，随机过程用于描述粒子运动、热传导等现象。
空间分布的测度和时间序列
第三章空间分布的测度和时间序列地理事物存在于空间和时间之中，对地理事物的空间分布和时间序列的描述和测度析地理问题和表示其研究结果的基础。
第一节空间分布的测度地理学研究地理事物的空间分布，首先要确定地理事物的区位类型。
所谓区位类型通常是用两种方法加以说明，一种是将区位视为地图卜的点，分析点间的距离、一个地区内点的密度、地区间点分布与配置的特点以及点型间的相关程度，并在此基础上，运用概率论的方法，对理论点型进行讨论，将理论值与实际值进行比较；第二种区位类型的分析是采用“面积单位”的方法，例如以方格或县为单位，构成一个面积单位的集合，对区位类型进行描述与分析，也就是说，所讨论的地理系统变量的分布是一个完全连续的面积，而不是仅由点型分布所产生的问题，例如气候现象、土壤与植物群落的分布等。
一、空间分布的类型地理要素的空间分布，有四种基本类型：1．点状分布类型这是一种常见的分布类型，表示现象的每一项，都是标在地图上的离散的点子。
例如，在区域研究中当不考虑居民点面积时，往往把每个居民点作为一个点，因此居民点体系就表示为不同等级的点状分布。
有时工业企业、工业基地、自然资源、城市、商店、医院、学校等，都采用点状分布的形式。
2．线状分布类型这类地理要素的每一项都以直线、曲线或不规则线表示在图上。
属于这一类型的地理要素如道路网、给排水系统、输电线路、输油输气管、台风路径：冰雹线等。
3．离散区域分布类型这是一种不连续的面状分布，例如行政区，不同类型的作物分布区等。
两个相邻区域之间，不是同类地理系统，因此是不连续的。
区域两边有质量上的或性质上的差别，但各类现象均有一定的面积。
离散区域分布与点状分布之间是可以互相转换的。
在小比例尺图上表示为点状分布的现象，如居民点，在大比例尺图上则可以是区域分布的。
农作物、工业企业等也都有这种分布状态的特点。
因此是用区域分布还是用点状分布来测度和表示，必须看分析问题的性质和要求。
4．连续的区域分布连续的区域分布是空间上连续的点状分扣，比如温度、雨量、人口等等。
数理基础科学中的随机分析与测度论
数理基础科学中的随机分析与测度论数理基础科学是一门研究数学和自然科学基础的学科，广泛应用于物理学、统计学、金融学等领域。
随机分析与测度论是数理基础科学中重要的研究内容，它们为我们理解和描述随机现象提供了强有力的工具和理论基础。
本文将介绍随机分析与测度论的基本概念和应用，并探讨它们在数理基础科学中的重要性。
随机分析是研究随机过程和随机变量的一种数学方法。
随机过程是一组随机变量按照时间顺序排列而形成的集合，它可以用于描述随机现象的演化规律。
在随机分析中，我们关注的是随机过程的性质、演化规律以及与其他数学对象之间的关系。
测度论是数学中研究测度和积分的理论。
测度是对集合大小的量度，它可以用于描述一个集合的特征。
在测度论中，我们关注的是如何定义合适的测度以及如何对函数进行积分运算。
通过测度论，我们可以定义概率空间和概率测度，从而对随机过程和随机变量进行严格的数学描述。
随机分析和测度论在数理基础科学中有着广泛的应用。
首先，它们为我们提供了一种描述和理解随机现象的数学语言。
通过随机分析和测度论，我们可以对随机过程和随机变量进行刻画和分析，从而揭示其中的规律和特征。
例如，在物理学中，随机分析被应用于描述量子力学中的随机过程，帮助我们理解微观世界的不确定性和随机性。
其次，随机分析和测度论在统计学中有着重要的地位。
统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，而随机分析和测度论为统计学提供了一种严格的数学基础。
通过随机分析和测度论，我们可以定义概率分布和统计量，从而进行统计推断和假设检验。
在金融学中，随机分析和测度论被广泛应用于描述金融市场中的随机过程和随机变量，帮助我们理解金融市场的波动和不确定性。
最后，随机分析和测度论在数理基础科学的教学中也起着重要的作用。
通过学习随机分析和测度论，学生可以培养抽象思维和数学建模的能力。
同时，这门学科的学习还可以帮助学生理解和应用概率论、微积分等数学分支中的重要概念和理论。
综上所述，随机分析与测度论是数理基础科学中的重要内容。
测度空间与测度论基础
测度空间与测度论基础在数学领域中，测度空间和测度论是一些重要的概念和理论，它们在实分析、概率论、统计学以及其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍测度空间和测度论的基础知识和理论。
一、测度空间的定义首先，我们来定义测度空间。
给定一个非空集合Ω，称Ω的某些子集合为可测集合，并给出一个函数μ，该函数满足以下性质：1. 对于Ω中的空集，μ(∅)=0；2. 如果A是Ω的可测集合，那么μ(A)≥0；3. 如果A₁,A₂,...是Ω的可测集合，并且这些集合两两互斥（即任意不同的i和j，有A_i∩A_j=∅），那么μ(∪A_i)=∑μ(A_i)。
具有这些性质的函数μ被称为Ω上的测度函数，并且称(Ω, μ)为一个测度空间。
二、测度空间的性质测度空间具有以下性质：1. 单调性：对于任意的可测集合A和B，如果A包含于B（即A⊆B），那么μ(A)≤μ(B)；2. 子可加性：对于任意的可测集合A₁,A₂,...，有μ(∪A_i)≤∑μ(A_i)；3. 完全可加性：对于任意的可测集合A₁,A₂,...，如果这些集合两两互斥，那么有μ(∪A_i)=∑μ(A_i)。
三、测度的扩展性在实际应用中，我们可能会碰到一些更一般化的集合，如无限集合、复杂集合等。
为了能够测量这些集合，我们需要进行测度的扩展。
1. 外测度外测度是指将集合的测度扩展到任意集合上的一种方法。
给定一个非空集合Ω，将Ω的子集族P(Ω)称为Ω的幂集。
定义一个函数μ*，该函数满足以下性质：（1）对于Ω的空集和单点集合，有μ*(∅)=0和μ*({x})=1；（2）对于任意的集合A⊆B，有μ*(A)≤μ*(B)；（3）对于任意的可测集合A₁,A₂,...，有μ*(∪A_i)≤∑μ*(A_i)。
具有这些性质的函数μ*被称为Ω上的外测度函数。
2. 测度的可测性为了能够更方便地进行测量，需要对测度进行可测性的要求。
具体而言，给定一个测度空间(Ω, μ)，如果对于任意的集合A⊆Ω，有以下等式成立：μ(A)=μ*(A)+μ*(Ω\A)，那么称这个测度空间满足可测性。
3-第三章 空间分布的测度
两种测度方法
（1）中项中心：是两条互相垂直的直线的 交叉点（一般取东西和南北），每条直线把 点状分布的点子分成相等的两部分（二等分） （2）平均中心（分布中心） a.做x轴和y轴 b.确定每一点的坐标 c.计算x坐标和y坐标的平均值
1 1 x xi , y yi n i 1 n i 1
1 2
d.求小区域中心到大区域中心的平均距离
k 1 2 2 d b n j ( x j x) ( y j y ) n i 1
1 2
（2）对于中项中心的离散程度
1.分成的小矩形面积的大小来测度离散程度 分成的小矩形面积大，离散度大；面积小，离散 度小 2.用相对数值表示， I d 的变化范围0~1。
3.离散程度的测度
（1）对于平均中心的离散程度 作用： 中心位置周围点状分布现象的疏密程度 显示中心对周围的影响情况。
步骤： a.求出平均中心
1 1 x xi , y yi n i 1 n i 1
b.求出各点到平均中心的距离
n
n
1 2 d ( d ic ) n i 1 d
分析与结论
我国各省区距核心城市125公里范围内， R值均小于1.00。因此，可以认为我国各 省区（除青海，西藏外）在以核心城市为 中心，125公里为半径的范围内的城市分 布都是属于集聚型分布，它们均围绕各省 区核心城市形成了一簇大小不等的城市群。
当距核心城市距离增大到250公里时， 仅呼和浩特城市群、郑州城市群、上海 （含苏、浙）城市群、福州城市群、重 庆城市群、昆明城市群和乌鲁木齐城市 群的R指标大于1.00，表现为集聚倾向， 而其它省区以省会为中心的城市群则趋 于分散。 当距核心城市距离增加到375公里时， 仅有海（含苏、浙）城市群，重庆城市 群，乌鲁木齐城市群R值小于1.00，仍 表现为集聚倾向。
什么是随机过程随机过程的研究方法
什么是随机过程随机过程的研究方法随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。
那么你对随机过程了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是随机过程的内容，希望大家喜欢!随机过程的基本简介一般来说，把一组随机变量定义为随机过程。
在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。
随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。
这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。
1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。
随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。
1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛钦发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。
1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
随机过程的研究方法研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等;另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。
实际研究中常常两种方法并用。
另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。
中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。
一个实际的随机过程是任意一个受概率支配的过程，例子有：①看做是受孟德尔遗传学支配的群体的发展;②受分子碰撞影响的微观质点的布朗运动，或者是宏观空间的星体运动;③赌场中一系列的赌博;④公路一指定点汽车的通行。
空间分布的测度和时间序列
年代 城镇数 d1(km)
R
1953
151
160.31
1963
210
95.96
1973
271
83.79
1978
302
81.02
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第三章 空间分布的测度和时间序列
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§1 空间分布的测度
邻近指数练习
解：1.计算各年的理论随机分布的平均距离。
1953：de
1 n
1
126 (km)
对于一个固定地域来说，点的空间分布随时间而 变化，亦可通过R尺度分析去判断其空间分布比 原先的是更凝集还是更趋于分散，并且定量的表 达出其凝集或分散的程度。
R的数值一般在0.33-1.67之间。
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第三章 空间分布的测度和时间序列
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§1 空间分布的测度
邻近指数练习
我国1953年5万人口以上的城镇数为151个，至 1978年发展到302个，见下表。根据计算， 各年5 万人口以上城镇的最邻近平均距离如表所示。试计 算点状分布的R指标，并作简要的地理解释。
退出
§1 空间分布的测度
二、点状分布的测度
y
2 中心位置及其测度
平均中心（分布重心）
作x,y轴；
确定每一点的坐标；
计算坐标均值。
x
1 n
Hale Waihona Puke n i 1xi ,y
1 n
n i 1
yi
x
O
Pi (xi , yi ), i 1,2, , n
P (x, y) 即为平均中心。
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第三章 空间分布的测度和时间序列
空间点过程
所以B的点过程
从中看出， 布，其中
其实是参数为（n，p）的二项分 。
10
混合二项分布点过程
定义 如果 是d维空间无限个独立同分布F 的随机向量， 是一个独立于 的一个随机整数， 则
称为
次同分布F的混合二项分布点过程。
11
点过程分布函数
定义： 点过程分布函数是在 表示为 引理：如果 下三条等价 和 都是 上的概率测度，它
上的点过程，那么以
12
标值点过程
定义： 考虑点过程 ，对它的每一个点赋予一个辅助的 随机变量并把这个辅助变量称作连系于这点的标 值（mark），这里的标值来自标值空间 。 我们把这种每一点都带有一个标值的点过程称作 标值点过程。 引理：
对于标值空间为
的点过程。
的标值点过程
是一个
13
标值点过程
引理3
如果 是d维空间上的标值点过程， 是标值空 间，如果满足条件
那么 是平稳的。
其中
19
平稳点过程
引理4
如果
是d维空间上的平稳点过程，则
，它定义为
的强度
20
Than个独立同分
称为m次同分布F的二项分布点过程。 下面用一个具体的例子说明二项分布点过程： 假设对于一个有界区域 ， 是区域内均匀分布的n个独立同分布随机点。那么， 对于每一个 ，其概率密度为
8
二项分布点过程
其中
是W的面积。
右图是n = 100，在
二维有界区域W下的
二项分布示例。
9
二项分布点过程
Stochastic Geometry
空间点过程
2015-5-5
1
符号说明
03第三章 空间分布的测度和时间序列(新)6学时
1.2.1 点状分布的测度
（1）最邻近平均距离
（1）顺序法
——研究区域有n个点，确定基准点：i ;
——测定dih（到其它全部点的距离）， dib（到区域边界的最短距离）;
——找出满足dih≤ dib的距离； ——若有p个，按顺序排列：
di1≤ di2 ≤… ≤dip
dib
i
p=0,1,2,…,n-1
1.2 空间分布的测度
1.2.1 点状分布的测度
（1）最邻近平均距离
最邻近平均距离的大小，反映点在空 间的分布特征。
最邻近距离越小，说明点在空间分布 越密集;
反之，越离散。
1.2 空间分布的测度
1.2.1 点状分布的测度
（1）最邻近平均距离
（1）顺序法 （2）区域法
1.2 空间分布的测度
1 n
n i 1
xi , y
1 n
n i 1
yi
x
O
Pi (xi , yi ), i 1,2, , n
P (x, y) 即为平均中心。
平均中心
假设要在20个居住区设立一个商业中心，这20个 居住区的人口和位置已经确定。我们所希望选择的 商业中心地点便利于所有居民，就是使居住区人数 和居住区到中心的距离乘积的总和达到最小。这样， 全体居民花在购物上的时间总和最省。
中项中心总是偏向分布点密度较大的一侧，选择 这样的中心，可以使中心与多数分布点之间取得较好 的联系。
寻找中项中心的过程比较简便，应用也较广。
1.2 空间分布的测度
1.2.1 点状分布的测度
（2）对中心位置的测度 y
平均中心（分布重心）
作x，y轴； 确定每一点的坐标； 计算坐标均值。
x
概率测度与测度空间
概率测度与测度空间1. 测度空间测度空间是概率论和统计学的基本概念之一。
它由三部分组成：样本空间、σ-域和测度。
样本空间（Sample Space）是指所有可能结果的集合。
例如，抛一枚硬币，样本空间为{正面, 反面}; 投掷一个六面骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}.σ-域（Sigma Algebra）是指样本空间的子集族，它满足以下条件：•空集⌀属于σ-域。
•σ-域中任意集合的补集也属于σ-域。
•σ-域中任意可数个集合的并集也属于σ-域。
测度（Measure）是指σ-域上的一个非负广义函数，它满足以下条件：•空集的测度为0。
•σ-域中任意可数个两两不相交集合的测度等于这些集合测度的和。
2. 概率测度概率测度是测度空间的一种特殊类型，它满足以下条件：•样本空间的测度为1。
概率测度可以用来表示随机事件的概率。
随机事件是指样本空间的一个子集，事件测度表示该事件发生的概率。
3. 概率测度的性质概率测度具有许多重要的性质，其中包括：•测度相加性：对于σ-域中的任意两个不相交集合A和B，有P(A∪B)= P(A)+P(B).•单调性：对于σ-域中的任意两个集合A和B，若A⊆B，则P(A)≤P(B). •条件概率：对于σ-域中的任意两个集合A和B，若P(B)>0，则P(A|B)= P(A∩B)。
P(B)4. 概率测度的应用概率测度在概率论和统计学中有着广泛的应用，其中包括：•计算随机变量的概率分布。
•推断未知参数。
•检验假设。
•随机过程建模。
5. 总结概率测度与测度空间是概率论和统计学的基本概念之一。
概率测度可以用来表示随机事件的概率，并具有许多重要的性质。
概率测度在概率论和统计学中有着广泛的应用，包括计算随机变量的概率分布、推断未知参数、检验假设和随机过程建模等。
空间点模式分析
研究生课程空间点模式分析杜世宏北京大学遥感与GIS研究所提纲一、点模式空间分析概念二、点模式空间分析方法三、基于密度的点模式分析四、基于距离的点模式分析空间点模式分析概念•在地图上，居民点、商店、旅游景点、流行病、犯罪现场等都表现为点的特征，有些是具体的地理实体对象，有些则是曾经发生的事件的地点。
•这些离散地理对象或事件(点)的空间分布模式对于城市规划、服务设施布局、商业选址、流行病的控制等具有重要的作用。
•根据地理实体或事件的空间位置研究其分布模式的方法称为空间点模式，这是一类重要的空间分析方法。
森林中树木位置的分布鸟巢位置的分布学校位置的分布•点模式是研究区域R内的一系列点[S1=(X1,Y 1),S2=(X2,Y2),…,S n=(x n,y n)]的组合，其中Si 是第i个观测事件的空间位置。
研究区域R的形状可以是矩形，也可以是复杂的多边形区域。
•图4.1是点在研究区域中的各种分布模式。
•在研究区域中，虽然点在空间上的分布千变万化，但是不会超出从均匀到集中的模式。
因此一般将点模式区分为3 种基本类型：–聚集分布–随机分布–均匀分布•对于区域内分布的点集对象或事件，分布模式的基本问题是：这些对象或事件的分布是随机的、均匀的，还是聚集的？•研究分布的模式对于探索导致这一分布模式形成的原因非常重要。
如果这些点对象存在类型之分，或者随时间产生变化，那么还需要深入研究的问题是一类点对象的分布模式是否依赖于另外一类点对象的分布模式，或者前期的点模式是否对后期的点模式产生影响。
•例如在一个城市区域中大型商业网点的空间分布模式是否显著地影响了餐饮网点的分布，这是所谓的二元空间点模式问题。
•从统计学的角度，地理现象或事件出现在空间任意位置都是有可能的。
如果没有某种力量或者机制来“安排”事件的出现，那么分布模式可能是随机分布的，否则将以规则或者聚集的模式出现。
•若点模式为规则或聚集模式，则说明地理世界中的事物可能存在某种联系。
第1章测度论基础与随机过程优秀课件
f(x ) 0 f(x ) 0
于是，当 Rf d0 o r Rf d0 时，
定义 f(x) 的Lubesgue 积分为
Rfd0:Rf d0Rf d0
Lebesgue 积分的性质:
• Lebesgue 积分有所有Riemann 积分的性质：
R (f g )d0Rfd0R g d0 Rcfd0cRfd0, c: constant
定理1.1.7 . 设 (,F,P)为概率空间, 若Ct, t∈T 为独立 的 -类 , 则(Ct), t∈T 为独立的 -代数. 注：称集类C为 类，若满足 A,B C AB C
推论1. 设 (,F,P)为概率空间, 若 {Ai, i=1,…,m, m+1,…,m+n}
为m+n个独立的 事件 , g, h表示两个事件运算，则 g( A1,…, Am)与h( Am+1,…, Am+n)独立.
( Ai) (Ai)
i1
i1
则称μ为可测空间(,F)上的测度(measure )，且称
(,F,μ)为测度空间(measure space ).
特别，当μ( )=1时，称μ为概率测度(probability measure), 记为P，并称(,F,P) 为概率空间
(probability space). 此时,称F可测集A为事件，A的测度P(A)称为事件A发 生的概率。
则在简单函数序列满足.
其中
ln i m hn(x)f(x)
0 h 1 (x ) h 2(x ) h 3 (x )
于是
3.非负可测函数 f(x) 的Lubesgue 积分定义为
fd R
0:lni m Rhnd
0
ln imkn1ck0(Ak)
空间点过程
称为
次同分布F的混合二项分布点过程。
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点过程分布函数
定义： 点过程分布函数是在 表示为 引理：如果 下三条等价 和 都是 上的概率测度，它
上的点过程，那么以
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标值点过程
定义： 考虑点过程 ，对它的每一个点赋予一个辅助的 随机变量并把这个辅助变量称作连系于这点的标 值（mark），这里的标值来自标值空间 。 我们把这种每一点都带有一个标值的点过程称作 标值点过程。 引理：
8
二项分布点过程
其中
是W的面积。
右图是n = 100，在
二维有界区域W下的
二项分布示例。
9
二项分布点过程
这样，对于在W区域内的有界子域B
所以B的点过程
从中看出， 布，其中
其实是参数为（n，p）的二项分 。
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混合二项分布点过程
定义 如果 是d维空间无限个独立同分布F 的随机向量， 是一个独立于 的一个随机整数， 则
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平稳点过程
引理2
如果
是d维空间上的平稳点过程，则
，它定义为
的强度
引理3
如果 是d维空间上的标值点过程， 是标值空 间，如果满足条件
那么 是平稳的。
其中
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平稳点过程
引理4
如果
是d维空间上的平稳点过程，则
，它定义为
的强度
20
Thank you!
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对于标值空间为
的点过程。
的标值点过程
是一个
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标值点过程
如上图为标值点过程的示例图，左边：标值空间是 三个离散值， ；右边：标值空间是圆的半 径。
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标值点过程
定义2： 假设 是 上的概率测度， 是 上的点过 程。对于 上标值空间为 的标值点过程我们记 为 ，如果有 是 上一系列独立的分 布为 的随机点，则
空间分布的测度
CI=区域面积/区域最小外接圆面积 (0<CI<1)
• 当区域为圆形时，CI＝1，为最紧凑形状；CI越小表示区域 形状越不紧凑，越分散，当CI－>0时，则趋于一条直线，最 不紧凑。
• 英国学者利用CI研究Ruddington建成区的演变，计算出该区 1770年的CI为0.36，1963年时为0.43，表明该城区有集中紧凑 发展的趋势。
Dran
1 N 2 A
(N 点数，A 研究区的面积)
7
例：
Dran 1 N 2 A
邻点数：0，1，2，3，·，8，9 · ·
频数：6，4，0，0，·，3，8 · · 平均邻点数：
6 4 8 M 0 1 9 4.76 21 21 21
i 1 i 1
n
n
其中：di是城市中心到第i地段或小区中心的距离，n为小区域 地段数；
I i2 为 放射状指数＝A / 2 I dxay 其中：A为建成区面积，
2 i
距离平方。
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紧凑度指数(CI,Compaction Index)
城市中许多要素的分布常具有一定的区域界线，测度其区 域面积比较容易，但测度其形状却困难得多，这里介绍几种 紧凑度指数。 1）1964，Cole提出如下公式：
边界分布测度主要用来量化和分析区域和城市的空间形态和发 展规模，进而在时间序列上研究城市的动态发展、演化规律。
16
13
A As 标准面积指数（normative area ratio） A As
其中：A为建成区面积，As为与建成区面积相等的等边三角形； 和 是集合运算中的交和并。
放射状指数（radial shape index）有两种公式：
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泊松分布。当M趋近于无穷大，每个p_i分别趋近于0，并且总和保持为C，那么在极 限条件下，X_1 + X_2 + …，严格服从以C为均值的泊松分布。（熟悉概率理论的朋友 应该知道，这样的描述其实是指“按分布收敛”。）
所以，当我们对空间进行无限细分，在极限条件下，会发生下面的事情：
1. 每个格子的大小趋近于零，因而里面包含点的概率趋近于零； 2. 同时，某个固定区域内的格子数目趋近于无穷大； 3. 一个格子内几乎肯定不会出现两个点，因此某个区域内的点数几乎相等于区域内的包含
对于泊松过程，我相信很多朋友不是今天才第一次听说的了。因为，它是很多初级随机过程 课程所讲授的内容之一。在初级教科书里面，泊松过程是一个定义在时间上的过程。
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06/08/2015 10:20 PM
空间点过程与随机测度 | 小眉
/scm/?p=417
由于各种各样的原因，我们每天看到的星空中星星的分布可能都在变化。即使同一个区域， 里面包含的星星数目也可能是不确定的——这就是概率理论能发挥作用的时候了。对于每个 给定的区域，我们认为里面的星星数目是个随机变量，比如上面所说的N(A)和N(B)。为了我 们的讨论能够继续进行，需要做出一些简化假设。在这里，我们的假设很简单：
对于任意的区域 A，在A里面的点的数目 N(A) 服从泊松分布（Poisson Distribution）。
这里说“任意区域”其实是不太严格的——在正式的数学定理中，泊松过程所基于的空间必须 是一个测度空间(measure space)，这里的区域A，必须是一个可测集(measurable set)。不熟悉 测度理论的朋友可以不妨暂且认为这个区域是任意的吧——因为，在实际常见的几乎所有几 何空间里，你能想象出来的集合都是可测集，而不可测的集合只存在于数学家的奇怪构造 中。
时间上的泊松过程用于描述随机到达，比如来排队的人，或者路过的车子。上面这个图回顾 了时间上的泊松过程的一些基本的性质：
1. 不相交的时间段上到来的数量是相互独立的； 2. 两个点几乎肯定不会同时到达； 3. 在某个给定的时间段到达的数量服从泊松分布，分布均值正比于时间段的长度。
大部分初级教科书以性质1和3来定义时间上的泊松过程。我们比较一下这些假设和空间泊松 过程的假设，就可以看出来，时间上的泊松过程其实是一般的空间泊松过程的特列。这里， 泊松过程所基于的空间就是“时间轴”。其实，这里面的性质3，对于定义一个泊松过程不是 必须的，泊松分布这种分布形式，其实是满足性质1的必然结果。至于分布均值正比于时间 段的长度，仅仅适用于均匀的泊松过程。对于一般的泊松过程，很可能在某些时间来得密集 一些，另外一些时间稀疏一些，这时候分布均值就不一定正比于时间段长度了。
Point Processes
好了，继续回到我们的主题。
这个数星星的例子代表了一类非常广泛的随机过程——空间点过程(Point Processes)。具体来 说，什么叫做一个空间点过程呢？我们知道，对于一个（实数值）随机变量，每次抽样（或 者试验），得到的是一个实数；对于一个随机向量，每次从分布里面抽取的是一个向量。那 么，一个空间点过程，每次抽样得到是在某个空间中的一个离散点集（里面有有限个或者可 数无限个点）。在数星星的例子里面，这个空间就是“星空”了。一般来说，这个空间可以是
为什么我们要讨论空间泊松过程呢？它究竟有什么用呢？在我非常有限的知识范围里，我觉 得它起码有两个非常重要的意义：
1. 在我们所生活的大千世界里，无数的自然现象和科学观测都可以很好地用空间泊松过程 来建模和分析。除了天上的星星之外，还有很多很多：天上飞的鸟，水里游的鱼，街上 走的人，空气中的分子，放射过程产生的粒子，桌上的灰尘，很多仪器产生的图像中的 黑白噪点。。。。。。
探讨这个问题，不需要什么高深的方法。还是和我们小时候一样，我们从“数星星”做起。相 比于整个夜空，每个星星是在太小太小了，所以，我们可以做一个简化的设定：把每颗星星 看成是一个点——一个没有大小的点——在我们的讨论中，我们只关心星星的位置和数目， 不关心它的大小和形状，更不会关心那上面也许存在的外星人。（在之后的连载中，还会讨 论这些星星的重量，以及它们在历史长河中的产生，运动，和消亡。）
上面关于时间点过程的回顾，仅仅是为了说明这篇文章所讲述的内容其实是大家在随机过程 课中所学的泊松过程的推广。在下面的讨论中，我们还是回到一般的空间泊松过程。
poisson distributions and number independent
看到这里，我想大家也许会有疑问？为什么不相交区域的计数独立，就必然会导致任意给定 区域内的计数服从泊松分布呢？作为一篇博客文章，我不可能在这里进行一个严格的证明。 但是，我会尝试从更直观的角度来解释这个结论是怎么来的。这里的背后正隐含了独立计数 和泊松分布之间的深刻联系。
了解现代概率理论的朋友对于almost surely想必是司空见惯了。为了让对这个术语不太熟悉 的朋友不产生误解，我还是在这里澄清一下。“几乎肯定发生”和“必然发生”在数学上是有所 区别的。举个例子，我们在从 [0, 2] 这个区间的均匀分布中随便抽一个数 a，那么 a 刚刚好等 于 1 的概率是多少呢？——是 0。所以，我们可以说，a “几乎肯定”不刚好等于 1。但是，我 们不能说 a 必然不等于 1。
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小眉
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空间点过程与随机测度
空间点过程与随机测度（一）：从数星星说起
cited from 笑对人生，傲立寰宇 / numbering the stars
1. 对于任意两个不相交的区域A和B，N(A)和N(B)是独立的。
2. 两颗星星几乎肯定不会出现在同一个点上。
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对于这两个假设，我需要做些说明。首先，请大家注意，除了说他们独立之外，我没有对 N(A)和N(B)的分布形式作出任何假设——后面，我们会看到，为什么不需要假定它们是什么 分布。另外，在第二个假设中“几乎肯定”(almost surely)这个术语在数学上是有严格定义的， 某个事情“几乎肯定”会发生，表示，它们发生的概率是 1。
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小时候，在晴朗的夜里，我喜欢仰望星空，去数天上的星星——那是无忧无虑的快乐童年。 长大后，当我们再度仰望苍穹，也许会思考一个不一样的问题：这点点繁星的分布是不是遵 循什么数学规律呢？这个问题也许问得太不解风情了。但是，在这篇文章里，我希望向大家 表达的是，这个问题会把我们带入一个比星空更为美丽的数学的世界。
为了考察这个问题，我们首先对整个空间进行细分，把它分成很多很小的不相交的小格子。
因为每个格子很小，因此对于每个具体的格子，它里面包含点的概率是很低的，而包含不止 一个点的概率就更是低到几乎可以忽略了。因此，每个区域中点的数量，大概等于包含点的 格子的数量——这样，我们把数点变成了数格子。
假设区域A包含M个格子，它们包含点的概率分别是p_1, p_2, …, p_M。如果我们用X_i表示在 第 i 个格子是否存在点，那么 X_i 是一个成功概率为 p_i 的伯努利试验。因而，包含点的格 子的总数可以表示为 X_1 + X_2 + … + X_M。因为这些格子不相交，根据不相交区域的独立性 假设，X_1, X_2, …, X_M 是相互独立的。在这种条件下，它们的和有一个重要的结论：
从今天开始，我打算分几篇来分享一个我认为是概率理论 中一个非常漂亮的Topic：空间点过程(Point Processes)和随 机测度(Random Measure)。
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空间点过程与随机测度 stochastic intergration in Banach spaces 分数阶算子知识 宏观经济 旱莲花
对于M个独立伯努利试验X_1, X_2, …, X_M，成功概率分别为p_1, p_2, …, p_M，当每个 p_i都很小，它们的总和是个常数C，那么 X_1 + X_2 + … + X_M 近似服从以C为均值的
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06/08/2度 | 小眉
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点的格子数； 4. 在这个过程中，某个区域内，所有格子的含点概率的总和维持为一个常数，我们称之为
C。
这些观察合在一起可以得到这样的结论：这个区域内的点数，服从以C为均值的泊松分布。 如果您熟悉测度理论和依分布收敛的内容，要根据这个思路写出一个严格的证明其实并不困 难。
在上面，我们通过独立性假设，建立的泊松过程。其实，泊松过程还可以从另外一个方面去 刻画。我们知道，对于某个具体的区域，它里面的点数服从泊松分布（假设均值为C)。根据 泊松分布的公式，在这个区域为空的概率（点数为零）是 exp(- C) 。这似乎只是一个简单的 性质，但是请不要小看它——就这个小小的性质本身（不需要附加独立性假定），就足以定 义泊松过程：
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06/08/2015 10:20 PM
空间点过程与随机测度 | 小眉
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任意的，比如实数集，二维空间，三维空间，曲面，甚至是无限维的函数空间。
最基本的空间点过程，叫做空间泊松过程(Spatial Poisson Process)——一个空间点过程，如果 在不相交的区域中的计数是相互独立的，那么这个空间点过程就叫空间泊松过程。虽然，我 们没有对N(A)的分布形式作出具体的设定。但是，仅仅凭着不相交区域内计数的独立性，我 们就可以得到一个重要的结论：