统计学贾俊平第10章 方差分析

C 21.2 21.8 22.4 22 21.6 21.8 0.447 0.200
All rights reserved
基本思想
A 18.2 19.4 19.6 19 18.8 19 0.548 0.300 B 19.8 21 20 20.8 20.4 20.4 0.510 0.260 C 21.2 21.8 22.4 22 21.6 21.8 0.447 0.200
9
All rights reserved
实验设计
概念


广义理解是指实验研究课题设计，也就是 整个实验计划的拟定 狭义的理解是指实验单位的选取、重复数 目的确定及实验单位的分组 实验设计的目的是避免系统误差，控 制、降低实验误差，无偏估计处理效 应，从而对样本所在总体作出可靠、 正确的推断
10
20
All rights reserved
方差分析的概念

推断的可靠性低，检验的 I 型错误率大，如果每组 的显著水平皆为α，则全体比较的显著水平会高于 α



假设我们在.05的显著水平下要检定下列零假设： H0: u1=u2=u3 如果拆成下列三组零假设： H0: u1=u2 , H0: u1=u3 , H0: u2=u3 每个假设被「接受」的概率为.95，三个假设全部被接 受的概率为.953=.857，也就是说当假设为真但被推翻 的概率为(1 - 0.857) = 0.143 > 0.05 远高于显著水 平
All rights reserved
实验设计
实验设计三原则

重复

重复是指试验中同一处理实施在两个或两个 以上的试验单位上

随机化
随机化是指在对实验对象进行分组时必须使 用随机的方法，使对象进入各实验组的机会 相等，以避免试验对象分组时实验人员主观 倾向的影响 双盲

11
All rights reserved
C B A 15 17 19
27
21
23
25
27
All rights reserved
基本思想
A 18.2 19.4 19.6 19 18.8 19 0.548 0.300 B 19.8 21 20 20.8 20.4 20.4 0.510 0.260 C 21.2 21.8 22.4 22 21.6 21.8 0.447 0.200
15
All rights reserved
随机化区组设计
16
All rights reserved
因子设计
因子设计(factorial design)

感兴趣的因素有两个

如：小麦品种和施肥方式.假定有甲、乙两种施肥方式 ，这样三个小麦品种和两种施肥方式的搭配共有 3×2=6种。如果我们选择30个地块进行实验，每一种 搭配可以做5次试验，也就是每个品种(处理)的样本容 量为5，即相当于每个品种(处理)重复做了5次实验
样本均值 样本标准差 样本方差
因此检验各样本的均 值是否相同的问题涉 及比较样本内的方差 （组内方差）及样本 间的方差（组间方 差）。所以通常称之 为方差分析。
28
All rights reserved
基本原理
分析逻辑


假设从K个总体中抽取大小分别为n1, n2, n3…nk的K 个独立随机样本。我们对总体有下列的假设： 各总体皆为正态分布，且有共同相同的方差σ2。 以μ1, μ 2, … μ k 来表示总体的均值，单因子分析检 证下零假设 H0: μ 1= μ 2…= μ k vs. H1: 至少有两组均值不同
第10章
方差分析
10.1 方差分析引论 10.2 单因素方差分析 14.3 双因素方差分析
1
All rights reserved
1
导引——实验设计简介
2
All rights reserved
引例
Factor (Training Method)
Factor Levels (Groups)
All rights reserved
23
方差分析的概念

例：消费者很想知道哪种车型与油耗关系，比较 A, B, C三种车款每加仑可以行驶的里数如下：
A 18.2 19.4 19.6 19 18.8 19 0.548 0.300
24
样本平均 样本标准差 样本方差
B 19.8 21 20 20.8 20.4 20.4 0.510 0.260
实验中的术语
自变量与因变量

我们经常设计研究来了解造成某种现象变化的原 因 例如：我们想要了解为什么有时候种植西瓜会甜 有时候不会甜（甜度变动)


这种我们欲了解的变量称为因变量(dependent variable)、被解释变量、或反应变量(response variable)。 我们怀疑西瓜的甜度与栽种过程中是否施肥有关，将 某些西瓜种籽加以施肥处理，其它西瓜保持自然生长 ，这种造成因变量产生变化的变量称之为因子 (factor)或独立变项、 自变量(independent variable)
31
All rights reserved
基本原理
1 x 11 x 21 x 31 ﹕ x n1 , 1 2 x 12 x 22 x 32 ﹕ ﹕ x n2 , 2 … k x 1k x 2k x 3k ﹕ ﹕ ﹕ x nk,k
总样本的均值 x
j1 i 1 K nj
14
All rights reserved
随机化区组设计
随机化区组设计(randomized block design)

先按一定规则将实验单元划分为若干同质组，称 为“区组(Block)” 再将各种处理随机地指派给各个区组 分组后再将每个品种（处理）随机地指派给每一 个区组的设计就是随机化区组设计
样本内的方差很小
19
20.4
21.8
C B A 18 19 20
26
21
22
23
All rights reserved
基本思想
A 17 20.4 24 15.8 17.8 B 24.2 22 17.8 16.2 21.8 C 26 19.8 24.4 16 22.8
样本內的方差很大
19
20.4
21.8
All rights reserved
基本原理
分別來自k总的k个样本
1 x 11 x 21 x 31 ﹕ x n1 , 1
2 x 12 x 22 x 32 ﹕ ﹕ x n2 , 2
…
k x 1k x 2k x 3k ﹕ ﹕ ﹕ x nk,k
第k組样本 共有nk个观 察值
各组样本数可以不同，分别为n1, n2,„nk, 总样本数n= n1+n2+„+nk


考虑两个因素(可推广到多个因素)的搭配实验设计 称为因子设计 该设计主要用于分析两个因素及其交互作用对实 验结果的影响
17
All rights reserved
10.1 方差分析引论
18
All rights reserved
方差分析的概念
缘由

t 检验适用于样本均值与总体均值及两样本平均数 间的差异显著性检验， 但在生产和科学研究中经 常会遇到比较多个处理优劣的问题， 即需进行多 个均值间的差异显著性检验 大学中各专业间的学生智商是否有别？ 三种不同的教学方法对于学生的成绩是否有 影响？
实验指标(experimental indicator)

为衡量实验结果的好坏或处理效应的高低 ，在实 验验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指 标 学习时间、血糖含量、体高、体重等
4
All rights reserved
实验中的术语
实验因素(experimental factor)

实验中所研究的影响实验指标的因素叫试验因素 当实验中考察的因素只有一个时，称为单因 素实验 若同时研究两个或两个以上的因素对实验指 标的影响时，则称为两因素或多因素实验 实验因素常用大写字母A、B、C、„等表示
29
All rights reserved
基本原理
共有K个总体
μ1, σ1
μ2, σ2

i代表在样本中 的序号，i = 1,2, „nj
j代表样本组別，j = 1,2, …k
μk, σk
x21 x11 xn1,1 x31 Xi j
x22
xn2,2 x 12 x32
x1k x2k
xnk,k x3k
30
Randomly Assigned Units


21 hrs Dependent Variable (Response)
17 hrs
31 hrs
27 hrs
29 hrs
25 hrs
20 hrs
28 hrs
22 hrs
3
All rights reserved
实验中的术语
方差分析的概念
方差分析


方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中， 把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术 研究分类型自变量对数值型因变量的影响 一个或多个分类尺度的自变量 一个间隔或比率尺度的因变量 有单因素方差分析和双因素方差分析 单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
21
All rights reserved
方差分析的概念


因此我们需要在共同的显著水平α下，同时考虑多 个平均值的差异，我们以F分布来进行检验，称之 为方差分析 方差分析 (ANOVA, analysis of variance) 是由英国 统计学家R.A.Fisher于1923年提出
22
All rights reserved
实验设计

局部控制 ─ 实验条ห้องสมุดไป่ตู้的局部一致性

在实验环境或实验单位差异大的情况下 ， 可将整个实验环境或实验单位分成若干个小 环境或小组，在小环境或小组内使非处理因 素尽量一致，这就是局部控制
12
All rights reserved
完全随机化设计
完全随机化设计(completely randomized design)
19
All rights reserved
方差分析的概念

检验过程烦琐

这种做法太浪费时间，因为比较几个母体可能产生很 多的比较组，例如比较五个母体的平均值差异，如果 以两两比较的方式，我们必须进行C52=10次的t-test。

无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的 灵敏性低

试验有5个处理 ，每个处理重复6次，共有30个观测值 。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值 估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利用 整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。
7
All rights reserved
实验中的术语
实验单位(experimental unit)

在实验中能接受不同实验处理的独立的实验载体 叫实验单位 在实验中，将一个处理实施在两个或两个以 上的实验单位上，称为处理有重复；一处理 实施的实验单位数称为处理的重复数
8
All rights reserved
5
All rights reserved
实验中的术语
因素水平(level of factor)

试验因素所处的某种特定状态或数量等级 称为因素水平，简称水平
6
All rights reserved
实验中的术语
因素水平与处理



因素水平为某因子（自变量）之特殊形式或不同 状态，例如我们可以将「施肥」细分成三个水平 ：完全不施肥、施轻肥、施重肥 如果解释的因素为单一(施肥与否），称为单因子 分析，如果解释因子在两个以上（施肥与否＋栽 种温度），称为多因子分析。 在单因素分析中，每一个因素水平皆称为一种处 理(treatment)，多因子分析中，因子水平之组合称 为一种处理（施重肥＋高温、无施肥+高温、施重 肥＋低温、无施肥＋低温…等


“处理”被随机地指派给试验单元的一种设计. Subjects are assumed to be homogeneous 只有一个因素 With 2 or more groups (or levels)
13
All rights reserved
完全随机化设计
高尔夫球的品牌对每次击球的球距有无影响？
H0 : u1 u2 u3
三种汽车每单位汽油 的里数皆相同
样本平均 样本标准差 样本方差
Q:我们所观察到的样 本均值差异是否大到 足以推翻上面的零假 设?
25
All rights reserved
基本思想
A 18.2 19.4 19.6 19 18.8 B 19.8 21 20 20.8 20.4 C 21.2 21.8 22.4 22 21.6