华南理工大学《材料力学》截面的几何性质
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材料力学绪论 截面几何性质
工程力学电子教案
第八章 扭转
7
二、圆截面的极惯性矩
1、薄壁圆截面 平均半径为R0，厚为δ的薄壁圆截面如图所示，此薄壁 圆截面的极惯性矩为
I P 2R0
3
R0 O δ
工程力学电子教案
第八章 扭转
8
2、实心圆截面 直径为d的圆截面如图所示，圆截面的极惯性矩为
d 4
32
d O
IP
ρ
工程力学电子教案
（3） I z 0 I z I y I y 0
思考题：如何计算图示组合截面对形心轴z的惯性矩。
I z I z 1 I z 2 I zC11 I zC 22
1
zC1
z
2
zC2
工程力学电子教案
b/2
b/2
工程力学电子教案
第九章
弯曲
16
二、惯性矩
如图所示任意横截面，其面积为A。
I z y 2 dA
A
O
r
z y
y dA
z
I y z 2 dA
A
称上述面积分为截面对z轴与y轴的惯性矩或二次轴矩。 从定义可以看出，惯性矩恒为正，其量纲为L4。 截面对某点的极惯性矩，恒等于此截面对于过该点的任一对 直角坐标轴的两个惯性矩之和。
18
2、圆形截面的惯性矩
如图所示圆形截面，直径为d，y轴和z轴为截面形心轴。
圆形截面对y轴和z轴的惯性矩为
I P d 4 Iz Iy 2 64
C d
·
y
z
圆形截面对任一形心轴的惯性矩相同。 同理可得空心圆截面对y轴和z轴的惯性矩为
Iz Iy
D 4
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面的几何性质
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
材料力学截面的几何性质
I z I zi
i
，I y I yi，
i
2 I y dA , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元 因 z
面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积 分。
应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，
I I 1 I 2 I z I y 2I z 2I y，
定义：I A 2 dA
I zy A zydA ——平面图形对z,y轴的惯性积;
极惯性矩.
• 二、性质
1、 I z、I y 恒为正， I zy 可正、可负、也可以为零，其正 负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4；
例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩 和惯性积。 解：用平面极坐标 (r , ).
y
dy
R
o
y
sz A ydA y z dy
z
z
0 2 R sin cos d
3 2
dz
R3 3
y R
o
z
z
sz 4R 3 yc 2 A R 3 4
R3
z R cos y R sin dy R cosd
sz A zdA z y dz
270 50
S y zci Ai 0，（ z1 z2 0）；
i
y
s z yci Ai y1 A1 y2 A2 15 300 30
i
270 30 270 50 23.625 105 (mm) 2 , 2
• 4-2 惯性矩和惯性积
1 d 4 64
因坐标轴是对称轴，如对左右的 dA （如上图），
i
，I y I yi，
i
2 I y dA , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元 因 z
面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积 分。
应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，
I I 1 I 2 I z I y 2I z 2I y，
定义：I A 2 dA
I zy A zydA ——平面图形对z,y轴的惯性积;
极惯性矩.
• 二、性质
1、 I z、I y 恒为正， I zy 可正、可负、也可以为零，其正 负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4；
例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩 和惯性积。 解：用平面极坐标 (r , ).
y
dy
R
o
y
sz A ydA y z dy
z
z
0 2 R sin cos d
3 2
dz
R3 3
y R
o
z
z
sz 4R 3 yc 2 A R 3 4
R3
z R cos y R sin dy R cosd
sz A zdA z y dz
270 50
S y zci Ai 0，（ z1 z2 0）；
i
y
s z yci Ai y1 A1 y2 A2 15 300 30
i
270 30 270 50 23.625 105 (mm) 2 , 2
• 4-2 惯性矩和惯性积
1 d 4 64
因坐标轴是对称轴，如对左右的 dA （如上图），
材料力学—截面几何性质
主轴:满足惯性积为零的坐标轴
主惯性矩:对主轴的惯性矩
主形心轴与主形心惯性矩
I y
Iy
Iz
I y Iz cos2
I
2
2
z
I yz sin2
主形心轴 主形心轴
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
第六章 弯曲应力
二、 惯性积的平行移轴定理
I yz
yzdA
A
y a y0 , z b z0
I yz Aa y0 b z0 dA
I y0z0 A y0 z0dA, A y0dA 0, A z0dA 0
I yz I y0z0 Aab
1
1
yc1 A1 yc2 A2 yc3 A3
n
n
yc
Sz A
Si
i 1
A
i 1
yci Ai A
Sz
S(整) z
S(孔) z
y
c
S(整) z
A( 整 )
S(孔) z
A(孔)
负面积法
第六章 弯曲应力
例： 确定下图所示截面的形心位置
50
50
A1
z
60
A2
10
解：将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：
第六章 弯曲应力
A-4 转轴公式与惯性矩
一、 转轴公式 y1 ycos zsin z1 zcos ysin
I y1z1 A( ycos zsin )(zcos ysin )dA
：始边y轴，为正
I y1z1
Iy
2
Iz
sin2
I yzcos2
I y1 I y Iz I y Iz cos2
截面几何性质(材料力学)
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
bh3 Iz 12
C z
bh3 Iz' 12
h
b
y
注意： 1. 两个座标系的原点 必须重合； 2. 两轴惯性矩之和为常量
z
O
I y1 I
z1
I y I I p z
I z1 I y1
4）解法四 y1 I z I z1
I z0 I z0 1 I z0 2 I z0 3 I z0 4
A3 y
d 4
64
2 I y 2 I z0 3 I z0 3
d4
64 Iy
2
A2 z0
d
4
128
I z I z1 I z0 3 OC
d
2
d4 Iy 128 18
1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关， 2) 惯性积可正可负 3) 单位m4 或 mm4
y dA
4. 惯性半径
Iy iy A
Iz iz A
y
（单位m 或 mm）
O
z z
例
试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。
y dy
解： 取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy
h
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 321104 mm4 y
I yc 0 I min
I zc I yc 2
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 57.4 104 mm 4 y
建筑力学之材料力学第5章(华南理工)
Ip = 2dA
A
=
d 2
0
d4 2 2d =
32
由于z、y轴通过形心, 所以Iz=Iy, 可得: Ip =Iy +Iz =2Iz
Ip d 4 Iz = = 2 64
Izy = yzdA
A
Ip = dA=I y +Iz
2 A
Iz = y2dA, I y = z2dA
截面对y0轴的惯性矩为:
0.120.063 + 0.40.23 m4 2 4 I y0 =I y0 +I y0 = =0.24210 m 12 12
例5-5 试求例5-1中截面的形心主惯性矩。 解: 形心位置(例5-1)为
zC =0, yC=0.323m
过形心的主轴为z0、y0, z0轴到两 个矩形形心的距离分别为: aⅠ=9.137m aⅡ=0.123m
zC =0, yC=0.323m
过形心的主轴为z0、y0, z0轴到两 个矩形形心的距离分别为: aⅠ=9.137m aⅡ=0.123m
截面对z0轴的惯性矩为两个矩形面积对z0轴的惯性矩之和, 即:
Iz0 =Iz +Aa2 +Iz +A a2 =0.37102m4 1
0.60.123 +0.60.120.1372 + 0.20.43 +0.20.40.1232 m4 = 12 12
2
A
2 y1 dA
y1=y+a
因z轴通过截面形心, 故Sz=0, 从而得:
= y2dA+2a ydA+ a2dA
A A A
Iz1 =Iz +a2 A
=Iz +2aSz +a2 A
材料力学 3 截面的几何性质
大小：正，负，0。
y
量纲：[长度]3
二、截面的形心 几何形心=等厚均质薄片重心 z 形心坐标公式：
yc
C
zc
yc zc
y dA A z dA
A
A
Sz A Sy A
O
A
y
S y A zc
S z A yc
结论： 若 S z 0 yc 0 z 轴通过形心。反之，亦成立。
转轴公式
sin 2 I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
二、形心主轴和形心主惯性矩 1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，
Ix y
0 0
Ix I y 2
sin20 I xy cos 20 0
tan 2 0
2 I xy Ix Iy
z1
I yzc y1 z1 dA
A
a
O
z
yc
I z A y 2dA A (b y1 )2 dA
2 A ( y1 2by1 b 2 )dA
y
zc 为形心轴， S zc Ayc 0
I zc 2bS zc b 2 A
I zc b 2 A
2
a
2677710 .52 cm 4
平 衡 项 惯 性 矩 6686481 . 857.8 单 个 形 心 惯 性 矩 779.53
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
I y Iz 2 cos2 I yz sin 2 cos2 I yz sin 2
I y Iz 2
I y Iz 2
当＝0时，
dI y1 d
材料力学第四章截面的几何性质_2023年学习资料
【例题2】试计算图示矩-形对其对称轴的惯性矩。-Z-解：-dz-I,=L z'dA-C-h-=fiz'bd -bh'-12-hb3-12=
【例题3】试计算图示-圆形对其形心轴的惯性-矩和极惯性矩。-解：-dp-Ip=∫pdA-=p2.2元pdp 元D4-32-I=I,+I-L,=L=-64
I,=∫zdA-4.组合截面的惯性矩和极惯性矩-I:=S y'dA-I,=SP'dA-i=1-I.-A2p-pi
§I.4平行移轴公式-已知：:-1-a b-a和b是截面的形心-在oyz坐标系中的坐标-求：I,LIz-0
ly-lye-C-b-y=y。+b-dA②-Z=Z。+a-c-I,=S z'dA-0-=∫z。+adA-zidA +2af z.dA +a'ldA-=I,,+2a.S,+a'A-=I,.+a2A-其中：S.=
讨论：主轴方向的惯性矩-I,+I21I、-I2-y1-cos 2a-Iy:sin 2a-二-I,-Iss131-sin 2a+Iy cos 2a-应²-dIx=0-得：-da-I,-I:sin2a+Ixcos2 =0-可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。
VI,-12+4I-3.主惯性矩-2a-I-I-定义：截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。-212-由：g2, -1,-1-得：c0s20,=-sin20。--21元-I,-1+4I-VI,-I2+4-将上式代入-Yo I,I:cos 20-In sin 2do-得主惯性矩的计算公式：
31-故过O点的任何一对正-交轴都是主轴，定理得证。-推论：-★-若通过截面某点有三根（或三根以上）的-对 轴，则通过该点的所有轴都是主轴。-★正多边形有无数对主形心轴。-Le-.C
材料力学--附录A截面的几何性质
y
A
其中： 为截面面积 为截面面积， 、 其中：A为截面面积，x、 y轴为形心轴， x1、 y1为 轴为形心轴， 轴为形心轴 分别与x、 轴平行的轴 轴平行的轴， 分别与 、y轴平行的轴， a、b分别为相应平行轴之 、 分别为相应平行轴之 间的距离。 间的距离。
O a O1 b
z
附录A 附录
截面的几何性质
附录A 附录
截面的几何性质
静矩、 g 静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、 g 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 g 惯性矩与惯性积的平行移轴定理 g 惯性矩与惯性积的转轴定理 主轴与形心主轴、 g 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 组合图形形心、 g 组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算
试确定等腰梯形面积的形心和对底边的静矩。 试确定等腰梯形面积的形心和对底边的静矩。
y
【解】 截面对底边的静矩
Sz = A y1 + A y2 1 2
b C1
h
1 2 1 h = bh⋅ h + ah⋅ 2 3 2 3
C C2
=
h (a+2b) 6
2
O a
z
形心位置
zC = 0
Sz h a +2b yC = = ⋅ A 3 a +b
120
C1（0,0） 负面积 C2（5,5） C2 C1 C
10 80
z
yC = −20.3mm
形心C坐标为（ 形心 坐标为（-20.3， -20.3）。 坐标为 ， ）。
这两种方法所得到的形心坐标不同 是由于选择不同的坐标系引起的。 是由于选择不同的坐标系引起的。
附录A 附录 【例2】 】
截面的几何性质
材料力学 截面的几何性质教材
Sz A yc
y
S y A zc
A
y dA A
Sz A
z
dA
C
zC
y
yC
z
(1)若z、y轴通过形心C，则 yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。 即：截面对其形心轴的静矩等 于零。反之，若截面对某轴的 静矩为零，则该轴必过其形心。 (2) 对于有对称轴的截面,对 称轴必然是形心轴.
z
y
dA
A
o
z
y
惯性半径
定义
2 I y A iy , I z A iz2
或
iy
Iy A
, iz
Iz A
iy和iz分别称为图形对于y
轴和z 轴的惯性半径。惯性半径为 正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯 性半径的量纲是长度，常用单位为mm或m。
由于
2 y2 z2
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
1 D 4 4 I y I z Ip 1 2 64
d D
由于y轴为对称轴，故
I yz 0
平行移轴定理
对于平面图形，建立坐标系Oyz和基于 形心C的坐标系Cyczc，由定义
z
y
b C
zc
yc dA zc yc
I yc z dA, I zc y dA
由于yc是过形心的轴，所以
I y I yc a A
2
同理可得
z
y
b C
zc
yc dA zc yc
I z I zc b A
2
a o
z
y
I yz I yc zc abA
材料力学截面图形的几何性质
y dA C
y yC
S y zdA
A
O
zC z
z
图形对 z 轴的静矩
S z ydA
A
静矩的单位：m3,cm3,mm3
2
4.1 截面的静矩与形心
2.形心的位置
yC
ydA
A
A
Sz zC A ，
zdA
A
A
Sy A
静矩的性质 （1）静矩与轴有关，可正可负可为零。 （2）若yC,zC坐标轴过形心，则有
S yC 0
S zC 0
A1 c1 A2 c2
Sy
（3）组合图形静矩可分块计算求代数和
S z S z1 S z 2 A1 yC1 A2 yC 2
（4）求形心
S z A1 yC1 A2 yC 2 yC A A
A1 zC1 A2 zC 2 zC A A
3
4.1 截面的静矩与形心
O
dy
z
I y z 2dA
b 2 b 2
3 b h 2 hz dz 12
b
因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积 惯性矩与惯性积
例4 试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心 轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。 解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,
y
I yz yzdA
A
dA
（1）惯性积与轴有关，可正可负可 为零。
（2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴， 则 Iyz = 0。
y
性质
O
z
z
11
4.3 平行移轴公式 1.平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I x y ，现需导出该截面对于 C C 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。
y yC
S y zdA
A
O
zC z
z
图形对 z 轴的静矩
S z ydA
A
静矩的单位：m3,cm3,mm3
2
4.1 截面的静矩与形心
2.形心的位置
yC
ydA
A
A
Sz zC A ，
zdA
A
A
Sy A
静矩的性质 （1）静矩与轴有关，可正可负可为零。 （2）若yC,zC坐标轴过形心，则有
S yC 0
S zC 0
A1 c1 A2 c2
Sy
（3）组合图形静矩可分块计算求代数和
S z S z1 S z 2 A1 yC1 A2 yC 2
（4）求形心
S z A1 yC1 A2 yC 2 yC A A
A1 zC1 A2 zC 2 zC A A
3
4.1 截面的静矩与形心
O
dy
z
I y z 2dA
b 2 b 2
3 b h 2 hz dz 12
b
因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积 惯性矩与惯性积
例4 试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心 轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。 解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,
y
I yz yzdA
A
dA
（1）惯性积与轴有关，可正可负可 为零。
（2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴， 则 Iyz = 0。
y
性质
O
z
z
11
4.3 平行移轴公式 1.平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I x y ，现需导出该截面对于 C C 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。
材料力学第四章截面的几何性质
确定截面的剪切中心
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
预测物体的变形和破坏
通过分析截面的几何性质，可以预测 物体在不同受力条件下的变形和破坏 行为，为工程实践提供指导。
02 截面的面积和形心
截面面积的定义与计算
截面面积的定义
截面面积是指通过截面边界轮廓 线围成的区域面积。
截面面积的计算
可以通过测量截面轮廓线的长度 ，然后使用公式计算面积。对于 不规则形状，可以使用微元法或 积分法计算。
截面几何性质的应用前景
随着科技的发展和工程需求的提高，截面几何性质在材料力学中的重要性将更加凸 显，其在航空航天、交通运输、建筑等领域的应用将更加广泛。
随着新型材料的不断涌现，截面几何性质的研究将有助于深入了解这些材料的力学 行为，为新型材料的优化和应用提供理论支持。
随着数值模拟和计算机技术的发展，截面几何性质的研究将更加精确和深入，有助 于提高工程结构的分析和设计水平。
在实际工程中，主轴和主惯性矩也是 进行有限元分析时的重要输入参数， 用于模拟结构的力学行为并优化设计。
在结构设计时，根据主轴和主惯性矩 可以合理地选择材料的类型和截面的 形状，以提高结构的刚度和稳定性。
04 极惯性矩和惯性积
极惯性矩的定义与计算
极惯性矩
截面对任意直径的极惯性矩等于截面 面积与该直径的平方的乘积。
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
预测物体的变形和破坏
通过分析截面的几何性质，可以预测 物体在不同受力条件下的变形和破坏 行为，为工程实践提供指导。
02 截面的面积和形心
截面面积的定义与计算
截面面积的定义
截面面积是指通过截面边界轮廓 线围成的区域面积。
截面面积的计算
可以通过测量截面轮廓线的长度 ，然后使用公式计算面积。对于 不规则形状，可以使用微元法或 积分法计算。
截面几何性质的应用前景
随着科技的发展和工程需求的提高，截面几何性质在材料力学中的重要性将更加凸 显，其在航空航天、交通运输、建筑等领域的应用将更加广泛。
随着新型材料的不断涌现，截面几何性质的研究将有助于深入了解这些材料的力学 行为，为新型材料的优化和应用提供理论支持。
随着数值模拟和计算机技术的发展，截面几何性质的研究将更加精确和深入，有助 于提高工程结构的分析和设计水平。
在实际工程中，主轴和主惯性矩也是 进行有限元分析时的重要输入参数， 用于模拟结构的力学行为并优化设计。
在结构设计时，根据主轴和主惯性矩 可以合理地选择材料的类型和截面的 形状，以提高结构的刚度和稳定性。
04 极惯性矩和惯性积
极惯性矩的定义与计算
极惯性矩
截面对任意直径的极惯性矩等于截面 面积与该直径的平方的乘积。
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。
材料力学 截面的几何性质
O1 O 2
O
x
O3
x 1
C
课堂练习
I.
&
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ 为一对主轴。
y
）时，y-z轴始终保持
A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
y b C 1x C 2x O a x
æ 1 öæ 2 ö æ 1 öæ h ö = ç bh ÷ç h ÷ + ç ah ÷ç ÷ è 2 øè 3 ø è 2 øè 3 ø
h 2 = (a + 2 b ) 6
形心位置
h
x = 0
h 2 (a + 2 b ) h a + 2 b S x y = = பைடு நூலகம்· = 6 A h 3 a + b (a + b ) 2
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
课堂练习
I.
&
在下列关于平面图形的结论中，（
）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 在平面图形的几何性质中，（
y
dA y
ü2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
x 1
ü3、任何平面图形对于通过其形
材料力学 第9章 截面的几何性质
3.86 108 mm4
I zC ,2 =I zC ,1 3.86 108 mm4
I zC ,3 =I zC3 A3 ( yC yC3 )2
= 350 503 mm4 350 50 (228.76 355)2 mm4 12
2.83108 mm4
y C3 y C1 y C y C2
2 2 2 22 2
+b( h y) ( y + 1 ( h y)
2
22
B
(H 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ h2)
b
h2 (
y2)
8
24
H
H
2
2
B
B
2
2
2
h
b
C
z
y
A2
2
h
y
A1
C2(zC2, yC2) C1(zC1, yC1)
第9章 截面的几何性质
9.1 静矩 9.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 9.3 转轴公式、主惯性轴和主惯性矩
228.76mm
y
C1
y
C3
y
C2
y
O A1 C1
A3 C3 y
z
A2 C2
9.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩
（2）计算对形心轴的惯性矩
I zC =I zC ,1 I zC ,2 I zC ,3
I zC ,1=I zC1 A1( yC yC1)2
= 75 3803 mm4 75 380 (228.76 190)2 mm4 12
S
z
z y
3、惯性半径
I y Aiy2 I z A iz2
iy
Iy A
iz
Iz A
I zC ,2 =I zC ,1 3.86 108 mm4
I zC ,3 =I zC3 A3 ( yC yC3 )2
= 350 503 mm4 350 50 (228.76 355)2 mm4 12
2.83108 mm4
y C3 y C1 y C y C2
2 2 2 22 2
+b( h y) ( y + 1 ( h y)
2
22
B
(H 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ h2)
b
h2 (
y2)
8
24
H
H
2
2
B
B
2
2
2
h
b
C
z
y
A2
2
h
y
A1
C2(zC2, yC2) C1(zC1, yC1)
第9章 截面的几何性质
9.1 静矩 9.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 9.3 转轴公式、主惯性轴和主惯性矩
228.76mm
y
C1
y
C3
y
C2
y
O A1 C1
A3 C3 y
z
A2 C2
9.2 惯性矩、惯性积和极惯性矩
（2）计算对形心轴的惯性矩
I zC =I zC ,1 I zC ,2 I zC ,3
I zC ,1=I zC1 A1( yC yC1)2
= 75 3803 mm4 75 380 (228.76 190)2 mm4 12
S
z
z y
3、惯性半径
I y Aiy2 I z A iz2
iy
Iy A
iz
Iz A
材料力学——7截面的几何性质
y1
x1
x y
dA y1
x1
x
I x I y I x I y I x1 cos2 I xy sin 2 2 2
I x I y I x I y I y1 cos2 I xy sin 2 2 2 I x I y I x1 y1 2 sin 2 I xy cos2
A
等于形心坐标
t A
A
A
A
x
dA
y
x
xi Ai x A (正负面积法公式) 累加式 : y yi Ai A
y
x
S y Ax Ai xi
S x Ay Ai yi
例1 试确定下图的形心。
10
y
120 C2 C1(0,0) C2(-35,60)
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。 1.用正面积法求解，图形分割及坐标
y 2d d yC O x1
解： ①建立坐标系如图。
②求形心位置。
x xC
b
xi Ai 0 0 x A A 2 d d y A i i y 2 4 2 0.177d A 2 d 3 d 4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
负面积 C2 C1
x A x A x x
i i
1
1
2
A2
A
A1 A2
x
5(70110 ) 20.3 1208070110
图(b)
2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、惯性矩：(与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。
I x y dA
材料力学 07截面几何性质
描述截面的转动性能。
第7章 截面的几何性质
§7–1 静矩和形心 §7–2 惯性矩、惯性积、惯性半径 §7–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §7–4 惯性矩和惯性积的转轴公式、
主惯性矩和主惯性积
§7-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 1、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
y
yC
x
dA
(3)惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标轴中有 一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零 。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴中并不 一定有图形的对称轴。
(4)组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组合图形对同一 坐标轴的惯性积之和，即
∑ I xy = I xyi
4、惯性半径：
I x = ix2 A
Iy
=
i
2 y
A
惯性半径的特征
⇒ ix = Ix A iy = Iy A
(1)、惯性半径是对某一坐标轴定义的。 (2)、惯性半径的单位为m。 (3)、惯性半径的数值恒为正值。
惯性半径是衡量截面图形对某一轴惯性矩大小的参照值。
• 静矩 • 极惯性矩 • 惯性矩
几何关系
(2) 惯性矩的单位为m4。
(3)极惯性矩和轴惯性矩的数值均为大于零的正值 。
(4)图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐 标原点的任意一对正交坐标轴的轴惯性矩之和，即
∫ Iρ = ρ2dA=Ix+Iy A
(5)组合图形对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等 于各组合图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即
圆轴扭转 弯曲梁
τ = Tρ IP
ϕ = Tl GI P
σ
第7章 截面的几何性质
§7–1 静矩和形心 §7–2 惯性矩、惯性积、惯性半径 §7–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §7–4 惯性矩和惯性积的转轴公式、
主惯性矩和主惯性积
§7-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 1、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
y
yC
x
dA
(3)惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标轴中有 一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零 。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴中并不 一定有图形的对称轴。
(4)组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组合图形对同一 坐标轴的惯性积之和，即
∑ I xy = I xyi
4、惯性半径：
I x = ix2 A
Iy
=
i
2 y
A
惯性半径的特征
⇒ ix = Ix A iy = Iy A
(1)、惯性半径是对某一坐标轴定义的。 (2)、惯性半径的单位为m。 (3)、惯性半径的数值恒为正值。
惯性半径是衡量截面图形对某一轴惯性矩大小的参照值。
• 静矩 • 极惯性矩 • 惯性矩
几何关系
(2) 惯性矩的单位为m4。
(3)极惯性矩和轴惯性矩的数值均为大于零的正值 。
(4)图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐 标原点的任意一对正交坐标轴的轴惯性矩之和，即
∫ Iρ = ρ2dA=Ix+Iy A
(5)组合图形对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等 于各组合图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即
圆轴扭转 弯曲梁
τ = Tρ IP
ϕ = Tl GI P
σ
《材料力学》附录I 截面的几何性质 习题解
附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：解：[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰⎰-⋅==2/0042/02322c o s 1]4[s i n ππθθθθd x d dx x I r rx)]2(2cos 21[2142/02/04θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 212{82/04πθπ-=r 164r ⋅=π由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：164r I I x y ⋅==π微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：xydA dI xy =8)42(21]42[21)(21444042222022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r rx r rxy =-=-=-==⎰⎰⎰- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
材料力学-截面几何特性
IxC1 (70mm)3 10mm/12 28.58104 mm4 I yC1 70mm(10mm)3 /12 0.58104 mm4
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
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C
ab
I z2 I z1 A(ab)2
z
b = R/2
R/2
R
b b
O
求：图示截面
I z _____
y
R/2
R/2
I y _____
I
xC
y C
abA
x
I 求： Z1
y 1
y
hO b
I
Z
1
I
Z
（A h）2 2
b h3 bh h2
12
4
Z
b3
h I Z1 3
Z1
I
y1
hb3
3
求：T形截面的Iz、Sz ，（设a = 6b）
ay
A1
I Z I Z ( A1) I Z ( A2)
ab3 ab(ab / 2)2
b
12
A2
12
求：圆截面对形心轴之惯矩
y
yR
O D
R2 y2
D
Z
I y Z
2
dA
2
2
y2
R2 y2dy
A
D
2
I
Z
D4
64
I I I I D P
Z
2
y
Z
4
32
五、平行移轴定理
y
yC
x
dA
a
bC y
xC
x
xyabxyCC
I x I xC b2 A
I y I yC a2 A
y
x
dA
y
O
I xy
A
I y x2dA
A
三、极惯性矩
y
x dA
y
x OBiblioteka I 2dAIxI yA
四、惯性积
Ixy xydA
y
A
x
dA
如x 或 y 是对称轴
y
x
Ixy =0
O
例：求矩形截面对形心轴之惯矩
h
y
I y y 2
2
2
dA b dy
Z
A
h
2
dy
hO
Z
I
Z
b h3
12
b
dA b • dy
I
y
hb3
过形心的主轴 ——形心主轴 主形心轴
对此轴的惯矩 ——形心主惯性矩 主形心惯性矩
* 重要结论： y
Z1 Z2
y1
y2
O
1、主轴 对主轴的惯积为0 成对出现
Z
y
2、过任一点都有一
对主轴
x
对主轴的惯矩 为极值
3、对任何截面
IP IxIy
y
x dA
y
x O
I 已知： 、A、a、b z1
z1
z2
I 求： z2
截面的几何性质
一、面积（对轴）矩 —— 静矩
y
x
dA
y
0
1、静矩
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
x
2、静矩与形心
y
x
dA
C
xC
y
y C
O
xi Ai
xC
A
y
yi Ai
C
A
x Sy Ai xi A C
y x
Sx Ai yi A C
二、惯性矩
Ix y2dA
b a3 ab(a / 2)2
12
a
z
326b4
o
SZ SZ ( A1) SZ ( A2)
b
A1
y 1
A2
y 2
ab(a b / 2) ab(a / 2) 57b3
六、形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩
能使惯积=0 的轴 —— 主轴 对主轴的惯矩 —— 主惯性矩 2.形心轴和形心主惯性矩