思维的深度与理解的宽度

思维的深度与理解的宽度

要引导学生集中精力来思考问题。“未来的教育应当充分地彰显人与动物的最大区别，会的不要教，要教的是不会的。人与动物最本质的区别是什么呢？我认为是人有想象能力、抽象能力，而动物没有。”10月20日于杭州举行的首届中国小学数学教育峰会上，义务教育《数学课程标准(实验稿)》修订组组长、东北师范大学校长史宁中从追溯教育的本原开始，进行了他激情澎湃的演讲。“小学那点知识不到半年就学会了，为什么要用6年的时间来学习呢？就是要培养能力。”他进而发问：“教育是干什么用的呢?”“是要培养素质的。什么素质？向上的精神，学习的兴趣，创造的激情，社会的责任感。”他认为，一个优秀的教师最根本的表现，就是他教的孩子愿不愿意读书。“这次修改课标，对一堂好课也进行了界定。好课除了要传授知识，还要培养学生学习的兴趣和良好的学习习惯。”在常人看来，良好的学习习惯无非就是课前预习、上课认真听讲、课后复习。但是史宁中校长认为，良好的学习习惯绝不是这些。

“孩子的学习兴趣很大程度上在于他的好奇心，小孩子提前预习过了，他到学校还听不听讲？好奇心没有了，你怎么去激发他的兴趣？而且孩子的判断能力不是很强，他都不知道他懂没懂，其实没懂，他以为他懂了，又不听老师讲课了，这知识不就夹生了吗？

“我觉得良好的学习习惯第一条就是集中精力。我带了很多博士生，有些人思考就是不深人，后来我发现他们的问题出在不能集中精力。”

史宁中校长说，小学生精力集中的时间，一般只有十几分钟，最多20来分钟，老师就要在这十几二十分钟内把你要讲的东西讲出来。如果老师掌握了知识的本质以后，再精炼语言，肯定能在20分钟内讲完。而反复地唠叨、重复，反而分散了学生的精力。

作为国内研究统计与概率的数学大家，史宁中校长甚至认为，学数学不用笔不用纸，用脑袋想就能想出来，而这正是锻炼一个人集中精力思考问题的办法。教师应该引导学生真正集中精力来思考问题。

数学是思维的科学。培养思维能力也一再被我们的数学教育所强调，然而在这次峰会上，学生不会思考的问题被一再提起，这是为什么呢？史宁中校长深有感触地讲了个故事。

北京大学一位数学系教授在期中考试的时候出了这样一道题：给出一个条件，一个结论，但没有说从该条件推导出结论这一命题是正确的。请学生判断该命题的正误，如正确，给出证明；如错误，举出反例。结果，全班没有一个人做出来。“这说明什么？说明我们的学生没有判断力，还没有真正学会如何思考问题。我们只会做给出条件又给出正确结论的证明题。”

史宁中校长认为，对思维过程的忽视，是当下教学教育的一个普遍现象。“我们的老师讲课，往往是从中间开始讲，其实一开始的思维过程往往很重要，却被扔掉了。老师看学生学得怎么样，也只看答案对不对。

“知识是什么，是思考的结果、经验的结果。仅仅结果的教育是不能教智慧的，智慧往往表现在过程中。有关过程的东西只有通过过程来教。过程的教育能够培养我们的孩子正确的思考方法，最终培养孩子数学的直观。因此我们要强调过程的教育，在过程中判断他的思维是不是对的。”而教师启发学生思考最好的办法，“就是和学生一起思考”。那么，有没有相应的评价体系来推动数学教育走向思考、走向过程呢？同时负责数学教育质量监测标准制定的史宁中校长透露，未来这一具有导向性的评价标准将有两个重大变化：

第一，不要求计算速度，算对即可。“有一种说法在学校很流行：一看就会，一算就对。这是不行的，数学是需要思考的，不是培养技术工。以后考试不要题量太大。”

第二，强调在理解上的掌握。他举例说：“比如三角形内角和180度，你仅仅知道这个不算理解，你也应该知道，一个三角形里不能有两个钝角，一个四边形内角和是360度，这些一步就能得到的结论都应算在理解的范畴。理解没有内容是不行的。”

以此观之，中国未来小学数学教育将转入更加注重内涵的改革深化阶段，其一，注重思考力的培养；其二，注重过程性经验的积累；其三，注重真正意义上的“理解。”

研究学生是当下的一个紧迫课题10年前主持研制了我国义务教育《数学课程标准(实验稿)》的刘坚教授（注：教育部基础教育课程教材发展中心主任助理），一个深切的感受是，我们的数学教育“研究学生”远远不够。

2004年，他就在呼吁要研究学生、读懂学生，此次峰会，他再次重申这一话题。“没有对学生数学学习过程的深切体验，没有发现儿童学习数学的独特性和多样性，就不可能发自内心地尊重学生、热爱学生，让学生成为学习的主人就会永远停留在口头上。”

“我们今天依然需要研究学生，研究他们是如何思考问题的。不要以为只要老师讲清楚了，学生就明白了。”一堂中学数学课，讲一元二次方程的一般表达式ax +bx+c=0，一个学生说：“老师，这怎么能是一元二次方程的一般表达式呢？一个复杂的二次三项式刚刚等于零，太特殊了!我认为一般表达式应写成ax

+bx+c=d。”刘坚教授评论说：“字母表示数，小学就讲的内容，到高中都有学生弄不清楚，这可以说是初等代数中最重要的一人核心概念，中小学生真正理解并能自如地运用是一件十分困难的事情。教学中一定要给机会让学生充分表达、呈现自己的想法与困惑。”另一个例子，让他印象更为深刻。老师讲完有理数运算法则后问：“（-3）×（-4）等于多少？”一个学生说：“等于9。”“好的，请坐。”另一个学生说：“等于1 2。”“说说你是怎么做的。”课后调查第一个学生为什么会得出9，学生说，先从数轴上找到-3这个点，从此出发，向相反方向移动4次，每次3个单位，也就是4个3，于是得到9。“多么好的数学思维，尽管结果是错的。然而，因为结果是错的，学生往往就没有机会表达自己的想法。而另一个学生按规则做，做对了，就可以得到表扬，这会鼓励怎样的学习文化?”虽然早已不是第一次讲这个例子，但每次讲刘坚教授都特别激动。他引述著名数学家、数学教育家波利亚的话说：“教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么则更加千百倍的重要。”

其实奥苏贝尔也说过类似的话：如果一定要把教育心理学归纳为一句话的话，那我只能说要千方百计弄清楚儿童已经知道了什么。当下，我们对学生如何学习数学的研究非常有限，“所以，我们一定要去研究学生是如何学习数学的，研究个体与群体的数学学习活动是如何发生的。从这个意义上讲，教学研究根本上是研究学生。教学的根本改革应以研究学生为基础。”数学经验需要积累，更需要提升“数学活动经验”不是一个新词，却因为进入了新修订的《数学课程标准》而成为一个新的研究领域。经验对于学习的重要性不言而喻。杜威曾说：“一盎司经验胜过一吨理论。”史宁中校长说：“创新能力来自知识积累、经验积累