高等数学期末试题含答案

高等数学检测试题

一 .选择题 （每题4分，共20分）

1.

=⎰

-dx x 1

1

（ ）

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

（B ）

2，极限242

(,)(0,0)2lim

x y x y

x y →=+ A ，0 B ，1 C,0.5 D ，不存在

（D ）

3.积分=-⎰

dx x

11( )

A.c x x +--1ln

B. c x x +--)1ln (2

C.c x x +-+1ln

D. -c x x +-+)1ln (2

（D ）

4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a

()

lim

2f x x a

→'=-，则 （ ） A.x=a 是f(x)的极小值点 B.x=a 是f(x)的极大值点

C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点

D.x=a 不是f(x)的极值点

(A)

5.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=，

则⎰=0

x

(t)dt x F'd （ ）

A. (x)dx xF'-

B. (x)dx xF'

C. (x)dx]xF'[F(x)+-

D. (x)]dx xF'[F(x)+-

（D ）

二．填空：（每题4分，共20分）

1. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=

⎰⎰dxdy y x D （ 21

）

2、2

lim()01

x x ax b x →∞--=+，则a = 1 ，b = -1 ； 3．设由方程

=-xyz e z

确定的隐函数

()=

∂∂=x z

y x f z 则 ,,（ ()1-z x z ） 4，设{}222(,)|D x y x y a =+≤（a ＞0，常数）

，若2

3D

π=，则a= (-1)

5 数列极限

lim

(cos cos cos )→∞

-+++=2

2

221

L n n n

n

n n π

π

ππ .

三．解答题 （每题5分，共20分）

1. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且

]

,[)()()(b a x dt

t f t x x F x

a

∈-=⎰，试求出)(x F ''

解：

2. 求不定积分

=

+⎰

dx x x 1

59

3．求极限4

20

sin 1lim

2x tdt

t x x ⎰

+→（5分）

解：21

sin 21lim 42sin 1lim sin 1lim

224032404

20

2=+=⋅+=+→→→⎰x x x x x x x x tdt t x x x x -------（5分）

4．求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积?

解 设长方体的三棱的长为x ? y ? z ? 则问题就是在条件

2(xy ?yz ?xz )?a 2

下求函数V ?xyz 的最大值?

构成辅助函数

F (x ? y ? z )?xyz ?λ(2xy ?2yz ?2xz ?a 2)?

解方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(a xz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z

y x λλλ?

得

a

z y x 66===? 这是唯一可能的极值点? 因为由问题本身可知最大值一定存在?

所以最大值就在这个可能的值点处取得? 此时

3

366a V =? 四．计算题．（共20分）

1．求由曲线x

x e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋转

所成旋转体体积．（10分）

解：曲线x e y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与x

e y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1

-e ）,所围平面图形如图阴影部分，

取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为

dx

e e S x x )(1

--=⎰-----

2(|)(110-+=+=--e e e e x x ）------------- 所求旋转体体积为

)

)21

1

2dx e

dx e V x

x

-⎰⎰-=ππ--- 2(2|)2121(2

21022-+=+=--e e e e x x ππ）-

2.计算 ⎰

∞

+- 1

10

1

x x dx

（10分）

解：⎰

∞

+- 1

10

1

x x dx

⎰-=1

104t 1dt t

⎰-=1 0 105t

1)d(t

51 五．证明题：（共20分）

1．．试证：⎰⎰π

π=20

20

)(cos )(sin dx x f dx x f （8分） 证明：

令x=

u -2

π则⎰⎰⎰⎰==-=20

20

2

2

)(cos )(cos )(cos )(sin ππ

π

πdx x f du u f du u f dx x f

2．设函数)(x f 在[]π,0上连续，且

)(0

=⎰πx d x f ，

cos )(0

=⎰π

dx x x f .证明：在

()π,0内方程f(x)=0至少存在两个根。（12分）

（提示：设

⎰=

x

dx x f x F 0

)()(）

证：构造辅助函数：

π

≤≤=⎰x dt t f x F x

0,)()(0

。其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。

)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F