数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
计算方法与实习答案1-2
绪论
习题1——10：设 f ( x) = 8 x 5 − 0.4 x 4 + 4 x 3 − 9 x + 1 用秦九韶法求f(3)。 解：
8 − 0.4
24 8 23.6
0
−9
1
x=3
70.8 74.8
224.4 224.4
673.2 664.2
1992.6 1993.6
∴ f(3)=1993.6
第一章 绪论 练习
1．《计算方法》课程主要研究以计算 机为工具的 数值 分析方法 ，并评价 该算法的计算误差。 2．近似值作四则运算后的绝对误差限 公式为 ε ( x1 − x2 ) ≤ ε ( x1 ) + ε ( x2 ) ，近似值 1.0341的相对误差限不大于 1 ×10−2 ， 则它至少有三位有效数字。 4
ln(103 ) ∴k ≥ ln(2) ≥ 9.965
2 2 2
∴需二分10次 需二分 次
方程求根——二分法
习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。
解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根 f(0)=2>0，f(1)=2/e-sin1≈-0.1<0， f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos1<0 2）判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965， 所以需要二分10次，才能满足精度要求。
∴ x≈2.981
方程求根
f (xk )(xk − xk −1) xk +1 = xk − f (xk ) − f (xk −1)
习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要 求精确到4位有效数字，取x0=2, x1=2.2。
《数值计算方法》试题集及答案 (2)
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值分析-课后习题答案
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
6
0.518889
1-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四 位有效数字 ( 7832.798)2.
解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863
精选课件
2
二.习题2 (第50页)
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
2.11
3-4.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组Ax=b,其中
A 1 1
问取何值时这两种迭代法是收敛的? 解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为
B 0 0
G 0 0
2
易得:(B)=||,(G)=2.故当||<1时两种方法都收敛.
3-7.给定方程组
精选课件
16
(1 ) 3 x 1 x 1 2 2 x x 22 3 4
x2 0
1 4 1
x3
0
1 4 1x4 0
1精选课4件x5 200
8
解
4 1 1 4 1
44
111 444
11
(完整版)数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题库及答案解析
y 2y, y(0) 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长 h 的取值范围为（
）。
(1) 0 h 2 , (2) 0 h 2 , (3) 0 h 2 , (4) 0 h 2
三、1、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx2 的经验公式拟合以下数据：
2
是否为插值型求积公式？为什么？其
代数精度是多少？
七、（9 分）设线性代数方程组 AX b 中系数矩阵 A 非奇异， X 为精确解， b 0 ，若向
~
~
量 X 是 AX b 的 一 个 近 似 解 ， 残 向 量 r b A X ， 证 明 估 计 式 ：
~
X X
r cond ( A)
五、（8 分）已知求 a (a 0) 的迭代公式为：
1
a
xk1 2 (xk xk )
x0 0 k 0,1,2
证明：对一切 k 1,2,, xk a ，且序列xk 是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
3 f (x)dx 3 [ f (1) f (2)]
六、（9 分）数值求积公式 0
六、（下列 2 题任选一题，4 分） 1、 1、 数值积分公式形如
1
0 xf (x)dx S(x) Af (0) Bf (1) Cf (0) Df (1)
（1） （1） 试确定参数 A, B,C, D 使公式代数精度尽量高；（2）设
1
f (x) C 4[0,1] ，推导余项公式 R(x) 0 xf (x)dx S(x) ，并估计误差。
i 1
的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次
数为 2n 1。 （
）
数值计算方法思考题和习题
(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期计算机科学与技术专业专升本数值计算方法思考题和习题教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20作业题第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20数值计算方法复习题第1 章绪论1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。
数值计算方法习题.doc
第一章 绪论1．把下列各数按四舍五入规则舍入为有3位小数的近似数，并写出近似数的绝对误差和相对误差，指出近似数有几位有效数字： 93.1822 4.32250 15.9477 17.3675 2．按四舍五入原则，将下列数舍成五位有效数字：816.9567 6.000015 17.32250 1.235651 93.18213 0.015236233．设 **,671.3,6716.3x x x 则==有几位有效数字？ 4．若1/4用0.25来表示,问有多少位有效数字? 5．若 1.1062,0.947a b ==是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?6．设120.9863,0.0062y y ==是经过舍入后作为12,x x 的近似值, 求11y 和21y 的计算值与真值的相对误差限及12y y 和得到真值的相对误差限. 7．设0,x x >的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差.8．正方形的边长约为100cm ,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过12cm . 9．设x 的相对误差为a %,求x n 的相对误差.10．计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何?11．5631.2*=x 是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e __________ 12． 设 0000073.0,1416.3,1415926.3**=-==x x x x 则称_________误差13．设⎰+=1061dx xx I nn ，设计一个计算10I 的算法，并说明你的算法的合理性。
14．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （1,2,n = ）， 计算到100Y27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差． 15．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有4位有效数字27.982≈）．16．当N 充分大时，怎样求121d 1N N x x ++⎰？17．序列{}n y 满足递推关系101n n y y =- （1,2,n = ），若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？18．计算61)f =1.41≈，利用下列算式计算，哪一个得到的结果最好？，3(3-，99- 19．()ln(f x x =，求(30)f 的值，若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式ln(ln(x x =- 计算，求对数时误差有多大？第二章 解线性方程组的直接方法1．用高斯消去法解方程组123234011921261x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2．用LU 分解，将上题系数矩阵分解为L 和U 的乘积，L 是对角线元素为1的下三角矩阵，U 是上三角矩阵。
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
引论试题（11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=≥=证明：（1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +-⎫⎛-+=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()kk k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题(每空1分,共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次.2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =（ )，b =( ),c =( ）．4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Ｌａgrang ｅ插值基函数，则∑==nk k x l)(( ),∑==nk k j kx lx 0)(（ )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
５、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f ． 6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法.10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ( ）时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( ）条件时,这种分解是唯一的。
数值分析课后习题答案
x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位 有效数字?
解 因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效 数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法教材答案
1习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？2解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
《数值计算方法》试题集及答案 (2)
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
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引论试题（11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=≥=证明：（1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +-⎫⎛-+=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()kk k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。
11. 解:......142857.3722≈，.......1415929.3113255≈ 21021722-⨯≤-∴π，具有3位有效数字 61021113255-⨯≤-π，具有7位有效数字9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。
令1x ,2x ,3x 所对应的真实值分别为*1x ,*2x ,*3x ，则① ∣1x -*1x ∣≤21⨯l -110=21⨯210- ∣1x -*1x ∣/∣1x ∣＜21⨯210-/2.72＜0.00184② ∣2x -*2x ∣≤21⨯l -110=21⨯510-∣2x -*2x ∣/∣2x ∣＜21⨯510-/2.71828＜0.00000184③ ∣3x -*3x ∣＜21⨯l -110=21⨯410-∣3x -*3x ∣/∣3x ∣＜21⨯410-/0.0718＜0.00069712.解：⑴ x 211+－x x +-11=)1)(21(22x x x ++⑵ 1-cosx=xx cos 1sin 2+=22sin 2x⑶ 1-xe ≈1+x+!22x +…+!n x n -1=x+!22x +…+!n x n13.解：⑴ x x 1+-xx 1-=xx x1x 1x /2-++⑵dt t x x⎰++1211=)1arctan(+x -x arctan 设)1arctan(+x =a ，x arctan =b,则)tan(b a - =b a b a tan tan 1tan tan ⋅+-=)1(11++x x∴)1arctan(+x -x arctan =)1(11arctan ++x x⑶ )1ln(2--x x =11ln2-+x x =)1ln(1ln 2-+-x x =-)1ln(2-+x x习题一（54页） 5.证明：利用余项表达式（11）（19页），当)(x f 为次数≤n 的多项式时，由于)(1x f n +=0，于是有)(x R n =)(x f －)(x P n =0,即)(x P n =)(x f ，表明其n 次插值多项式)(x P n 就是它自身。
9.证明：由第5题知，对于次数≤n 的多项式，其n 次插值多项式就是其自身。
于是对于)(x f =1，有)(2x P =)(x f即，)(0x l )(0x f +)(1x l )(1x f +)(2x l )(2x f =)(x f 则，)(0x l +)(1x l +)(2x l =1 11.分析：由于拉格朗日插值的误差估计式为)(x f －)(x P n =)!1)()1(++n f n （ξ∏=-nk kx x 0)(误差主要来源于两部分)!1)()1(++n f n （ξ和∏=-nk k x x 0)(。
对于同一函数讨论其误差，主要与∏=-nk kx x 0)(有关。
在（1）中计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1，2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，0x 与0.472更靠近，所以此题应选0x ,1x ,2x 为节点来构造插值多项式。
1202201010210121022120()()()()(1)()()()()()()()0.4955529()()x x x x x x x x p x y y x x x x x x x x x x x x y x x x x ----=+------+=--15.证明：由拉格朗日插值余项公式有︱)(x f －)(x p ︱≤∏=-102)(!2)(k kx x f ξ≤21︱))((10x x x x --︱10max x x x ≤≤︱)(2x f ︱ 由于201)(x x -=201)(x x x x -+-=))((201x x x x --+21)(x x -+20)(x x -≥))((401x x x x --∴︱)(x f －)(x p ︱≤8)(201x x -10max x x x ≤≤︱)(2x f ︱ 20.证明：当n=1时，),(10x x F =0101)()(x x x F x F --=C ·0101)()(x x x f x f --=C ),(10x x f假设当n=k 时，结论成立，则有 ),...,(0k x x F = C ),...,,(10k x x x f ； ),...,(11+k x x F = C ),...,,(121+k x x x f ； 那么，当n=k+1时， ),...,,(110+k x x x F =1011),...,(),...,(x x x x F x x F k k k --++=C1011),...,(),...,(x x x x f x x f k k k --++= C ),...,,(110+k x x x f证明完毕。
（类似的方式可证明第一个结论）21.解：由定理4（26页）可知：),...,,(10n x x x f =!)()(n f n ξ,其中ni i x x ≤≤∈ξξ0]max ,[min当n>k 时，)()(x f n =())(n kx =0； 当n=k 时，)()(x f n =())(k kx =!k ；∴),...,,(10n x x x f =⎩⎨⎧=>时当时当k n k n ,1,013.解：由题意知，给定插值点为0x =0.32,0y =0.314567;1x =0.34,1y =0.333487;2x =0.36,2y =0.352274 由线性插值公式知线性插值函数为 )(1x P =0101y x x x x --+1010y x x x x --=314567.002.034.0⋅--x +333487.002.032.0⋅-x 当x=0.3367时，3367.0sin ≈)3367.0(1P ≈0.0519036+0.2784616≈0.330365 其截断误差为 ︱)(1x R ︱≤22M ︱))((10x x x x --︱，其中2M =10max x x x ≤≤︱)(2x f ︱)(x f =)sin(x ，∴)(2x f =-)sin(x ，∴2M =︱34.0sin ︱≈0.333487 于是︱)3367.0(1R ︱≤21×0.333487×0.0167×0.0033≤0.92×510- 若用二次插值，则得 )(2x P =0201021))(())((y x x x x x x x x ----+1210120))(())((y x x x x x x x x ----+2120210))(())((y x x x x x x x x ----3367.0sin ≈)3367.0(2P ≈0.330374 其截断误差为︱)(2x R ︱≤63M ︱)))((210x x x x x x ---（︱ 其中3M =20max x x x ≤≤︱)(x f '''︱=20max x x x ≤≤︱x cos ︱=32.0cos <0.950于是︱)3367.0(2R ︱≤61×︱0.950×0.0167×0.0033×0.0233︱<0.204×610-17解：差商表为——————————————————————————————— i x )(x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 五阶差商 ———————————————————————————————1 -32 03 3 15 15 64 48 33 9 15 105 57 12 1 06 192 87 15 1 0 0由差商形式的牛顿插值公式，有)(x P =)(0x f ＋))(,(010x x x x f -＋))()(,,(10210x x x x x x x f --＋))()()(,,,(2103210x x x x x x x x x x f ---=-3＋3)1(-x ＋6)2)(1(--x x ＋)3)(2)(1(---x x x23题：解：由于0)1()1()0(1===P P P ，则 设2)1()(-=x Cx x P由1)12(2C ,1)2(2=-⋅⋅=得P ，则 21=C所以2)1(21)(-=x x x P 24.解：由于3)3(,2)2(,1)1(,0)0(====P P P P 可设 )3)(2)(1()(---+=x x x Cx x x P由0)2(1=P 得0)32)(12(21)(1=--⋅⋅+=C P α，有：21=C 所以 )3)(2)(1(21)(---+=x x x x x x P26．解：由泰勒公式有303200"00'0)(!3)()(!2)())(()()(x x f x x x f x x x f x f x f -+-+-+=ξ设 30200"00'0)()(!2)())(()()(x x C x x x f x x x f x f x P -+-+-+=其满足 )()(00x f x P j j =， 其中 2,1,0=j由)()(11x f x P =，得 )()()()()(),(010"200'20110x x x f x x x f x x x x f C -----= 代入(*)式既可得 )(x P .33.解： 由于[]2,0)(2C x S ∈，故在1=x 处有)1(),1(),1("'S S S 连续，即：⎩⎨⎧-=+=+121c b c b 解得：⎩⎨⎧=-=32c b 34、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。