最优化方法补充内容最优化问题简介PPT课件
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最优化方法课程PPT
x
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
17
二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
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二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
《最优化方法》课件
7பைடு நூலகம்
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化及最优化方法讲稿
THANKS
谢谢您的观看
对于目标函数或约束条件中存在非线性函 数的问题，可以选择非线性规划求解。
动态规划
启发式算法
对于具有时间序列或过程优化的问题，可 以选择动态规划求解。
对于难以建立数学模型或难以使用传统优 化算法求解的问题，可以选择启发式算法 如遗传算法、模拟退火算法等。
编写求解程序
选择合适的编程语言
根据问题的复杂度和求解方法的特点，选择合适的编程语言如 Python、C等。
03
最优化问题的求解步骤
建立数学模型
确定问题的目标函数
确定决策变量
根据问题的实际背景，明确需要优化 的目标，并将其表示为数学函数。
将问题中需要决策的参数表示为数学 变量。
确定约束条件
分析问题中存在的限制条件，并将其 表示为数学不等式或等式。
选择合适的求解方法
线性规划
非线性规划
对于目标函数和约束条件均为线性函数的 问题，可以选择线性规划求解。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，通过模拟固体退火过程，寻找最优解。模拟退火 算法适用于处理大规模、离散、非线性等复杂问题。
模拟退火算法的基本思想是在搜索过程中引入随机因素，使算法能够在局部最优解周围跳出，从而找 到全局最优解。模拟退火算法的优点在于能够处理多峰问题，且具有较强的鲁棒性和全局搜索能力。
机器学习中的优化问题是最优化问题在人工智能领域的应用，主要涉及如何选择合适的 算法和参数，以最小化预测误差或最大化分类准确率。
详细描述
机器学习中的优化问题需要考虑数据集、模型复杂度、过拟合与欠拟合等因素，通过优 化算法选择合适的算法和参数，以实现预测误差最小化、分类准确率最大化等目标。
数学建模～最优化模型(课件ppt)
总利润 (88700) （元） 运输问题 供应点
物资
需求点
供需平衡或不平衡
某货机有三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的获取 的最大重量和体积都要限制，如表1所示，并且，为了保持飞机的 平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比 例。 表1三个货舱装载货物的最大容许量和体积
10 丙(10;20)
引水管理费 (24400 )(元) 利润=总收入-其他费用 - 引 水 管 理 费 =(47600) （元）
X24
X31 X32 X33
10.0
40.0 0.00 10.0
0.00
0.00 10.0 0.00
问题讨论
每个水库最大供水量都提高一倍
总供水量(320) > 总需求量(300) 确定送水方案使利润最大 利润 = 收入(900) –其他费用(450) –引水管理费
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大. 2 ）试探：如取 x1=65 ， x2=167 ； x1=64 ， x2=168 等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解. • 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？ 3）模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解.
线性规划 模型(LP)
x1 , x2 , x3 0
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
Objective Value: 632.2581 Variable Value Reduced Cost X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 Row Slack or Surplus Dual Price 2 0.000000 0.731183 3 0.000000 0.003226
最优化方法复习大纲PPT课件
2 0 2 0 0 12
问：（1）确定当前单纯型表中的基变量，基本可行解，
目标函数值。
（2）判断其是否为最优单纯型表，是则给出理由；不是， 则继续求解该问题的最优解。
10
解：
（1）基变量为 x2 , x4 , x5 ，基本可行解为 x1 (0,4,0,2,6)T 。 目标函数值为12。
（2）因为变量 x1 的检验数 1 2 0 ，所以不是最优单纯
题的最优解计算. 6. 模式搜索法：计算。
7. 最优性条件： 积极约束判断，K-T条件， K-T点 判别。
8. 惩罚函数法： 外点法惩罚函数的构造，内点法 障碍函数的构造，外点法、内点法计算。
2
9. 线性规划： 建立线性规划模型，化标准型，基 本可行解的计算，单纯型表上的单纯型算法.
3
例1. 试用梯度法解下述问题 min f ( x) x12 4 x22
min z 2 x1 x2 3 x3
x1 x2 2 x3 4
s.t .
2 x1 x3 2 2x2 x3 5
x1 , x2 0, x3无约束
解： 令 x3 x4 x5 .
max z 2 x1 x2 3 x4 3 x5
x1 x2 2 x4 2 x5 x6 4
已知初始点 x1 (1,1)T ,求迭代点x2。
解： f ( x) [ 2x1 ,8x2 ]T d1 f ( x1) [ 2, 8]T
x x1 d1 [1 2,1 8]T
记 ( ) f ( x1 d1) (1 2 )2 4(1 8 )2
令 '( ) 4(1 2 ) 64(1 8 ) 0
最优化方法复习提纲
一、概念
最优化问题，凸集，凸函数，局部极小点， 全局极小点，下降方向，最优步长，共轭方 向，可行方向，积极约束，线性规划问题， 基本解。
最优化及最优化方法讲稿
最优化及最优化方法讲稿ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•最优化问题概述•线性规划问题及其求解方法•非线性规划问题及其求解方法•动态规划问题及其求解方法•最优化算法的收敛性分析•最优化算法的鲁棒性分析•最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题01最优化问题概述最优化问题是一个寻找某个或多个函数的特定输入，以使该函数的输出达到最小或最大的问题。
定义根据不同的分类标准，可以将最优化问题分为线性规划、非线性规划、多目标规划、约束规划等。
分类最优化问题的定义与分类描述所追求的最小或最大值的函数。
目标函数约束条件数学模型限制搜索范围的约束条件。
目标函数和约束条件的数学表达。
03最优化问题的数学模型0201最优化问题的求解方法牛顿法利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）进行搜索。
梯度下降法迭代搜索，逐步逼近最优解。
混合整数规划将整数变量引入优化模型中，求解整数规划问题。
模拟退火算法以概率接受劣质解，避免陷入局部最优解。
进化算法模拟生物进化过程的启发式搜索算法。
02线性规划问题及其求解方法线性规划问题定义：在一组线性约束条件下，求解一组线性函数的最大值或最小值的问题。
数学模型：将实际问题转化为线性规划模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
线性规划问题的求解方法 - 单纯形法基本概念：介绍单纯形法的相关概念，如基、可行解、最优解等。
单纯形法步骤：阐述单纯形法的基本步骤和算法流程，包括初始基可行解的求解、最优解的迭代搜索和最终最优解的确定。
单纯形法改进：介绍一些改进的单纯形法，如简化单纯形法、对偶单纯形法等。
线性规划问题的定义与数学模型通过一个具体的生产计划问题，说明如何建立线性规划模型并进行求解。
生产计划问题通过一个配货问题，说明如何运用线性规划模型解决实际问题。
配货问题通过一个投资组合优化问题，说明如何运用线性规划进行风险和收益的平衡。
投资组合优化问题线性规划问题的应用举例03非线性规划问题及其求解方法非线性规划问题定义：非线性规划问题是一类求最优解的问题，其中目标函数和约束条件均为非线性函数。
最优化方法全部ppt课件
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数 定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来 的。
最优化方法解决问题一般步骤： （1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据； （2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变 量，列出目标函数和有关约束条件； （3）分析模型，选择合适的最优化方法； （4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上 求得最优解； （5）最优解的验证和实施。 随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方 法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领 域。
最优化及最优化方法讲稿
06
5. 控制工程：用来设计控制器，实现对系统 的稳定控制。
06
模拟退火算法
模拟退火算法的基本原理
物理退火过程：将固体加热至熔点，再将其缓慢冷却，使其最终达到最低能量状 态的过程。
模拟退火算法思想：将物理退火过程引入到最优化问题中，通过类似的过程寻找 到问题的全局最优解。
模拟退火算法的基本思想是通过不断迭代，逐步降低算法对于解的“偏好”，从 而使得算法能够在更大的解空间中进行搜索。
动态规划的应用案例
最短路径问题
在图论中，给定一个起点和终点 ，以及一组边和每条边的长度， 如何找到从起点到终点路径最短 的路径？这是一个典型的动态规 划问题，可以使用Dijkstra算法 求解。
背包问题
给定一组物品，每个物品都有自 己的重量和价值，如何选择物品 放入一个容量有限制的背包中， 使得背包中的总价值最大？这是 一个典型的动态规划问题，可以 使用动态规划算法求解。
动态规划问题的求解方法
递推法
通过将问题分解为子问题，利 用状态转移方程，从初始状态 开始逐步求解每一个子问题，
最终得到原问题的最优解。
迭代法
通过不断迭代更新当前的最优解 ，逐步逼近全局最优解。常见的 迭代法包括梯度下降法、牛顿法 和拟牛顿法等。
分治法
将原问题划分为多个相互独立的子 问题，分别求解每个子问题，然后 将子问题的解组合起来得到原问题 的最优解。
因构成。
遗传算法的基本原理是保持种 群的多样性，同时不断地进行 选择、交叉和变异操作，以逐
步接近问题的最优解。
遗传算法的实现方法
• 遗传算法的实现包括以下步骤 • 初始化种群：随机生成一定数量的个体作为初始种群。 • 适应度函数：根据问题的要求，设计一个适应度函数来评估每个个体的优劣程度。 • 选择操作：根据适应度函数的结果，选择优秀的个体进入下一代种群。 • 交叉操作：对被选择的个体进行交叉操作，生成新的个体。 • 变异操作：对新生成的个体进行变异操作，增加种群的多样性。 • 迭代更新：重复上述步骤，直到满足终止条件，输出最优解。
农大最优化方法课件 (1).ppt
变量x (x1, , xn )T 的线性函数，则称为线性规划
问题.
一般m形in式c1：x1 c2 x2 s.t. a11x1 a12 x2
c n
xn a1n
xn
b1,
am1x1 am2 x2 amn xn bm ,
am1,1x1 am1,2 x2 am1,n xn bm1,
成立，则称 x* 是问题（1）的局部最优解，若不 等式对于x N(x*) F, x x* 严格成立，则称x*
为严格局部极小点.
全局(总体)最优解：设 x* F ，如果有
f (x*) f (x), x F
成立，则称 x* 是问题（1）的全局最优解，若不等 式对于所有不同于 x* 的可行点严格成立，则称x*为
a p1x1 a p2 x2 a pn xn bp .
二次规划问题
目标函数是变量 x 的二次函数，约束函数都是变量 x
的线性函数，称为二次规划问题. 一般形式：
min q(x) s.t. A1x b
1 2
(1)
xT ,
Gx
cT
x
d
A2 x b(2) .
其中 G 为 nn 阶对称矩阵.
严格全局最优解.
全局最优解与局部最优解
例
ac
d
eb
注1：并非所有连续可微函数都有极小解.
注2：即使问题有最优解，最优解也未必唯一，也未 必是全局最优解.
小结
最优化问题一般形式的数学模型 几类主要最优化问题的标准形式：
线性规划、二次规划、无约束最优化、等式约束 最优化、不等式约束最优化 基本定义： 可行点、可行域；有效约束、无效约束；全局最 优解、局部最优解
为连续函数，通常还要求连续可微.
问题.
一般m形in式c1：x1 c2 x2 s.t. a11x1 a12 x2
c n
xn a1n
xn
b1,
am1x1 am2 x2 amn xn bm ,
am1,1x1 am1,2 x2 am1,n xn bm1,
成立，则称 x* 是问题（1）的局部最优解，若不 等式对于x N(x*) F, x x* 严格成立，则称x*
为严格局部极小点.
全局(总体)最优解：设 x* F ，如果有
f (x*) f (x), x F
成立，则称 x* 是问题（1）的全局最优解，若不等 式对于所有不同于 x* 的可行点严格成立，则称x*为
a p1x1 a p2 x2 a pn xn bp .
二次规划问题
目标函数是变量 x 的二次函数，约束函数都是变量 x
的线性函数，称为二次规划问题. 一般形式：
min q(x) s.t. A1x b
1 2
(1)
xT ,
Gx
cT
x
d
A2 x b(2) .
其中 G 为 nn 阶对称矩阵.
严格全局最优解.
全局最优解与局部最优解
例
ac
d
eb
注1：并非所有连续可微函数都有极小解.
注2：即使问题有最优解，最优解也未必唯一，也未 必是全局最优解.
小结
最优化问题一般形式的数学模型 几类主要最优化问题的标准形式：
线性规划、二次规划、无约束最优化、等式约束 最优化、不等式约束最优化 基本定义： 可行点、可行域；有效约束、无效约束；全局最 优解、局部最优解
为连续函数，通常还要求连续可微.
最优化理论与算法ppt
x 为的严格局部极小值点（极大值）
Page 17
凸集、凸函数与凸优化问题
凸组合：已知 D ，Rn任取k个点，如果存在常 数
k
使得ai
0
(i 1则, 2称,, k为) ai i 1
1
如果函数在点P(x, y) 是可微分的，那末函数在该点沿任意 方向L的方向导数都存在，且有
f f cos f sin
l x
y
其中为x轴到方向L的转角
Page 11
函数的方向导数与极值问题
梯度
函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值。
(2) 若 f (x0)T P 0，则P的方向是函数在点x0 处的上升方向。
方向导数的正负决定了函数值 的升降，而升降的快慢就由它的 绝对值大小决定．绝对值越大， 升降的速度就越快
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结论：
(1)梯度方向是函数值的最速上升方向； (2)函数在与其梯度正交的方向上变化率为零； (3)函数在与其梯度成锐角的方向上是上升的，而在与其梯度
以 f (x) 的n个偏导数为分量的向量称为在处的梯度，
记为
f
(
x)
f (x) x1
,
f (x) ,
x2
,
f (x)T
xn
梯度也可以称为函数关于向量的一阶导数。
Page 12
Hesse矩阵
2 f (x)
x12
2 f (x)
2
f
( x)
H (x)
x2x1
2 f (x)
2c 0
xnx1
目标函数的等值面（线） 对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的
《最优化理论》课件
递归法
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
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线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
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48-2x
x
x
48-2x
8
48
最优化问题举例(2)
如图,靠墙建一个矩形的操场,现只有围60米 的建筑材料. 问长和宽怎样选取,可以使操场的面积最大?
x
9
最优化问题举例(3)
上学期算分设计与分析问题的例子
• 货船装箱问题 • 0/1背包问题 • 一般背包问题等
• 2010 MCM/ICM ABC Problem
最优化方法补充内容1
最优化问题简介
1
知识点
• 优化问题引入 • 优化问题的定义 • 解的性质 • 相关数学知识
2
极值问题
• 回顾 极值问题： • 1、 f(x0)是函数f(x)的一个极大值这一概念是怎
样叙述的？ • 2、 f(x0)是函数f(x)的一个极小值这一概念是怎
样叙述的？ • 3、求函数的极值的步骤是哪几步？
3
y f (b)
f (x0)
y=f (x)
0
a
x0
b
x
4
最值问题
函数的最大值与最小值 定义: 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，如果
存 在 点 x0∈[a,b] ， 使 得 对 于 所 有 x∈[a,b] ， 都 有 f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），则称 f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）。
而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区
间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大
值和最小值来。最大值和最小值统称最值。
7
最优化问题举例(1)
例题1：有一边长为48厘米的正方形铁皮， 从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各 边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正 方形，才能使所做的铁盒容积最大？
• 棒球棒的材质是否重要？也就是说，该模式能够预测不同材质的棒球棒（如水曲柳或 者铝制）对击打效果的影响？这是否成为美国职棒大联盟禁止金属棒球棒的理由？
• B题 • 1981年，彼得莎克利夫因谋杀13人以及恶意攻击多人而遭到指控。其中一个用于缩小
萨克利夫搜索范围的方法就是找到袭击地点的“质心”。果真嫌疑犯呆在通过这种技 术所预测的同一个镇上。从那以后，人们基于犯罪发生地开发出了许多更加高端的技 术来确定系列犯罪嫌疑人所在地的“地理概况”。 当地警方要求提供一种能够帮助他们侦查系列犯罪嫌疑人的方法。 • 你的方法应该运用至少两种不同的方案来确定嫌疑人所在地的“地理概况”。 • 你应该提供一种能够将不同方案的结果结合起来并能给执法者提供有效预测的技术。 • 你的预测应基于过去犯罪行为的时间和地点对下一次犯罪的可能地点做出某种估计或 指导。 • 如果在你的估计当中使用其它证据，必须提供有关如何导入这些额外信息的详细细节。 • 你的方法还应该提供对既定情境下估测可靠性的某种预测，包括适当的警告。 • 报告应该提供一页篇幅的摘要，还应有另外两页的执行概要。 • 该执行概要应对潜在的问题提供综述。 • 该概要还应该提供方法概述，并分别描述该方法可以以及不可以作为恰当侦查工具时 的情况。该执行概要将提交给警察局长阅览，因此应该包括适合预期受众需要的技术 细节。
最大值和最小值统称最值。
5
求函数最值的一般方法
•
先求出f(x)在[a,b]内的所有驻点（或
不可导但连续的点），
•
将这些点的函数值与区间端点的函数
值f(a),f(b)进行比较，
•
其中最大（小）的就是函数在区间
[a,b]上的最大（小）值
6
y
f (b) y=f (x)
f (x0)
0
a
x0
b
x
可以看出,函数在区间[a ,b]上的最大值和最小值要么是区间 端点的函数值，要么是极值。
11
• C题 • 今年来，对于太平洋巨大垃圾漂浮带有着广泛的报道。参见如下网站： • 根据近年来科学家对太平洋垃圾回旋区（也就是海洋上垃圾的不断积累的汇集区）的研究，出现
了与此垃圾带相关的多种的技术的和科学的问题。然而向海洋中倾倒垃圾不是一个新问题，但是 科学家最近才发现，在太平洋上的大部分垃圾（尤其是塑料）分布越来越广，密度越来越高，而 且垃圾对海洋生态和人类和人类的福祉造成了潜在的威胁。业内人士经常把这种积累描述为塑料 汤(plastic soup)或者confetti. 参见： • 今年的icm问题时一个跨学科的建模，用来研究当前海洋垃圾积累所带来的复杂的问题，目的是 帮助研究者以及最终的政府政策的制定者来理解问题的严重性、范围和潜在的全球性影响。
10
• 问题A：“最佳力度点(sweet spot)” • 解释棒球棒上的“最佳力度点(sweet spot)” • 每一名棒球手都知道在棒球棒击球端存在一个击球点，该点在击球的时候能传递最大
的力量。为什么该点不位于末端呢？力偶（扭矩）分析似乎更认同末端为“最佳力度 点”。但是根据实际经验却并非如此。建立一个数学模式来解释这一实际现象。 • 一些棒球手认为通过对棒球棒的“木塞法”(corking)处理（即在棒球棒的前端挖出一个 圆筒，并且用木塞或者橡胶填充此圆筒，最后用木制盖子扣上）能够提升“最佳力度 点”的击球效果。对你已经建立的数模进行拓展来验证或驳斥提升效果这一说法。这 是否能够作为美国职棒大联盟禁止“木塞法”的理由？
• 作为数学模型的设计者，你的任务是关注垃圾问题的一个方面，建立模型并分析他的行为，并且 决定他对海洋生态、政府政策以及实施的潜在影响，以帮助政府政策的制定者来改善它的负面影 响。务必要考虑未来科学研究的需要以及这个问题的经济因素，然后写一篇报告，对你的发现和 问题的建议、需要的政策以及实施方法进行总结。建模中可能需要调查的问题包括：
定 义 ： 设 函 数 f (x) 在 点 X0 的 某 邻 域 U (x0 ) 上 有 定 义 ， 若 对 x U (x0 ) 有 f (x) f (x0 ) ，（ f (x) f (xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) ）
定义：设函数 f (x) 在点 X0 处的得极大值（极小值）点 X0 称为极大点（极小点）， 极大值，极小值统称为极值，极大点，极小点统称为极点。
• 对于海洋环境中塑料物的潜在的长期和短期的影响是什么？怎样来监控他对海洋生态环境的影响？ 务必要考虑到时间和空间的变量。相关的资源要求是什么？
• 如何才能最好的理解和描述垃圾回旋区中的塑料的广度(extent)、密度和分布？需要什么样的监控 计划来追踪塑料的增长/腐烂/运动,需要什么样的资源(resourcing)来执行这个计划？