(完整版)二次根式的化简(1)
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48 163 42 3 4 3
3 4a2 b2 4a2 b2 2a b ～～～～～ 性质错用
课堂小结
二次根式的化简
1、积的算术平方根的性质
ab a • ba 0,b 0
是化简二次根式的依据之一。 2、被开方式一定要先分解成平方因子和其它因子 相乘的形式。 3、被开方式是多项式时一定要先因式分解，化 为积的形式后才能化简。
• 2、把根号下的 平方因子 挑出来； • 3、直接把根号下的每一个 平方因子 去掉平
方号以后移到根号外 （注意：移到根号外的必须是非负数）
强化练习
1、P133 练习: 1. 2. 3.
2、下列二次根式的化简正确吗？
1 32 52 32 52 3 5 15
正确解法： 32 52 32 52 35 15 2 48 412 2 122 43 4 3
被开方数能写成平方因子和其它因 子相乘形式的二次根式
化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个 平方因子去掉平方后移到根号外。
（注意：移到根号外的数必须是非负数）
例2：化简下列二次根式
1 9a3ba 0,b 0
解：1 9a3b
32 • a2 • a • b
3a ab
2 4b2 12ab2
4b2 1 3a
4.1.2 二次根式的化简
1、 二次根式的定义：
形如 a（a 0）的式子叫作二次根式
2、 二次根式的基本性质：
1. a 2 aa 0
2.wenku.baidu.com
a2
a(a 0)
aa 0
当 a 0 时， a 2
a2
1、化简1 a2 a 0
2 a 32 a 3
3 3π2
4- 3
2
2
答案：1a
（1）观察两个等式的左右两边，你发现了什么规律？ 请用字母列示表示出一般情况。
a • b a • b a 0,b 0
a • b a • b a 0,b 0
（2）你能对上式进行推理证明吗？
证明：∵
2
2
2
a • b a • b a•b
2 a•b a•b
a • b a•b
1 72
2 8a2b3
解：1 72 98 32 22 2 3 2 2 6 2
或 72 36 2 62 2 6 2
2 8a2b3 2• 22 • a2 •b2 •b 2ab 2b
在化简时，一定要把被开方式中所有平方 因子全部移到根号外，否则未完成化简。
归纳化简二次根式的步骤：
• 1、当被开方数（式）不是积的形式， 要 因数（式）分解 ；
2b 1 3a
2 4b2 12ab2 a 0,b 0
一般步骤：
①先把被开方式分解成平方 因子和其它因子相乘的形式。
②再根据积的算术平方根的 性质和 a2 a(a 0) 把平方因 子移到根号外。
当被开方式是多项式时，先 因式分解化为积的形式。
尝试练习
设 a 0 ，b 0，化简下列二次根式。
4、化简时，被开方式的所有平方因子一定要 全部移到根号外。
• 化简二次根式的结果必须满足： 1、根号内不能含有能开方的因数或因式 2、根号内被开方数不含分母 3、分母上不带根号
满足上述条件的二次根式，叫做最简二次根式
挑战自我
将下列
OA2 2 OA 2 AC 2OA 2 2
由此可见: 8 2 2
42 = 4 2
你能用前面学过的性质说明 8 2 2吗？ ( 8)2 8 8是8的算术平方根
2 2 2 22
2
2 42 82
2是8的算术平方根
所以 8 2 2
1、做一做 4 9
25 4
2、自主探究
a a a 0,b 0
bb
例1 化简二次根式 1 20
2 32
解：1 20 45 22 5 22 5 2 5
2 32 16 2 42 2 42 2 4 2
我们把式子中 22、42叫做平方因子
思考
1、15 还能化简吗？为什么？
15 53 5 3
2、被开方数有什么特点的二次根式 才能化简呢？
由于∠B＝90°，因此AC2 ＝AB2+BC2＝22＋22＝8，
从而 AC 8
D
C
2
A
2
B
如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC
的长是多少？
连结BD，交AC与点O。 ∵四边形ABCD正方形，且边长为2
OA OB OC OD AC BC
OA2 OB2 AB2 即2 • OA2 4
a • b a • b a 0,b 0
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积
积的算术平 方根的性质
下列选项中正确的是 （3）（4） 。
1 - 2- 3 - 2 - 3 2 4 9 4 9
3 16 25 4 16 25 4 4 8 8
99
推广： a • b • c a • b • c a 0,b 0,c 0
23 a
3π- 3
418
2、 当x取什么值时，二次根式
a 2 在实数范围 a-3
内有意义？
解：由a 2 0且a - 3 0得，a -2且a 3
3、若 4 - x2 x - 4，则x的取值范围是 x 4。
还有其他计 算方法吗？
如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC的长是多少？
3 4a2 b2 4a2 b2 2a b ～～～～～ 性质错用
课堂小结
二次根式的化简
1、积的算术平方根的性质
ab a • ba 0,b 0
是化简二次根式的依据之一。 2、被开方式一定要先分解成平方因子和其它因子 相乘的形式。 3、被开方式是多项式时一定要先因式分解，化 为积的形式后才能化简。
• 2、把根号下的 平方因子 挑出来； • 3、直接把根号下的每一个 平方因子 去掉平
方号以后移到根号外 （注意：移到根号外的必须是非负数）
强化练习
1、P133 练习: 1. 2. 3.
2、下列二次根式的化简正确吗？
1 32 52 32 52 3 5 15
正确解法： 32 52 32 52 35 15 2 48 412 2 122 43 4 3
被开方数能写成平方因子和其它因 子相乘形式的二次根式
化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个 平方因子去掉平方后移到根号外。
（注意：移到根号外的数必须是非负数）
例2：化简下列二次根式
1 9a3ba 0,b 0
解：1 9a3b
32 • a2 • a • b
3a ab
2 4b2 12ab2
4b2 1 3a
4.1.2 二次根式的化简
1、 二次根式的定义：
形如 a（a 0）的式子叫作二次根式
2、 二次根式的基本性质：
1. a 2 aa 0
2.wenku.baidu.com
a2
a(a 0)
aa 0
当 a 0 时， a 2
a2
1、化简1 a2 a 0
2 a 32 a 3
3 3π2
4- 3
2
2
答案：1a
（1）观察两个等式的左右两边，你发现了什么规律？ 请用字母列示表示出一般情况。
a • b a • b a 0,b 0
a • b a • b a 0,b 0
（2）你能对上式进行推理证明吗？
证明：∵
2
2
2
a • b a • b a•b
2 a•b a•b
a • b a•b
1 72
2 8a2b3
解：1 72 98 32 22 2 3 2 2 6 2
或 72 36 2 62 2 6 2
2 8a2b3 2• 22 • a2 •b2 •b 2ab 2b
在化简时，一定要把被开方式中所有平方 因子全部移到根号外，否则未完成化简。
归纳化简二次根式的步骤：
• 1、当被开方数（式）不是积的形式， 要 因数（式）分解 ；
2b 1 3a
2 4b2 12ab2 a 0,b 0
一般步骤：
①先把被开方式分解成平方 因子和其它因子相乘的形式。
②再根据积的算术平方根的 性质和 a2 a(a 0) 把平方因 子移到根号外。
当被开方式是多项式时，先 因式分解化为积的形式。
尝试练习
设 a 0 ，b 0，化简下列二次根式。
4、化简时，被开方式的所有平方因子一定要 全部移到根号外。
• 化简二次根式的结果必须满足： 1、根号内不能含有能开方的因数或因式 2、根号内被开方数不含分母 3、分母上不带根号
满足上述条件的二次根式，叫做最简二次根式
挑战自我
将下列
OA2 2 OA 2 AC 2OA 2 2
由此可见: 8 2 2
42 = 4 2
你能用前面学过的性质说明 8 2 2吗？ ( 8)2 8 8是8的算术平方根
2 2 2 22
2
2 42 82
2是8的算术平方根
所以 8 2 2
1、做一做 4 9
25 4
2、自主探究
a a a 0,b 0
bb
例1 化简二次根式 1 20
2 32
解：1 20 45 22 5 22 5 2 5
2 32 16 2 42 2 42 2 4 2
我们把式子中 22、42叫做平方因子
思考
1、15 还能化简吗？为什么？
15 53 5 3
2、被开方数有什么特点的二次根式 才能化简呢？
由于∠B＝90°，因此AC2 ＝AB2+BC2＝22＋22＝8，
从而 AC 8
D
C
2
A
2
B
如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC
的长是多少？
连结BD，交AC与点O。 ∵四边形ABCD正方形，且边长为2
OA OB OC OD AC BC
OA2 OB2 AB2 即2 • OA2 4
a • b a • b a 0,b 0
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积
积的算术平 方根的性质
下列选项中正确的是 （3）（4） 。
1 - 2- 3 - 2 - 3 2 4 9 4 9
3 16 25 4 16 25 4 4 8 8
99
推广： a • b • c a • b • c a 0,b 0,c 0
23 a
3π- 3
418
2、 当x取什么值时，二次根式
a 2 在实数范围 a-3
内有意义？
解：由a 2 0且a - 3 0得，a -2且a 3
3、若 4 - x2 x - 4，则x的取值范围是 x 4。
还有其他计 算方法吗？
如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC的长是多少？