博弈论教材2013-2

第三章 纳什均衡及其应用3.1 混合策略纳什均衡1 鹰鸽博弈我们知道老鹰具有攻击性，而鸽子爱好和平。

在原始社会里有两个部落，可以做出两个行动：一是进攻一是和平，分别用鹰和鸽表示。

表1 鹰鸽博弈乙甲鹰 鸽该博弈的那是均衡为（鹰，鸽），（鸽，鹰）。

一些学者研究发现，在同一个地域内，“鹰”和“鸽”的比例为0.36：0.64。

事实上，设鹰鸽比为:1z z -，可以得出如下结果：()2514(1)1439E e z z z =-+-=-； ()95(1)514E d z z z =-+-=-90.3625z == 聪明的做法是：当鹰鸽比小雨0.36时，选择鹰策略；否则选择鸽策略。

使用混合策略方法分析：第一步：混合策略型表示：乙 鹰 鸽甲鹰 p 鸽 1-p第二步：计算期望效用：(925)514(259)514E p q q E q p p=-+-=++-甲乙第三步：作出最优反应函数91 259[0,1] 2590 25q p q q ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩若若若， 90 259[0,1] 259 1 25p q p p ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩如果如果如果第四步：作出反应函数的图像第五步：根据交点，找出纳什均衡：其中（99,2525）是混合策略纳什均衡。

2 斗鸡博弈我的老家地处安徽最北部，苏鲁豫皖四省交界之处，东北处有条小河。

河边的棉花地里，经常有鹌鹑栖息在其间。

秋末冬初的农闲时节，小鹌鹑刚好长成。

村民结网捕鹌鹑把玩、斗鸟儿为乐。

每天早晨4点多钟出发，大约7点钟回来，雄性的鹌鹑留起来先要整夜整夜的熬鹌鹑、放在手里把鹌鹑，真正熟练了，才拿出来和别人的相斗。

设想两只鹌鹑要在场子里一决雌雄。

每只鹌鹑都有两个策略：攻击或逃跑。

由于两只鹌鹑实力相当，若同时选择进攻会两败俱伤；若一只进攻，一只逃跑，进攻者胜利。

逃跑的鹌鹑算是玩完了，以后再也没胆量进场子，主人也不回在把玩它，会用一块黑布把它的笼子蒙起来，培养成“叫子”，以后后捕鹌鹑的时候拎出去吸引同伴。

若同时逃跑不会败掉，以后还能斗，但是都会挨饿一天。

1pq表2-10 斗鸡博弈猛英雄攻击逃跑大将军攻击逃跑3 猜币博弈（matching pennies）甲、乙两个人各持有一枚硬币，同时决定显示正面（数字）朝上还是反面（国徽或花纹）朝上，若两人朝上的一面相同甲输给乙10元钱，若不同，则乙输给甲10元钱。

表2-1 猜币博弈乙正反甲正反我们观察表2-1可以发现，甲与乙效用之和为零，这种博弈称为零和博弈，是你死我活的博弈，双方有着激烈的冲突，不存在合作的可能。

4 足球比赛中的点球大战同学们，请你找出这个博弈的纳什均衡。

是不是发现没有纯策略纳什均衡呢？如果确定性策略无法奏效，就要果断引入不确定性。

它将使两难问题不再是难题：5 流浪汉问题在社会保障体系比较完善的国家，总会或多或少的存在流浪汉的问题。

这些依靠政府的失业救济过活的无业游民，虽然可以成为某些正科口中标榜的民主生活的佐证。

但是他毕竟是高度发达的经济社会无法根治的一块牛皮癣。

参与人是政府和一个流浪汉，流浪汉有两个选择：寻找工作和终日游荡，政府在对流浪汉的管理上也有两个策略：救济和不救济。

政府想帮助流浪汉摆脱这种难堪的生活，但前提是后者必须试图寻找工作，否则帮助失效。

但是，流浪汉可不认为这种生活难堪，除非没有办法生存，他们不会去寻找工作的。

流浪汉找工作 q流浪 1-q 政府 救济p不救济1-p请你使用混合策略纳什均衡的求法，找出该博弈的纳什均衡。

6 有限博弈的纳什均衡存在定理与奇数定理定理1 一个有限博弈至少存在一个纳什均衡，一般而言，纳什均衡的个数是奇数个。

定理2 在n 人策略式博弈中，若参与人的纯策略空间i S 是欧式空间上的一个非空闭集，且是有界的凸集，支付函数是连续的，对i S 是拟凹的，那么存在一个纯策略纳什均衡。

定理3在n 人策略式博弈中，若参与人的纯策略空间i S 在欧式空间上世连续的，则存在一个混合策略纳什均衡。

3.2 反应函数法学一点数学 极大值与极小值 1 库诺特寡头竞争理论库诺特（Cournot,1838）寡头竞争模型可以说是纳什均衡的最早版本，它比纳什（Nash,1950）本人的定义早了100多年。

在库诺特模型里有两个参与人，分别称为企业1，企业2；每个企业的策略是选择产量。

效用是利润，它是两个企业产量的函数。

我们用[0,]i q ∈∞表示第i 个企业的产量。

()i i c q 代表成本函数，12()p p q q =+代表逆需求函数。

第i 个企业的利润函数为1212(,)()(),1,2i i i i q q q p q q c q i π=+-=。

**12(,)q q 是纳什均衡产量意味着：***111211211argmax (,)()()q q q q p q q c q π∈=+-， ***221221222argmax (,)()()q q q q p q q c q π∈=+-。

求解上述关系式找出纳什均衡的一个步骤是对每一个企业的利润函数求一阶导数并令其等于零，即112112111()()()0p q q q p q q c q q π∂''=+++-=∂ 212212222()()()0p q q q p q q c q q π∂''=+++-=∂ 上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数，解之可得：**112221(),()q R q q R q ==。

若两条曲线仅有唯一交点，则该点处取纳什均衡图2-3反应函数交点图【例2】 考虑库诺特模型的简单情况，假定两个企业具有相同的不变单位成本，即111222(),()c q q c c q q c ==。

逆需求函数取如下的线性形式：12()p a q q =-+。

解：最优化的一阶条件为：11211()0a q q q c q π∂=-+--=∂反应函数为：**21112221(),()22a q c a q cq R q q R q ----====。

解之得：**123a c q q -==。

每个企业的利润为****21122121(,)(,)()9q q q q a c ππ==-。

下面将之与垄断情况作比较，垄断企业的问题是：max ()qq a q c π=--。

容易得出21222()0a q q q c q π∂=-+--=∂*2()23a c q a c -=<-；2212()()49m a c a c π=->-。

2 豪泰林模型假定有一个长度为1的线性城市，消费者均匀地分布在[0,1]区间内，分布密度为1。

假定有两个商店，分别位于城市两端，商店1在0x =，商店2在1x =，出售物质性能相同的产品。

每个商店提供单位产品的成本为c 。

消费者购买商品的交通成本与距商店的距离成比例，单位距离的成本为t 。

这样，住在x 的消费者如果在商店1采购，需花费tx 的交通成本，如果在商店2采购需要花费(1)t x -的成本。

假定消费者得到的消费者剩余为s ，且s 相对于产品成本和交通成本足够大，从而每个消费者消费者都购买1个单位的产品。

令i p 为商店i 的价格，12(,)i D p p 为需求函数，1,2i =。

如果住在x 的消费者在两个商店之间买商品无差异，那么住在x 左边的都在商店1购买，住在x 右边的都在2x 购买。

需求分别为12,1D x D x ==-。

这里，x 满足12(1)p tx p t x +=+-，综合需求函数的定义可得：211122,212p p tD x tp p tD x t -+==-+=-=利润函数为：112111211(,)()()()2p p p c D p c p p t t π=-=--+ 212222121(,)()()()2p p p c D p c p p t tπ=-=--+商店i 选择自己的价格i p ，通过求驻点最大化利润i π：12111(2)02p p c t q tπ∂=-++=∂21221(2)02p p c t q tπ∂=-++=∂ **12p p c t ==+ **122tππ==3 公共地悲剧设某村庄有n 个农户，该村有一块大家都可以自由放牧羊群的草地。

这片草地只能让不超过一定数量的羊吃饱。

超过这个限度，则每只羊都无法吃饱，从而降低了每只羊的产出，草地也遭到破坏。

假设这些农户决定养羊数是同时决策的，而且农户知道这片草地的最大养羊数及不同养羊数下每只羊的产出。

这就构成了n 个农户的一个完全信息静态博弈问题。

此博弈的参与人有n 个农户，其策略空间是各自养羊数, 1,2,...,i q i n =。

养羊总数12...n Q q q q =+++。

每只羊的产出()V Q 是减函数。

假设购买和照料每只羊的成本相同，设为c 。

则农户i 养i q 只羊的效用函数为()i i i u qV Q q c =-。

为方便起见，设3n =，()100V Q Q =-，4c =。

则111231(100)4u q q q q q =---- 221232(100)4u q q q q q =---- 331233(100)4u q q q q q =----尽管羊的数量是整数，我们仍然可以将之视为连续函数，根据极值的条件得到最优解之后圆整。

反应函数为：1123231(,)48()2q R q q q q ==-+2213131(,)48()2q R q q q q ==-+3312121(,)48()2q R q q q q ==-+三个反应函数的交点为：（24,24,24），相应的效用为（576,576,576）。

但是，如果12316q q q ===，则效用组合为（768,768,768）。

因此纳什均衡可能是低效率的，一般而言，公共性质的物品，都有类似的结论，达到的稳定结果效率较低，称之为公共地悲剧。

3 重复博弈3.4 应用1 社会福利博弈在这个博弈里，参与人是政府和一个流浪汉，流浪汉有两个选择：寻找工作和终日游荡，政府在对流浪汉的管理上也有两个策略：救济和不救济。

政府想帮助流浪汉摆脱这种难堪的生活，但前提是后者必须试图寻找工作，否则帮助失效。

但是，流浪汉可不认为这种生活难堪，除非没有办法生存，他们不会去寻找工作的。

表4 社会福利博弈流浪汉政 府救济 不救济2 努力困境张三和李四一起做一份工作，他们可以选择勤奋和偷懒，如果两人都勤奋工作，会得到一份奖金，每人的效用为2单位。

如果张三勤奋，李四偷懒，张三的效用为0单位，李四的效用为3单位，反之亦然。

如果两人都偷懒，只能得到一份很低的报酬，效用为0.5单位。

于是有下面的支付矩阵：表4努力困境李四张 三勤奋 偷懒3 军备竞赛模型在1950s ，美国和前苏联展开了疯狂的军备竞赛，最终拖垮了苏联的经济。