新人教版九年级数学上册《因式分解法》教案
九年级数学上册(人教版)21.2.3解一元二次方程(因式分解法)优秀教学案例
一、案例背景
在我国九年级数学上册的教学中，一元二次方程是学生需要掌握的重要知识点。人教版教材21.2.3节主要介绍了利用因式分解法解一元二次方程。针对此部分内容，本教学案例旨在通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，引导学生运用因式分解法解决一元二次方程，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.在小组合作过程中，鼓励学生积极表达自己的观点，学会倾听他人的意见，形成良好的沟通与协作。
4.教师巡回指导，给予每个小组个性化的帮助，确保合作学习的顺利进行。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将重视学生的反思与评价，以促进学生自我成长。具体措施如下：
1.鼓励学生在解题过程中进行自我反思，总结经验教训，提高解题能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学开始时，我将以学生熟悉的实际情景引入新课，例如：“同学们，你们在体育课上是否尝试过投篮？如果想要将篮球投入篮筐，除了掌握投篮的力度外，还需要考虑什么因素呢？”通过这个问题，引导学生思考投篮角度与成功的关系。
2.接着，我会提出一个与一元二次方程相关的问题：“假设我们要求解最佳的投篮角度，使得篮球在空中的轨迹形成一个抛物线。我们可以通过什么数学方法来解决这个问题呢？”由此引出一元二次方程的概念。
5.针对不同学生的学习情况，给予个性化指导，帮助学生找到适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，激发学生的学习内驱力。
2.培养学生面对困难时，保持积极的心态，敢于挑战自我，不断进取。
3.培养学生的团队意识，学会在合作中尊重他人，分享成功与快乐。
4.通过数学学习，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
人教版数学九年级上册说课稿21.2.3《因式分解法》
人教版数学九年级上册说课稿21.2.3《因式分解法》一. 教材分析《因式分解法》是人教版数学九年级上册第21.2.3节的内容，本节课的主要任务是让学生掌握因式分解的概念、方法和应用。
因式分解是初等数学中的一种重要方法，对于解决代数方程、不等式等问题具有重要意义。
在本节课中，学生将通过学习因式分解的基本概念和方法，能够独立进行简单的因式分解，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的加减、乘除等基本运算，对于代数概念有一定的了解。
但是，因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说是新的内容，需要通过本节课的学习来掌握。
同时，因式分解需要学生具备一定的逻辑思维能力和转化能力，对于部分学生来说可能存在一定的难度。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够独立进行简单的因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣，培养积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：因式分解的概念和方法。
2.教学难点：因式分解的逻辑思维和转化能力的培养。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、小组合作法、案例分析法等多种教学方法，结合多媒体课件、黑板等教学手段，以学生为主体，教师为指导，引导学生主动探索、积极参与，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出因式分解的必要性，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解因式分解的概念和方法，通过示例让学生理解因式分解的过程。
3.练习：学生独立进行因式分解的练习，教师进行个别指导。
4.小组合作：学生分组进行因式分解的讨论和交流，分享解题经验和方法。
5.总结：教师引导学生总结因式分解的方法和技巧，强化学生对因式分解的理解。
6.作业布置：布置适量的因式分解练习题，巩固所学知识。
人教版初中九年级数学上册《因式分解法》教案
因式分解法教学目标1.掌握用因式分解法解一元二次方程．2.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点1．重点：用因式分解法解一元二次方程．2．难点与：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）二、探索新知（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x 1=0，x 2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x 1=0，x 2=-2．（以上解法是如何实现降次的？）因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）10x-4.9 x 2 =0 （2）x （x-2）+x-2 =0 (3)5x 2-2x-14=x 2-2x+34练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=25 ，x 2=35C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1三、巩固练习教材P 45 练习1、2．例2．已知9a 2-4b 2=0，求代数式22a b a b b a ab +--的值．分析：要求22a b a b b a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222a b a b b ab a---=- ∵9a 2-4b 2=0∴（3a+2b ）（3a-2b ）=03a+2b=0或3a-2b=0， a=-23b 或a=23b当a=-23b 时，原式=-223b b -=3 当a=23b 时，原式=-3． 四、应用拓展例3．我们知道x 2-（a+b ）x+ab=（x-a ）（x-b ），那么x 2-（a+b ）x+ab=0就可转化为（x-a ）（x-b ）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x 2-3x-4=0 （2）x 2-7x+6=0 （3）x 2+4x-5=0分析：二次三项式x 2-（a+b ）x+ab 的最大特点是x 2项是由x ·x 而成，常数项ab 是由-a ·（-b ）而成的，而一次项是由-a ·x+（-b ·x ）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x 2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1下略。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计1
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计1一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的内容，它是解决一元二次方程的一种重要方法。
因式分解法不仅可以帮助学生更好地理解一元二次方程的解法，还可以提高他们解决实际问题的能力。
本节课的内容包括因式分解法的概念、方法和步骤，以及如何应用因式分解法解决实际问题。
通过本节课的学习，学生应该能够掌握因式分解法的原理，并能够灵活运用它来解决一元二次方程。
二. 学情分析在开始本节课的学习之前，学生已经学习了一元二次方程的基本概念和解法，他们对一元二次方程有一定的了解。
然而，因式分解法作为一种特殊的解法，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答他们的疑问，并引导他们积极参与课堂讨论。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解法的概念，掌握因式分解法的步骤，并能够运用因式分解法解决一元二次方程。
2.过程与方法目标：学生通过自主学习和合作交流，培养解决问题的能力和团队合作精神。
3.情感态度与价值观目标：学生通过对因式分解法的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养良好的学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的概念、方法和步骤。
2.难点：如何灵活运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.案例分析法：教师通过分析典型例题，引导学生理解和掌握因式分解法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教材：人教版九年级数学上册。
2.教学多媒体设备：电脑、投影仪、黑板等。
3.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生回顾一元二次方程的基本概念和解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，介绍因式分解法的概念、方法和步骤，让学生初步了解因式分解法。
九年级上册数学教案解一元二次方程(因式分解法)
解一元二次方程（因式分解法）一、教学目标1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
2．会用分解因式法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
3．加强学生的分散思维能力培养二、教学重难点教学重点：掌握分解因式法解一元二次方程。
教学难点：灵活运用分解因式法解一元二次方程。
三、课时安排1课时四、教学流程和设计1、温故而知新1）、我们已经学过几种解一元二次方程的方法直接开平方法，配方法，公式法2、问题引入你能解决这个问题吗？一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都设这个数为x ，根据题意得x x 32=小颖是这样解的 小明是这样解的 小亮是这样解的 解：x x 32= 解：方程x x 32=两边 解：方程x x 32=移项 293±=x 同时约去x ，得 03-2=x x ∴这个数是0或3 ∴x=3 ∴x(x-3)=0小颖的做法对吗？ ∴这个数是3 ∴x=0或x=3 小明的做法对吗？ 小亮做得对吗？ 因式分解法：当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.注意：1）.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2）. 关键是把一个一元二次方程左边化为两个一次式的积，而右边是零.3）.理论是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”3、：3、练习：1)解下列方程（1） x 2+x =0 0322=-x x 3632-=-x x 012142=-x（2） 24)12(3+=+x x x 22)25(4x x -=-）（2).请写出分别以下列两数为两根的一元二次方程：⑴以2，5为两根的一元二次方程是:__________________⑵以－2，1为两根的一元二次方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑶写出有一个根为零的三个一元二次方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3)、解方程：x3-2x2-3x=04)、已知m 是关于x 的方程mx2-2x+m=0的一个根，试确定m 的值。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的一个知识点。
通过学习因式分解法，学生能够理解并掌握因式分解的概念，能够运用因式分解法解决一些实际问题。
本节课的内容包括因式分解的定义、因式分解的方法以及因式分解的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数运算有一定的了解。
但是，因式分解法是一个较为抽象的概念，学生可能对其理解起来有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际例子来理解因式分解的概念和方法，并通过练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。
2.能够运用因式分解法解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和方法。
2.运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过实际例子引导学生理解因式分解的概念和方法，通过案例教学法让学生通过解决实际问题来运用因式分解法，通过小组合作法让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT，包括因式分解的定义、方法和应用的讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，例如：“已知一个数的平方减去这个数等于10，求这个数。
”引导学生思考如何解决这个问题，从而引出因式分解的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT讲解因式分解的定义和方法，包括提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等。
通过具体的例子来解释每种方法的运用。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个因式分解的方法，根据PPT上的例子，自己尝试解决一个问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，巩固因式分解的方法。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
《因式分解法》示范公开课教学设计【部编新人教版九年级数学上册】
《因式分解法》教学设计
一、教学目标
1.了解因式分解法的概念；
2.会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程；
3.经历探索因式分解法解一元二次方程，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，
同时学会灵活选择解方程的方法；
4.通过运用因式分解法解简单系数的一元二次方程，体验解决问题的方法多样性，提
升学习数学的兴趣，并建立学好数学的自信心.
二、教学重难点
重点：应用因式分解法解一元二次方程.
难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
问题：本节课你学到了什么？能不能对解一元二次方程做一个总结？
四种基本解法比较
教师总结归纳：
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求。
人教版九年级上册21.2.3因式分解法教学设计
人教版九年级上册21.2.3因式分解法教学设计一、教学目标1.了解因式分解法的基本概念及其应用。
2.掌握因式分解法的基本步骤和方法，能够用因式分解法化简代数式。
3.培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养和解决问题的能力。
二、教学重点难点重点1.因式分解法的基本概念和应用。
2.因式分解法的基本步骤和方法。
3.因式分解法的综合应用。
难点1.抽象思维能力的培养。
2.逻辑推理能力的提高。
三、教学内容1.因式分解法的基本概念和应用。
–什么是因式分解法？–因式分解法的基本思想和应用。
2.因式分解法的基本步骤和方法。
–因式分解法的步骤和方法。
–因式分解法的练习。
3.因式分解法的综合应用。
–通过例题演示因式分解法的应用。
–学生练习相关习题。
四、教学方法1.讲授法：通过讲解、举例、分析等方式，向学生系统地介绍因式分解法。
2.实例法：通过精心设计的例题，让学生深入理解因式分解法的应用和方法。
3.课堂活动法：通过小组合作、课堂讨论、竞赛等形式，培养学生的合作意识和竞争意识，激发学生的学习兴趣。
五、教学过程第一步：引入引入因式分解法的概念和应用，激发学生的学习兴趣。
第二步：讲解基本概念和应用1.介绍因式分解法的概念和应用，让学生了解因式分解法的基本思想和应用。
2.讲解因式分解法的步骤和方法，向学生详细介绍因式分解法的具体内容。
3.通过例题讲解因式分解法的应用，让学生深入理解因式分解法的应用。
第三步：进行实践操作1.利用示例进行课堂演示，让学生参与进来，通过实践操作来加强对因式分解法的应用理解。
2.配置多组教师助教进行解答和指导，帮助学生在操作过程中有疑问时能够及时得到解答。
第四步：进行综合应用的讲解通过例题来演示因式分解法的综合应用。
第五步：布置课后作业让学生练习相关的习题，帮助学生巩固学习内容，提高对练习的能力。
六、教学评价通过课堂教学笔记、作业测试、口头答辩等方式，对学生的学习情况进行评价。
七、教学总结本次教学通过讲授、实践操作和综合应用等多种方式，介绍了因式分解法的基本概念和应用，并通过多个练习环节来加深学生对因式分解法的理解。
初中数学人教版九年级上册：因式分解法 教案
21.2.3因式分解法【教学目标】知识技能1.了解因式分解的概念2.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程情感态度1.学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果2.积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最优方法，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心重点难点重点应用因式分解法解一元二次方程难点将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解活动1复习引入问题（学生活动）解下列方程.（1）220x x （用配方法），（2）2360x x （用公式法）.（3）要使一块矩形场地的长比宽多3m ，并且面积为228m ，场地的长和宽应各是多少？（4）如何设未知数并根据题目的等量关系列出方程？（5）所列方程和以前我们学习的方程2692x x 有何联系和区别？（6）你能由方程2692x x 的解法联想到怎样解方程23280x x 吗？活动2实验发现思考：（1）210x x （），（2）320x x （）.问题：（1）你能观察出这两题的特点吗？（2）你知道方程的解吗？说说你的理由.因式分解的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式的值就至少有一个等于零。
即：若ab=0，则a=0或b=0.由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积而另一边等于0时，即可解之。
这种方法叫做因式分解法.（3）因式分解法解一元二次方程的步骤：①移项，使方程的右边为零；②将方程的分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解.活动3用因式分解法解决问题教材第14页例3.补充例题解方程（1）238x x ，（2）24312x x （）.分析：（1）移项提取公因式x ；（2）等号右侧移项到左侧得312x -，提取因式-3，即34x -（），再提取公因式x-4，便可达到分解因式的目的，一边为两个一次因式的乘积，另一边为0的形式.解：（1）移项，得2380x x ，因式分解，得380x x （），于是，得0380x x ，或，12803x x，（2）移项，得243120x x （），24340x x （）（）因式分解，得4430x x （）（）整理，得470x x （）（）于是，得4070x x 或1247x x ，活动5课堂小结小结：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程.（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系：①降次，它们的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次。
因式分解法教案人教版九年级数学上册
21.2.3因式分解法一、教学目标1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.二、教学重难点重点：会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.；难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程．三、教学过程【新课导入】[复习导入]我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x-1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求(x+3)(x-5)=0的解吗？问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10xx2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(结果保留小数点后两位)?设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10xx2=0 ①[思考]配方法解方程：10xx2=0.公式法解方程：10xx2=0.[课件展示]解：x2−10049x=0x2−10049x+(−5049)2=0+(−5049)2 (x−5049)2=(−5049)2x−5049=±5049x1=10049,x2=0解：10xx2=0.∵a=,b=-10,c=0.∴b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0=100.x=−b±√b2−4ac2a=−(−10)±102×4.9x1=10049,x2=0[思考]除配方法和公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？[思考]这种解法是不是很简单？【新知探究】1.因式分解法的概念这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. [归纳总结]2.因式分解法的基本步骤一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;[归纳总结]简记歌诀：右化零左分解两因式各求解[思考]下列各方程的根分别是多少？(1) x(x+1)=0；(1) x1=0, x2=-1；(2) (y+2)(y-3)=0；(2) y1=-2, y2=3 ；(3) (3x-6)(2x-4)=0；(3) x1=-x2=2；(4) x2=x. (4) x1=0, x2=1.【新知应用】例1解下列方程：(1)x(x−2)+x−2=0;(2)5x2−2x−14=x2−2x+34.解：(1)因式分解，得(x－2)(x＋1)=0.于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移项、合并同类项，得4x2−1=0.因式分解，得( 2x＋1)( 2x－1 )=0.2x＋1=0或2x－1=0,x1=−12,x2=12.例2用适当的方法解方程：(1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）；解：化简(3x-5) (x+5)=0.即3x - 5= 0 或x + 5= 0.∴x1=53,x2=−5.(2)（5x + 12 = 1；解：直接开平方,得5x + 1 = ±1.解得, x 1= 0 , x2=−25.（3）x2- 12x = 4 ;解：配方,得x2 - 12x + 62 = 4 + 62,即(x - 6)2 = 40.开平方,得x−6=±2√10解得x1=6+√10, x2= 6−√10（4）3x2 = 4x + 1；解：化为一般形式3x2 - 4x + 1 = 0.∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,x=−(−4)±√282×3=2±√73x1=2+√73,x2=2−√73.一元二次方程解法选择基本思路1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.【课堂小结】【课堂训练】1.填空：下列一元二次方程中①x2-3x+1=0；②3x2-1=0 ；③-3t2+t=0；④x2-4x=2 ；⑤2x2-x=0；⑥5(m+2)2=8；⑦3y2-y-1=0；⑧2x2+4x-1=0；⑨(x-2)2=2(x-2).适合运用直接开平方法解的是⑥；适合运用因式分解法解的是②③⑤⑨；适合运用公式法解的是①⑦⑧；适合运用配方法解的是④.2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程:(x-5)(x+2)=18.解: 原方程化为：(x-5)(x+2)=18 . ①由x-5=3, 得x=8; ②由x+2=6, 得x=4; ③所以原方程的解为x1=8或x2=4.解: 原方程化为x2－3x－28= 0，(x－7)(x+4)=0，x1=7，x2=－4.3.解方程：(1)3x2−6x=−3；(2)4x2−121=0.解：(1)化为一般式为x2－2x+1 = 0.因式分解，得( x－1 ) 2= 0.x－1 = 0 ，x1=x2=1.(2)因式分解，得( 2x + 11 )( 2x－11 ) = 0.有2x + 11 = 0 或2x－11= 0，x1=−112,x2=112.4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为r，根据题意( r + 5 )2×π=2πr2.因式分解，得(r+5−√2r)(r+5+√2r)=0.于是得r+5−√2r=0,或r+5+√2r=0解得r1=√2−1r2=1+√2舍去).答：小圆形场地的半径是√2−1m.【布置作业】【教学反思】利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.。
新人教版九年级数学上册：《因式分解法》教案
§2．4 分解因式法课时安排1课时从容说课分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法．它是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解．体现了一种“降次”的思想，这种思想在以后处理高次方程时非常重要．这部分内容的基本要求是让学生学会方法．本节的重、难点是利用分解因式法来解某些一元二次方程．由于《标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学生仅能解决形如“x(x-a)＝0”“x2-a2＝0”的特殊一元二次方程．所以在教学中，可以先出示一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发现因式分解是解某些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法．其基本思想和方法是：一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．这种思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重点．通过方法的比较，力求让学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法，从而让学生体会解决问题的多样性．第七课时课题§2．4 分解因式法教学目标(一)教学知识点1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(二)能力训练要求1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．2．会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．再之，体会“降次”化归的思想．教学重点应用分解因式法解一元二次方程．教学难点形如“x2＝ax”的解法．教学方法启发引导式归纳教学法．教具准备投影片五张．第一张：复习练习(记作投影片§2．4 A)第二张：引例(记作投影片§2．4 B)第三张；议一议(记作投影片§2．4C)第四张：例题(记作投影片§2．4 D)第五张：想一想(记作投影片§2．4 E)教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入新课[师]到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、配方法、公式法，下面同学们来做一练习．(出示投影片§2．4 A)解下列方程：(1)x2-4＝0；(2)x2-3x+1＝0；(3)(x+1)2-25＝0；(4)20x2+23x-7＝0．[生]老师，解以上方程可不可以用不同的方法?[师]可以呀．[生甲]解方程(1)时，既可以用开平方法解，也可以用公式法来求解，就方程的特点，我采用了开平方法，即解：x2-4＝0，移项，得x2＝4．两边同时开平方，得x＝±2．∴x1＝2，x2=-2．[生乙]解方程(2)时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用了公式法，即解：这里a＝1，b＝-3，c＝1．b2-4ac＝(-3)2-4×1×1＝5>0，∴x=253±∴x1=253+，x2=253-[师]乙同学，你在解方程(2)时，为什么选用公式法，而不选配方法呢? [生乙]我觉得配方法不如公式法简便．[师]同学们的意见呢?[生齐声]同意乙同学的意见．[师]很好，继续．[生丙]解方程(3)时，可以把(x+1)当作整体，这时用开平方法简便，即解：移项，得(x+1)2＝25．两边同时开平方，得x+1＝±5，即x+1＝5，x+1＝-5．∴x1=4，x2=-6[生丁]解方程(4)时，我用的公式法求解，即解：这里a ＝20，b ＝23，c ＝-7，b 2-4ac ＝232-4×20×(-7)＝1089＞0，∴x ＝403323202108923±-=⨯±-. ∴x 1=41 x 2=-57. [师]很好，由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程． 用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a 、b 、c 的值；其次，通常应先计算b 2-4ac 的值，然后求解．一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法．Ⅱ．讲授新课[师]下面我们来看一个题．(出示投影片§2．4 B)一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等，这个数是几?你是怎样求出来的?[师]大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．[生甲]解这个题时，我先设这个数为x ，根据题意，可得方程x 2=3x ．然后我用公式法来求解的．解：由方程x 2＝3x ，得x 2-3x=0．这里a=1，b=-3，c ＝0.b 2-4ac ＝(-3)2-4×1×0＝9>0．所以x=293± 即x 1=3，x 2＝0．因此这个数是0或3．[生乙]我也设这个数为x ，同样列出方程x 2＝3x ．解：把方程两边同时约去x ，得x ＝3．所以这个数应该是3．[生丙]乙同学做错了，因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．[师]对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．这个方程还有没有其他的解法呢?[生丁]我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x ，这时可把x 提出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零， 这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．解：x 2-3x ＝0，x(x-3)＝0，于是x ＝0，x-3＝0．∴x 1=0，x 2=3因此这个数是0或3．[师]噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗?[生齐声]行．[师]丁同学应用的是：如果a ×b ＝0，那么a=0，b ＝0，大家想一想，议一议．(出示投影片§2．4 C)a ×b ＝0时，a=0和b=0可同时成立，那么x(x-3)=0时，x ＝0和x-3＝0也能同时成立吗?[生齐声]不行．……[师]那该如何表示呢?[师]好，这时我们可这样表示：如果a ×b=0，那么a ＝0或b ＝0这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x-3)＝0得到x ＝0和x-3＝0时，中间应写上“或”字.我们再来看丁同学解方程x 2＝3x 的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a ×b ＝0，则a=0或b ＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程．因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0． 接下来我们看一例题．(出示投影片§2．4 D)[例题]解下列方程：(1)5x 2=4x ；(2)x-2＝x(x-2)．[师]同学们能独自做出来吗?[生]能．[师]好，开始．[生甲]解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解．解：原方程可变形为5x 2-4x ＝0，x(5x-4)=0，x ＝0或5x-4＝0．∴x 1=0，x 2=54． [生乙]解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．解：原方程可变形为x-2-x(x-2)＝0，(x-2)(1-x)＝0，x-2＝0或1-x=0．∴x 1＝2，x 2=1．[生丙]老师，解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢?[师]能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．下面同学们来想一想，做一做．(出示投影片§ 2．4 E)你能用分解因式法解方程x 2-4＝0，(x+1)2-25=0吗?[生丁]方程x 2-4=0的右边是0，左边x 2-4可分解因式，即x 2-4=(x-2)(x+2)．这样，方程x 2-4＝0就可以用分解因式法来解，即解：x 2-4=0，(x+2)(x-2)＝0，∴x+2＝0或x-2=0．∴x 1=-2，x 2=2．[生戊]方程(x+1)2-25＝0的右边是0，左边(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即解：(x+1)2-25＝0，[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．∴(x+1)+5＝0，或(x+1)-5＝0．∴x 1=-6，x 2=4．[师]好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主． 好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．Ⅲ．课堂练习(一)课本P 61随堂练习 1、21．解下列方程：(1)(x+2)(x-4)＝0；(2)4x(2x+1)=3(2x+1)．解：(1)由(x+2)(x-4)=0得x+2＝0或x-4＝0。
人教版数学九年级上册教案21.2.3《因式分解法》
人教版数学九年级上册教案21.2.3《因式分解法》一. 教材分析《因式分解法》是人教版数学九年级上册第21章的一节内容，本节课主要让学生掌握因式分解的方法和技巧，并能运用因式分解法解决一些实际问题。
因式分解是代数学习中的重要内容，也是解决一元二次方程、分式方程等问题的关键。
本节课的内容为后续学习奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法、完全平方公式等知识，具备了一定的代数基础。
但是，对于因式分解的方法和技巧，部分学生可能还比较陌生，需要通过实例讲解和练习来逐步掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握因式分解的方法和技巧，能够正确地进行因式分解。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会运用因式分解法解决实际问题。
3.情感态度与价值观：激发学生学习代数的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和技巧。
2.难点：如何运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解因式分解的基本方法和技巧。
2.案例分析法：通过具体实例，让学生学会运用因式分解法解决问题。
3.练习法：让学生在课堂上和课后进行适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：制作因式分解的PPT课件，包括基本方法、实例分析等内容。
2.练习题：准备一些因式分解的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：某商店举行打折活动，原价为100元的商品打8折，求打折后的价格。
引导学生思考如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的基本方法和技巧，包括提取公因式、完全平方公式等。
通过PPT展示具体实例，让学生理解因式分解的过程。
3.操练（10分钟）让学生在课堂上进行因式分解的练习，教师巡回指导。
选取一些典型题目进行讲解，帮助学生掌握因式分解的方法。
4.巩固（10分钟）让学生继续进行因式分解的练习，巩固所学知识。
教师选取一些题目进行讲解，解答学生的疑问。
九年级上册数学教案《因式分解法》
九年级上册数学教案《因式分解法》学情分析学生在本节课之前已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，积累了解方程的一些方法。
在八年级，学生学习了因式分解，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练地分解因式，具有了一定的学习经验。
教学目的1、应用因式分解法解一元二次方程．2、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会“降次”化归的思想。
教学重难点灵活应用分解因式法解一元二次方程．教学方法讲授法、谈话法、讨论法、练习法教学过程一、复习引入解下列方程。
（1）2x2+x = 0（用配方法）解： x2+12x = 0x2+12x+1 = 1（x+1）2 = 1x+1 = ±1x 1 = 0，x2= -2（2）3x2+6x=0（用公式法）a=3，b=6∵b2 - 4ac = 62 - 4×3×6 = -36 ＜0∴3x2+6x=0无实数根二、探索新知1、根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？（结果保留小数点后两位）设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x-4.9x2 = 0 ①2、除配方法或公式法，能否找到更简单的方法解方程①？方程①的右边为0，左边可以因式分解，得x（10 - 4.9x）= 0方程得左边是两个一次因式的乘积。
如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积等于0.所以x = 0，或10 - 4.9x = 0 ②所以，方程①的两个根是x 1 = 0，x2= 100/49 ≈ 2.04这两个根中，x2≈ 2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x1= 0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)因式分解法教案
21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2ba-±（b2-4ac≥0）.2. 什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究 因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0. 解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049，=x 20.=x公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac= (－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()10102 4.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34. 师生共同解答如下： 解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12. 想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0，x1=23，x2=12.⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：−x)2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1∴x1＝1x2＝1.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±.∴x1＝3＋，x2＝3－.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝−（−4）±√（−4）2−4×3×（−1）2×3＝2±73.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0 时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3. 若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4 时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。
人教版数学九年级上册教学设计21.2.3《因式分解法》
人教版数学九年级上册教学设计21.2.3《因式分解法》一. 教材分析因式分解法是数学九年级上册的教学内容，主要出现在第21章的2.3节。
因式分解法是解决一元二次方程的一种重要方法，通过将方程左边进行因式分解，使其变成几个一次因式的积的形式，从而便于求解。
因式分解法在解决实际问题中具有广泛的应用，是学生必须掌握的基本技能。
二. 学情分析学生在学习因式分解法之前，已经学习了二次方程的解法、一元一次方程的解法等基础知识。
但是，学生对于因式分解法的理解和应用还存在一定的困难，需要通过本节课的学习来进一步掌握和运用。
三. 教学目标1.让学生理解因式分解法的概念和意义。
2.使学生掌握因式分解法的基本步骤和技巧。
3.培养学生运用因式分解法解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的概念、步骤和技巧。
2.难点：因式分解法在解决实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等教学方法，引导学生主动探索、合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备PPT课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题——因式分解法。
例如：某商店进行促销活动，买一个足球和一个篮球需要100元，买一个足球和一个排球需要80元，买一个篮球和一个排球需要90元。
请问，足球、篮球和排球的单价分别是多少？2.呈现（15分钟）通过PPT课件，介绍因式分解法的概念、步骤和技巧。
让学生了解因式分解法的基本原理，并学会如何运用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，运用因式分解法进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）挑选几组学生的作品，进行展示和点评。
让学生总结因式分解法的应用经验和技巧，并巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：因式分解法在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，进一步拓展学生的思维。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计4
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计4一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册的教学内容，属于代数知识范畴。
通过学习因式分解法，学生能更好地理解多项式的运算，提高解决问题的能力。
本节课的内容是在学生已经掌握了多项式、单项式、同类项等基本概念的基础上进行教学的。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握因式分解法的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和独立思考的能力，对于新的知识有较强的求知欲。
但是，由于因式分解法较为抽象，部分学生在理解上可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解法的基本概念和方法，能够独立进行因式分解。
2.过程与方法：通过教师的引导和学生的实践，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的基本概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入因式分解法，让学生感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：教师引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣。
3.小组合作学习法：学生分组讨论，培养团队合作意识。
4.实践教学法：让学生通过动手操作，加深对因式分解法的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解法的例题和练习题。
2.教学素材：准备一些与生活相关的实例，用于导入和巩固环节。
3.教学设备：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如分配律，引入因式分解法。
让学生思考：如何将一个多项式分解成几个单项式的乘积？2.呈现（10分钟）讲解因式分解法的基本概念和方法，通过例题展示因式分解的过程。
让学生跟随教师一起动手操作，加深对因式分解法的理解。
人教版九年级数学上册21.2.4《因式分解法》教学设计
人教版九年级数学上册21.2.4《因式分解法》教学设计一. 教材分析因式分解法是初中数学的重要内容，对于提高学生的逻辑思维能力、解决实际问题具有重要意义。
人教版九年级数学上册21.2.4《因式分解法》一节，主要让学生掌握因式分解的方法和技巧，学会运用提公因式法和公式法进行因式分解。
教材通过例题和练习，使学生巩固因式分解法，并能运用到解决实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了整式的乘法、幂的运算等基础知识，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于因式分解法，部分学生可能还存在理解上的困难，无法灵活运用。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对性地进行教学，提高学生的数学素养。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解的方法和技巧，学会运用提公因式法和公式法进行因式分解。
2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握因式分解的方法和技巧。
2.难点：如何引导学生运用提公因式法和公式法进行因式分解，以及如何将因式分解法运用到解决实际问题中。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导，激发学生的思维，使学生主动探究因式分解的方法。
2.合作交流：鼓励学生与他人讨论，分享解题心得，提高学生的合作能力。
3.实践操作：让学生通过动手操作，加深对因式分解法的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解的方法和例题。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固学生的因式分解能力。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引入因式分解法，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件展示因式分解的方法和例题，让学生初步了解因式分解的概念。
3.操练（10分钟）让学生动手操作，尝试运用提公因式法和公式法进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
人教版数学九年级上册21.2《因式分解法》参考教案1
21.2.3 因式分解法
教参内容：
1、对于某些一元二次方程，虽然用配方法或公式法可以解，但是用因式分解法解起来更简便。
因式分解法解一元二次方程02=++c bx ax 时，如果方程左边可以分解因式，可将方程先分解为两个一次因式，分别令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程，得到一元二次方程的两个根。
这种化二次方程为一次方程的降次方法，不同于配方法的开平方，而是依据两个实数的积等于0的冲要条件，即这两个实数中必有等于0的。
教科书中所用的因式分解方法包括：提公因式法和公式法，这与前面所学过的因式分解法是一致的。
2、教科书在例题3后面的“归纳”栏目中，对于配方法、公式法和因式分解法进行了综合归纳，指出了各种方法的特点，提出了“降次”是各种方法共同的基本思路。
教学中，应及时归纳总结，加强相关内容之间的联系，引导学生不断扩充和完善对知识体系的认识。
教学设计。
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《因式分解法》教案
教学内容
本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标
知识技能
1．应用分解因式法解一些一元二次方程．
2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．
数学思考
体会“降次”化归的思想。
解决问题
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
情感态度
使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．
重难点、关键
重点：应用分解因式法解一元二次方程．
难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
一、复习引入
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为1
2
，
1
2
的一半应
为1
4
，因此，应加上（
1
4
）2，同时减去（
1
4
）2．（2）直接用公式求解．
【设计意图】
复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
二、探索新知
【问题】
仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
【活动方略】
在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，
所以x1=0，x2=-1
2
．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．
【设计意图】
引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．
【探究】
通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？
（1）(2)20
x x x
-+-=；
（2）221352244
x x x x --=-+； （3）3(21)42x x x +=+；
（4）22(4)(52)x x -=-．
【活动方略】
学生活动：
四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．
对于方程（1），若把（x －2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x ＋1）＝0； 方程（2）经过整理得到2410x -=，然后利用平方差公式分解因式；
方程（3）的右边分解因式后变为3(21)2(21)x x x +=+，然后整体移项得到3(21)2(21)0x x x +-+=，把（2x －1）看作一个整体提公因式分解即可；
方程（4）把方程右边移到左边22(4)(52)0x x ---=，利用平方差公式分解即可． 教师活动：
在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．
在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：
（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．
（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
【设计意图】
主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．
【应用】
例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过
x s物体离地面的高度（单位：m）为
2
．
x x
10 4.9
你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？
【活动方略】
学生活动：
学生首先独立思考，自主探索，然后交流
教师活动：
在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．
【设计意图】
应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．
三、反馈练习
教材P14练习第1、2题
补充练习
解下列方程．
1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对基础知识的掌握情况.
四、拓展提高
例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）
∴（x-6）（x-1）=0
∴x-6=0或x-1=0
∴x1=6，x2=1
（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）
∴（x+5）（x-1）=0
∴x+5=0或x-1=0
∴x1=-5，x2=1
上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式
22
a b a b
b a ab
+
--的值．
分析：要求
22
a b a b
b a ab
+
--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求
出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式=
22222 a b a b b
ab a ---
=-
∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-2
3
b或a=
2
3
b
当a=-2
3
b时，原式=-
2
2
3
b
b
-
=3
当a=2
3
b时，原式=-3．
例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是
正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
a<-2
∵ax+3>0即ax>-3
∴x<-3 a
∴所求不等式的解集为x<-3 a
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．作业。