边值问题的变分形式(课堂PPT)

F(1(0)
,(0),(0)
2
n
)
k
n
(aik
i1
aki)
(0)
i
bk
0
k 1,2,,n.
假定aik aki，即A为对称矩阵，则
n
2
aki
(0)
i
bk
i1
k 1,2,,n.
若 令 J(x) 1(Ax, x)(b, x) 2
(1.1)
则 二 次 函J数(x)于x0取 得 极 值 的 必 要 条：件 是
零 的 函 数 类 。 对 于于任[a一 ,b]一 次 连 续 可 微 的
函 数f (x)和 任 意 C0(I)， 用 分 部 积 分 法 ， 有
b
b
a f (x)(x)dx a f (x)(x)dx (2.5)
a
nn
( )T 表示括号内向量或矩阵
的转置。令
y
(
，
1
2
,n
)T
n
定义 x, y的内积为 ( x, y ) i i i1
考 虑 n个 变 量 的 二: 次 函 数
n
n
F(x)F(1,2,n) aijij bii
i,j1
i1
(Ax,x)(b,x)
它 在 x0 (1(0),2(0),n(0))T取 得 极 值 的 必 要:条 件
所谓的完全，是指Cauchy收敛定理在
L2(I )成立。就是说，L2(I )中任一函数列{ fn}， 如果关于度量（ 即按L2(I)度量）满足Cauchy
条件： fn fm 0 (n, m )
则必有f L2(I)使 fn f 0 (n )
记为
lim
n
fn
f
Schwarz 不等式 设 L2 ( I )，则乘积 f g L1 ( I ), 且
第三章边值问题的变分形式
§1 二次函数的极值 §2 两点边值问题 §3 二阶椭圆型边值问题
§1 二次函数的极值
在 n维欧氏空间 R n中引入向量、矩阵记号 ：
x (1 , 2 , n )T
b (b1 , b2 , bn )T
a11 a12
A
a
21
a 22
a
n1
an2
a1n
a
2
n
和边值条件u(0) 0,u(l) 0 (2.2)
这 样 ， 求 弦 的 平 衡就位归置结 为 解 两 点
边 值 问 题 (2.1),(2.2). 另一方面，由力学“极 小位能原理”弦的平衡 位置
u* u* ( x )是满足边值条件的一切 可能位置中，使位能 最小。设弦任意位置 u u( x ), 它的总位能为
J (u ) W W 1
l
T
( u) 2 dx
l
f udx
20
0
1
l
[T
(u)2
2 uf
]dx
20
(2.3)
据极小位能原理， u* u* ( x )是下列变分问题的解：
J ( u* ) min J ( u )
(2.4)
2.2 Sobolev空间H m (I )
设I (a, b), I [a, b].用L2(I )表示由定义
从而Ax0 b0，这说x明0是(1.2)的解。又
(0) (Ax, x)0,对任意非零向 x量Rn
故A必为正定矩阵。
反 之 ， 设A是 正 定 矩 阵 ，x0是 方 程 组(1.2)的 解 ，
即 Ax0 b 0，
则 由(1.3)得
( )
J(
x0 )
2
2
( Ax,
x)
(0) 2 ( Ax, x) (0), 0, x 0
x0是 线 性 方 程 组 Ax b
(1.2)
的解
为了进一步J(研 x)的 究极值性质，考量虑 的实变 二次函数()J(x0 x)
其中 x是任n一 维非零向 . 量
若J(x)于x0取极小值，则对 0任 ，何 ()J(x0 x)J(x0)(0),即()于0取极小值
反之 ， ()于 若 0取极小值，零 则向 对 x， 量 任 J(x0x)（ 1） (0)J(x0),即 J(x)于 x0取极小值
( f ,g) f g
广义导数概念
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设f L2(I)， 若 存 g在 L2(I)， 使 等 式
bg(x)(x)dx b
a
a
f(x)(x)dx，
对
任 意 C0(I)
(2.6
恒 成 立 ， f(x则 )于I说 有 广 义g导 (x)， 数记 为
f(x)dfg(x) 用C0(I)表 示d于Ix无 穷 次 可 微 ， 且 在a端 ,b的点 某 一 邻 域 内 （ 邻 域与大具小体 函 数 有 关 ） 等 于
现在研J(究 x)存在极小值的充 条分 件必 。要
显然()J(x0)2[(Ax0,x)(Ax,x0)2(b,x)] 2
(Ax,x) 2
因 A 为 是 对 称 矩 阵 ， 故
()J(x0x)J(x0)(A0xb,x)
2
(A,xx) 2
(1.3)
若J(x)于x0取极小值，则
(0) (Ax0 b, x) 0 对任意 xRn
在I上 的 平 方 可 积 的 可 测 函数 组 成 的 空 间 。
内 积
( f , g)
b
f gdx,
f , g L2(I )
a
范 数
f
(f, f) [
b
f
1
2 dx]2 , f L2(I )
a
L2 ( I )关于“加法”及“数乘 ”运算是线性空间， 关 于 (, )是 完 全 内 积 空 间 ， 因 此 L2 ( I )是 Hilbert 空 间 。
2
这 说 明J ( x)于x0取 极 小 值 。
定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两 个问题等价：
(1) 求x0 Rn 使
J
(
x0
)
min
x0Rn
J(
x)
(1.4)
其中J ( x)是由(1.1)定义的二次函数。
(2) 求下列方程组的解：
Ax b
(1.5)
J ( x)是 定 义 在 全 空 间 上 的 二次 函 数 ， 称 为 上 的 二 次泛 函
A(0,0)和B(l,0)。 设 有 强 度f为 (x)的 外
荷 载 垂 直 向 下 作 用上在，弦发 生 形 变 。
用u u(x)表 示 在 荷f载(x)作 用 下 弦 的 平 衡 位 置 。
A
B
0
l
xx
u
根 据 力 的 平 衡 条u件(x)， 满 足 微 分 方 程
(2.1) Tu f (x), 0 x l T是弦的张力。
或 简 称 泛 函 数 。 泛 函 数J ( x)由 两 部 分 组 成 ： 第 一 部分 是 二
次 项1 ( Ax, x)， 它 由 矩 阵A决 定 ； 第 二 部 分 是 一 次项(b, x)， 2
它 由 向 量b决 定.
§2 两点边值问题
2.1 弦 的 平 衡
考 察 一 根 长l的 为弦 ， 其 两 端 固 定 在 点