边值问题的变分形式(课堂PPT)
合集下载
弹性力学边值问题及有限元法(PPT)
（2）在边界上给定位移——位移边界条件
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、 外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分 量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几 何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的 全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求 解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样 单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内 各应力之间（及其与体 力之间）的相互制约关 系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系， 以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、 外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分 量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几 何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的 全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求 解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样 单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内 各应力之间（及其与体 力之间）的相互制约关 系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系， 以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y
应用PDE讲义10_变分形式
微分方程定解问题或特征值问题与一定条件下变分问题之间存在的 一种等价关系，可以通过求解相应变分问题得到微分方程定解问题或 特征值问题的解，也是构造微分方程数值解法的基础． 主要内容： §1 变分法基本问题 ................................................................................................ 3
考虑满足 Euler 特征方程的曲线这种曲线叫极值曲线．对于变分 学的基本问题，通过给定点 存在一族单参数极值曲线．现在假定判 是我们寻求极大或极小曲线的两端点之一．给了任一极值曲线，当其 他极值曲线趋来越接近这极值曲线时，其他极值曲线的交点的极限就
变分基本问题的 Lagrange 的方法，问题是使作用积分
，，
极大或极小，其中 ， 的新曲线
待定。Lagrange 引进通过端点 ， 和
而不是去改变极大或极小化曲线的个别坐标。其中， 是 Lagrange 引
进的特殊符号，用来表示整个曲线 的变分．在积分 的被积
函数中引进了一条新的曲线，当然就改变了
“ 的系数必须为 0”，即
0 就这样，Lagrange 得到了 Euler 方程，这一推导方法及其记号，至今 还在使用．
9
再按 Lagrange 的思路考察变端点问题。对于下列形式的作用积 分
，，
在端点 ， 和 ， 的取值不定。则一阶变分
0
由于
，
和 都是独立的变分，
数必须为 0”就推得 Euler 方程
1.1 最初的问题.................................................................................................... 3 1.2 Euler 的贡献................................................................................................... 5 1.3 Lagrange 方法论........................................................................................... 7 §2 边值问题的变分原理 ...................................................................................... 13 2.1 动力学的等价原理 ................................................................................... 13 2.2 Dirichlet 原理 ............................................................................................ 18 2.3 边值问题变分原理 .................................................................................. 24 §3 Sturm—Liouville 问题变分形式 ................................................................. 32 3.1 Rayleigh 商................................................................................................... 32 3.2 最小特征值变分原理 ............................................................................. 33 3.3 非减特征值序列变分原理.................................................................... 35 练习 10......................................................................................................................... 39
考虑满足 Euler 特征方程的曲线这种曲线叫极值曲线．对于变分 学的基本问题，通过给定点 存在一族单参数极值曲线．现在假定判 是我们寻求极大或极小曲线的两端点之一．给了任一极值曲线，当其 他极值曲线趋来越接近这极值曲线时，其他极值曲线的交点的极限就
变分基本问题的 Lagrange 的方法，问题是使作用积分
，，
极大或极小，其中 ， 的新曲线
待定。Lagrange 引进通过端点 ， 和
而不是去改变极大或极小化曲线的个别坐标。其中， 是 Lagrange 引
进的特殊符号，用来表示整个曲线 的变分．在积分 的被积
函数中引进了一条新的曲线，当然就改变了
“ 的系数必须为 0”，即
0 就这样，Lagrange 得到了 Euler 方程，这一推导方法及其记号，至今 还在使用．
9
再按 Lagrange 的思路考察变端点问题。对于下列形式的作用积 分
，，
在端点 ， 和 ， 的取值不定。则一阶变分
0
由于
，
和 都是独立的变分，
数必须为 0”就推得 Euler 方程
1.1 最初的问题.................................................................................................... 3 1.2 Euler 的贡献................................................................................................... 5 1.3 Lagrange 方法论........................................................................................... 7 §2 边值问题的变分原理 ...................................................................................... 13 2.1 动力学的等价原理 ................................................................................... 13 2.2 Dirichlet 原理 ............................................................................................ 18 2.3 边值问题变分原理 .................................................................................. 24 §3 Sturm—Liouville 问题变分形式 ................................................................. 32 3.1 Rayleigh 商................................................................................................... 32 3.2 最小特征值变分原理 ............................................................................. 33 3.3 非减特征值序列变分原理.................................................................... 35 练习 10......................................................................................................................... 39
常微分方程边值问题的解法
常微分方程边值问题的解法常微分方程是描述自然科学、工程技术和经济管理等领域中各种变化规律的一个基础理论。
而边值问题是求解一些微分方程的重要问题之一，涉及到数学、物理、化学等多个领域。
在本文中，我们将讨论常微分方程边值问题的解法。
1. 边值问题的定义在微分方程解的过程中，边值问题（Boundary Value Problem, BVP）是指在区间 $[a,b]$ 上求解微分方程的解，同时已知$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$ 的问题。
边值问题是对初值问题（Initial Value Problem, IVP）的一种自然延伸，在一定范围内对变量的取值进行限制，使得解的可行域更为明确。
举例来说，对于经典的二阶线性微分方程$$ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \quad a<x<b $$ 如果边界条件是$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$，则这个微分方程就是一个边值问题。
2. 常用解法对于一般的常微分方程边值问题，没有通用的方法可以求出其解析解，必须采用一些数值计算的方法进行求解。
常用的边值问题的解法大致有以下几种：（1）求解特殊解的方法这种方法常用于求解具有周期性边界条件的问题。
如果问题中的边界条件满足：$y(a)=y(b)=0$，则可以将问题转化为一个周期问题，即 $y(a+k)=y(b+k)$，其中 $k=b-a$。
这时，边值问题就变成了求解这个方程的周期解，例如，可以使用Fourier 级数来求解。
（2）变分法变分法是一种基于求解最小值的方法，可以用来求解一类线性边值问题。
其基本思路是将原问题转化为求一个积分的最小值。
对于一般的边值问题 $y''+f(x)y=g(x)$，可以构造一个变分问题：$$ \delta\int_a^b \left(y'^2-f(x)y^2-2gy\right) \mathrm{d}x=0 $$ 这个问题的解可以通过对变分问题的欧拉方程求解而得到。
第二章、变分原理及应用
(2.1.4)
因为 ij 是任意的，所以(2.1.4)成立的充要条件是
0 ij
i (1, 2,...., n), j (1, 2,...., m)
(2.1.5)
(2.1.5)式的方程数量与待定参数 α 的数量相等，用于求解 α 各元素。这种方法称里兹(Litz)法。里兹 法和迦辽金法是连续介质问题中最经典、最常用、最著名的两种数值方法。 如果泛函 中 E 和 F 微分算子对 u 和它导数的最高次方为二次， 则称泛函 为二次泛函， 大量 工程与物理问题泛函都属于二次泛函。对于二次泛函(2.1.1)的近似解是参数 α 的二次多项式，可写成 1 (2.1.6) αT Kα Pα 2 其驻值 其中
利用虚应变
Ω
fi ui dΩ
Γ
pi ui dΓ ij ij dΩ
Ω
(2.3.4)
ij ( ui ' j u j 'i ) / 2
1
(2.3.5)
以及应力张量的对称性、散度定理（Green 公式）和分部积分，对(2.3.4)式的右边积分作如下变换
Ω
而对于非线弹性材料，两者并不相等，只是对全功 W ij ij 是互余关系。
(2.3.3)
3.2 虚位移（虚功）原理
虚功原理或虚位移原理： 外力在虚位移所做的功 （虚功） 等于物体内部应力在虚应变上所做的功， 其中虚位移指的是在物体几何约束所允许位移的任意微小量 ui 。 把虚功原理应用到固体力学中可得
4
所以余应力原理或最小余能原理与几何协调条件和位移边界条件等效。 在以上推导中应用了小变 形假定，从而得出的是小变形条件下的几何方程。如果采用虚应力原理作为数值解法中的等效积分形 式，则平衡方程和应力边界条件是它的约束条件，而几何方程和位移边界条件是近似得到满足。
变分形式
2∑ aikξ i(0 ) = bk ,
i =1 n
k = 1, 2, L, n
不难看出, 若令
1 J ( x ) = ( Ax, x ) − (b, x ) 2
则二次函数J(x)于x0取极值的必要条件是: x0是
(1.1)
Ax = b
(1.2)
的解。 为进一步研究二次函数J(x)于x0的极值性质， 考虑实变量函数
x ∈R
(1.4)
其中J(x)是由(1.1)定义的二次函数 (2)求下列方程组
Ax = b
(1.5)
J(x)称为Rn上的二次泛函。
, 它由矩阵A J(x)由两部分组成: 第一部分是两次项 决定; 第二部分是一次项(b,x) ,它由向量b决定。 下面证明定理1.1: 1 ϕ ( λ ) = J ( x0 + λx ) = ( A( x0 + λx ), ( x0 + λx )) − (b, ( x0 + λx )) 2 λ2 λ 1 λ = ( Ax0 , x0 ) + ( Ax0 , x ) + ( Ax, x0 ) + Ax, x ) − ( b, x0 ) − λ ( b, x ) ( 2 2 2 2
第2章 边值问题的变分形式
第二章 边值问题的变分形式 从本章开始, 将逐步涉及用有限元方法求解微分方程的边值问 题，这种方法属于变分法的范畴, 是古典的变分法与分片多项式 差值相结合的产物。 这种结合使得有限元方法不仅保持了变分法 的优点, 而且可以通过一种标准的过程在电子计算机上实现, 从 而弥补了古典变分方法的不足。 “有限元方法” (Finite Element Method) 这一术语首次出 现于R. W. Clough 1960年9月发表的一篇讨论平面弹性力学问题 的力学论文中。 然而, 这种方法的思想却早已有之。 故“谁首 先”、“在何时” 提出有限元方法的问题在数学家、物理学家 和工程师之间就有三种不同的答案。
i =1 n
k = 1, 2, L, n
不难看出, 若令
1 J ( x ) = ( Ax, x ) − (b, x ) 2
则二次函数J(x)于x0取极值的必要条件是: x0是
(1.1)
Ax = b
(1.2)
的解。 为进一步研究二次函数J(x)于x0的极值性质， 考虑实变量函数
x ∈R
(1.4)
其中J(x)是由(1.1)定义的二次函数 (2)求下列方程组
Ax = b
(1.5)
J(x)称为Rn上的二次泛函。
, 它由矩阵A J(x)由两部分组成: 第一部分是两次项 决定; 第二部分是一次项(b,x) ,它由向量b决定。 下面证明定理1.1: 1 ϕ ( λ ) = J ( x0 + λx ) = ( A( x0 + λx ), ( x0 + λx )) − (b, ( x0 + λx )) 2 λ2 λ 1 λ = ( Ax0 , x0 ) + ( Ax0 , x ) + ( Ax, x0 ) + Ax, x ) − ( b, x0 ) − λ ( b, x ) ( 2 2 2 2
第2章 边值问题的变分形式
第二章 边值问题的变分形式 从本章开始, 将逐步涉及用有限元方法求解微分方程的边值问 题，这种方法属于变分法的范畴, 是古典的变分法与分片多项式 差值相结合的产物。 这种结合使得有限元方法不仅保持了变分法 的优点, 而且可以通过一种标准的过程在电子计算机上实现, 从 而弥补了古典变分方法的不足。 “有限元方法” (Finite Element Method) 这一术语首次出 现于R. W. Clough 1960年9月发表的一篇讨论平面弹性力学问题 的力学论文中。 然而, 这种方法的思想却早已有之。 故“谁首 先”、“在何时” 提出有限元方法的问题在数学家、物理学家 和工程师之间就有三种不同的答案。
变分法
σ x τ yx τ zx (l1τ zx + l2τ zy + l3σ y )δ w] d S x + y + z δ u σ y τ xyx τ zy σ z τ xz τ yz + y + z + x δ v + z + x + y δ w d x d y d z
∫∫∫
及
px= l1σx+l2τyx +l3τzx py= l1τxy+l2σy+l3τzy pz= l1τxz +l2τyz+l3σz
或
Pi = σij lj
而这正是平衡方程和边界条件,这样我们从 虚位移原理或最小势能原理的变分方程,就包含 了平衡方程和边界条件.如果我们给出的位移是 坐标的连续函数(自然满足形变连续方程)满足弹 性体的几何约束,并且也满足最小势能原理或虚 位移原理,则求得的应力也满足平衡方程和边界 条件,也就是说他们是弹性问题的解.
δ = ∑ umδ m u A
m
δ = ∑ vm δBm v
m
δ = ∑ wmδ m w C
m
应变能的变分为
U U U δ = ∑( U δm+ A δm+ B δ m) C Am Bm C m
外力势能的变分为
δ = V
∑ ∫∫∫ ( F
m x m
bx m
u δ m + Fb y vm δBm + Fb z wmδ m ) d x d y d z A C
有 δU =
∫∫∫ ο = x δ u + ... + γ ∫∫∫
x
U 0 U 0 δ ε x + ... + δ γ yz + ... d x d y d z ε γ yz x δ w+ δ yz z y v + ... d x d y d z
变分原理
这一数学工具就没有计算结构力学
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
第三章变分法泛函极值问题ppt课件
2、自由端点的情况
这时 x(t0 )和 x(t f ) 可以发生化，x(t0)0,x(tf)0，
而且可以独立地变化。于是要使（3-2）中第二项 为零，由（3-4）式可得
F (x)ttf
x(tf )0
F (x)tt0
x(t0)0
（3-5） （3-6）
因为这里讨论 x(t)是标量函数的情况，x(t0) 和 x(t f ) 也是标量，且是任意的，故（3-5）、（3-6）可化 为
tt0 f F xx F xx o (x )2 ,(x )2 d t
上式中 o[(x)2,(x)2]是高阶项。
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x dt
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
tf t0
udvuvtt0f
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X,X,t)dt t0
x1(t)
X
x
2
(
t
)
xn (t)
x 1 ( t )
X
x
2
(
t
)
x
n
(
t
)
(3-9) (3-10)
泛函变分由（3-2）式改为
解 这是终端自由的情况。欧拉—拉格朗日方程为
d(2x3x2)0 dt
即
2x3x2 常数
于是 x 是常数，x则是时间的线性函数，令
x(t)A tB
由 x(0)0可得 B0，又终端是自由的，由式 （3-7）可得横截条件为
( F x )t1(2x 3x 2)t10
变分法PPT教学课件
主义道路上。今天的中国，是一个改革开放与和平崛
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁 任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？ （2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？ （3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了 对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什 就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展， 但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突 出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展 和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界 经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割 整体近似 总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁 任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？ （2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？ （3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了 对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什 就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展， 但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突 出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展 和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界 经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割 整体近似 总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;
弹性力学变分原理
fiuikdv
tiuik ds
s ij
ikj
dv
V
S
V
证明：
因为
s是静力容许的
ij
fiuik dv
s ij
,
juik
dv
V
V
s ij
n
juik
ds
us k
ij i ,
j
dv
S
V
移项后
tiuik ds
s
ij
k ij
dv
S
V
fiuikdv tiuikds isjikj dv
又 I （ b f ( x, y, y )dx） a
与上式比较，可得：
b
b
（ f (x, y, y' )dx） f (x, y, y' )dx
a
a
结论：变分运算和积分运算可以交换次序
四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值
如果函数y(x)在x＝x0的邻近任一点上的值都 不大于或都不小于y(x0)，即
三、泛函的变分
一般情况下，泛函可写为：
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增 量可以写成
f f ( x, y y, y y ) f ( x, y, y )
f y f y ...
y y
上式中,右边的前两项是 f 的增量的主部， 定义为 f 的一阶变分，表示为
dv
V
S
V
并取
s ij
ij
fi (ui ui )dv ti (ui ui )ds
V
S
ij (ij ij )dv
V
王振发版-分析力学-课件-第4章-力学的变分原理
(4 - 1b)
变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分 的变分.
（3）变分法 设泛函J 为定积分 J
t2 t1
, t )dt F ( q, q
现欲求通过两固定点 A (t1 , q1 ) 和 B (t 2 , q2 ) 的一条曲线 q q(t ) ， 如图 实线所示，这条曲线使泛函 J 具有极 值。 为表示通过A，B两固定点的与 q (t )
非常接近的一族函数，我们将这族
函数表示为依赖于参数 当 0 时， q ( , t ) q (t ) ，就是欲求的函数 q q (t ) 。
的函数 q( , t ) q(t ) (t ) ；
因
可为不同的值，因此泛函 J 也是 ( , t ), t ]dt J ( ) F [q( , t ), q
a (1 cos )d dx 2
积分后得 由
xA 0, y A 0
a x ( sin ) C 2
得
C0 。
于是最后得
a x ( sin ) 2 a y ( cos ) 2
这是以
为参数的旋轮线的曲线方程。其中
xB, y B
给定一个由任何对象组成的集合D，这里所说的任 何对象可以是数、数组、点、线、面，也可以是函数或 某系统的状态等。设集合D中的元素用 x 表示，如果对 于集合中的每一个元素 x 对应一个数 y，则称 y 是x的泛 函，记为 y=F (x).
有时泛函可以看做是函数，函数也可看做是泛数。
譬如，如果集合D中的元素是数 x ，则泛函y=F (x)可 视为函数 y=f (x) ； 如果集合D中的元素是数组（x1, x2, …xn），则泛函 y=F (x) 可视为函数 y=f (x1, x2…xn)。
【正式版】边边边定理PPT
解： △ABC≌△DCB 第四组:以3cm、5cm、7cm为边画三角形 1: 本节课我们一起探索了判断两个三角形全等的条件之一“三边对应相等”. 通过本节课的学习你知道了什么？
你们手里有没有三个角对应相等的三角形,比比看. 第二组:以4cm、5cm、7cm为边画三角形
满足一组量对应相等时，是否全等. 想想：一组量对应相等时有几种可能？ 画画看.
智者探宝 2 :
满足两组量对应相等时，是否全等.
以前后桌为小组自由画图: 必须保证小组内所画三角形有两组量对应相等.
智者探宝 3：
满足三组量对应相等时，是否全等.
(△2)A、BC三条≌边对应想相等（想:）如果给出三个条件画三角形,会出现几种情况?
BDFC 将你画的三角形与同桌或前后桌比较.
（1）三个角对应相等 想想:如果给出三个条件画三角形,会出现几种情况?
边边边定理
指点迷津:
在上节课的学习中我们知道全等三角形的 “对应边相等、对应角相等”，好奇的你是否 想过，如果把它们反过来“对应边相等、对应 角相等”的两个三角形一定全等吗？如果全等 至少需要几组量对应相等？一组可以吗？两组、 三组呢？
智者探宝 1：
满足一组量对应相等时，是否全等.
想想：一组量对应相等时有几种可能？ 画画看.
(2) 、三条边对应相等
以大组单位,以下列数据为边画三角形.
第一组:以3cm、4cm、5cm为边画三角形 第二组:以4cm、5cm、7cm为边画三角形 第三组:以2cm、3cm、4cm为边画三角形 第四组:以3cm、5cm、7cm为边画三角形
将你画的三角形与同桌或前后桌比较. 你发现了什么？
1、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明
你们手里有没有三个角对应相等的三角形,比比看. 第二组:以4cm、5cm、7cm为边画三角形
满足一组量对应相等时，是否全等. 想想：一组量对应相等时有几种可能？ 画画看.
智者探宝 2 :
满足两组量对应相等时，是否全等.
以前后桌为小组自由画图: 必须保证小组内所画三角形有两组量对应相等.
智者探宝 3：
满足三组量对应相等时，是否全等.
(△2)A、BC三条≌边对应想相等（想:）如果给出三个条件画三角形,会出现几种情况?
BDFC 将你画的三角形与同桌或前后桌比较.
（1）三个角对应相等 想想:如果给出三个条件画三角形,会出现几种情况?
边边边定理
指点迷津:
在上节课的学习中我们知道全等三角形的 “对应边相等、对应角相等”，好奇的你是否 想过，如果把它们反过来“对应边相等、对应 角相等”的两个三角形一定全等吗？如果全等 至少需要几组量对应相等？一组可以吗？两组、 三组呢？
智者探宝 1：
满足一组量对应相等时，是否全等.
想想：一组量对应相等时有几种可能？ 画画看.
(2) 、三条边对应相等
以大组单位,以下列数据为边画三角形.
第一组:以3cm、4cm、5cm为边画三角形 第二组:以4cm、5cm、7cm为边画三角形 第三组:以2cm、3cm、4cm为边画三角形 第四组:以3cm、5cm、7cm为边画三角形
将你画的三角形与同桌或前后桌比较. 你发现了什么？
1、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
现在研J(究 x)存在极小值的充 条分 件必 。要
显然()J(x0)2[(Ax0,x)(Ax,x0)2(b,x)] 2
(Ax,x) 2
因 A 为 是 对 称 矩 阵 ， 故
()J(x0x)J(x0)(A0xb,x)
2
(A,xx) 2
(1.3)
若J(x)于x0取极小值，则
(0) (Ax0 b, x) 0 对任意 xRn
所谓的完全，是指Cauchy收敛定理在
L2(I )成立。就是说，L2(I )中任一函数列{ fn}， 如果关于度量（ 即按L2(I)度量）满足Cauchy
条件： fn fm 0 (n, m )
则必有f L2(I)使 fn f 0 (n )
记为
lim
n
fn
f
Schwarz 不等式 设 L2 ( I )，则乘积 f g L1 ( I ), 且
2
这 说 明J ( x)于x0取 极 小 值 。
定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两 个问题等价：
(1) 求x0 Rn 使
J
(
x0
)
min
x0Rn
J(
x)
(1.4)
其中J ( x)是由(1.1)定义的二次函数。
(2) 求下列方程组的解：
Ax b
(1.5)
J ( x)是 定 义 在 全 空 间 上 的 二次 函 数 ， 称 为 上 的 二 次泛 函
F(1(0)
,(0),(0)
2
n
)
k
n
(aik
i1
aki)
(0)
i
bk
0
k 1,2,,n.
假定aik aki，即A为对称矩阵，则
n
2
aki
(0)
i
bk
i1
k 1,2,,n.
若 令 J(x) 1(Ax, x)(b, x) 2
(1.1)
则 二 次 函J数(x)于x0取 得 极 值 的 必 要 条：件 是
和边值条件u(0) 0,u(l) 0 (2.2)
这 样 ， 求 弦 的 平 衡就位归置结 为 解 两 点
边 值 问 题 (2.1),(2.2). 另一方面，由力学“极 小位能原理”弦的平衡 位置
u* u* ( x )是满足边值条件的一切 可能位置中，使位能 最小。设弦任意位置 u u( x ), 它的总位能为
第三章边值问题的变分形式
§1 二次函数的极值 §2 两点边值问题 §3 二阶椭圆型边值问题
§1 二次函数的极值
在 n维欧氏空间 R n中引入向量、矩阵记号 ：
x (1 , 2 , n )T
b (b1 , b2 , bn )T
a11 a12
A
a
21
a 22
a
n1
an2
a1n
a
2
n
或 简 称 泛 函 数 。 泛 函 数J ( x)由 两 部 分 组 成 ： 第 一 部分 是 二
次 项1 ( Ax, x)， 它 由 矩 阵A决 定 ； 第 二 部 分 是 一 次项(b, x)， 2
它 由 向 量b决 定.
§2 两点边值问题
2.1 弦 的 平 衡
考 察 一 根 长l的 为弦 ， 其 两 端 固 定 在 点
零 的 函 数 类 。 对 于于任[a一 ,b]一 次 连 续 可 微 的
函 数f (x)和 任 意 C0(I)， 用 分 部 积 分 法 ， 有
b
b
a f (x)(x)dx a f (x)(x)dx (2.5)
在I上 的 平 方 可 积 的 可 测 函数 组 成 的 空 间 。
内 积
( f , g)
b
f gdx,
f , g L2(I )
a
范 数
f
(f, f) [
b
f
1
2 dx]2 , f L2(I )
a
L2 ( I )关于“加法”及“数乘 ”运算是线性空间， 关 于 (, )是 完 全 内 积 空 间 ， 因 此 L2 ( I )是 Hilbert 空 间 。
( f ,g) f g
广义导数概念
设f L2(I)， 若 存 g在 L2(I)， 使 等 式
bg(x)(x)dx b
a
a
f(x)(x)dx，
对
任 意 C0(I)
(2.6
恒 成 立 ， f(x则 )于I说 有 广 义g导 (x)， 数记 为
f(x)dfg(x) 用C0(I)表 示d于Ix无 穷 次 可 微 ， 且 在a端 ,b的点 某 一 邻 域 内 （ 邻 域与大具小体 函 数 有 关 b
(1.2)
的解
为了进一步J(研 x)的 究极值性质，考量虑 的实变 二次函数()J(x0 x)
其中 x是任n一 维非零向 . 量
若J(x)于x0取极小值，则对 0任 ，何 ()J(x0 x)J(x0)(0),即()于0取极小值
反之 ， ()于 若 0取极小值，零 则向 对 x， 量 任 J(x0x)（ 1） (0)J(x0),即 J(x)于 x0取极小值
a
nn
( )T 表示括号内向量或矩阵
的转置。令
y
(
，
1
2
,n
)T
n
定义 x, y的内积为 ( x, y ) i i i1
考 虑 n个 变 量 的 二: 次 函 数
n
n
F(x)F(1,2,n) aijij bii
i,j1
i1
(Ax,x)(b,x)
它 在 x0 (1(0),2(0),n(0))T取 得 极 值 的 必 要:条 件
从而Ax0 b0，这说x明0是(1.2)的解。又
(0) (Ax, x)0,对任意非零向 x量Rn
故A必为正定矩阵。
反 之 ， 设A是 正 定 矩 阵 ，x0是 方 程 组(1.2)的 解 ，
即 Ax0 b 0，
则 由(1.3)得
( )
J(
x0 )
2
2
( Ax,
x)
(0) 2 ( Ax, x) (0), 0, x 0
A(0,0)和B(l,0)。 设 有 强 度f为 (x)的 外
荷 载 垂 直 向 下 作 用上在，弦发 生 形 变 。
用u u(x)表 示 在 荷f载(x)作 用 下 弦 的 平 衡 位 置 。
A
B
0
l
xx
u
根 据 力 的 平 衡 条u件(x)， 满 足 微 分 方 程
(2.1) Tu f (x), 0 x l T是弦的张力。
J (u ) W W 1
l
T
( u) 2 dx
l
f udx
20
0
1
l
[T
(u)2
2 uf
]dx
20
(2.3)
据极小位能原理， u* u* ( x )是下列变分问题的解：
J ( u* ) min J ( u )
(2.4)
2.2 Sobolev空间H m (I )
设I (a, b), I [a, b].用L2(I )表示由定义