科赫曲线
cohort曲线
cohort曲线
科赫曲线是一种分形曲线，也被称为雪花曲线。
它是由海里格·冯·科赫在1904年的论文中首次提出的。
科赫曲线是通过在等边三角形每一边上反复应用一系列规则来生成的。
具体地说，对于三角形的每一边，首先找到其中心点，然后将每一边分为两部分，接着在每部分中点处按照相同的角度和长度引出新的线段，直到无穷。
这些线段所组成的曲线就是科赫曲线。
科赫曲线的形态类似于雪花，因此也被称为科赫雪花。
它的豪斯多夫维数是1.30357…，这意味着它的长度是无限的，但面积却是有限的。
科赫曲线的生成和应用在数学、计算机图形学、物理学和经济学等领域都有广泛的应用。
雪花中的数学问题
雪花中的数学问题雪花中的数学问题主要是与雪花曲线（也称为科赫曲线）有关。
雪花曲线是由一组连续的三角形构成，每个三角形都以一个点为中心，向外延伸出三个分支，每个分支又继续向外延伸出三个分支，如此不断重复。
这种曲线的形状类似于雪花，因此得名。
在雪花曲线中，有一个重要的数学概念叫做“迭代函数系统”（Iterated Function Systems，简称IFS）。
迭代函数系统是由一组函数构成，每个函数都会将输入的图像变换成另一幅图像。
在雪花曲线的生成过程中，每个三角形都可以看作是一个迭代函数，通过不断应用这些函数，最终生成了雪花曲线的形状。
此外，雪花曲线还与分形几何有关。
分形几何是一种研究形状和结构的数学分支，它的特点是可以通过不断迭代来生成复杂的形状。
雪花曲线是一种典型的分形几何图形，其形状和结构可以通过迭代函数系统和分形几何的理论来描述和分析。
除了在自然界中发现的美丽分形结构，雪花曲线还与计算机图形学和数据压缩等领域有着紧密的联系。
在计算机图形学中，雪花曲线可以作为一种生成复杂形状和图案的有效方法。
而在数据压缩领域，雪花曲线因其独特的形状和结构也被用作一种高效的数据压缩算法。
此外，雪花曲线还被应用于图像处理和模式识别等领域。
通过利用雪花曲线的特性和算法，可以实现对图像的高效处理和识别。
例如，在图像处理中，可以使用雪花曲线来分割图像中的不同区域，从而实现图像的分割和识别。
总之，雪花曲线作为一种独特的数学概念和分形几何图形，不仅在自然界中有着广泛的应用，还在计算机科学、数据压缩、图像处理和模式识别等领域发挥着重要的作用。
通过深入研究和探索雪花曲线背后的数学原理和算法，我们可以不断发现新的应用场景并推动相关领域的发展。
科赫雪花周长推导公式过程
科赫雪花周长推导公式过程
科赫雪花曲线由一个正三角形生成，即将正三角形的每一边三等分后将中间一段向外凸起成一个以该段长度为边长的正三角形（去掉底边），然后对每一段直线又再重复上述过程，这样无休止地重复下去既得科赫雪花曲线。
它最早出现在海里格·冯·科赫的论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》。
科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的。
科赫雪花曲线是分形曲线,随着N增大,长度趋向于无穷大.
设三角形边长为1，则三角形周长为3
周长为1 x 4/3 = 4/3
周长为1 x 4/3 x 4/3 = 16/9
周长为1 x 4/3 x 4/3 x 4/3 x 4/3......= ∞
周长和面积只有给出具体的N才有意义, 下面给出它的计算式：周长计算公式：
(4/3)^n
面积计算公式：
1+(4/9)×3+(4/9)^2×3+(4/9)^3×3
+……+(4/9)^n×3。
基于科赫曲线的PEMFC新型流道设计
质子交换膜燃料电池流道结构对反应气体流动、热交换、电化学反应具有重要影响。
目前，常见流道集中在蛇形、叉指形、点状形、波浪形、平行直流道以及相关改进流道，且在气体均匀性、水管理性能和输出性能上仍有待改进。
受数学几何领域的科赫曲线启发，本团队提出了一种新型流道结构，即以圆心为中心向四周辐射，并在6条主干流道的基础上依次添加不同级别的分支流道，最终形成30个流道出口。
建立三维稳态单向等温的燃料电池模型，在工作温度为60 ℃，进气相对湿度为100%工况下，搭建燃料电池测试平台进行实验，并借助ANSYS Fluent 2020进行仿真，模型仿真结果与实验结果基本吻合，验证了模型的有效性。
将新型流道与传统蛇形流道仿真结果进行比较，分析膜电极电流密度、流道氧气质量分布、流道与气体扩散层交界面水质量分布、膜水含量、流道压力等，结果表明，相比蛇形流道，新型流道的进排气口压降较小、流速较慢，但具有反应气体分布更均匀、水管理效果更好和膜电流密度、输出功率更高等优势，且峰值电流密度增加9.60%、峰值功率密度增加12.70%，有望为燃料电池流道结构创新提供新的思路。
关键词质子交换膜燃料电池；科赫曲线；新型流道；数值模拟燃料电池是一种电化学能量转换装置，能够直接将化学能转换为电能，且不受卡诺循环限制，具有较高的能量利用率。
其中，质子交换膜燃料电池(proton exchange membrane fuel cell，PEMFC)因其高效、清洁、噪声小、功率密度高、工作温度低、启停响应快等优点受到全球广泛关注。
然而PEMFC大规模商业化过程仍然存在如耐久性、内部组分分布不均导致的输出性能降低等技术问题。
双极板是PEMFC中的一个重要结构，具有支撑电池、传导电子、输送反应气体、传导散热、排除水分等作用，可以考虑通过改进极板内部流道设计来提升PEMFC整体性能，加速PEMFC发展。
此外，良好的流道设计可以促进反应气体在活性区的均匀分布，并确保传质的效率和稳定性，降低反应气体的压力损失、寄生功率。
物理学中的分形结构与非线性动力学
物理学中的分形结构与非线性动力学分形结构与非线性动力学是物理学中两个重要的研究方向。
分形是指一种具有自相似性的形态结构，即整体的一部分与整体相似。
非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，它试图描述复杂系统的行为方式。
在物理学中，分形结构的研究已经取得了重要的成果。
一个著名的例子是“科赫曲线”，它是一种连续不可导的曲线，具有无穷多的细节。
科赫曲线可以通过无限次的迭代产生，每一次迭代都是将线段等分为三等分，并且去掉中间的一段。
经过无限次的迭代，科赫曲线的长度会趋近于无穷大，但是它的面积却保持为有限值。
这种奇特的性质使得科赫曲线成为了分形结构的典型代表。
分形结构在自然界中随处可见。
例如，树叶的形态就具有分形特征，从整体到局部都呈现出一种相似的形态。
山脉的轮廓线也具有分形的特征，不论是从整个山脉到山脉上的小山丘，都呈现出一种相似的形态。
这些分形结构的存在揭示了一种普遍的规律，即自然界中的许多现象都具有自相似性。
非线性动力学则关注的是复杂系统的行为方式。
传统的物理学主要研究线性系统，线性系统的特点是输入与输出之间存在线性关系，可以通过叠加原理进行分析。
但是在现实世界中，许多系统都是非线性的，它们的行为往往无法通过线性关系完全描述。
非线性动力学的目标是研究这些非线性系统的行为，了解其演化规律。
在非线性动力学中，混沌现象是一个非常重要的概念。
混沌现象指的是个体行为在微小的变化下产生显著的不确定性。
混沌现象的出现使得系统的行为变得复杂而难以预测。
一个著名的例子是“蝴蝶效应”，即一个蝴蝶在巴西拍动翅膀可能会引起美国的龙卷风。
这种微小的变化在非线性系统中会被放大和传播，最终导致系统呈现出混沌的行为。
分形结构与非线性动力学在物理学中的研究不仅有理论上的兴趣，还有实际应用的价值。
例如，通过研究分形结构可以帮助我们更好地理解和描述自然界中的复杂现象。
在地理学中，通过分形几何理论可以对城市形态进行研究和规划，从而提高城市的可持续发展性。
科赫雪花曲线的MATLAB编程实现
科赫雪花曲线的MATLAB编程实现科赫雪花曲线的MATLAB编程实现2.1 经一次迭代的科赫曲线MATLAB实现程序如下：x1=[1 2 2.5 3 4];y1=[0 0 0 0 0];h1=plot(x1,y1,'linewidth',2,'erasemode','xor');axis equalaxis offfor g=linspace(0,1,40)*sin(pi/3);y1(3)=g;set(h1,'ydata',y1);drawnow;end一次迭代所得科赫曲线如图一：图一：2.2 经二次迭代的科赫曲线MATLAB 实现程序如下：x2=x1(1);y2=y1(1);for k=2:length(x1);t=linspace(x1(k-1),x1(k),4) ;tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];x2=[x2,tt];t=linspace(y1(k-1),y1(k),4);tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];y2=[y2,tt];endA=angle((y2(4:4:end)-y2(2:4:end))*i+(x2(4:4:end)-x2(2:4:end))); for g=linspace(0,1,40)*sin(pi/3)/3;y2(3:4:end)=(y2(4:4:end)+y2(2:4:end))/2+imag(g*exp(i*(A+pi/2))); x2(3:4:end)=(x2(4:4:end)+x2(2:4:end))/2+real(g*exp(i*(A+pi/2))) ; set(h1,'ydata',y2,'xdata',x2);drawnow;end二次迭代后所得科赫曲线如图二：图二MATLAB 实现程序如下x3=x2(1);y3=y2(1);for k=2:length(x2);t=linspace(x2(k-1),x2(k),4);tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];x3=[x3,tt];t=linspace(y2(k-1),y2(k),4);tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];y3=[y3,tt];endA=angle((y3(4:4:end)-y3(2:4:end))*i+(x3(4:4:end)-x3(2:4:end))); for g=linspace(0,1,40)*sin(pi/3)/9;y3(3:4:end)=(y3(4:4:end)+y3(2:4:end))/2+imag(g*exp(i*(A+pi/2))); x3(3:4:end)=(x3(4:4:end)+x3(2:4:end))/2+real(g*exp(i*(A+pi/2))); set(h1,'ydata',y3,'xdata',x3);drawnow;end三次迭代后所得科赫曲线如图三：图三MATLAB 实现程序如下x4=x3(1);y4=y3(1);for k=2:length(x3);t=linspace(x3(k-1),x3(k),4);tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];x4=[x4,tt];t=linspace(y3(k-1),y3(k),4);tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];y4=[y4,tt];endA=angle((y4(4:4:end)-y4(2:4:end))*i+(x4(4:4:end)-x4(2:4:end))); for g=linspace(0,1,40)*sin(pi/3)/27;y4(3:4:end)=(y4(4:4:end)+y4(2:4:end))/2+imag(g*exp(i*(A+pi/2))); x4(3:4:end)=(x4(4:4:end)+x4(2:4:end))/2+real(g*exp(i*(A+pi/2))); set(h1,'ydata',y4,'xdata',x4);drawnow;end四次迭代后所得科赫曲线如图四：图四MATLAB 实现程序如下x5=x4(1);y5=y4(1);for k=2:length(x4);t=linspace(x4(k-1),x4(k),4);tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];x5=[x5,tt];t=linspace(y4(k-1),y4(k),4);tt=[t(2),mean(t),t(3:4)];y5=[y5,tt];endA=angle((y5(4:4:end)-y5(2:4:end))*i+(x5(4:4:end)-x5(2:4:end))); for g=linspace(0,1,40)*sin(pi/3)/81;y5(3:4:end)=(y5(4:4:end)+y5(2:4:end))/2+imag(g*exp(i*(A+pi/2))); x5(3:4:end)=(x5(4:4:end)+x5(2:4:end))/2+real(g*exp(i*(A+pi/2))); set(h1,'ydata',y5,'xdata',x5);drawnow;end五次迭代后所得科赫曲线如图五：图五。
java分形绘制科赫雪花曲线（科赫曲线）代码分享
java分形绘制科赫雪花曲线（科赫曲线）代码分享⾸先我们举个例⼦：我们可以看到西兰花⼀⼩簇是整个花簇的⼀个分⽀，⽽在不同尺度下它们具有⾃相似的外形。
换句话说，较⼩的分⽀通过放⼤适当的⽐例后可以得到⼀个与整体⼏乎完全⼀致的花簇。
因此我们可以说西兰花簇是⼀个分形的实例。
分形⼀般有以下特质：在任意⼩的尺度上都能有精细的结构；太不规则，以⾄难以⽤传统欧⽒⼏何的语⾔描述；（⾄少是⼤略或任意地）⾃相似豪斯多夫维数会⼤於拓扑维数；有著简单的递归定义。
（i）分形集都具有任意⼩尺度下的⽐例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能⽤传统的⼏何语⾔来描述，它既不是满⾜某些条件的点的轨迹，也不是某些简单⽅程的解集。
（iii）分形集具有某种⾃相似形式，可能是近似的⾃相似或者统计的⾃相似。
（iv）⼀般，分形集的“分形维数”，严格⼤于它相应的拓扑维数。
（v）在⼤多数令⼈感兴趣的情形下，分形集由⾮常简单的⽅法定义，可能以变换的迭代产⽣。
⽤java写分形时，不同的图形根据不同的画法调⽤递归来实现，如：科赫曲线：复制代码代码如下:public void draw1(int x1, int y1, int x2, int y2,int depth) {//科赫曲线 g.drawLine(x1, y1, x2, y2);if (depth<=1)return;else {//得到三等分点double x11 = (x1 * 2 + x2) / 3;double y11 = (y1 * 2 + y2) / 3;double x22 = (x1 + x2 * 2) / 3;double y22 = (y1 + y2 * 2) / 3;double x33 = (x11 + x22) / 2 - (y11 - y22) * Math.sqrt(3) / 2;double y33 = (y11 + y22) / 2 - (x22 - x11) * Math.sqrt(3) / 2;g.setColor(j.getBackground());g.drawLine((int) x1, (int) y1, (int) x2, (int) y2);g.setColor(Color.black);draw1((int) x1, (int) y1, (int) x11, (int) y11,depth-1);draw1((int) x11, (int) y11, (int) x33, (int) y33,depth-1);draw1((int) x22, (int) y22, (int) x2, (int) y2,depth-1);draw1((int) x33, (int) y33, (int) x22, (int) y22,depth-1);}}正⽅形：复制代码代码如下:public void draw2(int x1, int y1, int m,int depth) {//正⽅形 g.fillRect(x1, y1, m, m);m = m / 3;if (depth<=1)return;else{double x11 = x1 - 2 * m;double y11 = y1 - 2 * m;double x22 = x1 + m;double y22 = y1 - 2 * m;double x33 = x1 + 4 * m;double y33 = y1 - 2 * m;double x44 = x1 - 2 * m;double y44 = y1 + m;double x55 = x1 + 4 * m;double y55 = y1 + m;double x66 = x1 - 2 * m;double y66 = y1 + 4 * m;double x77 = x1 + m;double y77 = y1 + 4 * m;double x88 = x1 + 4 * m;double y88 = y1 + 4 * m;draw2((int) x11, (int) y11, (int) m,depth-1);draw2((int) x22, (int) y22, (int) m,depth-1);draw2((int) x33, (int) y33, (int) m,depth-1);draw2((int) x44, (int) y44, (int) m,depth-1);draw2((int) x55, (int) y55, (int) m,depth-1);draw2((int) x66, (int) y66, (int) m,depth-1);draw2((int) x77, (int) y77, (int) m,depth-1);draw2((int) x88, (int) y88, (int) m,depth-1);}}谢冰斯基三⾓形：复制代码代码如下:public void draw3(int x1,int y1,int x2,int y2,int x3,int y3,int depth){//三⾓形 double s = Math.sqrt((x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1));g.drawLine(x1,y1,x2,y2);g.drawLine(x2,y2,x3,y3);g.drawLine(x1,y1,x3,y3);// if(s<3)// return;if (depth<=1)return;else{/** 上⾯的三⾓形*/double x11=(x1*3+x2)/4;double y11=y1-(s/4)*Math.sqrt(3);double x12=(x1+x2*3)/4;double y12=y11;double x13=(x1+x2)/2;double y13=y1;/** 左边的三⾓形*/double x21=x1-s/4;double y21=(y1+y3)/2;double x22=x1+s/4;double y22=y21;double x23=x1;double y23=y3;/** 右边的三⾓形*/double x31=x2+s/4;double y31=(y1+y3)/2;double x32=x2-s/4;double y32=y21;double x33=x2;double y33=y3;draw3((int)x11,(int)y11,(int)x12,(int)y12, (int)x13, (int)y13, depth-1);draw3((int)x21,(int)y21,(int)x22,(int)y22, (int)x23, (int)y23, depth-1);draw3((int)x31,(int)y31,(int)x32,(int)y32, (int)x33, (int)y33, depth-1);}}科赫曲线是⼀种外形像雪花的⼏何曲线，所以⼜称为雪花曲线，它是分形曲线中的⼀种，具体画法如下：1、任意画⼀个正三⾓形，并把每⼀边三等分；2、取三等分后的⼀边中间⼀段为边向外作正三⾓形，并把这“中间⼀段”擦掉；3、重复上述两步，画出更⼩的三⾓形。
科赫定理的具体内容
科赫定理的具体内容
科赫定理是数学中的一个重要定理，它指出任何一条直线段都可以用无限多个等长的连续线段来逐步逼近。
具体来说，科赫定理可以分为以下几个要点：
1. 科赫曲线的定义：科赫曲线是一个无限长的线段，它可以通过分割和连接线段来逐渐逼近给定的线段。
2. 科赫定理的表述：对于任意一个线段，无论它的长度有多长，都可以用无限多个等长的连续线段来逐步逼近。
3. 科赫曲线的构造：科赫曲线可以通过将线段分成三段，然后用两条直线段连接它们的中点来构造。
然后，每一段线段都可以再分成三段，然后用两条直线段连接它们的中点，以此类推。
4. 科赫曲线的性质：科赫曲线具有无限长度、无限奇异点和无法测量的维度等特殊性质，因此它被广泛应用于几何学、拓扑学、物理学等领域。
综上所述，科赫定理是一条基础数学定理，它在数学中有着重要的应用价值，也为其他学科的研究提供了基础理论支持。
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科赫曲线的相似比
科赫曲线的相似比全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：科赫曲线是数学领域中的一个经典问题，也被称为科赫雪花曲线，是由瑞典数学家科赫（Helge von Koch）于1904年引进的。
科赫曲线是一条无限长的闭合曲线，由无限次重复的相似变换构成。
科赫曲线的构造方法非常简单，但却展现出了奇妙的几何美学。
科赫曲线的构造方法是这样的：我们从一个等边三角形开始，然后在每一条边的中点处剪去长度的1/3，然后在这段长度的1/3处再剪去1/3，依此类推，不断重复这样的操作。
最终，我们将得到一条无限长的曲线，形状呈现出一个六边形的特殊图形，即科赫雪花曲线。
科赫曲线的相似比是一个重要的概念，它描述了在科赫曲线的每一级迭代过程中，新生成的曲线与原有曲线的尺寸比例。
要计算相似比，我们首先需要理解科赫曲线的构造过程，然后考虑每个迭代步骤中的尺寸变化，最终得出相似比的数学公式。
在科赫曲线每一级的迭代过程中，我们都可以计算新生成的曲线与原有曲线的尺寸比例。
具体而言，我们可以定义相似比为每一级迭代过程中新生成的曲线长度与原有曲线长度的比值。
通过计算不同级别的相似比，我们可以观察到科赫曲线的尺寸变化规律，探究无限迭代下科赫曲线的尺寸趋势。
科赫曲线的相似比是一个十分有趣的数学问题，它展示了科赫曲线的迭代特性和尺寸变化规律。
通过研究科赫曲线的相似比，我们可以更深入地了解科赫曲线的数学性质，研究科赫曲线在几何学和分形几何学中的应用，以及探讨科赫曲线背后的数学原理和美学魅力。
希望通过对科赫曲线的相似比的研究，我们可以更好地理解科赫曲线的奇妙性质和美学特性，探究科赫曲线的数学原理和几何规律，促进科赫曲线相关领域的发展和应用，为科赫曲线的研究和实践提供新的思路和方法。
相信科赫曲线的相似比研究将为数学领域的进步和发展带来新的机遇和挑战，为科学研究和应用创造更多的可能性和发展空间。
【本段字数共计200字】第二篇示例：科赫曲线是数学上一种有趣的几何曲线，在19世纪由法国数学家波利耶发现。
毕达哥拉斯数 科赫曲线
毕达哥拉斯数科赫曲线
毕达哥拉斯数是指满足毕达哥拉斯定理的三个正整数a、b、c，即a^2 + b^2 = c^2。
毕达哥拉斯数是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一个重要概念，在数论和几何学中有广泛的应用。
科赫曲线，也称科赫雪花，是一条无限长度的分形曲线，由瑞典数学家奥斯卡·科赫于1904年首次引入。
科赫曲线以极简主义的方式构造，起初是一个边长为l的正三角形，然后将每个边按照特定的方式分成三等份，再去掉中间的一份，然后对剩下的每条边重复相同的操作。
经过无限次迭代后，就形成了科赫曲线。
毕达哥拉斯数和科赫曲线在数学中有着不同的应用和研究价值。
毕达哥拉斯数可以在解决特定的几何问题时提供有用的信息，而科赫曲线则是一种具有美学价值和几何特性的分形曲线，具有深远的数学和物理学意义。
简述柯赫氏法则的内容
简述柯赫氏法则的内容
柯赫氏法则是指一种经济学规律，也称为收入不均规律。
该规律主要指出，当经济增长时，收入分配会越来越不均衡，即贫富差距将会继续扩大。
柯赫氏法则的本质是在说明一种社会现象，即随着经济的发展，社会财富的集中程度会越来越高，小部分人将掌握更多的财富，而大部分人的收入则会相对减少。
这种现象的原因是多方面的，包括产业结构、技术进步、政策变化等等。
在柯赫氏法则的图形上，一条曲线将不均衡的收入分配以一个标准的方式表示出来。
曲线越高，说明不均衡程度越高。
在经济学中，这条曲线被称为柯赫氏曲线。
柯赫氏法则的应用非常广泛。
它不仅可以用来衡量一个国家或地区的收入不均衡程度，还可以用来预测未来的趋势，以及为制定经济政策提供参考。
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koch分形维数 -回复
koch分形维数-回复什么是Koch分形维数？Koch分形维数是描述一种特殊的几何形状，即科赫雪花曲线的维度。
科赫雪花曲线是一种自相似的分形图形，由瑞典数学家海尔曼·冯·科赫于1904年发现。
该图形以其奇特的形状和无限的细节层次而闻名，使人们对其维度产生了浓厚的兴趣。
为了理解Koch分形维数，我们首先需要了解一些基本概念。
在几何学中，维度用于描述对象的几何丰满程度。
通常，我们将直线的维度定义为1，面的维度定义为2，体的维度定义为3。
然而，对于复杂的分形图形，传统的整数维度定义无法很好地描述其几何性质。
科赫雪花曲线是由一条长度为L的线段开始构造的。
首先，在线段中间划分出1/3的部分，并在该部分上构建一个等边三角形。
然后，再次在每个三角形边的中间划分出1/3的部分，然后在该部分上构建一个等边三角形。
以此类推，重复这个过程无限次，我们可以得到一个无穷细节的科赫雪花曲线。
为了计算科赫雪花曲线的维数，我们首先要计算每一次迭代后曲线的长度。
在第一次迭代后，曲线的长度变为原来的四分之一加上两个等边三角形的周长，即L/3 + L/3 = 2L/3。
在第二次迭代后，曲线的长度变为原来的四分之一加上每个小等边三角形的周长，即(2L/3) * 4/3 = 8L/9。
以此类推，第n次迭代后曲线的长度为(4/3)^n * (2L/3)。
接下来，我们将曲线的长度与单位长度进行比较。
单位长度是指等边三角形的边长，由于等边三角形的边长为L/3，所以单位长度为L/3。
将曲线的长度除以单位长度，我们可以得到一个比值，表示曲线的线段数。
由于每一次迭代都会将曲线的长度变为原来的四分之一，所以比值也将无限逼近于4/3。
最后，我们可以使用Hausdorff-Besicovitch维度公式来计算Koch分形维数。
该公式定义如下：D = log(N) / log(1/s)其中，D表示分形维数，N表示曲线的线段数（即上一步计算得到的比值），s表示每次迭代后曲线长度与单位长度的比例（即4/3）。
科赫曲线反向绘制
科赫曲线反向绘制
科赫曲线是一种用于描述物质转化和化学反应的图形，通常绘制的是科赫曲线的正向，但在某些情况下，我们需要绘制其反向。
例如，当我们想要绘制一个化学反应的科赫曲线时，我们可能需要将其反向以反映反应过程中物质的减少或增加。
此外，科赫曲线的反向绘制也可能在其他领域有应用，例如生态学和经济学。
要绘制科赫曲线的反向，我们需要先确定反应物和生成物的数量在反应过程中的变化。
如果反应是正向反应，那么反应物的数量会随时间减少，而生成物的数量会随时间增加。
如果我们想要绘制科赫曲线的反向，那么我们需要观察反应过程中生成物的数量随时间的增加而减少，而反应物的数量随时间减少而增加。
在绘制科赫曲线的反向时，我们需要注意以下几点:
1. 确保反应物和生成物的数量在反应过程中是可逆的，这样才能确保反应的正向和反向都能够绘制在科赫曲线上。
2. 确定反应的起始条件和终止条件，以便确定反应过程中物质的数量变化。
3. 注意科赫曲线的反向绘制可能需要根据不同的反应机制进行调整，以确保其符合反应物和生成物数量的变化。
总结起来，科赫曲线的反向绘制可以帮助我们更好地理解化学反应的机制和过程，并为科学研究和工程设计提供重要的指导。
分形 科赫曲线 等边三角形
分形科赫曲线等边三角形《神奇的分形世界》嘿，小伙伴们！你们知道什么是分形吗？这可真是个超级有趣又神奇的东西！有一天，上数学课时，老师给我们讲了一个叫科赫曲线的玩意儿。
一开始，我还一脸懵，这到底是啥呀？老师在黑板上画了一个等边三角形，我心想，这不是很简单嘛，就是个普通的三角形呗。
可接下来的操作，让我瞪大了眼睛！老师把这个等边三角形的每条边，都平分成三段，然后以中间那一段为底边，向外画一个等边三角形。
哇塞！原来的三角形一下子就变得不一样了。
这就好像是一个小小的魔法！然后老师又对新出现的每条边重复同样的操作。
这时候，图形越来越复杂，越来越好看。
我忍不住问老师：“这到底有啥用啊？”老师笑着说：“这就是分形的魅力呀！”我还是不太懂，这分形难道只是为了让图形变得好看？回到家，我赶紧去网上查资料。
嘿，不查不知道，一查吓一跳！原来分形在大自然中到处都有。
比如说，雪花的形状，树枝的分叉，还有海岸线的轮廓，这些可都是分形的体现！这就好像大自然是一个超级厉害的画家，用分形画出了一幅幅奇妙的作品。
我兴奋地跑去跟爸爸妈妈说：“你们知道吗？分形简直太神奇啦！就像雪花，每一片都那么独特，不就是因为分形嘛！”爸爸笑着说：“是呀，孩子，这世界充满了奇妙的东西等着我们去发现。
”妈妈也点头说：“对呀，说不定以后你能利用分形做出大发明呢！”我想，分形不就像是我们的成长吗？从小小的一个点，一点点变得丰富，变得多彩。
我们每天学习新知识，不就像在给我们自己的人生做分形，让它越来越精彩吗？小伙伴们，你们难道不觉得分形真的太神奇了吗？它让我们看到了简单的形状可以变得如此复杂而美丽，就像我们平凡的生活也能充满惊喜和奇迹！这就是我对分形的认识，它让我对这个世界充满了好奇和期待！。
高中数学文化情景题专题20 科赫曲线(以科赫曲线为背景的高中数学考题题组训练)解析版
【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题20 科赫曲线（以科赫曲线为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图①，将线段AB 等分为AC ，CD ，DB ，如图①，以CD 为底向外作等边三角形CMD ，并去掉线段CD ，在图①的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图①的曲线，设线段AB 的长度为1，则图①曲线的长度为（ ）A ．2B ．83C ．6427D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得11a =，243a =，3169a =，进而求得4a 的值，即可求解.【详解】由题意可得，未进行操作时，曲线为AB ，长度为11a =，进行1次操作时，曲线的长度为214433a a ==；进行2次操作时，曲线的长度为232441643439a a a ⎛⎫=⨯⨯== ⎪⎝⎭，所以曲线的长度构成一个等比数列{}n a ，公比为43，首项为1，故43464327a a ==，所以当进行3次操作后形成图①的曲线时，曲线的长度46427a =. 故选：C.2．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后知图①中正三角形的边长为6，则图①中OM ON ⋅的值为（ ）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】在图①中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得,OM ON 的坐标，再由数量积的坐标表示计算．【详解】在图①中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos,2sin )(2,33OM ππ==， 83MP =，即8(,0)3MP =，23PN =，由分形知//PN OM ，所以1(3PN =，所以ON OM MP PN =++=，所以2524OM ON ⋅=⨯+=． 故选：A ．3．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段AB 等分2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线.设线段AB 的长度为1，则图3曲线的长度为（ ）A ．2B ．83C ．6427D ．3【答案】C 【解析】 【分析】依据等比数列的通项公式可得曲线长度组成的数列{}n a 的前4项，最后可得结果. 【详解】据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列{}n a 的前4项， 依题意得11a =，243a =，3169a =，46427a =. 所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度46427a =. 故选：C .在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图①中OM ON ⋅的值为（ ）A ．B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】 【分析】在图①中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得,OM ON 的坐标，再由数量积的坐标表示计算．【详解】在图①中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，2OM =，(2cos ,2sin )33OM ππ==， 43MP =，即4(,0)3MP =，13PN =，由分形知//PN OM ，所以1(6PN =，所以5(2ON OM MP PN =++=，所以5162OM ON ⋅=⨯=．故选：C ．5．北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“n 次分形()*n ∈N ”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于40的分形图，则n 的最小值是（ ）（参考数据lg30.477≈，lg20.301≈）A ．11B ．12C ．13D ．14【解析】 【分析】分析可知“n 次分形”后线段的长度为43n⎛⎫⎪⎝⎭，可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解. 【详解】图1的线段长度为1，图2的线段长度为43，图3的线段长度为243⎛⎫⎪⎝⎭，，“n 次分形”后线段的长度为43n⎛⎫⎪⎝⎭，所以要得到一个长度不小于40的分形图，只需满足4403n⎛⎫⎪⎝≥⎭，则4lg lg4012lg23n ≥=+，即()2lg2lg312lg2n -≥+，解得12lg210.60212.82lg2lg30.6020.477n ++≥≈≈--，所以至少需要13次分形．故选：C.6．瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图①)，所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O 是六角形的对称中心，A ，B 是六角形的两个顶点，动点P 在六角形上(内部以及边界).若OP xOA yOB =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[3,3]-B ．[4,4]-C ．[5,5]-D ．[6,6]-【答案】C 【解析】设OA a =，OB b =，求x y +的最大值，只需考虑图中以O 为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，再根据对称可得最小值. 【详解】如图，设OA a =，OB b =，求x y +的最大值，只需考虑图中以O 为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，讨论如下：当点P 在A 处时，1x =，0y =，故1x y +=； 当点P 在B 处时，0x =，1y =，故1x y +=；当点P 在C 处时，2OC OA AC a b =+=+，故3x y +=；当点P 在D 处时，223OD OC CD OC BC OC OB a b =+=+=-=+，故5x y +=； 当点P 在E 处时，OE OA AE a b =+=+，故2x y +=； 当点P 在F 处时，3OF OA AF a b =+=+，故4x y +=. 于是x y +的最大值为5.根据其对称性可知x y +的最小值为5-，故x y +的取值范围是[5,5]-. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是根据题意得出只需考虑图中以O 为起点，6个顶点分别为终点的向量即可.7．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图①，图①，图①中图形的周长依次记为1C ，2C ，3C ，4C ，则4C =（ ）A ．1289B ．649C ．6427D ．12827【答案】B 【解析】 【分析】观察图形可得出{}n C 为首项为13C =，公比为43的等比数列，即可求出.【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的13，即1111433n n n n C C C C ---=+=，所以{}n C 为首项为13C =，公比为43的等比数列，34464339C ⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭.故选：B.8．分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，科赫曲线是比较典型的分形图形，1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种曲线，因此将这种曲线称为科赫曲线.其生成方法是：（I ）将正三角形（图（1））的每边三等分，以每边三等分后的中间的那一条线段为一边，向形外作等边三角形，并将这“中间一段”去掉，得到图（2）；（II ）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；（①）再按上述方法继续做下去……，设图（1）中的等边三角形的边长为1，并且分别将图（1）、图（2）、图（3）、…、图（n ）、…中的图形依次记作1M ，2M ，3M ，…，n M ，…，设n M 的周长为n L ，则4L 为A ．329B ．163C ．649D ．25627【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，每个三角形的都是正三角形，且边长变为原来三角形的13，从而边长na 的递推公式为11,11,23n n n a a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩，故可求出n M 的周长为n L【详解】解：由题意可知，每个三角形的都是正三角形，且边长变为原来三角形的13，从而边长n a 的递推公式为11,11,23n n n a a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩，所以1433n n L -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以41446464333279L -⎛⎫=⋅=⨯=⎪⎝⎭故选：C 【点睛】此题考查以实际问题为载体，考查数列模型的构建，属于中档题9．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】B 【解析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的43倍，故折线长度构成一个以43为公比的等比数列，写出其通项公式4()3n n a a =⋅，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式4()1003n n a a =>，即可得解. 【详解】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ， 由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列，4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍， 即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.10．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科曲线．若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是（ ）．（取lg 20.3010,lg30.4771==）【答案】C 【解析】 【分析】由折线长度变化规律得到n 次构造后，曲线的长度为1444333n nn l a a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，建立不等式41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用对数运算求解.【详解】设原线段长为a ，经过n 次构造后，曲线的长度为n l ， 则经过1次构造后，曲线的长度为14433a al =⨯=，经过2次构造后，曲线的长度为221444333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，经过3次构造后，曲线的长度为331144443333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，依次类推，经过n 次构造后，曲线的长度为1444333n nn l a a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 若要科赫曲线的长度达到原来的100倍， 则41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以43lg10022log 10016.01342lg 2lg320.30100.4771lg 3n ≥====-⨯-， 所以至少需要通过构造的次数是17. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档题.11．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D 【解析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D . 【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.12．雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC 开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC 的边长为a ，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于定值为（ ）A 2B 2C ．23a πD 2 【答案】A 【解析】 【分析】依次计算得到第n 次操作后面积22221233434333n n n a a a S -⎫⎫⎫=++⨯++⨯⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，按照等比数列求和得到2834559n n S ⎡⎤⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，再由n →+∞时，409n⎛⎫→ ⎪⎝⎭得到结果即可. 【详解】由题意知，初始三角形的面积20S =，第一次操作后，增加了3个边长为3a 的等边三角形，此时面积22133a S ⎫+⎪⎝⎭；第二次操作后，增加了34⨯个边长为23a的等边三角形，此时面积2222233433a a S ⎫⎫=++⨯⎪⎪⎝⎭⎝⎭；；第n 次操作后，增加了134n -⨯个边长为3na的等边三角形，此时面积22221233434333n n n a a a S -⎫⎫⎫=++⨯++⨯⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12232114139144(1)1433319n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥++++=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2834559n ⎡⎤⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当n →+∞时，409n⎛⎫→ ⎪⎝⎭，2285n S ⨯=.故选：A.13．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形1P ，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线2P ；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，34,,,,n P P P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅．设雪花曲线n P 的边长为n a ，边数为n b ，周长为n l ，面积为n S ，若13a =，则下列说法正确的是（ ）A ．35513,9272a l ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭B ．13185S S S ≤<C ．{}{}{}{},,,n n n n ab l S 均构成等比数列 D ．2111n n n n S S a ---= 【答案】B【解析】 【分析】根据已知写出n a 、n b 、n l 的通项公式且2n ≥时211n n n n S S b --⎫-=⋅⎪⎪⎝⎭，应用累加法求n S 通项，进而判断各选项的正误.【详解】据题意知：1211111114,434,9333n n n n n n n n n n a a b b l a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅=⋅==⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①551256,279a l ==，A 错误；2111sin 602S a =⨯⋅︒=，当2n ≥时，222211143499n n n n n n n S S b -----⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅=⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误； ①()()()221213219333444144999n n n n S S S S S S S S --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+⋅++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦149n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由11149S -⎫==⎪⎝⎭也满足上式，则149n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以{}n S 不构成等比数列，C 错误；由上，3185S S ==13185S S S ≤<，B 正确. 故选：B ． 二、多选题14．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的13为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的13擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的是（ ）A ．第4个图形的边长为181B ．记第n 个图形的边数为n a ，则14n n a a +=C ．记第n 个图形的周长为n b ，则1433n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=⋅D ．记第n 个图形的面积为n S ，则对任意的n N +∈，存在正实数M ，使得n S M < 【答案】BCD 【解析】 【分析】由各个图形的边长构成等比数列，可判定A 错误；由各个图形的边数也成等比数列且4q =，可判定B 正确；由第n 个图形的周长为n b ，得到周长为n n n b a c =，可判定C 正确；结合极限的思想，可得判定D 正确. 【详解】由题意，各个图形的边长成首项为1，且13q =的等比数列，可得可设边长为113n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3411327C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以A 错误；由各个图形的边数也成等比数列且4q =，所以134n n a -=⋅，所以B 正确；由第n 个图形的周长为n b ，可得周长为1433n n n n b a c -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，所以C 正确；当n →∞时，图形无限接近于圆，可得n S S M <=圆，所以D 正确. 故选: BCD. 三、填空题15．分形几何号称“大自然的几何”，是研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，其应用已涉及自然科学、社会科学、美学等众多领域.图1展示了“科赫雪花”的分形过程.现在向图2的“科赫雪花”中随机撒1000粒豆子（豆子的大小忽略不计），有340粒豆子落在内部的黑色正六边形中，已知正六边形的面积约为21.7cm ，根据你所学的概率统计知识，估计图2中“科赫雪花”的面积为______2cm . 【答案】5【解析】 【分析】根据几何概型的意义，计算即可得出结果. 【详解】正六边形的面积约为21.7cm ，设“科赫雪花”的面积为S 2cm向图2的“科赫雪花”中随机撒1000粒豆子,有340粒豆子落在内部的黑色正六边形中，∴由几何概型的概率公式进行估计得： 1.73401000S =,解得：5S =. 故答案为：5 【点睛】本题考查模拟方法估计概率，考查几何概型的概率计算，属于基础题.16．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图形中的三角形的边长为2，则第4个图形的周长为______． 【答案】1289【解析】 【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解. 【详解】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，周长为n L ，则1P 有1b 条边，边长1a ；2P 有214b b =条边，边长2113=a a ；3P 有2314b b =条边，边长23113a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；分析可知113n n a a -=，即1113n n a a -⎛⎫⎪⎝⎭⋅=；14n n b b -=，即114n n b b -=⋅，当第1个图形中的三角形的边长为2，时，即12a =，13b =，所以1111464633n n n n n n L a b ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则第4个图形的周长为344128639L ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.故答案为：1289. 四、解答题17．分形几何号称“大自然的几何”，是研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，其应用已涉及自然科学､社会科学､美学等众多领域.图1展示了“科赫雪花曲线”的分形过程.其生成方法是：（i ）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图①；（ii ）将图①的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图①；（①）再按上述方法继续做下去，就得到了“科赫雪花曲线”.设图①的等边三角形的边长为1，并且分别将图①､①､①…中的图形依次记作1M ､2M ､3M ､…n M ､…请解决如下问题：（1）设M 中的边数为n N ，n M 中每条边的长度为n T ，写出数列{}n N 和{}n T 的递推公式与通项公式；（2）设n M 的周长为n L ，求数列{}n L 的通项公式.【答案】（1）14n n N N -=()2n ≥且13N =，113n n T T -=()2n ≥且11T =，134n n N -=⋅，113n n T -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1433n n L -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）结合图形特征和等比数列公式推导即可；（2）由周长等于边长乘以边数推导即可求解. 【详解】（1）由题意，可得数列{}n N 的递推关系为14n n N N -=()2n ≥且13N =，所以数列{}n N 构成首项为13N =，公比为4的等比数列，所以11134n n n N N q --=⋅=⋅;又由每个图形的边长都相等，且长度变为原来的13，所以边长n T 满足递推关系式113n n T T -=()2n ≥且11T =，即数列{}n T 构成首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n T -⎛⎫= ⎪⎝⎭;（2）由周长等于边长乘以边数可得1111434333n n n n n n L N T ---⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n L 构成首项为3，公比为43的等比数列，1433n n L -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭18．2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，①，①，①……图形的周长依次记为1a ，2a ，3a ，4a ，…，得到数列{}n a ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3n n S a >，求n 的最小值． 【答案】(1)149()3n n a -=⋅ (2)5 【解析】 【分析】（1）先求出第n 个图形的边数为134n -⋅，，第n 个图形的边长为113()3-⋅n ，从而求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出n S ，列出不等式，化简得到14()33->n ，求出n 的最小值. (1)由图形的作法可知：①后一个图形的边数是前一个图形的边数的4倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，所以，第n 个图形的边数为134n -⋅；①后一个图形的边长是前一个图形的边长的13倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边长是以3为首项，13为公比的等比数列，所以，第n 个图形的边长为113()3-⋅n ；所以，11114343()9()33---=⋅⨯⋅=⋅n n n n a ． (2)由（1）得：49[1()]4327[()1]4313⨯-==⨯--n n n S ，所以14427[()1]3[9()]33-⨯->⨯⨯n n ， 化简得：14()33->n ，因为3464()3327=<，44256()3381=>，又因为函数14()3-=n y 在*N 上为增函数，所以14n -≥，即5n ≥，所以n 的最小值为5．19．2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，①，①，①，……图形的周长依次记为1a ，2a ，3a ，4a ，…，得到数列{}n a ．(1)直接写出2a ，3a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式． 【答案】(1)212a =，316a =； (2)149()3n n a -=⋅. 【解析】 【分析】（1）由图形直接可得.（2）先求出第n 个图形的边数为134n -⋅，第n 个图形的边长为113()3-⋅n ，从而求出数列{}n a 的通项公式.(1)212a =，316a =.(2)由图形的作法可知：从边数看，后一个图形的边数是前一个图形的边数的4倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，所以，第n个图形的边数为134n-⋅，从边长看，后一个图形的边长是前一个图形的边长的13倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边长是以3为首项，13为公比的等比数列，所以，第n个图形的边长为113()3-⋅n，所以，111143?4?3?933n nnna---⎛⎫⎛⎫==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.五、双空题20．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线．如图①，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的13为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的13擦掉，得到第2个图形(如图①)，重复上面的步骤，得到第3个图形(如图①)．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”．则第5个图形的边长为__________；第n个图形的周长为__________．【答案】181143()3n-⋅【解析】【分析】根据题中给出的图形，先分析边长之间的变换规律，再分析边数的变化规律，最后分析周长的变化规律即可.【详解】第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的13,以次类推，⋯，则第5个图形的边长为11111 1333381⨯⨯⨯⨯=;以—条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去一份，在擦掉的那条边上又衍生出2条，即原本的1条边变成现在的（3-1)+2=4条，翻了4倍，所以周长之间的关系为1114433n n n b b b --=⋅⋅=，所以{}n b 是公比为43q =的等比数列，而首项13b =，所以143()3n n b -=⋅.故答案为：181；143()3n -⋅21．雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图①，重复进行这一过程可依次得到图①、图①等一系列“雪花曲线”．① ① ① ①若第①个图中的三角形的边长为1，则第①个图形的面积为___________；第n 个图中“雪花曲线”的周长Cn 为___________．【答案】 1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题中图形的规律，分别从边长与边数上找规律，从而得到通过公式即可求解. 【详解】第一个三角形面积1111sin 26S π=⨯⨯⨯=，第二个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，故21113233S =+⨯⨯⨯=记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，周长n C ，1P 有1b 条边，边长1a ；2P 有214b b =条边，边长2113=a a ；3P 有2314b b =条边，边长2311,,3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭113-∴=n n a a ，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，14n n b b -=，134n n b -=⨯周长1111434333n n n n n n C a b ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭22．如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图案的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，这样的过程称为一次操作.反复进行这种操作过程，就得到一条“雪花”状的曲线，并记n 次操作后的曲线为n T ，周长为n C .设原正三角形0T 的边长为1，03C =即对应图1，则进行二次操作后，曲线2T （对应图3）的顶点数为___________；若进行n 次操作后，则0ni i C ==∑___________.【答案】 48111433n n n ++-- 【解析】 【分析】观察所给的图形，得到图2的顶点数和图1的顶点数和边数的关系，以及图3的顶点数与图2的顶点数和边数的关系，判断图2的顶点数，再由图形之间边长的关系，得到数列{}1n C -是首项为3，公差为43的等比数列，再按照等比数列求和.【详解】0T 有3个顶点，3条边，1T 的顶点数是33312+⨯=个，有4312⨯=条边， 2T 的顶点数是1212348+⨯=个，由图形观察可知，1043C C =，2143C C =， (14)3n n C C -=，所以数列{}1n C -是首项为3，公差为43的等比数列，111104313434313n n n n i n i C +++-=⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-∑. 故答案为：48；111433n n n ++--23．如图（1），画一个边长为1的正三角形，并把每一边三等分，在每个边上以中间一段为一边，向外侧凸出作正三角形，再把原来边上中间一段擦掉，得到第（2）个图形，重复上面的步骤，得到第（3）个图形，这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘、山脉的轮廓、海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”．设第（n ）个图形的周长为n a ，则1n a +与n a 的递推关系式为______，当110n a a ≥时，n 的最小值为______（参考数据：lg 40.60≈，lg30.48≈） 【答案】 143n n a a -=##143n n a a -= 10 【解析】 【分析】根据题中给出的图形，先分析边长之间的变换规律，再分析边数的变化规律，最后分析周长的变化规律即可. 【详解】第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的13，则第2个图形的边长为2311111111()1()33933-⨯⨯==⨯=⨯，以此类推⋯，第n 个图形的边长为111()3n -⨯，以—条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去一份，在擦掉的那条边上又衍生出2条，即原本的1条边变成现在的(31)24-+=条，翻了4倍，所以第1个图形的边数为3，第2个图形的边数为12，第3个图形的边数为234434⨯⨯=⨯，以此类推⋯，第n 个图形的边数为134n -⨯，所以周长之间的关系为1114433n n n a a a --=⨯=，所以{}n a 是公比为43q =，首项为3的等比数列，所以143()3n n a -=⨯.当110n a a ≥时，即143()303n -⨯≥，即14()103n -≥，即43log 10144()()33n -≥，即431log 10n -≥，因为*n N ∈，所以1014log lg 4lg30.1213n ≤=-≈-，解得289.333n ≥≈，所以n 为10.。
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科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。
1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。
定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。
现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。
外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。
画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。
4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。
特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。
2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。
3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。
4、曲线上任意两点距离无穷大。
5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。
思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。
这让保守派数学大师们都很难相信。
科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。
提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。