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精选河南省南阳市高一下期末考试数学试题有答案

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2022-2023学年河南省南阳市六校高一年级下册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市六校高一年级下册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市六校高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知O 的半径为2，弦AB 的长等于半径，则劣弧 AB 的长为（）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π【答案】C【分析】由弦长可确定 AB 所对圆心角，代入扇形弧长公式即可.【详解】 弦AB 的长等于半径， AB ∴所对的圆心角为π3， AB ∴的长为π2π233⨯=.故选：C.2．复数4i13iz =-在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】利用复数的四则运算进行化简，从而得出对应点的坐标即可.【详解】()4i 13i4i 3i 413iz +===-+-，故对应点的坐标为()3,1-，在第二象限.故选：B3．已知0πα<<，且6sin cos 3αα+=，则sin cos αα-=（）A ．33B ．233C ．66D ．63【答案】B【分析】根据题意，求得12sin cos 03αα=-<，得到sin 0,cos 0αα><，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由6sin cos 3αα+=，平方可得()22sin cos 12sin cos 3αααα+=+=，可得12sin cos 03αα=-<，因为0πα<<，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 0αα->，又由()24sin cos 12sin cos 3αααα-=-=，所以23sin cos 3αα-=.故选：B.4．如图，一个水平放置的平行四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为矩形A B C D ''''，若4A B ''=，3B C ''=，则在原平行四边形ABCD 中，AD =（）A ．3B ．32C ．62D ．9【答案】D【分析】根据斜二测画法规则把直观图还原为原图形即可求解.【详解】在直观图A B C D ''''中，4A B ''=，3B C ''=，则3D E ''=，32A E ''=，把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得3DE =，62AE =，所以229AD DE AE =+=.故选：D.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若21cos 2cos 22A A -=且b c =，则B =（）A ．π3B ．π4C ．π6D ．π12【答案】A【分析】利用降幂公式和二倍角公式进行化简，求出A 的值后即可求B .【详解】21cos 2cos22A A -=，()212cos 11+cos 22A A --∴=，21+cos 22cos A A =-，()()2cos 1cos 10A A -+=，在△ABC 中，()0,π,cos 1A A ∈≠-.1πcos ,,23A A ==b c = ,()1ππ23B C A ==-=.故选：A.6．将函数()()π2sin 22f x x θθ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再将所得图象向右平移π6个单位长度得到一个偶函数()g x 的图象，则()f x 的零点为（）A ．()ππ62k k -+∈Z B ．()ππ64k k -+∈Z C ．()ππ122k k -+∈Z D ．()ππ124k k -+∈Z 【答案】C【分析】由图象变换可得()2π2sin 43g x x θ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据题意结合诱导公式可得π6θ=-，以π26x +为整体，结合正弦函数求零点.【详解】将函数()f x 图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到()2sin 4y x θ=-，再将所得图象向右平移π6个单位长度，得到()π2π2sin 42sin 463g x x x θθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因为()g x 为偶函数，则()1112πππ21π,322k k k θ+=+=+∈Z ，解得11ππ,6k k θ=-∈Z ，又因为ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则1π0,6k θ==-，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π,6x k k +=∈Z ，解得ππ,122k x k =-+∈Z ，即()f x 的零点为()ππ122k k -+∈Z .故选：C.7．已知某正四棱台上底面的边长为22，下底面的边长为42，外接球的表面积为80π，则该正四棱台的体积为（）A ．224B ．112C ．224或2243D ．112或1123【答案】D【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心MN ，分球心在线段MN 上和延长线上两种情况考虑，利用勾股定理可求出正四棱台的高，近一步计算即可.【详解】根据题意，球心位置分为两种情况：(1)若球心位置在几何体内，如图所示：设O 为外接球球心，R 为外接球半径，则1OC OC R ==,又上底面是边长为22的正方形，故1112,2A C MC ==下底面的边长为42的正方形，故4,2ACNC ==外接球的表面积为24π80π,R =所以25,R =125,OC OC R ===则22112044,OM OC MC =-=-=2220162,ON OC NC =-=-=所以正四棱台的高6,h MN OM ON ==+=正四棱台的体积11()6(832832)112,33V h S S SS '=⨯⨯++=⨯⨯++⨯='(2)当球心在MN 的延长线上时，正四棱台的高2,h OM ON =-=则正四棱台的体积11112()2(832832),333V h S S SS =⨯⨯++=⨯⨯++⨯=''故选：D.8．已知△ABC 中，sin sin 2π33,A B ACB ∠==::，且△ABC 的面积为63，则△ABC 的边AB 上的中线长为（）A ．3192B ．19C ．32D ．33【答案】B【分析】根据题意利用正弦定理可得:2:3a b =，结合面积公式可得4,6a b ==，再根据向量可知1122CD CA CB =+，结合数量积的运算律求模长.【详解】由正弦定理可得：sin :sin :2:3A B a b ==，设2,3,0a k b k k ==>，由面积公式1sin 2ABC S ab C = ，即2133********k k k ⨯⨯⨯==，解得2k =，则4,6a b ==，设边AB 上的中线为CD ，则1122CD CA CB =+，可得2221111111366416194244224CD CA CA CB CB =+⋅+=⨯+⨯⨯⨯+⨯=uuu r uur uur uur uur ，即19CD =uuu r.故选：B.二、多选题9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥B ．若m α⊥，m n ∥，αβ⊥，则n β∥C ．若αβ∥，n β⊥，m α∥，则m n ⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，n α⊥，则m n ⊥【答案】CD【分析】根据线面位置关系逐项判断即可求解.【详解】A 项，α，β可平行，可相交，故A 项错误；B 项，由m α⊥，m n ∥，可得n α⊥，又αβ⊥，所以n 与β可能平行，还可能n β⊂，故B 项错误；C 项，由于αβ∥，n β⊥，所以n α⊥，又m α∥，所以m n ⊥，故C 项正确；D 项，由αβ⊥，m β⊥，可知m α∥或m α⊂，又n α⊥，所以m n ⊥，故D 项正确；故选：CD.10．已知复数3i z =+，则下列说法正确的是（）A ．z 的虚部为iB ．2023i 13i44z =--C ．()213i z z =-D ．若01z =，则0z z -的最小值是1【答案】BCD【分析】根据复数的概念，可判定A 不正确；根据复数的运算法则，可判定B 、C 正确；根据复数的几何意义，可判定D 正确.【详解】由复数3i z =+，可得复数z 虚部为1，所以A 不正确；由复数2023i i i(3i)13i 443i (3i)(3i)z ---===--++-，所以B 正确；由复数2232i z =-，()()()13i 13i3i 232i z -=-+=-，所以C 正确；由复数01z =，可得复数0z 在复平面内表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，如图所示，又由复数3i z =+在复平面内对应点(3,1)Z ，可得2OZ =，所以0z z -的最小值为11OZ -=，所以D 正确.故选：BCD.11．如图，正三棱锥-P ABC 的底面边长是侧棱长的2倍，E ，F ，H 分别是AB ，AC ，BC 的中点，D 为PH 的中点，且EF AH O ⋂=，则下列结论中正确的是（）A ．平面PAH ⊥平面ABCB ．平面PEF ⊥平面PAHC ．平面PEF ⊥平面ABCD ．平面EFD ⊥平面PBC【答案】ABD【分析】利用平面与平面垂直的判定定理判断即可.【详解】选项A ，因为H 是BC 的中点，在等腰三角形PBC 中，PH BC ⊥，在等腰三角形ABC 中，AH BC ⊥,又因为AH PH H ⋂=,,PH AH ⊂平面PAH 中，所以BC ⊥平面PAH ,因为BC ⊂平面ABC ,所以平面PAH ⊥平面ABC ，故A 正确；选项B ，因为E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以EF ∥BC ,所以EF ⊥平面PAH ,因为EF ⊂平面PEF ,所以平面PEF ⊥平面PAH ，故B 正确；选项C ，由已知条件可知PE PF =,O 为EF 的中点，则PO EF ⊥,若平面PEF ⊥平面ABC ，则PO ⊥平面ABC ,根据正三棱锥的结构特征可知点P 在底面ABC 内的射影是三角形ABC 的中心，同时也是AH 的三等分点，而此处O 为AH 的中点，故C 错误；选项D ，连接OD ，,O D 分别为,AH PH 的中点，所以OD ∥AP ,因为正三棱锥-P ABC 的底边长为侧棱的2倍，所以三棱锥-P ABC 的侧面均为等腰直角三角形，所以PA PB ⊥，PA PC ⊥，因为PB PC P ⋂=,,PB PC ⊂平面PBC ,所以PA ⊥平面PBC ,所以OD ⊥平面PBC ,又因为OD ⊂平面EFD ,所以平面EFD ⊥平面PBC ，故D 正确；故选：ABD .12．已知函数()()()2cos cos 2sin 2cos 22f x x x x ϕϕϕ=++-+，则（）A ．()f x 的图象关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 的值域为[]22-,C ．满足()f x 在区间[](),0m m m ->上单调递增的m 的最大值为π8D ．()1f x =在区间π11π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭上的所有实根之和为5π2【答案】ACD【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；利用代入检验法可知A 正确；根据正弦型函数值域可知B 错误；根据函数单调递增，利用整体代换法可求得m 范围，知C 正确；将问题转化为πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与22y =交点横坐标之和的问题，由对称性可求得D 正确.【详解】()[]2cos cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2f x x x x x x ϕϕϕϕϕ=-+-+()cos 21cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2x x x x x ϕϕϕϕ=+-+-+πcos 2sin 22sin 24x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；对于A ，当3π8x =时，π3ππ2π444x +=+=，此时()2sin π0f x ==，()f x \的图象关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，A 正确；对于B ，[]πsin 21,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，()f x \的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦，B 错误；对于C ，若()f x 在[],m m -上单调递增，则()ππ22π42ππ22π42m k k m k ⎧-+≥-+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩Z ，解得：()3ππ8ππ8m k k m k ⎧≤-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩Z ，又0m >，3ππ08ππ08k k ⎧->⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得：1388k -<<，0k ∴=，π08m ∴<≤，则m 的最大值为π8，C 正确；对于D ，令()1f x =，则π2sin 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当π11π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()π20,3π4x +∈，作出πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与22y =的图象如下图所示，πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与22y =的交点1234,,,x x x x 即为方程()1f x =的根，由对称性可知：12π4+=x x ，349π4x x +=，1234π9π5π442x x x x ∴+++=+=，D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质相关问题的求解；本题求解方程实根之和的关键是将问题转化为两函数交点的问题，采用数形结合的方式，结合正弦函数对称性可求得结果.三、填空题13．已知向量()()1,2,1,1,2a b c a b λ==-=+ ，若c b ⊥，则c =．【答案】62【分析】根据向量的坐标运算结合向量垂直可得4λ=，进而可求模长.【详解】由题意可得()22,22c a b λλλ=+=+-r r r，若c b ⊥，则()()()1212240λλλ⨯++-⨯-=-+=，解得4λ=，所以()6,6c =r ，则226662c =+=r .故答案为：62.14．已知函数()πtan 204y ax a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，则函数tan 1y ax =-的定义域为．【答案】πππ,π,42k k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭Z【分析】根据正切型函数的周期可得1a =，再令tan 10x -≥，结合正切函数求定义域.【详解】由题意可得：ππ22T a ==，且0a >，解得1a =，对于函数tan 1y x =-，令tan 10x -≥，即tan 1x ≥，解得ππππ,42k x k k +≤<+∈Z ，所以函数tan 1y x =-的定义域为πππ,π,42k k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭Z .故答案为：πππ,π,42k k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭Z .15．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()(),30P m m m -≠是角α终边上的一点，则()()()sin 2π3cos π9π2sin sin 7π2αααα-+-=⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭．【答案】6-【分析】先利用三角函数的定义求得sin α和cos α，再根据诱导公式化简求解即可.【详解】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()(),30P m m m -≠是角α终边上的一点，所以()223310sin 103m mm m m α-==-+-，()2210cos ,sin 3cos ,10103m m m m m m m ααα====-+-，所以()()()sin 2π3cos πsin 3cos 3cos 3cos 69π2cos sin 2cos 3cos 2sin sin 7π2αααααααααααα-+----===----+⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭，故答案为：6-四、双空题16．已知向量,a b满足3,2a b == ，则a b a b ++- 的最小值是，最大值是．【答案】6213【分析】利用向量数量积运算律可得到1312cos a b θ+=+ ，1312cos a b θ-=-，令1312cos 1312cos t θθ=++-，平方后可求得2t 的范围，进而得到t 的范围，即可求得所求最值.【详解】设,a b的夹角为θ，22221312cos a b a b a a b b θ+=+=+⋅+=+ ，22221312cos a b a b a a b b θ-=-=-⋅+=- ，1312cos 1312cos a b a b θθ∴++-=++-，令1312cos 1312cos t θθ=++-，则0t ≥且22262169144cos t θ=+-，[]2cos 0,1θ∈ ，[]2169144cos 25,169θ∴-∈，[]236,52t ∴∈，6213t ∴≤≤，即a b a b ++-的最小值为6，最大值为213.故答案为：6；213.五、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1BC CC =，点D 是AC 的中点．(1)求证：1//AB 平面1BC D ，(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为6，求四面体11A C BD 的体积．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接1B C 交1BC 于点O ，可得1//DO AB ，利用线面平行的判断定理可得答案；（2）设1BC CC a ==，AC b =，利用三棱柱111ABC A B C -的体积为6可得212a b =，再由111121136B ACD A C D V S BC a b -=⨯= 可得答案.【详解】（1）连接1B C 交1BC 于点O ，连接DO ，因为11BCC B 为平行四边形，所以O 为1B C 的中点，可得DO 为1ACB 的中位线，所以1//DO AB ，因为DO ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，1//AB 平面1BC D ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC BC ⊥，因为AC BC ⊥，1CC AC C =I ，1CC AC ⊂、平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ，点D 是AC 的中点，设1BC CC a ==，AC b =，所以三棱柱111ABC A B C -的体积为21111622ABC V S C AC BC C a C b C =⨯=⨯=⨯= ，可得212a b =，所以11112111111123326B ACD A C D V S BC A C C BC C a b -=⨯=⨯⨯=⨯= .18．如图，在ABC 中，2,CD DB AE EC == ．(1)用AB ，AD 表示AC ，BE ；(2)若点M 满足1324AM AB AC =-+ ，证明：B ，M ，E 三点共线．【答案】(1)23AC AB AD =-+ ，BE 322AB AD =-+ (2)证明见解析【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可.（2）利用三点共线的判定证明即可.【详解】（1）因为2,CD DB AE EC == ，3AC AB BC AB BD=+=+ ()323AB AD AB AB AD =+-=-+ ，12BE BA AE AB AC =+=-+ ()111222AB BC BA AB BC =-+-=-+ ()1111332222AB BD AB AD AB =-+⨯=-+⨯- 322AB AD =-+ .（2）由1324AM AB AC =-+ ，可得131322422AM AB AE AB AE =-+⨯=-+ ，所以23AM AB AE =-+ ，()2AE AB AM AE -=- ，即2BE EM = ，所以B ，M ，E 三点共线.19．已知复数12sin 3i z θ=-，()212cos i z θ=+，π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)若12z z ⋅为实数，求θ的值；(2)设复数12,z z 在复平面内对应的向量分别是,a b ，若()()22a b a b -⊥- ，求πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)π3θ=(2)35【分析】（1）根据题意，由复数的运算将12z z ⋅化简，然后由12z z ⋅为实数列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由()()22a b a b -⊥- 列出方程即可得到πsin 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由同角的平方关系，即可得到结果.【详解】（1）因为12sin 3i z θ=-，()212cos i z θ=+，所以()()122sin 3i 12cos i z z θθ⋅=-⋅+⎡⎤⎣⎦()()2sin 23cos 4sin cos 3i θθθθ=++-，且12z z ⋅为实数，所以4sin cos 30θθ-=，即3sin 22θ=，又因为π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23π35,θ⎛⎫ ⎪⎝⎭∈，所以2π23θ=，则π3θ=.（2）由题意可得，()2sin ,3a θ=- ，()1,2cos b θ= ，因为()()22a b a b -⊥- ，所以()()22022225a b a a b b a b ⋅=+---⋅= ，即()()()2224sin 3214cos 52sin 23cos 0θθθθ+++--=，化简可得8sin 3cos 5θθ-=，所以π4sin 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为π5π,66θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ,362θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2ππ3cos 1sin 335θθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20．将函数sin y x =的图象向左平移π6个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的()1N ωω*∈，纵坐标不变，得到函数()f x 的图象，已知()f x 的图象在区间[]0,π上有且仅有两条对称轴．(1)求π()6f -；(2)求()f x 在[]0,π上的单调区间．【答案】(1)12-(2)递增区间为π[0,]6和2π[,π]3，递减区间为π2π[,]63.【分析】（1）根据三角函数的图象变换得到()sin(π)6f x x ω=+，再由()f x 的图象在区间[]0,π上有且仅有两条对称轴，求得41436ω≤<，得到2ω=，得出()πsin(2)6f x x =+，即可求得π()6f -的值；（2）由[]0,πx ∈，可得ππ13π[,]6662x +∈，结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）解：将函数sin y x =的图象向左平移π6个单位长度，得到函数πsin()6y x =+，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1ω，纵坐标不变，得到()sin(π)6f x x ω=+，因为[]0,πx ∈，可得πππ[,π]666x ωω∈++，又因为()f x 的图象在区间[]0,π上有且仅有两条对称轴，则满足3ππ5ππ262ω+≤<，解得4733ω≤<，因为N ω*∈，所以2ω=，所以()πsin(2)6f x x =+，则πππππ1()]sin(sin[2()sin 666)662f =--=-=-=-+.（2）解：由函数()πsin(2)6f x x =+，又由[]0,πx ∈，可得ππ13π[,]6662x +∈，当πππ2662x ≤+≤时，即π06x ≤≤时，函数()f x 单调递增；当ππ3π2262x ≤+≤时，即π2π63x ≤≤时，函数()f x 单调递减；当63ππ13π262x ≤+≤时，即2ππ3x ＃时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间为π[0,]6和2π[,π]3，单调递减区间为π2π[,]63.21．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6a B b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．(1)求A ；(2)若2a =，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3A =(2)8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于π消去角C ，然后通过两角和差的正弦公式展开化简即可求解；（2）由正弦定理、三角恒等变换化简可得8π4sin 2363bc B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合角A 的范围和正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）已知π2sin 6a B b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得π2sin sin sin sin 6A B B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即312sin sin cos sin sin()22A B B B A B ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得3sin sin sin cos sin A B B A B =+，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以3sin cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以ππ66A -=，即π3A =.（2）由（1）知π3A =，又2a =，由正弦定理，得4sin sin sin 3a b c ABC ===，所以44sin ,sin 33b B c C ==，所以161621631sin sin sin sin πsin cos sin 333322bc B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()216318π4sin 21cos sin 2344363B B B ⎡⎤⎛⎫=+-=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，在锐角ABC 中，2ππ0ππ32π6202C B B B ⎧<=-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩，则ππ5π2666B <-<，当ππ262B -=时，πsin 216B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当ππ266B -=时，π1sin 262B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π61sin 212B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，则843bc <≤，故ABC 的周长的取值范围为8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．如图，圆锥PO 的体积8π3V =，点A ，B ，C ，D 都在底面圆周上，且AB CD O = ，AB CD ⊥，AB ＝4，E 为PB的中点．(1)求圆锥PO 的侧面积；(2)求直线CE 与平面PCD 所成角的余弦值．【答案】(1)42π(2)306【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出PO 的长，从而求出圆锥的母线长，即可求出圆锥的侧面积；（2）易得AB ⊥平面PCD ,从而过E 作AB 的平行线，即面PCD 的垂线，从而得到ECF ∠即线面角，然后利用勾股定理求出各边长度即可.【详解】（1）AB ＝4，且AB CD O = ，所以底面圆的半径122R AB ==,圆锥PO 的体积22118ππ=π2,333V R PO PO =⋅⨯⨯=2,PO ∴=圆锥母线长2222,l PB PO OB ==+=所以圆锥PO 的侧面积π42πS Rl ==；（2）取PO 中点为F ，且E 为PB 的中点．所以1,12EF OB EF OB ==∥,圆锥PO 可知，PO ⊥平面ABCD ,PO AB ∴⊥，且AB CD ⊥，PO CD O = ,所以AB ⊥平面PCD ,,B EF A ∥所以EF ⊥平面PCD ，所以ECF ∠即直线CE 与平面PCD 所成角.2225CF OF OC =+=，2226CE CF EF =+=，故530cos 66CF ECF CE ∠===.故答案为306.。

河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷附答案详析

河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷附答案详析

河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷一、单选题1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样2．cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为（）A ．B ．2C ．12-D ．123．函数22cos ()1xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知21tan1cos1sin1,22.51tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．b a c>>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a>>5．已知：平面内不再同一条直线上的四点O 、A 、B 、C 满足AB AC μ=，若1()3OA OB OC R λλ=+∈，则μ=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-6．某公司的班车在700800：，：和830：三个时间点发车.小明在750：至830：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．347．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不．可能．．是（）A ．2B ．4C ．6D ．108．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()(2)0AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆的形状一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形9．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin(13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈D ．(,)()6k k k z πππ+∈10．已知：1sin 53πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．19-C ．79D ．1911．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）001,732,sin150.2588,sin750.1305≈≈≈）A．12B．24C．36D．48二、填空题13．在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，2AE ED=，若OE x AB yBC=+，则=x y+__________．14．已知函数()2sin3cosf x x x=+，若max()()f x f a=，则cos a=__________．15．函数33()sin log2f x x xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭的零点个数为__________．16．已知：3sin cos2αβ+=，则2sin cosαβ+的取值范围是__________．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P和Q，其中21,cos2Pθ⎛⎫⎪⎝⎭,()2sin,1,Qθθ-∈R，且4sin5α=.（1）求cos2θ的值；（2）求tan()αβ+的值.18．已知3,4a b==，且a与b的夹角23θπ=.（1）求||a b+的值；（2）记a与a b+的夹角为α，求tan2α的值.19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价x（单位：元）和销售量y（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价x /元99.51010.511销售量y /万件1110865（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在[7,9]内，已知该产品的成本是5元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑参考公式：1221,ni ii nii x y n x yb a y bxx nx ==-==--∑∑20．已知向量(2cos ,sin ),(cos ,)a x x b x x ==，函数()f x a b m =⋅+ ，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为2.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.21．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数恰为1的概率.22．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,02πωϕ>><<A 的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个不同交点，D 是M N 、之间的最高点且横坐标为4π，点()0,1F 是线段D M 的中点.（1）求函数()f x 的解析式及7NC =（2）若5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()21h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.解析河南南阳市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷一、单选题1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.【考点】分层抽样．2．cos 70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为（）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】B【解析】根据诱导公式化简到角是锐角，再用正弦和差角公式求解.【详解】由已知得()()()cos 9020sin 9040cos 18020sin 40︒︒︒︒︒+--- =sin 20cos 40cos 20sin 3sin 24060︒︒︒︒︒+==故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.3．函数22cos ()1xf x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性的判断方法先判断函数的奇偶性，排除一些选项，再利用特殊点的函数值的正负可得选项.【详解】由()()f x f x -=知函数是偶函数，排除B 选项；再因为()02,f =故选C.【点睛】在进行图像辨析时，常常考虑函数的奇偶性和特殊点的正负进行排除选项，属于基础题.4．已知21tan1cos1sin1,22.51tan1a b c ︒︒︒︒︒+=-=-=-，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得.【详解】cos1sin1,414a ︒︒︒=<=-)2222.52cos 122.5451,b ︒︒=-===- 1tan1tan 461;1tan1c ︒︒+==>- 故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.5．已知：平面内不再同一条直线上的四点O 、A 、B 、C 满足AB AC μ=，若1()3OA OB OC R λλ=+∈，则μ=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】D【解析】根据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算对照向量的系数求解.【详解】根据向量的加法原理得()()11113333,OA OB OC OA AB AC OA AB AC OA λλλλ=+++⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭所以113λ+=，103AB AC λ+= ，解得2.3λ=且2.AB AC =- 故选D.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.6．某公司的班车在700800：，：和830：三个时间点发车.小明在750：至830：之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．34【答案】A【解析】根据题意得小明等车时间不超过10分钟的总的时间段，再由比值求得.【详解】小明等车时间不超过10分钟，则他需在750：至800：到，或8:20至830：到，共计20分钟，所以概率201.402P ==故选A.【点睛】本题考查几何概型，关键找到满足条件的时间段，属于基础题.7．已知奇函数．．．()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的取值不．可能．．是（）A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】B【解析】由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.【详解】由()f x 是奇函数得,ϕπ=又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 关于4x π=对称，所以,42k k Z ππϖππ+=+∈，解得24,,k k Z ϖ=-+∈所以当1k =时，得A 答案；当2k =时，得C 答案；当3k =时，得D 答案；故选B.【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.8．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()(2)0AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆的形状一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【答案】C 【解析】由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式，再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.【详解】设BC 边的中点D ，则()0BC AB AC BC AD =⋅+=⋅所以在ABC ∆中，BC 垂直于BC 的中线，所以ABC ∆是等腰三角形.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，属于基础题.9．已知：()sin cos f x a x b x =+，()2sin(13g x x πω=++，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是A ．(,)()62k k k z ππππ-+∈B ．(2,2)()62k k k z ππππ-+∈C ．(2,2)()6k k k z πππ+∈D ．(,)()6k k k z πππ+∈【答案】B【解析】【详解】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ=+，所以212πωπ==因此2sin 13x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭152sin()22()32636x k x k k Z ππππππ>⇒+>⇒+<+<+∈22()62k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，选B.10．已知：1sin 53πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．19-C ．79D ．19【答案】A【解析】观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【详解】令5παθ-=，则2322,2255ππαθαπθ-=+=-，所以2217cos 212sin 1239θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以()37cos 2cos 2cos 259παπθθ⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题关键在于观察出已知角与待求的角之间的特殊关系，属于中档题.11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案】D 【解析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解.【详解】由图象可知1A =，又712344Tπππ-==，所以T π=，又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ=所以()sin 2cos 2cos 2cos 2332612f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()cos 2g x x=故选D.【点睛】本题考查由图象确定函数的解析式和正弦函数和余弦函数图象之间的平移，关键在于将异名函数化为同名函数，属于中档题.12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）001,732,sin150.2588,sin 750.1305≈≈≈）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B【解析】00011166sin 60 2.598,1212sin 303,2424sin15222n S n S n S =⇒=⨯≈=⇒=⨯==⇒=⨯3.1056≈，故选B.【点晴】本题主要考查程序框和三角运算，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.二、填空题13．在平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，2AE ED =，若OE x AB yBC =+ ，则=x y +__________．【答案】23-【解析】根据向量加法的三角形法则逐步将待求的向量表示为已知向量.【详解】由向量的加法法则得：()111111232326OE OA AE CA AD CB A AD AB B B C=+=++=-=+-所以1216x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2=-3x y +故填：23-【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.14．已知函数()2sin 3cos f x x x =+，若max ()()f x f a =，则cos a =__________．【答案】13【解析】由三角函数的辅助角公式化简，关键需得出辅助角的正切值，再由函数的最大值求解.【详解】由三角函数的辅助公式得()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+（其中3tan 2θ=），因为max ()()f x f a =所以()sin 1a θ+=，所以2,2a k k Z πθπ+=+∈，所以，2,2a k k Z πθπ=-+∈，所以cos sin 13a θ==，故填：13【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式，属于基础题.15．函数33()sin log 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的零点个数为__________．【答案】3【解析】运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解.【详解】由三角函数的诱导公式得3sin cos 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以令()0f x =，求零点的个数转化求方程3cos log x x π=根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出cos y x =和3log y x π=的图象，观察两支图象的交点的个数为3个，注意在做3log y x π=的图像时当3x π=时，1y =,故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.16．已知：3sin cos 2αβ+=，则2sin cos αβ+的取值范围是__________．【答案】5[2,]2【解析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得3cos sin 2βα=-，所以332sin cos 2sin sin sin 22αβααα⎛⎫+=+-=+⎪⎝⎭，又因为1cos 11sin 1βα-≤≤⎧⎨-≤≤⎩，所以31sin 121sin 1αα⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得1sin 12α≤≤，所以352sin 22α≤+≤，故填52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，作两个角,αβ，它们终边分别经过点P 和Q ，其中21,cos 2P θ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()2sin ,1,Q θθ-∈R ，且4sin 5α=.（1）求cos 2θ的值；（2）求tan()αβ+的值.【答案】（1）13；（2）13-.【解析】(1)根据正弦的定义求得2cos θ，再运用余弦的二倍角公式求解，(2)由(1)问可得P 、Q 两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解.【详解】（1）由24sin 5α==得：2221cos ,sin 33θθ==所以：221cos 2cos sin 3θθθ=-=（2）由2212sin ,cos 33θθ==则121,,,1233P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故4tan ,tan 33αβ==-因此tan tan 1tan()1tan tan 3αβαβαβ++==--.【点睛】本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.18．已知3,4a b ==，且a 与b 的夹角23θπ=.（1）求||a b +的值；（2）记a 与a b +的夹角为α，求tan 2α的值.【答案】（1；（2）6.【解析】(1)求向量的模先求向量的平方；(2)由向量的夹角公式可以求得.【详解】（1）根据题意可得：2cos 63a b a b π⋅==-222()|2|9121613a b a a b b +=+⋅+=-+=故a b +==（2）()cos 13a a b a a b α⋅+==+，则sin 13α=故sin1cos 2tan 2sin 6cos 2ααααα-===.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量的模和夹角，属于基础题.19．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价x （单位：元）和销售量y （单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：销售单价x /元99.51010.511销售量y /万件1110865（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在[7,9]内，已知该产品的成本是5元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑参考公式：1221,ni ii nii x y n x yb a y bxxnx ==-==--∑∑【答案】（1） 3.240y x =-+；（2）8.75元.【解析】(1)根据最小二乘法求线性回归方程；(2)利用线性回归方程建立利润的函数，再求此函数的最大值.【详解】（1）10,8x y == 3.2,8(3.2)1040b a ∴=-=--⨯=y ∴关于x 的回归方程为 3.240y x =-+.（2）利润2()(5)(3.240) 3.256200,[7,9]W x x x x x x =--+=-+-∈该函数的对称轴方程是8.75x =，故销售单价定为8.75元时，企业才能获得最大利润.【点睛】本题考查线性回归方程和求利润的最值，属于基础题.20．已知向量(2cos ,sin ),(cos ,)a x x b x x ==，函数()f x a b m =⋅+ ，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为2.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.【答案】（1）2，,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π.【解析】(1)运用向量的数量积运算和辅助角公式化简，求解和求其单调区间；(2)根据图像的平移和函数的对称轴求解.【详解】（1）函数2()2cos cos 2sin 216f x x x x m x m π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭min 70,,2,,()22666x x f x m ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，得2m =.即()2sin 236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由题意得222262k x k πππππ-≤+≤+，得,36k x k k Zππππ-≤≤+∈所以，函数()f x 的单调增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意，()2sin 432sin 431266g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()4g x =，得1sin 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得：4266x k πππ-=+或542,66x k k Z πππ-=+∈即212k x ππ=+或,24k x k Z =+∈ππ0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12x π∴=或4x π=故所有根之和为1243πππ+=.【点睛】本题考查正弦型函数的值域、单调性和对称性，属于基础题.21．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数恰为1的概率.【答案】（1）30；（2）54,55；（3）815.【解析】(1)识别频率直方图，注意其纵轴的意义；(2)在频率直方图中平均数是每组数据的组中值乘以频率，中位数是排在最中间的数;(3)求出古典概型中的基本事情总数和具体事件数，利用比值求解.【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在[40,70)的频率为(0.0200.0300.025)100.750++⨯=所以，40名读书者年龄分布在[40,70)的人数为400.75030⨯=人.（2）40名读书者年龄的平均数为：250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=设中位数为x ，0.050.10.2(50)0.030.5x +++-⨯=解之得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55岁.（3）年龄在[20,30)的读书者有2人，记为a ，b ；年龄在[30,40)的读数者有4人，记为A ，B ，C ，D 从上述6人中选出2人，共有如下基本事件：()()()(),,,,,,,,a b A B A C A D ()()()(),,,,,,,,B C B D C D a A ()()()(),,,,,,,,a B a C a D b A ()()(),,,,,b B b C b D ,共有基本事件数为15个,记选取的两名读者中恰好有一人年龄在[30,40)中为事件A ，则事件A 包含的基本事件数为8个:(),,a A ()()()(),,,,,,,,a B a C a D b A ()()(),,,,,b B b C b D 故8()15P A =.【点睛】本题考查识别频率直方图和样本的数字特征，属于基础题.22．如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,02πωϕ>><<A 的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个不同交点，D 是M N 、之间的最高点且横坐标为4π，点()0,1F 是线段D M 的中点.（1）求函数()f x 的解析式及NC =（2）若5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()()21h x f x af x =-+的最小值为12，求实数a 的值.【答案】（1）5()2sin(),[,2]44f x x πππ=+（2）32【解析】（1）由点()0,1F 是线段DM 的中点，可得D 和M 的坐标，从而得最值和周期，可得A 和ω，再代入顶点坐标可得ϕ，再利用整体换元可求单调区间；（2）令()[]t 1,2f x =∈得到()()2h x g t 1t at ==-+，讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系求最值即可.【详解】（1）因为为中点，()0,1F ，所以，，则，，又因为，则所以，由又因为，则所以令又因为则单调递增区间为.（2）因为所以令，则对称轴为①当时，即时，；②当时，即时，（舍）③当时，即时，（舍）综上可得：.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式及二次函数轴动区间定的最值问题，考查了学生的分类讨论思想及计算能力，属于中档题.。

河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题

河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题

2024年春期高中一年级期终质量评估数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（）AB ．CD2．已知：，其中为虚数单位，则（ ）A ．1B CD ．23．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（）A ．B ．2C D4．已知：，，，若，则与的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（）22cos 15sin 15︒-︒=12()11z i i -=+i z =O ()1,2a = ()2,4b =-- c = ()52a b c +⋅= a c xOy ()3,4OA = OA 23πOB OB OA322⎛+-⎝3,22⎛⎫⎪⎝⎭322⎛---+ ⎝3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E F :::2:1SD DA SE EB CF FS ===A．B ．C ．D ．7．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（）A ．函数的对称中心为B ．若，则C ．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为D ．若，则8．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（）A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．下列有关复数内容表述正确的是（）A ．若复数满足，则一定为纯虚数B ．对任意的复数均满足：C ．设在复数范围内方程的两根为，，则D ．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为019272327293331351cos θ-θsin ver θ1sin θ-θcov ers θ()sin cov 1f x ver x ersx =-+,14k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-()g x 1()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+()1h α=02πα<<α43πsin 1cov 1ver x ersx -=-cov 311cov 13ers x ersx -=-ABCD AD BC 1AD AB ==90BAD ∠=︒45BCD ∠=︒ABD △BD PBD △P BD C --P BCD -83π143π4π6πz 0z z +=z z 22z z=24130x x -+=1x 2x 124x x +=1z 2z 120z z ⋅=1z 2z10．已知函数，且，则（ ）A ．B ．函数是偶函数C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在区间上单调递减11．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（）A ．若，则不可能存在这样的点，使得B ．若，，则C ．若平面，则D ．周长的最小值是三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________.13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.14．设为函数图象上任意一点，的最大值是___________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分13分）（1）已知复数满足，求；()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b=4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 54x π=()f x ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭A BCD -a 2a E F AC AD BE AC ⊥F EF AC⊥13AE AC = 23AF AD = 29E ABF B EFDCV V --=CD BEF EF CDBEF △52a ()1,2OA = ()2,1OB =-P AB P ABC △60ABC ∠=︒AC =2BC =ABC ∠AC D A BC E DE =(),P x y ()[]()sin cos 11,122f x x x x ππ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭z 13z i z =+-()()1334i i z++（2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.16．（本小题满分15分）已知为锐角，为钝角，且，.（1）求的值；（2）求的值.17．（本小题满分15分）在中，，.（1）求证：；（2）若，，求的值.18．（本小题满分17分）如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点.（1）求证：；（2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.19．（本小题满分17分）x ∈R ()2121log 1log cos 2z x i x ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭x αβsin α=1tan 7β=-sin 2β2βα-ABC △ABD α∠=DBC β∠=()sin sin sin BD BA BCαββα+=+AB AC =72C ∠=︒cos36︒PA ⊥ABCD ABCD 112PA AB BC ===E PB AE PC ⊥M N PD AC 2PM ANDM CN==Q MN P ABQ -已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.（1）求证：；（2）若，，①求的最大值；②当时，求的值.ABC △AB C a b c M ABC △AC BA BC M ABC △M AC T ABC △S M r 2Sr a b c=-+3B π=8b =r r =AM AC ⋅。

2022-2023学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√102．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√637．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√308．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ）A ．45B ．35C ．25D ．15二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ） A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ= ．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ．15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ ；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 千米．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．2022-2023学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数z =3+4i1−2i，则|z |＝（ ） A ．√2B ．2√3C ．√5D ．√10解：z =3+4i1−2i =(3+4i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−5+10i5=−1+2i ，|z |=√(−1)2+22=√5． 故选：C ．2．已知△ABC 的边AC 上有一点D ，且满足CD →=3DA →，则BD →=（ ） A ．﹣2BC →+3BA →B ．23BC →+13BA →C ．34BC →+14BA →D ．14BC →+34BA →解：由CD →=3DA →，可得CD →=34CA →，所以BD →=BC →+CD →=BC →+34CA →=BC →+34(BA →−BC →)=14BC →+34BA →． 故答案为：D ．3．利用斜二测画法画出平面四边形ABCD 的直观图是一个底角为45°的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，其中A ′B ′∥C ′D ′且A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．AB ＝2B ．A ′D ′=2√2C ．四边形ABCD 的周长为4+2√2+2√3 D ．四边形ABCD 的面积为6√2 解：根据斜二测画法的直观图知，AB ＝A 'B '＝4，所以选项A 错误； CD ＝C 'D '＝2，A ′D ′=√12+12=√2，选项B 错误； 又AD ＝2A ′D ′＝2√2，BC =√(2√2)2+22=2√3，所以四边形ABCD 的周长为2+4+2√2+2√3=6+2√2+2√3，选项C 错误； 四边形ABCD 的面积为12×（2+4）×2√2=6√2，选项D 正确．故选：D ．4．已知a =sin 32，b =cos 32，c =tan 32，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为π3＜32＜π2，所以√32=sin π3＜sin 32＜sin π2=1，即√32＜a ＜1， 12=cos π3＞cos 32＞cos π2=0，即0＜b ＜12， c =tan 32＞tan π3=√3， 所以c ＞a ＞b ． 故选：C ．5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令∠HBG ＝α，∠FBG ＝β，则β+α＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：不妨设正方形的边长为1，则在Rt △BGH 中，BG =3，GH =1，BH =√10，所以cosα=10sinα=10， 则在Rt △BEF 中，BE =2，EF =1，BF =√5，所以cosβ=25sinβ=15， 所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=3√102√51√10×1√5=5√50=√22， 又易知，α，β∈(0，π2)，所以α+β∈（0，π），故α+β=π4． 故选：B ．6．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√33D ．√63解：由展开图可得直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则∠HBD 即为BH 与底面ABCD 的夹角， 设正方体的棱长为1，则BD =√12+12=√2，BH =√DH 2+BD 2=√3， 所以cos ∠HBD =BDBH =√23=√63，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为√63．故选：D ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝60°且△ABC 的面积为√3，若c +a ＝6，则b ＝（ ） A ．2√6B ．5C ．2√7D ．√30解：因为△ABC 的面积为√3，故12acsinB =12ac ×√32=√3，故ac ＝4，又b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ＝36﹣12＝24， 故b =2√6． 故选：A ．8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且|GA →+GB →|=|GA →−GB →|，当∠C 取最大值时，cos C ＝（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15解：由题意|GA →+GB →|=|GA →−GB →|， 所以(GA →+GB →)2=(GA →−GB →)2，即GA →2+GB →2+2GA →⋅GB →=GA →2+GB →2−2GA →⋅GB →， 所以GA →⋅GB →=0，所以AG ⊥BG ，又AG →=23×12(AC →+AB →)=13(AC →+AB →)，BG →=23×12(BA →+BC →)=13(BA →+BC →)，则AG →⋅BG →=19(AC →+AB →)⋅(BA →+BC →)=19(AC →⋅BA →+AC →⋅BC →+AB →⋅BA →+AB →⋅BC →)=0， 所以CA →⋅CB →=AC →⋅AB →+BA →⋅BC →+AB →2，即ab cos C ＝bc cos A +ac cos B +c 2，由cosA =b 2+c 2−a 22bc ，cosB =a 2+c 2−b 22ac ，cosC =a 2+b 2−c 22ab， 所以a 2+b 2＝5c 2，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =25(a b +b a )≥45√a b ⋅b a =45，当且仅当a ＝b 时等号成立，又y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，C ∈（0，π）， 所以当∠C 取最大值时，cos C =45． 故选：A ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知不重合的两条直线m ，n 和不重合的两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β解：对于A ，当m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，且m ，n 相交时，才有α∥β，故A 错误； 对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，根据线面垂直的性质定理可得α∥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，β可绕n 旋转，此时α∥β或α与β相交，故C 错误； 对于D ，∵n ∥β，故在β中存在一条直线s ，使得n ∥s ，∴m ∥s ， 则s ⊥α，而s ⊂β，故α⊥β，故D 正确． 故选：BD ．10．已知复数z 1满足z 1=1+ii ，z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点，则（ ）A ．z 1的共轭复数为1﹣iB ．当x ＝0时，z 2为纯虚数C ．若OZ 1→∥OZ 2→，则x +y ＝0D ．若OZ 1→⊥OZ 2→，则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|解：已知复数z 1满足z 1=1+ii，则z 1＝1﹣i ， 又z 2＝x +yi ，x ，y ∈R ，z 1，z 2所对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，其中O 为坐标原点， 则OZ 1→=(1，−1)，OZ 2→=(x ，y)，对于选项A ，z 1的共轭复数为1+i ，即选项A 错误；对于选项B ，当x ＝0，y ≠0时，z 2为纯虚数，即选项B 错误；对于选项C ，当OZ 1→∥OZ 2→时，则1×y ＝（﹣1）×x ，则x +y ＝0，即选项C 正确；对于选项D ，若OZ 1→⊥OZ 2→，则x ＝y ，则z 1+z 2＝（1+x ，x ﹣1），z 1﹣z 2＝（1﹣x ，﹣x ﹣1）， 则|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|=√(1+x)2+(1−x)2，即选项D 正确． 故选：CD ．11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1＝AB ＝2．下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”B ．四面体A 1ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥B ﹣A 1ACC 1体积最大值为23D ．四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧棱AA 1⊥平面ABC ，对A 选项，AA 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，且AA 1∩AC ＝A ，则BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴四棱锥B ﹣A 1ACC 1为“阳马”，故A 正确；对C 选项，在底面有4＝AC 2+BC 2≥2AC •BC ，即AC •BC ≤2， 当且仅当AC =BC =√2时取等号，V B−A 1ACC 1=13S A 1ACC 1×BC =13AA 1×AC ×BC =23AC ×BC ≤43，故C 错误；对D 选项，由AC ⊥BC ，即A 1C 1⊥BC ，又A 1C 1⊥C 1C 且BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∵BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1C 1⊥BC 1，则△A 1BC 1为直角三角形，又由BC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥A 1C ，则△A 1BC 为直角三角形， 由“堑堵”的定义可得△A 1C 1C 为直角三角形，△CC 1B 为直角三角形， ∴四面体A 1C 1CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知△A 1BC 为直角三角形，侧棱AA 1⊥平面ABC ，则易知△A 1AB ，△A 1AC 为直角三角形，而△ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于A 1B 的中点， 则外接球半径R =12A 1B =12×√22+22=√2， 则球的表面积为4πR 2=4π×(√2)2=8π，故B 正确． 故选：ABD ．12．已知函数f n (x)=sin n x +cos n x ，(n ∈N ∗)，则下列说法正确的是（ ） A ．f 1（x ）在区间[−π3，π4]上单调递增B ．若f 1(x)=√22，则f 3(x)=3√28C ．f 4（x ）的最小正周期为π2D ．f 4（x ）的图象可以由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到解：对于A ，f 1(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 因为x ∈[−π3，π4]， 所以x +π4∈[−π12，π2]，又y ＝sin x 在(−π2，π2)上递增，故正确； 对于B ，由f 1(x)=sinx +cosx =√22，则f 3(x)=(sinx +cosx)(sin 2x −sinxcosx +cos 2x)=(sinx +cosx)(1−(sinx+cosx)2−12)=√22(1−(√22)2−12)=5√28，故错误；对于C ，f 4(x)=sin 4x +cos 4x =(sin 2x +cos 2x)2−2sin 2x ⋅cos 2x =1−12（sin2x ）2=34+14cos4x ， 则T =2π4=π2，故正确；D ．由函数g(x)=14sin4x 的图象先向左平移π8个单位得到y =14sin[4(x +π8)]=14sin(4x +π2)=14cos4x ，再向上平移34个单位得到y =34+14cos4x ，故正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点P （1，3），则2sinθsinθ+cosθ=32．解：因为角θ的终边经过点P （1，3），所以tan θ＝3， 所以2sinθsinθ+cosθ=2tanθtanθ+1=2×33+1=32．故答案为：32．14．设向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1），若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则实数λ＝ ±3 ． 解：∵向量a →=（3，3），b →=（1，﹣1）， ∴向量|a →|＝3√2，|b →|=√2，向量a →•b →=3﹣3＝0， 若（a →+λb →）⊥（a →−λb →），则（a →+λb →）•（a →−λb →）=|a →|2−λ2|b →|2=0， 即18﹣2λ2＝0， 则λ2＝9， 解得λ＝±3， 故答案为：±3，15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 √1112（只需写出一个可能的值）．解：由于三棱锥的棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，所以三角形的边长不能出现：1，1，2的情况，所以不妨三棱锥的底面为正三角形，棱长长为：2；三棱锥的高为：√22−(23×32×1)2=√113，所以三棱锥的体积为：13×√34×1×1×√113=√1112；故答案为：√1112． 16．如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC =7π12，BC ＝4√2千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝ π6；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使∠DBE =π6，则BD +BE 的最小值为 8（√3−1） 千米．解：因为sin ∠ABC =sin 7π12=sin(π4+π3)=sin π4cos π3+cos π4sin π3=√6+√24， cos ∠ABC =cos7π12=cos(π4+π3)=cos π4cos π3−sin π3sin π4=√2−√64， 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ∠ACB =8(√3+1)2， ∴AC =2√2(1+√3)， 根据正弦定理有ACsin7π12=AB sin∠ACB，可得sin ∠ACB =4×√6+√242(2+6)=12，因为0＜∠ACB ＜π2，所以，∠ACB =π6，设∠CBD ＝θ，其中0≤θ≤5π12，则∠BDC =5π6−θ，∠BEC =2π3−θ， 在△BCD 中，由正弦定理BD sinπ6=BC sin∠BDC ，可得BD =2√2sin(5π6−θ)，在△BCE 中，由正弦定理BEsinπ6=BC sin∠BEC，可得BE =2√2sin(2π3−θ)，则BD +BE =2√2(1√32sinθ+12cosθ1√32cosθ+12sinθ)=4√2(√3+1)(sinθ+cosθ)√3+4sinθcosθ，令t =sinθ+cosθ，t ∈[1，√2]，则sinθcosθ=t 2−12，则 BD +BE =f(t)=4√2(3+1)t 2t 2−(2−√3)=4√2(3+1)2t−(2−3)t， 易知分母g(t)=2t −(2−√3)t＞0，且是一个单调递增的函数， 则f （t ）是一个单调递减的函数， 当t =√2时，f （t ）有最小值，f(t)min =8(3+1)2+3=8(√3−1)．故答案为：π6；8(√3−1)．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）在①z +z =−8，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．已知复数z ＝（m 2﹣2m ﹣3）+（m 2﹣3m ﹣4）i （i 为虚数单位），若____，求实数m 的值． （2）已知x ＝1﹣i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0的一个根，求a ，b 的值． 解：选条件①：因为z =(m 2−2m −3)−(m 2−3m −4)i ，又z +z =−8， 所以2（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣8，解得m ＝1． 选条件②：∵z 为纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2−3m −4≠0，解得m ＝3． 选条件③：∵z 为非零实数，∴{m 2−2m −3≠0m 2−3m −4=0，解得m ＝4； （2）因为x ＝1﹣i 为实系数一元二次方程：x 2+ax +b ＝0的一个根， ∴（1﹣i ）2+a （1﹣i ）+b ＝0，即a +b ﹣（2+a ）i ＝0，所以{a +b =0a +2=0，解得，a ＝﹣2，b ＝2．18．（12分）已知a →，b →是同一平面内的两个向量，其中a →=(1，2)，b →=(λ，1)． （1）当λ＝1时，求a →与b →的夹角的余弦值； （2）若a →+2b →与2a →−2b →共线，求实数λ的值． 解：（1）当λ＝1时，b →=(1，1)，又a →=(1，2)， 所以cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=1+2√2×√5=3√1010；（2）因为a →=(1，2)，b →=(λ，1)，所以a →+2b →=(1+2λ，4)，2a →−2b →=(2−2λ，2)， 又a →+2b →与2a →−2b →共线，所以（1+2λ）×2﹣4×（2﹣2λ）＝0，解得λ=12．19．（12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO =√2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 是AB ̂的中点，点D 为AC 的中点．（1）证明：平面POD ⊥平面P AC ； （2）求二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值．解：（1）连接OC ，因为OA ＝OC ，D 为的AC 中点，所以AC ⊥OD ． 又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以PO ⊥AC ，又OD ∩PO ＝O ，PO ，OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ， 又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC ．（2）由（1）知AC ⊥平面POD ，OD ，PD ⊂面POD ，所以AC ⊥OD ，AC ⊥PD ，故∠PDO 是二面角B ﹣AC ﹣P 的平面角，在Rt △POD 中，PO =√2，又点C 是AB ⌢的中点，点D 为AC 的中点，所以OD =12BC =√22，故PD =√2+12=√102，所以cos ∠PDO =OD PD =√22102=√55，即二面角B ﹣AC ﹣P 的余弦值为√55．20．（12分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →． （1）求角A 的值；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．解：（1）∵向量m →=（sin A ，cos A ），n →=（2sin B ﹣cos C ，﹣sin C ），且m →⊥n →， ∴sin A （2sin B ﹣cos C ）﹣cos A sin C ＝0，即2sin A sin B ﹣sin （A +C ）＝0， 又在锐角△ABC 中，B ∈（0，π2），2sin A sin B ＝sin B ，∴sin A =12，又A ∈（0，π2），则A =π6；（2）由正弦定理得a +c ＝2R （sin A +sin C ）=2sinB（sin A +sin C ） =2sinB [12+sin （5π6−B ）]=2sinB （12+12cos B +√32sin B ） =√3+1+cosB sinB =√3+1tan B 2，∵△ABC 是锐角三角形，∴{0＜B ＜π20＜5π6−B ＜π2，解得π3＜B ＜π2， ∴π6＜B 2＜π4，则√33＜tan B 2＜1， ∴√3+1＜a +c ＜2√3， ∴3+√3＜a +b +c ＜2√3+2，故△ABC 周长的取值范围为（3+√3，2√3+2）．21．（12分）如图是一个以△A 1B 1C 1为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC ．已知AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3．（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1？若存在，求出AO OB的值；若不存在，请说明理由；（2）若A 1B 1＝2，求几何体A 1B 1C 1﹣ABC 的体积．解：（1）存在，此时AO OB=1，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ， 则OD ∥BB 1∥CC 1，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以OD =12(BB 1+AA 1)=3=CC 1， 所以四边形ODC 1C 为平行四边形，所以OC ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，OC ⊄平面A 1B 1C 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1，即在边AB 上是存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1且AO OB=1．（2）如图在AA 1上取点D 使得A 1D ＝BB 1＝2，在CC 1上取点E 使得C 1E ＝BB 1＝2， 连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱A 1B 1C 1﹣DBE 为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ， 取A 1C 1的中点G ，连接B 1G ，则BF ⊥DE ，B 1G ⊥A 1C 1， 又平面BDE ⊥平面ACC 1A 1，平面BDE ∩平面ACC 1A 1＝DE ， BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面ACC 1A 1，又BF =√22−12=√3，S △A 1B 1C 1=12×2×√3=√3，S ADEC =(1+2)×22=3， 所以V B−ADEC =13×3×√3=√3，V A 1B 1C 1−DBE =S △A 1B 1C 1⋅A 1D =2√3， 所以V A 1B 1C 1−ABC =V B−ADEC +V A 1B 1C 1−DBE =3√3．22．（12分）已知函数f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3．将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求函数f （x ）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间；（2）若对于∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0恒成立，求实数m 的范围．解：（1）f(x)=4sinxcos(x +π3)+√3=4sinx(12cosx −√32sinx)+√3=sin2x −√3(1−cos2x)+√3=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)．因x∈[−π4，π6]，则2x+π3∈[−π6，2π3]，又y＝sin x分别在[−π6，π2]，[π2，2π3]上单调递增和递减，则2x+π3∈[π2，2π3]⇒[π12，π6]，即函数f（x）在区间[−π4，π6]上的单调递减区间为[π12，π6]；（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为2sin(2x⋅32+π3)=2sin(3x+π3)，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为2sin[3(x−π18)+π3]=2sin(3x+π6)，则g(x)=2sin(3x+π6)．因x∈[0，π3]，则3x+π6∈[π6，7π6]．又y＝sin x在[π6，π2]上单调递增，在[π2，7π6]上单调递减，则sin(3x+π6)∈[−12，1]，故g(x)=2sin(3x+π6)∈[−1，2]．方法1：令g（x）＝t∈[﹣1，2]，则∀x∈[0，π3]，g2(x)−mg(x)−3≤0等价于∀t∈[﹣1，2]，t2﹣mt﹣3≤0，当t＝0时，t2﹣mt﹣3≤0⇔﹣3≤0，则此时m可取任意值；当t∈（0，2]时，t2−mt−3≤0⇔m≥t−3t⇒m≥(t−3t)max，注意到函数y=x，y=−1x均在（0，2]上单调递增，则函数y=t−1t在（0，2]上单调递增，则(t−3t)max=2−32=12⇒m≥12；当t∈[﹣1，0）时，t2−mt−3≤0⇔m≤t−3t⇒m≤(t−3t)min，注意到函数y=x，y=−1x均在[﹣1，0）上单调递增，则函数y=t−1t在[﹣1，0）上单调递增，则(t−3t)min=−1−3−1=2⇒m≤2；综上可得：12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．方法2：令g （x ）＝t ∈[﹣1，2]， 则∀x ∈[0，π3]，g 2(x)−mg(x)−3≤0，等价于∀t ∈[﹣1，2]，ℎ(t)=t 2−mt −3≤0⇒{ℎ(−1)≤0ℎ(2)≤0⇒{1+m −3≤04−2m −3≤0，解得12≤m ≤2．所以实数m 的范围为[12，2]．。

2021-2022学年河南省南阳市高一下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年河南省南阳市高一下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年河南省南阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知角2022α=，则角α的终边落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.【详解】因为20222225360α==+⨯，而222是第三象限角，故角α的终边落在第三象限. 故选：C.2．已知向量()1,2a =，(),1b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【分析】由向量垂直的坐标表示计算． 【详解】由题意20a b λ⋅=-=，2λ=． 故选：A ． 3．已知复数2i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．3i 2B ．3i 2-C ．32D ．32-【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义结合复数的概念判断可得出合适的选项. 【详解】()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ++++====+--+，则13i 22z =-， 故z 的虚部为32-.故选：D.4．将函数()sin 2f x x x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．12π B ．6πC ．3π D ．56π 【答案】A【分析】化简函数()f x 的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于ϕ的等式，即可求得ϕ的最小值.【详解】因为()sin 23cos 22sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，因为函数2sin 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则()2Z 32k k ππϕπ+=+∈，解得()Z 122k k ππϕ=+∈， 0ϕ>，则当0k =时，ϕ取最小值12π. 故选：A.5．与图中曲线对应的函数可能是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．sin y x =-D ．sin y x =-【答案】D【分析】判断各选项中函数在区间()0,π或(),2ππ上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，当0πx <<时，sin 0y x =>，A 选项不满足条件； 对于B 选项，当0πx <<时，0x π<<，sin 0y x =>，B 选项不满足条件； 对于C 选项，当2x ππ<<时，sin 0y x =-<，C 选项不满足条件； 对于D 选项，令()sin f x x =-，该函数的定义域为R ，()()sin sin f x x x f x -=--=-=，故函数sin y x =-为偶函数，当0πx <<时，()sin 0f x x =-<，D 选项满足条件. 故选：D.622sin 201cos20--+的结果是（ ） A 2B ．2C D ．【答案】D【分析】利用二倍角公式化简可得结果.【详解】原式)2210sin 102sin10cos1012cos 101=+--+- ()sin102cos102cos10sin102cos102sin10--=--=-.故选：D.7．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；②若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ； ③若//αβ，l α⊂，则//l β； ④若l αβ=，m βγ=，n γα=，//l γ，则//m n .其中真命题是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①②【答案】C【分析】利用线面垂直的判定定理构造反例，可以判定①错误；根据线面平行的判定定理构造反例，可以判定②错误；利用面面平行和线面平行的定义可以证明③正确；根据线面平行的性质定理和直线的平行公理，可证证明④正确.【详解】对于①：设直线a ⊥平面γ,当平面αβ，都经过直线a 时，αγ⊥，βγ⊥，但是a αβ⋂=,故①错误；对于②：当m n 时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，不能得出//αβ，比如当l αβ⋂=时,在平面α中任意平行与直线l 的两条直线，由线面平行的判定定理可知//m β，βn//成立，,m n 满足条件，但结论不成立，故②错误；对于③：若//αβ，根据平面平行的定义，可知αβ，没有公共点，由于l α⊂，直线l 与平面α没有公共点，即//l β，故③正确； 对于④：由l αβ=得l α⊂，又//l γ,n γα= ,∴//l n ，同理//l m ，故//m n ，故④正确； 故选C.【点睛】本题考查线面、面面平行、垂直的定义、判定与性质，属中档题，难度一般. 8．设向量(),m a b =，复数i z a b =+（i 为虚数单位，a 、b ∈R ），则下列说法错误．．的是（ ）A ．m z =B ．22m z =C ．22m z =D ．2m z z =⋅【答案】C【分析】利用平面向量的模长公式以及复数的模长公式、复数的乘法可判断各选项的正误.【详解】因为i R,R z a b a b ∈∈=+，，则i z a b =-，所以，2222m a b z z z =+==⋅，则m z =，但2222222i m a b a b ab z =+≠-+=，ABD 选项正确，C 错. 故选：C.9．若底面边长为1，高为2的正四棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3π B ．6π C ．12π D ．24π【答案】B【分析】计算出正四棱柱的体对角线长，可得出其外接球的半径，结合球体表面积公式可得结果.【详解】因此，该正四棱柱的外接球半径为R =， 因此，该正四棱柱的外接球的表面积为246R ππ=. 故选：B.10．在锐角．．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2B A =，则ab的取值范围为（ ）A ．⎝⎭B ．12⎛ ⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据锐角三角形可得角ππ64A <<，进而根据正弦定理边化角，结合二倍角公式以及余弦函数的单调性即可求解.【详解】ABC 为锐角三角形，故ππ0022ππππ0022264ππ00π222A A B A A C A A ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<--<⎪⎪⎩⎩ ,故cos A ∈⎝⎭进而由正弦定理可得sin sin sin 1sin sin 22sin cos 2cos 2a A A A b B A A A A ====∈⎝⎭故选：A11．已知函数()22tan21tan 2xf x x =+的最小正周期为f T ，值域为f M ，函数()221tan 21tan 2x g x x -=+的最小正周期为g T ，值域为g M ，则（ ） A ．f g T T =，f g M M = B ．f g T T ≠，f g M M = C ．f g T T =，f g M M ≠ D ．f g T T ≠，f g M M ≠【答案】C【分析】由二倍角公式、同角间的三角函数关系化简函数式，然后求出函数的周期和值域，判断各选项．【详解】由已知222sin2cos2()sin sin 21cos 2x x f x x x x ==+，22x k ππ≠+，2x k ππ≠+，Z k ∈，2f T π=，[-1,1]f M =，2222cos sin 22()cos cos sin 22xxg x x xx -==+，22x k ππ≠+，2x k ππ≠+，Z k ∈，2g T π=，(1,1]g M =-， 故选：C ．12．若四面体各棱长是2或4，且该四面体不是．．正四面体，则其体积的值不可能．．．为（ ） ABCD．3【答案】D【分析】对四面体各棱的长度进行分类讨论，结合锥体的体积公式可求得该四面体的可能体积.【详解】设四面体为ABCD ，分以下几种情况讨论：①若2AD BC ==，其余各棱棱长均为4，取BC 的中点O ，连接AO 、OD ，因为4AB AC ==，2BC =，O 为AC 的中点，故AO BC ⊥，且2215AO AB OB =-=， 同理可得15OD =，OD BC ，AO OD O =，AO 、OD ⊂平面AOD ，BC ∴⊥平面AOD ，2AD =，所以，22213cos 215AO OD AD AOD AO OD +-∠==⋅， 所以，2214sin 1cos 15AOD AOD ∠=-∠=， 所以，1sin 142AOD S AO OD AOD =⋅∠=△， 此时，121433A BCD AOD V BC S -=⋅=△；②若2AD =，其余各棱棱长均为4，取BC 的中点O ，连接AO 、OD ，因为4AB AC BC ===，O 为AC 的中点，故AO BC ⊥，且2223AO AB OB - 同理可得3OD =OD BC ，AO OD O =，AO 、OD ⊂平面AOD ，BC ∴⊥平面AOD ，2AD =，所以，2225cos 26AO OD AD AOD AO OD +-∠==⋅， 所以，211sin 1cos 6AOD AOD ∠=-∠，所以，1sin 112AOD S AO OD AOD =⋅∠=△， 此时，141133A BCD AOD V BC S -=⋅=△；③三棱锥A BCD -为正三棱锥，且侧棱长为4，BCD △是边长为2的等边三角形，如下图所示：设顶点A 在底面BCD 内的射影点为M ，连接AM 、CM ， 则2232sin3CM π==，22233AM AC CM =-=， 2323BCD S ==△12113A BCD BCD V S AM -=⋅=△ 故选：D. 二、填空题13．在平面直角坐标系中，(),12A k ，()4,5B ，()10,C k ，若A ，B ，C 三点共线，则正．数．k =______． 【答案】11【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由题意可得()()4,7,6,5AB k BC k =--=- ，因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，进而()()2454292202k k k k k --=-⇒--=⇒=- 或11k =因为0k > ，所以11k = ， 故答案为：1114．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为2的正方形，则原平面四边形的面积为______． 【答案】82【分析】作出原平面图形，可知AB AC ⊥，且2AB =，42AC =面积公式可求得结果.【详解】不妨设正方形A B C D ''''的边长为2，2A B ''=，22A C ''=45B A C '''∠=，如下图所示：则在原平面图形中，AB AC ⊥且2AB =，42AC =，易知四边形ABCD 为平行四边形，因此，平面图形ABCD 的面积为82S AB AC =⋅=故答案为：8215．()()()()2222log 1tan1log 1tan 2log 1tan3log 1tan 45+︒++︒++︒+++︒=______．【答案】23【分析】根据正切的和角公式可得()()1tan 21tan 432++=()(),1tan 221tan 232++=，然后根据对数的运算性质即可求解. 【详解】因为()()()()1tan11tan 441tan1tan 44tan1tan 441tan1tan 44tan 1441tan1tan 44++=+++=+++-2= ，同理可得：()()1tan 21tan 432++=，()(),1tan 221tan 232++= ，故()()()()2222log 1tan1log 1tan 2log 1tan3log 1tan 45++++++++=()()()()2322log 1tan11tan 21tan 441tan 45log223++++==故答案为：2316．如图，在ABC 中，6AC =，8BC =，10AB =，O 是ABC 的内切圆的圆心，则CO AB ⋅=______．【答案】4【分析】利用等面积法计算出圆O 的半径，然后以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得CO AB ⋅的值.【详解】设圆O 的半径为r ，因为6AC =，8BC =，10AB =，则222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥，则()1122ABC S AC BC r AB AC BC =⋅=++△， 则2AC BCr AC BC AB⋅==++，因为90ACB ∠=，易知CO 平分ACB ∠，以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C 、()2,2O 、()6,0A 、()0,8B ，则()2,2CO =，()6,8AB =-， 因此，62824CO AB ⋅=-⨯+⨯=. 故答案为：4. 三、解答题17．（1）已知复数z 满足13i z z =+-（i 为虚数单位），求z ； （2）求2cos12sin18sin 72-的值．【答案】（1）4i 3z =-+；（23【分析】（1）设()i ,z x y x y =+∈R ，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出关于x 、y 的方程组，解出这两个量的值，即可得出复数z 的值； （2）利用两角差的余弦公式、诱导公式化简可得出所求代数式的值.【详解】解：（1）设()i ,z x y x y =+∈R ，由13i z z =+-()()13i x y -+-， 由复数相等可得301y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩43x y =-⎧⎨=⎩，故4i 3z =-+； （2）原式()()2cos 7260sin 9072cos723sin 72cos723sin 72sin 72---+-===.18．已知函数()2sin 2cos f x x x θθ=-．(1)若()1f sin 2θ的值； (2)求()22sin 2f θ+的最大值． 【答案】(1)4sin 25θ=-(2)4【分析】（1）由已知条件结合辅助角公式可得出()sin 1θϕ-=，其中ϕ为锐角，且cos ϕ=，sin ϕ=sin θ、cos θ的值，再利用二倍角的正弦公式可求得结果；（2）设sin cos 4t πθθθ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，可得出2sin 21t θ=-，利用二次函数的基本性质可求得()22sin 2f θ+的最大值.【详解】(1)解：因为()()1sin 2cos f θθθϕ=-=-()sin 1θϕ-=，其中ϕ为锐角，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，()2Z 2k k πθϕπ-=+∈，则()2Z 2k k πθπϕ=++∈，所以，cos cos 2sin 2k πθπϕϕ⎛⎫=++=-= ⎪⎝⎭sin sin 2cos 2k πθπϕϕ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，因此，4sin 22sin cos 5θθθ==-.(2)解：因为sin cos 4πθθθ⎛⎫⎡-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，()2sin cos 12sin cos 1sin 2θθθθθ-=-=-，令sin cos 2,2t θθ⎡⎤=-∈-⎣⎦，则2sin 21t θ=-，则()()()2222sin 24sin cos 2sin 2421242f t t t t θθθθ+=-+=+-=-++()22144t =--+≤，当且仅当1t =时，()22sin 2f θ+取最大值4.19．如图，已知ABC 是正三角形，AE 、CD 都垂直于平面ABC ，且22EA AB DC ===，F 为BE 的中点．(1)求证：FD//平面ABC ； (2)求证：平面BDE ⊥平面EAB ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）取AB 的中点M ，连接MF 、CM ，证明出四边形CDFM 为平行四边形，可得出//DF CM ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CM ⊥平面ABE ，可得出DF ⊥平面ABE ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】(1)证明：取AB 的中点M ，连接MF 、CM ， 因为AE 、CD 都垂直于平面ABC ，则//AE CD 且12CD AE =， 因为M 、F 分别为AB 、BE 的中点，则MF AE //且12MF AE ，//MF CD ∴且MF CD =， 所以，四边形CDFM 为平行四边形，则//DF CM ，DF ⊄平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，//DF ∴平面ABC .(2)证明：ABC 为等边三角形，且M 为AB 的中点，所以，CM AB ⊥，AE平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，CM AE ∴⊥， ABAE A =，AB 、AE ⊂平面ABE ，CM ∴⊥平面ABE ，//DF CM ，DF ⊥∴平面ABE ，DF ⊂平面BDE ，所以，平面BDE ⊥平面ABE .20．已知函数()()11cos 23cos cos 222f x x x x x =--+，x ∈R ．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求方程()()10f x a a =-<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 【答案】(1)最小正周期为π，增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ (2)103π【分析】（1）利用三角恒等化简函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期，解不等式()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈可得出函数()f x 的增区间； （2）232,626t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，数形结合可知函数y a =与函数2sin y t =在23,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象有4个交点，利用对称性可求得这4个交点横坐标之和，进而可求得方程()()10f x a a =-<<在[]0,2π内的所有实数根之和. 【详解】(1)解：()2111cos 21123cos cos cos 232cos 222222x f x x x x x x x +=--+=--+32cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈得()Z 63k x k k ππππ-≤≤+∈，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)解：当02x π≤≤时，232666x πππ-≤-≤，令26t x π=-，作出函数y a =与函数2sin y t =在23,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：可知函数y a =与函数2sin y t =在23,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象有4个交点，设这四个交点的横坐标由小到大依次为1t 、2t 、3t 、4t ，设()21,2,3,46i i x t i π-==，故方程()()10f x a a =-<<在[]0,2π内有四个不等的实根1x 、2x 、3x 、4x ， 由图可知，点()1,t a 、()2,t a 关于直线2t π=对称，点()3,t a 、()4,t a 关于直线52t π=对称，所以，12341234522222226666t t t t x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯+=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1234103x x x x π+++=. 21．如图，在ABC 中，2AB AC =，25cos 5B =，点D 在线段BC 上．(1)当BD AD =时，求ADAC的值； (2)若AD 是A ∠的平分线，5BC =ADC 的面积． 【答案】(1)5AD AC =(2) 13或59． 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用正弦定理可求sin 2sin C ABB AC==，由已知利用二倍角的正弦函数公式可得sin 2sin cos ADC B B ∠=，在ADC 中，利用正弦定理可求ADAC的值； （2）设AC x =，则2AB x =，由余弦定理可得x 的值，进而可求DC ，又由（1）可求sin C 的值，利用三角形面积公式即可求值得解． 【详解】解：（1）2cos B =B 是三角形内角，sin B ∴=， 2sin sin AC ABAB AC B C ==，， sin 2sin C ABB AC∴==． BD AD =，2ADC B ∴∠=∠，sin sin22sin cos ADC B B B ∴∠==，∴在ADC 中，sin 2sin 1sin 2sin cos cos AD C B AC ADC B B B ====∠ （2）设AC x =，则2AB x =，在ABC 中，由余弦定理可得：()2222cosx x B +-=解得：1x =或53x =．因为AD 是A ∠的平分线， 所以2BD ABDC AC==，即2BD DC =，而BC =，所以DC =．又由（1）知sin 2sin C B ==，①当1x =时，111sin 1223ADCSAC DC C =⋅⋅=⨯=；②当53x =时，155239ADC S ∆=⨯=．综上，ADC ∆的面积为13或59．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．22．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 为边AD 上的动点，将DCE 沿CE折起，记折起后D 的位置为P ，且P 在平面ABCD 上的射影O 恰好落在折线CE 上．(1)设DCE α∠=，当α为何值时，PBC 的面积最小？(2)当PBC 的面积最小时，在线段BC 上是否存在一点F ，使平面PAF ⊥平面POF ，若存在求出BF 的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)π4α=(2)且1BF = 或12BF =【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，进而根据三角形中的边角关系可得sin 2cos 2PCB α∠=，而三角形的面积为sin BCPS PCB =∠，要使得面积最小，则sin 2cos 2PCB α∠=最大即可；（2）根据空间直角坐标系，根据平面法向量垂直得两平面垂直即可求解.【详解】(1)因为2,1BC PC == ,所以1sin sin 2BCPSBC PC PCB PCB =⋅⋅∠=∠ , 由于PO ⊥ 平面BCEA , PCE α∠=,故在Rt POC 中，sin ,cos PO OC αα== ， 在BOC 中，π2BCO α∠=-由余弦定理可得2222π2cos 4cos 22cos sin 2OB BC OC BC OC αααα⎛⎫=+-⋅-=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，在Rt POB 中，22222sin 4cos 22cos sin 52sin 2PB OP OB ααααα=+=++-⨯⨯=-在PBC 中，()2221452sin 2sin 2cos 242PC BC PB PCB PC BC αα+--+-∠===⋅ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πα∈，当sin21α= 时，即ππ224αα=⇒= ，cos PCB ∠ 最大，此时sin PCB ∠，而sin BCPSPCB =∠也为最小值，故π4α=(2)以B 为坐标原点，以,BC BA 为,x y 轴的正方向，过B 向上作平面ABCE 的垂线为z 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系；()31(0,0,0),0,1,0,(2,0,0),(1,1,0),(,,0),22B A C E O当π4α=时，此时E 是AD 中点，故21,PC PE PO ===,故312(,)22P设()(,0,0),02F a a ≤≤ ,则3122312(,,),0,0,,,,)2222222FP a OP AP ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ; 设平面POF 的法向量为(),,m x y z = ，所以312002220202a x y z m FP m OP z ⎧⎛⎫-++=⎪ ⎪⎧⋅=⎪⎝⎭⇒⎨⎨⋅=⎩⎪=⎪⎩ ，取1x = ，则()1,23,0m a =- 同理可得平面PAF 的法向量为31,,2a n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为平面PAF ⊥平面POF ，所以0m n m n ⊥⇒⋅= ，即212301a a a +-=⇒= 或12a = ， 故存在点F ,使得平面PAF ⊥平面POF ，且1BF a == 或12BF =。

河南省南阳市高一下学期数学期末考试试卷

河南省南阳市高一下学期数学期末考试试卷

河南省南阳市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示。

若两正数a,b 满足f(a+2b)<1，则的取值范围是（）A .B .C . (-1,0)D .3. （2分）在等差数列中，首项，公差≠0，若，则（）A . 22B . 23C . 24D . 254. （2分） (2018高一下·临川期末) 若x>0，则的最小值为（）A . 2B . 3C .D . 45. （2分）已知P是以F1、F2为焦点的双曲线上一点，若，则的面积为（）A . 16B .C .D .6. （2分）已知点O(0,0)，A(1,2),B(3,2)以线段AB为直径作圆C，则直线与圆c的位置关系是（）A . 相交且过圆心B . 相交但不过圆心C . 相切D . 相离7. （2分） (2015高二上·滨州期末) 如图，MA⊥平面α，AB⊂平面α，BN与平面α所成的角为60°，且AB⊥BN，MA=AB=BN=1，则MN的长为（）A .B . 2C .D .8. （2分） (2015高二上·仙游期末) 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高三上·和平期末) 若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的取值范围是（）A . [﹣11，3]B . [﹣11，﹣3]C . [﹣3，11]D . [3，11]10. （2分） (2016高一下·齐河期中) 《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织（）尺布．（不作近似计算）A .B .C .D .11. （2分）已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，底面ABC，，则球的体积与三棱锥体积之比是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·兰州期末) 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B´-AD-C，此时∠B´AC=60°，那么这个二面角大小是（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·上饶模拟) 已知等比数列的前项和为，且，则________．14. （1分） (2016高二上·徐州期中) 过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为________．15. （1分） (2017高二上·唐山期末) 侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，则三棱锥B﹣AB1C1的体积为________．16. （1分） (2019高一上·长春期中) 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（e=2.718为自然对数的底数，k、b为常数）。

2019-2020学年河南省南阳市高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年河南省南阳市高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年河南省南阳市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．某校有高一学生450人，高二学生480人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（）A．15B．16C．30D．312．sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（）A．0B．C．D．13．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”4．已知向量＝（cosθ，sinθ），＝（2，﹣1），且⊥，则的值是（）A．3B．﹣3C．D．5．已知平面向量，是非零向量，||＝2，⊥（+2），则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．26．已知函数f（x）＝A tan（ωx+φ），y＝f（x）的部分图象如图，则＝（）A．2+B．C．D．2﹣7．将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能值为（）A．B．C．D．8．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]9．若sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝0，则cos（α﹣β）的值为（）A．﹣1B．1C．﹣D．10．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）满足对任意x∈R，f（x）＝f（x+π），则函数f（x）在[0，2π]上的零点个数不可能为（）A．5B．9C．21D．2312．已知函数f（x）＝|sin x|+|cos x|，则下面结论不正确的是（）A．f（x）为偶函数B．f（x）的最小正周期为C．f（x）的最大值为2D．f（x）在[，]上单调递增二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则＝．14．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则的最大值为．15．函数y＝3sin x﹣4cos x在x＝θ处取得最大值，则sinθ＝．16．若不等式sin x﹣tan x+|tan x+sin x|﹣k≤0在x∈[，π]恒成立，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为45°，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18．某同学用“五点法”画函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxA sin（ωx+φ）02﹣20（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．19．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．20．已知f（x）＝2sin x cos x +（cos2x﹣sin2x）．（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y＝f（x）的值域．21．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．（1）求||的值；（2）已知A（1，cos x），B（1+cos x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•﹣（2m+）||，若f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某校有高一学生450人，高二学生480人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（）A．15B．16C．30D．31【分析】根据分层抽样为随机抽样，可知即可求出n．解：依题意．可知，所以n＝31，故选：D．2．sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（）A．0B．C．D．1【分析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果．解：sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos15°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos（15°+45°）＝，故选：B．3．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．故选：C．4．已知向量＝（cosθ，sinθ），＝（2，﹣1），且⊥，则的值是（）A．3B．﹣3C．D．【分析】由已知求得tanθ，然后展开两角差的正切求解．解：由＝（cosθ，sinθ），＝（2，﹣1），且⊥，得2cosθ﹣sinθ＝0，即tanθ＝2．∴＝．故选：C．5．已知平面向量，是非零向量，||＝2，⊥（+2），则向量在向量方向上的投影为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】先根据向量垂直，得到＝﹣2，再根据投影的定义即可求出．解：∵平面向量是非零向量，，，∴•（）＝0，即+2＝0，即＝﹣2，∴向量在向量方向上的投影为＝＝﹣1，故选：A．6．已知函数f（x）＝A tan（ωx+φ），y＝f（x）的部分图象如图，则＝（）A．2+B．C．D．2﹣【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，根据（，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f（）即可．解：由题意可知T＝2×（）＝，所以ω＝＝2，函数的解析式为：f（x）＝A tan（2x+φ），因为函数过（，0），可得：0＝A tan（+φ），又|φ|＜，所以解得：φ＝，又图象经过（0，1），可得：1＝A tan，所以：A＝1，所以：f（x）＝tan（2x+），则f（）＝tan（+）＝tan＝．故选：B．7．将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能值为（）A．B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到f（x）＝sin（2x++φ）．由于f（x）＝sin（2x++φ）为偶函数，所以φ＝k，整理得φ＝（k∈Z），当k＝﹣1时，φ＝﹣．故选：B．8．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）＝2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）＝x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．9．若sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝0，则cos（α﹣β）的值为（）A．﹣1B．1C．﹣D．【分析】由题意可得（sinα+sinβ）2＝（﹣sinγ）2，（cosα+cosβ）2＝（﹣cosγ）2，两式相加得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，再利用两角差的余弦公式即可算出结果．解：∵sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝0，∴（sinα+sinβ）2＝（﹣sinγ）2，（cosα+cosβ）2＝（﹣cosγ）2，两式相加得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，∴cos（α﹣β）＝﹣，故选：C．10．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．【分析】首先确定所给数据中唯一曲边三角形的点的个数，然后利用频率近似概率，结合几何概型求解曲边三角形的面积即可．解：由表可知，向矩形区域{（x，y）|1⩽x⩽e，0⩽y⩽1}内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其横坐标分别为2.5，1.22，2.52，2.17，1.89，2.22其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故选：D．11．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）满足对任意x∈R，f（x）＝f（x+π），则函数f（x）在[0，2π]上的零点个数不可能为（）A．5B．9C．21D．23【分析】计算f（x）在[0，2π]上的周期个数，根据周期个数得出零点个数．解：f（x）的最小正周期为T＝，∵对任意x∈R，f（x）＝f（x+π），∴π＝•k，k∈N×，故f（x）在[0，2π]上有偶数2k个周期，∴f（x）在[0，2π]上的零点个数为4k+1个，故选：D．12．已知函数f（x）＝|sin x|+|cos x|，则下面结论不正确的是（）A．f（x）为偶函数B．f（x）的最小正周期为C．f（x）的最大值为2D．f（x）在[，]上单调递增【分析】由偶函数的定义判断选项A，由最小正周期的定义判断选项B，再将f（x）化简，利用正弦函数的图象求出f（x）的最值与单调性．解：对于A，f（x）定义域为R，f（﹣x）＝|sin（﹣x）|+|cos（﹣x）|＝|sin x|+|cos x|＝f （x），即f（x）为偶函数，选项正确；对于B，f（x+）＝|sin（x+）|+|cos（x+）|＝|cos x|+|sin x|＝f（x），即f（x）的最小正周期为，选项正确；对于C，f（x）＝|sin x|+|cos x|＝，则当sin2x＝±1时，f（x）的最大值为，选项错误；对于D，x∈[，]时，2x∈[π，]，f（x）＝|sin x|+|cos x|＝，令2x ＝t，则y＝|sin t|在[π，]上单调递增，再由复合函数的单调性可得，f（x）在[，]上单调递增，选项正确；故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则＝．【分析】由已知利用二倍角公式即可计算得解．解：∵，∴．故答案为：．14．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则的最大值为9．【分析】先建立直角坐标系，把几个向量的坐标计算出来，再根据向量减法的坐标公式，以及向量的数量积坐标公式计算即可．【解答】解；∵△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴△ABC为直角三角形，且∠C为直角，以CB为x轴，CA为y轴，建立直角坐标系，则C（0，0），A（0，3），B（4，0），设P（x，y）则＝（x，y）.＝（﹣4，3），＝（4，0），∴＝（x，y）•（0，3）＝3y∵0≤y≤3，∴0≤3y≤9故答案为915．函数y＝3sin x﹣4cos x在x＝θ处取得最大值，则sinθ＝．【分析】利用辅助角公式可得y＝3sin x﹣4cos x＝5sin（x﹣φ）（其中tanφ＝），结合题意可得θ＝2kπ++φ（k∈Z），从而可求得答案．解：y＝3sin x﹣4cos x＝（sin x﹣cos x）＝5sin（x﹣φ）（其中tanφ＝），依题意，θ﹣φ＝2kπ+（k∈Z），故θ＝2kπ++φ（k∈Z），则sinθ＝cosφ＝＝，故答案为：．16．若不等式sin x﹣tan x+|tan x+sin x|﹣k≤0在x∈[，π]恒成立，则k的取值范围是[2，+∞）．【分析】由x的范围判断tan x+sin x的符号，去掉绝对值，将k分离，构造新函数并判断函数的单调性，求出最值代入即可．解：∵x∈[，π]，∴cos x∈[﹣1，﹣]，sin x≥0，tan x∈[﹣1，0]，∴tan x+sin x＝+sin x＝≤0，∴不等式sin x﹣tan x+|tan x+sin x|﹣k≤0可化简为：﹣2tan x﹣k≤0，即k≥﹣2tan x，则k≥（﹣2tan x）max，x∈[，π]，又y＝﹣2tan x在[，π]单调递减，∴k≥2，故答案为：[2，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为45°，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．【分析】（1）由与的夹角为45°，可得＝cos45°．展开＝﹣，代入即可得出．（2）由向量与的夹角为钝角，可得（）•（）＜0，且不能反向共线，即可得出．解：（1）∵与的夹角为45°，∴＝cos45°＝＝．∴＝﹣＝2+﹣1＝1+．（2）∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（）＜0，且不能反向共线，∴＝k2﹣1＜0，解得﹣1＜k＜1，k≠0∴实数k的取值范围是（﹣1，1）（k≠0）．18．某同学用“五点法”画函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxA sin（ωx+φ）02﹣20（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．【分析】（1）根据最值求得A，由周期求得ω，五点法做函数y＝A sin（ωx+φ）的图象求得φ的值，可得函数的解析式．（2）根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论．解：（1）补充表格：由于最大值为2，最小值为﹣2，故A＝2．＝＝﹣＝，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•+φ＝，∴φ＝﹣，故f（x）＝2sin（2x﹣）．ωx+φ0π2πxA sin（ωx+φ）020﹣20（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，可得y＝2sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（x+）的图象．令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，故g（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．19．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040605070（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）分别求出x＝2，4，5，6，8时的，列出表格，再由古典概型概率公式求解．解：（1）＝＝5，＝＝50，＝＝6.5，，因此，所求回归直线方程为：＝6.5x+17.5；（2）x24568y304060507030.543.55056.569.5基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：（30，40），（30，70），（40，70）共3个．∴两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为．20．已知f（x）＝2sin x cos x+（cos2x﹣sin2x）．（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y＝f（x）的值域．【分析】（1）将f（x）化简，利用整体法求出f（x）的对称轴和周期即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的最大值和最小值即可．解：（1）f（x）＝2sin x cos x +（cos2x﹣sin2x）＝令，则f（x ）的对称轴为，最小正周期；（2）当x∈[0，]时，，因为y＝sin x 在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以f（x）∈[﹣1，2]．21．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？【分析】（1）由频数分布表能补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出样本的中位数．（3）分别滶出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数，由此能估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费多少钱．解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图得：[10，25）的频率为：（0.02+0.024+0.026）×5＝0.35，[25，30）的频率为0.036×5＝0.18，设样本的中位数为x，则0.35+（x﹣25）×0.036＝0.5，解得x≈29.2．∴样本的中位数约为29.2．（3）依题意知休闲跑者共有：（5×0.02+5×0.024）×1000＝220人，核心跑者共有：（5×0.026+5×0.036+5×0.044+5×0.030）×1000＝680人，精英跑者共有：1000﹣220﹣680＝100人，∴估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：（220×2500+680×4000+100×4500）＝3720（元）．22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．（1）求||的值；（2）已知A（1，cos x），B（1+cos x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•﹣（2m+）||，若f（x）的最小值为g（m），求g（m）的最大值．【分析】（1）由已知得：，所以进行向量运算可得，继而可得结果；（2）f（x）＝＝1+＝（cos x﹣m）2+1﹣m2，对m进行讨论，求得不同情况下的最小值，写成关于m的函数式g（m），继而可以求得结果．解：（1）由已知得：，∴，∴，∴，∴；（2）f（x）＝＝1+＝（cos x﹣m）2+1﹣m2，∵x，∴cos x∈[0，1]，当m＜0时，当cos x＝0时，f（x）取得最小值g（m）＝1；当0≤m≤1时，当cos x＝m时，f（x）取得最小值g（m）＝1﹣m2；当m＞1时，当cos x＝1时，f（x）取得最小值g（m）＝2﹣2m，综上所述，g（m）＝，∴g（m）的最大值为1．。

河南省南阳市16—17学年下学期高一期末考试数学试题(扫描版)(附答案)

河南省南阳市16—17学年下学期高一期末考试数学试题(扫描版)(附答案)

高一数学期末参考答案一、选择题1-5 CBAAD 6-10 BDCBC 11-12 AD二、填空题 13. 43- 14. 3 15. ①③ 16. 21-三、解答题17.解：（1）由已知得，0)()32(1=-++x x x ，解得，3=x 或1-=x ， 因为N x ∈，所以3=x . ……………5分 （2）若//a b ，则()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或2x =-，因为N x ∈，所以0=x .()2,0a b -=-，2a b -=. ……………10分18.解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==- ………3分（2）000186********α=-=-⨯+00()(1860)cos(1860)f f α∴=-=--0001cos(6360300)cos 602=--⨯+=-=-………7分 （3）1sin()cos()2636πππααα∈-=∴-=（0，）,()cos cos[()]cos()cos sin()sin 66666611132326f ππππππααααα∴=-=--+=--+--=-⋅+⋅=………12分19.解：（1）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………4分（2）根据频率分布直方图和统计图表可知[65，75）的人数为0.01×10×60＝6人，其中2人赞成，4人不赞成 记赞成的人为x ，y ，不赞成的人为a ，b ，c ，d任取2人的情况分别是：xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，ya ，yb ，yc ，yd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种情况其中2人都不赞成的是：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况 ∴2人都不赞成的概率是：P ＝62155=. ………12分20.解：（1）()1cos 232sin 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以，2626πππ≤+≤-x ，即66ππ≤≤-x 时，()y f x =增，65622πππ≤+≤x ，即36ππ≤≤x 时，()y f x =减， ∴函数()y f x =在]6,6[ππ-上增，在]3,6[ππ上减. ………6分 （2）2)6)122(2sin()(++-=ππωx x g 2)sin(+=x ω 要使g （x ）在]6,32[ππ-上增，只需322πωπ-≤-，即43≤ω 所以ω的最大值为43. ………12分21.解：（1）依题意可知z 的最大值为6，最小为﹣2， ∴⇒；∵op 每秒钟内所转过的角为，得z=4sin，当t=0时，z=0，得sinφ=﹣，即φ=﹣，故所求的函数关系式为z=4sin +2 ………6分（2）令z=4sin +2=6，得sin=1，取，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4s ． ………12分22.解：（1）f （x ）=====（）=．由题意可知，f （x ）的最小正周期T=π，∴， 又∵ω＞0， ∴ω=1，∴f （x ）=．∴=． ………4分（2）由f （x ）﹣m ≤0得，f （x ）≤m ， ∴m≥f （x ）max ，∵﹣，∴，∴，∴﹣≤， 即f （x ）max =，∴43≥m 所以),43[+∞∈m ………8分 （3）原方程可化为1)32sin(23334+=+⋅m x π即1)32sin(2+=+m x π20π≤≤x画出)32sin(2π+=x y 20π≤≤x 的草图x=0时，y=2sin3π=，y 的最大值为2， ∴要使方程在x ∈[0，2π]上有两个不同的解，1＜2， 1≤m ＜1． 所以)1,13[-∈m ………12分。

河南省南阳市高一下期末考试数学试题有答案

河南省南阳市高一下期末考试数学试题有答案

河南省南阳市年舂期高中一年级期终质量评估数学试卷1.某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高一年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是（ ）A ．177B ．417C ． 157D ．3672.已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A． B ．2 C ．2 D ．23.从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（ ） A．B．C．D．4.已知B A O ,,是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2=+，则等于（ ） A ．OB OA -2 B ．OB OA 2+- C ．OB OA 3132- D ．3231+-5．若0＜α＜2π，则使sin α＜和cos α＞同时成立的α的取值范围是（ ） A ．（﹣，）B ．（0，）C ．（，2π） D ．（0，）∪（，2π）6.把函数cos22y x x = 的图像经过变化而得到2sin 2y x =的图像，这个变化是（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位7.已知函数)42sin()(π+=x x f ，则函数()f x 满足（ ）A. 最小正周期为2T π=B. 图象关于点)0,8(π对称C. 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 D. 图象关于直线8x π=对称8.计算下列几个式子，① 35tan 25tan 335tan 25tan ++, ②2（sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒）, ③15tan 115tan 1-+ , ④ 6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④9.如图所示，平面内有三个向量，，，与夹角为o 120，与夹角为o150，且1OA OB ==，23OC =μλ+=()R ∈μλ，，则=+μλ（ ）AC（A ）1 （B ）6- （C ） 29- （D ）6 10.阅读右边的程序框图，输出结果s 的值为（ ）A. 12B. C. 116 D. 1811.函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示，若，且f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）A． B． C． D ．112.在边长为4的等边三角形OAB 的内部任取一点P ，使得4≤⋅的概率为（ ） A ．12 B ．14 C ．13 D ．1813.若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= ．14.如图表所示，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x的值为 ． 15.气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区的有 ．16.已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是 ．17.已知平面向量),32(),,1(x x x -+== )(N x ∈ （1）若a 与b 垂直，求x ； （2）若//a b ，求a b -.18.已知sin()cos(10)tan(3)2()5tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1） 化简()f α；（2） 若01860α=-，求()f α的值；（3） 若2πα∈（0，），且1sin()63πα-=，求()f α的值．19.为了完成对某城市的工薪阶层是否赞成调整个人所得税税率的调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入频率分布直方图（如图），同时得到了他们月收入情况与赞成人数统计表（如下表）：（1）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（2）若从月收入（单位：百元）在[65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求2人都不赞成的概率.20.已知函数()23cos cos 2f x x x x =++． （1）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，讨论函数()y f x =的单调性； （2）已知0ω>，函数)122()(πω-=x f x g ，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．21.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点p 0）开始计算时间．（1）将点p 距离水面的高度z （m ）表示为时间t （s ）的函数； （2）点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？22.已知x 0，x 0+是函数f （x ）=cos 2（wx ﹣）﹣sin 2wx （ω＞0）的两个相邻的零点（1）求的值；（2）若对任意]0,127[π-∈x ，都有f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的取值范围． （3）若关于x 的方程1)(334=-m x f 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．高一数学期末参考答案一、选择题1-5 CBAAD 6-10 BDCBC 11-12 AD二、填空题13. 43-14. 3 15. ①③ 16. 21-三、解答题 17.解：（1）由已知得，0)()32(1=-++x x x ，解得，3=x 或1-=x ， 因为N x ∈，所以3=x . ……………5分 （2）若//a b ，则()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或2x =-，因为N x ∈，所以0=x .()2,0a b -=-，2a b -=. ……………10分18.解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==- ………3分（2）00018606360300α=-=-⨯+ 00()(1860)cos(1860)f f α∴=-=--0001cos(6360300)cos 602=--⨯+=-=- ………7分（3）1sin()cos()26363πππααα∈-=∴-=（0，）,()cos cos[()]cos()cos sin()sin6666661132f ππππππααααα∴=-=--+=--+-=⋅=………12分19.解：（1）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………4分（2）根据频率分布直方图和统计图表可知[65，75）的人数为0.01×10×60＝6人，其中2人赞成，4人不赞成 记赞成的人为x ，y ，不赞成的人为a ，b ，c ，d任取2人的情况分别是：xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，ya ，yb ，yc ，yd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种情况其中2人都不赞成的是：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况∴2人都不赞成的概率是：P ＝62155=. ………12分20.解：（1）()1cos 232sin 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以，2626πππ≤+≤-x ，即66ππ≤≤-x 时，()y f x =增，65622πππ≤+≤x ，即36ππ≤≤x 时，()y f x =减， ∴函数()y f x =在]6,6[ππ-上增，在]3,6[ππ上减. ………6分（2）2)6)122(2sin()(++-=ππωx x g 2)sin(+=x ω要使g （x ）在]6,32[ππ-上增，只需322πωπ-≤-，即43≤ω 所以ω的最大值为43. ………12分21.解：（1）依题意可知z 的最大值为6，最小为﹣2，∴⇒；∵op 每秒钟内所转过的角为，得z=4sin，当t=0时，z=0，得sin φ=﹣，即φ=﹣，故所求的函数关系式为z=4sin +2 ………6分（2）令z=4sin +2=6，得sin=1，取，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4s ． ………12分22.解：（1）f （x ）=====（）=． 由题意可知，f （x ）的最小正周期T=π，∴， 又∵ω＞0， ∴ω=1，∴f （x ）=．∴=． ………4分（2）由f （x ）﹣m ≤0得，f （x ）≤m ， ∴m ≥f （x ）max ，∵﹣， ∴， ∴，∴﹣≤， 即f （x ）max =，∴43≥m 所以),43[+∞∈m ………8分 （3）原方程可化为1)32sin(23334+=+⋅m x π即1)32sin(2+=+m x π20π≤≤x画出)32sin(2π+=x y 20π≤≤x 的草图x=0时，y=2sin3π=，y 的最大值为2， ∴要使方程在x ∈[0，2π]上有两个不同的解，1＜2， 1． 所以)1,13[-∈m ………12分。

2020-2021学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos2010°=( )A. −√32B. −12C. √33D. √322. AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ C. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗3. 函数f(x)=sin 2(2x)的最小正周期是( )A. π4B. π2C. πD. 2π4. 如图程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在◇和□两个空白框中，可以分别填入( )A. A >1000和n =n +1B. A >1000和n =n +2C. A ≤1000和n =n +1D. A ≤1000和n =n +25. 一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是27，则男运动员应抽取( )A. 18人B. 16人C. 14人D. 12人6. 函数f(x)=sinx+xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.7.若向量m⃗⃗⃗ =(sin x2,√3)，n⃗=(cos x2,cos2x2)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，则f(x)的图象的一条对称轴方程是()A. x=π3B. x=π6C. x=−π3D. x=π28.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为()A. 29B. 49C. 59D. 129.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)= sin2x的图象，则只要将f(x)的图象()A. 向右平移π6个单位长度 B. 向右平移π12个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向左平移π12个单位长度10.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法正确的个数是( ) ①54周岁以上参保人数最少 ②18～29周岁人群参保总费用最少 ③丁险种更受参保人青睐④30周岁以上的人群约占参保人群20%A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知O 为△ABC 所在平面内一点，D 为BC 中点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设△OBC ，△OAC ，△OAB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则( )A. S A =S BB. S B =S CC. S A =S CD. S A =S B =S C12. 在锐角△ABC 中，B =60°，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A. (0,12)B. [−14,12)C. (0,4]D. (0,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(2,5)，b ⃗ =(λ,4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则λ=______． 14. 已知sina+3cosa3cosa−sinα=5，则cos 2α+12sin2α=______．15. 某企业生产甲、乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测结果如表：由于表格被污损，数据a ，b 看不清，统计员只记得甲、乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则ab =______．16. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0)，当|f(x)−f(n)|=4时，|m −n|的最小值为π3，若将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得函数图象关于y 轴对称，则φ的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 在同一平面内，且a⃗ =(1,2)． (1)若|c ⃗ |=2√5，且c⃗ //a ⃗ ，求c ⃗ ； (2)若|b ⃗ |=√52，且(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(2a ⃗ −b ⃗ )，求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角．18. 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据： x 2456 8 y30 40 605070(1)画出散点图；(2)求y 关于x 的线性回归方程．(3)如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？ 参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −⋅y−∑x i 2n i=1−n(x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为2√55,3√1010(1)求tan(α−β)的值； (2)求α+β的值．20.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]，画出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图；(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．)+1，(A>0,ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称21.函数f(x)=Asin(ωx−π6．轴之间的距离为π2(1)求函数f(x)的解析式和函数f(x)的单调递增区间；(2)f(x)的图像向右平行移动π个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g(x)的12图像，写出函数g(x)的解析式并作出g(x)在[0,π]内的图像．)=2．22.已知函数f(x)=2sin2x+bsinxcosx满足f(π6(1)求实数b的值以及函数f(x)的图像的对称中心坐标；]上有且只有两个零点，求实数a的取值范围．(2)若函数g(x)=f(x)+a在区间(0,π2答案和解析1.【答案】D【解析】解：cos2010°=cos210° =cos(180°+30°)=−cos30°=−√32． 故选：D ．利用三角函数的诱导公式直接求解．本题考查三角函数诱导公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】D【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选D ．根据向量加减的运算性质直接计算即可． 本题考查了向量的加减运算，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵f(x)=sin 2(2x)=12−12cos4x 即ω=4∴T =2πω=2π4=π2故选：B ．由已知中函数f(x)=sin 2(2x)的解析式，我们利用二倍角公式，可以将函数的解析式化为一个余弦型函数，根据函数的解析式，求出ω值，代入T =2πω即可得到答案．本题考查的知识点是二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法，其中利用二倍角公式，将函数的解析式化为一个余弦型函数，是解答本题的关键．【解析】【分析】本题考查程序框图和循环结构，属于基础题．通过要求A>1000时输出，且框图中在“否”时输出，确定“◇”内要填写“A≤1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：∵要求A>1000时输出，且框图中在“否”时输出，∴“◇”内要填写“A≤1000”，∵要求n为偶数，且n的初始值为0，∴“□”中n依次加2可保证其为偶数，∴D选项满足要求，故选D．5.【答案】B【解析】解：∵有运动员98人，其中女运动员42人，∴男运动员56人，∴每名运动员被抽到的概率都是2，7=16，∴男运动员应抽取56×27故选：B．根据分层抽样的定义即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件求出对应的人数比是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，函数的奇偶性．由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A，然后计算f(π)，判断正负即可排除B，C，从而可得结果．解：∵f(x)=sinx+xcosx+x2，x∈[−π,π]，∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x)，∴f(x)为[−π,π]上的奇函数，因此排除A；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C，故选D．7.【答案】B【解析】解：(Ⅰ)∵f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=sin x2cos x2+√3cos2x2=12sinx+√32cosx−√32=sin(x+π3)−√32；令x+π3=kπ+π2⇒x=kπ+π6，k∈Z，当k=0时⇒x=π6；∴f(x)的图象的一条对称轴方程是x=π6．故选：B．由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为f(x)=sin(x+π3)−√32；再代入正弦函数的对称轴方程即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似比及几何概型中的面积型，属中档题．由题中所给条件求出正方形DEFC的边长，根据几何概型中的面积型求得结果．【解答】解：设CD=x，由DE//BC则有ADAC =DECB，即4−x4=x2，解得x =43，设在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形DEFC 为事件A ， 由几何概型中的面积型得： P(A)=(43)212×4×2=49， 故选：B ．9.【答案】A【解析】 【分析】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型． 首先根据函数的图象现确定函数解析式，进一步利用平移变换求出结果． 【解答】解：根据函数的图象：A =1 又T4=7π12−π3 解得：T =π， 则：ω=2，当x =π3时，f(π3)=sin(2π3+φ)=0 解得：φ=π3所以：f(x)=sin(2x +π3)要得到g(x)=sin2x 的图象只需将函数图象向右平移π6个单位即可． 故选：A ．10.【答案】B【解析】解：由扇形图可得，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上的人群约占参保人群的39%+33%+8%=80%，故①对④错；由折线图可知，18～29周岁人群参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其总费用不是最少，故②错误；由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故③正确； 故选：B ．根据选项逐一对应相应的统计图即可进行判断．本题考查通过统计图进行合情推理，数形结合，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为D 为BC 中点，所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入条件有OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A ，O ，D 三点共线， 因为D 为BC 中点，所以S △ABD =S △ADC ，S △OBD =S △ODC ，两式相减，得S △AOB =S △AOC ． 故选：B ．由D 为BC 中点得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入条件利用数乘关系推出A ，O ，D 共线，进而推出面积的关系．本题考查向量的线性运算，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵B =60°，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∴C(1,√3)， 设A(x,0)∵△ABC 是锐角三角形，∴A +C =120°，∴30°<A <90°， 即A 在如图的线段DE 上(不与D ，E 重合)， ∴1<x <4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x =(x −12)2−14， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为(0,12)． 故选：A ．以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，得到C 的坐标，找出三角形为锐角三角形的A 的位置，得到所求范围．本题考查数量积的应用，根据向量数量积的模长公式，利用解析法建立坐标系，利用坐标法求数量积范围是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．13.【答案】−10【解析】解：∵a ⃗ =(2,5)，b ⃗ =(λ,4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b⃗ =2λ+20=0，求得λ=−10， 故答案为：−10．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得λ的值． 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】35【解析】解：因为sina+3cosa3cosa−sinα=tanα+33−tanα=5，所以可得tanα=2， 则cos 2α+12sin2α=cos 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+tanαtan 2α+1=1+222+1=35．故答案为：35．利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanα的值，进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】72【解析】解：由题意可得，x 甲−=15(7+7+7.5+9+9.5)=8， x 乙−=15(6+a +8.5+8.5+b)∵x 甲−=x 乙−， ∴a +b =17 ①，∵S 甲2=15(1+1+0.25+1+2.25)=1.1， S 乙2=15[4+(a −8)2+0.25+0.25+(b −8)2]，∵S 甲2=S 乙2，∴(a −8)2+(b −8)2=1 ②， 联立①②解得{a =8b =9 或{a =9b =8， ∴ab =72． 故答案为：72．将甲，乙两种产品的平均数与方差分别相等，利用平均数与方差的计算公式，列出方程组，即可求解．本题主要考查平均数和方差公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】2π9【解析】解：已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)(ω>0)，当|f(m)−f(n)|=4时，|m −n|的最小值为π3=12⋅2πω，∴ω=3，故f(x)=2sin(3x +π6). 若将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后，得到y =2sin(3x −3φ+π6)的图象． 根据所得函数图象关于y 轴对称，则−3φ+π6=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=−kπ3−π9，令k =−1，可得φ的最小值为2π9， 故答案为：2π9．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．17.【答案】解：(1)设c ⃗ =(x,y)，|c ⃗ |=√x 2+y 2=2√5⇒x 2+y 2=20①c ⃗ //a ⃗ ⇒2x −y =0⇒y =2x②把②代入①得x 2+4x 2=20，解得x =±2 当x =2时，y =4；当x =−2时，y =−4 ∴c ⃗ =(2,4)或c ⃗ =(−2,−4)．(2)|a ⃗ |=√5，|b ⃗ |=√52，(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(2a ⃗ −b ⃗ )⇒(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=0⇒2a ⃗ 2+3a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=0⇒a ⃗ ⋅b ⃗ =52设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a⃗⃗⃗⃗ |⋅|b ⃗ |=52√5⋅√52=1，θ=0°∴a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为0°．【解析】(1)利用向量的莫与向量共线列出方程求解即可． (2)利用向量垂直，通过数量积求解向量的夹角即可．本题考查向量的数量积的应用，向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．18.【答案】(1)绘制散点图如图所示：(2)x −=5,y −=50,∑x i25i=1=145,∑x i5i=1y i =1380b ̂=∑x i ni=1y i −nx −⋅y −∑x i2n i=1−n(x −)2=1380−5×5×50145−5×52=6.5；a ̂=y −−b ̂x −=50−6.5×5=17.5 于是所求的线性回归方程是y ̂=6.5x +17.5 (3)当x =10时，y ̂=6.5×10+17.5=82.5(百万元)【解析】(1)结合所给的数据绘制散点图即可；(2)利用线性回归方程系数计算公式求解线性回归方程即可； (3)利用回归方程的预测作用即可预测销售额．本题考查散点图的绘制，线性回归方程及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．19.【答案】解：(1)由条件得cosα=2√55，cosβ=3√1010…2分 ∵角α，β为锐角， ∴sinα=√55，sinβ=√1010，∴tanα=12，tanβ=13…6分 tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=12−131+13×12=17…8分(2)∵tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12+131−13×12=1…10分又α，β为锐角，0<α+β<π， ∴α+β=π4…12分【解析】(1)依题意，可求得cosα=2√55，cosβ=3√1010，角α，β为锐角，从而可求得tanα，tanβ及tan(α−β)的值；(2)可求得tan(α+β)=1，由α，β为锐角，可求得α+β的值． 本题考查两角和与差的正切函数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由(0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a +0.0025)×20=1，解得a =0.005．(2)(i)∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5， ∴三科总分成绩的中位数在[220,240)内，设中位数为x ， 则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(x −220)=0.5， 解得x =224，即中位数为224． (ii)三科总分成绩的平均数为：170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6．(3)三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内的学生分别为25人，10人， ∴抽样比为725+10=15，∴三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内抽取的学生数量分别为：25×15=5人，10×15=2人，设事件A 表示“抽取的这2名学生来自不同组”， 从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数n =C 72=21，事件A 包含的基本事件个数m =C 51C 21=10，∴抽取的这2名学生来自不同组的概率P(A)=m n=1021．【解析】(1)由频率分布直方图能求出a ． (2)(i)由频率分布直方图能求出中位数．(ii)由频率分布直方图能求出三科总分成绩的平均数．(3)先求出抽样比为15，再求出三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内抽取的学生数量分别为5人，2人，设事件A 表示“抽取的这2名学生来自不同组”，基本事件总数n =C 72=21，事件A 包含的基本事件个数m =C 51C 21=10，由此能求出抽取的这2名学生来自不同组的概率．本题考查频率、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)∵函数f(x)=Asin(ωx −π6)+1，(A >0,ω>0)的最大值为A +1=3， ∴A =2．∵其图像相邻两条对称轴之间的距离为12×2πω=π2，∴ω=2，故f(x)=2sin(2x −π6)+1．令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，求得kπ−π6≤x ≤kπ+π3， 可得函数的增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k ∈Z ．(2)把f(x)的图像向右平行移动π12个长度单位，可得y =2sin(2x −π3)+1的图象； 再向下平移1个长度单位，得到g(x)=2sin(2x −π3)的图像， 故函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2x −π3). 下面用五点法作图作出它在[0,π]内的图像． 列表：由x ∈[0,π]，可得2x −π3∈[−π3,5π3]，做图如下：【解析】(1)由函数的最值求出A ，由周期求出ω，可得函数的解析式，从而利用正弦函数的单调性，求得它的增区间．(2)由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，结合五点法作图，得到它在[0,π]内的图象．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω.还考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，五点法作图，于中档题．22.【答案】解：(1)函数满足f(π6)=2，解得b =2√3所以f(x)=2sin 2x +bsinxcosx =1−cos2x +√3sin2x =2sin(2x −π6)+1， 令：2x −π6=kπ，解得x =kπ2+π12(k ∈Z)，所以函数的对称中心为(kπ2+π12,1)(k ∈Z)．(2)由(1)得：g(x)=2sin(2x −π6)+a +1，在区间(0,π2]上有且只有两个零点， 等价于方程2sin(2x −π6)+a +1=0在区间(0,π2]上有且只有两个根， 即函数ℎ(x)=sin(2x −π6)，与函数y =−a+12，在区间(0,π2]上有且只有两个交点，由于x ∈(0,π2], 所以2x −π6∈(−π6,5π6],由于函数ℎ(x)在区间(0,π3]上单调递增，在(π3,π2)上单调递减， 由于ℎ(0)=−12，ℎ(π3)=1，ℎ(π2)=12． 故−a+12∈[12,1)，解得a ∈(−3,−2]．【解析】(1)首先利用三角函数关系式的恒等变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的对称中心；(2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的零点和图像的交点的关系的应用求出a的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．。

河南南阳华龙高中2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

河南南阳华龙高中2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

河南南阳华龙高中2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在ABC ∆中，已知1tan 2A =，310cos 10B =.若ABC ∆最长边为10，则最短边长为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．222．若001a b ><<，，则2a ab ab ，，的大小关系为 A ．2a ab ab >>B ．2a ab ab <<C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>3．将一个底面半径和高都是R 的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为1V ，半径为R 的半球的体积记为2V ，则1V 与2V 的大小关系为( ) A ．12V V > B ．12V <V C ．12V =V D ．不能确定4．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).A ．B ．C ．D ．5．过点（1，0）且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ）A ．210x y ＝B ．210x y ＝C ．210x y +-＝D ．220x y ＝6．已知()3sin 5αβ-=，()3cos 5αβ+=-，且,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 2β的值为（ ） A ．2425B ．1C ．45-D ．1-7．直线关于直线对称的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设x ，y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是（ ）A ．3B ．23C ．1D ．129．下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A ．2x y =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =10．若直线1l ：260ax y ++=与直线2l ：(1)10x a y +--=垂直，则实数a =( ). A ．23B ．1-C ．2D ．1-或2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年河南省南阳市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数34i12iz +=-，则z =（）A ．55B ．1C ．5D ．5【答案】C【分析】根据条件，利用复数的运算法则和模长的定义即可求出结果.【详解】因为34i (34i)(1+2i)510i12i 12i (12i)(1+2i)5z ++-+====-+--，所以22(1)25z =-+=.故选：C.2．已知ABC 的边AC 上有一点D ，且满足3CD DA = ，则BD =（）A ．23BC BA-+ B ．2133BC BA +C ．3144BC BA+D ．1344BC BA+【答案】D【分析】利用向量的线性运算可得BD的表示形式.【详解】因为3CD DA =，故()3BD BC BA BD -=- ，整理得到：1344BD BC BA =+ ，故选：D.3．如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形A B C D ''''，已知4,2A B C D ''''==，则下列说法正确的是（）A ．2AB =B ．22A D ''=C ．四边形ABCD 的周长为42223++D ．四边形ABCD 的面积为62【答案】D【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过D ¢作DE O B ''⊥，由等腰梯形A B C D ''''可得：A D E ''△是等腰直角三角形，即()1242222A D A E '''==⨯-⨯=,即B 错误；还原平面图为下图，即42,22AB CD AD ===，即A 错误；过C 作CF ⊥AB ，由勾股定理得23CB =，故四边形ABCD 的周长为：42222362223+++=++，即C 错误；四边形ABCD 的面积为：()14222622⨯+⨯=，即D 正确.故选：D 4．已知3sin2a =，3cos 2b =，3tan 2c =，则实数,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a<<【答案】C 【分析】由π3π322<<，根据正弦函数、余弦函数及正切函数的性质判断即可.【详解】因为π3π322<<，所以3π3πsin sin sin 12322=<<=，即312a <<，1π3πcos cos cos 02322=>>=，即102b <<，3πtantan 323c =>=，所以c a b >>.故选：C5．矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令,HBG FBG αβ∠=∠=，则βα+=（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】B【分析】设出正方形的边长，在Rt BGH △和Rt BEF △中，分别求出sin ,cos αα和sin ,cos ββ，从而可求出cos()αβ+的值，再利用(0,π)αβ+∈即可求出结果.【详解】不妨设正方形的边长为1，则在Rt BGH △中，3,1,10BG GH BH ===，所以31cos ,sin 1010αα==，则在Rt BEF △中，2,1,5BE EF BF ===，所以21cos ,sin 55ββ==，所以321152cos()cos cos sin sin 210510550αβαβαβ+=-=⨯-⨯==，又易知，π,(0,)2αβ∈，所以(0,π)αβ+∈，故π4αβ+=.故选：B.6．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（）A ．12B ．22C ．33D ．63【答案】D【分析】由展开图得到正方体的直观图，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】由展开图可得如下直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，设正方体的棱长为1，则22112BD =+=，223BH DH BD =+=，所以26cos 33BDHBD BH ∠===，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为63.故选：D7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c B =︒且ABC 的面积为3，若6c a +=，则b =（）A ．26B ．5C ．27D ．30【答案】A【分析】利用余弦定理结合面积公式可求b .【详解】因为ABC 的面积为3，故113sin 3222ac B ac =⨯=，故4ac =，又()2222222cos 3361224b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-=，故26b =，故选：A.8．已知点G 为三角形ABC 的重心，且GA GB GA GB +=-，当C ∠取最大值时，cos C =（）A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】A【分析】由题设可得0AG BG ⋅=，结合1()3AG AC AB =+ ，1()3BG BA BC =+ 及余弦定理可得2cos ()5a bC b a=+，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意GA GB GA GB +=- ，所以22()()GA GB GA GB +=- ，即222222GA GB GA GB GA GB GA GB ++⋅=+-⋅，所以0GA GB ⋅=uur uuu r ，所以AG BG ⊥，又211()()323AG AC AB AC AB =⨯+=+ ，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=，所以222244cos ()2555a b c a b a b C ab b a b a +-==+≥⋅=，当且仅当a b =时等号成立，又cos y x =在()0,π上单调递减，()0,πC ∈，所以当C ∠取最大值时，cos C =45.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得2225a b c +=，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.二、多选题9．已知不重合的两条直线,m n 和不重合的两个平面,αβ，则下列命题正确的是（）A ．若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβB ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβC ．若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则//αβD ．若,//m n αβ⊥，且//m n ，则αβ⊥【答案】BD【分析】根据面面平行的判定定理可得A 的正误，根据线面垂直的性质定理可得B 的正误，根据面面垂直的判定定理可得D 的正误，根据线面的动态关系可判断C 的正误.【详解】对于A ，当,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，且,m n 相交时才有//αβ，故A 错误.对于B ，根据线面垂直的性质定理可得B 正确.对于C ，若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，β可绕n 旋转，此时//αβ或,αβ相交，故C 错误.对于D ，因为//n β，故在β中存在一条直线s ，使得//n s ，所以//m s ，所以s α⊥，而s β⊂，故αβ⊥，故D 正确.故选：BD.10．已知复数1z 满足11iiz +=，2=+z x yi ，x ，y ∈R ，1z ，2z 所对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，其中O 为坐标原点，则（）A ．1z 的共辄复数为1i-B ．当0x =时，2z 为纯虚数C ．若12OZ OZ ∥，则0x y +=D ．若12OZ OZ ⊥，则1212z z z z +=-【答案】CD【分析】根据复数的除法运算化简复数11i z =-，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A ，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C ，结合复数模长公式即可判断D.【详解】A 选项：由于11i1i iz +==-，所以1z 的共轭复数为1i +，故选项A 错误，,B 选项：当当0x =时，2i z y =，若0y =，则2z 为为实数，故选项B 错误；C 选项：易知()11,1OZ =- ，()2,OZ x y = ，又12//OZ OZ ，则11x y=-，即0x y +=，故选项C 正确;D 选项：由于12OZ OZ ⊥，则0x y -=，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x +=-++=++-=++-=+，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x -=---=-++=-++=+，故1212z z z z +=-，选项D 正确．故选：CD.11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC ⊥BC ，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马”B ．四面体1A ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC ．四棱锥11B A ACC -体积最大值为23D ．四面体11AC CB 为“鳖臑”【答案】ABD【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A ，D 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意找到四面体1A ACB 的外接球的球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，对A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，对；对C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当2AC BC ==时取等号，1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，故C 错误；对D 选项，由AC BC ⊥，即11AC BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，1,BC C C ⊂平面11BB C C ，∴11A C ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂ 平面11BB C C ,∴111AC BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，BC ∴⊥1AC ，则1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形．∴四面体11AC CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知1A BC 为直角三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，则易知1A AB △,1A AC △为直角三角形，而ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于1A B 的中点，则外接球半径2211122222R A B ==⨯+=，则球的表面积为()224428R πππ=⨯=，故B 正确.故选：ABD ．12．已知函数()()*sin cos ,N n n n f x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）A ．()1f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．若()122f x =，则()3328f x =C ．()4f x 的最小正周期为π2D ．()4f x 的图象可以由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到【答案】ACD【分析】A.由()1πsin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用这些函数的性质判断；B.由()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+- ⎪⎝⎭求解判断；C.由()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x=+=+-⋅31cos 444x =+判断；D.由函数()1sin44g x x =利用平移变换和伸缩变换判断.【详解】A.()1πsin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ,34x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以πππ,4122x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又sin y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，故正确；B.由()12sin cos 2f x x x =+=，则()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+，()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+-⎪⎝⎭，22122521228⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故错误；C.()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x=+=+-⋅，()()222222131sin cos 2sin cos 1sin2cos 4244x xx x x x =+-⋅=-=+，则2ππ42T ==，故正确；D.由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位得到1π1π1sin 4sin 4cos 448424y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再向上平移34个单位得到31cos 444y x =+，故正确，故选：ACD三、填空题13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点()1,3P ，则2sin sin cos θθθ=+.【答案】32/1.5【分析】根据三角函数的定义，利用条件求出tan 3θ=，再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为角θ的终边经过点()1,3P ，所以tan 3θ=，所以2sin 2tan 233sin cos tan 1312θθθθθ⨯===+++，故答案为：32.14．已知向量()()3,3,1,1a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥- ，则实数λ=.【答案】3±【分析】利用向量垂直与数量积间的关系，得到2220a b λ-= ，再根据条件即可求出结果.【详解】因为()()a b a b λλ+⊥- ，所以()()2220a b a b a b λλλ+⋅-=-= ，又()()3,3,1,1a b ==-，所以21820λ-=，解得3λ=±.故答案为：3±.15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是（只需写出一个可能的值）【答案】116或1412或1112(写出其中一个即可)【分析】考虑一条边为1，两条边为1，三条边为1三种情况，如图所示，分别利用体积公式，和利用长方体体积减去四个三棱锥的体积，计算得到答案.【详解】一条边为1，其余边为2时，如图1，不妨设1AD =，BC 中点为E ，连接,AE DE ，作DH AE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DH AE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知3DE AE ==，3315cos 6233DEA +-∠==⨯，故25333sin 3166DH DEA ⎛⎫=⨯∠=⨯-= ⎪⎝⎭，11133112333266ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.当有两条边为1时，只能时对边为1，如图2，不妨设1AD BC ==设对应长方体的长宽高分别为：,,a b c ，则222222441a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得2214222a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，故22141122141442223222212V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.当有三条边为1时，只能是底边三条边为1，如图3所示，E 是BC 中点，连接AE ，故DH AE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DH AE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知152DE =，32AE =，1534544cos 15153222DEA +-∠==⨯⨯，故21515533sin 122153DH DEA ⎛⎫=⨯∠=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，1113331113322312ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.其他情况不满足.故答案为：116或1412或1112(写出其中一个即可)四、双空题16．如图所示，有一块三角形的空地，已知7,4212ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为平方千米．【答案】6π/30︒8(31)-【分析】在ABC 中，利用余弦定理求得22(13)AC =+，再由正弦定理求解；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，，，分别在BCD △，BCE 中，利用正弦定理分别求得BD ，BE ，再由42(31)(sin cos )34sin cos BD BE θθθθ+++=+；令sin cos [12]t t θθ=+∈，，，转化为242(31)()2(23)t BD BE f t t ++==--42(31)(23)2t t+=--求解.【详解】在ABC 中，由余弦定理得()2222··cos 1632AC AB BC AB BC ABC =+-∠=+，28(423)8(13)=+=+，则22(13)AC =+，根据正弦定理有7πsin sin 12AC ABACB=∠，所以1πsin 022ACB ACB ⎛⎫∠=∠∈ ⎪⎝⎭，，，π6ACB ∠=∴；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，，，则5π2π63BDC BEC θθ∠=-∠=-，，在BCD △中，由正弦定理得πsin sin 6BC BD BDC ==∠ 225πsin 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在BCE 中，由正弦定理得π22·sin 2πsin 6sin 3BC BE BEC θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1142(31)(sin cos )22313134sin cos sin cos cos sin 2222BD BE θθθθθθθθ⎛⎫⎪++ ⎪+=+=+ ⎪++ ⎪⎝⎭；令sin cos [12]t t θθ=+∈，，，则21sin cos 2t θθ-=，则242(31)()2(23)t BD BE f t t ++==--42(31)(23)2t t+=--，易知分母(23)()20g t t t-=->，且是一个单调递增的函数，则()f t 是一个单调递减的函数，当2t =时，()f t 有最小值，min 8(31)()8(31)23f t +==-+．故答案为：π6；8(31)-.五、解答题17．（1）在①8z z +=-，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.已知复数()()222334i(i z m m m m =--+--为虚数单位)，若__________，求实数m 的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分.（2）已知1i x =-是关于x 的实系数一元二次方程20x ax b ++=的一个根，求,a b 的值.【答案】（1）答案见解析；（2）2,2a b =-=【分析】（1）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m 的值；（2）将1i x =-代入方程求得,a b .【详解】选条件①：因为()()222334i z m m m m =-----，又8z z +=-，所以，()22238m m --=-，解得1m =.选条件②：z 为纯虚数22230340m m m m ⎧--=∴⎨--≠⎩，解得 3.m =选条件③：z 为非零实数，22230340m m m m ⎧--≠∴⎨--=⎩，解得4m =.（2）因为1i x =-为实系数一元二次方程：20x ax b ++=的一个根，()2(1i)1i 0a b ∴-+-+=，即(2)i 0a b a +-+=，所以020a b a +=⎧⎨+=⎩，解得，2,2a b =-=.18．已知,a b是同一平面内的两个向量，其中()()1,2,,1a b λ== .(1)当1λ=时，求a 与b的夹角的余弦值；(2)若2a b + 与22a b -共线，求实数λ的值.【答案】(1)31010(2)12【分析】（1）由两向量余弦的夹角公式，根据条件，利用数量积的坐标运算和模长公式即可求出结果；（2）根据条件，先求2a b + 与22a b -的坐标，再利用共线的坐标运算即可求出结果.【详解】（1）当1λ=时，()1,1b =，又()1,2a =，所以12310cos ,1025a b a b a b⋅+===⨯⋅.（2）因为()()1,2,,1a b λ== ，所以2(12,4)a b λ+=+，22(22,2)a b λ-=- ，又2a b +与22a b - 共线，所以(12)24(22)0λλ+⨯-⨯-=，解得12λ=.19．如图，在圆锥PO 中，已知2,PO O = 的直径2AB =，点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点.(1)证明：平面POD ⊥平面PAC ；(2)求二面角B AC P --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)55【分析】（1）由圆锥的性质可得PO AC ⊥，由圆的性质可得AC OD ⊥，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POD ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）利用（1）条件得到PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，再利用条件求出Rt POD 的三边长即可求出结果.【详解】（1）连接OC ，因为OA OC =,D 为的AC 中点，所以AC OD ⊥.又PO ⊥底面O ，AC ⊂底面O ，所以PO AC ⊥，又OD PO O = ，,PO OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC ．（2）由（1）知AC ⊥平面POD ，,OD PD ⊂面POD ，所以,AC OD AC PD ⊥⊥，故PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，在Rt POD 中，2PO =，又点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点，所以1222OD BC ==，故110222PD =+=，所以252cos 5102OD PDO PD ∠===，即二面角B AC P --的余弦值为55.20．已知锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()sin ,cos m A A =，()2sin cos ,sin n B C C =-- ，且m n ⊥ .(1)求角A 的值；(2)若2b =，求ABC 周长的取值范围.【答案】(1)π6A =(2)()33,223++【分析】（1）利用向量垂直的坐标形式结合三角变换可得1sin 2A =，故可求π6A =.（2）利用正弦定理结合三角变换公式可得13tan2a c B +=+，据此可求周长的取值范围.【详解】（1）因为m n ⊥，故()()sin 2sin cos cos sin 0A B C A C -+-=，整理得到：2sin sin sin cos cos sin 0A B A C A C --=，故2sin sin sin A B B =，而π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 0B >，所以1sin 2A =，而π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π6A =.（2）22(sin sin )(sin sin )sin a c R A C A C B+=+=+215π2113sin()cos sin sin 26sin 222B B B B B ⎛⎫⎡⎤=+-=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭1cos 133sin tan 2B B B +=+=+,因为ABC 为锐角三角形，故π025ππ062B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，故ππ32B <<，所以ππ624B <<，故3tan 132B <<，所以3123a c +<+<，故周长的取值范围为()33,223++.21．如图是一个以111A B C △为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC .已知1114,2,3AA BB CC ===.(1)在边AB 上是否存在一点O ，使得//OC 平面111A B C 若存在，求出AOOB的值；若不存在，请说明理由；(2)若112A B =，求几何体111A B C ABC -的体积.【答案】(1)存在，此时1AOOB=，理由见解析(2)33【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，从而得到四边形1ODC C 为平行四边形，即可得到1//OC C D ，从而得证；（2）将几何体转化为一个四棱锥和正三棱柱的体积进行计算.【详解】（1）存在，此时1AOOB=，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，则11////OD BB CC ，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形11AA B B 的中位线，所以()111132OD BB AA CC =+==，所以四边形1ODC C 为平行四边形，所以1//OC C D ，又1C D ⊂平面111A B C ，OC ⊄平面111A B C ，所以//OC 平面111A B C ，即在边AB 上是存在一点O ，使得//OC 平面111A B C 且1AOOB=.（2）如图在1AA 上取点D 使得112A D BB ==，在1CC 上取点E 使得112C E BB ==，连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱111DBE A B C -为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ，取11A C 的中点G ，连接1B G ，则BF DE ⊥，111B G A C ⊥，又平面BDE ⊥平面11ACC A ，平面BDE ⋂平面11ACC A DE =，BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面11ACC A ，又22213BF =-=，11112332A B C S =⨯⨯=!，()12232ADEC S +⨯==，所以13333B ADEC V -=⨯⨯=，111111123DBE C A C B B A V S AD -⋅== ，所以11111133A B C ABC B ADEC BE A D B C V V V ---+==.22．已知函数()π4sin cos 33f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数()g x 的图象.(1)求函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间；(2)若对于()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的范围.【答案】(1)ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用辅助角公式可将()f x 化为π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，后由sin y x =在π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间可得答案；（2）由题可得()236πsin g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，后利用sin y x =在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性可得()[]1,2g x ∈-.方法1：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤，后分)(10002,,,,t t t ⎡⎤∈-=∈⎣⎦三种情况，利用分离参数结合函数3=-y t t单调性可得答案；方法2：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()230h t t mt =--≤，则()()2010h h ⎧≤⎪⎨-≤⎪⎩，即可得答案.【详解】（1）()134343322πsin cos sin cos sin f x x x x x x⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23123232223πsin cos sin cos sin x x x x x ⎛⎫=--+=+=+ ⎪⎝⎭.因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，又sin y x =分别在πππ2π,,,6223⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上单调递增和递减，则22323126πππππ,,x ⎡⎤⎡⎤+∈⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间为ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为32223233ππsin sin x x ⎛⎫⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为23231836πππsin sin x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()236πsin g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则73666πππ,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.又sin y x =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则13162πsin ,x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()23126πsin ,g x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭.方法1：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤.当0=t 时，23030t mt --≤⇔-≤，则此时m 可取任意值；当(]0,2t ∈时，23330max t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≥-⇒≥- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在(]0,2上单调递增，则函数1y t t=-在(]0,2上单调递增，则33112222max t m t ⎛⎫-=-=⇒≥ ⎪⎝⎭；当[)1,0t ∈-时，23330min t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≤-⇒≤- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在[)1,0-上单调递增，则函数1y t t=-在[)1,0-上单调递增，则331221mint m t ⎛⎫-=--=⇒≤ ⎪-⎝⎭；综上可得：122m ≤≤.方法2：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()()()21013030204230h m h t t mt h m ⎧-≤+-≤⎧⎪=--≤⇒⇒⎨⎨≤--≤⎪⎩⎩.则122m ≤≤.【点睛】关键点点睛：本题涉及求正弦型函数的单调区间及恒成立问题，难度较大.（1）问较为基础，（2）问为恒成立问题，方法1转化为最值问题，方法2利用二次函数观点解决问题.。

河南省南阳市2018-2019学年高一下期末数学试卷含答案解析

河南省南阳市2018-2019学年高一下期末数学试卷含答案解析

2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分）1．学校为了解高二年级1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．10 B．20 C．30 D．402．cos1050°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为，，则一定有（）A．＞B．＜C．=D．，的大小不确定4．若sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=，则sin（﹣α）cos（+α）等于（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知单位向量，满足|3﹣2|=，则|3+|=（）A．1 B．4 C．2D．6．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确的个数为（）（1）（2）已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若，则在上的投影为．A．1个B．2个C．3个D．4个8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数f （x）的图象的是（）A．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位B．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向右平移个单位C．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向右平移个单位D．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位9．运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．10．△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC中一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形11．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2019π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．12．已知△ABC内一点O满足=，若△ABC内任意投一个点，则该点△OAC 内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分）13．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为．14．如图所示，在半径为7，圆心角为的扇形铁皮ADE上截去一个半径为3的小扇形ABC，则剩下扇环的面积为．15．在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC=1，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）且m+2n=1，若EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值是．16．已知定义域为R的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为．三、解答题17．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，﹣3﹣y），=（4，1）（1）若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2009年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．19．已知向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R设函数f（x）=﹣（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值．20．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根．（1）求角C；（2）求实数p的取值集合．22．函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．2018-2019学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．学校为了解高二年级1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】系统抽样方法．【分析】由题意知了解1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，1201除以40不是整数，先随机的去掉1个人，再除以40，得到每一段有30个人，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等．【解答】解：了解1201名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，∵1201除以40不是整数，∴先随机的去掉1个人，再除以40，得到每一段有30个人，则分段的间隔k为30．故选：C．2．cos1050°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：cos1050°=cos（﹣3×360°+1050°）=cos（﹣30°）=cos30°=，故选：A．3．如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为，，则一定有（）A．＞B．＜C．=D．，的大小不确定【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，分别求出，，由此能示出结果．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，=（81+85+85+84+85）=84，=（84+84+86+84+87）=85．∴＜．故选：B ．4．若sin （π﹣α）﹣cos （π+α）=，则sin （﹣α）cos （+α）等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求得sin α+cos α=，平方可得sin α cos α 的值，再利用诱导公式化简要求的式子为sin α cos α，从而得出结论．【解答】解：∵sin （π﹣α）﹣cos （π+α）=sin α+cos α=，∴平方可得sin α cos α=﹣，则sin （﹣α）cos （+α）=﹣cos α•（﹣sin α）=sin α cos α=﹣，故选：B ．5．已知单位向量，满足|3﹣2|=，则|3+|=（ ）A ．1B ．4C ．2D ． 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据，是单位向量得出||=||=1，再根据|3﹣2|=求出•的值，从而求出|3+|的值．【解答】解：∵，是单位向量，∴||=||=1，又|3﹣2|=，∴9﹣12•+4=7，即9﹣12•+4=7，∴•=；∴=9+6•+=9+6×+1=13，∴|3+|=． 故选：D ．6．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出从甲、乙、丙、丁、戊中录用3人的种数，再求出甲、乙同时被录用的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，共有C53=10种方法，其中甲、乙同时被录用，则剩余的一人从丙、丁、戊选，共有3种方法，故甲、乙同时被录用的概率为，故选：A．7．下列说法中，正确的个数为（）（1）（2）已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若，则在上的投影为．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．【分析】（1）利用向量的加法运算进行化简．（2）利用向量的数量积判断．（3）判断两个向量是否共线．（4）利用向量投影的定义判断．【解答】解：（1）根据向量的加法运算法则可得，，所以（1）正确．（2）当k=﹣1时，，此时向量共线且方向相反，此时向量夹角为180°，但不是钝角，所以（2）错误．（3）因为，所以向量共线，所以向量不能作为平面内所有向量的一组基底，所以（3）错误．（4）当方向相同时，在上的投影为．当方向相反时，在上的投影为﹣．所以（4）错误．故正确是（1）．故选A．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数f （x）的图象的是（）A．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位B．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向右平移个单位C．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向右平移个单位D．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，可得A=1，•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）．将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的，可得y=sin2x的图象；然后把所的图象上的点的横坐标再向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：D．9．运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S=cos cos cos cos的值并输出，利用三角函数倍角公式即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得：该程序的作用是利用循环计算S=cos cos cos cos的值并输出，由于：S=cos cos cos cos=×（cos cos cos cos）=×（cos cos cos）=×（cos cos）=×cos==．故选：C．10．△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC中一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】条件即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0，利用两角和的余弦公式、诱导公式化简可得cos（A+B）=0，故A+B=，C=，从而得到△ABC形状一定是直角三角形．【解答】解：∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0．∴cosBcos（B+C）﹣sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0，即cosBcos（π﹣A）﹣sinBsin（π﹣A）+2sinAsinB=0．∴﹣cosBcosA﹣sinBsinA+2sinAsinB=0，即﹣cosBcosA+sinBsinA=0．即﹣cos（A+B）=0，cos（A+B）=0．∴A +B=，∴C=，故△ABC 形状一定是直角三角形．故选 C ．11．已知函数f （x ）=cos ωx （sin ωx +cos ωx ）（ω＞0），如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ，都有f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0+2019π）成立，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得区间[x 0，x 0+2019π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f （x ）=sin （2ωx +）+，再根据2019π≥•，求得ω的最小值．【解答】解：由题意可得，f （x 0）是函数f （x ）的最小值，f （x 0+2019π）是函数f （x ）的最大值．显然要使结论成立，只需保证区间[x 0，x 0+2019π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．又f （x ）=cos ωx （sin ωx +cos ωx ）=sin2ωx +=sin （2ωx +）+，故2019π≥•，求得ω≥，故则ω的最小值为，故选：D ．12．已知△ABC 内一点O 满足=，若△ABC 内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】要求该概率即求S △AOC ：S △ABC =的比值．由=，变形为，3=，得到O 到AC 的距离是E 到AC 距离的一半，B 到AC 的距离是O 到AC 距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．【解答】解：以，为邻边作平行四边形OBDC ，则+=∵=，∴3=，作AB 的两个三等分点E ，F ，则==，∴O 到AC 的距离是E 到AC 距离的一半，B 到AC 的距离是O 到AC 距离的3倍，如图∴S △AOC =S △ABC ．故△ABC 内任意投一个点，则该点△OAC 内的概率为， 故选：C ．二、填空题（每题5分）13．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为52．【考点】频率分布直方图．【分析】先求出用电量落在区间[150，250）内频率，由此能求出用电量落在区间[150，250）内的户数．【解答】解：由用电量落在区间[150，250）内频率为：1﹣（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）×50=0.52，∴用电量落在区间[150，250）内的户数为：100×0.52=52．故答案为：52．14．如图所示，在半径为7，圆心角为的扇形铁皮ADE上截去一个半径为3的小扇形ABC，则剩下扇环的面积为5π．【考点】扇形面积公式．【分析】观察图形得出留下部分的面积等于扇形ADE减去扇形ABC的面积，然后根据扇形面积的公式得出结果．=S ADE﹣S ABC=×72×﹣×32×=5π．【解答】解：S留下故答案为：5π．15．在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC=1，E，F分别是边AB，AC上的点，且=m，=n，其中m，n∈（0，1）且m+2n=1，若EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值是．【考点】向量的模．【分析】如图所示，建立直角坐标系．由=m，=n，其中m，n∈（0，1），可得=（m，0），=（0，n）．利用=，=．可得==．再利用向量数量积运算性质、二次函数的性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（1，0），C（0，1）．∵=m，=n，其中m，n∈（0，1），∴=m（1，0）=（m，0），=（0，n）．∴==．==．∴==．又m，n∈（0，1），m+2n=1．∴n∈．∴===≥，当且仅当n=，m=时取等号．故答案为：．16．已知定义域为R的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为7．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】将函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数转化为f（x）的图象与sin4x的图象的交点个数，由数形结合可以得知答案．【解答】解：函数f（x）=sin4x是奇函数，且它的周期为=，∵g（x）=f（x）﹣sin4x=0，∴函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为相当于f（x）=sin4x的零点个数，即f（x）与sin4x的交点个数，∴画出二者图象，由数形结合，可知，在（﹣∞，0）有3个交点，0处有一个交点，（0，+∞）有3个交点，故共有7个交点．∴函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为7个，故答案为：7．三、解答题17．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，﹣3﹣y），=（4，1）（1）若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）分别求出，，根据向量相等，求出x，y的值即可；（2）根据△ABC为等腰直角三角形，得到关于x，y的方程组，解出即可．【解答】解：（1）∵=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，﹣3﹣y），∴=（1，5），=（﹣1﹣x，﹣y），由=，得x=﹣2，y=﹣5；（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），∵∠B为直角，则⊥，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又||=||，∴（x+1）2+y2=10，再由y=3（﹣x﹣1），解得：或．（2）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2009年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．．参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．【考点】线性回归方程．【分析】（1）先求出年份代号t和人均纯收入y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；（2）由（1）知，b=0.5＞0，2009年至2019年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，求得2019年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y的值．【解答】解：（1）由所给数据计算得==4，==4.4，（t i﹣）2=9+4+1+0+1+4+9=28，（t i﹣）（y i﹣）=（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．，…4分==0.5，=4.3﹣0.5×4=2.3，所求回归方程为y=0.5t+2.3…8分（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2009年至2019年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2019年的年份代号t=9代入（1）的回归方程，得y=6.8，故预测该地区2019年该地区居民家庭人均纯收入约为6.8千元．…12分．19．已知向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R设函数f（x）=﹣（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，求出函数f（x）=sin（2x﹣），从而得到f（x）的最小正周期；（2）由x的范围求得相应的范围，再由正弦曲线y=sinx在[，]上的图象进一步求得f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），x∈R，得f（x）=﹣==．∴函数f（x）的最小正周期T=；（2）当x∈[0，]时，，由正弦曲线y=sinx在[，]上的图象可知当即时f（x）取最大值1．当即x=0时f（x）取最小值．函数f（x）在[0，]上的最大值和最小值分别为1，．20．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．21．在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+（x+1）p+1=0的两个实根．（1）求角C；（2）求实数p的取值集合．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）先由根系关系得出tanA与tanB和与积，由正切的和角公式代入求值，结合A，B的范围即可计算得解A+B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值．（2）由（1）可求A，B的取值范围，进而得方程两根的取值范围，构造函数f（x）=x2+px+p+1，则函数的两个零点均在区间（0，1）内，利用二次函数的性质构造关于p的不等式组可以求出满足条件的p的范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据题意，则有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=p+1，而，又A，B是△ABC的内角，所以，则．…（2）在△ABC中由（1）知，则，即tanA，tanB∈（0，1），…则关于x的方程x2+（p+1）x+1=x2+px+p+1=0在区间（0，1）上有两个实根，…设f（x）=x2+px+p+1，则函数f（x）与x轴有两个交点，且交点在（0，1）内；又函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=﹣，故其图象满足：，…解之得：．…所以实数p的取值集合为．…22．函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．【分析】（1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，解此不等式，即可求得函数的单调递增区间；（3）根据（1）所求得的ω和φ的值，分析和的范围，确定函数在该区间上的单调性，即可求得结果．【解答】解：（1）∵当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．∴A= [3﹣（﹣3）]=3，=5π，∴T=10π=，∴ω==，∵当x=π时，y有最大值3，∴π+ϕ=，∴ϕ=，∴y=3sin（x+），（2）令2kπ﹣≤x+≤2kπ+得10kπ﹣4π≤x≤10kπ+π，k∈Z∴函数的单调递增区间为：{x|10kπ﹣4π≤x≤10kπ+πk∈Z}；（3）∵ω=，ϕ=，∴ω+ϕ=+∈（0，），ω+ϕ=+∈（0，），而y=sint在（0，）上是增函数∴+＞+，∴＞∴，∴解得：．∴m的取值范围是．2019年8月3日。

南阳六校2024届数学高一下期末质量检测模拟试题含解析

南阳六校2024届数学高一下期末质量检测模拟试题含解析

南阳六校2024届数学高一下期末质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A ．2B ．4C ．4D ．22．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ）A B ．2C ．2D ．3．已知cos 4θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．7-B ．7C ．17-D ．174．平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=A B ．12C ．4D ．5．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．B ．有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．C ．绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥．D ．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． 7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+的图像关于直线3x π=对称，则ϕ可能取值是( ).A ．2π B ．12π-C ．6π D ．6π-8．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A ．3πB ．31π-C ．3πD ．31π-9．已知椭圆C 的方程为22218x y m +=(0m >)，如果直线22y x =与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（）A ．2B ．22C ．4D ．810．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN 与BM 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年河南省南阳市方城县高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市方城县高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市方城县高一下学期期末数学试题一、单选题1．计算()641i +的结果是（）A ．i 4B ．i 4-C ．i 2D ．i 2-【答案】C【分析】根据复数代数形式的乘方及除法运算法则计算可得.【详解】()()()6332244444i i8i 8i 21i 2i 1i =====--+⎡⎤+⎣⎦.故选：C2．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，已知//A C y '''轴，//B C x '''轴且22A C B C ''''==，则ABC 的周长为（）A ．422+B ．222+C ．223+D ．43+【答案】A【分析】由斜二测画法还原原图即可求解【详解】因为//A C y '''轴，//B C x '''轴且22A C B C ''''==，由题意得，AC BC ⊥，且2AC BC ==，则4422AB =+=，则ABC 的周长为2222422++=+.故选：A.3．sin 210cos120︒︒的值为（）A ．14B ．34-C ．32-D ．34【答案】A【分析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.【详解】()()()111sin 210cos120sin 18030cos 18060sin 30cos 60224⎛⎫︒︒=︒+︒-=--=-⨯= ⎪⎝⎭-,故选：A4．已知6π3sin 53α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则3πcos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【答案】B【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为6ππ3sin sin 553αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3sin 53α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以23π2π2ππ1cos 2cos π2cos 212sin 55553αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-++=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：B.5．已知向量()1,4a λ=+ ，()3,b λ= ，若a 与b反向，则向量()1,2c = 在向量a b - 上的投影向量为（）A ．()6,8-B ．()6,8-C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】依题意可先求出λ的值，从而可得a b -的坐标，再用投影向量的定义即可求解.【详解】依题意//a b ，()1,4a λ=+，()3,b λ= ，所以(1)340λλ+-⨯=，解得3λ=或4λ=-，又a 与b反向，则3λ=时，向量()4,4a = 与()3,3b = 同向，不合舍去，故4λ=-，此时()3,4a =- ，()3,4b =- ，(6,8)a b -=- ，则向量()1,2c = 在向量a b -上的投影向量为2()()c a b a b a b⋅-⋅--226182134(6,8)(6,8)(,)(6)81055-⨯+⨯=⋅-=-=--+.故选：D6．下列表述中正确的是（）A ．若直线//a 平面α，直线b a ⊥，则b α⊥B ．若直线a ⊄平面α，直线b α⊂，且a b ⊥r r，则a α⊥C ．若平面α内有三个不共线的点到平面β的距离相等，则//αβD ．若平面,αβ满足αβ⊥，αγ⊥，l βγ= ，则l α⊥【答案】D【分析】根据空间线面关系的定义及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【详解】若直线//a 平面α，直线b a ⊥，则可能b α⊥，可能b α⊂，b 可能与α只相交不垂直，A 选项错误；若直线a ⊄平面α，直线b α⊂，且a b ⊥，则可能a α⊥，可能a 与α只相交不垂直，B 选项错误；若平面α内有三个不共线的点到平面β的距离相等，则可能//αβ，可能α与β相交，C 选项错误；若平面,αβ满足αβ⊥，αγ⊥，l βγ= ，则l α⊥，由面面垂直的性质可知，D 选项正确.故选：D7．已知函数()()2223cos cos sin 3f x x x x =+--，则（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的一条对称轴为π6x =C ．()f x 在π2π[,]63上单调递减D ．()f x 的图象关于点π(,1)6中心对称【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数式，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】依题意，2()3(2cos 1)12sin cos 3cos 2sin 21f x x x x x x =-+-=-+π2cos(2)16x =++，对于A ，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，A 错误；对于B ，当π6x =时，πππ()2cos(2)11666f =⨯++=，直线π6x =不是()f x 图象的对称轴，B 错误；对于C ，当π2π[,]63x ∈时，ππ3π2[,]622x +∈，而余弦函数cos y x =在π3π[,]22上不单调，因此函数()f x 在π2π[,]63不上单调，C 正确；对于D ，由选项B 知，函数()f x 的图象关于点π(,1)6中心对称，D 正确.故选：D8．如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边BC 和边AB 上，D ，E 分别为BC 和BA 的三等分点，点D靠近点B ，点E 靠近点A ，AD 交CE 于点P ，设BC a = ，BA b = ，则BP =（）A ．1377a b-+ B ．1477a b+C ．1377a b+ D ．2477a b+ 【答案】B【分析】利用,BA BC 表示BP，结合平面向量基本定理确定其表达式.【详解】设AP AD λ= ，EP EC μ=，所以()BP AP AB AD AB BD BA AB λλ=-=-=-- ，又13BD BC = ，所以()13BP BC BA λλ=+- ，因为23BE BA = ，所以()()2221333BP BE EP BA EC BA BC BE BA BC μμμμ=+=+=+-=-+ ，所以322133λμμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3717λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以14147777BP BC BA a b =+=+ ，故选：B.二、多选题9．已知向量()cos ,1a x = ，()sin ,2b x = ，则a b ⋅的值可以是（）A ．1B ．2C ．73D ．3【答案】BC【分析】利用向量数量积的坐标运算得出1sin222a b x ⋅=+ ，利用正弦函数值域即可得出结果.【详解】由题知，1sin cos 2sin222a b x x x ⋅=+=+ ，因为x ∈R ，1sin21x -≤≤，所以111sin2222x -≤≤，315sin22222x ≤+≤，即a b ⋅ 的范围为35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：BC10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B>B ．若602 1.74A c a =︒==，，，则ABC 只有一解C ．若tan a A b=，则ABC 为直角三角形D ．cos cos cos 0A B C ++>【答案】AD【分析】对于A 选项，利用正弦定理判断；对于B 选项，利用正弦定理判断；对于C 选项，利用正弦定理，由tan a A b =，得到sin sin tan A B A =判断；对于D 选项，分 ABC 为锐角三角形，直角三角形， ABC 为钝角三角形判断.【详解】对于A 选项，由A B >，有a b >，由正弦定理可得sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由3 1.742<<，可知 ABC 有两解，可知B 选项错误；对于C 选项，由tan a A b =，得sin sin tan A B A =，有cos sin A B =，可得π2A B +=或π2B A =+，可知C 选项错误；对于D 选项，若 ABC 为锐角三角形或直角三角形，有cos cos cos 0A B C ++>；若 ABC 为钝角三角形，不妨设C 为钝角，有cos 0C <，cos 0A >，cos 0B >，有cos cos cos cos cos A B C A C++>+()()cos cos cos cos cos sin sin cos 1cos 0A A B A A B A B A B =-+=-+>->，可知D 选项正确．故选：AD ．11．设函数()()()πsin cos 0,2⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭f x x x ωϕωϕωϕ的最小正周期为π，且过点()0,2，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的一条对称轴为π2x =C ．把()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x ，则()π2cos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若()f x 在()0,a 上单调递减，则a 的取值范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ABD【分析】利用辅助角公式将函数化简，利用周期及特殊点求出函数解析式，然后利用余弦函数性质一一判断即可.【详解】()()()πsin cos 2sin 4⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭f x x x x ωϕωϕωϕ，因为函数()f x 最小正周期为π，0ω>，所以2π2π2πT ω===，则()π2sin 24f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又函数()f x 过点()0,2，所以()π02sin 24f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=+∈，又π2ϕ≤，所以π4ϕ=，所以()π2sin 22cos 22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭f x x x ，易知函数()f x 的定义域为R ，且()2cos(2)2cos 2()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，故A 正确；令2π,Z x k k =∈，则π,Z 2k x k =∈，当1k =时，()f x 的一条对称轴为π2x =，故B 正确；令2(2π,2ππ),Z x k k k ∈+∈，则π(π,π),Z 2x k k k ∈+∈，当0k =时，()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，若()f x 在()0,a 上单调递减，则a 的取值范围为π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故D正确；把()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x ，则()ππ2cos[2()]2cos 263g x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故C 错误.故选：ABD12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为111111,,C D C B A B 的中点，则以下结论正确的是（）A ．1A E CG⊥B ．平面GFC ⋂平面ABCD AC =C ．DE //平面GFCD ．异面直线1A D 与FC 所成角的余弦值是31010【答案】BCD【分析】由题意可得出11CC GC ⊥，可判断A ；因为四点,,,G F A C 共面，所以平面GFC ⋂平面ABCD AC =可判断B ；由线面平行的判定定理可判断C ；由异面直线所成角可判断D.【详解】对于A ，连接1GC ，易证11//A E GC ，因为1CC ⊥平面1111D C B A ，而1GC ⊂平面1111D C B A ，所以11CC GC ⊥，所以在1GC C △中，1GC 与GC 不垂直，所以1A E CG ，不垂直，故A 不正确；对于B ，连接11,AC AC ，因为,F G 分别为1111,C B A B 的中点，所以11////A C AC GF ，所以四点,,,G F A C 共面，所以平面GFC ⋂平面ABCD AC =，故B 正确；对于C ，连接GE ，易证//,GE AD GE AD =，所以四边形ADEG 是平行四边形，所以//ED GA ，所以ED ⊄平面GFAC ，AG ⊂平面GFAC ，所以DE //平面GFC ，故C 正确；对于D ，连接1B C ，易知11//A D B C ，异面直线1A D 与FC 所成角即直线1B C 与FC 所成角，即1FCB ∠，设正方体的边长为2，所以222211215,2222,1FC B C B F =+==+==，所以2221158112310cos 2102522410FC CB FB FCB FC CB +-+-∠====⋅⨯⨯，所以异面直线1A D 与FC 所成角的余弦值是31010，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知角α的终边经过点()4,3P --，则cos sin αα-=【答案】15-/-0.2【分析】根据任意角的三角函数定义进行计算求解.【详解】已知角α的终边经过点()4,3P --，根据任意角的三角函数定义有：()()2244cos 543α--==-+-，()()2233sin 543α--==-+-，所以431cos sin 555αα---⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：15-.14．计算:sin53sin67cos127sin23+= ．【答案】12/0.5【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式化简求值.【详解】sin53sin67cos127sin23sin53cos23cos53sin23+=- ()1sin 5323sin302=-==．故答案为：12．15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，2π3B =，则ABC 的面积为．【答案】1837/1837【分析】先利用余弦定理得到2c ，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-，又6b =，2a c =，2π3B =，则222136442c c c ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，解得2367c =，所以213183sin 227ABC S ac B c ==⨯=△．故答案为：1837．四、双空题16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，当23CQ =时，S 与11C D 的交点为R ，则1=C R ；当S 为四边形时，CQ 的取值范围为．【答案】12/0.510,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】设S 与11A D 的交点为T ，根据截面的性质可得1CPQ TA A ~ ，从而得到134TA =，再根据1ABP RD T ~ 可得112D R =，从而求得112C R =；再根据截面的性质可得S 与平面11AA D D 的交线经过1D D 上求S 为四边形时，CQ 的取值范围即可【详解】如图所示，设S 与11A D 的交点为T ，根据截面的性质可得1CPQ TA A ~ ，故11CP CQTA AA =，即121321TA =，从而得到134TA =，故114TD =.再根据1ABP RD T ~ 可得11AB BP D R TD =，即111214D R =，解得112D R =，故111122C R =-=当S 为四边形时，易得S 与平面11AA D D 的交线经过1D D ，此时CPQ DAI ~ ，故PC ADQC ID=，即12PC ID QC ID AD ⋅==⋅，易得(]0,1ID ∈，故10,2QC ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：12；10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦五、解答题17．已知复数()()222i R z m m m m m =-++++∈为纯虚数.(1)求m 的值；(2)若111023z z z =-+，求1z .【答案】(1)2m =；(2)125z =.【分析】（1）由条件，结合纯虚数的定义列方程求m .（2）根据复数的运算法则，化简方程求1z ，再由模的公式求模.【详解】（1）因为()()222i R z m m m m m =-++++∈为纯虚数，所以220m m -++=，且20m m +≠，解得2m =；（2）由（1）6i z =，又111023z z z =-+，所以11106i 6i 23z =-+，所以()11026i 16i 17i 40322z -=-=-，所以()()()1217i 117i 1717i 17i 25i 22z ++===-+-，所以22117225255z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，18．已知向量a 与b 的夹角为2π3θ=，且3a = ，b 是单位向量.(1)分别求a b ⋅ 和a b - 的值；(2)若ka b + 与2a b - 共线，求k .【答案】(1)32a b ⋅=- ，13a b -= (2)12k =-【分析】（1）利用数量积的定义求解a b ⋅ ，根据2()a b a b -=- 求解a b - ；（2）由向量共线，结合平面向量基本定理列出方程组求解.【详解】（1）3cos ,31122a b a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2223()21193a b a b a a b b -==⋅-+++=-= .（2）若ka b + 与2a b - 共线，则存在λ，使得()2ka b a b λ+=- ，即()()120k a b λλ-++= ，又因为向量a 与b 不共线，所以0120k λλ-=⎧⎨+=⎩，解得1212k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12k =-.19．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一个动点（不含端点），且满足AP PB λ=．(1)若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ；(2)在（1）的条件下，若||6OA = ，||2OB =uu u r ，且120AOB ∠=︒，求OP AB ⋅ 的值【答案】(1)3144OP OA OB =+ (2)29-【分析】（1）以向量OA ，OB 为基底，根据向量的线性运算，把OP 用向量OA ，OB 表示；（2）以向量OA ，OB 为基底，结合（1）中的结论，求OP AB ⋅ 的值.【详解】（1）因为AP PB λ= ，所以1AP AB λλ=+ ，所以()1111OP OA AP OA OB OA OA OB λλλλλ=+=+-=++++ ，当13λ=时，3144OP OA OB =+ ．（2）由（1）可知3144OP OA OB =+ ，所以()3144OP AB OA OB OB OA ⋅=+⎝⎛⋅-⎫ ⎪⎭221|||1|4243OA OA OB OB =-+⋅+uur uur uuu r uuu r ．因为||6OA = ，||2OB =uu u r ，120AOB ∠=︒，所以311136624294224OP AB ⎛⎫⋅=-⨯+⨯⨯⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭ ，即OP AB ⋅ 的值29-．20．已知α，β为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．(1)求sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)求tan()αβ-的值．【答案】(1)725-(2)211-【分析】（1）由4tan 3α=得4sin cos 3αα=，再结合22sin cos 1αα+=可求出2cos α的值，然后对sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭利用诱导公式和二倍角公式化简计算即可；（2）由5cos()5αβ+=-求出tan()αβ+，再利用正切的二倍角公式求出tan 2α，由[]tan()tan 2()αβααβ-=-+可求得结果.【详解】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，所以27sin 2cos 22cos 1225πααα⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭．（2）因为α，β为锐角，所以()0,αβπ+∈．因为5cos()5αβ+=-，所以225sin 1co )5)s ((αβαβ+=-+=．因为tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--．因此[]tan()tan 2()αβααβ-=-+tan 2tan()1tan 2tan()ααβααβ-+=++()24(2)724127---=⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭211=-．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，,AB CD AB ⊥∥平面,24,27,PAD PA AD DC AB PD M =====是PC 的中点.(1)证明：BM 面PAD(2)证明：平面ABM ⊥平面PCD ；(3)求三棱锥M PAB -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）取PD 中点N ，连接,MN AN ，证BM AN ∥即可；（2）由PA AD =得AN PD ⊥，由AB ⊥平面PAD 得AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABN ，从而得证；（3）∥MN AB ，所以MN 平面PAB ，根据M PAB N PAB B NAP V V V ---==求解．【详解】（1）取PD 中点N ，连接,MN AN ，∵1,2AB DC AB DC =∥,1,2MN DC MN DC =∥,∴,MN AB MN AB =∥,∴ABMN 为平行四边形，则BM AN ∥，∵BM ⊄面PAD ，AN ⊂面PAD ，∴BM 面PAD .（2）因为PA AD =，所以AN PD ⊥，由AB ⊥平面,PAD PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥，又由AN AB A = ，且,AN AB ⊂平面ABMN ，所以PD ⊥平面ABMN ，又PD ⊂平面PCD ，所以平面ABMN ⊥平面PCD ，即平面ABM ⊥平面PCD .（3）由（1）可得∥MN AB ，且AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN 平面PAB ，所以M PAB N PAB B NAP V V V ---==，因为AB ⊥平面PAD ，可得13B NAP NAP V S AB -=⨯△，又由4,7,AP PN AN PD ==⊥，所以2137473,7322NAP AN S =-==⨯⨯= ，所以1372732B NAP V -=⨯⨯=，即三棱锥M PAB -的体积为7.22．已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数；有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对．(1)若()2f x x =，求函数()f x 的“平衡”数对；(2)若m ＝1，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；(3)若1m 、2R m ∈，且1π,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2π,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数2π()cos 04f x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围．【答案】(1)()2,0(2)是(3)(]1,8【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；(2)1m =时,判断是否存在k 使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,（2）若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时π2π3k n =±,Z n ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.（3）假设存在实数()0m k k ≠、，对于定义域内的任意x 均有()()(),m f x f x k f x k ⋅=++-成立则()()()()22211cos cos cos 1cos21cos222m x x k x k x k x k ⎡⎤⎡⎤=++-=++++-⎣⎦⎣⎦()()()1111cos21cos21cos2222m x x k x k ⎡⎤⎡⎤∴+=++++-⎣⎦⎣⎦cos21cos2cos2sin2sin21cos2cos2sin2sin2m m x x k x k x k x k∴+=+-+++()1cos222cos2cos2,m x x k ∴+=+12ππ,,24m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 均为函数2()cos 04f x x x π⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，()()12π1cos222cos2cosπ22cos2,1cos222cos2cos2,2m x x x m x x ∴+=+=-+=+=ππ0020cos2142x x x <≤∴<≤∴<≤ ()222122222212sin 22cos22sin 212tan ,1cos212cos 1cos 1cos2cos x x x m x m x x x x x---∴======++-+()2244124411π4tan ,4tan ,(0)cos cos 4m m x h x x x x x ∴+=+=+<≤设，函数单调递增，()()π0,4h h x h ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭即()221218h x m m <≤∴+的取范围为(]1,8。

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河南省南阳市第二学期高中一年级期终质量评估数 学 试 卷1.某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高一年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是（ ）A ．177B ．417C ． 157D ．3672.已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．B ．2C ．2D ．23.从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．4.已知B A O ,,是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足02=+CB AC ，则OC 等于（ ） A ．OB OA -2 B ．OB OA 2+- C ．OB OA 3132- D ．OB OA 3231+-5．若0＜α＜2π，则使sin α＜和cos α＞同时成立的α的取值范围是（ ） A ．（﹣，）B ．（0，）C ．（，2π） D ．（0，）∪（，2π）6.把函数cos 232y x x =+ 的图像经过变化而得到2sin 2y x =的图像，这个变化是（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 7.已知函数)42sin()(π+=x x f ，则函数()f x 满足（ ）A. 最小正周期为2T π=B. 图象关于点)0,8(π对称C. 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 D. 图象关于直线8x π=对称 8.计算下列几个式子，①οοοο35tan 25tan 335tan 25tan ++,②2（sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒）, ③οο15tan 115tan 1-+ , ④ 6tan16tan2ππ-，结果为3的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④9.如图所示，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为o 120，OA 与OC 夹角为o 150，且1OA OB ==u u u r u u u r ，23OC =u u u r，若OB OA OC μλ+=()R ∈μλ，，则=+μλ（ ）120°150°OAB C（A ）1 （B ）6- （C ） 29-（D ）610.阅读右边的程序框图，输出结果s 的值为（ ） A. 12 B. 316 C. 116 D. 1811.函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示，若，且f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）A ．B ．C ．D ．112.在边长为4的等边三角形OAB 的内部任取一点P ，使得4≤⋅OP OA 的概率为（ ） A ．12 B ．14 C ．13 D ．1813.若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= ．14.如图表所示，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，那么表中的值为 ． x3 4 5 6 y2.5m44.515.气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区的有 ．16.已知P 、M、N 是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是 ．17.已知平面向量),32(),,1(x x b x a -+== )(N x ∈（1）若a v 与b v垂直，求x ；（2）若//a b v v ，求a b -v v.18.已知sin()cos(10)tan(3)2()5tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1） 化简()f α；（2） 若01860α=-，求()f α的值； （3） 若2πα∈（0，），且1sin()63πα-=，求()f α的值．19.为了完成对某城市的工薪阶层是否赞成调整个人所得税税率的调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入频率分布直方图（如图），同时得到了他们月收入情况与赞成人数统计表（如下表）：（1）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（2）若从月收入（单位：百元）在[65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求2人都不赞成的概率.20.已知函数()233sin cos cos 2f x x x x =++． （1）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，讨论函数()y f x =的单调性； （2）已知0ω>，函数)122()(πω-=xf xg ，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．21.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点p 0）开始计算时间．（1）将点p 距离水面的高度z （m ）表示为时间t （s ）的函数； （2）点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？22.已知x 0，x 0+是函数f （x ）=cos 2（wx ﹣）﹣sin 2wx （ω＞0）的两个相邻的零点（1）求的值；（2）若对任意]0,127[π-∈x ，都有f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的取值范围． （3）若关于x 的方程1)(334=-m x f 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．高一数学期末参考答案一、选择题1-5 CBAAD 6-10 BDCBC 11-12 AD二、填空题 13. 43- 14. 3 15. ①③ 16. 21-三、解答题17.解：（1）由已知得，0)()32(1=-++x x x ，解得，3=x 或1-=x ， 因为N x ∈，所以3=x . ……………5分 （2）若//a b r r，则()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或2x =-，因为N x ∈，所以0=x .()2,0a b -=-r r，2a b -=r r . ……………10分18.解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==- ………3分（2）00018606360300α=-=-⨯+Q 0()(1860)cos(1860)f f α∴=-=-- 0001cos(6360300)cos602=--⨯+=-=-………7分 （3）1sin()cos()2636πππααα∈-=∴-=Q （0，）,()cos cos[()]cos()cos sin()sin 6666661132f ππππππααααα∴=-=--+=--+-=+⋅=………12分19.解：（1）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………4分（2）根据频率分布直方图和统计图表可知[65，75）的人数为0.01×10×60＝6人，其中2人赞成，4人不赞成 记赞成的人为x ，y ，不赞成的人为a ，b ，c ，d任取2人的情况分别是：xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，ya ，yb ，yc ，yd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种情况其中2人都不赞成的是：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况 ∴2人都不赞成的概率是：P ＝62155=. ………12分20.解：（1）()31cos 23sin 2sin 22226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以，2626πππ≤+≤-x ，即66ππ≤≤-x 时，()y f x =增，65622πππ≤+≤x ，即36ππ≤≤x 时，()y f x =减， ∴函数()y f x =在]6,6[ππ-上增，在]3,6[ππ上减. ………6分 （2）2)6)122(2sin()(++-=ππωxx g 2)sin(+=x ω要使g （x ）在]6,32[ππ-上增，只需322πωπ-≤-，即43≤ω 所以ω的最大值为43. ………12分21.解：（1）依题意可知z 的最大值为6，最小为﹣2， ∴⇒；∵op 每秒钟内所转过的角为，得z=4sin，当t=0时，z=0，得sin φ=﹣，即φ=﹣，故所求的函数关系式为z=4sin +2 ………6分（2）令z=4sin +2=6，得sin=1，取，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4s ． ………12分22.解：（1）f （x ）=====（）=．由题意可知，f （x ）的最小正周期T=π，∴， 又∵ω＞0， ∴ω=1，∴f （x ）=．∴=． ………4分（2）由f （x ）﹣m ≤0得，f （x ）≤m ， ∴m ≥f （x ）max ，∵﹣， ∴， ∴，∴﹣≤， 即f （x ）max =，∴43≥m 所以),43[+∞∈m ………8分 （3）原方程可化为1)32sin(23334+=+⋅m x π即1)32sin(2+=+m x π20π≤≤x画出)32sin(2π+=x y 20π≤≤x 的草图x=0时，y=2sin3π=，y 的最大值为2， ∴要使方程在x ∈[0，2π]上有两个不同的解， 3≤m+1＜2， 31． 所以)1,13[-∈m ………12分。

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