中考数学复习指导：不等式组中求待定系数取值范围剖析
中考数学复习技巧
浅谈中考数学复习技巧自全面推行新课程标准以来，初中毕业学业水平考试越来越被社会所关注。
课程改革取得了哪些成就，学生的能力得到了哪些发展，中考将是验证他们的一个重要舞台。
对学生而言，中考是一块试金石，检验他们的收获。
对于每一位教师来说，中考又是一次非常难得的检测教学成绩和评价教学水平的重要机会。
怎样在有限的时间内科学而高效地进行中考数学总复习，是摆在我们每位初三教师面前的重大课题。
下面我结合我多年教初三数学的经验，从教师的角度来谈一下中考数学的复习备考策略。
一、考势研究1 通悉中考命题依据担任毕业班教学工作的教师首先要认真领会新课标的精神，认真通读《考试说明》中的考试范围、内容及要求，并以此作为自己制订复习计划的纲领、准则。
近几年的中考试题，在试题结构、命题内容和题型、题量上基本稳定，但由于社会日新月异的变化，对数学知识的要求也不断提高，因此，每年的试卷都会有不超出范围但颇有新意的新题型出现。
所以在复习中，教师应该熟悉考试说明的内容及要求，及时关注社会动态、新闻时事，设计内容新颖的题目，拓宽学生的视野。
2 掌握数学中考命题基本原则中考数学命题中遵循的基本原则是：中考数学必须有利于初高中数学教学，有利于选拔具有学习潜能的学生进入高一级学校继续学习。
这样既有利于初中新课程改革进一步实施，又为学生进一步学习奠定良好的学习基础。
3 摸清中考命题规律对近几年中考试卷的剖析与研究，可发现中考命题的发展趋势如下：(1)重视对数学基础知识的认识和考查。
(2)加大了统计与概率的考查力度，特别是与实际问题相结合。
(3)重视数学思维方法的考查。
(4)重视实践能力和创新意识的考查。
二、复习策略1 学好《考试说明》，了解命题方向为了使复习工作达到预期的目标，必须对当年的中考进行仔细的研究，每年各地市都要编写《考试说明》用以指导初中毕业考试的复习。
广大教师要认真学习，领会其精神，理解初中毕业学业考试数学命题的指导思想，把握中考命题方向，把握好考试内容、要求及考查重点。
九年级数学中考方程(组)不等式(组)和函数的实际应用(附答案)
专题8 方程（组）不等式（组）和函数的实际应用一次函数求最值，不同于二次函数求最值，它一般分三步：1．根据题目中的等式条件，建立一次函数关系式，确定其增减性；2．根据题目中的不等式条件，列不等式（组），求出自变量的取值范围；3．根据一次函数的增减性，恰当选取自变量的值，求函数的最值。
自我诊断1.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，设其中甲种商品购进x件（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．①求y与x的函数关系式；②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．自我诊断2紫荆商场销售某品牌保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种汤锅的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元．（销售额=销售量×售价）（1）求紫荆商场9月份销售该品牌汤锅的销售单价；（2）11月11日购物节商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y （件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600．问商场打几折时利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，为保证紫荆商场利润不低于1.5万元，且能够最大限度帮助厂家减少库存，紫荆商场应该在9月份销售价的基础上打几折？跟踪训练11.“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？2.大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒．调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y （个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润为1200元？（3）若该超市每星期销售这种文具盒的销售量不少于115个，且单件利润不低于4元（x 为整数），当每个文具盒定价多少元时，超市每星期利润最高？最高利润是多少？3.某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务. 已知每台GH型产品由4个G 型装置和3个H型装置配套组成. 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品.（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置. 请问至少需要补充多少名新工人？4.某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B 型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W 元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？跟踪训练25.某商场秋季计划购进一批进价为每条40元的围巾进行销售根据销售经验，应季销售时，若每条围巾的售价为60元，则可售出400条；若每条围巾的售价每提高1元，销售量相应减少10条．（1）假设每条围巾的售价提高x元，那么销售每条围巾所获得的利润是元，销售量是条（用含x的代数式表示）．（2）设应季销售利润为y元，请写y与x的函数关系式；并求出应季销售利润为8000元时每条围巾的售价．【拓展】：根据销售经验，过季处理时，若每条围巾的售价定为30元亏本销售，可售出50条；若每条围巾的售价每降低1元，销售量相应增加5条，（1）若剩余100条围巾需要处理，经过降价处理后还是无法销售的只能积压在仓库，损失本金；若使亏损金额最小，每条围巾的售价应是元．（2）若过季需要处理的围巾共m条，且100≤m≤300，过季亏损金额最小是元；（用含m的代数式表示）【延伸】：若商场共购进了500条围巾且销售情况满足上述条件，如果应季销售利润在不低于8000元的条件下：（1）没有售出的围巾共m条，则m的取值范围是：；（2）要使最后的总利润（销售利润=应季销售利润﹣过季亏损金额）最大，则应季销售的售价是元．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．6.某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）的关系大致满足如图的函数，销售成本y2（元/件）与销售月份x（月）满足y2=，月销售量y3（件）与销售月份x（月）满足y3=10x+20．（1）根据图象求出销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（6≤x≤12且x为整数）（2）求出该服装月销售利润W（元）与月份x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？（6≤x≤12且x为整数）7.家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6 kΩ？答案自我诊断1.考点:一次函数的应用．分析:（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲单价×甲商品数量+乙单价×乙商品数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；（2）①根据利润=甲商品单件利润×数量+乙商品单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；②根据总价=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的增减性即可解决最值问题；（3）根据利润=甲单件利润×数量+乙单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x 的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．解：（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，解得：x=105，200﹣x=200﹣105=95（件）．答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，解得：x≥100，∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．故该商场获得的最大利润为22000元．（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值，即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，∴当x=120时，y有最大值，即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．点评:本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．自我诊断2考点:二次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．分析:（1）根据保温水瓶成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元，可以设出9月份的保温瓶销售单价x元，再用x表示当月的销售数量，从而可以列出相应的方程即可解答本题（也可以设单价和销量两个未知数，列二元一次方程组）；（2）根据题意可以列出销售利润的关系式，将其化为顶点式，即可求得最大利润和此时的打折数；（3）由（2）和题意可以列出相应的关系式，从而可以求得x的范围，结合题意取舍即可．解：（1）设9月份销售价格为每件x元，据题意可得：，解得：x=200．答：9月份每件销售200元．（2）设紫荆商场在11月11日购物节销售该品牌的利润为W元，则：W=200×（﹣50x+600）﹣80（﹣50x+600）（x≥4），=﹣1000×x2+16000x﹣48000=﹣1000（x﹣8）2+16000，当x=8时，最大利润为16000元．答：商场打8折时利润最大，最大利润是16000元；（3）200×（﹣50x+600）﹣80（﹣50x+600）≥15000，解得7≤x≤9．当7≤x≤9时，函数y=﹣50x+600的值随着x的增大而减小，因此当x=7时，利润不低于15000元，且又能够最大限度减少厂家库存．点评:本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，能根据题目的要求，列出相应的表达式，会求函数的最值．跟踪训练答案1.考点：一元二次方程的应用；一次函数的应用．分析：（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可；（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．解：（1）设平均增长率为a，根据题意得：64（1+a）2=100解得：a=0.25=25%或a=﹣2.25四月份的销量为：100•（1+25%）=125（辆）．答：四月份的销量为125辆．（2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，根据题意得：2×≤x≤2.8×解得：30≤x≤35利润W=（700﹣500）x+（1300﹣1000）=50x+9000．∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．当x=35时，不是整数，故不符合题意，∴x=34，此时=13（辆）．答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．点评：本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点．2.考点：方程组、不等式、二次函数的应用．分析：（1）根据图象利用待定系数法直接求出函数的解析式即可；（2）根据利润等于每个利润×数量建立方程求出其解就可以了；（3）根据条件先求出售价的取值范围，再表示出利润的解析式，根据函数的性质就可以求出结论．解：（1）设这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式y=kx+b，由题意，得，解得：，则y=﹣10x+300（2）由题意，得（x﹣8）•y=1200，（x﹣8）（﹣10x+300）=1200解得：x1=18，x2=20，答：当定价为18元或20元时，利润为1200元．（3）根据题意得：得：12≤x≤18.5，且x为整数．设每星期所获利润为W元，由题意，得W=（x﹣8）•y=（x﹣8）（﹣10x+300）=﹣10（x2﹣38x+240）=﹣10（x﹣19）2+1210，∵a=﹣10＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴的左边W随x的增大而增大=1200．∴当x=18时，W有最大值，W最大答：每个文具盒的定价是18元时，可获得每星期最高销售利润1200元．3.解：（1）设有x 名工人加工G 型装置， 则有(80―x )名工人加工H 型装置，根据题意，6x 4＝3(80―x )3解得，x ＝32，每天能组装48套GH 型电子产品（2）设招聘a 名新工人加工G 型装置仍设x 名工人加工G 型装置，(80―x )名工人加工H 型装置，根据题意，6x ＋4a 4＝3(80―x )3， x ＝160―2a 5因为80―x ≥120020，即x ≤20160―2a 5≤20，解得a ≥30，至少应招聘30名新工人4.考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时，根据“一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时，加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．（2）当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，则还可以加工B 型服装（25×8﹣2a ）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A 型服装数量不少于B 型服装的一半”，得到a ≥50，利用一次函数的性质，即可解答．解：（1）设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时．由题意得：，解得： 答：熟练工加工1件A 型服装需要2小时，加工1件B 型服装需要1小时．（2）当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，则还可以加工B 型服装（25×8﹣2a ）件．∴W=16a+12（25×8﹣2a ）+800，∴W=﹣8a+3200，又∵a ≥，解得：a ≥50，∵﹣8＜0，∴W随着a的增大则减小，∴当a=50时，W有最大值2800．∵2800＜3000，∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．5.解：（1）每个围巾所获得的利润是（20+x）元，这种围巾的销售量是（400﹣10x）个．（2）设应季销售利润为y元．由题意得：y=（20+x）（400﹣10x）=﹣10x2+200x+8000把y=8000代入，得﹣10x2+200x+8000=8000解得x1=0，x2=20；答：围巾的售价为60元或80元．拓展：（1）设过季处理时亏损金额为y2元，单价降低z元．由题意得：y2=40×100﹣（30﹣z）（50+5z），y2=5（z﹣10）2+2000；z=10时亏损金额最小为2000元，此时售价为30﹣10=20（元/件）（2）y2=40m﹣（30﹣z）（50+5z），y2=5（z﹣10）2+40m﹣2000；延伸：①m的取值范围是：100≤m≤300②因为m=500﹣（400﹣10x）=100+10x，且100≤m≤300所以亏损的最小金额为40（100+10x）﹣2000=2000+400x元设总利润为w，W=（20+x）（400﹣10x）﹣（2000+400x）=﹣10（x+10）2+7000因为0≤x≤20，所以当x=0时，即售价为60元/条，总利润w有最大值6000元．6.解：（1）设销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式为y1=kx+b （6≤x≤12），函数图象过（6，60）、（12，100），则，解得．故销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式y1=x+20 （6≤x≤12且x 为整数）；（2）由题意得w=y1•y3﹣y2•y3即w=（x+20）•（10x+20）﹣x•（10x+20）化简，得w=20x2+240x+400，∵a=20，x=﹣=﹣=﹣6是对称轴，当x＞﹣6时，w随x的增大而增大，=20×122+240×12+400=6160，∴当x=12时，销售量最大，W最大答：12月份利润最大，最大利润是6160元．7.解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴可设R和t之间的关系式为R=，将（10，6）代入上式中得：6=，即k=60．故当10≤t≤30时，R=；（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．∴温度在30℃时，电阻R=2（kΩ）．∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，∴当t≥30时，R=2+（t﹣30）=t﹣6；（3）把R=6（kΩ），代入R=t﹣6得，t=45（℃），所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．。
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围(含答案解析)
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围（含答案解析）◆ 题型一：已知不等式确定的解集，求参数值或者范围几种常见考法： ① {若我们计算的结果为a <x <b 而题中给的结果为1<x 2，因为不等（组）的解集是确定的，则{a =1b =2② {若我们计算到ax <a ，因为未知a 的正负，无法下一步运算而题中给的结果为x <1，根据不等式的性质，则a ＞0③ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <2，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≥2④ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <b ，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≤2⑤ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞2，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≤2⑥ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞b ，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≥21. （2022·河北·模拟预测）已知a 是自然数，如果关于x 的不等式(a -3) x >a -3的解集为x <1，那么a 的值为( )A ．1，2B ．1，2， 3C ．0，1， 2D ．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a -3)x ＞a -3的解集为x <1，得a -3<0，即可求解． 【详解】解：∵(a -3)x ＞a -3，当不等式两边同时除以a -3，若a -3＞0，不等式化为x ＞1， 若a -3＜0，则不等式化为x ＜1， ∴a -3＜0，即a ＜3，符合条件的自然数有0，1，2． 故选：C ．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键．2. （2022·四川成都·模拟预测）关于x 的不等式组{3x −1>4(x −1)x <m 的解集为3x <，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ≥3B ．m >3C ．m <3D ．m =3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x <，即可求解． 【详解】解：{3x −1>4(x −1)①x <m ②，解不等式①得：3x <， ∵不等式组的解集为3x <， ∴m ≥3． 故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．1．（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a 既使得关于x 的不等式组{x−a 2+1≤x+a 3x −2a >6无解，又使得关于y的分式方程5y−2−a−y2−y =1的解不小于1，则满足条件的所有整数a 的和为( ) A ．−4 B ．−3 C ．−2 D ．−52．（2022·重庆·模拟预测）若关于x 的不等式组{3<0x −4>3(x −2)的解集为x <1，且关于x 的分式方程x+2x−1+m 1−x=3有非负整数解，则符合条件的m 的所有值的和是（ ）A ．6B ．8C ．11D ．143．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1−8−3y 1−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2022·河北·模拟预测）已知a是自然数，如果关于x的不等式(a-3) x>a-3的解集为x<1，那么a的值为() A．1，2 B．1，2，3 C．0，1，2 D．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a-3)x＞a-3的解集为x<1，得a-3<0，即可求解．【详解】解：∵(a-3)x＞a-3，当不等式两边同时除以a-3，若a-3＞0，不等式化为x＞1，若a-3＜0，则不等式化为x＜1，∴a-3＜0，即a＜3，符合条件的自然数有0，1，2．故选：C．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键． 5．（2022·山东德州·二模）已知不等式组{x2+3a ≤−22x +5>1的解集在数轴上表示如图所示，则a 的值为（ ）A ．−56B ．－1C ．−13D ．−166．（2022·广东·二模）已知不等式组{x +a ≥0x +b ≤0，的解集为2≤x ≤3，则(a −b)2022的值为（ ）A ．1−B ．2022C ．1D ．−2022【答案】C【分析】解不等式得出x≥-a ，x≤-b ，由不等式组的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a 、b 的值，代入计算可得．【详解】解：由x+a≥0，得：x≥-a ， 由x+b≤0，得：x≤-b ， ∵解集是2≤x≤3， ∴-b=3，-a=2，解得：a=-2，b=-3，∴(a−b)2022=(−2+3)2022=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式（或组）的解集是解此题的关键．7．（2022·四川成都·模拟预测）关于x的不等式组{3x−1>4(x−1)x<m的解集为3x<，那么m的取值范围是（）A．m≥3B．m>3C．m<3D．m=3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x<，即可求解．【详解】解：{3x−1>4(x−1)①x<m②，解不等式①得：3x<，∵不等式组的解集为3x<，∴m≥3．故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．8．（2022·山东·日照市北京路中学二模）若关于x的不等式组{x+1<3x+124x−1≥3(a−x)的解集是x>1，关于y的分式方程ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，则所有符合条件的整数a的和为（）A．-18 B．-15 C．0 D．2【答案】B【分析】根据不等式组的解集求出不等式的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a 的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．【详解】解：x+1<3x+12，2x+2＜3x+1，解得x＞1，4x−1≥3(a−x)，4x-1≥3a-3x，x≥3a+17，∵关于x 的不等式组的解集为x ＞1， ∴3a+17≤1，解得a≤2， 又∵ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，∴a=5y −8−2（y −1）， ∴y=a+63≥0且y≠1，解得a≥-6且a≠-3，∴a 的取值范围为-6≤a≤2且a≠-3，符合条件的整数a 有：-6、-5、-4、-2、-1、0、1、2，所有的a 相加的和=（-6）+（-5）+（-4）+（-2）+（-1）+（0）+1+2 =-15． 故选：B ．【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解．注意含参的不等式的解法和增根的情况是解决本题的关键．9．（2020·河南·模拟预测）已知不等式组{2x −a <1x −4b >3的解集为﹣1＜x ＜1，则（a +b ）（b ﹣1）的值为_____．【点睛】本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出a，b的值．10．（2022·甘肃武威·模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m的取值范围是________．【答案】m=-2【分析】根据定义的新运算得到x⊗m=x−2m>3，得x>3+2m，从而3+2m=-1，求得m的值．【详解】解：∵a⊗b=a−2b，∴x⊗m=x−2m，∵x⊗m>3，∴x−2m>3，∴x>2m+3，∵不等式x⊗m>3的解集为x>−1，∴2m+3=−1，∴m=-2，故答案为：m=-2．【点睛】本题考查了新定义运算在不等式的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．◆题型二：已知不等式的特殊解，求参数值或者范围若2＜x＜m恰有3个整数解，求m的取值范围。
初二数学知识点梳理：不等式待定系数的取值范围
初二数学知识点梳理：不等式待定系数
的取值范围
不等式待定系数的取值范围
不等式待定系数的取值范围就是已知不等式或不等式组的解集或特殊解，确定不等式中未知数的系数的取值范围。
不等式待定系数的取值范围求法：
一、根据不等式的解集确定字母取值范围
例:
如果关于x的不等式x>2a+2．的解集为x<2，则a的取值范围是
A．a<0B．a<一lc．a>lD．a>一l
解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B．
二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围
例：
已知不等式组
的整数解只有5、6。
求a和b的范围．
解：解不等式组得
，借助于数轴，如图:
知：2+a只能在4与5之间。
只能在6与7之间．
∴4≤2+a<5,6<
≤7
∴2≤a<3,13<b≤15
三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围
例：
已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x 的取值范围．
解：由2a－3x＋1＝0，可得a=
;由3b－2x－16＝0，可得b=
.
又a≤4＜b，
所以,
≤4＜
，
解得:-2＜x≤3.
四、逆用不等式组解集求解
例：。
中考数学重点难点分值题型分布
中考数学重点难点分值题型分布第一章数与式1.1实数考点1：实数的分类与实数的有关概念掌握题型：选择题、填空题; 分值：3分考试内容：1.实数的定义与分类2.实数的大小比较3.数轴4.相反数、倒数、绝对值5.无理数的估算考点2：实数的运算掌握题型：选择题、填空题；分值：3分、4分考试内容：1.平方根与立方根2.实数的混合运算考点3：科学计数法掌握与近似数了解题型：选择题；分值：3分考试内容：1.科学记数法2.近似数1.2代数式考点1：代数式理解——必考点题型：选择题；分值：4分考试内容：1.列代数式表示简单的数量关系2.能解释一些简单代数式的实际意义或几何意义考点2：求代数式的值题型：解答题；分值：6分考试内容：1.代数式的值的概念“了解2.根据问题所提供的资料,求代数式的值1.3整式考点1：整式及其运算灵活运用题型：填空题；分值：3分考试内容：1.整式的有关概念了解2.整数指数幂的意义和基本性质了解3.整式加减乘除法运算的法则4.会进行简单的整式加减乘除法运算考点2：整式乘法公式灵活运用——必考点题型：填空题；分值：3分、4分考试内容：1.完全平方公式、平方差公式的几何背景了解2.平方差公式、完全平方公式3.用平方差公式、完全平方公式进行简单计算考点3：因式分解灵活运用题型：填空题；分值：3分、4分考试内容：1.因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系了解2.用提取公因式法、、公式法进行因式分解,会在实数范围内分解因式1.4分式与二次根式考点1：分式的概念与基本性质灵活运用——必考点题型：选择题；分值：3分考试内容:1.分式的概念了解2.确定分式有意义的条件3.确定使分式的值为零的条件4.分式的基本性质5.约分和通分考点2：分式的运算掌握——必考点题型：解答题；分值：6分考试内容：1.分式的加、减、乘、除、乘方运算法则2.简单的分式加减乘除乘方运算,用恰当方法解决与分式有关的问题考点3：二次根式掌握——必考点题型：选择题；分值：3分1.二次根式的概念2.最简二次根式3.二次根式的运算第二章方程组与不等式组2.1整式方程考点1：一元一次方程掌握,灵活运用题型：选择题、解答题；分值：3分、6分、8分考试内容：1.方程是刻画现实世界数量关系的一个数学模型了解2.运用一元一次方程解决简单的实际问题3.方程的解的概念了解4.由方程的解求方程中字母系数的值5.一元一次方程的有关概念了解6.一元一次方程的解法考点2：一元二次方程掌握,灵活运用——必考点题型：选择题、填空题；分值：3分、4分1.一元二次方程的概念了解2.一元二次方程的解法3.用一元二次方程根的判别式判断根的情况4.运用一元二次方程解决简单的实际问题2.2分式方程考点1：分式方程及其解法——必考点题型：选择题、填空题；分值：3分、4分考试内容：1.分式方程的概念2.分式方程的增根3.分式方程的求解4.分式方程的检验考点2：分式方程的应用题型：解答题；分值：10分考试内容：1.利用分式方程解决生活实际问题2.注意分式方程要对方程和实际意义进行双检验2.3方程组考点1：二元一次方程组题型：解答题；分值：7分考试内容：1.二元一次方程组的有关概念了解2.代入消元法、加减消元法的意义3.选择适当的方法解二元一次方程组考点2：二元一次方程组的应用——必考点题型：解答题；分值：9分考试内容：运用二元一次方程组解决简单的实际问题2.4不等式组考点1：不等式和一元一次不等式组题型：选择题、填空题；分值：3分、4分考试内容：1.不等式的意义了解2.根据具体问题中的数量关系列出不等式3.不等式的基本性质4.利用不等式的性质比较两个实数的大小5.一元一次不等式的解集了解6.解不等式组考点2：一元一次不等式组的应用——必考点题型：解答题；分值：8分考试内容：根据具体问题中的数量关系,用一元一次不等式或不等式组解决简单问题第三章变量与函数3.1位置的确定与变量之间的关系考点1：平面直角坐标系题型：选择题、填空题；分值：3分考试内容：1.坐标平面内点的坐标特征的运用2.坐标轴、原点对称的点的坐标的特征考点2：函数及其图象题型：选择题、填空题；分值：3分、8分考试内容：1.求函数自变量的取值范围2.根据条件写出函数关系式3.用描点法画出函数图像考点3：函数的有关应用题型：选择题；分值：3分考试内容：解决与函数有关的应用型问题3.2一次函数考点1：一次函数的概念、图象和性质题型：解答题；分值：3分、10分考试内容：1.对一次函数概念的理解理解2.根据已知条件用待定系数法确定函数解析式3.会画一次函数图象并能根据图象解决相关的问题4.根据自变量的变化判断函数值的增减情况灵活运用5.由函数值的取值范围判断自变量的取值范围,求一次函数图象的交点坐标考点2：一次函数的应用题型：解答题；分值：9分考试内容：与一次函数有关的应用问题灵活运用3.3反比例函数考点1：求反比例函数解析式题型：填空题；分值：4分考试内容：1.对反比例函数的理解2.根据已知条件用待定系数法确定反比例函数解析式考点2：反比例函数的图象和性质题型：解答题；分值：8分考试内容：1.会画反比例函数的增减性；掌握比例系数K的几何意义考点3：反比例函数的应用题型：填空题、解答题；分值：3分、9分考试内容：1.反比例函数与一次函数图象与性质的综合应用2.确定与反比例函数有关的应用型问题3.4二次函数考点1：二次函数的图象和性质题型：选择题、解答题；分值: 3分、3分考试内容：1.用配方法把抛物线的解析式y=ax2+bx+ca≠0化为y=ax-h2+ka≠0的形式2.根据已知条件用待定系数法确定二次函数的解析式3.根据抛物线的位置确定a、b、c的符号,根据公式确定抛物线的顶点和对称轴4.根据自变量的变化判断二次函数值的增减情况5.根据函数图象求一元二次方程的根,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点；根据图象判断一元二次不等式的解集考点2：二次函数的综合应用题型：解答题；分值：10分、12分考试内容：1.利用二次函数解决简单的实际问题2.与二次函数有关的综合应用第四章图形的认识4.1角、相交线与平行线考点1：角题型：选择题；分值：3分考试内容：1.角的有关概念了解2.角的比较、角的和差计算3.余角、补角考点2：相交线题型：选择题；分值：3分考试内容：1.对顶角2.垂线、点到直线的距离3.作已知直线的垂线4.命题、定理、证明考点3：平行线题型：选择题；分值：3分考试内容：1.平行线的性质2.平行线间的距离3.平行线的判定4.2三角形及其全等考点1：三角形的相关概念题型：选择题；分值：3分考试内容：1.角平分线、中线、高线、中位线以及性质2.画任意三角形的角平分线、中线和高3.三角形的稳定性、三边关系定理、三角形内角和定理考点2：三角形全等题型：填空题、解答题；分值：3分考试内容：1.全等三角形对应边相等、对应角相等2.三角形全等的判定定理：SAS, ASA, AAS, SSS, HL 4.3等腰三角形与直角三角形考点1：等腰三角形题型：选择题；分值：3分考试内容：1.等腰三角形的有关概念、性质和判定2.等边三角形的有关概念、性质和判定考点2：直角三角形题型：选择题；分值：3分考试内容：1.直角三角形的概念、性质和判定2.勾股定理及其逆定理:4.4多边形与平行四边形考点1：多边形题型：选择题；分值：3分考试内容：多边形和正多边形的概念、内角和与外角和公式了解考点2：平行四边形题型：解答题；分值：9分考试内容：1、平行四边形的概念和性质2、平行四边形的判定4.5特殊的平行四边形考点1：矩形题型：选择题、填空题、解答题；分值：3分、8分考试内容：1.矩形的概念、性质2.矩形的判定考点2：菱形题型：选择、解答；分值：3分、10分考试内容：1、菱形的概念、性质2、菱形的判定考点3：正方形题型：选择题、解答题；分值：3分考试内容：1.正方形具有矩形和菱形的性质2.既是矩形又是菱形的四边形是正方形4.6梯形依据考情选用题型：填空题；分值：3分考试内容：1.梯形的概念和性质2.等腰梯形的概念、性质和判定3.直角梯形的概念第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系考点1：圆的有关概念与性质题型：选择题、解答题；分值：3分、4分、9分考试内容：1.垂径定理及其推论的应用2.弧、圆心角、圆周角之间的关系3.圆周角定理及其推论考点2：与圆有关的位置关系题型：选择题、解答题考试内容：1.点和圆的位置关系2.直线和圆的位置关系3.切线的性质和判定5.2与圆有关的计算题型：选择题、填空题、解答题；分值：3分、10分考试内容：1.求圆的周长、弧长及简单组合图形的周长2.求圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积3.圆柱的侧面积和全面积的计算4.圆锥的侧面积和全面积的计算第六章空间与图形6.1圆形的轴对称、平移与旋转考点1：轴对称的概念及性质题型：选择题；分值：3分考试内容：1.轴对称的概念及性质2.基本图形的对称性及轴对称的应用考点2：图形的平移题型：选择题；分值：3分考试内容：1.平移的概念和性质2.简单图形的平移及平移的应用考点3：图形的旋转题型：选择题；分值：3分考试内容：1.旋转的概念及性质2.基本图形的旋转及旋转的应用6.2图形的相似考点1：相似的有关概念题型：近5年未考考试内容：成比例线段、比例的基本性质、黄金分割考点2：相似三角形的性质与判定题型：填空题；分值：3分考试内容：1.相似的概念及相似的判定2.相似的性质、多边形相似比、周长比与面积比考点3：位似的概念与性质题型：选择题；分值：3分考试内容:1.位似的概念和性质2.利用位似放大或缩小图形,会在坐标系中作位似图形并求出对应的坐标6.3解直角三角形题型：选择题、填空题、解答题；分值：3、6分考点1：锐角三角函数考试内容：1.锐角三角函数的定义及其性质2.特殊角的三角函数值考点2：解直角三角形考试内容：1.解直角三角形的概念2.直角三角形的边角关系3.仰角、俯角、坡度坡比4.用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题6.4视图与投影考点1：几何体及其展开图题型：选择题；分值：3分考试内容：基本几何体的展开图考点2：几何体的三视图题型：选择题；分值：3分考试内容：画基本几何体或简单组合体的三视图,根据三视图描述实物考点3：投影题型：近五年未考考试内容：1.中心投影和平行投影2.影子、视点、视角和盲区的概念第七章统计与概率7.1统计考点1：数据的收集题型：选择题；分值：3分考试内容：1.普查和抽样调查2.总体、个体、样本和样本容量3.用样本估计总体的思想考点2：数据的处理题型：选择题；分值：3分考试内容：1.求一组数据的平均数包括加权平均数、众数、中位数、极差与方差2.根据具体问题,选择合适的统计量表示数据的集中程度或离散程度3.根据统计结果做出合理的判断和预测考点3：统计图表题型：解答题；分值：4分、8分考试内容：1.用扇形统计图表示数据2.频数、频率的概念,频数分布的意义和作用3.列频数分布表,画频数分布直方图和频数分布折线图4.利用统计图表解决简单的实际问题7.2概率考点1：事件的分类题型：选择题；分值：3分考试内容：不可能事件、必然事件和随机事件考点2：概率的计算题型：解答题；分值：10分考试内容：1.概率的意义2.运用列举法包括列表、画树状图计算简单事件发生的概率考点3：用频率估计概率题型：填空题；分值：3分考试内容：大量重复试验时,可以用频率估计概率解决一些实际问题。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-一元一次不等式(组)(解析版)
专题10一元一次不等式(组)【专题目录】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧技巧2：一元一次不等式的解法的应用技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)不等式或组不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变解法①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.一元一次不等式组定义一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.解法先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
四种不等式组(a<b)解集图示口诀【注意】1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．3．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；(7)写出答案(包括单位名称)．【技巧归纳】基本不等式组的解集⎩⎨⎧≥≥b x a x x ≥b 大大取大⎩⎨⎧≤≤b x a x x ≤a 小小取小⎩⎨⎧≤≥bx a x a ≤x ≤b 大小小大中间找⎩⎨⎧≥≤b x a x 无解大大小小解不了技巧1：一元一次不等式组的解法技巧【类型】一、解普通型的一元一次不等式组12x ＜6，－2≤0的解集，在数轴上表示正确的是()2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．（x ＋2），①＋15＞0.②【类型】二、解连写型的不等式组3．满足不等式组－1<2x －13≤2的整数的个数是()A ．5B ．4C ．3D ．无数4．若式子4－k 的值大于－1且不大于3，则k 的取值范围是____________．5．用两种不同的方法解不等式组－1<2x －13【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解．6．解不等式|3x －12|≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解7．解不等式3x －62x ＋1<0.参考答案1．C2．解：由①得，x≥－1.由②得，x ＜45.∴不等式组的解集为－1≤x ＜45.表示在数轴上，如图所示．3．B 4.1≤k ＜55．解：方法1解不等式①，得x>－1.解不等式②，得x≤8.所以不等式组的解集为－1<x≤8.方法2：－1<2x －13≤5，－3<2x －1≤15，－2<2x≤16，－1<x≤8.6．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a ＞0)，可知－a ＜x ＜a.解：由|3x －12|≤4，得－4≤3x －12≤4.－4，①②解不等式①，得x≥－73.解不等式②，得x≤3.所以原不等式的解集为－73≤x≤3.点拨：7．解：∵3x －62x ＋1＜0，∴3x －6与2x ＋1异号．即：－6＞0，＋1＜0或＜0，＋1＞0.解(Ⅰ)＞2，＜－12.∴此不等式组无解．解(Ⅱ)＜2，＞－12.∴此不等式组的解集为－12＜x ＜2.∴原不等式的解集为－12＜x ＜2.技巧2：一元一次不等式的解法的应用【类型】一、直接解不等式1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)x ＞13x －2；(2)4x －13－x ＞1；(3)x ＋13≥2(x ＋1)．2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．解不等式：4－3x 3－1＜7＋5x 5.解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)．①去括号，得20－15x －1＜21＋15x.②移项，合并同类项，得－30x ＜2.③系数化为1，得x ＞－115.④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式3．解关于x 的不等式ax －x －2＞0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4．当m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m)的解是非负数？5＋3y ＝10，－3y ＝2的解满足不等式ax ＋y ＞4，求a 的取值范围．【类型】四、解与新定义综合的不等式6．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.(1)求(－2)★3的值；(2)若3★x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来．【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7．已知关于x 的不等式3x －m ≤0的正整数解有四个，求m 的取值范围．8．关于x 的两个不等式①3x ＋a 2<1与②1－3x>0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值；(2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围．参考答案1．解：(1)x＞13x－2，23x＞－2，x＞－3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)4x－13－x＞1，4x－1－3x＞3，x＞ 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(3)x＋13≥2(x＋1)，x＋1≥6x＋6，－5x≥5，x≤－1.2．解：第①步开始错误，应该改成：去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)．去括号，得20－15x－15＜21＋15x.移项，合并同类项，得－30x＜16.系数化为1，得x＞－8 15 .3．解：移项，合并同类项得，(a－1)x＞2，当a－1＞0，即a＞1时，x＞2a－1；当a－1＝0，即a＝1时，x无解；当a－1＜0，即a＜1时，x＜2a－1.4．解：解方程得x ＝－313(m ＋1)，由题意得－313(m ＋1)≥0，解得m ≤－1.5．解：2x ＋3y ＝10，－3y ＝2，＝2，＝2.代入不等式得2a ＋2＞4.所以a ＞1.6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.(2)∵3★x ＜13，∴3(3－x)＋1＜13，去括号，得9－3x ＋1＜13，移项，合并同类项，得－3x ＜3，系数化为1，得x ＞－1.在数轴上表示如图所示．7．解：解不等式得x ≤m 3，由题意得4≤m 3＜5，解得12≤m ＜15.方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．8．解：(1)由①得x ＜2－a 3，由②得x ＜13，由两个不等的解集相同，得2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)由不等式①的解都是②的解，得2－a 3≤13，解得a ≥1.技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【类型】一、与方程组的综合问题1．已知实数x ，y 同时满足三个条件：①x －y ＝2－m ；②4x －3y ＝2＋m ；③x ＞y.那么实数m 的取值范围是()A ．m ＞－2B ．m ＜2C ．m ＜－2D ．m ＞22＋y ＝－7－a ，－y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围；(2)化简|a －3|＋|a ＋2|.3．在等式y ＝ax ＋b 中，当x ＝1时，y ＝－3；当x ＝－3时，y ＝13.(1)求a ，b 的值；(2)当－1＜x ＜2时，求y 的取值范围．【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题题型1：已知解集求字母系数的值或范围4．已知不等式(a －2)x ＞4－2a 的解集为x ＜－2，则a 的取值范围是__________．5－a ＜1，－2b ＞3的解集为－1＜x ＜1，求(b －1)a ＋1的值．题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6＞2，＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为()A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤87－a ≥0，－b ＜0的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a ，b 的值．题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8－1＞0，－a ＜0无解，则a 的取值范围是__________．91＜a ①，＋5＞x －7②有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．B2．解：(1)＝－3＋a ，＝－4－2a.∵x 为非正数，y 3＋a ≤0，4－2a ＜0，解得－2＜a ≤3.(2)∵－2＜a ≤3，即a －3≤0，a ＋2＞0，∴原式＝3－a ＋a ＋2＝5.3．解：(1)将x ＝1时，y ＝－3；x ＝－3时，y ＝13代入y ＝ax ＋b ＋b ＝－3，3a ＋b ＝13，＝－4，＝1.(2)由y ＝－4x ＋1，得x ＝1－y 4.∵－1＜x ＜2，∴－1＜1－y 4＜2，解得－7＜y ＜5.4．a ＜25．－a ＜1.①，－2b ＞3.②，解①得x ＜a ＋12；解②得x ＞2b ＋3.根据题意得a ＋12＝1，且2b ＋3＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9.6．A7．解：解不等式组得a 2≤x ＜b 3.∵不等式组仅有整数解1，2，3，∴0＜a 2≤1，3＜b 3≤4.解得0＜a ≤2，9＜b ≤12.∵a，b为整数，∴a＝1，2，b＝10，11，12. 8．a≤19．＋1＜a①，＋5＞x－7②，解不等式①得x＜a－1.解不等式②得x＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x＜a－1，则a－1＞－6，a＞－5.【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：12x-≤，解得：3x≤，则不等式12x-≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2-3【详解】解：由题意得：130 x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式①得:x>1+a,解不等式②得:x≤3 b-不等式组的解集为:1+a＜x≤3b- 不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为:-2,-3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（）.A ．m ＞3B ．m≥3C ．m≤3D ．m ＜3【答案】C【解析】详解：841x x x m +<-⎧⎨>⎩①②，解①得，x>3；解②得，x>m ，∵不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x>3，则m ⩽3.故选：C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】解：设要答对x 道．10(5)(20)120x x +-⨯->，10 1005 120x x -+>，15 220x >，解得：443x >，根据x 必须为整数，故x 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．故选C ．一元一次不等式(组)（达标训练）一、单选题1．若m n >，则下列不等式一定成立的是（）．A ．2121m n -+>-+B ．1144m n ++>C ．m a n b+>+D ．am an-<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、∵m >n ，∴-2m <-2n ，则-2m +1<-2n +1，故该选项不成立，不符合题意；B 、∵m >n ，∴m +1>n +1，则1144m n ++>，故该选项成立，符合题意；C 、∵m >n ，∴m +a >n +a ，不能判断m +a >n +b ，故该选项不成立，不符合题意；D 、∵m >n ，当a >0时，-am <-an ；当a <0时，-am >-an ；故该选项不成立，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（）A ．100x +80（10﹣x ）＞900B ．100+80（10﹣x ）＜900C ．100x +80（10﹣x ）≥900D ．100x +80（10﹣x ）≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据题意，得：100x +80（10﹣x ）≤900，故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．3．不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是（）A ．3x >-B ．5x ≤C ．35x -<≤D ．无解【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集．【详解】由30x +>得：3x >-由50x -≤得：5x ≤∴35x -<≤故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键．4．不等式3﹣x ＜2x +6）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可．【详解】解：326x x -<+，移项得362x x -<+，合并同类项得33x -<，系数化1得1x >-，∴不等式326x x -<+的解集是1x >-，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键．5．在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断．【详解】解：在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A．故选：A．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．二、填空题6．超市用1200元钱批发了A，B两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A种西瓜__________kg．名称A B批发价（元/kg）43零售价（元/kg）64【答案】120【分析】设批发A种西瓜x kg，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．【详解】解：设批发A种西瓜x kg，则（6-4）x+120043x-×（4-3）≥1200×40%，解得x≥120．答：该超市至少批发A种西瓜120kg．故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．7．不等式2103x--<的解集为____．【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解．【详解】解：去分母，得：230x --<，移项，得：23x <+，合并同类项，得：5x <．∴不等式的解集为：5x <．故答案为：5x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意∶不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．三、解答题8．解不等式组：()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示．【答案】3x ≥，数轴表示见解析【详解】解：解不等式36x x -≤，得：3x ≥，解不等式312(1)x x +>-，得：3x >-，∵3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥，∴不等式组的解集是：3x ≥．在数轴上表示解集如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．一元一次不等式(组)（提升测评）1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A ，B ，C 分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；②将这条数轴在点A 处剪断，点A 右侧的部分称为数轴I ，点A 左侧的部分称为数轴Ⅱ；③平移数轴Ⅱ使点A 位于点B 的正下方，如图2所示；④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧．则整数k 的最小值为（）A ．511B ．510C ．509D ．500【答案】A 【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >，列出不等式，求得最小整数解即可求解．【详解】解：依题意，4AC =，2042AB =∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧，∴k ⋅AC AB >，即42042k >，解得15102k >， k 为正整数，∴k 的最小值为511，故选A ．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键．2．不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．【详解】解：去括号，得：21<3x x -，移项，得：3+2<1x x -，合并同类项，得：<1x -，系数化为1，得>1x -，在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b +=．则下列结论正确的是（）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c=【答案】B【分析】A.根据0a b ＞＞，则11a b ＜，根据112a c b +=，得出c b ＜；B.根据112a c b+=，得出()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：21b ac ==，即可得出答案；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b +=，即可判断出答案；D.根据解析B 可知，22b ac c ==，即可判断．【详解】A.∵0a b ＞＞，∴11a b＜，∵112a c b+=，∴11c b，∴c b ＜，故A 错误；B.∵112a c b +=，即2a c ac b+=，∴()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：222ac b =，21b ac ∴==，解得：1b =±，故B 正确；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，∴a ，b ，c 可能同时相等，故C 错误；D.根据解析B 可知，2b ac =，把2a =代入得：22b c =，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．4．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（）A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．2【答案】D 【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可．【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8，解不等式②得：y ≤a ，∴原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ，∵不等式组至少有3个整数解，∴a ≥﹣5，1133x a x x++=--，去分母得∶1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a -=，∵分式方程有非负整数解，∴x ≥0（x 为整数）且x ≠3，∴42a -为非负整数，且42a -≠3，∴a ≤4且a ≠﹣2，∴符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4，∴符合条件的所有整数a 的和是：2，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +-=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+-a b c 的最小值是（）A ．111-B ．57-C ．37D ．711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c ＝5和2a +b ﹣3c ＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a ，b ，c 均是非负数，列出c 的不等式组，可求出未知数c 的取值范围，再把m ＝3a +b ﹣7c 中a ，b 转化为c ，即可得解．【详解】解：联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩，解得，73711a c b c=-⎧⎨=-⎩，由题意知：a ，b ，c 均是非负数，则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得37711c ≤≤，∴3a +b ﹣7c＝3（﹣3+7c ）+（7﹣11c ）﹣7c＝﹣2+3c ，当c ＝37时，3a+b ﹣7c 有最小值，即3a+b ﹣7c ＝﹣2+3×37＝﹣57．故选：B ．【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．二、填空题6．一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >-【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得254()0m =-->Δ，进行计算即可得．【详解】解：根据题意得254()0m =-->Δ，解得，254m >-，故答案为：254m >-．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算．7．若关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，则m 的取值范围是________．【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：关于x 的分式方程232x m x -=-的解为：x ＝6−m ，∵分式方程有可能产生增根2，∴6−m ≠2，∴m ≠4，∵关于x 的分式方程232x m x -=-的解是非负数，∴6−m ≥0，解得：m ≤6，综上，m 的取值范围是：m ≤6且m ≠4．故答案为：m ≤6且m ≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a 个，销售这批模型的利润为w 元．①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元【分析】（1.（2）①设“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个，根据利润关系即可表示w 与a 的关系式.②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a 的取值范围，利用一次函数性质即可求解.（1）解：设“天宫”模型成本为每个x 元，则“神舟”模型成本为每个10x +（）元.依题意得100100510x x =++.解得10x =.经检验，10x =是原方程的解.答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；（2）解：① “神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.② 购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13.()12003a a ∴≤-.解得：50a ≤.51000w a =+ .50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时，元.即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.9．解不等式组：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解．【详解】解：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②，解不等式①，得1x ≥-，解不等式②，得>7x -，∴该不等式组的解集为1x ≥-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．。
初二数学知识点梳理：不等式待定系数的取值范围
初二数学知识点梳理：不等式待定系数
的取值范围
不等式待定系数的取值范围
不等式待定系数的取值范围就是已知不等式或不等式组的解集或特殊解，确定不等式中未知数的系数的取值范围。
不等式待定系数的取值范围求法：
一、根据不等式的解集确定字母取值范围
例:
如果关于x的不等式x>2a+2．的解集为x<2，则a的取值范围是
A．a<0B．a<一l．a>lD．a>一l
解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B．
二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围
例：
已知不等式组
的整数解只有、6。
求a和b的范围．
解：解不等式组得
，借助于数轴，如图:
知：2+a只能在4与之间。
只能在6与7之间．
∴4≤2+a<,6<
≤7
∴2≤a<3,13<b≤1
三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围
例：
已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x 的取值范围．
解：由2a－3x＋1＝0，可得a=
;由3b－2x－16＝0，可得b=
又a≤4＜b，
所以,
≤4＜
，
解得:-2＜x≤3
四、逆用不等式组解集求解
例：。
中考数学函数自变量取值范围真题与分析
中考数学函数自变量取值范围真题与分析函数是初中数学中一个十分重要的内容，为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。
函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题。
初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型，从这三方面进行函数自变量取值范围（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。
一、函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。
典型例题：例1：函数y=x1 的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【】A．B．C．D．【答案】D。
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出x 1-的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使x 1-在实数范围内有意义，必须x 10-≥x 1⇒≥。
故在数轴上表示为：。
故选D 。
例2：函数y=1x 2- 中自变量x 的取值范围是【 】A ．x=2B ．x≠2C ．x ＞2D ．x ＜2【答案】B 。
【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使1x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠。
故选B 。
例3：函数x+2x 的取值范围是【 】A ．x ＞﹣2B ．x≥2C ．x≠﹣2D ．x≥﹣2【答案】A 。
不等式(组)中待定字母的取值范围
B 40 D 50
50
）
Ａ． a ≤ -1
Ｂ． 1 a 2
Ｃ． a ≥ 0
Ｄ． a ≤ 2
1 x ≤ 2， 9. 若不等式组 有解，则 m 的取值范围是______． x m
10.已知点 P(a，b) 在第二象限， 向下平移 4 个单位得到点 Q ， 点 Q 在第三象限， 那么 b 的取值范围是______． 11.如果关于 x 的不等式 (a 1) x a 5 和 2 x 4 的解集相同，则 a 的值为______．
10 ， 观察到不等号的方向已作了改变， 7
例 18、已知不等式 4x－a≤0，只有四个正整数解 1，2，3，4，那么正数 a 的取值范围是什 么？ 分析：可先由不等式解集探求字母的取值范围，可采用类比的方法。 解：由 4x－a≤0 得 x≤
a 。 4
因为 x≤4 时的正整数解为 1，2，3，4； x≤4.1 时的正整数解为 1，2，3，4； „ x≤5 时的正整数解为 1，2，3，4，5。 所以 4≤
4
致，从而断定 2k+1<0，所以 k<
1 。 2 10 ，求关于 x 的不等式 ax>b 7
例 17、如果关于 x 的不等式(2a－b)x＋a－5b>0 的解集为 x< 的解集。 分析： 由不等式(2a－b)x＋a－5b>0 的解集为 x< 故可知(2a－b)<0，且
5b a 10 ，解此方程可求出 a，b 的关系。 2a b 7 10 解：由不等式(2a－b)x＋a－5b>0 的解集为 x< ，可知： 7 5b a 10 3 ，得 b= a 。 2a－b<0，且 2a b 7 5 3 结合 2a－b<0，b= a ，可知 b<0，a<0。 5 3 则 ax>b 的解集为 x< 。 5
数学 中考 第一轮 单元讲义(含中考真题)第09章 不等式与不等式组
3 ,则 a 的取值范围是( 2a
)
A.a>0 B.a>2 C.a<0 D.a<2 分析 分析题中不等式解集的特点,结合不等式的性质 3,可知 2-a<0,即 a>2.故选 B. 三、思想方法专题 专题 4 数形结合思想 【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答.解决 此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有 形思数，顺利解决问题. 例 5 关于 x 的不等式 2x-a≤-1 的解集如图 9-60 所示， 则 a 的取值是 （ ） A．0 B．-3 C．-2 D．-1 分析 由图 9-60 可以看出， 不等式的解集为 x≤-1， 而由不等式 2x-a≤-1， 解得 x≤ 所以
15 x , x 根据题意,得 2 600 x 120(15 x) 5000.
解得 5 x
20 . 3
因为 x 为正整数,所以满足条件的 x 为 5 或 6. 所以共有两种购票方案. 方案一:购买 A 种票 5 张,B 种票 10 张. 方案二:购买 A 种票 6 张,B 种票 9 张. (2)方案一的购票费用为 600×5+120×10=4200(元); 方案二的购票费用为 600×6+120×9=4680(元). 因为 4500 元<4680 元,所以方案一更省钱. 【解题策略】运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学 符号语言. 二、规律方法专题 专题 2 求一元一次不等式（组）的特殊值 【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式（组） ，然后在解集的范围 内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式（组）的解集，再由题意求出符合条件的数值. 例 2 求不等式
中考数学备考复习指导
中考数学备考复习指导邻近中考，学生要有一定的自主性，光随着老师跑没用。
由于每位学生对知识点的掌控程度不同，复习进度也不同。
下面是作者为大家整理的关于中考数学备考复习指导，期望对您有所帮助!中考数学复习指导如何审题一、审题时注意力要高度集中，思维直接指向试题，一定要眼到、手到、心到。
尽管是中考这种关键时刻，也并不是所有的考生都能把注意力集中到试卷上，特别是一些心理素养欠佳的考生。
在规定时间内高度集中注意力，这是考试基本功之一。
这种基本功的训练在于平时。
同学们自己在做练习时，包括做回家作业，不妨试试限时完成法，即规定自己在一定的时间内，集中注意力完成练习。
不要有停顿，不要喝水，不要说话。
二、审题时可以采取以下几个步骤：1、第一遍粗读题，使自己大致了解题目的意思。
2、第二遍精读题，要逐字逐句地读，仔细知道题目中各个条件的含义。
读的进程中不妨用笔把题目中的.重要条件，重要语句划下来，圈出来，以提示自己，引发重视。
3、第三遍重读题。
作完一道习题后应回过头来重新审题，看看哪些数据、关系还没有用上，已用上的用得是否准确;关键词句的知道是否准确、到位;结果是否符合题意，符合生活体会。
三、要学会翻译数学题。
别以为只有语言需要翻译，数学同样也需要翻译，就是把大家觉得特别长的题翻译成自己能够知道的简单的语言，把文字性的东西翻译成数学语言，进一步用代数式或者是符号语言来表达，有助于审题。
四、审题时要克服思维定势的影响。
考试之前，考生做了大量的题目，考试不可避免地会在某些地方令考生有似曾相识的感觉，这本来是件好事，但考生的思维定式把这变成了一件坏事。
有的考生看题还没过半，发觉类似的题目老师讲授过，立刻兴奋地动笔，有的同学乃至靠记忆老师讲过的解法来依葫芦画瓢，谁知道试题的其他条件、需要求证的结果已经做过变化，错解是必定结果。
中考数学复习指导方法对概念的深度知道：考生对数学知识的学习与运用都应基于对数学概念的知道，而概念常常是贯穿全部知识点从形成到运用始末的主线，在对概念复习中不仅应区分它的本质与非本质属性、内涵和外延，还应充分发掘作为概念的判定与性质的双重属性，发挥概念在章节复习中的主线作用在实际复习中。
2021年中考数学专题复习 专题45 待定系数法(教师版含解析)
专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
2. 待定系数法的应用(1)分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
在初中竞赛中经常出现。
a.确定所求问题含待定系数的解析式。
b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
(2)求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。
c.解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式。
(3)解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(4)分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。
【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨
【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨锦元数学工作室编辑在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
初三数学点击不等式(组)中待定字母的取值范围知识精讲
初三数学点击不等式（组）中待定字母的取值范围知识精讲初三数学点击不等式(组)中待定字母的取值范围知识精讲在中学检查室中经常出现不等式（组）的字母值范围确定问题。
这类试题技巧性强、灵活性强、难度大，经常影响和阻碍学生的正常思维。
为了更快、更准确地解决此类试题，以下简要介绍几种解决方案供参考。
我能把握全局，很容易解决问题?2x?y?1?3m①例1.（孝感市）已知方程?满足x?y?0，则（）十、2岁？1.M②? 上午1b。
M1c。
M1d。
M一解析：本题解法不惟一。
可先解x、y的方程组，用m表示x、y，再代入x?y?0，转求解关于M的不等式；但是，将这两个方程加在一起，直接得到X+y与m之间的关系，然后将X+y<0转化为m的不等式，更为方便。
①+②得3(x?y)?2?2m，那么x呢？Y2.200万？0，解决方案是m？？所以选择C。
二.利用已知，直接求解1.十、十、2x2m？？2例2（成都）如果方程式1关于x？解是一个不平等系统吗？22? xx？4.2（x？3）？十、8.找出M的值范围。
解析：此题是解方程与解不等式的综合应用。
解方程可得x??m?2因为x2？4.0所以（？M？2）2？4.0所以m??4且m?0；①解不等式组得x??2，再次从标题的意义上说，明白吗？M2.2.答案是m？0通过合成得到的M值范围① 和② 是m吗？0例3.已知关于x的不等式(1?m)x?2的解集是x?②2，那么M的取值范围是（）1？文科硕士M0b。
M1c。
M0d。
M一解析：观察不等式及解集可以发现，不等号的方向发生了改变，于是可知不等式的两边同时除以了同一个负数，即1?m?0，所以m?1。
故本题选b。
III比较解决方案集x95x1例4.（东莞市）若不等式组?的解集为x?2，则m的取值范围是（）十、M1.上午2b。
M2c。
M1d。
M一x2解析：原不等式组可变形为?，因为不等式的解集为x?2，根据“同大取大”十、M1.根据法律，M？1.2.答案是m？1.所以选择C。
2020年中考复习——常用解题方法【待定系数法】(一)讲义设计
2020中考复习——常用解题方法【待定系数法】（一） 知识点梳理： 待定系数法，一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等 。
使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
典型例题：【例1】已知y 与x 的函数关系式是由两部分的和组成，一部分与x 2成正比，另一部分是常数，且y 与x 的对应关系如表，则y 与x 的函数关系式为( )A. y =2x 2−5B. y =2x −1C. y =−25x 2+35D. y =2x +1【解】：由题意设y 与x 的解析式为y =ax 2+b ，把x =2，y =3和x =−1，y =−3代入得{4a +b =3a +b =−3，解得{a =2b =−5，∴y与x的函数关系式为y=2x2−5．【解题反思】本题考查了待定系数法求h函数的解析式.解题的关键是根据题意设函数解析式，然后将x、y的值代入所设解析式即可求出待定的系数即可作出判断．【例2】银行职员小吴观察了某一周五个工作日每天的存款人次x(百人次)与存款金额y(万元)后，获得如下表的数据：请你观察表中的数据，猜一下y与x之间可近似看成是________函数的关系．【解】：设解析式为y=kx+b，∴2k+b=30；2.4k+b=35.6；解得k=14，b=2，∴y=14x+2，当x=2.9时，y=42.6，基本适合，所以可能满足一次函数关系式．【解题反思】解决本题的关键是应先猜测相应的函数关系，进而把具体点的坐标代入进行验证．可假设为一次函数关系式，把任意两点代入，求得相应的函数解析式，看其余点的坐标是否适合即可．【例3】待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x 3−1．因为x3−1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3−1可以分解成x3−1=(x−1)(x2+ax+b)，展开等式右边得：x3+(a−1)x2+(b−a)x−b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a−1=0，b−a=0，−b=−1，可以求出a=1，b=1.所以x3−1=(x−1)(x2+x+1)(1)若x取任意值，等式x2+2x+3=x2+(3−a)x+s恒成立，则a=_____；(2)已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．(3)请判断多项式x4−x2+1是否能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．【解】：(1)∵x2+2x+3=x2+(3−a)x+s，∴3−a=2，a=1；(2)设x4+x2+1=(x2+ax+1)(x2+x+1)=x4+(a+1)x3+(a+2)x2+(a+1)x+1，a+1=0，a=−1，多项式的另一因式是x2−x+1；(3)不能，理由：∵设x4−x2+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)=x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1，∴a+b=0，ab+2=−1，解得：a=√3或−√3，则b=−√3或√3，∴x4−x2+1=(x2+√3x+1)(x2−√3x+1)．而系数中有√3，∴多项式x4−x2+1是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积．【解题反思】此题考查因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键．(1)直接对比系数得出答案即可；(2)设x4+x2+1=(x2+ax+1)(x2+x+1)，进一步展开对比系数得出答案即可；(3)设x4−x2+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)，进一步展开对比系数，系数有解则能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，否则不能．综合训练一、选择题1.如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，那么圆珠笔的售价y(元)与圆珠笔的支数x之间的函数关系式是()A. y=32x B. y=23x C. y=12x D. x=18x2.若x=2m+1，y=4m+3，则x与y之间的满足的关系式是()A. y=x2+2x−4B. y=x2+2x+4C. y=x2−2x−4D. y=x2−2x+43.二次函数y=ax2+bx+c过点A(−3,5)，(−2,6)，(1,5)三点，则c的值为()A. 5.B. 6.C. 7.D. 8.4.已知x=2−a，y=3+2a，则y关于x的函数关系式是()A. y=−2x+7B. y=−2x+5C. y=−x+1D. y=2x−15.已知一次函数y=kx+b的图像如图，则下列说法：①k<0,b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若点A(x1,y1)，B(x2,y2)是这个函数的图像上的两点，且x1<x2，则y1−y2>0；④当−1≤x≤2时，1≤y≤4，则b=2.其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题6.已知y与x成正比例，且x=2时y=−6，则y与x的解析式为_________．7.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为．8.若点(−3,2)、(a,a+1)在函数y=kx−1的图象上，则k=_______，a=______．9.已知y+5与3x+4成正比例，且当x=1时，y=2，则y与x的关系式为；10.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示，则旅客可免费携带的行李的质量是_______kg．三、解答题11.小明根据某个一次函数关系式填写了下面的这张表：其中有一格不慎被墨迹遮住了，想想看，该空格里原来填的数是多少⋅写出你的理由．12.已知函数y=2y1−y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4，当x=2时，y=3，求y与x的函数关系式．13.如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点D(4,4)在反比例函数y=kx (x>0)的图象上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．(1)求k，b的值；(2)求△ACE的面积．14.舟山市最大的儿童游乐园2020年元月一日正式开放．如图所示，图中点的横坐标x表示儿童乐园从8：30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y表示到达儿童乐园的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y={ax2,0≤x≤30&b(x−90)2+n,30≤x≤90,10：00之后来的游客较少可忽略不计．(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证游乐园内游客的游玩质量，园内人数不超过684人，后来的人在园外休息区等待．从10：30开始到12：00园内陆续有人离园，平均每分钟离园4人，直到园内人数减少到624人时，园外等待的游客可全部进入．请问园外游客最多等待多少分钟？15. 如图，在直角坐标系中，直线y =−12x +3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x =1的抛物线过B ，C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接AC ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点D 为第一象限内抛物线上一点，使四边形ACDB 面积最大？求点D 的坐标；(3)在X 轴上是否在点P ，在抛物线上是否存在点Q ，使以A 、C 、P 、Q 为顶点四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|={a(a ≥0)−a(a <0)． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y =|kx −3|+b 中，当x =2时，y =−4;当x =0时，y =−1.(1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质；(3)已知函y =12x −3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx −3|+b ≤12x −3的解集．17.如图，抛物线y=ax2+2x+c经过A(−1,0)，B两点，且与y轴交于点C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与直线y=−x−1交于A，E两点，坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线与直线y=−x−1交于A，E两点，P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．答案和解析1. A解：依题意单价为18÷12=32元，∴y =32x. 2. D解：∵x =2m +1，y =4m +3=22m +3 又∵x 2=22m +2·2m +1，2x =2·2m +2 ∴x 2−2x =22m +2·2m +1−(2·2m +2) =22m −4=4m −4∴y =4m −4+4=x 2−2x +43. B解：把三个点的坐标代入，可得{9a −3b +c =54a −2b +c =6a +b +c =5，解得{a =−13b =−23c =6，4. A解：由x =2−x ，得到a =2−x ，代入y =3+2a ，得：y =3+2(2−x)=−2x +7．5. C解：∵图象过第一，二，四象限， ∴k <0，b >0，故①是正确的，符合题意； 根据图像可以直接得出x =m 时y =0，故②是正确的，符号题意， ∴y 随x 增大而减小，∵x 1<x 2∴y 1−y 2>0，故③是正确的，符号题意， 根据图像可知当x =−1时y =4， 当x =2时y =1，代入一次函数表达式为{−k +b =42k +b =1解得{k =−1b =3，故④错误的，不符号题意， 故①②③是正确的，故正确的有3个．6. y =−3x解：∵y 与x 成正比例，∴y 与x 的函数解析式为y =kx ， ∵当x =2时，y =−6，∴−6=2k ，解得：k =−3，∴y 与x 之间的函数解析式是y =−3x ，7. y =100x解：设y =k x ，∵200度近视眼镜镜片的焦距是0.5m ， ∴k =200×0.5=100，∴y =100x ，8. −1；−1解：把(−3,2)代入y=kx−1，得−3k−1=2，∴k=−1，∴解析式为：y=−x−1，把(a,a+1)代入y=−x−1，得：−a−1=a+1，解得a=−1．9.y=3x−1解：设y与x的函数关系式为y+5=k(3x+4)，∴5+2=k(3×1+4)，解得k=1，∴y+5=1(3x+4)，∴y=3x−1．∴y与x的函数关系式为y=3x−15．10.30解：设一次函数y=kx+b，∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10，∴{60k+b=680k+b=10∴{k=1 5b=−6,∴所求函数表达式为y=15x−6，当y=0时，15x−6=0，∴x=30，故旅客可免费携带的行李的质量是30kg．11.解：设y=kx+b，根据图中的信息得{3=−2k+b1=b，求得：k=−1，b=1，∴y=−x+1当y=−1时，−1=−x+1，x=2，所以空格里原来填的数是2．12.解：由题意得：y 1=k 1(x +1), y 2=k 2x ， ∵y =2y 1−y 2，∴y =2k 1(x +1)−k 2x ， ∴{4=4k 1−k 23=6k 1−k 22, 解得：{k 1=14k 2=−3, ∴y =12(x +1)−−3x 即y =12x +3x +12(x ≠0)．13. 解：(1)∵A(1,0)，D(4,4)∴AD =√(1−4)2+(0−4)2=5，∵ABCD 是菱形，∴AD =DC =BC =AB =5，且DC//AB ，AD//BC ，∴可得B(6,0)，C(9,4)，∵点D(4,4)在反比例函数y =k x (x >0)的图象上，∴k =16，将点C(9,4)代入y =23x +b ，∴b =−2；∴k ，b 的值分别为16和−2．(2)由(1)可知一次函数解析式为y =23x −2，∴E(0,−2)，令y =0，可得直线y =23x −2与x 轴交点为(3,0)，记作G ，过C 作CH 垂直x 轴，垂足为H ，EC 与x 轴交点为G ，则CH 为△AGC 的高，OE 为△AGE 的高，∴S △AEC =S △AGE +S △AGC=12AG ×OE +12AG ×CH ，∵AG =3−1=2，OE =2，CH =4，∴S △AEC =12×2×2+12×2×4=6，答：三角形ACE 的面积为6．14. 解：(1)由图象可知，当0≤x ≤30时，y =ax 2，300=a ×302，解得a =13， 当30≤x ≤90时，y =b(x −90)2+700，b ×(30−90)2+700=300，解得b =−19，∴图中曲线对应的函数解析式为y ={13x 2(0≤x ≤30),−19(x −90)2+700(30≤x ≤90).(2)由题意，得−19(x −90)2+700=684，解得x =78或x =102(舍去)．而684−6244=15(分钟)，∴15+30+(90−78)=57(分钟)．故馆外游客最多等待57分钟．15. 解：(1)y =−12x +3，令x =0，则y =3，令y =0，则x =6，故点B 、C 的坐标分别为(6,0)、(0,3)，抛物线的对称轴为x =1，则点A(−4,0)，则抛物线的表达式为：y =a(x −6)(x +4)=a(x 2−2x −24)，即−24a =3，解得：a =−18，故抛物线的表达式为：y =−18x 2+14x +3…①；(2)过点D 作y 轴的平行线交BC 于点G ，连接CD ，DB ，将点B 、C 坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：y =−12x +3，设点D(x,−18x 2+14x +3)，则点G(x,−12x +3)，∴DG =−18x 2+14x +3−(−12x +3)=−18(x −3)2+98，∴S △DCB =12×DG ×OB =12×6×98=278，∴四边形ACDB 面积=S △ACO +S △BCO +S △BCD =12×4×3+12×6×3+278=1478此时面积最大，∴当x =3时，y =218， ∴点D(3,218)； (3)假设在X 轴上是否在点P ，在抛物线上是否存在点Q ，使以A 、C 、P 、Q 为顶点四边形是平行四边形，如果以AC 为对角线的平行四边形不符合题意，∴不存在这样的平行四边形；如果以AC 为边，存在这样的四边形CAP 1Q 1，如图，当y =3时，−18x 2+14x +3=3，解得x =0或2，∴点Q 1的坐标为(2,3)，如果以AC 为边，存在这样的四边形CAP 2Q 2，如图，当y =−3时，−18x 2+14x +3=−3，解得x =8或−6，∴点Q 1的坐标为(8,−3)，(−6,−3)综上，点Q 的坐标为：(2,3)或(8,−3)或(−6,−3)．16. 解：(1)∵在函数y =|kx −3|+b 中，当x =2时，y =−4；当x =0时，y =−1， ∴{|2k −3|+b =−4|−3|+b =−1，得{k =32b =−4， ∴这个函数的表达式是y =|32x −3|−4；(2)∵y =|32x −3|−4，∴y ={32x −7(x ≥2)−32x −1(x <2)， ∴函数y =32x −7过点(2,−4)和点(4,−1)；函数y =−32x −1过点(0,−1)和点(−2,2)； 该函数的图象如右图所示，性质是当x >2时，y 随x 的增大而增大；(3)由函数图象可得，不等式|kx −3|+b ≤12x −3的解集是1≤x ≤4．17. 解：(1)∵抛物线过点A(−1,0)，C(0,3)，将A(−1,0)，C(0,3)代入y =ax 2+2x +c ，得：{a −2+c =0c =3，解得：{a =−1c =3, ∴抛物线的函数表达式为y =−x 2+2x +3；(2)联立直线AE 和抛物线的函数关系式成方程组，得：{y =−x −1y =−x 2+2x +3， 解得：{x 1=−1y 1=0，{x 2=4y 2=−5， ∴点E 的坐标为(4,−5)，①Q 在x 轴上，设Q(x,0)，则AQ =EQ ，即x +1=√(4−x )2+52，解得x =4，故Q 点坐标为(4,0)；②Q 在y 轴上，设Q(0,y)，则AQ =EQ ，即√12+y 2=√42+(y +5)2，解得y =−4，故Q 点坐标为(0,−4)，故存在Q 点坐标，分别为(4,0)，(0,−4)．(3)由(2)得点E 的坐标为(4,−5)，∴AE =√[4−(−1)]2+(−5−0)2=5√2，∵点B 的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)，∴∠CBO =45°，BC =3√2，∵直线AE 的函数表达式为y =−x −1，∴∠BAE =45°=∠CBO ，设点P 的坐标为(m,0)，则PB =3−m ．∵以P 、B 、C 为顶点的三角形与△ABE 相似，∴PBBC =ABAE或PBBC=AEAB，∴3√2=5√2或3√2=5√24，解得：m=35或m=−92，∴点P的坐标为(35,0)或(−92,0)．。
中考数学复习讲义课件 重点中学自主招生试题分类专题 题型二 方程与不等式
18．已知关于x的方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0. (1)若这个方程有实数根，求k的取值范围； (2)若以方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0的两个根 为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y＝m/x的图 象上，求满足条件的m的最小值．
用水加满，这时容器内纯酒精与水之比为13，则容
器的容积为()
9．满足等式 x y＋y x－ 2021x－ 2021y＋ 2021xy＝2021 的
正整数对的个数是( B)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由 x y＋y x－ 2021x－ 2021y＋ 2021xy＝2021，得 ( xy－ 2021)( x＋ y＋ 2021)＝0. ∵ x＋ y＋ 2021＞0，∴ xy－ 2021＝0， ∴ xy＝ 2021，故 xy＝2021. 又 2021 是质数，且 x，y 都为正整数，
题型精讲
C
[归纳总结] 求代数式的值是经典题目，方法很多 很灵活，但基本思路要么变换已知，要么变换未知， 要么已知未知一起变，直到能代入求值．其中整体 思想的运用不容忽视，因为很多方程不需解，只需 变换成可以整体代入的形式即可求值． [易错分析] 解答本题时容易忽略题目中的隐含条 件，即二次根式有意义的条件，误将x＝4和x＝5代 入式子错选D答案．
m＋1＝1，2，3，6， m＝0，1，2，5，
即
m－1＝1，3，
m＝2，4，
S△ABC＝12×2 3× （2＋ 2）2－（ 3）2＝ 9＋12 2. 综上，△ABC 的面积为 1 或 9＋12 2.
中考专题复习 二次函数求有关参数取值范围 教案
课程主题二次函数求有关参数取值范围学习目标1．深入理解二次函数的性质，掌握数型结合的解题思想。
教学内容1．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x …﹣3 ﹣﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …其中，m=．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|=2有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．【分析】（1）把x=﹣2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．【解答】解：（1）把x=﹣2代入y=x2﹣2|x|得y=0，即m=0，故答案为：0；（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．【例题精讲】例1：（2016•三明）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C（﹣1，﹣2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得y P的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m=﹣1，∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；（2）当x=﹣2时，y p=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，∴当m=﹣2时，y p的最小值﹣2，此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．例2：（2016•厦门）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y=﹣x2+px+q，过点A与点（1，2），且m﹣q=25，在平移过程中，若抛物线y=﹣x2+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围．【分析】（1）根据点B的坐标可求出m的值，写出一次函数的解析式，并求出点A的坐标，最后利用点A、B两点的坐标求抛物线的解析式；（2）根据题意列方程组求出p、q、m、n的值，计算抛物线与直线最上和最下满足条件的解析式，并计算其顶点坐标，向下平移的距离主要看顶点坐标的纵坐标之差即可．【解答】解：（1）∵直线y=﹣4x+m过点B（3，9），∴9=﹣4×3+m，解得：m=21，∴直线的解析式为y=﹣4x+21，∵点A（5，n）在直线y=﹣4x+21上，∴n=﹣4×5+21=1，∴点A（5，1），将点A（5，1）、B（3，9）代入y=﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+6；（2）由抛物线y=﹣x2+px+q与直线y=﹣4x+m相交于A（5，n）点，得：﹣25+5p+q=n①，﹣20+m=n②，y=﹣x2+px+q过（1，2）得：﹣1+p+q=2③，则有解得：∴平移后的抛物线为y=﹣x2+6x﹣3，一次函数的解析式为：y=﹣4x+22，A（5，2），∵当抛物线在平移的过程中，a不变，∵抛物线与直线有两个交点，如图所示，抛物线与直线一定交于点A，所以当抛物线过点C以及抛物线在点A处与直线相切时，只有一个交点介于点A、C之间，①当抛物线y=﹣x2+bx+c过A（5，2）、C（0，22）时，得c=22，b=1，抛物线解析式为：y=﹣x2+x+22，顶点（，）；②当抛物线y=﹣x2+bx+c在点A处与直线相切时，，﹣x2+bx+c=﹣4x+22，﹣x2+（b+4）x﹣22+c=0，△=（b+4）2﹣4×（﹣1）×（﹣22+c）=0①，∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（5，2），﹣25+5b+c=2，c=﹣5b+27，把c=﹣5b+27代入①式得：b2﹣12b+36=0，b1=b2=6，则c=﹣5×6+27=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+6x﹣3，y=﹣（x﹣3）2+6，顶点坐标为（3，6），﹣6=；则0＜S＜．【点评】本题考查了二次函数的图象和图形变换，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线平移后的形状不变，故a不变；平移的距离要看二次函数的顶点坐标，所以求抛物线平移的距离时，只考虑平移后的顶点坐标即可．例3：（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【分析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．【解答】解：（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x2﹣2x，令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），当抛物线经过（﹣1，0）时，m=，当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=，∴m的取值范围为＜m≤．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．课堂巩固1.（2017•长春）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+得m2﹣4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣=，解得：m=2+或m=2﹣．综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴+2﹣n=1，解得：n=．∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．课后作业1．（2016•河北）如图，抛物线L：y=﹣（x﹣t）（x﹣t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP=12，（1）求k值；（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．【分析】（1）设点P（x，y），只要求出xy即可解决问题．（2）先求出A、B坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题．（3）根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在MP右侧，L于MP的交点就是最高点．（4）画出图形求出C、D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．【解答】解：（1）设点P（x，y），则MP=y，由OA的中点为M可知OA=2x，代入OA•MP=12，得到2x•y=12，即xy=6．∴k=xy=6．（2）当t=1时，令y=0，0=﹣（x﹣1）（x+3），解得x=1或﹣3，∵点B在点A左边，∴B（﹣3，0），A（1，0）．∴AB=4，∵L是对称轴x=﹣1，且M为（，0），∴MP与L对称轴的距离为．（3）∵A（t，0），B（t﹣4，0），∴L的对称轴为x=t﹣2，又∵MP为x=，当t﹣2≤，即t≤4时，顶点（t﹣2，2）就是G的最高点．当t＞4时，L与MP的解得（，﹣t2+t）就是G的最高点．（4）结论：5或78+．理由：对双曲线，当4≤x0≤6时，1≤y0≤，即L与双曲线在C（4，），D（6，1）之间的一段有个交点．①由=﹣（4﹣t）（4﹣t+4）解得t=5或7．②由1=﹣（6﹣t）（6﹣t+4）解得t=8+和8﹣．随t的逐渐增加，L的位置随着A（t，0）向右平移，如图所示，当t=5时，L右侧过过点C．当t=8﹣＜7时，L右侧过点D，即5≤t．当8﹣＜t＜7时，L右侧离开了点D，而左侧未到达点C，即L与该段无交点，舍弃．当t=7时，L左侧过点C．当t=8+时，L左侧过点D，即7≤t≤8+．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图形信息解决问题，学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面，属于中考常考题型．2．（2017•济南）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．∵四边形CDHO是矩形，∴OC=DH=6，∵tan∠DAH==2，∴AH=3，∵OA=4，∴CD=OH=1，∴D（1，6），把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有，解得，∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．∵∠CPA=90°，∴PC2+PA2=AC2，∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解得m=3±，∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．（3）①如图2中，易知直线AE的解析式为y=﹣x+4，x=1时，y=3，∴D′（1，3），平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m，把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m，∴m=3．②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，∴92﹣4×2×（4+m）＞0，∴m＜，③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+或2﹣（舍弃），综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．预习思考。
中考数学十大解题思路之待定系数法可修改全文
可编辑修改精选全文完整版中考数学十大解题思路之待定系数法中考数学十大解题思路之待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．【例1】(05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．【例2】已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．【解】 y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0) 将x=2，y=4代入1k y x =+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+．【解题反思】本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121y x =+不是反比例函数．【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：0093142a b c a b c a b c =++??=++??-=++?解这个方程组得143a b c =??=-??=?∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3 (2)2431y x x y x ?=-+?=-+? 解这个方程组得：1110x y =??=?，2221x y =??=-? ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)【解题反思】运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．【例4】已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．【例5】把分式21172x x x-+-化为部分分式．【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7【解】因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －1)(x －y+7)．五、待定系数法在多项式除法中的应用【例7】当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?【解】设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－11．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)(1)求点B的坐标．(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-??--=?，解方程组得12a b =??=-?．∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1)2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)53．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°．∴∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=∠BOD ．又AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310x =-．点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ??-，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。
中考数学复习考点知识与题型专题讲义16--- 二次函数与不等式(组)(提高篇)
中考数学复习考点知识与题型专题讲义16 二次函数与不等式（组）（提高篇）1．关于x的二次函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）和一次函数y2＝x+2．（1）求证：函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点．（2）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，①试求此时k的值；②若y1＞y2，试求x的取值范围．【分析】（1）证明△＝b2﹣4ac≥0，便可得结论；（2）①函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，根据根与系数的关系列出k的方程，便可求解；②分k＝1和k=−15两种情况，依据y1＞y2列出关于x的不等式，解之可得．【解答】解：（1）∵△＝（2k﹣1）2+8k＝4k2﹣4k+1+8k＝4k2+4k+1＝（2k+1）2≥0，∴函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点；（2）①设kx2+（2k﹣1）x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2=−2k−1k，x1x2=−2k，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(2k+1)2k2，∵函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，∴|x1﹣x2|＝3，∴(2k+1)2k2=32，解得，k＝1或k=−1 5；②当k＝1时，y1＝（x+2）（x﹣1），y2＝x+2∵y1＞y2，∴（x+2）（x﹣1）＞x+2，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞2；当k=−15时，∵y1＞y2，∴−15（x+2）（x+5）＞x+2，即（x+2）（x+10）＜0，解得：﹣10＜x＜﹣2．【点评】本题主要考查二次函数与不等式组及二次函数与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．已知二次函数y1=−12x2+bx+c（b，c是常数）与一次函数y2＝kx+c（k是常数，k≠0）．（1）若y1的图象与x轴只有一个交点（2，0），求b，c的值；（2）若y1的图象可由抛物线y＝ax2+2c（a是常数，a≠0）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出y1的函数关系式；（3）若k+b＝3，当x≥2时，y1＜y2恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1＝0，即可求解；（2）由平移的性质即可求解；（3）两个函数交点的横坐标为2或2b﹣2k，当x≥2时，y1＜y2恒成立，即：2b﹣2k≥2，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴x=−b2a=b＝2，当x＝2时，y1=−12x2+bx+c＝﹣2+4+c＝0，解得：c＝﹣2，故b＝2，c＝﹣2；（2）由题意得：a=−12，则y=−12（x+2）2+2c+1=−12x2﹣2x+2c﹣1=−12x2+bx+c，故2c﹣1＝c，解得：c＝1，故抛物线的表达式为：y=−12x2﹣2x+1；（3）联立两个函数的表达式并整理得：x2＝2b﹣2kx，解得：x＝0或2b﹣2k，又∵k+b＝3，故两个函数的交点的横坐标为0或6﹣4k，当6﹣4k≤0时，即k≥1.5时，恒有y1＜y2；当0＜k＜1.5时，6﹣4k≤2，即1≤k＜1.5；当k＜0时，6﹣4k≤2，解得k≥1，故无解；当k＝1时，b＝2，当x＝2时，有y1＝y2，综上，k＞1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、解不等式等，有一定的综合性，难度适中．3．如图，抛物线y1＝ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2＝kx+1相交于A、B两点，且点A在x 轴上，点B的坐标为（2，3），连结AM、BM．（1）a＝1，c＝﹣1，k＝1（直接写出结果）；（2）当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2（直接写出结果）；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP 的最大面积及点P坐标．【分析】（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1求得k值；再令y2＝0，可求得点A的坐标；将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c，解方程组可求得a和c的值；（2）由A（﹣1，0）、B（2，3），结合函数图象可得答案；（3）如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b，则该直线与抛物线在第四象限相切时，△ABP的面积最大，由一元二次方程的根的判别式可求得b值，从而可得点P坐标及y3＝x+b 的解析式，从y3＝x+b与x轴的交点C向直线y2＝kx+1作垂线段CD，在等腰直角三角形△ACD 中，可求得CD的长；求得AB的长，利用三角形的面积公式，可得答案．【解答】解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：3＝2k+1解得：k＝1∴y2＝x+1令y2＝0得：0＝x+1解得：x＝﹣1∴A（﹣1，0）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：{0=a+c3=4a+c解得：a＝1，c＝﹣1故答案为：1，﹣1，1；（2）∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴结合图象可得：当y 1＜y 2时，则x 的取值范围为﹣1＜x ＜2故答案为：﹣1＜x ＜2；（3）在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大．如图，设平行于直线y 2＝x +1的直线解析式为：y 3＝x +b由{y 2=x 2−1y 3=x +b得：x 2﹣1＝x +b ∴x 2﹣x ﹣1﹣b ＝0令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b ）＝0解得：b =−54∴y 3＝x −54，∴x 2﹣x ﹣1+54=0解得：x 1＝x 2=12∴P （12，−34） ∴当点P 坐标为（12，−34）时，△ABP 的面积最大 设y 3＝x −54与x 轴交于点C ，则点C 坐标为：（54，0），过点C 作CD ⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段CD 的长度即为△ABP 的高的长度∵y 2＝x +1与x 轴所成锐角为45°∴△ACD 为等腰直角三角形∵AC =54−（﹣1）=94∴CD =√2=94√2=9√28 ∵A （﹣1，0）、B （2，3）∴AB =√(2+1)2+32=3√2∴△ABP 的面积为：12×3√2×9√28=278∴在直线AB 下方的抛物线上存在一点P ，使得△ABP 的面积最大；△ABP 的最大面积为278；点P坐标为（12，−34）．【点评】本题考查了求一次函数、二次函数的解析式中的相关字母、构成的三角形的面积最大值的动点的存在性、二次函数与不等式的关系、抛物线与直线的交点个数与一元二次方程的实数根的关系等知识点，具有一定的综合性与难度．4．已知在同一平面直角坐标系中有函数y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，其中ab ≠0．（1）求证：函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点为M ，若点M 关于y 轴的对称点M '在函数y 1图象上，求a ，b 满足的关系式；（3）当﹣1＜x ＜1时，比较y 1与y 2的大小．【分析】（1）将函数y 1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y 2的解析式中，即可证得结论；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），根据图象上点的坐标特征得出{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ； （3）两函数解析式做差，即可得出y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1），根据x 的取值范围可得出x （x ﹣1）的符号，分a ＞0或a ＜0两种情况考虑，即可得出结论．【解答】解：（1）证明：∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ＝a （x ﹣1）2﹣a +b ，∴函数y 1的顶点为（1，﹣a +b ），把x ＝1代入y 2＝﹣ax +b 得，y ＝﹣a +b ，∴函数y 2的图象经过函数y 1的图象的顶点；（2）设函数y 2的图象与x 轴的交点M （m ，0），则点M 关于y 轴的对称点M '（﹣m ，0），由题意可知{−am +b =0am 2+2am +b =0，解得b ＝﹣3a ； （3）∵y 1＝ax 2﹣2ax +b ，y 2＝﹣ax +b ，∴y 1﹣y 2＝ax （x ﹣1）．∵﹣1＜x ＜1，∴当﹣1＜x ＜0，x （x ﹣1）＞0．当0＜x ＜1，x （x ﹣1）＜0，当x ＝0，x （x ﹣1）＝0， ∴y 1＝y 2；当a ＞0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2；当a ＞0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且﹣1＜x ＜0时，ax （x ﹣1）＜0，y 1＜y 2；当a ＜0且0＜x ＜1时，ax （x ﹣1）＞0，y 1＞y 2．【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．5．已知抛物线C ：y 1＝﹣x 2+bx +4．（1）如图，抛物线与x 轴相交于两点（1﹣m ，0）、（1+m ，0）．①求b 的值；②当n ≤x ≤n +1时，二次函数有最大值为3，求n 的值．（2）已知直线l ：y 2＝2x ﹣b +9，当x ≥0时，y 1≤y 2恒成立，求b 的取值范围．【分析】（1）﹣x2+bx+4＝0，x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）分n+1≤1即n≤0、n≤1≤n+1即0≤n≤1、iii：n≥1三种情况，分别求解即可；（3）①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0；②：△＞0，则b＞4或b＜﹣4，即可求解．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2=b−1=1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，n=±√2，又∵n≤0，∴n=−√2，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，解得n＝1±√2，又∵n≥1，∴n=1+√2，综上所述：n=−√2或n=1+√2；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：−2−b2＞0，不成立，ii：{−2−b2≤05−b≥0，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．6．如图，已知直线y1＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物y2＝ax2+bx+c经过点B，C并与x轴交于点A（﹣1，0）．（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D坐标（1，4）；（2）当y2＜0时、请直接写出x的取值范围x＜﹣1或x＞3；（3）当y1＜y2时、请直接写出x的取值范围0＜x＜3；（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式y＝x2+2x+1．【分析】（1）列方程得到C（0，3），B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），列方程即可得到结论；（2）由图象即可得到结论；（3）由图象即可得到结论；（4）当根据平移的性质即可得到结论．【解答】解：（1）对于y1＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，x＝3，∴B（3，0），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），抛物线过点C（0，3），∴3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x+2x+3，∴顶点D（1，4）；（2）由图象知，当y2＜0时、x的取值范围为：x＜﹣1或x＞3；（3）由图象知当y1＜y2时、x的取值范围为：0＜x＜3；（4）当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∵抛物线向下平移2个单位，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣2＝﹣x2+2x+1．故答案为：（1）（1，4）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝﹣x2+2x+1．【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法取函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．7．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x＜12．【分析】（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2，联立①②并解得：x=12，即可求解．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x=1 2，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜1 2；故答案为：x＜1 2．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．8．已知二次函数y＝﹣x2+4x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点P是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+P A的值最小时，求P的坐标；（3）在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而得到关于m的不等式，然后求得不等式的解集即可；（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．根据抛物线解析式求出B（0，12），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论；（3）根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝42+4m＞0．解得：m＞﹣4．（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．把（6，0）代入y ＝﹣x 2+4x +m ，得﹣62+4×6+m ＝0．解得m ＝12．故该抛物线解析式是y ＝﹣x 2+4x +12当x ＝0时，y ＝12，则B （0，12）．设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，∵A （6，0），B （0，12），∴{6m +n =0n =12，解得∴{m =−2n =12， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +12，∵y ＝﹣x 2+4x +12＝﹣（x ﹣2）2+16，∴对称轴是直线x ＝2．把x ＝2代入y ＝﹣2x +12得，y ＝﹣4+12＝8，∴P （2，8）；（3）∵A （6，0），B （0，12），使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞6．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数与不等式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题等知识，利用数形结合是解题的关键．9．如图，一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出当x 取何值时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）点P 是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在点P ，使△ABP 面积最大，若存在，求出此时点P 坐标以及△ABP 面积，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出一次函数y ＝﹣2x +6与y 轴、x 轴交点A 、B 的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）观察图象直接得到答案；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，先利用图象上点的特征表示出P 、Q 两点的坐标，再求出PQ 的长，进而表示出△ABP 的面积，利用顶点坐标求最值．【解答】解：∵一次函数y ＝﹣2x +6的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，∴A （0，6），B （3，0），∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过A 、B 两点，∴{c =6−9+3b +c =0， 解得：{b =1c =6， ∴二次函数的解析式的解析式为：y ＝﹣x 2+x +6；（2）当y ＝0时，﹣x 2+x +6＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝3，∴抛物线与x 轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0），当﹣2＜x ＜0或x ＞3时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ，但只有当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0，当﹣2＜x ＜0时，﹣2x +6＞﹣x 2+bx +c ＞0；（3）过点P 作y 轴的平行线PQ 交AB 于点Q ，由点P在y＝﹣x2+x+6的图象上，可设P（m，﹣m2+m+6）（0＜m＜3），则Q（m，﹣2m+6），则PQ＝﹣m2+m+6+2m﹣6＝﹣m2+3m，∴S△ABP=12OB×PQ=12×3×（﹣m2+3m）=−32（m−32）2+278，∵﹣2＜0，∴当m=32时，即P点坐标为（32，214）时，S△ABP取得最大值，最大值为278．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与不等式组、二次函数的最值问题，观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键．10．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3与一次函数y＝x﹣1的图象交于点A及点B，与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）根据图象，直接写出满足x﹣1≥x2﹣4x+3的x的取值范围；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得P A+PC最小，求点P坐标及P A+PC的最小值．【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论；（2）根据函数图象点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集；（3）根据点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，于是得到直线AB 与对称轴的交点即为点P ，P A +PC 最小值＝AB ，根据勾股定理得到AB ，把x ＝2代入y ＝x ﹣1即可得到结论．【解答】解：（1）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，得y ＝3，∴C （0，3），解{y =x 2−4x +3y =x −1得，{x =1y =0，{x =4y =3， ∴A （1，0），B （4，3）；（2）由图象可知，满足kx +b ≥x 2﹣4x +m 的x 的取值范围为：1≤x ≤4；（3）存在，∵点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，∴直线AB 与对称轴的交点即为点P ，则P A +PC 最小值＝AB ，∴AB =√(4−1)2+(3)2=3√2，把x ＝2代入y ＝x ﹣1得，y ＝1，∴P （2，1），P A +PC 最小值＝3√2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，难点在于求出点B 的坐标．11．直线y 1＝x +m 与抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交于P 、Q （2，3）两点，其中P 在x 轴上，Q （2，3）是抛物线y 2的顶点．（1）求y 1与y 2的函数解析式；（2）求函数值y 1＜y 2时x 的取值范围．【分析】（1）先求出Q 点的坐标，再求出直线的解析式，再把Q 、P 的坐标代入二次函数的解析式求出a 的值即可；（2）根据函数的性质和交点坐标得出即可．【解答】解：（1）把点Q（2，3）代入y＝x+m，∴3＝2+m，∴m＝1，∴y1＝x+1，∴令y＝0，x+1＝0，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，0），∴顶点为（2，3），∴设抛物线y＝a（x﹣2）2+3，把P（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣2）2+3，解得：a=−1 3，∴y2=−13(x−3)2+3，即y=−13x2+43x+53；（2）∵直线y1＝x+1与抛物线y2=−13（x﹣3）2+3交于P（﹣1，0）、Q（2，3）两点，∴函数值y1＜y2时x的取值范围是﹣1＜x＜2．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，一次函数和二次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键．12．已知抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，（−14＜m≤2）．直线l：y＝（k+1）x﹣3m+4．（1）若该抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣4，求该抛物线的顶点坐标．（2）证明：该抛物线与直线l必有两个交点．（3）若该抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立；当k﹣2≤x≤k时，该二次函数的最小值为﹣2k+1．求直线l的解析式．【分析】（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，即可求解；（2）将y＝（k+1）x﹣3m+4代入y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，△＝[﹣（k+3m）]2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，即可求解；（3）分k＜1、1≤k≤3、k＞3三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，解得：m=4 3，∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2−3x−4=(x−32)2−254，∴该抛物线的顶点坐标为（32，−254）．（2）联立y＝（k+1）x﹣3m+4和y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m并整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，∵△＝[﹣（k+3m）] 2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，∴该抛物线与直线l必有两个交点．（3）∵由抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立，∴抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m的最小值为﹣4，∵y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m=(x+1−3m2)2−3m−(1−3m2)2=(x+1−3m2)2−9m2+6m+14，∴−9m2+6m+14=−4，整理得3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1或m=−53（−53＜−14，舍去），∴当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，①当k＜1时，函数值y随x的增大而减小，∴当x＝k时，y min＝k2﹣2k﹣3，∴k2﹣2k﹣3＝﹣2k+1，解得k＝﹣2或k＝2（舍去），∴直线l的解析式为y＝﹣x+1；②当k﹣2≤1≤k时，即1≤k≤3，当x＝1时，y min＝﹣4＝﹣2k+1，解得k=5 2，∴直线l的解析式为y=72x+1；③当k﹣2＞1时，函数值y随x的增大而增大，∴当x＝k﹣2时，y min＝（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3，∴（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3＝﹣2k+1，解得k1＝k2＝2（舍去），综上，直线l的解析式为y＝﹣x+1或y=72x+1．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解集．13．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B 的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；（2）根据函数图象点A 以及点A 右边的部分，点B 以及点B 左边的部分的自变量x 的取值范围即为不等式的解集．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝（x +2）2+m 经过点A （﹣1，0），∴0＝1+m ，∴m ＝﹣1，∴抛物线解析式为y ＝（x +2）2﹣1＝x 2+4x +3，∴点C 坐标（0，3），∵对称轴x ＝﹣2，B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标（﹣4，3），∵y ＝kx +b 经过点A 、B ，∴{−k +b =0−4k +b =3， 解得{k =−1b =−1， ∴一次函数解析式为y ＝﹣x ﹣1；（2）由图象可知，满足（x +2）2+m ≥kx +b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x ≥﹣1．【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，难点在于求出点B 的坐标．14．如图，一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的二根x 1，x 2（x 1＜x 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）写出不等式ax 2+bx +c ≥0的解集；（3）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（4）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．【分析】（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点的坐标，进而即可求出二次函数的解析式；（2）根据B、C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴，根据A、C两点坐标可求出直线AC的解析式，再联立两个方程即可求出Q点的坐标；（3）根据两点之间线段最短，当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值，作A点关于x轴的对称点进而求得M点的坐标．【解答】解：（1）一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二根x1，x2（x1＜x2）为：x1＝﹣3，x2＝1．∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的坐标为B（1，0），C（﹣3，0）．设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵抛物线过点A（3，6）．∴6＝a（3+3）（3﹣1），解得a=1 2．∴二次函数的解析式为y=12（x+3）（x﹣1）=12x2+x−32．（2）根据图象可知：不等式ax2+bx+c≥0的解集为：x≤﹣3或x≥1；（3）由y=12x2+x−32．∴抛物线的顶点坐标为P（﹣1，﹣2），对称轴方程为x＝﹣1．设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（3，6），C（﹣3，0），代入解得：k＝1，b＝3，直线AC解析式为y＝x+3．将x＝﹣1代入，得y＝2．∴Q（﹣1，2）．（4）作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），连接A′Q，A′Q与x轴交于点M即为所求的点．设直线A′Q的解析式为y＝kx+b，将A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入解得：k＝﹣2，b＝0．∴直线A′C的解析式为y＝﹣2x．令x＝0，则y＝0．∴M（0，0）．【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解决本题的关键是综合运用二次函数相关知识．15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【分析】（1）把A点、C点和D点坐标代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程求出a、b、c即可得到抛物线解析式；（2）连接OM，如图，先把（1）中解析式配成顶点式得到M（2，9），再利用对称性得到B（5，0），然后利用S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC进行计算；（3）观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，∴{a−b+c=0c=5a+b+c=8解方程组得{a=−1b=4c=5，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）连接OM，如图，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B（5，0），∴S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC=12×5×2+12×5×9−12×5×5＝15；（3）x＜0或x＞2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了待定系数法求抛物线解析式．16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B（2，n）两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；（3）设二次函数y＝﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．【分析】（1）把A坐标代入二次函数解析式求出c的值，确定出二次函数解析式，把B坐标代入求出n 的值，把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值即可；（2）根据函数图象，确定出所求x 的范围即可；（3）连接AC ，BC ，设直线AB 与y 轴交于点D ，三角形ABC 面积等于三角形ACD 面积+三角形BCD 面积，求出即可．【解答】解：（1）把A （﹣1，2）代入y ＝﹣x 2+c 得：﹣1+c ＝2，解得：c ＝3，∴y ＝﹣x 2+3，把B （2，n ）代入y ＝﹣x 2+3得：n ＝﹣1，∴B （2，﹣1），把A （﹣1，2）、B （2，﹣1）分别代入y ＝kx +b 得{−k +b =22k +b =−1， 解得：{k =−1b =1， ∴y ＝﹣x +1；（2）根据图象得：使二次函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是﹣1＜x ＜2；（3）连接AC 、BC ，设直线AB 交y 轴于点D ，把x ＝0代入y ＝﹣x 2+3得：y ＝3，∴C （0，3），把x ＝0代入y ＝﹣x +1得：y ＝1，∴D（0，1），∴CD＝3﹣1＝2，则S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12×2×1+12×2×2＝1+2＝3．【点评】此题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17．如图，抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，经过点A的直线y2＝kx+b交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求a的值；（2）求直线AB对应的函数解析式；（3）直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝4a2﹣4a＝0，然后解方程和根据二次函数的定义可确定a 的值；（2）把抛物线的解析式配成顶点式得到A（﹣1，0），则把A点坐标代入y＝kx+b中得b＝k，所以一次函数解析式为可表示为y＝kx+k，则C（0，k），利用线段中点坐标公式得到B（1，2k），然后把B（1，2k）代入y＝x2+2x+1求出k即可得到直线AB的解析式；（3）利用函数图象，写出抛物线在直线AB上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝ax2+2ax+1与x轴有且仅有一个公共点A，∴△＝4a 2﹣4a ＝0，而a ≠0，∴a ＝1；（2）抛物线的解析式为y ＝x 2+2x +1＝（x +1）2，∴A （﹣1，0），把A （﹣1，0）代入y ＝kx +b 得﹣k +b ＝0，解得b ＝k ，∴一次函数解析式为y ＝kx +k ，当x ＝0时，y ＝kx +k ＝k ，则C （0，k ），∵点C 是线段AB 的中点，∴B （1，2k ），把B （1，2k ）代入y ＝x 2+2x +1得2k ＝1+2+1，解得k ＝2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x +2；（3）当x ≤﹣1或x ≥1时，y 1≥y 2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数的性质．18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C 1：y =32x 2+6x +2的顶点为M ，与y 轴相交于点N ，先将抛物线C 1沿x 轴翻折，再向右平移p 个单位长度后得到抛物线C 2：直线l ：y ＝kx +b 经过M ，N 两点．（1）结合图象，直接写出不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集； （2）若抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，求p 的值及抛物线C 2的解析式．【分析】（1）令抛物线C 1的解析式中x ＝0，求出y 值即可得出点N 的坐标，再利用配方法将抛物线C 1的解析式配方，即可得出顶点M 的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集；（2）找出点M 关于x 轴对称的对称点的坐标，找出点M 关于原点对称的对称点的坐标，二者横坐标做差即可得出p 的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C 2的解析式；【解答】解：（1）令y =32x 2+6x +2中x ＝0，则y ＝2，∴N （0，2）；∵y =32x 2+6x +2=32（x +2）2﹣4，∴M （﹣2，﹣4）．观察函数图象，发现：当﹣2＜x ＜0时，抛物线C 1在直线l 的下方，∴不等式32x 2+6x +2＜kx +b 的解集为﹣2＜x ＜0． （2）∵y =32x 2+6x +2抛物线C 1：的顶点为M （﹣2，﹣4），沿x 轴翻折后的对称点坐标为（﹣2，4）．∵抛物线C 2的顶点与点M 关于原点对称，∴抛物线C 2的顶点坐标为（2，4），∴p ＝2﹣（﹣2）＝4．∵抛物线C 2与C 1开口大小相同，开口方向相反，∴抛物线C 2的解析式为y =−32（x ﹣2）2+4=−32x 2+6x ﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及根的判别式，解题的关键是：（1）求出M 、N 点的坐标；（2）根据点M 找出抛物线C 2的顶点坐标；19．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0），且对一切实数x ，都有2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2成立．（1）当x ＝2时，求y 的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x ＝t +m 时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 1，当x =t 2时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的值为y 2，若对一切﹣1≤t ≤1，都有y 1＜y 2，求实数m 的取值范围．【分析】（1）可令x ＝2，可得4≤4a +2b +c ≤4，即有4a +2b +c ＝4；（2）通过图象过一点点（﹣2，0）得到4a ﹣2b +c ＝0，由x ＝2得4a +2b +c ＝4，再将b 、c 都有a 表示．不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立可转化成两个一元二次不等式即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立，即可解得a =14； （3）当﹣1≤t ≤1时，y 1﹣y 2＜0，可得3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0 恒成立．设W ＝3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ，则{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，由此求得t 的范围． 【解答】解：（1）解：∵不等式2x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+2对一切实数x 都成立，∴当x ＝2时也成立，即4≤4a +2b +c ≤4，即有y ＝4；（2）根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣2，0）， 可得4a ﹣2b +c ＝0 ①，又f （2）＝4，即4a +2b +c ＝4 ②．由①②求得 b ＝1，4a +c ＝2，∴y ＝ax 2+x +2﹣4a ，∴2x ≤ax 2+x +2﹣4a ≤12x 2+2，即{ax 2−x +2−4a ⩾0(a −12)x 2+x −4a ⩽0恒成立， ∴{ a ＞0△1=1−4a(2−4a)⩽0a −12＜0△2=1−4(a −12)⋅(−4a)⩽0， 解得：a =14，∴c ＝2﹣4a ＝1，二次函数的表达式为y =14x 2+x +1．（3）∵当﹣1≤t ≤1时，y 1＜y 2，即：y 1﹣y 2＜0，即[14(t +m)2+(t +m)+1]−[14（t 2）2+t 2+1]＜0． 整理得：3t 2+（8+8m ）t +4m 2+16m ＜0，∵当t ＝1或﹣1时均成立，∴{3+(8+8m)+4m 2+16m ＜03−(8+8m)+4m 2+16m ＜0，整理得：{4m 2+24m +11＜04m 2+8m −5＜0解得：{−112＜m ＜−12−52＜m ＜12，∴−52＜m＜−12【点评】本题考查了二次函数与不等式恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．20．二次函数y1＝ax2+2x过点A（﹣2，0）和点B，过点A，B作一次函数y2＝kx+b，若点B的横坐标为1．（1）求出二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，当y2＞y1时，请直接写出x的取值范围；（3）若P点在抛物线y1上，且横坐标为﹣1，求△ABP的面积．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出y2＞y1时，﹣2＜x＜1；（3）过P作PQ∥y轴，交AB于Q，依据S△ABP＝S△APQ+S△BPQ进行计算即可．【解答】解：（1）如图1，把A（﹣2，0）代入y1═ax2+2x中得：4a+2×（﹣2）＝0，a＝1，∴二次函数的解析式y1═x2+2x，当x＝1时，y1＝1+2＝3，∴B（1，3），把A（﹣2，0）、B（1，3）代入y2＝kx+b中得：{−2k +b =0k +b =3， 解得：{k =1b =2， ∴一次函数的解析式：y 2＝x +2；（2）由图象得：当﹣2＜x ＜1时，y 2＞y 1；（3）过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，y 1═x 2+2x ，令x ＝﹣1，则y ＝﹣1，即P （﹣1，﹣1），y 2＝x +2，令x ＝﹣1，则y ＝1，即Q （﹣1，1），∴PQ ＝2，∴S △ABP ＝S △APQ +S △BPQ =12×2×（1+2）＝3．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；采用数形结合的方式是解决第2小题的关键，第3问中需要运用割补法计算三角形的面积．。
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同学们往往对不等式组中求待定系数的取值范围时，所得取值范围是否包含等号感到 难以判断．从而产生错误，对此，我们通过三类实例，进行剖析． 一、等号多余型 例1
x > a 若关于 x 的不等式组 有解，求 a 的取值范围． x < 2a − 1 x > a ∵不等式组 有解， x < 2a − 1
1
错解
x > 3 原不等式组化简为： x > m
∵解集为 x>3，∴m<3． 剖析 错了，在 m<3 中缺少等号．
x > 3 因为当 m＝3 时，原不等式组即为 ，其解集仍为 x>3．符合要求，故正确的解 x > 3
为 m≤3．
x + 4 x > + 例 4 若不等式组 3 2 的解集为 x<2，求 m 的取值范围． x + m < 0
错解
∵有解，∴解集表示形式为－a≤x<1． ∴－a≤1，即 a≥－1． 剖析
x ≥ 1 错了，在 a≥－1 中等号多余，∵当 a＝－1 时，原不等式组即为 则不等 x < 1
式组无解．正确解答应是：－a<1，∴a>－1． 二、缺少等号型 例3
2 x + 8 < 5 x − 1 若不等式组 的解集为 x>3，求 m 的取值范围． x > m
错解 剖析
x < 2 ，因为解集为 x<2，∴－m>2，即 m<－2． 原不等式组化简为 x < −m
错了，在 m<－2 中缺少等号，
x < 2 ，其解集仍为 x<2，符合要求，故正确的 因为当 m＝－2 时，原不等式组即为 x < 2
解为 m≤－2． 三、只有等号型 例5
3 x + a < 0 若不等式组 的解集为 x<0，求 a 的取值范围， 2 x + 7 > 4 x − 1 a x < − 原不等式组化简为： 3 x < 4
错解
因为解集为 x<0，∴－ 剖析
a <0，∴a>0． 3
错了，在 a>0 中应为 a＝0．因为当 a>0 时，不等式组的解集范围扩大了．
正确的解是：－
a ＝0，∴a＝0． 3
2
3
错解
∴2a－1≥a，解得 a≥1． 剖析
x > 1 错了，在 a≥1 中等号多余，因为当 a＝1 时，原不等式组即为 则不等式 x < 1
组无解，正确的解法应是： 2a－1>a，解得 a>1． 例2
x + a ≥ 0 有解，求 a 的取值范围， 若不等式组 1 − 2 x > x − 2 x ≥ −a ， 原不等式组化简为： x < 1