chap4-数论有线域
有限域离散数学
含Φq-1 ( х ) 的根，故由定理7.6.1和上节定理
7.5.4(定理7.5.4 设n不是F的特征的倍数,并设
Φn(х)在F中有根。于是，F中恰有n个n次单位
根，它们在乘法下作成一个n元循环群，其
(n)个生成元素恰是Φn(х)的所有的根。) ，
xk∈Rp[х],使 σ(хk)=ξk=α. 所以σ是R [ х ] 到F上的映射。
证明
(2) 往证σ是Rp [х ]到F的同态映射。 σ(ƒ(x)+g(x))=ƒ(ξ)+g(ξ)=σ(ƒ(x))+σ(g(x))，
σ(ƒ(7x)g(x))=ƒ(ξ)g(ξ)=σ(ƒ(x))σ(g(x)) (3) 设σ的核为主理想ρ ( х ) R p [ х ](见7.2习题4) 因ξ是ψ ( х ) 的根,σ(ψ(х))=ψ(ξ)=0,所以
=tr (tm-1)(tsm-m + tsm-2m + … + 1)+tr-1 若m∣n，则r=0，tr-1=0。故tm-1 ∣ t n - 1。 若m不整除n，则0<r<m，因之tr-1非0，
当t 是文字时, 次 ( tr-1)< 次(tm-1)， 当t 是大于1的整数时，tr-1< tm-1， 所以tm-1不整除tn-1。
除同构的域外，唯一确定的pn元有限 域通常记为GF（pn）。
定理7.6.4
Φpm-14(x) 在Rp[x]中的任意质因式ψ(x)必
是m次多项式。因此，对任意m≥1，Rp 上有m次质式。
证明：命F=GF（pm）。设次ψ(х)=n。
根据引理的证明，F的元数应是pn。因之， n=m。
引理1
有限域基础选讲
设 f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 则 f(x) | qm 1. 本原多项式
设f(x)Fq[x]是 m 次不可约多项式, f(0) 0, 如果 p(f) qm 1, 则称f(x)为Fq[x]中本原多项式.
作业
• 作业3：克莱茵4元群克表示为G={1, a, b, c}，其运算为 ：1x=x, x∈G, ab=c, ac=b, bc=a, 请实现上述运算。
有
限
域
基
础
选
讲
单击此处添加副标题内容
有限域基础
1. 群
群的定义 设G是一个集合, G上定义了一种运算, 记为“•”, 如果该运
算满足
i) a, bG, (a b)c a (b c); ii)存在一个eG, 对于aG, 有ae ea a成立, 称e为G的 单位元; iii) aG, 存在a1G, 使得aa1 a1a e成立, 称a1为a的 逆元; 则称G在定义的运算下构成一个群. 若该运算还满足条件 iV) a, bG, a b b a; 则称G在定义的运算下构成一个交换(abel)群.
若环R的每个理想都是主理想, 则称R为主理想整环, 易知, 剩余类环和多项式环都是主理想整环.
3. 有限域
3.1 有限域的概念 在有限集合F上定义了两个二元运算:
加法“”和乘法“•”, 如果(F , )是交 换群, F的非零元素对乘法构成交换群, 而 且乘法对加法满足分配律, 则称(F , , •) 是有限域.
设R是一个交换环且J是R的理想, 如果存在 aR, 使J (a) {ka | kJ}, 则称J为R的主理想, a为J的生成元.
例2.1: 全体整数Z对于数的加法和乘法构成一个环, 通常称 为整数环. 但全体正整数对于加法和乘法就不构成一 个环, 因为不满足加法条件iii, iv.
密码学——第4章 数论与有限域基础 ppt课件
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数论基础
第8页/共131页
►素数与互素
如果 gcd(a, b) = 1，则称 a 和 b 互素 整数 a, b 互素是指除 1 之外它们没有其它公因子，
例如：8 与15 互素
8 的因子：1, 2, 4, 8 15 的因子：1, 3, 5, 15 1 是 8 与15 唯一的公因子
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数论基础
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►素数与互素
称 c 是两个整数 a、b 的最大公因子，当且仅当： ① c 是 a 的因子也是 b 的因子， 即 c 是 a、b 的公因子 ② a 和 b 的任一公因子，也是 c 的因子
表示为 c = gcd(a, b)
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数论基础
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#: if Y3=妨0设thbe<na）re，tu即rn存X在3x=(gxc<da()f，, d使)；得nbox≡i1nvmeordsea;。 if Y►3=扩1展thEenucrliedtu算r法n 可Y求3=出gcdgc(df,(ad,)b；)，Y当2=gdc-d1 (ma,obd) =f;1， Q=X3还/Y得3到；b 的逆元。 (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3); (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3); (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3); goto #;
3
x4
都有54乘00法逆54 元20。74
0 4
4 1
0 6
4 3
667012345 606420642
770123456 707654321 PPT课件
数论与有限域第六章
二、有限域F中的元素个数
通过定理6.1.2，对有限域F的加法结构我们可以得到如 下认识：
有限域F中的元素可以看做是域Fp中元素构成的m元组， 且 (a1, a2,…,am)+(b1,b2,…,bm)=(a1b1, a2+b2,…, am+bm)
接下来，我们来研究域F的乘法结构。
数论与有限域第六章
第二节 有限域的乘法结构
在以下的叙述中，记有限域的特征为字母p，则易知序 列{u0, u1, u2,…}中第一个出现重复的元素是 up=0，进而u0, 数u论1,与u有限2,域…第六, 章up-1互不相同。
二、有限域F中的元素个数
定理6.1.2有限域F中的元素个数q必定是某个素数p的幂 次，即q=pm。
证明：首先，容易验证域F的子集{u0, u1, u2,…, up-1}构 成了F的一个子域，记为Fp。
4
4
2
5
1
8
6
2
4
数论与有限域第六章
7
1
8
一、元素的阶
定理6.2.2设t为整数，则在域F中或者没有t阶元素，或者 恰有φ(t)个t阶元素。
证明：若在域F中没有t阶元素，则定理得证。 反之，若ord(α)=t，正如上面所观察到的每个t阶元素都
在集合 {1, α, α2,…, αt-1}中。
但是由引理6.2.2，αi的阶为t当且仅当 gcd(t,i)=1。
数论与有限域第六章
一、域的特征
定义6.1.1记有限域F的乘法单位元为e，如果存在正整 数n，使得ne=0，则称满足此条件的最小正整数n为 域F的特征。如果这样的正整数不存在，则称域F的 特征为零。
例6.1.1 容易验证由前一章的例5.4.5得到的域GF(8)的特 征为 2，
四大数论定理
四大数论定理四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。
这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。
下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。
一、费马小定理：费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。
它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。
即a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有广泛的应用。
费马小定理的原理是基于模运算的性质。
对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。
通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。
二、欧拉定理：欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推广。
它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。
欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。
欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。
通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
北交大 密码学课件 第4章_数论初步和有限域
模运算
设 n 是一正整数，a 是整数，如果用 n 除 a，得商为 q， 余数为 r，则 a=qn+r, 0≤r<n,
q a n
其中 x 为小于或等于 x 的最大整数。
a n a mod n a 用 a mod n 表示余数 r，则 n 。
算法中的变量有以下关系：
fT1+dT2=T3; fX1+dX2=X3; fY1+dY2=Y3
在算法Euclid (f, d)中，X等于前一轮循环中的Y， Y等于前一轮循环中的X mod Y。而在算法 Extended Euclid(f, d)中，X3等于前一轮循环中的 Y3，Y3等于前一轮循环中的X3-QY3，由于Q是Y3 除X3的商，因此Y3是前一轮循环中的Y3除X3的余 数，即X3 mod Y3，可见Extended Euclid(f, d)中 的X3、Y3与Euclid(f, d)中的X、Y作用相同，因此 可正确产生gcd(f, d)。
推广的Euclid算法先求出gcd(a, b)，当gcd(a,
b)=1时，则返回b的逆元。
Extended Euclid(f, d) （设 f >d） 1. (X1, X2, X3)←(1, 0, f); 2. if Y3=0 then return 3. if Y3=1 then return 4. Q X 3 / Y3 ； 5. (T1, T2, T3)←(X1-QY1, X2-QY2, X3-QY3); 6. (X1, X2, X3)←(Y1, Y2, Y3); 7. (Y1, Y2, Y3)←(T1, T2, T3); 8. goto 2。 (Y1, Y2, Y3)←(0, 1, d); X3=gcd(f, d)；no inverse; Y3=gcd(f, d)；Y2=d-1 mod f;
数论、群论、有限域
数论、群论、有限域数论数论是研究数的性质与关系的一门学科。
它是数学中非常重要的一个分支，涉及的内容十分广泛。
数论的基本思想是在整数集合上进行研究，从而可以推导出数的规律、性质、分解等等。
数论的研究对象包括素数、整数分解、同余、欧几里得算法、费马小定理、欧拉定理、代数数、数域等等。
数论在密码学、编码、黑客技术等领域都发挥着重要作用。
例如，RSA公钥加密算法就是基于数论中的大整数质因数分解问题而设计的，而且在密码学中存在着许多涉及数论的问题，包括离散对数、双线性对、椭圆曲线加密等。
群论群论是研究代数结构的一门数学学科，涵盖了群、环、域等内容。
群是指一个集合以及这个集合中的元素之间的运算，这个运算要满足结合律、单位元素存在性、逆元素存在性等条件。
群论研究的是群的性质和结构，例如群的阶、群的子群、群的同构等。
群论的研究范围广泛，不仅仅局限于数学，还具有广泛的应用领域，比如物理学、化学、信息科学等。
在物理学中，群论是解决物理问题的一个有力工具，在形式化处理自然现象和物理理论中起着非常重要的作用。
物理学家研究的领域涉及到许多对称性，例如空间对称性、时间对称性等，这些对称性都可以被形式化地表示为代数上的群。
有限域有限域是数学中的一个重要分支，研究的是一个有限数目的元素构成的数域，它又称为伽罗瓦域。
有限域理论在计算机科学、密码学、码论等领域中有着广泛的应用。
有限域和有限域扩域的研究是许多密码系统和加密算法中必不可少的部分。
例如，GF(2)域是有限域的一种，由0和1这两个元素构成。
GF(2)上的加法和乘法都是模2运算，因此在密码学中可以用于实现二进制比特流的加密。
除了GF(2)域，还有其他的有限域，例如GF(p)域（p为质数），它在在数字签名等领域中有着广泛的应用。
在通信领域中，有限域扩域则被广泛应用于码论的领域，如有限域上的码的编码和译码等。
总之，数论、群论、有限域都是数学中非常重要的一些分支，它们在各自的领域中都有着广泛的应用和发展。
密码学数学基础第十一讲有限域
④乘法逆元
由于m(x)是不可约的，故GF(28)中任一非零元素都与m(x) 互素，从而有乘法逆元(即模m(x)的逆)，这样GF(28)中非零元 素为除数的除法总是可以进行。
任何系数在二元域GF(2)中并且次数小于8的多项式b(x)， 利用欧几里德算法可以计算a(x)和c(x)使得
c(x)=a(x) b(x)=a(x) b (x)Mod M(x)
AES中选择 M(x)=x4 +1 ，则 c(x)=c3x3 +c2x2 +c1x+c0 的系数用矩阵相乘表示如下:
c0 a0 a3 a2 a1 b0
c1 c2 c3
域F的特征或是零，或是素数。
只含有限个元素的域称为有限域。 有限域的元素个数称为有限域的阶。 每个特征为零的域都是无限域。 有限域的特征一定是素数。 在特征是素数p的域F中，下列等式成立： (a＋b)p=ap＋bp， (a－b)p=ap－bp，a，bF。
二．有限域的结构
1．有限域的乘法群 有限域F中非零元组成的集合F*关于乘法做成
例2：求模14的原根。
解：3和11是模14的原根。
2. 域的同构
命题3 设F是一个域，若chF=0，则F含有一个与 有理数域同构的子域； 若chF=p，则F含有一个与 Z/（p）同构的子域。
3．有限域的结构
定理1：设F是一个特征为p的有限域，则F的元素 个数一定为p的一个幂pn，n≥1。
命题4：设Fq是一个含有q个元素的有限域，对任 意正整数n，Fq上的n次不可约多项式一定存在。
本讲内容
一．域的特征 二．有限域的结构 三．密码学上的简单应用
一．域的特征
代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用
不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在 某个数域上不能再被 分解为更低次的多项 式
性质：不可约多项式 是整数的唯一因数分 解的必要条件
应用：在代数数论、 几何学、组合数学等 领域有广泛应用
重要性：不可约多项 式是数学中一个重要 的概念，对于理解数 学的内在结构和发展 有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密 中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的 应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域 的一个重要应用 领域
有限域的元素具有 线性组合和乘法运 算的封闭性，使得 线性码具有很好的 性质
线性码的生成矩 阵和校验矩阵可 以表示为有限域 上的矩阵
有限域的元素个 数决定了线性码 的码距和最小码 距
定义：有限域 的扩展运算是 指将有限域中 的元素进行有 限次运算，以 生成新的元素。
性质：有限域 的扩展运算具 有封闭性，即 运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有 限域的扩展运 算具有特定的 运算规则，包 括加法、减法、 乘法和除法等。
应用：有限域 的扩展运算在 密码学、编码 理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法 逆元
有限域中的乘法是可结合 的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合 的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则： 有限域中的元素 只能进行加法运 算，不能进行减 法运算，通常用 模运算实现减法。
乘法运算规则： 有限域中的元素 只能进行乘法运 算，乘法满足结 合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码 理论中的基本 概念，为RS码 提供了数学基
四元数 有限域-概述说明以及解释
四元数有限域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四元数是一种数学结构，由四个实数构成，可以表示三维空间中的旋转和变换。
它在计算机图形学、机器人学和物理学等领域有着广泛的应用。
在传统的三维空间表示中，我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述物体的旋转。
然而，这些表示方法存在一些缺点，比如欧拉角存在万向锁问题，旋转矩阵存在运算复杂和数值稳定性差的问题。
而四元数作为一种更加高效和稳定的表示方法，逐渐被应用到各个领域中。
四元数的优势在于其具备旋转和线性插值的可逆性、运算速度快、占用的内存空间小等特点。
同时，四元数的运算也相对简单，只需要进行四个实数的乘法和加法运算即可得到旋转的结果。
然而，四元数也存在一些局限性。
首先，四元数的概念对于一般人来说比较抽象和难以理解，需要一定的数学基础才能深入理解其原理。
其次，绕不同轴的旋转可以用不同的四元数表示，存在多个等效的表示方法，导致旋转的唯一性问题。
此外，四元数的运算并不能直接映射到物理世界的旋转运动，需要进行适当的转换。
未来，随着计算机图形学和机器人学等领域的发展，对于更加高效和准确的旋转表示方法的需求将不断增加。
四元数作为一种优秀的表示方法，其研究和应用将会进一步深入和广泛。
同时，结合其他数学理论和技术手段，继续改进和扩展四元数的应用范围也是未来的发展方向。
1.2文章结构文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分来介绍四元数和有限域的相关内容。
- 引言部分将对本文的主题进行简要的概述，介绍四元数和有限域的基本概念和背景，并说明本文的目的和意义。
- 正文部分将分为两个子节：四元数的定义和性质、四元数在计算机图形学中的应用。
- 在四元数的定义和性质的部分，将介绍四元数的基本定义，包括四元数的表示形式和运算规则，以及四元数的基本性质，如共轭、模长等。
同时，将介绍四元数的加法、减法、乘法和除法运算规则，以及四元数的单位元、逆元等概念。
- 在四元数在计算机图形学中的应用的部分，将重点介绍四元数在旋转表示和插值、刚体变换、相机视角变换等方面的重要应用。
数论的四大定理详解（转载）
数论的四⼤定理详解（转载）转载于:前⾔可以发现RSA中的很多攻击⽅法都是从数论四⼤定理推导出的，所以找时间好好学习了⼀下数论四⼤定理的证明及其应⽤场景——Rabin算法。
欧拉定理若$n,a$为正整数，且$n,a$互素，即$gcd(a,n) = 1$，则$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$证明⾸先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是$a^{φ(n)}\equiv1\pmod{n}$这个式⼦实在$a$和$n$互质的前提下成⽴的。
证明⾸先，我们知道在1到$n$的数中，与n互质的⼀共有$φ(n$)个，所以我们把这$φ(n)$个数拿出来，放到设出的集合X中，即为$x_1,x_2……x_{φ(n)}$那么接下来，我们可以再设出⼀个集合为M，设M中的数为：$m_1=a∗x_1,m_2=a∗x_2……m_φ(n)=a∗x_{φ(n)}$下⾯我们证明两个推理：⼀、M中任意两个数都不模n同余。
反证法。
证明：假设M中存在两个数设为$m_a,m_b$模$n$同余。
即$m_a\equiv m_b$移项得到：$m_a−m_b=n∗k$再将m⽤x来表⽰得到：$a∗x_a−a∗x_b=n∗k$提取公因式得到：$a∗(x_a−x_b)=n∗k$我们现在已知$a$与$n$互质，那么式⼦就可以转化为：$x_a−x_b\equiv 0 \pmod{n}$因为$a$中没有与$n$的公因⼦（1除外）所以$a !\equiv 0 \pmod{n}$ 所有只能是$ x_a−x_b\equiv 0\pmod{n}$。
⼜因为$x_a,x_b$都是⼩于$n$的并且不会相同，那么上述的式⼦⾃然全都不成⽴。
假设不成⽴。
证得：$M$中任意两个数都不模$4$同余。
⼆、M中的数除以n的余数全部与n互质。
证明：我们已知$m_i=a∗x_i$⼜因为$a$与$n$互质，$x_i$与$n$互质，所以可得$m_i$与$n$互质。
带⼊到欧⼏⾥得算法中推⼀步就好了。
抽象代数中的有限域的判定方法
抽象代数中的有限域的判定方法在抽象代数中，有限域是一个非常重要的概念。
有限域是一个包含有限个元素的数域，它的性质在数论、密码学、编码理论等领域中有广泛的应用。
本文将介绍有限域的判定方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
判定一个域是否为有限域，我们需要先了解有限域的定义和性质。
有限域是一个符合以下条件的域：1. 有限性：有限域中的元素个数是有限的。
2. 封闭性：有限域中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为0）仍然属于有限域。
3. 加法逆元存在：有限域中的每个非零元素都存在一个加法逆元，使得其与该元素的和等于零元素。
4. 乘法逆元存在：有限域中的每个非零元素都存在一个乘法逆元，使得其与该元素的积等于单位元素（乘法的身份元素）。
有限域的判定方法如下：1. 确定域的元素个数。
根据有限域的定义，首先需要确定域中的元素个数。
假设有限域中的元素个数为q。
2. 判断域的加法群和乘法群。
加法群是域中的非零元素关于加法形成的一个群，而乘法群是域中的非零元素关于乘法形成的一个群。
- 加法群的阶数为q-1。
- 乘法群的阶数为q-1的倍数。
3. 判断域中的非零元素是否满足乘法的消去律。
对于有限域F中的非零元素a，当a与F中任意一个非零元素b的乘积等于1时，称a为可逆的。
如果F中任意一个非零元素都可逆，则该域为有限域。
4. 如果有限域满足上述所有条件，则可以判定该域为有限域。
否则，该域不是有限域。
以上就是判定有限域的一般方法。
具体应用时，可以根据题目给出的具体条件和问题，结合以上判定方法进行推导和验证。
总结一下，有限域的判定方法主要包括确定域的元素个数、判断加法群和乘法群的阶数、检查乘法的消去律等步骤。
通过对域的性质进行综合分析和验证，可以准确判定一个域是否为有限域。
了解有限域的判定方法，将有助于进一步研究和应用抽象代数中的相关概念和技术。
以上就是关于抽象代数中有限域的判定方法的介绍。
希望本文对读者有所启发，并能在学习和研究抽象代数时提供参考。
数论研究的三个阶段
数论研究的三个阶段[摘要]十八世纪前数论还没有形成完整体系，十八世纪后由于代数方法和解析方法的引入，数论出现了两大分支，即代数数论和解析数论。
高斯对二次互反律的研究催生了代数数论，之后经库默尔、狄利克雷、戴德金等数学家的工作而得到了进一步的发展与完善。
欧拉的研究引出了解析数论，黎曼、阿达马等数学家的研究直接推动了解析数论的发展。
关键词：数论；代数数论；解析数论The Three Stages of Number Theory ResearchAbstractThe Number theory had not formed a complete system until it was divided into two branches in the 18th century, namely the algebraic number theory and analytic umber theory. Gauss's research on the law of quadratic reciprocity had given rise to the algebraic number theory, which obtained the further development and perfection by Kummer, Dirichlet and Dedekind’s work. Euler's researches led to analytic number theory, and Riemann and Hadamard’s studies further promote the analytic number theory.Key words:the number theory; the algebraic number theory; the analytic number theory数论是对整数性质的研究，所以又叫算术或整数论。
数论中的基础概念
1群、环、域概念A1：加法的封闭性：如果a 和b 属于G ，则a+b 也属于GA2：加法结合律：对G 中的任意元素a,b,c,a+(b+c)=(a+b)+cA3：加法单位元：G 中存在一个元素0，使得对于G 中的任意元素a ，有a+0=0+a A4：加法逆元：对于G 中的任意元素a ，G 中一定存在一个元素a,使得 a+(-a)=(-a)+a=0A5：加法交换律：对于G 中的任意元素a 和b ，有a+b=b+aM1：乘法的封闭性：如果a 和b 属于G ，则ab 也属于GM2：乘法结合律：对于G 中的任意元素a,b,c 有a(bc)=(ab)cM3：乘法分配了：对于G 中的任意元素a,b,c ，有a(b+c)=ab+ac 和(a+b)c=ac+bc M4：乘法交换律：对于G 中的任意元素a,b 有ab=baM5：乘法单位元：对于G 中的任意元素a,在G 中存在一个元素1，使得a1=1a=a M6：无零因子：对于G 中的元素a,b ，若ab=0，则必有a=0或b=0M7：乘法逆元：如果a 属于G ，且a 不为0,则G 中存在一个元素1-a ，使得 111==--a a aa满足A1---A4称为群满足A1---A5称为可交换群满足A1---M3称为环满足A1---M4称为可交换换满足A1---M6称为整环满足A1---M7称为域2循环群：如果群中的每一个元素都是一个固定元素)(G a a ∈的幂k a （k 为整数）， 则称群G 是循环群。
我们认为元素a 生成了群G ，或者说a 是群G 的 生成元。
循环群总是交换群3模运算)mod ()mod (n b n a =则称整数a 和b 是模n 同余的，可以表示为：)(mod n b a ≡ 若b 整除a 。
则用符号：a |b 表示。
其性质可表示如下：①如果a|1,那么a=-1或1。
②如果a|b ，且b|a ，那么a=b 或a=-b③任何不等于零的数整除0④如果b|g 且b|h ，那么对任意整数m,n 都有b|（mg+nh ）证明性质④：如果b|g ，那么1g b g ⨯=,g 为整数。
数论：概念和问题
数论：概念和问题1. 引言数论是研究整数的性质和相互关系的数学分支。
它是数学的一个古老而重要的领域，具有广泛的应用，包括密码学、编码理论、计算机科学等。
本文将详细解释数论的概念和问题，并探讨其重要性和应用。
2. 概念的定义2.1 整数整数是数论的基本对象。
它们是不含小数部分的数，可以是正数、负数或零。
整数集合通常用符号Z表示。
2.2 素数素数是只能被1和自身整除的正整数。
例如，2、3、5、7等都是素数。
素数在数论中起着重要的作用，它们是整数的基本构建块。
2.3 互质两个整数a和b称为互质，如果它们的最大公约数（GCD）是1。
例如，3和4是互质的，因为它们的最大公约数是1。
互质的整数在数论中经常出现，它们具有一些重要的性质。
2.4 同余同余是数论中的一个重要概念。
给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m得到的余数相同，则称a与b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
例如，7 ≡2 (mod 5)表示7和2关于模5同余。
2.5 累加和累加和是数论中的一个重要概念，用于计算一系列连续整数的和。
例如，1 + 2 + 3 + … + n可以用累加和公式表示为S = n(n+1)/2。
累加和在数论中有广泛的应用，可以用于求解各种问题。
3. 关键问题3.1 质因数分解质因数分解是将一个整数表示为一系列素数的乘积。
例如，24 = 2 * 2 * 2 * 3是24的质因数分解。
质因数分解在密码学、编码理论和计算机科学等领域中具有重要的应用。
3.2 最大公约数和最小公倍数最大公约数（GCD）是两个整数中能够同时整除它们的最大正整数。
最小公倍数（LCM）是两个整数中能够同时被它们整除的最小正整数。
GCD和LCM在数论中经常用于解决问题，如简化分数、求解线性同余方程等。
3.3 同余方程同余方程是形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m是已知整数，x是未知整数。
同余方程在密码学、编码理论和计算机科学中具有广泛的应用，如RSA加密算法。
代数数论中的域的概念与构造的计算与应用
PART SIX
介绍域在密码学中的基本应用，如公钥密码体系中的模数运算和有限域运算。 举例说明如何利用域构造加密算法，如RSA算法和ElGamal算法。 介绍域在数字签名中的应用，如DSA和ECDSA等签名算法。 讨论域在密码学中的其他应用，如哈希函数和伪随机数生成器等。
域在编码理论中的应用实例
PART FOUR
定义域上的算法：用于加密和解密数据 域上的哈希函数：用于数据完整性验证 域上的公钥密码：用于实现安全的通信和数字签名 域上的数字签名：用于验证信息的来源和完整性
介绍代数数论中的 域的概念与构造的 计算在编码理论中 的应用。
说明域的应用对 于编码理论的重 要性和意义。
介绍一些具体的编 码算法和实现方式， 以及它们与域的应 用之间的关系。
息安全
编程语言：域 理论在编译原 理中用于定义 语言的数据类 型和运算规则
数据库：域理 论用于设计数 据库模式，确 保数据的完整
性和一致性
人工智能：域 理论在机器学 习和数据挖掘 中用于特征提
取和分类
PART FIVE
定义域：有限域 是包含有限个元 素的代数封闭域
快速计算方法：利 用模运算和多项式 快速求解有限域中 的元素
汇报人：XX
ห้องสมุดไป่ตู้
应用：代数闭域在数学、物理和工程等领域有广泛的应用，如解决代数方程、研究函数性质 等。
定义域的扩张为在给定域上添加新 元素并保持其代数性质的过程
有限扩张的次数定义为新添加元素 的个数
添加标题
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扩张可以分为有限扩张和无限扩张
无限扩张可以进一步分为可离的 （即存在一组基）和不可离的（即 不存在基）
域中的运算必须满 足加法、乘法的交 换律、结合律和分 配律，并且乘法对 加法有逆元，即每 个非零元素都有乘 法逆元。
有限域算法——精选推荐
有限域算法⼀、有限域介绍有限域亦称伽罗⽡域（Galois Fields），是伽罗⽡于 18 世纪 30 年代研究代数⽅程根式求解问题时引出的概念。
有限域在密码学、近代编码、计算机理论、组合数学等⽅⾯有着⼴泛的应⽤在抽象代数中，域是⼀个对加法和乘法封闭的集合，其中要求每个元素都有加法逆元，每个⾮零元素都有乘法逆元。
若域 F 只包含有限个元素，则称为有限域，有限域中元素的个数称为有限域的阶。
可以证明，有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表⽰为 p n（p 是素数，n 是正整数）。
有限域通常记为 GF(p n)有限域 GF(p n) 中的元素可以看成有限域 GF(p) 上次数⼩于 n 的多项式，因此 GF(p n) 构成 GF(p) 上的 n 维线性空间，其中的⼀组基为 {1, x, x2, ......, x n-1}，所以有限域 GF(p n) 中的所有元素可以⽤基 {1, x, x2, ......, x n-1} 的线性组合来表⽰，其线性组合的系数在 GF(p) 中，即 GF(p n) = {a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a n-1 x n-1 | a i ∈ GF(p), i = 0, 1, 2, ..., n-1}。
若将 GF(p) 上的加法单位元记作 0，乘法单位元记作 1，元素 a 的加法逆元记作 -a，⾮零元素 b 的乘法逆元记作 b-1，则有：a + (-a) = 0 (mod p), b × b-1 = 1 (mod p)。
针对GF(p) 中的元素 a 和⾮零元素 b，加法是 (a + b) mod p，减法是 (a + (-b)) mod p，乘法是 a × b mod p，除法是 a × b-1 mod p，该算法对多项式运算同样成⽴，因此GF(p n) 上的四则运算可以由 GF(p) 上多项式的四则运算导出。
特别地，当 p=2 时，GF(2n) 中的元素 a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a n-1 x n-1 可以转化为⼆进制数 a n-1 ... a2 a1 a0。
数论中的数域与数论函数
数论中的数域与数论函数数论作为数学的一个重要分支，探讨了整数的性质和结构。
在数论的研究过程中，涉及到了许多与数域相关的概念和数论函数。
本文将介绍数论中的数域以及常见的数论函数，并探讨它们在数论中的应用。
一、数域1.1 整数域整数域是最基本的数域，用符号Z表示。
整数域包括正整数、负整数和0，利用整数域可以进行基本的加减乘除运算，并且满足加法和乘法的封闭性、结合律、交换律、分配率等性质。
1.2 有理数域有理数域是由所有可以表示为两个整数比的数构成，表示为符号Q。
有理数域包括整数域以及所有形如a/b（其中a、b为整数，b≠0）的数。
在有理数域上，可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且满足分数的加、减、乘、除的运算规则。
1.3 实数域实数域用符号R表示，包括有理数和无理数。
实数域上可以进行基本运算，并且满足实数域的完备性，即实数域上的每个非空有上界的子集都有最小上界。
1.4 复数域复数域用符号C表示，由实数域R上的有序对（a,b）构成，其中a 和b都是实数。
复数域上可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且满足复数域的代数封闭性，即复数域上的任何多项式方程都有根。
二、数论函数2.1 除法函数除法函数指的是整除函数和求余函数。
整除函数d(x,y)表示x能否被y整除，如果能整除，则d(x,y)=1，否则d(x,y)=0。
求余函数r(x,y)表示x除以y的余数。
2.2 最大公因数函数最大公因数函数指的是求两个或多个整数的最大公因数的函数。
常用的求最大公因数的算法有辗转相除法、质因数分解法等。
最大公因数函数常用符号表示为gcd(x,y)，表示x和y的最大公因数。
2.3 最小公倍数函数最小公倍数函数指的是求两个或多个整数的最小公倍数的函数。
常用的求最小公倍数的算法有质因数分解法、辗转相除法等。
最小公倍数函数常用符号表示为lcm(x,y)，表示x和y的最小公倍数。
2.4 欧拉函数欧拉函数用符号φ(n)表示，表示小于等于n的正整数中与n互质的个数。
数论与有限域第五章
第一节 群
定义5.1.5 设S为定义了代数运算“◦”的任一非空集合。 若在集合S中，运算“◦”满足封闭性与结合律，则称 {S,◦}为半群。
例5.1.4 设A={1,2,3,4}，而令S为A的全部子集构成的集 合（通常称之为A的幂集），则易知{S,∩}及{S,∪}都 是半群。
第二节 子群、陪集与拉格朗 日定理
ab-1=h-1h’ H，进而ab-1H。
iii. (ab-1∈H→aHb)：设ab-1H，则存在hH，使得 ab-1=h，于是a=hbHb，即aHb。
二、陪集与拉格朗日定理
定理5.1.2 设H为群G的子群，a，bG，则 – aHa； – 右陪集Ha与Hb或者相等或者相交为空集，即 Ha=Hb或Ha∩Hb=Φ；
陪集)而其余的右陪集都不是G的子群； 2) 右陪集分解式中出现的右陪集彼此都不相交； 3) 分解式中每个右陪集的代表元都可以适当替换。
二、陪集与拉格朗日定理
设H为群G的子群，若记 SR={集Ha合|a，G}, SR为H的所有不重复的右陪集做成的 SL={集cH合|c。G}，SL为H的全部不重复的左陪集做成的 则左陪集将与右陪集具有完全相似的性质。同时有
由定义5.1.3可知，群中单位元的阶是l，而其他任何元 素的阶都大于1，例如在非零有理数乘法群中，单位 元1的阶是1，而元素-1的阶是2，其余元素的阶均为 无限。
定义5.1.4 群G中的元素个数称为G的阶，通常记为|G|。
例5.1.3 集合G={1, -1, i, -i}关于数的普通乘法作成群， 即4次单位根群。其中群G的阶为4，元素l的阶是l，-1 的阶是2，而虚单位根i与-i的阶都是4。
一、子群
二、陪集与拉格朗日定理
一、 子群
定义5.1.5 如果群G的子集H对于群G的运算也构成了群，则称H为 群G的子群，并称群G的除了{e}和G之外的子群为G的真子群。
有限域介绍
加法和减法
GF(2^m)上的加法和减法都是异或运算。加法单位元是 0。 010 和 110 都是 GF(2^3)的元素。那么 010+110=010 ⊕ 110010−110=010 ⊕ 110=100=100010+110=010 ⊕ 110=100010−110=010 ⊕ 110=100 因为长度为 m 的二进制数异或结果还是长度为 m 的二进制数，所以不需要考虑结果超出范 围的情况。
也就是解下面的方程：
bx=1mod7bx=1mod7
bx=1+7k,其中 k∈Z+bx=1+7k,其中 k∈Z+
这个方程的求解需要用到扩展欧几里得算法，这里不再赘述。下面直接给出结果：
3÷4=3∗(4−1)=3∗2=6mod7=63÷4=3∗(4−1)=3∗2=6mod7=6
有限域 GF(2^m)
半群
在一个集合 S 中定义了某种运算（记作加法“+”，但这个加法指代广泛意义 上的运算，并不是指日常使用的加法），那么在这个集合上，如果这种运算满足 以下性质，那么他和集合 S 共同组成一个半群，记作(S, +)：
1. 封闭性。也就是运算的结果始终在集合 S 内 2. 结合律。也就是满足：(a + b) + c= a + (b + c)
但这个加法指代广泛意义上的运算并不是指日常使用的加法那么在这个集合上如果这种运算满足以下性质那么他和集合共同组成一个半群记作s而运算是实数加法那么它们共同形成了一个半群记作中存在一个元素e使得那么这个半群被称为幺半群元素被称为单位元或者幺元
抽象代数基础
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幂运算采用重复乘法实现 例子.通过同余式演算证明： （1）560－1是56的倍数 （2）223－1是47的倍数。 解： 注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡169≡1(mod56) 对同余式的两边同时升到10次幂， 即有56∣560-1。
同理, 注意到26=64≡17(mod47), 223=(26)3· 25=(26 ·26)26 ·25 ≡289*(17)*(32) mod47 ≡7*17*32 (mod47) ≡ 25*32(mod47) ≡1(mod47) 于是有 47∣223-1
5
6
7
Example GCD(1970,1066)
1970 = 1 x 1066 + 904 1066 = 1 x 904 + 162 904 = 5 x 162 + 94 162 = 1 x 94 + 68 94 = 1 x 68 + 26 68 = 2 x 26 + 16 26 = 1 x 16 + 10 16 = 1 x 10 + 6 10 = 1 x 6 + 4 6 = 1 x 4 + 2 4 = 2 x 2 + 0 因此gcd(1970,1066)=2 gcd(1066, 904) gcd(904, 162) gcd(162, 94) gcd(94, 68) gcd(68, 26) gcd(26, 16) gcd(16, 10) gcd(10, 6) gcd(6, 4) gcd(4, 2) gcd(2, 0)
• 例如：a =35, n=3, 求a关于模n 的乘法 反元素 a-1 ？a-1=2
加法逆元
• 加法逆元(-w) – 对每一个w∈Zn，存在一个z，使得 w+z≡0 mod n，则z即为加法逆元-w • 。
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现代密码学理论与实践04
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交换群和循环群
• 交换群Abelian Group：还满足以下条件的群称为交 换群(又称阿贝尔群)
– (A5) 交换律Commutative ：对于G中任意的元素a, b，都 有a•b=b•a成立
• 当群中的运算符是加法时，其单位元是0；a的逆元 是-a, 并且减法用以下的规则定义： a – b = a + (-b) • 循环群Cyclic Group
– (A1-A5), 单位元是0，a的逆是 -a. – (M1), 乘法封闭性, 如果a和b属于R, 则ab也属于R – (M2), 乘法结合律,对于R中任意a, b, c有a(bc)=(ab)c. – (M3), 乘法分配律, a(b+c)=ab+ac or (a+b)c=ac+bc – (M4), 乘法交换律, ab=ba，交换环 – (M5), 乘法单位元, R中存在元素1使得所有a有 a1=1a. – (M6), 无零因子, 如果R中有a, b且ab=0, 则 a=0 or b=0. 满足M4的是交换环；满足M5和M6的交换环是整环
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4.4 概念：群、环、域
• 群 • 环 • 域 • 高等教育出版社<近世代数初步>
群、有限群和无限群
• 用Nn表示n个不同符号的集合，{1,2,…,n}. n个不同符号的一个 置换是一个Nn到Nn的一一映射。定义Sn为n个不同符号的所有 置换组成的集合。Sn中的每一个元素都代表集合{1,2,…,n}的一 个置换，容易验证Sn是一个群：
– A1：如果π,ρ∈Sn，则合成映射π•ρ根据置换π来改变ρ中元素的 次序而形成，如，{3,2,1}•{1,3,2}={2,3,1},显然π•ρ ∈Sn – A2：映射的合成显而易见满足结合律 – A3：恒等映射就是不改变n个元素位置的置换，对于Sn，单位元 是{1,2,…,n} – A4：对于任意π∈Sn ，抵消由π定义置换的映射就是π的逆元， 这个逆元总是存在，例如： {2,3,1}•{3,1,2}={1,2,3},
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现代密码学理论与实践04
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域 (Fields)
• 域F, 可以记为{F, +, x}, 是有加法和乘法的 两个二元运算的元素的集合，对于F中的任 意元素a, b, c, 满足以下公理：
– (A1-M6), F是一个整环 – (M7), 乘法逆元, 对于F中的任意元素a(除0以外 ), F中都存在一个元素a-1, 使得aa-1=(a-1)a=1. – 域就是一个集合，在其上进行加减乘除而不脱 离该集合, 除法按以下规则定义: a/b=a(b-1).
0
5
5
10
2
15
7
20
4
25
1
30
6
35
3
• 1.乘法逆元 • 若ax=1 mod f 则称a关于模f的乘法逆元 为x。也可表示为ax≡1(mod f)。
例如：4关于模7的乘法逆元为多少？ 4*X≡1(mod 7) 这个方程等价于求一个X和K，满足 4X=7K+1 其中X和K都是整数。 (x=2.k=1)
第四章（2） 数论和有限域
4.1 概念：整数性和除法
• 整除性：
设a、b、m都是整数，如果a=mb，则说非零整数b整 除a，用b|a表示b整除a，b是a的因子。
• 除法： • a=qn+r
0 r n; q a / n
• 以下关系成立 – 如果a|1, 则a=±1 – 如果a|b，且b|a, 则a=±b – 任何b≠0能整除0 –如果b|g，且b|h, 则对任何整数m和n有b|(mg+nh) • Eg: b=7, g=14, h=63, m=3, n=2, 7|14 and 7|63 求证：7|(3x14 + 2x63) 证明：(3x14 + 2x63)=7(3x2 + 2x9) 显然, 7|(7(3x2 + 2x9)) • 如果a ≡ 0 mod n，则n|a
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3 符号代数阶段
• 符号代数的意义 • 字母表示数：代数学不再停留在具体的 数字计算，有了真正意义的数学公式、 运算法则，并由此进化为现代数学符号 系统、现代数学公理系统
• 项武义：近代代数学的分界不在于“字 母表示数”而是“不定元引入”
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4 结构代数阶段
• 结构代数：从公理系统出发研究特定的 代数系统，群、环、域等 • 抽象代数是现代数学的基础
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修改的欧几里德算法（自阅） gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) gcd(18,12)=gcd(12,6)=gcd(6,0)=6
gcd(11,10)=gcd(10,1)=gcd(1,0)=1
扩展欧几里德定理 （自阅）
对于与不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a,b）表示 a,b 的最 大公约数。那么存在整数 x，y 使得 gcd（a,b）=ax+by。 例如：gcd(42,30)=6,下图是42x+30y的部分值
于是
定理：(消去律)对于ab≡ac（mod m）来说，若gcd(a,m)＝1则 b≡c(mod m)
• • • • •
例如1：附加条件不满足的情况 6×3=18≡2 mod 8 a=6 n=8 6×7=42≡2 mod 8 但3≠7 mod 8 例如2：附加条件满足的情况 5×3＝15≡7 mod 8 a=5 n=8 • 5×11=55≡7 mod 8 • 3≡11 mod 8
• 有理数集合, 实数集合和复数集合都是域；整数集合 不是域，因为除了1和-1有乘法逆元，其他元素都无 乘法逆元
3
-66
-36
-24
6
18
48
60
90
102
132
144
174
186
216
图是42x+30y的部分值，最小正整数是gcd(42,30)=6,
补充了解：抽象代数
代数学发展的4个阶段:
1 2 3 4 文字叙述阶段 简化文字阶段 符号代数阶段 结构代数阶段
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1.1 方法与对象
• • • • 1 文字叙述阶段 主要特点: 直观推理 古代中国: 筹算法 古代希腊: 几何数论
eg. -12 mod 7 = -5 mod 7 = 2 mod 7 = 9 mod 7
• ① ② ③ ④
性质1： 若a≡b（mod n）看作a与b的二元关系，则它是一个等 价关系，即满足： 自反性 a ≡a（mod n）； 对等性 如果a mod n=b mod n，则a≡b（mod n）； 对称性 若a≡b（mod n），则b≡a（mod n）； 传递性 若a≡b（mod n）， b≡c（mod n），则a≡c（ mod n）。
– 如果群中的每一个元素都是一个固定的元素a (a ∈G)的 幂ak(k为整数)，则称群G为循环群。元素a生成了群G， 或者说a是群G的生成元。
2018/6/26
现代密码学理论与实践04
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环 (RinBiblioteka s)• 环R, 由{R, +, x}表示, 是具有加法和乘法两个二元 运算的元素的集合，对于环中的所有a, b, c, 都服从 以下公理：
原因：模m的乘法运算返回的结果是0到m-1之间的数，如果乘数a 和模数m有除1以外的共同因子时将不会产生完整的余数集合。 Z8
乘以6 模8后 的 余 数
0 0 0
1 6 6
2 12 4
3 18 2
4 24 0
5 30 6
6 36 4
7 42 2
Z8
乘 以 5 模 8 后 的 余数
0
1
2
3
4
5
6
7
0