第八章平衡
机械设计基础-第八章平衡和调速
显然，动能变化量相同时，飞轮的转动惯量越大，角速度 波动越小。
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2、非周期性速度波动
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措施：安装转动惯量较大的回转件——飞轮（转动惯量较大 的盘形零件）。 原理：盈功时飞轮储存能量，飞轮的动能增加，使主轴 角速度上升的幅度减小； 亏功时飞轮释放其能量，飞轮动能减少，使主轴 角速度下降的幅度减小
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机械设计基础
之
第八章 调速和平衡
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第八章 化学平衡与标准常数
N2(g) + O2(g) = 2NO(g) 判断在下列条件下反应进行的方向：
① 82.1 ② 5.1 ③ 2.0×103
解： ①
J
PN 2
PO 2
82.1 5.1 5.1×103
PNO (kPa)
1.00 1.6 4.1×103
( PNO / P ) 2 ( PN 2 / P )(P 2 / P ) O
= （0.0100)2/(0.821)(0.821) = 1.48 × 10-4 J/K = (1.48 × 10-4)/ 9.8 × 10-2 < 1 正向自发
• ② J = 9.8 × 10-2
•
J
K
= 1 平衡
③ J = 1.6
•J
K = 1.6/ 9.8 × 10-2 > 1 正向非自发
r Gm (T ) r H m (T ) T r Sm (T )
rGØm(383 K) = 88.24 - 383×0.1676=18.05 kJ.mol-1 • 根据分压定律可求得空气中CO2的分压
p(CO2 ) p (CO2 ) 101.325kPa 0.030% 30 Pa
eq
g
eq
h
eq
d
eq
e
eq
B
B
r Gm RT ln K
r G(T ) r G (T ) RT ln J
r Gm RT ln K RT ln J
r G(T ) r G (T ) RT ln J
r Gm (T ) RT ln K (T )
无机化学第八章 化学平衡
方括号内表示的是物质的平衡浓度 Kc 是用平衡浓度表示的平衡常数
的表达式中可以看出, 从经验平衡常数 Kc 的表达式中可以看出,Kc 的单 即为浓度的某次幂. 位是: 位是:[mol dm-3]( e + d ) - ( a + b)即为浓度的某次幂. 当 (e + d) = (a + b) 时, Kc 无单位 对于气相反应: 对于气相反应: a A (g) +b B (g) eE (g) + dD (g)
§8-1
化学反应的可逆性和化学平衡
可逆反应:在一定条件下, 可逆反应:在一定条件下,一个化学反应即可从左 向右进行, 向右进行,又可以从右向左进行的反应 叫可逆反应. 叫可逆反应. 例如: CO2(g) + H2 (g) 例如:CO(g) + H2O(g) Ag +(aq) + Cl - (aq) AgCl (s) ↓ 化学反应的这种性质叫反应的可逆性. 化学反应的这种性质叫反应的可逆性.几乎所有 的反应都具有可逆性,只是可逆性程度不同.习惯上, 的反应都具有可逆性,只是可逆性程度不同.习惯上, 我们把可逆性显著的化学反应,称为可逆反应( 我们把可逆性显著的化学反应,称为可逆反应(用箭 头表示) 可逆性不显著的化学反应, 头表示);可逆性不显著的化学反应,称为不可逆反 用平行线表示) 应(用平行线表示).可逆反应最终将导致化学平衡 状态(即可逆化学反应可以完成的最大限度) 状态(即可逆化学反应可以完成的最大限度).
注意: 注意 平衡状态,平衡体系各物质浓度保持不变, (1)平衡状态,平衡体系各物质浓度保持不变,但各 物质浓度值与初始浓度有关. 物质浓度值与初始浓度有关. 平衡常数与各物质初始浓度无关但与温度有关. (2)平衡常数与各物质初始浓度无关但与温度有关. 2-2 平衡常数表达式的书写要求和多重平衡规则 1.平衡常数表达式的书写要求 1.平衡常数表达式的书写要求 反应体系中纯固体,纯液体及水溶液中的水的 反应体系中纯固体, 浓度不写入平衡常数表达式中. 浓度不写入平衡常数表达式中.如: Cr2O72-(aq) + H2O 2 CrO42-(aq) + 2H+(aq) Kc =
高中化学第八章 水溶液中的离子平衡知识点总结
第八章水溶液中的离子平衡第一讲弱电解质的电离平衡考点1弱电解质的电离平衡一、弱电解质的电离平衡1．强、弱电解质(1)概念(2)与物质类别的关系①强电解质主要包括强酸、强碱和大多数盐。
②弱电解质主要包括弱酸、弱碱、少数盐和水。
(3)电离方程式的书写①弱电解质a．多元弱酸分步电离，且第一步电离程度远远大于第二步，如H2CO3电离方程式：H2CO3H＋＋HCO－3，HCO－3H＋＋CO2－3。
b．多元弱碱电离方程式一步写成，如Fe(OH)3电离方程式：Fe(OH)3Fe3＋＋3OH－。
②酸式盐a．强酸的酸式盐完全电离，如NaHSO4电离方程式：NaHSO4===Na＋＋H＋＋SO2－4。
b．弱酸的酸式盐中酸式酸根不能完全电离，如NaHCO3电离方程式：NaHCO3===Na＋＋HCO－3，HCO－3H＋＋CO2－3。
2．电离平衡的建立在一定条件(如温度、浓度等)下，当弱电解质分子电离成离子的速率和离子结合成弱电解质分子的速率相等时，电离过程就达到平衡。
平衡建立过程如图所示：3．电离平衡的特征二、影响电离平衡的外界条件1．温度：温度升高，电离平衡向右移动，电离程度增大。
2．浓度：稀释溶液，电离平衡向右移动，电离程度增大。
3．同离子效应：加入与弱电解质具有相同离子的强电解质，电离平衡向左移动，电离程度减小。
4．加入能与电离出的离子反应的物质：电离平衡向右移动，电离程度增大。
考点2 电离平衡常数1．表达式(1)对于一元弱酸HA ：HAH ＋＋A －，电离平衡常数K ＝c （H ＋）·c （A －）c （HA ）。
(2)对于一元弱碱BOH ：BOH B ＋＋OH －，电离平衡常数K ＝c （B ＋）·c （OH －）c （BOH ）。
2．特点(1)电离平衡常数只与温度有关，因电离是吸热过程，所以升温，K 值增大。
(2)多元弱酸的各级电离平衡常数的大小关系是K 1≫K 2≫K 3≫…，故其酸性取决于第一步。
八年级物理下册第八章 第二讲 二力平衡
第八章第二讲 二力平衡知识要点一、二力平衡物体在受到两个力作用时，如果保持静止状态或匀速直线运动状态，我们就说这两个力彼此平衡 同理，物体在受到几个力作用时，如果保持静止状态或匀速直线运动状态，我们就说这几个力相互平衡。
二、二力平衡的条件通过实验得出，要使受力物体保持静止状态必须满足下列四个条件：①两个力作用在同一个物体上 ②大小相等 ③方向相反 ④作用在同一条直线上如果物体做匀速直线运动，所作用的两个力也应满足以上这些条件二力平衡的条件是：作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，并且在同一直线上，这两个力就彼此平衡。
判断时四者同时具备缺一不可。
三、二力平衡的条件的应用①判断物体是否受力平衡②根据一个力的大小方向，确定另一个力的大小方向。
经典例题1．如图所示，哪个图中的两个力是平衡的（ ）2．下列说法中正确的是（ ）A ．物体的运动状态保持不变，它一定没有宏观世界到外力的作用B ．物体受到了力，运动状态一定改变C ．在平衡力的作用下，物体一定做匀速直线运动D ．物体的运动状态发生改变，它一定受到外力的作用5N A 5N 5N B 5N 5N C 5N5ND 5N3．质量相同的物体甲、乙、丙，甲在拉力1F 作用下以2m/s 的速度匀速上升，乙在拉力2F 作用下以1m/s 的速度匀速下降，丙在拉力3F 作用下恰好静止不动。
不计空气阻力，则1F 、2F 、3F 的大小关系是 。
4．一个重500N 的人站在电梯中，求下列情况下电梯底面对人的支持力大小和方向。
（1）人和电梯一起静止不动；（2）人和电梯一起以1.51-⋅s m 的速度匀速上升；（3）人和电梯一起以2.01-⋅s m 的速度匀速下降。
基础过关1．关于平衡力，下列说法正确的是( )A ．物体在平衡力作用下一定保持静止状态 B.物体在平衡力作用下一定处于匀速直线运动状态C ．相互平衡的两个力一定是性质相同的力 D.平衡力一定是作用在同一物体上的两个力2．物体受两个力的作用，由下面哪种情况可以判断这两个力一定是一对平衡力( )。
第八章-相平衡与相图原理
f 1 单变量体系
F 3 三相共存
f 0 无变量体系
单组分体系的自由度最多为2，双变量体系 的相图可用平面图表示。
2024/7/17
单组分体系的相图
相点 表示某个相状态（如相态、组成、温度 等）的点称为相点。 物系点 相图中表示体系总状态的点称为物系点。 在T-x图上，物系点可以沿着与温度坐标平行的垂线 上、下移动；在水盐体系图上，随着含水量的变化， 物系点可沿着与组成坐标平行的直线左右移动。
2024/7/17
照片为亚共晶Pb-Sn合金的显微组织照片， 图中块状深色组织为先共晶相，其余黑白相间的基体为共晶组织。
2024/7/17
气体，不论有多少种气体混合，只有一个气相。 液体，按其互溶程度可以组成一相、两相或三 相共存。 固体，一般有一种固体便有一个相。两种固体粉 末无论混合得多么均匀，仍是两个相（固体溶液 除外，它是单相）。
2024/7/17
三相点与冰点的区别
三相点是物质自身的特性，不能加以改变，如H2O 的三相点。 T 273.16 K , p 610.62 Pa . 冰点是在大气压力下，水、冰、气三相共存。当大 气压力为105 Pa时，冰点温度为 273.15 K ，改变外 压，冰点也随之改变。
2024/7/17
2024/7/17
• 二组元在液态和固态都能够完全相互溶解，所 有成分(Ni: 0~100%)的合金在固态只有一种晶 体结构，相图中只有一个固相区。
• 因此，能够形成匀晶合金系的两种组元必须具 有相同的晶体结构，相同的原子价，原子半径 接近(相差不超过15％)，相互不形成化合物。
2024/7/17
设合金的平均成分为x，合金的总量为Q，在温度T1时液、 固 质两量相为平QS衡。，则液有相：的成分为xL、质量为QL，固相的成分为xS、
第八章 回转件的平衡
一、质量分布在同一平面内
方法一： 解析法） 方法一：（解析法） r r r r r r r ∑ 静平衡条件： 静平衡条件： F = ∑ Fi + Fb = 0即F1 + F2 + F3 + Fb = 0 r r r r r r ∑ mi riω 2 + mb rbω 2 = 0即m1r1 + m2 r2 + m3 r3 + mb rb = 0 式中： 称为质径积，单位：kg.cm或g.mm。 式中 miri 称为质径积，单位：kg.cm或g.mm。 建立直角坐标系，根据力平衡条件， 建立直角坐标系，根据力平衡条件，由∑Fx=0 及∑Fy=0 得： (mb rb ) x = −(m1r1 cos α1 + m2 r2 cos α 2 + m3r3 cos α 3 ) ⇒ (mb rb ) x = − ∑ mi ri cos α i
第八章 回转件的平衡
一、回转件平衡的目的
示例： 示例： 有一质量Q=10N的转子， r/min， 有一质量Q=10N的转子，工作转速为 n=10000 r/min， Q=10 仅为1 mm。 其偏心距e仅为1 mm。 该转子产生的离心惯性力为F=1120 N，为转子自重的 112 倍。 机械平衡的目的： 机械平衡的目的：设法将回转件产生的不平衡惯性力加以 平衡以消除或减小惯性力的不良影响。 平衡以消除或减小惯性力的不良影响。
m2、 m3，分别位于回转平面1、2、3内，它们的回转半径分别 分别位于回转平面1 、
方向如图所示。当此回转件以角速度ω回转时， 为r1 、r2、 r3,方向如图所示。当此回转件以角速度ω回转时，它 、 们产生的惯性力将形成空间力系。 们产生的惯性力将形成空间力系。
武汉大学版无机化学课后习题答案08化学平衡
第八章化学平衡1.怎样正确理解化学反应的平衡状态？答化学平衡状态就是在可連反应中正反应和负反应的速率等时反应物和生成物的浓度不再随时司而改变的状态.2.如何正确书写经验平衡常数和标准平衡常数的表达式？答•经验平衡常数；在一定温度下，可逆反应达平衡时，生成物册浓酗反应方程式中计量系数为指数的黑的乘积与反应物的浓度以反应方程式中计量系数为指数的需昂乘积之比是L 个常数.经验平衡常数K —般肓单位，只有■当反应物的计重系数之和与生成物的计量系数之和相等时！K才是无量纟PS-&虫十bE O gG+ hH而标准平衡常数中的浓虧压强均为一个相对僵都是相对AT标淮值标准压虽尸"而言，不论是气相、襪相还是复相反应，疋均为无墾恆壘.aA(aq) + bB(aq) O gG(aq) + hH(aq)曲(呂)+ bB{g) O g。
(宕H 应H(g)P P3.写出下列可逆反应的平衡常数K c、K p或K的表达式(1) 2NOCI(g) 2NO(g) + Cl 2(g)(2) Zn(s) + CO 2(g) ---------- -ZnO(s) + CO(g)(3) MgSO4(s) ---------- MgO(s) + SO 3(g)(5) NH 4Cl(s) NH 3(g) + HCl(g)+ ----------------------- '亠2+⑷ Zn(s) + 2H (aq)------------ Zn (aq) + H2(g)+HCN ---------- H + CN - ________ +NH 3 + H 20 ------------ N H 4 + OH% +_.出0 ------------ H + 0H ■5.平衡常数能否代表转化率？如何正确认识两者之间的关系？ 答平衡常酸是指在一定温度下达平衡时悴系中各物质的浓度关系，而转化率是某种物质的 转优率，它等于被转化的量除以原来重口6.在 699K 时，反应 H 2(g) + I 2(g) -------------- 2HI(g)的平衡常数 K p =55.3，如果将 2.00molH 2 和 2.00moll 2作用于4.00dm 3的容器内，问在该温度下达到平衡时有多少 HI 生成？解心= —Z- 在同一体系中，V ，氏T 均相等，P«n疋 虽_=M 5.3=^x=1.576生成 HI 157$ 2=3.15 mol试计算下面反应的平衡常数： NH 3 + HCNNH 4 + CN7.反应 H 2 + CO 2H 2O + CO 在 1259K 达平衡,平衡时[H 2]=[CO 2]=0.44mol -dm4.已知下列反应的平衡常数：A. p =⑵ 他[H 2O]=[CO]=0.56mol • dm _。
第八章 回转件的平衡
动平衡设计步骤：
1) 在转子上选定两个适于安装平衡质量的平面作为 平衡平面或校正平面； 2) 确定需在两个平衡平面内增加的平衡质量的质径 积大小和方向； 3) 选定向径，将平衡质量加到转子相应的方位上。
小结：
(1) 动平衡的条件：当转子转动时，转子上分布在不同平面内的 各个质量所产生的空间离心惯性力系的合力及合力矩均为 零。 (2) 对于动不平衡的转子，需加平衡质量的最少数目为2。动 不平衡又称为双面平衡，而静平衡则称为单面平衡。 (3) 经过动平衡的转子一定静平衡；反之，经过静平衡 的转子则不一定是动平衡的。
已知： 分布于同一回转平面内的偏心质 量为m1, m2和m3 从回转中心到各偏心质量中心的 向径为r1，r2 和r3。 当转子以等角速度w转动时，各 偏心质量所产生的离心惯性力分别 为：F1，F2，F3。
增加一个平衡质量mb，其向径为rb， 所产生的离心惯性力为Fb。 要求平衡时，Fb, F1, F2, F3所形 成的合力F应为零：
圆盘式静平衡架：
当转子两端支承轴的尺寸不同 时，应采用这种平衡架。
径宽比D/b＜5的刚性转子：必要时在制成后还 要进行动平衡试验。 动平衡试验一般需要在专用的动平衡机上进行， 确定需加于两个平衡平面中的平衡质量的大小 及方位。
一种带微机系统的硬支承动平衡机
该动平衡机由机械部分、振动信号预处理电路和微机三部分组 成。
任何一个质径积都可以用任意选定的两个回转平面 内的质径积代替，若向径不变，任一质量可用任意 选定的两个回转平面内的质量代替。
注意：两个质径积或者两个质量应在平衡 质量向径积和回转轴线构成的平面内。 平衡后，这类回转件可在任意回转位置 保持平衡，故称为静平衡。
结论：
（1）静平衡的条件：分布于转子上的各个偏心质量的离 心惯性力的合力为零或质径积的向量和为零。 （2）对于静不平衡的转子，无论它有多少个偏心 质量，都只需要适当地增加一个平衡质量即 可获得平衡,即对于静不平衡的转子，需加平 衡质量的最少数目为1。
第八章_机械系统的平衡
一、机械平衡的目的及内容
2、机械平衡的内容 、
（1）刚性转子平衡。 n工作< (0.6～0.75) nc1，[ nc1为转子的 ）刚性转子平衡。 ～ 第一阶共振转速] 此时，转子的弹性变形甚小，故称为刚性转子。 第一阶共振转速 ，此时，转子的弹性变形甚小，故称为刚性转子。 刚性转子平衡原理是基于理论力学中力系平衡理论。 刚性转子平衡原理是基于理论力学中力系平衡理论。 若只要求其惯性力达到平衡，则称为转子的静平衡(static balance)； 若只要求其惯性力达到平衡，则称为转子的静平衡 静平衡 ；
' 1
F"2
Ⅱ
F2
l − l1 则： F = F1 l
' 1
F'2
Ⅰ
m r1 1 F'1 F'3 l1 l2 F1 l3
m2 r2 m3 r3 F3 F"3 F"1
' 2 l − li 而 Fi = mi riω l
l − l2 F = F2 l l − l3 ' F3 = F3 l
' 2
l
2.刚性转子的动平衡计算(双面平衡） 2.刚性转子的动平衡计算(双面平衡） 刚性转子的动平衡计算
静 平 衡
一、机械平衡的目的及内容
2、机械平衡的内容 、 如果不仅要求其惯性力达到平衡， 如果不仅要求其惯性力达到平衡，而且还要求 惯性力引起的力矩也达到平衡，则称之为转子的动 惯性力引起的力矩也达到平衡，则称之为转子的动 平衡(dynamic balance)。 平衡 。
动 平 衡
一、机械平衡的目的及内容
2、机械平衡的内容 、 (2) 挠性转子的平衡 [n工作≥ (0.6～0.75) nc1 ]
第八章 第二节 二力平衡
方向相反，并且在同一条直线上
同一物体上 不同物体上
一对平衡力与相互作用力区 别
平衡力作用一个物体上，相互作用的力 作用两个物体上。
1．物理书放在水平桌面上，下列属于平衡力的是 （ D ）。 A．物理书所受的重力与物理书对桌面的压力 B．物理书对桌面的压力与桌面对物理书的支持力 C．物理所受的重力与地面对桌子的支持力 D．物理书所受的重力与桌面对物理书的支持力
G F浮
物体虽然受力， 但是这几个力 的作用效果相 互抵消，相当 于不受力（合 力为零）这时 我们就说这几 个力平衡，这 时物体处于平 衡状态
G
F
G
匀速上浮潜水艇
匀 速 降 落 的 运 动 员
G
一、力的平衡
1．物体在受到几个力的作用时，如果保持静止或匀速
直线运动状态，我们就说这几个力平衡。
只受两个力
F F
8、请画出图9-3-2中物体受力的示意图， 并分析物体是否受到平衡力，哪一对力是二力平衡。 1）静止悬挂的电灯。 2）静止在桌面上的茶杯。 3）匀速运动的拖车。
A、正从地面腾空而起的火箭
B、竖直向上抛出的石子
C、沿光滑斜坡越滚越快的小球 D、在水平直路上匀速行驶的汽车
5.人用手提着一只水桶站在地面上，下列各叙 述中属于一对平衡力的是( C ) A、水桶的重力和地面对人的支持力 B、水桶对手的拉力和水桶的重力 C、手对水桶的拉力和水桶的重力 D、手对水桶的拉力和水桶对手的拉力
F1=5 N F2=5 N F2=5 N
A
F1=5 N F2=5 N
F1=3 N
B
F2=5 N
C
F1=5 N
D
平衡力
运动状态不改变
Ｆ
静止：
第八化学平衡
2NO(g)+O2(g)
2NO2(g) K1
+) 2NO2(g)
N2O4(g)
K2
2NO(g)+O2(g)
N2O4(g) K3=K1K2
6/2/2020 13
二、平衡常数与化学反应的程度 用平衡转化率衡量反应进行的程度
已转化为产物部分的量 反应物的平衡转化率= 反应物的起始总量 ×100%
P311 例 8-1 (注意解题步骤）
KC
k正 k逆
？
6/2/2020 8
气相反应：
KP =((PPGA))ag((PPBH))bh
Pi─平衡分压 单位 pa
Kp与Kc的关系:
由PV=nRT推出 Kp=Kc(RT)(g+h)-
(a+b)
P:atm ; C:mol·dm-3 ; R:0.08206
6/2/2020 9
2.K的意义
（1）K是衡量反应所能达到的限度的平衡常数 同类型反应，给定条件下，K值越大，表示
正向反应进行的越完全。 K ： ← 10-7 ─ 107 → 逆向较完全 可逆反应 正向较完全 （2）温度一定，K为定值，与浓度无关。不同 反应有不同的K值。
6/2/2020 10
3.书写平衡常数应注意问题
（1）稀水溶液中水的浓度不写；非水溶液中进行的 反应，有水参加或生成，水浓度要写。
Cr2O72-(aq)+H2O(l)
温度升高，T2＞T1 ，K2θ＞K1θ，Kθ升高， 即升温平衡向正反应方向移动。
6/2/2020 33
结论：升温平衡向吸热方向移动 降温平衡向放热方向移动
四、催化剂与化学平衡
催化剂能同等程度地降低正、逆反应的活 化能，同等倍数增大正、逆反应速率，但不 能改变标准平衡常数。
第八章单元系统复相平衡
单元系统复相平衡内容提要：一．概述二．系统平衡态判断依据及单元系统热力平衡条件三．平衡的稳定性条件——四种平衡及其稳定性条件四．从相平衡导出克劳修斯—克拉珀龙方程五．关于潜热随温度变化率以及蒸汽压方程的研究六．有弯曲分界面的相平衡七．液滴与气泡的形成和其大小一. 概述本章内容主要是讨论系统达到平衡时应满足的条件，讨论的内容限于单元系统，即纯物质系统，讨论的目的是得到的热力学理论知识用于了解物质的物态变化，如平衡相转变等。
二．系统平衡态判断依据及单元系统热力平衡条件所谓系统处于平衡态，就是指在一定的限制条件下，一个系统的状态总是朝着一定的方向变化。
变化的结果将达到某一个状态，在这个状态上只要所处的限制条件不改变，并且不受外界的作用，系统的状态将不在发生任何变化。
孤立系统的热力学平衡的判断依据，即孤立系统处于平衡态时具有最大值，也称做平衡态的熵平衡。
这里采用的是热力学第二定律的一个推论，即孤立系统的熵增原理进行讨论和分析。
在使用熵增原理作为平衡的判断依据的时候，必须将系统与外界的熵一起考虑，但是这样在使用起来有很多不便之处，以下我们只考虑系统本身而得到的四个热力平衡态的依据：a.推出：(dU)s,v≤0,它的含义是：＜成立时，过程自发进行，一直进行到(dU)s,v=0，系统处于平衡状态，该式说明在定熵定容过程中，热力过程向内能减小的方向进行，而内能U达到最小值时，系统达到平衡状态。
因此，系统内能的最小值可以作为定熵定容中系统平衡的依据。
b.推出：(dH)s,p≤0,它的含义是：＜成立时，过程自发进行，一直进行到(dH)s,p=0，系统处于平衡状态，该式说明在定熵定压过程中，热力过程向焓减小的方向进行，而焓H达到最小值时，系统达到平衡状态。
第八章回转件的平衡
加或除去一个平衡质量，即可完全平衡。——双面平衡
(double-plane balance)
（3）动平衡同时满足静平衡的条件——经过动平衡的转子一 定静平衡；经过静平衡的转子不一定动平衡。
例题：高速水泵的凸轮轴系由三个互相错开120º的偏心轮组成，每一偏心轮 的质量为m ，其偏心距为r， 设在平衡平面A和B上各装一个平衡质量mA和 mB ，其回转半径为2r，其他尺寸如图示。试求mA和mB的大小和方向。
➢ 分别按每个平衡基面建立质径积的平衡方程式，用图解法求 解出两平衡基面的平衡质量的大小及方位。
I
F2I F1I
F3I
F2 m2 r2
r1 m1 F1
L
II
F2II
F1II
r3 m3 F3
l2
F3II l3
l1
m3I r3I
m2I r2I
mbI rbI
m1I r1I mr I
m3II r3 II
m2II r2II
mbII rbII m1II r1II
mr I I
4. 结论
（1）动平衡的条件——当转子转动时，转子分布在不同平面
内的各个质量所产生的空间离心惯性
力系的合力和合力矩均为零。
F
0
M 0
（2）动不平衡的转子，不论有多少个偏心质量，分布在多少
个回转平面内，都只需要在两个选定的平衡面内分别增
解： 不平衡质径积
mC rC mDrD mErE mr
分别分解到平衡平面A和B
mCrC A 200m r / 250 4m r / 5 mDrD A 125m r / 250 m r / 2 mErE A 50m r / 250 m r / 5
mCrC B 50m r / 250 m r / 5 mDrD B 125m r / 250 m r / 2 mErE B 200m r / 250 4m r / 5
《机械设计基础》第8章 回转件的平衡
D
它们的质量可以视为分 布在垂直于轴线的同一回转 面内，如其质心不在回转轴 线上，则其偏心质量产生的 惯性力不平衡。这种不平衡 现象在回转件静态时就会表 现出来，故称为静不平衡。
F=me 2 m e
B
D
F=me 2 m e
B
回转件的静平衡，就是利用在回转件上增加或除去一 平衡质量的方法，使其质心回到回转轴线上，从而使回转 件的惯性力得到平衡（即∑F = 0）的一种平衡措施。 其平衡的原理：利用理论力学平面汇交力系的平衡理论。
2）分别把每个偏心质量
mi用两个平面上的质量
mi′和mi″来代替； 分解公式为： mi′= mi li″/l
图8-4 a)
mi″= mi li′/l
其中 li′为mi到平衡基面T′的距离， li″为mi到平衡基面
T″的距离， l=li′+li″为两平衡基面平面汇交力
质量不能再近似地认为是分布在同一回转面内，而应该看 作是分布在垂直轴线的多个相互平行的回转面内。
如图所示的发动机曲轴， 其不平衡质量m1、m2、m3是 分布在3个回转面内。
这类回转件转动时所产生的离心力系不再是平面汇交 力系，而是空间力系。因此，单靠在某一回转面内加一平 衡质量并不能消除这类回转件转动时的不平衡。
图8-1
∴ ∑miω2ri+ mbω2rb=0 即∑miri+ mbrb=0——静平衡条件：质径积的向量和为0。
式中：miri称为质径积，是矢量。它相对地表达了各 质量在同一转速下的离心力的大小和方向。
mbrb的大小和方向可根据图解法来求。
求解步骤如下：
1）写出质径积的矢量平衡方程式：
m1r1+ m2r2+ …+mbrb=0 2）计算各偏心质量的质径积的大小；
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各个质量所产生的离心力的相对大小和方向。
上式表明，回转件平衡后，e＝0，即总质心与 回转轴线重合，此时回转件质量对回转轴线的静力 矩mge＝0，该回转件可以在任何位置保持静止，而 不会自行转动，因此这种平衡就是静平衡。 1 所以，静平衡的条件是：分布于该回转件上各 个质量的离心力（或质径积）的向量和等于零，即 回转件的质心与回转轴线重合。
二、质量分布不在同一回转面内
轴向尺寸较大的回转件，如多缸发动机曲轴、 电动机转子、汽轮机转子和机床主轴等，其质量分 布不能近似为是位于同一回转面内，应看作分布在 垂直于轴线的许多互相平行的回转面内。这类回转 件转动时所产生的离心力系不是平面汇交力系，
而是空间力系。因 此，单靠在某一回 转面内加一平衡质 量的静平衡方法不 能消除这类回转件 转动时的不平衡。
式中F、Fb和ΣFi 分别表示总离心力、平 衡质量的离心力和原有质量离心力的合力。 将回转件的总质量m和总质心向径e，平 衡质量mb和质心向径rb，原有各质量mi和 质心的向径ri，代入上式
meω2＝mbrbω2＋Σmiri ω2 ＝0
简化上式，得
me＝mbrb＋Σmiri ＝0
（8-2）
上式中质量与向径的乘积称为质径积，它表示
例如图a所示，已知同回转面内的不平衡质量m1、m2、
m3、(kg)及其向径r1、r2、r3、(m)，求应加的平衡质量mb及
其向径rb 。 由式（8-2） mbrb＋Σmiri ＝0 得 mbrb＋m1r1 ＋m2r2＋m3r3＝0
上式表示向量和为零，画
出的向量多边形应是尾部相连
的封闭向量图。如图b所示。
平衡质量积mbrb的确定： 根据回转件结构特点选定rb的 大小，所需的平衡质量就随之
确定。平衡质量的安装方向即
向量图上mbrb 所指的方向。通常尽可能将rb 的值选大些，以 便使mb 小些。
2. 平衡质量和回转件质量不在同一回转面内 如果实际结构的限制，不能在需要平衡的回转
面上安装平衡质量，如图a 所示单缸曲轴。可以另 选两个回转平面分别安装平衡质量来使回转件达到 平衡。
态。因此，对轴向尺寸较大的回转件，
必须使其各质量产生
的离心力的合力与合
力偶矩都等于零，才
能达到平衡（也就是
动平衡）。
图示回转件，设其的不平衡质量分布在1、2、
3三个回转面内,依次以m1、m2、m3表示，其向径 为 r1、r2、r3 。按式（8-4）所述，若向径不变，
当回转件匀速转动时，离心力构成同一平面内汇交于 回转中心的力系。如果该力系不平衡，则合力ΣFi 不等于零。 根据力学汇交力系平衡条件，力系平衡只需在同一回转面 内加一质量（或在相反方向减一质量），使它产生的离心 力与原有质量所产生的离心力系的向量和为零，这个力系 就成为平衡力系。其平衡条件为:
F＝Fb＋ΣFi＝0
则上式简化成
mb rb mbrb
l l l l
mb rb mb rb
mb mb
l l l l
mb mb
(8 - 3) (8- 4)
由式（8-3）和（8-4）可知，任何一个质径积
都可以用任意选定的两个回转平面 T′和T ″内的两
个质径积来代替。若向径不变，任一质量都可用任
选的两个回转平面内的两个质量来代替。
解释几个基本概念
1. 回转件（转子） — 机械中是绕固定轴线回转的 构件，称为回转件（或转子）。
2. 刚性回转件 — 在机械中回转件的刚性很好，回 转时产生的弹性变形很小，可以认为对其回转没有 影响，这类回转件称为刚性回转件。
3. 静平衡 — 对刚性回转件只进行离心力系的平衡 称为静平衡。
4. 动平衡 — 对刚性回转件同时进行离心力系和离 心力矩的平衡称为动平衡。
在平衡面两侧任意选定两个回转平面T′和T″,
它们与原平衡平面的距离分别为l′和l″。在T′和 T″
面内设置平衡质量mb′和mb″;其质心向径分别为 rb′ 和rb″, 且mb′和mb ″都处于经过 mb的质心且包含回 转轴线的平面内，
则mb′、mb″和mb在回转时产生的离心力 Fb′、 Fb″和 Fb成为三个互相平行的力。要使Fb′和Fb″完全取代 Fb ，必需满足平行力分解的关系式。
§8-2 回转件的平衡计算
回转件的平衡计算分为两种情况。一种是质量 分布在同一回转面内情况，另一种是质量分布不在 同一回转面内情况。 一、质量分布在同一回转面内
1. 平衡质量和回转件质量在同一回转面内 对于轴向尺寸较小的盘状
回转件(直径和宽度比＞５) ， 如齿轮、叶轮、飞轮、砂轮 等。其质量的分布可以近似 地认为在同一回转面内。
即
Fb Fb Fb
Fb l Fbl
解以上二式，并以 l ＝ l′ 十l″ 代
入，可得
Fb′＝Fb l″／ l Fb″＝ Fb l′／l
再代入 mb rbω2、mbrbω2、mbrbω2
整理得
mb rb mbrb
l l l l
mb rb mb rb
(8 - 3)
如果取rb′＝rb″＝ rb，
第8章 回转件的平衡
§8-1 回转件平衡的目的
机械在运转时，构件的离心力会引起运动副 中的摩擦和构件中的内应力增大，降低机械效率 和使用寿命。由于这些离心力的大小和方向都是 周期性变化的，所以必引起机械及其基础产生强 迫振动。如果其振幅较大，或其频率接近于机械 的共振频率，则将引起极其不良的后果。
由理论力学可知，与回转中心距离为r的质量m,
以角速度转动时，会产生的离心力Ｆ为
Ｆ＝mrω２
(8-1)
如果回转件的结构不对称、制造不准确或材质
不均匀，便会系的合力（主向量）和合力偶
矩（主矩）不等于零。
机械平衡的目的就是设法将回转件的离心力和
离心力偶矩加以平衡以消除或减小离心力的不良影
响。
本章只讨论刚性回转件的静平衡和动平衡问题。
图示的转子中，设不平衡质量m1、 m2分布于相距l 的 两个回转面内，且 m1= m2 , r1=-r2 。 质心虽落在回转轴上,
且 m1 r1 ＋m2 r2 ＝0，满足静平衡条件；但因m1和 m2不在同
一回转面内，当回转件转动时，在包含m1、 m2和回转轴的 平面内存在一个离心力F1 和F2 组成的力偶，该力偶方向随 回转件的转动而周期性变化，故回转件仍处于动不平衡状