北师大版八年级(下)数学知识点归纳总结

第一章 三角形的证明

第1节 等腰三角形

一、全等三角形的性质与判定

1、全等三角形的性质

定理1 全等三角形的对应边相等。

定理2 全等三角形的对应角相等。

推论1 全等三角形的面积相等。

推论2 全等三角形的周长相等。

2、全等三角形的判定

— 公理1 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）

公理2 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）

公理3 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）

定理1 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）

定理2 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL ）

二、等腰三角形的性质与判定

1、等腰三角形的性质

定理 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

推论1 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（三线合一） 推论2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。

）

【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，周长为C ，则2b ＜a ＜2C ④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C ，底角为∠A 、∠B ，则∠C ＝180°—2∠A ＝180°—2∠B ，∠A ＝∠B ＝2

180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定

定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

三、等边三角形的性质与判定

1、等边三角形的性质

定理1 等边三角形的三条边都相等。

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定理2 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。

2、等边三角形的判定

定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

四、反证法

小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗如果成立，你能证明它吗

小明是这样想的：

(

你能理解他的推理过程吗

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法叫做反证法。

第2节直角三角形

一、直角三角形的性质与判定

1、直角三角形的性质

定理1：直角三角形的两个锐角互余。（角的特征）

定理2：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理）（边的特征）2、直角三角形的判定

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

定理1：有两个角互余的三角形是直角三角形。

~

定理2：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

二、已知一条直角边和斜边作直角三角形

1、尺规作图

已知：如图1-2-16所示，线段a，c（a＜c），直角α

求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c

作法：

2、直角三角形全等的判定

定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL）

三、互逆命题与互逆定理

^

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。相对于逆命题来说，另一个命题就为原命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们称它们为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。相对于逆定理来说，另一个命题就为原定理。

第3节线段的垂直平分线

一、线段的垂直平分线

1、性质定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、三角形三条边的中垂线性质定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

、

二、已知底边及底边上的高作等腰三角形

已知：如图1-3-11（1）所示，线段a、h

求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h

作法：①作线段BC＝a；

②作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

③在MN上截取线段DA，使DA＝h；

④连接AB、AC，

则△ABC就是所求作的三角形（如图1-3-11（2）所示）

三、过一点作已知直线的垂线

1、过直线上一点作已知直线的垂线

[

已知：直线l和l上一点P，

求作：直线l的垂线，使它经过点P

作法：①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，交直

线l于点A和点B；

②作线段AB的垂直平分线MN，则直线MN

垂直于直线l，且经过点P。（如图1-3-12所示）

2、过直线外一点作已知直线的垂线

已知：直线l和直线l外一点P

求作：直线l 的垂线，使它经过点P

作法：①任取一点K，使点K与点P分居直线l的两侧；

[

②以点P为圆心，PK长为半径作弧，交直线l于点

A和点B；

③作线段AB的垂直平分线MN，则直线MN垂直

于直线l，且经过点P。（如图1-3-13所示）

第4节角平分线

一、角平分线

1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2、判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3、三角形三个内角的平分线性质定理

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

!

【说明】列表比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理

三角形的分类三边垂直平分线三个内角平分线

三角形锐角三角形交于三角形内一点

交于三角形内一点直角三角形,

交于三角形外一点

钝角三角形交于斜边的中点

交点性质到三个顶点的距离相等到三条边的距离相等

…

已知：∠AOB

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC

作法：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA

于点D，交OB于点E；

②分别以点D、E为圆心，以大于1

2

DE的长