高二数学 平面向量
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的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
向 量 的
几何表示 : 有向线段
r uuur 字母表示 : a 、AB 等
表 示
坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2)
则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
向量的模（长度）
•
• （4）cosθ=
（5）| a·b | ≤ | a | | b |
二、平面向量之间关系
向量平行(共线)条件的两种形式:
(1)a // b(b 0) a b;
(2)a // b(a (x1, y1),b (x2, y2 ),b 0) x1 y2 x2 y1 0
向量垂直条件的两种形式:
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
平面向量复习
1.向量的加法运算
三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
AB+BC= AC
OA+OB= OC
平面向量复习一
高一数学组
平面向量 复习
表示 向量的三种表示 向量的相关概念
平
向量加法
三角形法则
面
与减法
平行四边形法则
向
量
实数与向量
运算
的积
向量平行、 垂直的条件
平面向量的
基本定理
向量的数量积
一、向量的相关概念:
1)定义
2)重要概念：
（1）零向量： （2）单位向量： （3）平行向量： （4）相等向量： （5）相反向量：
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
注 : AB a , AD b
(1) a b ,则四边形是什么图形?
(2) a b a b ,则四边形是什么ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形?
平面向量复习
向量平行(共线)条件的两种形式: 向量垂直条件的两种形式:
（3）两个向量相等的条件是两个向量的坐 标相等.
四、平面向量的基本定理
注:满足什么条件的向量可作为基底?
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
平面向量数量积的重要性质
a,b为非零向量，e为单位向量
• （1）e · a = a · e =| a | cosθ
• （2）a ⊥ b的条件是 a ·b =0
• (3) 当 a与b同向时， a ·b = |a | | b | ;
•
当 a 与b 反向时，a ·b = - |a | | b |
•
特别地：a ·a=| a | 2 或 | a | =
2.向量的减法运算
B
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
A
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3.加法运算率
1）交换律： a+b=b+a 2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
平面向量 复习
实数λ与向量 a 的积
量 a，有且只有一对实数1, 2 ,使
a 1e1 2 e2
练习1：判断正误，并简述理由。
r rr r r r
1.若a 0，b 0，则a b 0
rr
r rrr
2.若a b 0，则a 0或b 0
rr rr r r r r
3.若a b a c，且a 0，则b c
(× ） (× ） (× ）
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B
B
B
b
Oθ
a B1 A
b
θ
B1
Oa
b
θa
A O (B1)
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律： (a)b (ab) a(b) ⑶分配律： (a b)c ac bc
注意：数量积不满足结合律
即: (a b)c a (bc)
r 2 r2 r r 4. a a a a
(√ ）
rr r r r r 5. a b a b ，则a // b
(√ ）
rr rr r r 6. a b a b ，则a b
(√ ）
平面向量复习
2. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
(1)a b a • b 0
(2)a b a • b x1x2 y1 y2 0
（3）两个向量相等的条件是两个向量的
坐标相等.
即: a
那么
a
(x1, y1), b
x1
b
(x2, y2 )
x2且y1
y2
三、平面向量的基本定理
如果 e1, e是2 同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
a
• 1、平面向量的数量积
θ
b
• （1）a与b的夹角： 共同的起点
•（2）向量夹角的范围：[00 ，1800]
• （3）向量垂直：
B
B
B
a
Oθ
A
A
A
b
O
O
O
A
B
A
O
B
（4）两个非零向量的数量积：
a ·b = |a| |b| cosθ
• 规定：零向量与任一向量的数量积为0
几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在
3)向量的表示
4)向量的模（长度）
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则
②坐标表示
运算律
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的夹角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义
(5)平面向量数量积的运算律
三、平面向量之间关系
向 量 的
几何表示 : 有向线段
r uuur 字母表示 : a 、AB 等
表 示
坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2)
则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
向量的模（长度）
•
• （4）cosθ=
（5）| a·b | ≤ | a | | b |
二、平面向量之间关系
向量平行(共线)条件的两种形式:
(1)a // b(b 0) a b;
(2)a // b(a (x1, y1),b (x2, y2 ),b 0) x1 y2 x2 y1 0
向量垂直条件的两种形式:
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
平面向量复习
1.向量的加法运算
三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
AB+BC= AC
OA+OB= OC
平面向量复习一
高一数学组
平面向量 复习
表示 向量的三种表示 向量的相关概念
平
向量加法
三角形法则
面
与减法
平行四边形法则
向
量
实数与向量
运算
的积
向量平行、 垂直的条件
平面向量的
基本定理
向量的数量积
一、向量的相关概念:
1)定义
2)重要概念：
（1）零向量： （2）单位向量： （3）平行向量： （4）相等向量： （5）相反向量：
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
注 : AB a , AD b
(1) a b ,则四边形是什么图形?
(2) a b a b ,则四边形是什么ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形?
平面向量复习
向量平行(共线)条件的两种形式: 向量垂直条件的两种形式:
（3）两个向量相等的条件是两个向量的坐 标相等.
四、平面向量的基本定理
注:满足什么条件的向量可作为基底?
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
平面向量数量积的重要性质
a,b为非零向量，e为单位向量
• （1）e · a = a · e =| a | cosθ
• （2）a ⊥ b的条件是 a ·b =0
• (3) 当 a与b同向时， a ·b = |a | | b | ;
•
当 a 与b 反向时，a ·b = - |a | | b |
•
特别地：a ·a=| a | 2 或 | a | =
2.向量的减法运算
B
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
A
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3.加法运算率
1）交换律： a+b=b+a 2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
平面向量 复习
实数λ与向量 a 的积
量 a，有且只有一对实数1, 2 ,使
a 1e1 2 e2
练习1：判断正误，并简述理由。
r rr r r r
1.若a 0，b 0，则a b 0
rr
r rrr
2.若a b 0，则a 0或b 0
rr rr r r r r
3.若a b a c，且a 0，则b c
(× ） (× ） (× ）
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B
B
B
b
Oθ
a B1 A
b
θ
B1
Oa
b
θa
A O (B1)
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律： (a)b (ab) a(b) ⑶分配律： (a b)c ac bc
注意：数量积不满足结合律
即: (a b)c a (bc)
r 2 r2 r r 4. a a a a
(√ ）
rr r r r r 5. a b a b ，则a // b
(√ ）
rr rr r r 6. a b a b ，则a b
(√ ）
平面向量复习
2. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
(1)a b a • b 0
(2)a b a • b x1x2 y1 y2 0
（3）两个向量相等的条件是两个向量的
坐标相等.
即: a
那么
a
(x1, y1), b
x1
b
(x2, y2 )
x2且y1
y2
三、平面向量的基本定理
如果 e1, e是2 同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
a
• 1、平面向量的数量积
θ
b
• （1）a与b的夹角： 共同的起点
•（2）向量夹角的范围：[00 ，1800]
• （3）向量垂直：
B
B
B
a
Oθ
A
A
A
b
O
O
O
A
B
A
O
B
（4）两个非零向量的数量积：
a ·b = |a| |b| cosθ
• 规定：零向量与任一向量的数量积为0
几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在
3)向量的表示
4)向量的模（长度）
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则
②坐标表示
运算律
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的夹角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义
(5)平面向量数量积的运算律
三、平面向量之间关系