非交换子群共轭类个数为2的有限群_周志浩

中的 情 况 （ 4 ） 得，q = 2 ，于 是 H = D8 ． 因 为 Aut（ D8 ） = D8 ， 所以 H≠M n， m， q． 如 果 H 为 非 亚 循 环 群 N n， 则 Z （ H） = m， q，
q bq ， c〉 ， H' =〈c 〉 ． 根据定理 5 中的情况 Φ（ H） =〈a ， （ 2 ） 可知， m = n = 1． 因此， q 为奇素数， G 为定理 7 中
［7 ］ ［7 ］
（ HallHigman 简化定理）
第1 期
周志浩， 等： 非交换子群共轭类个数为 2 的有限群
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x2 ， yx = x － 1 y， x z = y， y z = xy〉 ；
| Zp ， （ 5 ） G = N1 ， | N1 ， 其中 q 为奇素数， 1， q × 1， q | =
1 + qn － 1
=b
n
qm
= 1，
m
〉 ， m≥1 ； 其中 n≥2 ，
a， b， c | aq = bq = ③ 非亚循环群： G = N n， m， q =〈 c q = 1， ［ a， b］ = c， ［ c， a］ = ［ c， b］ = 1 〉 ， 其中 n ≥ 1 ， m≥1 ， m + n≥3 ； 并且当 q = 2 时， （ 2 ） 当 G 非 幂 零 时， G 为 q基 本 群． G = 〈x1 ，
非交换子群共轭类个数为 2 的有限群
周志浩， 郭秀云
（ 上海大学 理学院， 上海 200444 ） 摘要： 探讨非交换子群共轭类的个数不超过 3 的有限群的可解性， 并由此研究非交换子群共轭类的个数为 2 的有 群， 最后给出此类群的完全分类 ． 限非 p关键词： 内交换群； q基本群； 群作用 中图分类号： O 152． 1 文献标志码： A 2861 （ 2012 ） 01003505 文章编号： 1007-
p 为 x － 1 的因子．
下面给出内幂零群的性质． ［6 ］ 定理 2 设 G 为内幂零群， 则 G 有下列性质： （ 1） | G | = pa qb ， p ≠ q 均为素数， 且适当选择符 可有 G 的 Sylow q子群 Q 而 Sylow p子群 P 号， — G， 循环， 且 P 在 G 中非正规， 并有 Φ（ P ） ≤Z （ G ） ； （ 2 ） Φ （ Q） ≤Z （ G ） ， c（ Q） ≤2 ； 特别地， （ 3 ） 若 q ＞ 2， 则 exp （ Q ） = q； 而 若 q = 2 ， 则 exp（ Q） ≤4． 通过赋予群的极大子群一些条件， 可对群的结 ． 构产生如下影响
第 18 卷 第 1 期 2012 年 2 月
（ 自 然 科 学 版）
JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSITY（ NATURAL SCIENCE）
Vol． 18 No． 1 Feb． 2012
doi： 10． 3969 / j． issn． 10072861． 2012． 01． 007
Two Conjugacy Classes of All Non- abelian Subgroups of Finite Group
ZHOU Zhihao， GUO Xiuyun
（ College of ScienceBiblioteka Baidu，Shanghai University，Shanghai 200444 ，China）
［7 ］ 定理 3 设 H 为群 G 的极大子群， 若H幂 零，且 H 的 Sylow 2子群的幂零类≤2 ， 则 G 可解．
（ 1 ） 当 γ （ G ） = 0 时， G 为交换群， 当然 G 是可 解的． （ 2 ） 当 γ （ G ） = 1 时， G 为内交换群， G 也是可 解的． （ 3 ） 当 γ （ G ） = 2 时， 设 H 是 G 中非交换的真子 G 中非交换的真子群必与 群， 则由 γ（ G ） = 2 可知， H 共轭， 且 H 为 G 的极大子群． 若 G 中每一个极大 子群皆与 H 共轭， 则 G 只有一个极大子群的共轭 G中 类， 从而是循环群， 这与 G 非交换矛盾． 因而， G为 存在极大子群 A 使得 A 为交换群． 根据定理 3 ， ． 可解群 （ 4 ） 当 γ （ G ） = 3 时， G 中有 2 个非交换真子群 共轭类， 并由上面的证明可知， 这些共轭类中的子群 是 G 的极大子群． 若 G 中存在交换的极大子群， 则 G 可解， 由定理 3 可知， 否则 G 的极大子群恰有 2 个 G 为可解群． 共轭类． 根据引理 1 可知， 下面举例说明当 γ （ G ） = 4 时不能保证 G 的可 解性， 从而得出定理 6 给出的界是最好的． 例 1 5 次交错群 A5 中的非交换子群共轭类的 个数是 4 ， 即 γ（ A5 ） = 4． 下面给出本工作的主要结果． | π （ G ） | ≥ 2， 定理 7 设 G 是 一 个 群， 如果 γ（ G） = 2 ， 则 G 必定同构于下列群之一： （ 1 ） G = Q8 × Z p ， p 为奇素数； （ 2 ） G = M n， 其中 M n， m， q × Zp ， m， q 是定理 1 中的 q 为互异的素数； 亚循环群情形， 并且 p， （ 3 ） G = N n， 其中 N n， m， q × Zp ， m， q 是定理 1 中的非 q 为互异的素数； 亚循环群情形， 并且 p， （ 4 ） G = Q8 ×| Z3 = 〈x， y， z | x4 = y4 = z3 = 1 ， y2 =
G = Q8 =〈a， b | a4 = 1 ， b2 = ① 四元数群： q = 2 ， a ， ba = a a =a
b 2 －1
（ 1 ） H 不可约地作用在 G / G' 上， G， H］= G ， 且［ C G （ H） = G' ， C G / G' （ H） = 1 ；
－
b〉 ；
qn
b|a ② 亚循环群： G = M n， m， q = 〈a ，
引理 1 则 G 可解． 类，
［8 ］ 引理 2
［7 ］
设群 G 的极大子群恰有 2 个共轭
为方便起见， 给出如下单群 A5 的极大子群． 设 M 是由 5 次交错群 G = A5 的极大 p∈ 子群的集 合， 则 M = ｛ N G （ G p ） | G p ∈ Syl p （ G ） ， ｛ 2， 3， 5｝ ｝ ， 且 | NG （ Gp ） | =
q q p x2 ， …， xβ ， y | x1 = x2 = … = xq = 1， ［ xi ， x j］ = 1 ， β = y d1 d2 dβ xy 2， …， xy ， β － 1） ， 其中 i = xi + 1 （ i = 1， β = x1 x2 … x β 〉
α
（ 2 ） 若 G 交换， 则 G 为初等交换 p群， 若G非 ， G' = Z （ G ） = （ G ） ； 交换 则 Φ （ 3 ） Z （ G ） 是初等交换 p群； （ 4 ） 若 p≠2 ， 则 exp（ G ） = p．
0917 收稿日期： 2010基金项目： 国家自然科学基金资助项目（ 11071155 ） mail： xyguo@ staff． shu． edu． cn 通信作者： 郭秀云（ 1956 ～ ） ， 男， 教授， 博士生导师， 研究方向为有限群论． E-
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（ 自 然 科 学 版）
第 18 卷
［2 ］ ［3 ］ ［4 ］
记 G 的非交换子群共轭类的个数为 γ（ G ） ．
1
基本定义和预备引理
下面给出本工作将要用到的一些基本定义和基 本结果． 定义 1 基本群． 称 Sylow q子群正规的内幂零群为 q-
定义 2 如果群 G 的每个真子群皆为交换 （ 幂 ） 零 群， 但 G 不是交换 （ 幂零 ） 群， 则称 G 为内交换 （ 幂零） 群． 内交换群的结构如下． ［1 ］ 定理 1 设 G 是内交换群， 则 G 只有下列互 不同构的类型． （ 1 ） 当 G 为幂零群时， G 必为 q群．
q ， p， q 为互异的素数， Z p 平凡地作用在 N1， 1， q 的每 不变真子群上； 个 Zp +1 （ 6 ） G = Q ×| P ， Q ∈ Syl q （ G ） 其中 | G | = p α q β ，
3
P =〈y 〉 为初等交换 q群， ∈ Syl p （ G ） 为 G 的极大子 Q 为定理 1 中的 q群， 并且子群 H =〈y 〉 基本群； q q （ 7 ） G =〈x1 ， x2 ， …， xβ ， y， z | x1 = x2 = … = x q β = y p = z p = 1， ［ xi ， x j］= 1 ， xy 2， …， β － 1） ， i = xi + 1 （ i = 1，
{
12 ， p = 2 ， 6， p = 3， 10 ， p = 5 ．
Higman 简化定理 以下的 Maschke 定理和 Hall是群在群上作用的重要结果． 定理 4 （ Maschke 定理 ） 设 π' 群 H 作用在 A 为 G 的 H交换 π群 G 上， 不变子群，并且为 G 的 直因子， 即存在 B ≤ G ， 使 G = A × B， 则必可找到 G 的某个 H不变子群 K ， 使 G = A × K 成立． 设 π' 群H 非平凡地作用在 π群 G 上，但平凡地作用在 G 的 每个 H不变真子群上， 则 G 为 p群， 并且有 定理 5
Abstract： In this paper，we discuss the solvability of the finite groups all of whose conjugacy classes of nonabelian subgroups are no more than 3． And thus we study the nonpgroups whose conjugacy classes of nonabelian subgroups are equal to 2． This kind of groups is completely classified． Key words： inner abelian group； qfundamental group； action on groups 在有限群论中， 元素的可交换性是最基本最重 要的性质． 正因为如此， 人们常常希望通过“较多 ” “较 大 ” 或 交 换 子 群 来 研 究 有 限 群 的 结 构． 例 如， ［1 ］ Miller 等 早在 1903 年就确定了每一真子群都为 交换群的有限群的结构． 沿用这一思想， 人们研究了 每一个 2极大子群都为交换群的有限 p群 （ A2 群 ） Sheriev ， Berkovich 等 都 曾 的结 构． Kazarin ， 经独立地研究过这类群． 经过长期努力， 人们终于给 ［ 5 ］ ． 出了这类群的完全分类 本工作研究非交换子群的 特别地， 对非交换 共轭类个数较小时有限群的结构， 子群共轭类个数为 2 的有限非 p群给出了完全分类． 本工作中所研究的群都是有限群， 没有特别说 明的概念和术语均为标准的． 设 H 是群 G 的非交换 g 子群， 则｛ H | g∈G ｝ 是 G 的一个非交换子群共轭类，
d1 d2 dβ xy x zi = x i， ［ y， z］= 1 〉 ， 其中 f （ x ） = x β － β = x1 x2 …x β ， p d β x β － 1 － … － d2 x － d1 在 F q 上不可约， 且为 x － 1 的 因子； q q （ 8 ） G = 〈x1 ， x2 ， …， xβ ， xβ + 1 ， y | x1 = x2 =…= p xq = 1， ［ xi ， x j］ = 1 ， xy 2， …， β－ i = xi + 1 （ i = 1， β +1 = y d1 d2 dβ xy xy ， 1） ， 其中 f （ x ） = x β － β = x1 x2 … x β ， β + 1 = xβ + 1 〉 p d β x β － 1 － … － d2 x － d1 在 F q 上不可约， 且为 x － 1 的
2
主要结果
下面研究群 G 中非交换子群的共轭类个数较 小时有限群 G 的结构． 首先证明如下定理． 定理 6 可解群． 证明 情形． 设 G 是一个群， 如果 γ（ G ） ≤3 ， 则G为 1， 2， 3） 的 分别考虑 γ （ G ） = n （ n = 0 ，
f（ x） = x β － d β x β － 1 － … － d2 x － d1 在 F q 上不可约， 且