《数值分析》杨大地-标准答案(第八章)

数值分析第8章 数值积分与数值微分

8.1 填空题

（1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f(x)dx b

a ≈∑A j n j=0f(x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。【注：第1空，见定理8.1】

（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。【注：分别见定理8.1,8.3】 （3）求积公式∫f(x)dx h

0≈h

2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)−f ′(h)]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。 解：令f(x)=1,x,x 2带入有，

{

h 2[1+1]+ah 2[0−0]=h

h 2[0+h ]+ah 2[1−1]=12

(h 2)h

2[0+h 2]+ah 2[0−2h ]=13

(h 3)

//注：x 的导数=1

解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。

∴ 积分公式为：∫f(x)dx

h

0≈h

2[f (0)+f (h )]+h 2

12[f ′(0)−f ′(h)]

令

f(x)= x 3带入求积公式有：h

2

[0

+h 3]+

h 212

[0−3h 2]=14

(h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值1

4

(h 4)相等，

所以，此求积公式至少具有3次代数精度。

令f(x)= x 4带入求积公式有，h

2[0+h 4]+h 2

12[0−4h 3]=1

6(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值1

5(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。

8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。 解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。 （1）∫f(x)dx 2h

0≈A 0f (0)+A 1f (h )+A 2f(2h)

解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 0、A 1、A 2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】

{A 0+A 1+A 2=2h

A 1h +A 22h =1

2(2h )2A 1h 2+A 2(2h )2=1

3(2h )3

求解得A 0=13h ，A 1=43h ，A 2=1

3h ，

∴求积公式为：∫f(x)dx 2h 0≈13hf (0)+43hf (h )+1

3

hf(2h)

∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0， //注：参见P149定理8.1

∴该求积公式至少具有2次代数精度。

令f(x)= x 3，代入求积公式有：4

3hh 3+1

3h (2h )3=4h 4

∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 2h

0=1

4(2h )4=4h 4 ，与求积公式计算值相等， ∴该求积公式具有3次代数精度。

令f(x)= x 4，代入求积公式有：43

hh 4+13

h (2h )4=

203

h 5

∵函数f(x) = x 4的定积分结果为∫x 4dx 2h

0=15

[(2h )5−05]=325

h 5，与求积公式计算值不相等，

∴该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。

（2）∫f(x)dx 1

−1≈A [f (−1)+2f (x 1)+3f(x 2)]

解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 、X1、X2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】

{A [1+2+3]=2A [−1+2x 1+3x 2]=0A [(−1)2+2x 12+3x 22]=1

3[13−(−1)3]=2

3

求解得 A =13，x 1=0.6899，x 2=−0.1260，或A =1

3

，x 1=−0.2899，x 2=0.5266

∴求积公式为：

求积公式1：∫f (x )dx 1

−1≈1

3[f (−1)+2f (0.6899)+3f (−0.1260)] 求积公式1：∫f(x)dx 1

−1≈1

3[f (−1)+2f (−0.2899)+3f (0.5266)]

∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。

令f(x)= x 3代入求积公式1有：1

3[(−1)3+2(0.6899)3+3(−0.1260)3]=−0.2245 令f(x)= x 3代入求积公式2有：13[(−1)3+2(−0.2899)3+3(0.5266)3]=−0.2928

∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 1

−1=1

4[(1)4—(−1)4]=0 ，与求积公式计算值均不相等， ∴该求积公式的最高代数精度为2次代数精度。

（3）∫f(x)dx 1

−1≈A 1f (−1)+A 2f (−1

3)+A 3f(1

3

)

解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 1、A 2、A 3共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】 {

A 1+A 2+A 3=[1−(−1)]=2A 1(−1)+A 2(−13)+A 3(13)=12

[12−(−1)2]=0A 1(−1)2+A 2(−13)2+A 3(13)2=13[13−(−1)3]=

23求解得A 1=12，A 2=0，A 3=32

， ∴求积公式为： ∫f(x)dx 1

−1≈1

2

f (−1)+3

2

f(1

3

)

∵ 该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴ 该求积公式至少具有2次代数精度。

令f(x)= x 3，代入求积公式有：1

2(−1)3+32(13)3

=−0.4444

∵ 函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 1

−1=1

4[(1)4—(−1)4]=0，与求积公式计算值不相等，