高阶线性微分方程59128
解高阶线性微分方程
如何解高阶线性微分方程呢？（个人思路整理，部分） 这里，首先给出高阶线性微分方程的一般形式：1111()()()()nn n n nn x xx a t a t a t x f t ttt---∂∂∂++++=∂∂∂ （4.1）而这里还有一条思路：先研究方程（4.1）对应的高阶齐次线性方程：1111()()()0nn n n nn x xx a t a t a t x ttt---∂∂∂++++=∂∂∂ （4.2）的解，再通过（4.2）的解与（4.1）的解之间的关系，得出（4.1）的解。
而根据上面这条思路，首先得得到（4.2）的解，我们才能得到（4.1）的解。
——————————————————————————————————————— 在我们作任何研究分析之前，先不加证明的给出下面这个定理，请牢记。
定理1： 如果()i a t (1,2,,)i n = 及()f t 都在区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一0[,]t a b ∈及任意的(1)(1)00,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初值条件1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t dt t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3）———————————————————————————————————————一．下面，我们先来分析（4.2）的解的自身的性质。
性质1（叠加定理）：即（4.2）的某些解的线性组合仍是（4.2）的解。
这样，如果（4.2）存在非零解，则（4.2）就有无数个解。
因为，实数有无数个。
——————————————————————————————————————— 在给出性质2之前，先引入几个新概念： a. 函数的线性相关和线性无关：考虑定义在区间a t b ≤≤上的函数12(),(),,()k x t x t x t ，如果存在不全为零的数12,,,k c c c ，使得恒等式1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡[,]a b ∈都成立，我们称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关。
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
高阶线性微分方程
例题. 例题 设 为实数, 求方程 y'' + y = 0的通解. 解: 特征方程为 λ2 + = 0
(i) < 0时, λ = ± , 原方程通解为
y = C1e
x
+ C2 e
x
(ii) > 0时, λ1 = λ2 = 0, 通解为
y = C1 + C2 x
(ii) = 0时, λ = ± i , 通解为
令 z (x) = C' (x), 则
dz y1 + (2 y1′ + p1 ( x) y1 ) z = 0 dx
即
dz 2 y1′ + + p1 ( x) z = 0 dx y1
z = Ce
∫
′ 2 y1 y + p1 ( x ) dx 1
= Ce
2 dy dx + p1 ( x ) dx y1
y1 ≠ 常数. y2
由此判定, a ≠ b时, e , e 线性无关.
ax bx
定理1(叠加原理 定理 叠加原理) 叠加原理 如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是(2)的解. y = ky1也是(2)的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii).
故原方程的通解为
y = C1e
3x
1 19 3 x + C 2 ( x + x + )e . 3 18
2
步骤三: 求方程(4)的特解 步骤三 求方程 的特解 y* 定理 设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出
高阶线性微分方程
x
为 y1 = e x，
y ′ = ue
x
+ u ′e x ，
= ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e x ，
x x x
1 x 代入原方程得 ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e 2 ( u + u ′) e + ue = e x 1 整理得 u ′′ = u ′ = ln x + c1， u = x ln x + c1 x + c 2 x
y2
≠ 常数，
则 Y = c1 y1 + c2 y 2是 (3)的通解
证明
2
二 解的结构
2
设y = c1 y1 + c2 y2， (3)得 代入
(3) d2 y dy + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx
d y dy d y1 dy1 + p( x) + q( x) y = c1[ 2 + p(x) + q(x) y1] + 2 dx dx dx dx
d2y dy 再由定理 3得非齐次方程 + p( x) + q( x) y = f ( x) 2 dx dx 通解 : y = Y + y1 = C1 x 2 + C 2 e x + 3
三常数变易法
1.基本步骤 1)求出方程
( 3) d2y dy + p( x) + q ( x) y = 0 2 dx dx
知函数及其各阶导函数 都是线性的。
高阶线性微分方程
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程是一类数学方程，可以用来描述物理系统的运动规律。
它的形式为：y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + ... + an-1y(1) + any(0) = f(t)，其中，y(n)是未知函数，a1、
a2、...、an-1、an是系数，f(t)是非齐次项。
高阶线性微分方程可以用来描述振动系统、声学系统、电磁系统等多种物理系统的运动，是工程学、物理学、数学等学科的重要研究内容。
解决高阶线性微分方程的方法有多种，如拉普拉斯变换、积分变换、Laplace变换等。
高阶线性微分方程在工程应用中有着重要的作用，它可以用来描述工程系统的运行规律，为工程设计提供重要的理论支持。
因此，研究高阶线性微分方程具有重大的意义。
高阶线性、常系数齐次微分方程
小结 : 求解
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
( 2)
先求 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 的通解 Y c1 y1 c 2 y 2 ,
再求 y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) 的一个特解 y*,
(2)
当 f ( x )恒不为零时 , ( 2 ) 叫做非齐次二阶线性方 程 , 而与 ( 2)
对应的齐次二阶线性方 程为 :
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(3)
定义 如果存在 n 个不全为零的常数 k1 , k 2 , , k n , 使
k1 y1 ( x ) k 2 y 2 ( x ) k n y n ( x ) 0
则 y1 y 是 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 的一个特解 . 2
( 证明略 )
定理 2 ~ 4 都可以推广到 n 阶线性方程上去 .
例. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 的解, C1 ,C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
的通解 , 则 y Y y * 是 ( 2) 的通解 .
(2)
的一个特解 , 而 Y c1 y1 c 2 y 2 是对应齐次方程
(3)
证
y P ( x ) y Q ( x ) y
y P ( x ) y Q( x ) y
Y y * P ( x )Y y * Q ( x )Y y *
可以求出 (1) 的另一解
高阶线性微分方程.
n
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 例如, 方程 y y e x 有特解
方程 y y cos x 有特解
y y e x cos x 的特解.
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定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 的通解为 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
由此得原方程③的通解:
y C1 y1 ( x) C2U ( x) y1 ( x) u ( x) y1 ( x)
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例5. 已知齐次方程 ( x 1) y x y y 0 的通解为
2 Y C1 x C2 e , 求 ( x 1) y x y y ( x 1) 的通解. x 1 y y x 1 解: 将所给方程化为: y x 1 x 1 x 令 y xv1 ( x) e v2 ( x), 利用⑤,⑥建立方程组: e x v2 0 xv1
2
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L , 由电学知
左= ( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * )
( Y P( x) Y Q( x) Y )
f ( x) 0 f ( x) =右
故（3）是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立的任意 证毕 常数, 因而 （3） 也是通解 .
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
微积分(高阶线性微分方程
y 2 sin x ,
常数, 通解
y C1 cos x C2 sin x.
8
可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是n 阶齐次 线性方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
14
已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
( r pr q ) e
2 rx
0
e
rx
0,
故有
r pr q 0
2
特征方程
2
特征根 r1, 2
p
p 4q 2
20
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
设解y e
rx
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
y P ( x ) y Q( x ) y
0
(1)
定理 如果函数 y 1 ( x )与 y 2 ( x )是方程 (1 )的两个解 ,
那末 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )也是 (1 )的 解, ( C 1 , C 2 是常数 ).
高阶线性微分方程
举例: 证明提示: 注: 我们把方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y′′+y=0的通解, [Y(x)+y*(x)]′′+P(x)[Y(x)+y*(x)]′+Q(x)[Y(x)+y*(x)] y*=x2−2是非齐次方程y′′+y=x2的一个特解, 因此 = [Y ′′+P(x)Y′+Q(x)Y]+[y*′′+P(x)y*′+Q(x)y*] y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程. x+C. sin x+x2−2 y=C1cos =0+f(x)=f(x) 2 是非齐次方程y′′+y=x2的通解.
Jlin Institute of Chemical Technology
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定理2(齐次方程的通解的结构) 如果函数y1(x)与y2(x)是方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0的两个线 性无关的解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解, 其中C1、C2是任意常数. •推论 如果y1(x), y2(x), ⋅ ⋅ ⋅, yn(x)是方程 y(n)+a1(x)y(n−1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +an−1(x)y′+ an(x)y=0 的n个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为 y=C1y1(x)+C2y2(x)+ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnyn(x), 其中C1, C2, ⋅ ⋅ ⋅, Cn为任意常数.
Jlin Institute of Chemical Technology
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程 求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。
下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dtdt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。
形如111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n阶常系数齐次线性微分方程。
111111111111[]()()()n t n t tt tn n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dta a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式.()F λ为特征方程，它的根为特征根.1.1特征根是单根的情形设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,nc c c 为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根对应的，方程（3）有两个复值解()(cos sin ),i t t t t e e i αβαββ+=+()(cos sin ).i t t t t e e i αβαββ-=-对应于特征方程的一对共轭复根,i λαβ=±我们可求得方程（3）的两个实值解cos ,sin .t t t t e e αβαβ1.2特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则易知知'(1)()1111()()()0,()0.k k F F F F λλλλ-====≠1.2.1先设10,λ=即特征方程有因子k λ，于是110,n n n k a a a --+====也就是特征根方程的形状为110.n n k n k a a λλλ--+++=而对应的方程（3）变为 1110,n n k n k n n k d x d x d x a a dt dt dt ---+++=易见它有k 个解211,,,k t t t -,且线性无关.特征方程的k 重零根就对应于方程（3）的k 个线性无关解211,,,k t t t -. 1.2.2当1k 重根10,λ≠对应于特征方程（4）的1k 重根1λ，方程（3）有1k 个解 1111112,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-同样假设特征方程（4）的其他根2λ3,,λm λ的重数依次为2k 3k m k ；1i k ≥，且1k +2k ++m k =n,j i λλ≠(当i ≠j)，对应方程（3）的解有2222212,,,,.t t t k t e te t e t e λλλλ-12,,,,m m m m m t t t k t e te t e t e λλλλ-。
高阶线性微分方程汇总
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定理１说明齐次方程的解符合叠加原理．
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
问题: y C1 y1 C2 y2 一定是(1)的通解吗？ 不一定！
y1 ( x )和y2 ( x )满足什么条件时y C1 y1 C 2 y2 才是(1)的通解？ 例如,
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
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化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
2
q ‖ q K
(1)
也是该方程的解. 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
‖ q K q
L C
i ~ E∼
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
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d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
第六节 高阶线性微分方程
一、函数的线性相关与线性无关 二、二阶线性微分方程举例 三、线性微分方程解的结构 *四、常数变易法
高阶线性微分方程
热传导与热辐射的综合问题
对于同时涉及热传导和热辐射的复杂问题，可以通过建立高阶线性微分方程组来描述物体内部的温度分 布和表面的辐射特性，进而分析物体的热平衡状态、热效率等问题。
05
高阶线性微分方程的数值 解法
对于难以找到解析解的非线性微 分方程，数值方法成为求解的主 要手段，如有限元法、有限差分 法等。
分数阶微分方程的研究动态
分数阶导数定义
研究者们对分数阶导数的定义进行了深入研究，提出了多种不同的定义方式，如Riemann-Liouville定 义、Caputo定义等。
分数阶微分方程的解析解
对于某些特定的分数阶微分方程，研究者们尝试寻找其解析解，并取得了一定的成果。
高阶线性微分方 程
目录
• 引言 • 高阶线性微分方程的基本理论 • 高阶线性微分方程的求解方法 • 高阶线性微分方程的应用举例 • 高阶线性微分方程的数值解法 • 高阶线性微分方程的前沿研究与
发展趋势
01
引言
背景与意义
微分方程的重要性
微分方程是数学的一个重要分支，广泛 应用于物理、工程、经济等领域。高阶 线性微分方程作为微分方程的一种特殊 类型，具有重要的理论和应用价值。
线性微分方程的解的性质
叠加原理
若y1和y2分别是线性微分方程的解， 则它们的线性组合c1y1 + c2y2（c1 和c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次方程的解的性质
若y1和y2是齐次线性微分方程的解， 则它们的差y1 - y2也是该方程的解。
非齐次方程的解的性质
非齐次线性微分方程的通解可以表示 为对应齐次方程的通解加上一个特解。
高等数学高阶线性微分方程
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根 一个k阶重根 一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项
高阶线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f1( x) y P( x) y Q( x) y f2( x) 的特解, 那么 y1 y2 就是原方程的特解.
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程.
是(2)的通解.
如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x 是两个解,
且
y2 y1
tan x
常数, 通解 y C1 cos x C2 sin x.
定理2 可推广到n 阶齐次线性方程.
推论 如果函数y1( x), y2( x),, yn( x) 是n 阶齐次 线性方程
y(n) P1( x) y(n1)P( x) y Q(x) y f (x) (1)
两个解, 那么, y y1 y2就是齐次线性微分方程
y P(x) y Q(x) y 0
的一个解.
（2）
思考题 已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
都是微分方程
( x2 2x) y ( x2 2) y (2x 2) y 6x 6
的n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为
y C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x),
其中 C1,C2 ,,Cn 为任意常数.
y P( x) y Q( x) y 0 (2)
3. 二阶非齐次线性方程的解的结构
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) (1)
称为二阶线性齐次微分方程. n阶线性微分方程的一般形式为 y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y f ( x).
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程函数组的线性相关与线性无关线性微分方程的一般形式齐次线性微分方程的解的结构非齐次线性微分方程的解的结构函数组的线性相关与线性无关设)(1x y ,2()y x , ,()n y x 为定义在区间I 上的n 个 如果存在n 个不全为零的常数1k ,2k , ,n k , 当x I ∈时有恒等式11220n n k y k y k y +++≡成立， 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关； 否则称为线性无关.函数, 使得函数1，2cos x ，2sin x 在整个数轴上是线性相关的. 例如,取11k =，231k k ==-，就有恒等式 221cos sin 0x x --≡.函数1，x ，2x 在任何区间(,)a b 内是线性无关的. 如果1k ，2k ，3k 不全为零, 在该区间内至多只有两个x 值能使2123k k x k x ++为零. 要使21230k k x k x ++≡， 必须1k ，2k ，3k 全为零.对于两个函数1()y x ,2()y x的情形:如果21() ()y x y xk=,k为常数，1()y x与2()y x线性相关；如果21()(() )y x y xxϕ=,1()y x与2()y x线性无关.线性微分方程的一般形式n 阶线性微分方程的一般形式是： ()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= 二阶线性微分方程的一般形式是： 22d d ()()()d d y y P x Q x y f x x x ++=当方程右端()0f x≡时，方程22d d()()0d dy yP x Q x yx x++=叫做齐次的；当方程右端()0f x≠时，方程22d d()()()d dy yP x Q x y f xx x++=叫做非齐次的.齐次线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程()()0y P x y Q x y '''++= (1) 定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解, 那么)()(2211x y C x y C y +=也是方程(1)的解,其中21,C C 是任意常数.证 将y ,y ',y ''代入方程左端，得112211221122[]()[]()[]C y C y P x C y C y Q x C y C y ''''''+++++ 11112222[()()][()()]C y P x y Q x y C y P x y Q x y ''''''=+++++ 0= 0= 0=()()0y P x y Q x y '''++= , )()(2211x y C x y C y +=从形式上来看)()(2211x y C x y C y +=含有1C 与2C 两个任意常数， 但它不一定是方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解. 例如,设1()y x 是该方程的一个解,则21()2()y x y x =也是该方程的解.1121()2()y C y x C y x =+ 1()Cy x =, 其中122C C C =+定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解， )()(2211x y C x y C y +=(1C ,2C 是任意常数） 就是方程(1)的通解.()()0y P x y Q x y '''++= (1)那么例如， 方程0y y ''+=是二阶齐次线性方程， 容易验证， 1cos y x =，2sin y x =是所给方程的两个解， 21sin tan cos y x x y x==≠常数， 即1y 与2y 线性无关, 因此所给方程的通解为12cos sin y C x C x =+.推论 如果)(1x y ,2()y x , ,()n y x 是n 阶齐次 线性方程()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= 的n 个线性无关的解， 那么此方程的通解为1122()()()n n y C y x C y x C y x =+++ 其中1C ，2C ， ，n C 是任意常数.非齐次线性微分方程的解的结构二阶非齐次线性方程()()()y P x y Q x y f x '''++= (1) ()()0y P x y Q x y '''++= (2)与非齐次方程对应的齐次方程.定理3 设*y 是二阶非齐次线性方程(1)的一个特解, ()Y x 是与(1)对应的齐次方程(2)的通解,则 ()()y Y x y x *=+是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解. ()()()y P x y Q x y f x '''++= (1) ()()0y P x y Q x y '''++= (2)证 ***()()()()()Y y P x Y y Q x Y y ''''''+++++ ***[()()][()()]Y P x Y Q x Y y P x y Q x y ''''''=+++++()f x =y Y y *=+中也含有两个任意常数，将y ,y ',y ''代入方程左端，得0= ()f x = 从而它就是二阶非齐次线性方程(1)的通解. ()()()y P x y Q x y f x '''++= (1)例如，齐次方程0y y ''+=的通解为 12cos sin Y C x C x =+, 容易验证 方程2y y x ''+=是二阶非齐次线性微分方程. *22y x =-是所给方程的一个特解. 所给方程的通解为 212cos sin 2y C x C x x =++-.12,,,n y y y ()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x --'++++= ()(1)11()()()0n n n n y P x y P x y P x y --'++++= *1122n n y C y C y C y y =++++ 是非齐次线性微分方程 所对应的齐次线性微分方程 而*y 是非齐次线性微分方程的特解, 的n 个线性无关解， 如果 则 就是非齐次线性微分方程的通解.定理4 设非齐次线性方程的右端()f x 是两个函数之和，即 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 1()y x *是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''的特解， 2()y x *是方程)()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解， 则12()()y x y x **+就是原方程的特解. 解的叠加原理证 将12y y y**=+代入原方程的左端，得 ******121212()()()()()y y P x y y Q x y y '''+++++******111222[()()][()()]y P x y Q x y y P x y Q x y ''''''=+++++ 12()()f x f x =+因此**12y y +是原方程的一个特解. 1()f x =2()f x = )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''。
第十四讲(1) 高阶线性微分方程
的通解.
解 :特征方程为 r 2 3r 2 0
常 微 分 方 程
解得
r1 1, r2 2
则所求方程通解为 y C1e x C2e2 x
杨建新
高阶线性微分方程
6 解:
求
2 y y y 2e x
2
的通解 .
常 微 分 方 程
特征方程为 2r r 1 0, 特征根为 1 r1 1, r2 齐次方程的通解: y C1e x C2e x /2 2 f ( x) 2e x , p( x) 2 是零次多项式 ，
x
代入 f "( x) f ( x) 2e
x
x f ( x ) e c 0 得 ,于是
杨建新
高阶线性微分方程
(2)
由于 y f ( x ) f (t )dt e
2 2 0 x2
x
x2
x
0
e dt
t 2
则 y ' 2 xe
常 微 分 方 程
x
0
e dt 1
再由
f '( x) f ( x) 2e x 得 2C1e x C2 1, C2 0. 故
f ( x) e x
杨建新
高阶线性微分方程
3
解方程
y 6 y 9 y 0
解 : 特征方程
r 6r 9 0 解得
2
r1 r2 3
9
已知函数 f ( x) 满足方程 f "( x) f ( x) 2e x ,
f "( x) f '( x) 2 f ( x) 0.
(1)求 f ( x) 的表达式;
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y P( x) y Q( x) y 0 (1)
特别地 若在I上有 y1( x) 常数,
y2( x) 则函数y1( x)与y2( x)在I上 线性无关.
定理2 如果函数y1(x)与 y2(x)是方程(1)的两个
线性无关的特解,那末 y C1 y1( x) C2 y2( x)
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程.
9
例 求解 y y x e x
解 y y 0 的通解是Y C1 cos x C2 sin x
再考虑两个方程 y y x, y y e x
y1
x,
y2
1 2
e x 分别是原方程的特解.
所以原方程的通解为
y Y y
C1
cos
x
C2
sin
x
x
1ex 2
10
3. 一个重要结论 非齐次线性方程的两个特解之差是 对应齐次方程
的特解. 证 设y1, y2是非齐次线性方程的两个特解, 则
y1 P( x) y1 Q( x) y1 f ( x) (1) y2 P( x) y2 Q( x) y2 f ( x) (2)
叠 加
Q( x)[C1 y1 C2 y2 ]
原 理
C1[ y1 P( x) y1 Q( x) y1] C2[ y2 P( x) y2 Q( x) y2 ]
0
y C1 y1( x) C2 y2( x) 一定是通解
3
定义 设y1, y2 ,, yn为定义在区间I内的n个函数. 如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 恒等式成立
(1) (2)得
( y1 y2 ) P( x)( y1 y2 ) Q( x)( y1 y2 ) 0
所以 y1 y2 是齐次方程的解.
11
作业
习题12.4(337页） 1. 2. 3.
12
思考题
已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
7
如 方程 y y x2 是二阶非齐次线性方程
已知Y C1 cos x C2 sin x 是对应齐次方程 y y 0 的通解. 又容易验证 y x2 2 是所给方程的一个特解. y Y y
C1 cos x C2 sin x x2 2
都是微分方程
( x2 2x) y ( x2 2) y (2x Байду номын сангаас 2) y 6x 6
的解, 求此方程的通解.
结论 非齐次线性方程的两个特解之差 是对应
齐次方程的特解.
13
已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
都是微分方程: ( x2 2x) y ( x2 2) y (2x 2) y 6x 6
2. 二阶非齐次线性方程的解的结构
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解.
为了求非齐次线性方程的通解, 只要求得: 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 的通解.
k1 y1 k2 y2 kn yn 0,
则称这n个函数在区间I内 线性相关, 否则称 线性无关.
如 1，cos2 x, sin2 x ( x (,)) 线性相关
e x，ex , e2x ( x (,)) 线性无关
取k1 1, k2 k3 1,有恒等式 1 cos2 x sin2 x 0
也是(1)的 通解.
为了求 齐次 线性方程的通解,
只要求它的两个线性无关的特解.
如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且
y2 y1
tan x
常数,
通解 y C1 cos x C2 sin x.
5
定理2 可推广到n 阶齐次线性方程. 推论 如果函数 y1( x), y2( x), yn( x) 是n 阶齐次 线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn( x) y 0
的n 个线性无关的解, 则此方程的通解为
y C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x),
其中 C1,C2 ,Cn 为任意常数.
6
y P( x) y Q( x) y 0 (1)
是非齐次方程的通解.
8
y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
定理4 设非齐次方程 (2)的右端 f ( x)是几个函数 之和, 如y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x) 而y1与y2分别是
y P( x) y Q( x) y f1( x) y P( x) y Q( x) y f2( x) 的特解, 则 y1 y2 就是原方程的特解.
第四节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构
1
一、二阶线性微分方程
形如
d2 y dx 2
P(
x)
dy dx
Q(
x)
y
f (x)
二阶线性 微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
y(n) P1 ( x) y(n1) Pn1 ( x) y Pn ( x) y f ( x) n阶 线性 微分方程
2
二、线性微分方程的解的结构
1. 二阶齐次方程解的结构
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理1 如果函数数y1( x)与y2( x)是方程程(1)的两两个个解解,
那末y C1 y1( x) C2 y2( x)也是(1)的解,(C1,C2是常数).
证 [C1 y1 C2 y2]P( x)[C1 y1 C2 y2 ]