一次函数与四边形存在性问题

一次函数与四边形综合专题

1．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点

（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；

（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）

①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）

②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）

（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．

2．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标；

（3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A （，0）、B（，2），∠CAO=30°．

（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；

（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；

（3）在平面是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度．

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）若点A、B、O与平面点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标；

（3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标．

5．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

（1）当点P移动到点D时，t=秒；

（2）连接点A，C，求直线AC的解析式；

（3）若点M是直线AC上第一象限一点，是否存在某一时刻，使得四边形OPMQ 为平行四边形？若存在，请直接写出t的值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．

（1）求点A、点B的坐标；

（2）求直线DC的解析式；

（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．

（1）求：①点D的坐标；

②经过点D，且与直线FC平行的直线的函数表达式；

（2）直线y=x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在平面直角坐标系确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

8．已知：如图1，图2，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（0，2），点C 在x轴的正半轴上，点D为OC的中点．

（1）求证：BD∥AC；

（2）如果OE⊥AC于点E，OE=2时，求点C的坐标；

（3）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．

9．如图，已知直线l：y=﹣x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l1：y=x+1与y轴交于点C，设直线l与直线l1的交点为E

（1）如图1，若点E的横坐标为2，求点A的坐标；

（2）在（1）的前提下，D（a，0）为x轴上的一点，过点D作x轴的垂线，分别交直线l与直线l1于点M、N，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求a的值；

（3）如图2，设直线l与直线l2：y=﹣x﹣3的交点为F，问是否存在点B，使BE=BF，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．

10．已知，如图，平面直角坐标系xOy中，线段AB∥y轴，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，AB=10．点P是线段AB上的一动点，当点P在线段AB上从点A向点B开始运动时，点B同时在x轴上从点C（4，0）向点O运动，点P、点B运动的速度都是每秒1个单位，设运动的时间为t（0＜t＜4）．

（1）用含有t的式子表示点P的坐标；

（2）当点P恰好在直线y=3x上时，求线段AP的长；

（3）在（2）的条件下，直角坐标平面是否存在点D，使以O、P、A、D为顶点的四边形是等腰梯形．如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请简单说明理由．

11．在直角坐标系中，点A的坐标是（3，0），点P在第一象限的直线y=﹣x+4上．设点P的坐标为（x，y）．

（1）求△POA的面积S与自变量x的函数关系式及x的取值围；

（2）当S=时，求点P的位置；

（3）在（2）的条件下，若以P、O、A、Q为顶点构成平行四边形，请直接写出第四个顶点Q的坐标．

12．已知函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（12，0）、点B，与函数y=x的图象交于点E，点E的横坐标为3，求：

（1）直线AB的解析式；

（2）在x轴有一点F（a，0）．过点F作x轴的垂线，分别交函数y=kx+b和函数y=x于点C、D，若以点B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值．

13．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（0，2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD 交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化围；

（3）如图2，点M（﹣4，0）是x轴上的一个点，点P是坐标平面一点．若A、B、M、P四点能构成平行四边形，请写出满足条件的所有点P的坐标。