概率的知识归纳与题型总结
概率知识点总结及题型汇总-统计概率知识点总结
概率知识点总结及题型汇总一、确定事件：包括必然事件和不可能事件1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。
必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。
2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。
不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。
这是不可能事件。
3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0二、随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。
三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破；②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上；④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞机会晚些到达．解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②．确定事件是①②三、概率1、一般地，对于一个随机事件A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A) ．（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = mn．（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．3、求概率的步骤：(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；(3)运用公式求事件A的概率：P(A) = mn．5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件等可能性事件的两种特征：（1）出现的结果有限多个; （2）各结果发生的可能性相等；例1：图1指针在转动过程中，转到各区域的可能性相等，图3中的第一个图，指针在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分的。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结一、概率的定义在一定条件下，重复进行试验，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) ＝ p。
概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
二、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1：任何事件的概率都在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
2、P(Ω) ＝ 1：必然事件的概率为 1，其中Ω 表示样本空间，即所有可能结果的集合。
3、 P(∅）＝ 0：不可能事件的概率为 0，∅表示空集。
4、如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不能同时发生），那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
三、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件的总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），取出红球包含的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为 3/5。
四、例题解析例 1：掷一枚质地均匀的骰子，求点数为奇数的概率。
解：掷一枚骰子，出现的点数有 1、2、3、4、5、6 共 6 种可能，其中奇数有 1、3、5 共 3 种。
所以点数为奇数的概率为 3/6 ＝ 1/2。
例 2：从 1、2、3、4 这 4 个数字中，任意取出两个数字，求取出的两个数字都是奇数的概率。
解：从4 个数字中任意取出两个数字，共有6 种可能的结果：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）。
其中两个数字都是奇数的结果有（1，3），共 1 种。
所以取出的两个数字都是奇数的概率为 1/6。
概率与统计题型归纳总结
概率与统计题型归纳总结在学习概率与统计的过程中，我们不可避免地要接触到各种各样的题型。
在这些题型中，有的看似简单却需要一定思考，有的则需要我们具备一定的数学基础。
本文将围绕这些题型展开，帮助大家更好地总结归纳概率与统计中的题型。
一、基本概率基本概率是概率学习中最基础的部分，要求我们计算某一事件发生的可能性，其公式为：P(A)=n(A)/n(S)。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A出现的次数，n(S)表示总体出现的次数。
二、条件概率条件概率是建立在基本概率之上的，要求我们在已知某一事件发生的情况下，计算其他事件发生的概率。
其公式为：P(A|B)=P(B∩A)/P(B)。
其中，P(A|B)表示在B发生的前提下，A发生的概率，P(B∩A)表示A与B同时发生的概率，P(B)表示B发生的概率。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种利用先验信息来更新后验概率的方法。
其公式为：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
其中，P(A)为先验概率，P(B|A)为A发生的情况下，B发生的概率，P(B)为后验概率。
四、独立事件独立事件是指两个或多个事件，其中任意一个事件的发生与其他事件的发生无关。
其公式为：P(A∩B)=P(A)P(B)。
其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B各自发生的概率，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率。
五、全概率公式全概率公式是用来计算某一事件在多种情况下的概率的公式。
其公式为：P(A)=∑(i=1)^(n)P(A|B_i)P(B_i)。
其中，B_1,B_2...B_n是一组互不相交的事件，且它们包含了所有可能的情况。
P(A)表示事件A的概率，P(A|B_i)表示在B_i发生的前提下，A发生的概率，P(B_i)表示B_i 发生的概率。
六、随机变量随机变量是指某一随机事件在其过程中所反映的变量。
在统计学中，我们常常会用随机变量来描述概率分布。
常见的随机变量有离散随机变量和连续随机变量。
中考数学概率题型知识点归纳
中考数学概率题型知识点归纳概率是中考数学中的一个重要知识点，它与我们的日常生活息息相关，能够帮助我们理解和预测各种随机现象。
下面就为大家归纳一下中考数学中常见的概率题型及相关知识点。
一、概率的基本概念1、随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。
3、不可能事件在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件。
4、概率表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。
概率通常用 P（事件）来表示。
二、概率的计算1、古典概型如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么某个事件 A 发生的概率为 P（A）＝事件 A 包含的结果数÷所有可能的结果数。
例如：一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？总共有 8 个球，摸到红球的可能性有 5 种，所以摸到红球的概率为5÷8 ＝ 5/8 。
2、列表法和树状图法当一次试验要涉及两个或两个以上因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法或树状图法。
例如：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求出现“一正一反”的概率。
我们可以通过列表法：｜第一枚硬币｜正｜正｜反｜反｜｜｜｜｜｜｜｜第二枚硬币｜正｜反｜正｜反｜共有 4 种等可能的结果，其中“一正一反”的结果有 2 种，所以概率为 2÷4 ＝ 1/2 。
或者通过树状图法：｀｀｀第一枚硬币／＼正反／＼／＼正反正反｀｀｀同样可以得出“一正一反”的概率为 1/2 。
3、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
例如：在一个边长为 4 的正方形内随机取一点，求该点到正方形顶点的距离小于 2 的概率。
此时，点到正方形顶点的距离小于2 的区域是以正方形顶点为圆心，以 2 为半径的四分之一圆，其面积为π×2²×1/4 ＝π。
概率知识归纳与题型分类 带答案(印)
概率的知识归纳与题型总结一、概率知识点框架图二、考试内容分析概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。
应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；三、题型分类、考点1 考查等可能．．．事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。
如果事件A包含的结果有m个，那么()mP An=。
这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。
求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1：(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。
测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答． （I ）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（110P =） （II ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望ξE . （35E ξ=） 解：（1）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为1819110C C C ，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为131416C C C1011819110131416==∴C C C C C C P …………………………………………………………………（4分）（2）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2则157)0(1819110161718===C C C C C C P ξ157)1(181911017181213===C C C C C C C P ξ151)2(1819110121318===C C C C C C P ξ……………………………………………………………（8分）所以ξ的分布列为：……………………………………………………………………（10分）从而有5152151150=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………（12分）练习：A 、B 两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。
比如抽奖时中奖的可能性、明天是否会下雨的预测、体育比赛中获胜的概率等等。
概率是研究随机现象规律的数学分支，它能帮助我们更好地理解和应对不确定性。
接下来，让我们通过一些例题来深入了解概率的初步知识。
一、知识点回顾1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷一枚骰子，出现的点数就是一个随机事件。
2、概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小的数值度量。
通常用 0 到 1 之间的数来表示，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
3、古典概型如果一个随机试验具有以下两个特征：（1）试验的样本空间中样本点的总数是有限的；（2）每个样本点出现的可能性相等。
那么这样的随机试验称为古典概型。
在古典概型中，事件 A 的概率可以通过计算 A 包含的样本点个数与样本空间中样本点的总数之比得到。
4、概率的基本性质（1）对于任意事件 A，0 ≤ P(A) ≤ 1。
（2）必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0。
（3）如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不可能同时发生），则P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
二、例题解析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10。
取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3。
所以取出的 2 个球都是红球的概率为 3/10。
例 2：掷一枚均匀的骰子，求点数大于 4 的概率。
解：骰子的点数有 1、2、3、4、5、6，点数大于 4 的有 5、6 两种情况，所以点数大于 4 的概率为 2/6 ＝ 1/3。
例 3：同时掷两枚均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：同时掷两枚骰子，所有可能的结果有 6×6 ＝ 36 种。
概率知识讲解+习题集
中考内容中考要求ABC事件了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义概率了解概率的意义；知道大量重复实验时，可以用频率估计概率会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义列表概率求法树状图用频率估算概率与频数的关系一、与概率有关的定义：1、必然事件：事先能肯定一定发生的事件称为必然事件.2、不可能事件：事先能肯定一定不发生的事件称为不可能事件.3、确定事件：事先能肯定它是否发生的事件称为确定事件，必然事件和不可能事件都是确定事件.4、不确定事件（随机事件）：事先不能肯定它会不会发生的事件称为不确定事件.5、概率：随机事件A 发生的可能性的大小.记为()P A .设n 为事件A 包含的可能结果数，m 为所有可能结果总数，则()nP A m=. 对于任何一个事件A ，它的概率()P A 满足0()1P A ≤≤，必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0.7、（补充）乘法原理：若一件事情需分m 个步骤完成，而且每个步骤的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =⋅⋅⋅.加法原理：若一件事情需分m 种方法完成，而且每种方法的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =+++二、求概率的方法：知识精讲中考大纲概率知识网络图1、列表2、画树状图3、用频率估计概率 列举法求概率如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为m n． 用树状图法求概率当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方便了，可采用树状图法表示出所有可能的结果，再根据()mP A n=计算概率． 利用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记作()()()01P A p P A =≤≤三、概率与频率的关系←⎧⎪↓⎨⎪⎩频率用试验的方法频率与概率（试验次数很多）理论概率1、当一次试验涉及多个因素（对象）时，常用列表法或树状图法求出事件发出的所有等可能的结果，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．2、当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关事件的概率是困难的，转换视角，从问题的对立面：反面求解，常能化简求值．3、游戏的公平性是通过概率来判断的，在得分相等的前提下，若对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘相应得分，结果相等即公平，否则不公平．1、在审题时，看拿出来的东西是否放回．2、答题时需要注意步骤．易错点辨析解题方法技巧如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（）．（2014北京中考）A．16B．14C．13D．12题型一事件【例1】下列事件中必然发生的是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．阴天就一定会下雨【例2】下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖【例3】下列事件中是必然事件的是（）A．小菊上学一定乘坐公共汽车B．某种彩票中奖率为1％，买10000张该种票一定会中奖C．一年中，大、小月份数刚好一样多D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上【例4】下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环D.若a是实数，则0a课堂练习真题链接概率习题集题型二简单概率计算【例5】从1~12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4倍数的概率是（）．（2014石景山期末）A．112B．14C．13D．12【例6】在12的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为__________．（2014昌平期末）【例7】下列说法正确的是（）．（2014朝阳期末）A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨B．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”的概率等于“点数为偶数”的概率【例8】不透明的袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余2个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于20的概率为（）．（2014大兴期末）A．12B．13C．23D．16【例9】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是（）．（2014东城期末）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【例10】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为（）．（2014房山期末）A．13B．12C．16D．23【例11】一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（）．（2014丰台期末）A．12B．13C．23D．16【例12】一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．（2014丰台期末）【例13】汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B）的概率为12，则B与A的半径之比为．BA【例14】6张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形、圆．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A．16B．13C．12D．23【例15】在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。
概率问题知识点总结
概率问题知识点总结1. 概率的基本概念概率是描述随机现象发生可能性大小的量。
在概率论中，事件A的概率一般用P(A)表示。
概率的基本性质包括：（1）非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0；（2）规范性：必然事件的概率为1，即P(S)=1；（3）可列可加性：对于两个不相容事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
2. 条件概率条件概率是指在给定另一事件发生的条件下，某一事件发生的概率。
条件概率常用P(A|B)表示，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)3. 独立事件如果事件A和事件B相互独立，那么P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)。
也就是说，事件A的发生并不影响事件B的发生，反之亦然。
两个事件相互独立的充分必要条件是P(A∩B)=P(A)P(B)。
4. 随机变量与概率分布随机变量是指对随机现象结果进行量化的变量。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值有限或者可数，而连续型随机变量的取值是连续的。
随机变量的概率分布是指它取各个可能值的概率。
5. 期望与方差随机变量的期望是对其取值进行加权平均的结果，反映了其平均水平。
期望用E(X)或μ表示。
随机变量的方差是对其取值与期望的偏离程度进行加权平均的结果，反映了其分散程度。
方差用Var(X)或σ²表示。
6. 参数估计参数估计是指在已知数据的情况下，对总体的某种特征（参数）进行估计的过程。
参数估计的方法包括点估计和区间估计。
点估计的目标是寻找一个能够最好地估计总体参数的数值，而区间估计给出的是总体参数的估计范围。
7. 假设检验假设检验是指根据样本信息对总体分布或参数提出的假设进行检验的过程。
在假设检验中，我们首先提出原假设和备择假设，然后计算一个检验统计量，最后根据检验统计量的大小来判断是否拒绝原假设。
8. 贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2024高考数学概率统计知识点总结与题型分析
2024高考数学概率统计知识点总结与题型分析概率统计作为数学课程的一个重要分支，在高考中占有重要的一席之地。
它是一个与现实生活息息相关的学科，旨在通过收集、整理和分析数据，帮助我们做出正确的判断和决策。
本文对2024高考数学概率统计的知识点进行了总结，并对可能出现的题型进行了分析。
一、基本概念和公式1. 随机事件：指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件。
2. 样本空间：指一个试验所有可能结果的集合。
3. 必然事件：指在一次试验中一定会发生的事件。
4. 不可能事件：指在一次试验中一定不会发生的事件。
5. 事件的概率：指随机事件发生的可能性大小。
6. 加法原理：对于两个互不相容的事件A和B，它们的和事件A∪B的概率等于各个事件的概率之和。
P(A∪B) = P(A) + P(B)7. 乘法原理：对于两个相互独立的事件A和B，它们的积事件A∩B的概率等于各个事件的概率之积。
P(A∩B) = P(A) × P(B)二、概率计算1. 事件的概率计算：对于离散型随机事件，概率可通过频率估计和计数原理计算。
对于连续型随机事件，概率可通过定积分计算。
2. 事件的互斥与独立：如果两个事件A和B互斥（即不能同时发生），则它们的和事件A∪B的概率等于各自事件的概率之和。
如果两个事件A和B相互独立（即一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响），则它们的积事件A∩B的概率等于各自事件的概率之积。
三、排列组合与概率计算1. 排列：排列是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），并有顺序地排成一列的方式。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合：组合是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序地组成一个集合的方式。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 概率计算中的排列组合：当事件A与某个事件B相关时，在计算A的概率时，需要考虑B 发生的不同排列组合情况。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。
无论是在玩游戏、抽奖，还是在进行科学研究、经济决策时，概率都起着重要的作用。
下面，让我们一起来学习概率的初步知识，并通过一些例题来加深对概率的理解。
一、概率的基本概念概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
它的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05，因为硬币只有正反两面，且两面出现的可能性相同。
二、概率的计算方法1、古典概型如果一个试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用古典概型来计算概率。
计算公式为：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是多少？基本事件总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数为 3，所以取出红球的概率 P(取出红球) ＝ 3 ／ 5 ＝ 062、几何概型如果一个试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用几何概型来计算概率。
计算公式为：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）例如，在一个边长为 1 的正方形内随机取一点，该点落在正方形内一个半径为 05 的圆内的概率是多少？圆的面积为π×（05)²＝025π，正方形的面积为 1×1 ＝ 1，所以该点落在圆内的概率 P(落在圆内) ＝025π ／ 1 ＝025π三、独立事件与条件概率1、独立事件如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的事件。
例如，抛两次硬币，第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上就是两个独立事件。
中考数学复习《概率》考点及经典题型
中考数学复习《概率》考点及经典题型知识点一：概率 1. 概率及公式（1）定义：表示一个事件发生的可能性大小的数． （2）概率公式：P (A )＝mn(m 表示试验中事件A 出现的次数，n 表示所有等可能出现的结果的次数)． 2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A ，B ，C ，…，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=P变式练习1：一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为( ) A. 47 B. 37 C. 34 D. 13【解析】B 因为布袋里有3个红球和4个白球，共7个球，所以从中任取一个，摸出的球是红球的概率是37.变式练习2：设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是14.2. 用频率可以估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率 会稳定在某个常数p 附近，那么事件A 发生的概率P (A )＝p ＝m n. 变式练习1：一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为( ) A. 47 B. 37 C. 34 D. 13【解析】B 因为布袋里有3个红球和4个白球，共7个球，所以从中任取一个，摸出的球是红球的概率是37.注意：（1）在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
（2）在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
变式练习2：在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为13，则袋中白球的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 12【解析】B 由已知得4个黄球占总球的13，所以共有12个球，则白球的个数为12－5－4＝3(个)．变式练习3：在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则摸到白球的概率为0.7.3. 事件的类型及其概率 1)确定事件和随机事件 （1）确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
高考概率知识点及例题
概率知识要点．随机事件的概率随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。
3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。
4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。
5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。
6、频率：事件A 出现的比例()=A n n A nf 。
7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.概率的意义1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。
认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
2、游戏的公平性：抽签的公平性。
3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。
——极大似然法、小概率事件4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨的机会是70%”。
5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。
6、遗传机理中的统计规律。
概率的基本性质1、事件的关系与运算（1）包含。
对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作(或A B)。
⊇⊆B A不可能事件记作∅。
（2）相等。
若B A A B且，则称事件A与事件B相等，记作A=B。
⊇⊇（3）事件A与事件B的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B发生。
（4）事件A与事件B的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B发生。
（5）事件A与事件B互斥：A B为不可能事件，即=A B∅，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。
数学高考概率题型
数学高考概率题型数学高考概率题型一、概率的基础知识在数学高考中，概率是一个重要的题型。
概率是研究随机事件发生的可能性大小的一门数学分支。
学好概率，不仅能够帮助我们更好地理解数量关系，还能够帮助我们做出正确的决策。
下面将介绍几个基础的概率知识。
1.1 事件与样本空间在概率中，我们所研究的对象叫做事件。
事件是指某个特定结果的集合。
样本空间是指所有可能结果的集合。
通过样本空间，我们可以确定事件发生的可能性大小。
1.2 概率的计算概率的计算可以通过使用频率的方法或理论的方法。
频率的方法是指通过实验进行数据统计，计算事件发生的次数与总次数的比值。
理论的方法是指通过样本空间的大小和事件的可能结果的大小来计算概率。
二、概率的应用2.1 条件概率条件概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。
条件概率可以通过两事件的交集与某个事件的概率的比值来计算。
条件概率的应用广泛，例如在生活中判断某个事件发生的概率。
2.2 独立事件独立事件是指两个事件相互之间没有影响的情况下发生的事件。
独立事件的概率可以通过两个事件发生的概率的乘积来计算。
独立事件在数学高考中经常被考察，需要我们熟练运用计算方法。
2.3 排列组合与概率排列组合是概率中常见的计算方法。
排列是指从一组元素中选择若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
组合是指从一组元素中选择若干个元素组成一个组合的方式。
排列组合与概率的计算紧密相关，需要我们对数学公式有一定的掌握。
三、解题技巧与策略解概率题时，需要我们掌握一些解题技巧和策略。
3.1 理清思路在解题之前，我们要先理清解题思路，确定题目所问的是什么，并将问题转化为具体的数学计算问题。
3.2 理解条件概率题中往往会出现一些条件，我们要仔细理解这些条件的含义，并根据条件来确定需要计算的概率。
3.3 灵活运用计算方法概率题主要涉及到概率的计算方法，我们要灵活运用取交集、取并集、求和等基本运算方法，以及排列组合等高级计算方法。
3.4 多做练习提高解题能力最好的方法就是多做练习。
高中概率与统计题型总结
高中概率与统计题型总结高中概率与统计题型总结一、事件与概率1、均匀分布：(1) 概率模型：事件A的概率P(A) = n(A)/n(S)，其中，n(A) 为事件A中的元素个数，n(S) 为样本空间中的元素个数；(2) 事件的独立性：当两事件A 和B 互不相关时，满足P(A∩B) = P(A)P(B)；2、基本概念：(1) 条件概率：设A，B 为两个事件，若在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率是P(A|B)，则称P(A|B) 为A 在B 下发生的条件概率。
(2) 联合概率：设A，B 为两个互斥事件，则联合概率P(A ∪ B) 等于A 和B 发生的概率之和，即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
(3) 全概率公式：设A1，A2，A3…An 是 n 个互斥事件，则样本空间上任意事件A 发生的概率P(A) = ∑ P(Ai) –∑ P(Ai ∩Aj) + ∑ P(Ai ∩ Aj ∩ Ak) ……(-1)n-1 。
二、抽样与统计1、抽样：(1) 类比抽样：根据调查对象的特征，将调查对象分成若干类，然后从每一类中抽取概率相等且数量相等的样本，这种抽样方法叫作类比抽样；(2) 简单随机抽样：通过抽签形式，从调查对象中随机抽取样本，这种抽样方法叫作简单随机抽样。
2、统计：(1) 中位数：所有观测值按从小到大的顺序排列后，第（n+1）/2 个观测值叫作中位数；(2) 极差：最大观测值减去最小观测值叫作极差；(3) 样本方差：样本中每一个观测值与样本均值的差的平方和的平均数叫作样本方差；(4) 样本标准差：样本方差的平方根叫作样本标准差；(5) 相关系数：两变量之间的线性关系的强度程度叫作相关系数。
高中数学必修二统计概率题型归纳
高中数学必修二统计概率题型归纳高中数学中的统计和概率部分是相当重要的，尤其是在解决实际问题时。
本文将为同学们总结一些常见题型和解题技巧，以帮助大家更好地理解和掌握这一部分的知识。
一、统计概率概述统计和概率是描述随机现象的数学工具。
统计主要关注数据的收集、整理和分析，而概率则研究事件发生的可能性大小。
在高中数学中，这两部分知识经常结合在一起，用于解决实际问题。
二、题型归纳1. 平均数、中位数、众数、方差：这些是描述数据分布的重要指标，需要正确理解和运用。
例如，根据平均数求解题，就需要掌握如何根据样本数据来计算平均数。
2. 概率估算：这是一个重要的技巧，通常用于解决某些随机事件发生的可能性。
我们可以使用试验、比例和相关条件等方法来估算概率。
3. 抽样分布：在统计学中，抽样分布是重要的概念，需要了解如何从总体中抽取样本，并如何根据样本数据来估计总体参数。
4. 排列组合问题：这是概率论中的一个重要分支，需要掌握基本的排列组合公式和技巧。
5. 概率计算：包括条件概率、独立事件等，需要运用概率论的基本原理和方法进行计算。
三、解题方法1. 列表法：对于简单的概率问题，可以通过列表法清晰地看出可能的结果。
2. 公式法：对于一些特定的概率问题，可以运用公式法进行计算。
3. 计算机软件：对于更复杂的概率问题，可以利用计算机软件进行数值计算和模拟实验。
四、注意事项1. 理解概念：统计和概率的概念需要准确理解，不能混淆或错误运用。
2. 数据分析：在解决实际问题时，要善于运用数据分析和推理的方法来解决问题。
3. 解题步骤：在解题时，要按照一定的步骤和思路来进行，避免盲目尝试。
总的来说，高中数学中的统计和概率部分需要准确理解和运用，才能更好地解决实际问题。
通过本文的归纳和总结，相信大家能够更好地掌握这一部分的知识，并在考试中取得好成绩。
《概率》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
概率考纲要求1.了解随机现象和概率的统计定义，理解必然事件和不可能事件的意义.2.知道概率的性质，理解古典概率模型的含义，掌握求古典概型的方法，并会求古典概型的概率.3.知道互斥事件，会用概率加法公式求互斥事件的概率.4.认识n 次独立重复实验模型，并记住n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率公式，并会简单应用.5.了解随机变量、离散型随机变量及其概率分布；能写出简单的离散型随机变量的概率分布.6.了解二项分布，能写出简单的二项分布. 知识点一：随机事件的概率 1.随机事件的相关概念随机现象：在相同条件下具有多种可能结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象称为随机现象.随机试验：研究随机现象所进行的观察和试验称为随机试验.随机事件：随机试验的结果称为随机事件，简称事件，常用大写字母A ,B ,C 等来表示. 必然事件：在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，用Ω来表示. 不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件，用∅来表示. 基本事件：在随机试验中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件. 复合事件：可以用基本事件来描述的随机事件称为复合事件. 2.频率与概率频数：设在n 次重复试验中，事件发A 生了m 次（0 ≤m ≤n ），m 称为事件A 的频数. 频率：事件A 的频数在试验的总次数中所占的比例mn，称为事件A 发生的频率. 事件A 发生的概率：当试验次数充分大时，如果事件发A 生的频率mn总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件A 发生的概率,记作)(A P . 事件A 发生的概率的性质：（1）对于必然事件Ω，()1=P Ω； （2）对于不可能事件∅，0)(=∅P ； （3）0≤P (A )≤1. 知识点2： 古典概型 1. 古典概型：（1）定义：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性都相等，那么称这个随机试验属于古典概型.特征：试验的所有可能结果的个数是有限的；每个结果出现的机会均等.（2）在古典概型中，若试验共包含有n 个基本事件，并且每一个事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件A 发生的概率()m P A n =2.互斥事件：（1）定义：在随机试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件或互不相容事件 （2）和事件：在随机试验中，若事件C 发生意味着事件A 与事件B 中至少有一个发生，则把事件C 称为事件A 与事件B 的和事件,记作C AB =（3）互斥事件的概率加法公式：互斥的事件A 和事件B 中至少有一个发生的概率()()()P A B P A P B =+知识点3：离散型随机变量及其分布 1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，这个变量的取值带有随机性，并且取这些值的概率是确定的，那么这个变量叫做随机变量，通常用小写希腊字母ξ、η等表示，或用大写英文字母，,,X Y Z 等表示. 2.离散型随机变量的概念如果随机变量的所有可能取值可以一一列出，则这种随机变量称为离散型随机变量. 3.离散型随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的概率分布的定义离散型随机变量ξ的所有可能取值1x ，2x ，3x …，i x …与其对应的概率(x )i i P p ξ==（i =1，2，3，…）所有组成的表叫做随机变量ξ的概率分布（分布列）. 离散型随机变量概率分布的性质. ① 0(1,2,3,)i p i =≥；②1231i p p p p +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.（2）计算离散型随机变量的概率分布的主要步骤为 ①写出随机变量的所有取值；②计算出各个取值对应的随机事件的概率； ③列出表格.注意验证0(1,2,3,)i p i =≥以及121i p p p ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.知识点4：二项分布 1.n 次独立重复实验定义：在相同条件下，重复进行n 次试验，如果每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，那么这n 次重复试验叫做n 次独立重复试验. 2.n 次伯努利实验定义：在n 次独立重复试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A 和A ，并且在每次试验中事件A 发生的概率都相同，这样的n 次独立重复试验叫做n 次伯努利试验. 3.伯努利公式如果在每次试验中事件A 发生的概率()P A p =，事件A 不发生的概率()1P A p =-，那么在n 次伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为k n k k n n p p k P --=)1(C )((其中0,1,2,,k n =⋅⋅⋅).4.二项分布如果在一次试验中某事件A 发生的概率的p ,随机变量ξ为n 次独立试验中事件发A 生的次数，那么随机变量ξ的概率分布为其中n k p ,,2,1,0,10 =<<我们将这种形式的随机变量ξ的概率分布叫做二项分布．称随机变量ξ服从参数为n 、p 的二项分布，记为(,)B n p ξ．二项分布是以伯努利试验为背景的重要分布． 题型一 基本概念例1 一口袋中有10个小球，其中有8个白球、2个黑球,从中任取3个小球,有以下事件：①3个都是白球. ②至少有一个是黑球. ③3个都是黑球. ④至少有一个白球.其中随机事件是 ；必然事件是 ；不可能事件是 . 分析：本题考察定义的理解及“至少”的含义. 随机事件有①②； 必然事件有④； 不可能事件有③. 解答：①②，④，③ 题型二 古典概型例2 同时抛掷两颗骰子，则所得点数之和为7的概率为 .分析：本题考查古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有6⨯6=36种结果，满足条件的事件是点数之和为7，可以列举出所有的事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共有6种结果，根据古典概型概率公式得到61=P . 解答：61. 题型三 互斥事件例3 某地区年降水量在50~100mm 范围内的概率为0.21，在100~150mm 范围内的概率为0.22，则年降水量在50~155mm ，范围内的概率为多少？ 分析：应用互斥事件的概率加法公式 解答：0.43题型四 独立重复试验及概率例4 一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（ ）.A.18B.38C.12 D.23分析：设事件A =｛正面向上｝，则()P A =12，抛掷3次相当于做3次独立重复试验，恰好有两次正面向上的概率为2123113(2)228P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解答：B .题型五 离散型随机变量的概率分布例5 从含有8个正品、2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取一个，用ξ表示抽到次品的次数，求: （1） ξ的概率分布.（2） 至多有一次抽到次品的概率.解答：（1）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，且383107(0)15C P C ξ===， 1228310715C C P C ξ=（=1）=， 21283101(2)15C C P C ξ===. 所以ξ的概率分布为（2）至多有一次抽到次品的概率为715+715=1415. 题型六 二项分布例6 在人寿保险中，设一个投保人能活到65岁的概率为0.6，求三个投保人中活到65岁的人数ξ的概率分布．解答：记A ={一个投保人能活到65岁}，则A ={一个投保人活不到65岁}．于是()0.6,()10.60.4P A P A ==-=．且随机变量(3,0.6)B ξ．因此0333(0)0.6(10.6)0.064P C =⋅⋅-=， 11233(1)0.6(10.6)0.288P C =⋅⋅-=，22133(2)0.6(10.6)0.432P C =⋅⋅-=，33033(3)0.6(10.6)0.216P C =⋅⋅-=.所以，三个投保人中能活到65岁的人数ξ的概率分布为一、选择题1．在10张奖券中，有1张一等奖，2张二等奖，从中任意抽取1张，则中一等奖的概率为（ ）． A.310 B.15 C.110 D.132.甲乙两人进行一次射击，甲击中目标的概率为0.7，乙击中的概率为0.2，那么甲乙两人都没击中的概率为（ ）．A. 0.24 B .0.56 C. 0.06 D. 0.863.某人从一副不含大小王扑克牌中（52张）任意取一张出来，他抽到黑桃或是红桃的概率为（ ）．A. 0B.152 C. 1352 D. 124.书包里有中文书5本，英文书3本，从中任集抽取2本，则都抽到中文书的概率是（ ）． A.15 B.25 C.12 D.5145.一个口袋中有5个红球，7个白球，每次取出一个，有放回取三次，观察球的颜色属于（ ）．A.重复试验B.古典概型C. 3次独立重复试验概率模型D.以上都不是 6.同时抛掷三枚硬币，三枚出现相同一面的概率为（ ）．A12 B 14 C 16 D 187．某品牌种子的发芽率是0.8，在试验的5粒种子中恰有4粒发芽的概率是（ ）． A.410.8(10.8)- B.140.8(10.8)-C.41450.8(10.8)C -D.44150.8(10.8)C -8.下列变量中不是随机变量的是（ ）． A. 射手射击一次的环数 B. 在一个标准大气压下100时会沸腾 C. 城市夏季出现的暴雨次数 D. 某班期末考试数学及格人数9.若从标有3，4，5，6，7的5张卡片中任取3张，取得奇数的个数为ξ，则随机变量ξ的可能取值的个数是（ ）．A .0 B. 1 C. 2 D .3 10.已知离散型随机变量ξ的概率分布为则n 的值为（ ）．A .0.31 B. 0.25 C. 0.26 D. 0.2 二、判断题：1. 某人参加射击比赛，一次射击命中的环数为（奇数环）是随机事件( )2. 在重复进行同一试验时，随着试验总次数的增加，事件A 发生的频率一般会越来越接近概率. ( )3. 任一事件A ,其发生的概率为()P A ，则有0≤P (A )≤1 . ( )4. 必然事件的概率为0.( )5. 袋子里有3颗红球6颗白球，从中任取一颗是白球的概率是13.( ) 6. 盒内装有大小相同的3个白球1个黑球，从中摸出2个球，则两个球全是白球的概率是12. ( )7. 同时抛掷3枚硬币，三枚出现相同一面的概率是18. ( )8. 同宿舍8人抓阄决定谁负责周一值日是随机试验.( )9. 运动员进行射击训练，考察一次射击命中的环数，命中2环的概率是110. （）10. 甲、乙两台机床，它们因故障停机的概率分别为0.01和0.02，则这两台机床同时因故障停机的概率为0.03. ( )三、填空题1．在10件产品中有3件次品，若从中任取2件，被抽到的次品数用ξ表示，则2ξ=表示的随机事件为．2．盒中有3个白色的球和5个红色的球，任取出一个球，取出的是红色的概率为．3.10件产品中有2件次品，任取3件，设取出的3件产品中所含正品数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为．4．从甲、乙、丙3人中，任选2人参加社会实践，甲被选中的概率为．5．某气象站天气预报的准确率为0.8，一周中播报准确的次数为ξ，则2ξ=的概率为．（用式子表示）四、解答1．口袋里装有3个黑球与2个白球，任取3个球，求取到的白球的个数ξ的概率分布．2.口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取1个球，有放回地取3次，求所取过的3个球中恰有两个黑球的概率.高考链接1.(2014年) 已知离散型随机变量ξ的概率分布为则(1)Pξ==( )．A .0.24 B. 0.28 C.0.48 D.0.522.(2019年) 一口袋里装有4个白球和4个红球现在从中任取3个球，则取到既有白球又有红球的概率 .3.(2018年) 若将一枚硬币抛3次，则至少出现一次正面的概率为 .4.(2016年) 从1，2，3，4，5中任选3个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 .5.(2017年) 取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为．积石成山1.某单选题要求从A 、B 、C 、D 四个选项中，选择一个正确答案，假设考生不会，随机地选择了一个答案，则他答对此题的概率是（）．A.1B.12C.13D.142. 某乐队有11名乐师，其中男乐师7人，现该乐队要选出一名指挥,则选出的指挥为女乐师的概率为（）．A.711B14C.47D.4113. 已知A 、B 是互斥事件，若1()5P A=,1()2P A B+=，则()P B的值是（）．A .45B.710C.310D.1104. 袋中装有3个黑球和2个白球一次取出两个球，恰好是黑白球各一个的概率（）．A. 15B.310C.25D.355. 5人站成一排照相，其中甲乙二人相邻的概率为（）．A. 25B.35C.15D.146. 一个箱子中有6个除了颜色之外完全一样的球，其中2个是红色的，4个是黑色的，那么在里面随机拿出一个是红色的概率是多少？（）．A. 12B.13C.14D.167. 掷一枚质地均匀且六面上分别有1，2，3，4，5，6点的骰子，则向上一面点数大于4的概率为（）．A. 12B.13C.23D.148. 抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上一面出现偶数点概率是（）．A.12B.13C.16D.19.把一枚均匀的硬币连抛5次，得到5次国徽向上的概率为（）．A. 132B.532C.316D.313210.一副扑克牌去掉大小王，任意抽出一张不是黑桃的概率为（）．A. 14B .13C.12D.34概率答案一、选择题二、判断题三、填空题1.｛任抽2件，有2件次品｝.2. 58解析：151858CpC==.3. 1，2，3.4. 23解析：枚举法：选派方法有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）共3种，其中甲被选中有2种，故所求概率为 23P =.5. 22570.8(10.8)C ⨯⨯-解析：设A =｛播报一次，准确｝，则()0.8P A =,所以2257(2)0.8(10.8)P C ξ==⨯⨯-四、解答题1. 分析：任取3球属于古典概型，服从的分布为离散型随机变量的概率分布. 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，则3032351(0)10C C P C ξ===, 2132353(1)5C C P C ξ===, 1232353(2)10C C P C ξ===. 所以概率分布为2. 分析：本题为有放回的抽取，是伯努利试验，服从二项分布. 解：设所取过的3个球中含有黑球的个数为随机变量ξ，则43,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，于是 21234148(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .高考链接1.B2.67解析：古典概率模型，则从中任意取3个球，取到既有白球又有红球的概率为122144443867C C C C C +=.3.78解析：试验发生包含的事件是将一枚硬币抛掷三次，共有328=（种）结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，则至少一次正面向上的概率是17188-=.4.25解析：从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复的三位数，基本事件总数3560n P ==，这个三位数是偶数包含的基本事件个数122424m C P ==,∴这个三位数是偶数的概率为242605mPn===.5. 2π解析：设正方形的边长为11S=正方形，∴222Sππ⎛=⨯=⎝⎭外接圆∴该点取自正方形内部的概率为122Pππ==.积石成山。
高中概率与统计复习知识点与题型
概率与统计知识点与题型—1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B 为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B 不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
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概率的知识归纳与题型总结一、概率知识点框架图二、考试内容分析概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。
应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；三、题型分类、考点1 考查等可能．．．事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。
如果事件A包含的结果有m个，那么()mP An=。
这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。
求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1：(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。
测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．（I ）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（110P =） （II ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望ξE . （35E ξ=）练习：A 、B 两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。
先从中任取三条网线，设可通过的信息量为ξ，当可通过的信息量6≥ξ时，则保证信息畅通。
（1）求线路信息畅通的概率；（0.7P=）（2）求线路可通过信息量的数学期望.(6E ξ=)考点2 互斥事件有一个发生的概率不可能同时发生．．．．的两个事件A B 、叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A B+，用概率的加法公式()()()P A B P A P B +=+计算。
事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响．．．．，则A B 、叫做相互独立事件，它们同时发生．．．．的事件为B A ⋅。
用概率的法公式()()()B P A P B A P ⋅=⋅计算。
考试常结合考试竞赛、工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。
必有一个发生．．．．．．的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件。
即A B =或B A =。
至少、至多问题常使用“正难则反．．．．”的策略求解.用概率的减法公式()1(A)P A P =-计算其概率。
考试中常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。
例2 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；(125216P =) （Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. (2527P =)练习1:某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） （1）求至少3人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3。
练习2: 某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是4354和. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.(1) 求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；61125P=(2) 求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；(27500P=) (3) 工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格 的概率. (364P =)考点3 考查相互独立事件．．．．．．同时发生的概率与独立重复试验概率．．．．．．．．计算 若在n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖．．．．其它各次试验的结果，则此试验叫做n 次独立重复试验。
若在1 次试验中事件A 发生的概率为P ，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()()k n k k n nP P C k P --=1。
考试结合实际应用问题考查n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例3某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题。
规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰。
已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是311,,424，且各阶段通过与否相互独立。
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；38P=（Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的数学期望和方差。
178E ξ=例4(竞技型)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平 相当，且已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；(316P=) （2）比赛进行完七局的概率。
(14P=) （3）记比赛局数为ξ，求ξ的颁列为数学期望ξE .( 5.5E ξ=)练习1: （2013山东理）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.练习2:为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的12, 13, 16. 现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：(Ⅰ) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ) 至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.练习3：（2013大纲）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.(I)求第4局甲当裁判的概率;(II)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.考点4 考查随机变量概率分布与期望计算主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验以及随机变量的分布列、数学期望等概念。
解决此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“kξ=”所对应的具体随机试验的结果然后正确求出相应事件的概率。
例5 (2010大纲全国I)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。
各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(0.4P=)(2)记ξ表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求ξ的分布列及期望．( 1.6Eξ=)例6 (2010山东) 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有,,,A B C D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题,,,A B C D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题,,,A B C D回答正确的概率依次为3111,,,4234，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；(0.25P=)（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学的Eξ.(278Eξ=)例7 (2010北京) 某同学参加3门课程的考试。
假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。
练习：[2012·全国卷] 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．。