2019-2020年高一上学期期末统考数学试题 含答案
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_43
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填涂到答题卡上）1.若集合，且，则集合B可能是( )A. B. R C. D.【答案】C【解析】【分析】通过集合，且，说明集合是集合的子集，对照选项即可求出结果．【详解】解：因为集合集合，且，所以集合是集合的子集，当集合时，，不满足题意，当集合时，，不满足题意，当集合，满足题意，当集合时，，不满足题意，故选：．【点睛】本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题．2.函数的定义域是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】可看出，要使得有意义，则需满足，解出的范围即可．【详解】解：要使有意义，则，解得，定义域为．故选：．【点睛】本题考查了函数定义域定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．3.三个数之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,，故选B.4.函数的图象（）A. 关于点（－，0）对称B. 关于原点对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线x=对称【答案】A【解析】【详解】关于点（－，0）对称，选A.5.函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,10)C. (10,100)D. (100，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，∵，∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，故选B点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．6.已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【详解】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r则2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面积为r=故选A【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．7.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件利用诱导公式求得，再利用二倍角的余弦公式求得的值．【详解】解：故选：【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．8.已知函数在闭区间有最大值3，最小值2，则m的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】解：，作出函数的图象，如图所示，当时，取得最小值，，且因为函数在闭区间上有最大值，最小值，则实数的取值范围是．故选：．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．9.曲线，曲线，下列说法正确的是（）A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到【答案】B【解析】由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.10.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．11.函数，则是( )A. 奇函数，且在上单调递减B. 奇函数，且在上单调递增C. 偶函数，且在上单调递减D. 偶函数，且在上单调递增【答案】D【解析】,所以为偶函数,设,则在单调递增,在单调递增,所以在单调递增,故选B12.已知函数是R上的奇函数，且当时，，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数为上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称，由函数有三个零点，则只需研究函数在时的零点，求出参数的取值范围.【详解】因为为上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称.因为函数恰有三个零点，且当时，，故当时，函数有个零点，则函数图象如图所示：，解得，故故选：【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，属于基础题.13.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在答题卡上）14.函数（且）图象所过的定点坐标是______.【答案】【解析】【分析】令指数为，即可求出函数恒过的定点.【详解】解：因（且）令解得，则故函数恒过点故答案为：【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，属于基础题.15.，则__________．【答案】【解析】，，故原式.16.已知，则的值是______.【答案】1【解析】【分析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用平方关系将化成齐次式，最后代入求值.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 17.已知幂函数，若，则a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由幂函数在上单调递增可得，从而解得．【详解】解：幂函数在上单调递增，又，，，即故答案为：．【点睛】本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．18.已知函数，若，则a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由函数的单调性求解．【详解】易知函数是定义域内的单调递减函数，根据题意可得解得据此可得a的取值范围是.故答案为：．【点睛】本题考查幂函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.【详解】解：，（1）；（2）∵，∴，∵，∴，∴．20.计算【答案】（1）.（2）44.【解析】【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算. 21.已知函数的零点是-3和2(1)求函数的解析式.(2)当函数的定义域是时求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1） ,（2）因为开口向下，对称轴 ,在单调递减，所以所以函数的值域为【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．22.已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解析】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．23.某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形的圆心角，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形，其中，分别在，上，在上．设，平行四边形的面积为.（1）将表示为关于的函数；（2）求的最大值及相应的值．【答案】（1），（2）当时，取得最大值平方【解析】【分析】（1）分别过作于，过作于，利用三角函数，求出和长度，即可求出关于的函数.（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过的范围求出的最大值及相应的值.【详解】（1）如图，过作于，过作于，∵，∴，，∴，∴，（2），∵，∴，∴当，即时，取得最大值，且最大值为平方米.【点睛】本题第一问考查三角函数在解决实际问题的应用.第二问考查三角函数的化简，最值问题，考查学生的计算能力和转化思想的应用，属于中档题.24.已知.(1)求函数的定义域；(2)求证：为偶函数；(3)指出方程的实数根个数，并说明理由.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据对数函数的真数大于，列出不等式组求出的取值范围即可；（2）根据奇偶性的定义即可证明函数是定义域上的偶函数．（3）将方程变形为，即，设（），再根据零点存在性定理即可判断.【详解】解：（1），解得，即函数的定义域为；（2）证明：∵对定义域中的任意，都有∴函数为偶函数；（3）方程有两个实数根，理由如下：易知方程的根在内，方程可同解变形为，即设（）.当时，为增函数，且，则在内，函数有唯一零点，方程有唯一实根，又因为偶函数，在内，函数也有唯一零点，方程有唯一实根，所以原方程有两个实数根.【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题．25.已知函数对任意实数，都满足，且，，当时，.(1)判断函数的奇偶性；(2)判断函数在上单调性，并给出证明；(3)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)为奇函数；(2)在上单调递减，证明见解析；(3).【解析】【分析】（1）令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当时，，再利用已知和单调函数的定义，证明函数在上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数在上的单调性；（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：（1）令，则.∵，∴∴函数为奇函数；(2)函数在上单调递减.证明如下：由函数为奇函数得当时，，，所以当时，，设，则，∴，于是，所以函数在上单调递减.∵函数为奇函数，∴函数在上单调递减.(3)∵，且，∴又∵函数为奇函数，∴∵，∴，函数在上单调递减.又当时，.∴，即，故的取值范围为.【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填涂到答题卡上）1.若集合，且，则集合B可能是( )A. B. R C. D.【答案】C【解析】【分析】通过集合，且，说明集合是集合的子集，对照选项即可求出结果．【详解】解：因为集合集合，且，所以集合是集合的子集，当集合时，，不满足题意，当集合时，，不满足题意，当集合，满足题意，当集合时，，不满足题意，故选：．【点睛】本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题．2.函数的定义域是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】可看出，要使得有意义，则需满足，解出的范围即可．【详解】解：要使有意义，则，解得，定义域为．故选：．【点睛】本题考查了函数定义域定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．3.三个数之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,，故选B.4.函数的图象（）A. 关于点（－，0）对称B. 关于原点对称C. 关于y轴对称D. 关于直线x=对称【答案】A【解析】【详解】关于点（－，0）对称，选A.5.函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,10)C. (10,100)D. (100，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，∵，∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，故选B点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．6.已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【详解】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r则2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面积为r=故选A【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．7.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件利用诱导公式求得，再利用二倍角的余弦公式求得的值．【详解】解：故选：【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．8.已知函数在闭区间有最大值3，最小值2，则m的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】解：，作出函数的图象，如图所示，当时，取得最小值，，且因为函数在闭区间上有最大值，最小值，则实数的取值范围是．故选：．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．9.曲线，曲线，下列说法正确的是（）A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到 B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到 D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到【答案】B由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.10.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．11.函数，则是( )A. 奇函数，且在上单调递减B. 奇函数，且在上单调递增C. 偶函数，且在上单调递减D. 偶函数，且在上单调递增【解析】,所以为偶函数,设,则在单调递增,在单调递增,所以在单调递增,故选B12.已知函数是R上的奇函数，且当时，，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数为上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称，由函数有三个零点，则只需研究函数在时的零点，求出参数的取值范围.【详解】因为为上的奇函数，则，且函数的图象关于原点对称.因为函数恰有三个零点，且当时，，故当时，函数有个零点，则函数图象如图所示：，解得，故故选：【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，属于基础题.13.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在答题卡上）14.函数（且）图象所过的定点坐标是______.【答案】【解析】【分析】令指数为，即可求出函数恒过的定点.【详解】解：因（且）令解得，则故函数恒过点故答案为：【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，属于基础题.15.，则__________．【答案】【解析】，，故原式.16.已知，则的值是______.【答案】1【解析】【分析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用平方关系将化成齐次式，最后代入求值.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.17.已知幂函数，若，则a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由幂函数在上单调递增可得，从而解得．【详解】解：幂函数在上单调递增，又，，，即故答案为：．【点睛】本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题．18.已知函数，若，则a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由函数的单调性求解．【详解】易知函数是定义域内的单调递减函数，根据题意可得解得据此可得a的取值范围是.故答案为：．【点睛】本题考查幂函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.【详解】解：，（1）；（2）∵，∴，∵，∴，∴．20.计算【答案】（1）.（2）44.【解析】【详解】试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.21.已知函数的零点是-3和2(1)求函数的解析式.(2)当函数的定义域是时求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1） ,（2）因为开口向下，对称轴 ,在单调递减，所以所以函数的值域为【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．22.已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解析】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．23.某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形的圆心角，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形，其中，分别在，上，在上．设，平行四边形的面积为.（1）将表示为关于的函数；（2）求的最大值及相应的值．【答案】（1），（2）当时，取得最大值平方【解析】【分析】（1）分别过作于，过作于，利用三角函数，求出和长度，即可求出关于的函数.（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过的范围求出的最大值及相应的值.【详解】（1）如图，过作于，过作于，∵，∴，，∴，∴，（2），∵，∴，∴当，即时，取得最大值，且最大值为平方米.【点睛】本题第一问考查三角函数在解决实际问题的应用.第二问考查三角函数的化简，最值问题，考查学生的计算能力和转化思想的应用，属于中档题.24.已知.(1)求函数的定义域；(2)求证：为偶函数；(3)指出方程的实数根个数，并说明理由.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据对数函数的真数大于，列出不等式组求出的取值范围即可；（2）根据奇偶性的定义即可证明函数是定义域上的偶函数．（3）将方程变形为，即，设（），再根据零点存在性定理即可判断.【详解】解：（1），解得，即函数的定义域为；（2）证明：∵对定义域中的任意，都有∴函数为偶函数；（3）方程有两个实数根，理由如下：易知方程的根在内，方程可同解变形为，即设（）.当时，为增函数，且，则在内，函数有唯一零点，方程有唯一实根，又因为偶函数，在内，函数也有唯一零点，方程有唯一实根，所以原方程有两个实数根.【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题．25.已知函数对任意实数，都满足，且，，当时，.(1)判断函数的奇偶性；(2)判断函数在上单调性，并给出证明；(3)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)为奇函数；(2)在上单调递减，证明见解析；(3).【解析】【分析】（1）令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当时，，再利用已知和单调函数的定义，证明函数在上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数在上的单调性；（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：（1）令，则.∵，∴∴函数为奇函数；(2)函数在上单调递减.证明如下：由函数为奇函数得当时，，，所以当时，，设，则，∴，于是，所以函数在上单调递减.∵函数为奇函数，∴函数在上单调递减.(3)∵，且，∴又∵函数为奇函数，∴∵，∴，函数在上单调递减.又当时，.∴，即，故的取值范围为.【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_11
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分.考试时间120分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集的概念和运算，求得.【详解】根据补集的概念和运算可知.故选：D【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】对于A选项，为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，为奇函数，且在上递增，符合题意.对于C选项，是奇函数，且在上递减，不符合题意.对于D选项，是奇函数，且在上递减，在上递增，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在中,点M、N分别在边BC、CA上,若,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得的表达式.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理，判断出函数零点所在区间.【详解】依题意，当时，，根据零点存在性定理可知，零点所在区间是.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则( )A. 6B. 12C. 18D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】取线段的中点，得.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得【详解】取线段的中点，得.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题.6.不等式的解集为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A【解析】【分析】解正切型三角不等式求得不等式的解集.【详解】依题意，所以，故原不等式的解集为..故选：A【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7.函数大致图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为，且，所以函数为上的奇函数，由此排除A,B,C三个选项.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题.8.已知角A是的内角,若,则下列式子正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合与，求得，由此判断出正确选项.【详解】由于，则，所以为锐角，由，即，解得.所以，，，.C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9.设函数,则下列结论错误的是( )A. 设,则有B. 对任意,都有C. 对任意,都有D. 对任意,都有【答案】C【解析】【分析】A选项利用函数的单调性进行判断.B选项利用函数的周期性进行判断.CD选项通过计算证明等式是否正确.【详解】A，由解得，所以在上单调递减，所以,则有，故A选项正确.B，函数最小正周期为，所以对任意,都有，故B选项正确.C，当时，，所以C选项错误.D，，，所以对任意,都有，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10.已知,函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简不等式，分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】原命题等价于存在,使得成立,即存在,使得成立，即,因此.故选：B【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】分析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为，由扇形的面积公式得.故答案为：(1). 2 (2). 1【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12.已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据图像求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值.【详解】根据图像可知，，所以，即，解得.所以，则，，由于，所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题.13.若,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】将对数式化为指数式，求得的值，进而求得的值以及的值.【详解】由得，所以，.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.设函数,则的单调递增区间为________,的值域为________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】画出的图像，根据图像求得的单调递增区间和值域.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，的单调递增区间为，的值域为.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线对称.若的终边经过点,则________.【答案】【解析】【分析】由终边上一点的坐标，求得，根据对称性求得终边上一点的坐标，由此求得，进而求得.【详解】由于的终边经过点，所以.点关于直线对称点为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于对称点的坐标的特点，属于基础题.16.已知为第四象限角,化简,________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意为第四象限角，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17.非零平面向量,,满足,且,则最小值________.【答案】【解析】【分析】首先求得与的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得的最小值.【详解】,,设与的夹角为,因此即与的夹角为（如图）,的终点在射线BA上,因此的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合,函数,记的定义域为B.(Ⅰ)当时,求,;(Ⅱ)若,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ),; (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合，由此求得,.（II）根据列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时,得,由,得,于是,;（Ⅱ）若,则,得【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19.已知,,是同一平面内的三个向量,且.(Ⅰ)若,且,求的坐标;(Ⅱ)若,且与垂直,求向量与夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ),或; (Ⅱ).【解析】【分析】（I）利用设出的坐标，根据列方程，由此求得的坐标.（II）根据与垂直，则，化简后求得，利用向量夹角公式，计算出向量与夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）设,,即,故,或;（Ⅱ）,即,代入整理得,向量与的夹角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20.已知函数,满足.(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的取值范围.【答案】(Ⅰ),.单调递增区间为,(Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用，结合，求得的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据图象变换的知识求得的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得在上的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为,,所以,因此,又,,因为,所以,即,因此函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由（Ⅰ）得,因此，又,所以.【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的零点;(Ⅱ)若对任意,恒有,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)【解析】【分析】（I）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点.（II）方法一：当时，求得表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及列不等式，解不等式求得的值.当时，分成和两种情况进行分类讨论，结合函数的单调区间和最值列不等式（组），由此求得的取值范围.方法二：利用在区间端点的函数值不小于列不等式组，解不等式组求得的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的的取值范围，恒有.【详解】（Ⅰ）当时,,（i）当时,令,即,解得;（ⅱ）当时,令,即,此方程,无实数解.由（i）（ⅱ）,得的零点为,（Ⅱ）方法1.（i）当时,对于,得,显然函数在上递减,要使恒成立,只需,即,得,又,所以符合题意.（ⅱ）当时,由,知函数在上递增,在上递减.以下对a再进行分类当,即时,函数在上递增,在上递减.此时,只需即解得,即又,所以符合题意.当,即时,函数在上递增.要使恒成立,只需,即,得,又所以符合题意.由（i）（ⅱ）,得实数a的取值范围是.方法2.因为对任意,恒有,所以,即,解得.下面证明,当时,对任意,恒有,（i）当时,递增,故成立;（ⅱ）当时,,,,故成立.由此,对任意,恒有,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分.考试时间120分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集的概念和运算，求得.【详解】根据补集的概念和运算可知.故选：D【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】对于A选项，为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，为奇函数，且在上递增，符合题意.对于C选项，是奇函数，且在上递减，不符合题意.对于D选项，是奇函数，且在上递减，在上递增，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在中,点M、N分别在边BC、CA上,若,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得的表达式.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理，判断出函数零点所在区间.【详解】依题意，当时，，根据零点存在性定理可知，零点所在区间是.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则( )A. 6B. 12C. 18D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】取线段的中点，得.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得【详解】取线段的中点，得.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题.6.不等式的解集为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【分析】解正切型三角不等式求得不等式的解集.【详解】依题意，所以，故原不等式的解集为..故选：A【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7.函数大致图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为，且，所以函数为上的奇函数，由此排除A,B,C三个选项.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题.8.已知角A是的内角,若,则下列式子正确的是( )A. B.C. D.【分析】结合与，求得，由此判断出正确选项.【详解】由于，则，所以为锐角，由，即，解得.所以，，，.C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9.设函数,则下列结论错误的是( )A. 设,则有B. 对任意,都有C. 对任意,都有D. 对任意,都有【答案】C【解析】【分析】A选项利用函数的单调性进行判断.B选项利用函数的周期性进行判断.CD选项通过计算证明等式是否正确.【详解】A，由解得，所以在上单调递减，所以,则有，故A选项正确.B，函数最小正周期为，所以对任意,都有，故B选项正确.C，当时，，所以C选项错误.D，，，所以对任意,都有，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10.已知,函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简不等式，分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】原命题等价于存在,使得成立,即存在,使得成立，即,因此.故选：B【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】分析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为，由扇形的面积公式得.故答案为：(1). 2 (2). 1【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12.已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据图像求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值.【详解】根据图像可知，，所以，即，解得.所以，则，，由于，所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题.13.若,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】将对数式化为指数式，求得的值，进而求得的值以及的值.【详解】由得，所以，.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.设函数,则的单调递增区间为________,的值域为________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】画出的图像，根据图像求得的单调递增区间和值域.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，的单调递增区间为，的值域为.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线对称.若的终边经过点,则________.【答案】【解析】【分析】由终边上一点的坐标，求得，根据对称性求得终边上一点的坐标，由此求得，进而求得.【详解】由于的终边经过点，所以.点关于直线对称点为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于对称点的坐标的特点，属于基础题.16.已知为第四象限角,化简,________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意为第四象限角，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17.非零平面向量,,满足,且,则最小值________.【答案】【解析】【分析】首先求得与的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得的最小值.【详解】,,设与的夹角为,因此即与的夹角为（如图）,的终点在射线BA上,因此的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合,函数,记的定义域为B. (Ⅰ)当时,求,;(Ⅱ)若,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ),; (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合，由此求得,.（II）根据列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时,得,由,得,于是,;（Ⅱ）若,则,得【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19.已知,,是同一平面内的三个向量,且.(Ⅰ)若,且,求的坐标;(Ⅱ)若,且与垂直,求向量与夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ),或; (Ⅱ).【解析】【分析】（I）利用设出的坐标，根据列方程，由此求得的坐标.（II）根据与垂直，则，化简后求得，利用向量夹角公式，计算出向量与夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）设,,即,故,或;（Ⅱ）,即,代入整理得,向量与的夹角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20.已知函数,满足.(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的取值范围.【答案】(Ⅰ),.单调递增区间为,(Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用，结合，求得的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据图象变换的知识求得的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得在上的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为,,所以,因此,又,,因为,所以,即,因此函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由（Ⅰ）得,因此，又,所以.【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的零点;(Ⅱ)若对任意,恒有,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)【解析】【分析】（I）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点.（II）方法一：当时，求得表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及列不等式，解不等式求得的值.当时，分成和两种情况进行分类讨论，结合函数的单调区间和最值列不等式（组），由此求得的取值范围.方法二：利用在区间端点的函数值不小于列不等式组，解不等式组求得的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的的取值范围，恒有.【详解】（Ⅰ）当时,,（i）当时,令,即,解得;（ⅱ）当时,令,即,此方程,无实数解.由（i）（ⅱ）,得的零点为,（Ⅱ）方法1.（i）当时,对于,得,显然函数在上递减,要使恒成立,只需,即,得,又,所以符合题意.（ⅱ）当时,由,知函数在上递增,在上递减.以下对a再进行分类当,即时,函数在上递增,在上递减.此时,只需即解得,即又,所以符合题意.当,即时,函数在上递增.要使恒成立,只需,即,得,又所以符合题意.由（i）（ⅱ）,得实数a的取值范围是.方法2.因为对任意,恒有,所以,即,解得.下面证明,当时,对任意,恒有,（i）当时,递增,故成立;（ⅱ）当时,,,,故成立.由此,对任意,恒有,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题(含解析)
2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式化简即可求解.【详解】由诱导公式可知故选:D【点睛】本题考查了诱导公式简单应用,属于基础题.2.如图，在平行四边形中，对角线交于点，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据相等向量及平面向量的线性运算,化简即可得解.【详解】平行四边形则由向量的线性运算,所以故选:C【点睛】本题考查了向量线性运算在几何中的应用,属于基础题.3.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式化简可比较.由正弦函数与正切函数的单调性,及正余弦函数的最值,即可比较与的大小.【详解】由诱导公式可知,而由正弦函数的单调性及最大值可知,所以由正切函数的单调性可知所以故选:B【点睛】本题考查了诱导公式的应用,正弦函数与正切函数的单调性及应用,正弦函数与余弦函数的最值,属于基础题.4.若，，则的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数关系式,化简,结合三角函数在各象限的符号,即可判断的终边所在的象限.【详解】根据同角三角函数关系式而所以故的终边在第四象限故选:D【点睛】本题考查了根据三角函数符号判断角所在的象限,属于基础题.5.下列函数中，以为最小正周期且在区间上为增函数的函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对四个选项依次判断最小正周期及单调区间,即可判断.【详解】对于A, ,最小正周期为,单调递增区间为,即,在内不单调,所以A错误;对于B, 的最小正周期为,单调递增区间为,即,在内单调递增,所以B 正确;对于C, 的最小正周期为,所以C错误;对于D, 的最小正周期为,所以D错误.综上可知,正确的为B故选:B【点睛】本题考查了函数的最小正周期及单调区间的判断,根据函数性质判断即可,属于基础题.6.函数在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图像,先判断出A,再根据所给坐标求得最小正周期,确定的值.最后代入最高点坐标,求出,即可得函数的解析式.【详解】由函数图像可知,最大值为2,所以根据函数图像的坐标,可得所以由周期公式可得所以解析式可表示为将最高点坐标代入解析式可得,由解得所以函数解析式为故选:A【点睛】本题考查了根据部分图像求三角函数的解析式,利用函数图像求得的值,属于基础题.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式,先求得,再由余弦的二倍角公式即可求得.【详解】因为由诱导公式可知且由余弦的二倍角公式可知故选:D【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简式中的应用,余弦二倍角公式的求值应用,属于基础题.8.如图，在中，已知，是上一点，若，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量共线基本定理, 设.结合向量的线性运算,化简即可求解.【详解】根据平面向量共线基本定理,设而,由向量的线性运算可知而所以,解得故选:C【点睛】本题考查了向量共线基本定理的应用,向量的线性运算,属于基础题.9.函数在区间（，）内的图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=分段画出函数图象如D图示，故选D．10.已知函数，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于点对称【答案】B【解析】【分析】根据平移后的函数图像关于轴对称,结合正弦函数的图像与性质,可求得的值.进而由正弦函数的性质判断选项.【详解】函数,将函数的图象向左平移可得因为的图象关于轴对称则,将代入解得而所以则根据正弦函数的图像与性质可知, 的对称轴为解得的对称中心为解得结合四个选项可知, 为的一个对称中心故选:B【点睛】本题考查了三角函数平移变换求解析式,正弦函数的对称中心及对称轴的求法,属于基础题.11.若函数在区间上为增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦的和角公式,将函数化简,结合的取值范围及区间上为增函数,即可求得的取值范围.【详解】由正弦函数的和角公式,变形化简可得因为在区间上为增函数所以满足解不等式组可得又因为所以当时,即故选:C【点睛】本题考查了正弦函数的和角公式在三角函数式化简中的应用,根据函数单调区间求参数的取值范围,属于中档题.12.已知平面向量，，满足，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据,求得与的夹角,由可建立平面直角坐标系,用坐标表示出,,设出,即可由坐标运算求得的取值范围.【详解】因为,设与的夹角为则由平面向量的数量积定义可知解得而则可设,由可得由,所以设则所以当时取得最大值为当时取得最小值为所以的取值范围为故选:D【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,辅助角公式在三角函数化简求值中的应用,综合性较强,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）13.已知角的终边过点，则___________.【答案】【解析】【分析】根据角终边所过的点,求得三角函数,即可求解.【详解】因为角的终边过点则所以故答案为:【点睛】本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题.14.在半径为5的圆中，的圆心角所对的扇形的面积为_______.【答案】【解析】【分析】先根据弧度定义求得扇形的弧长,即可由扇形面积公式求得扇形的面积.【详解】设扇形的弧长为根据弧度定义可知则由扇形面积公式代入可得故答案为:【点睛】本题考查了弧度的定义,扇形面积的求法,属于基础题.15.已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据可知,点在线段的延长线上.设出点的坐标,由线段关系即可求得点的坐标.【详解】因为点在线段的延长线上,如下图所示:则设,由,可得即,解得所以点的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量的数乘关系及坐标运算,属于基础题.16.《周脾算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形的两个锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为，则______.【答案】【解析】【分析】设大正方形的边长为1,则根据两个正方形的面积比可求得小正方形的边长.表示出直角三角形两条直角边的关系,再由余弦的差角公式及同角三角函数关系式即可得解.【详解】设大正方形的边长为1,则大正方形的面积为1因为小正方形与大正方形的面积之比为所以小正方形的面积为,则小正方形的边长为由图可知且,两式相乘可得化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的应用,余弦的和差公式及同角三角函数关系式的应用,关键在与理清边长与角的关系,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，.（1）求的值.（2）当为何值时，与平行？【答案】（1）10（2）【解析】【分析】（1）根据向量的数乘及坐标运算,先求得,即可求得.（2）先分别用坐标表示出与,再根据向量平行的坐标关系即可求得的值.【详解】（1）∵（2）由与平行,则有解得∴当时,与平行【点睛】本题考查了向量的坐标运算,向量模的求法及向量平行的坐标关系,属于基础题.18.已知.（1）若为第三象限角，求.（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式,先求得,结合同角三角函数关系式即可求得.（2）根据诱导公式化简式子,再由齐次式求法求解即可.【详解】（1）∴,即联立解得或∵为第三象限角∴（2）.【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用,齐次式形式的求值,属于基础题.19.若，是夹角为的两个向量，且，，设与.（1）若，求实数的值；（2）当时，求与的夹角的大小．【答案】（1）3（2）．【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义可求得,结合向量垂直的关系即可求得的值.（2）代入,先求得与,根据向量夹角公式即可求得夹角的余弦值,进而求得与的夹角的大小.【详解】（1）若,可得.解得.（2）当时,则∴,由向量的夹角公式,可得又因为∴,所以与的夹角的大小为【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,平面向量夹角的求法,属于基础题.20.根据市气象站对气温变化的数据统计显示，1月下旬某天市区温度随时间变化的曲线接近于函数的图象（，单位为小时，表示气温，单位为摄氏度）.（1）请推断市区该天的最大温差；（2）若某仓库存储食品要求仓库温度不高于，根据推断的函数则这天中哪段时间仓库需要降温？【答案】（1）最大温差12.（2）6时到14时需要降温.【解析】【分析】（1）根据三角函数表达式,结合二倍角公式及辅助角公式化简,即可求得最大值和最小值,进而求得最大温差.（2）根据函数解析式,求得当时的取值范围,即可得需要降温的时间段.详解】（1）周期∴该地区一天的最高温度为18,最低温度为6∴该地区一天的最大温差12（2）即得∴时,∴仓库在6时到14时需要降温【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用,三角函数式的化简求值,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题.21.设函数，其中向量，.（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且，求函数的值域．【答案】（1）,单调递增区间为.（2）.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算,代入并结合二倍角及辅助角公式化简,即可求得的解析式及其单调递增区间;（2）根据向量数量积的运算,可求得角.再由三角形中内角的性质求得角的取值范围,进而代入解析式求得的值域.【详解】（1）因为函数,其中向量,由向量数量积的坐标运算,可得,∴令,,解得,∴函数的单调递增区间为.（2）∵在中,∴∴,∵∴∴∴函数,∴,.∴,∴∴的值域为【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算,三角函数式的化简变形,二倍角公式及辅助角公式的用法,正弦函数的图像与性质的应用,属于中档题.22.已知函数，其中，.（1）若，，且对任意的，都有，求实数的取值范围；（2）若，，且在单调递增，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入,可求得的解析式.代入不等式化简,将不等式化简为关于的二次函数形式,结合即可求得的取值范围.（2）解法1:根据条件可求得函数的对称轴,且由可得的表达式.再根据在单调递增,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的最大值.解法2:根据在单调递增可先求得的取值范围,结合可得函数的对称轴, 且由可得的表达式.根据可求得的值,再求得于的值,即可得的解析式.进而求得满足在单调递增时的最大值.【详解】（1）∵,∴∴,即∵∴∴当时,∴（2）解法1：∵∴为图像的对称轴又∴两式相减得∴∵在单调递增,令∴在单调递增∴,则,①+②得∴∵∴当时取到最大值为解法2：在单调递增∴∴∵∴为图像的对称轴又∴两式相加得∵∴或①当时,,得,②当时,得,当,时时,则满足条件在单调递增,所以的最大值为.【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,三角函数的对称性及单调性的性质,根据条件求参数的取值范围,综合性强,对分析问题解决问题的能力要求较高,属于中档题.2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式化简即可求解.【详解】由诱导公式可知故选:D【点睛】本题考查了诱导公式简单应用,属于基础题.2.如图，在平行四边形中，对角线交于点，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据相等向量及平面向量的线性运算,化简即可得解.【详解】平行四边形则由向量的线性运算,所以故选:C【点睛】本题考查了向量线性运算在几何中的应用,属于基础题.3.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式化简可比较.由正弦函数与正切函数的单调性,及正余弦函数的最值,即可比较与的大小.【详解】由诱导公式可知,而由正弦函数的单调性及最大值可知,所以由正切函数的单调性可知所以故选:B【点睛】本题考查了诱导公式的应用,正弦函数与正切函数的单调性及应用,正弦函数与余弦函数的最值,属于基础题.4.若，，则的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数关系式,化简,结合三角函数在各象限的符号,即可判断的终边所在的象限.【详解】根据同角三角函数关系式而所以故的终边在第四象限故选:D【点睛】本题考查了根据三角函数符号判断角所在的象限,属于基础题.5.下列函数中，以为最小正周期且在区间上为增函数的函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对四个选项依次判断最小正周期及单调区间,即可判断.【详解】对于A, ,最小正周期为,单调递增区间为,即,在内不单调,所以A错误;对于B, 的最小正周期为,单调递增区间为,即,在内单调递增,所以B正确;对于C, 的最小正周期为,所以C错误;对于D, 的最小正周期为,所以D错误.综上可知,正确的为B故选:B【点睛】本题考查了函数的最小正周期及单调区间的判断,根据函数性质判断即可,属于基础题.6.函数在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图像,先判断出A,再根据所给坐标求得最小正周期,确定的值.最后代入最高点坐标,求出,即可得函数的解析式.【详解】由函数图像可知,最大值为2,所以根据函数图像的坐标,可得所以由周期公式可得所以解析式可表示为将最高点坐标代入解析式可得,由解得所以函数解析式为故选:A【点睛】本题考查了根据部分图像求三角函数的解析式,利用函数图像求得的值,属于基础题.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式,先求得,再由余弦的二倍角公式即可求得.【详解】因为由诱导公式可知且由余弦的二倍角公式可知故选:D【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简式中的应用,余弦二倍角公式的求值应用,属于基础题.8.如图，在中，已知，是上一点，若，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量共线基本定理, 设.结合向量的线性运算,化简即可求解.【详解】根据平面向量共线基本定理,设而,由向量的线性运算可知而所以,解得故选:C【点睛】本题考查了向量共线基本定理的应用,向量的线性运算,属于基础题.9.函数在区间（，）内的图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=分段画出函数图象如D图示，故选D．10.已知函数，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于点对称【答案】B【解析】【分析】根据平移后的函数图像关于轴对称,结合正弦函数的图像与性质,可求得的值.进而由正弦函数的性质判断选项.【详解】函数,将函数的图象向左平移可得因为的图象关于轴对称则,将代入解得而所以则根据正弦函数的图像与性质可知, 的对称轴为解得的对称中心为解得结合四个选项可知, 为的一个对称中心故选:B【点睛】本题考查了三角函数平移变换求解析式,正弦函数的对称中心及对称轴的求法,属于基础题.11.若函数在区间上为增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦的和角公式,将函数化简,结合的取值范围及区间上为增函数,即可求得的取值范围.【详解】由正弦函数的和角公式,变形化简可得因为在区间上为增函数所以满足解不等式组可得又因为所以当时,即故选:C【点睛】本题考查了正弦函数的和角公式在三角函数式化简中的应用,根据函数单调区间求参数的取值范围,属于中档题.12.已知平面向量，，满足，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据,求得与的夹角,由可建立平面直角坐标系,用坐标表示出,,设出,即可由坐标运算求得的取值范围.【详解】因为,设与的夹角为则由平面向量的数量积定义可知解得而则可设,由可得由,所以设则所以当时取得最大值为当时取得最小值为所以的取值范围为故选:D【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,辅助角公式在三角函数化简求值中的应用,综合性较强,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）13.已知角的终边过点，则___________.【答案】【解析】【分析】根据角终边所过的点,求得三角函数,即可求解.【详解】因为角的终边过点则所以故答案为:【点睛】本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题.14.在半径为5的圆中，的圆心角所对的扇形的面积为_______.【答案】【解析】【分析】先根据弧度定义求得扇形的弧长,即可由扇形面积公式求得扇形的面积.【详解】设扇形的弧长为根据弧度定义可知则由扇形面积公式代入可得故答案为:【点睛】本题考查了弧度的定义,扇形面积的求法,属于基础题.15.已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据可知,点在线段的延长线上.设出点的坐标,由线段关系即可求得点的坐标.【详解】因为点在线段的延长线上,如下图所示:则设,由,可得即,解得所以点的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量的数乘关系及坐标运算,属于基础题.16.《周脾算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形的两个锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为，则______.【答案】【解析】【分析】设大正方形的边长为1,则根据两个正方形的面积比可求得小正方形的边长.表示出直角三角形两条直角边的关系,再由余弦的差角公式及同角三角函数关系式即可得解.【详解】设大正方形的边长为1,则大正方形的面积为1因为小正方形与大正方形的面积之比为所以小正方形的面积为,则小正方形的边长为由图可知且,两式相乘可得化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的应用,余弦的和差公式及同角三角函数关系式的应用,关键在与理清边长与角的关系,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，.（1）求的值.（2）当为何值时，与平行？【答案】（1）10（2）【解析】【分析】（1）根据向量的数乘及坐标运算,先求得,即可求得.（2）先分别用坐标表示出与,再根据向量平行的坐标关系即可求得的值.【详解】（1）∵（2）由与平行,则有解得∴当时,与平行【点睛】本题考查了向量的坐标运算,向量模的求法及向量平行的坐标关系,属于基础题.18.已知.（1）若为第三象限角，求.（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式,先求得,结合同角三角函数关系式即可求得.（2）根据诱导公式化简式子,再由齐次式求法求解即可.【详解】（1）∴,即联立解得或∵为第三象限角∴（2）.【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用,齐次式形式的求值,属于基础题. 19.若，是夹角为的两个向量，且，，设与.（1）若，求实数的值；（2）当时，求与的夹角的大小．【答案】（1）3（2）．【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义可求得,结合向量垂直的关系即可求得的值.（2）代入,先求得与,根据向量夹角公式即可求得夹角的余弦值,进而求得与的夹角的大小.【详解】（1）若,可得.解得.（2）当时,则∴,由向量的夹角公式,可得又因为∴,所以与的夹角的大小为【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,平面向量夹角的求法,属于基础题.20.根据市气象站对气温变化的数据统计显示，1月下旬某天市区温度随时间变化的曲线接近于函数的图象（，单位为小时，表示气温，单位为摄氏度）.（1）请推断市区该天的最大温差；（2）若某仓库存储食品要求仓库温度不高于，根据推断的函数则这天中哪段时间仓库需要降温？【答案】（1）最大温差12.（2）6时到14时需要降温.【解析】【分析】（1）根据三角函数表达式,结合二倍角公式及辅助角公式化简,即可求得最大值和最小值,进而求得最大温差.（2）根据函数解析式,求得当时的取值范围,即可得需要降温的时间段.详解】（1）周期∴该地区一天的最高温度为18,最低温度为6∴该地区一天的最大温差12（2）即得∴时,∴仓库在6时到14时需要降温【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用,三角函数式的化简求值,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题.21.设函数，其中向量，.（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，且，求函数的值域．【答案】（1）,单调递增区间为.（2）.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算,代入并结合二倍角及辅助角公式化简,即可求得的解析式及其单调递增区间;（2）根据向量数量积的运算,可求得角.再由三角形中内角的性质求得角的取值范围,进而代入解析式求得的值域.【详解】（1）因为函数,其中向量,由向量数量积的坐标运算,可得,∴令,,解得,∴函数的单调递增区间为.（2）∵在中,∴∴,∵∴∴∴函数,∴,.∴,∴∴的值域为【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算,三角函数式的化简变形,二倍角公式及辅助角公式的用法,正弦函数的图像与性质的应用,属于中档题.22.已知函数，其中，.（1）若，，且对任意的，都有，求实数的取值范围；（2）若，，且在单调递增，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入,可求得的解析式.代入不等式化简,将不等式化简为关于的二次函数形式,结合即可求得的取值范围.（2）解法1:根据条件可求得函数的对称轴,且由可得的表达式.再根据在单调递增,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的最大值.解法2:根据在单调递增可先求得的取值范围,结合可得函数的对称轴, 且由可得的表达式.根据可求得的值,再求得于的值,即可得的解析式.进而求得满足在单调递增时的最大值.【详解】（1）∵,∴∴,即∵∴∴当时,∴（2）解法1：∵∴为图像的对称轴又∴两式相减得∴∵在单调递增,令∴在单调递增∴,则,①+②得。
2019-2020年高一上学期期末考试试卷 数学 含答案
秘密★启用前2019-2020年高一上学期期末考试试卷 数学 含答案一.选择题.(每小题5分,共60分)1.已知扇形的半径为，弧长为，则该扇形的圆心角为（ ）A ．2B ． 4C ． 8D ． 16 2.设全集，集合，，则等于( )A ．B ．C ．D ．3.（ ）A. B. C. D. 4.幂函数为偶函数，且在上单调递增，则实数（ ）A ． 1B ．2C ． 4D ． 5 5.已知，且，则（ ）A ．2B ．C ．D ． 6.函数满足，那么＝（ ）A ．B ．C ．D ． 7.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数为奇函数B ．函数有最大值C ．函数在区间上单调递增D ．函数在区间上单调递增8.函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象 （ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位 9.已知函数，则不等式(2sin )3,[,]22f x x ππ>∈-的解集为（ ） A ． B ．C ．D ．10.若关于的函数22222sin ()(0)tx x t x xf x t x t+++=>+的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（ ）A ．1 B.2 C.3 D ．4 11.（原创）已知关于方程，则该方程的所有根的和为（ ）A.0B.2C.4D.612.（原创）已知是定义在上的奇函数，对任意满足，且当时，2()cos 1f x x x x π=-+-，则函数在区间上的零点个数是（ ）A ．7B ．9C ．11D ．13 二.填空题.(每小题5分,共20分)13.已知角的始边落在轴的非负半轴上，且终边过点，且，则 . 14.求值：___________. （其中为自然对数的底） 15.求值： .16.已知二次函数满足条件：①；②时，，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为 .三.解答题.(共6小题,共70分) 17.（本小题满分10分）已知， （1）求的值； （2）求2sin()cos()sin()cos()22παπαππαα-++--+的值.18.（本小题满分12分）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为，其中， （1）求；（2）若，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且. （1）求的值；（2）求函数()cos 225sin sin f x x A x =+的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数22()(sin cos )2cos 2(0)f x x x x ωωωω=++->． （1）若的最小正周期为，求在区间上的值域； （2）若函数在上单调递减.求的取值范围.21.（原创）（本小题满分12分）已知,定义在上的连续不断的函数满足，当时，且． （1）解关于不等式：； （2）若对任意的，存在，使得221122()(1)()(4)(2)4()72ag x g x g a f x f x +-+-≥-+成立，求实数的范围.22.（原创）（本小题满分12分）已知函数，， （1），若关于的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x a x x --=---有两个不同解，求实数的范围；（2）若关于的方程：有三个不同解，且对任意的，恒成立，求实数的范围.何 勇 关毓维xx 重庆一中高xx 级高一上期期末考试数 学 答 案xx.1一、选择题ACDBDC CDCBDB 二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）；（2）2sin()cos()2sin cos 2tan 12cos sin 1tan 7sin()cos()22παπααααππααααα-++--===++--+.18.解：（1）2222log 0,log 2log 4,(0,4]x x A -≥≤==； （2）由于所以，2232()0()()0x a a x a x a x a -++<⇔--<，若，，符合题意；若，，则； 若，，则，综上，.19.解：（Ⅰ）、为锐角，，2310cos 1sin 10B b ∴=-=又，，225cos 1sin 5A A =-=， 253105102cos()cos cos sin sin 5105102A B A B A B ∴+=-=⨯-⨯= ； （2）2()cos 225sin sin cos 22sin 2sin 2sin 1f x x A x x x x x =+=+=-++，所以函数的最大值为.20.解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos 2sin cos sin 212cos 22f x x x x x x x x ωωωωωωω=++-=++++-sin 2cos 22sin(2)4x x x πωωω=+=+，的最小正周期为，，所以1,()2sin(2)4f x x πω==+，时，，，所以函数值域为；（2）时，令3222,242k x k k Z ππππωπ+≤+≤+∈，的单减区间为 ，由题意5(,)[,]288k k ππππππωωωω⊆++，可得8258k k πππωωπππωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得152,480k k k Z ωω⎧+≤≤+∈⎪⎨⎪>⎩，只有当时，.21.解：（1）2255(2)()0(222)(22)022x x x x f x f x ---≤⇔++-+≤⇔51(22)0(2)(22)022x x x x -+-≤⇔--≤，解得；（2）22(2)4()7(222)4(22)5xx x x y f x f x --=-+=++-++，问题转化为对任意的，有2211()(1)()(4)12ag x g x g a +-+-≥恒成立，即2()(2)()41g x a g x a +-+-≥恒成立，下证函数在上单增：取任意的，22121111()()()()()0x xg x g x g x g x g x x -=-=-<，所以函数在上单增， 由于，，所以时函数可取到之间的所有值，2()2()32(()1)()1()1g x g x a g x g x g x ++≤=++++恒成立，所以，当时取等.22.解：（1）原方程可化为，且，即，即，且方程要有解，， ①若，则此时，方程为，，方程的解为，仅有符合； ②若，此时，，即，方程的解为均符合题意，综上；（2）原方程等价于，则为的两个不同根，所以，解得，并且令， 又对任意的，恒成立，即[()()]x f x g x mx m +-<-，取，有，即，综上 由维达定理121220,30x x m x x =->+=>，所以，则对任意，212()(32)()()0h x x x x m x x x x x =-+-=--<，且，所以当时，原不等式恒成立，综上.秘密★启用前2019-2020年高一上学期期末考试试卷 物理 含答案45° 甲乙物 理 试 题 卷 xx.1第一部分 （选择题，共70分）一、选择题（1-9小题为单项选择题，每小题5分．10-14小题为多项选择题，每小题5分，选对未选全得3分，错选得0分） 1．下列物理量的单位属于导出单位的是（ ）A ．质量B ．时间C ．位移D ．力 2．下列关于力的说法中，正确的是（ ）A ．自由下落的石块速度越来越大，是因为所受的的重力越来越大B ．甲用力把乙推倒而自己不倒，说明甲对乙的作用力大于乙对甲的反作用力C ．只有发生弹性形变的物体才产生弹力D ．摩擦力的大小与正压力成正比3．学校秋季运动会上，飞辉同学以背越式成功跳过了1.90m ，如图所所示，则下列说法正确的是（ ） A ．飞辉起跳时地面对她的支持力等于她的重力 B ．起跳以后在上升过程中处于超重状态 C ．起跳以后在下降过程中处于失重状态 D ．起跳以后在下降过程中重力消失了4．如图所示，甲、乙两人分别站在赤道和纬度为45°的地面上，则 （ ）A ．甲的线速度大B ．乙的线速度大C ．甲的角速度大D ．乙的角速度大5．质量为0.5kg 的物体做变速直线运动，以水平向右为正方向，它的速度一时间图象如图所示，则该物体（ ）A ．在前2s 内和2s ～6s 内的加速度相同B ．在前2s 内向右运动，2s ～6s 内向左运动C ．在4s ～6s 内和6s ～8s 内的速度变化量相同D ．在8s 末离出发点的距离最远6．如图所示，质量相等的三个物块A 、B 、C ，A 与天花板之间、与B 之间用轻绳相连，与之间用轻弹簧相连，当系统静止时，C 恰好与水平地面接触，此时弹簧伸长量为。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附标准答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. 或B. 或C. D. 或【答案】A【解析】解：；，或．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.，则A. 1B. 2C. 26D. 10【答案】B【解析】解：根据题意，，则；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得，进而计算可得答案．本题考查分段函数函数值的计算，注意分析函数的解析式．3.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为奇函数，不符合题意；对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；对于C，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；对于D，为奇函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．4.函数的零点在A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数定义域为，，，，，因为，根据零点定理可得，在有零点，故选：B．利用零点的判定定理检验所给的区间上两个端点的函数值，当两个函数值符号相反时，这个区间就是函数零点所在的区间．本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是看出函数在所给的区间上对应的函数值的符号，此题是一道基础题；5.某圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为A. B. C. D. 1【答案】C【解析】解：圆的一条弦长等于半径，所以弦所对的圆心角为．故选：C．直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可．本题考查扇形圆心角的求法，是基本知识的考查．6.已知点位于第二象限，那么角所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：点位于第二象限，可得，，可得，，角所在的象限是第三象限．故选：C．通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角所在的象限．本题考查三角函数的符号的判断，是基础题．7.己知，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，；．故选：D．容易看出，，从而可得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．8.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：当时，函数，为减函数，当时，函数，为增函数，且当时，即函数恒经过点，故选：D．先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点，问题得以解决．本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数恒经过点是关键，属于基础题．9.若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．10.已知幂函数过点则A. ，且在上单调递减B. ，且在单调递增C. 且在上单调递减D. ，且在上单调递增【答案】A【解析】解：幂函数过点，，解得，，在上单调递减．故选：A．由幂函数过点，求出，从而，在上单调递减．本题考查幂函数解析式的求法，并判断其单调性，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.数向左平移个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，则A. 为奇函数B. 的最大值为1C. 的一个对称中心为D. 的一条对称轴为【答案】D【解析】解：向左平移个单位，再向上平移1个单位后，可得的图象，在根据所得图象和的图象重合，故，显然，是非奇非偶函数，且它的最大值为2，故排除A、B；当时，，故不是对称点；当时，为最大值，故的一条对称轴为，故D正确，故选：D．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的图象，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．12.已知的三个顶点A，B，C及半面内的一点P，若，则点P与的位置关系是A. 点P在内部B. 点P在外部C. 点P在线段AC上D. 点P在直线AB上【答案】C【解析】解：因为：，所以：，所以：，即点P在线段AC上，故选：C．由平面向量的加减运算得：，所以：，由向量共线得：即点P在线段AC上，得解．本题考查了平面向量的加减运算及向量共线，属简单题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的定义域为______．【答案】【解析】解：，或．的定义域为．故答案为：．由分子根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0列式求解x的取值集合即可得到答案．本题考查了函数的定义域及其求法，属于基础题．14.已知角的终边过点，则______．【答案】【解析】解：角的终边过点，，则，故答案为：根据三角函数的定义求出r即可．本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义是解决本题的关键．15.已知向量，，，，则与夹角的余弦值为______．【答案】【解析】解：根据题意得，，，，故答案为：．运用平面向量的夹角公式可解决此问题．本题考查平面向量夹角公式的简单应用．16.已知函数，若有解，则m的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，若有解，就是关于的方程在上有解；可得：或，解得：或．可得．故答案为：．利用函数的值域，转化方程的实数解，列出不等式求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想有解计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.用定义法证明函数在上单调递增．【答案】证明：，设，则，又由，则，，，则，则函数在上单调递增．【解析】根据题意，将函数的解析式变形有，设，由作差法分析可得结论．本题考查函数单调性的证明，注意定义法证明函数单调性的步骤，属于基础题．18.化简下列各式：；【答案】解：；．【解析】直接利用对数的运算性质求解即可；直接利用三角函数的诱导公式求解即可．本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式及对数的运算性质，是基础题．19.已知函数求：的最小正周期；的单调增区间；在上的值域．【答案】解：函数，故函数的最小正周期为．令，求得，可得函数的增区间为，．在上，，，，即的值域为．【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．利用正弦函数的单调性，求得的单调增区间．利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，属于中档题．20.已知，，且．若，求的值；与能否平行，请说明理由．【答案】解：，，且．，，，，，．假设与平行，则．，则，，，，不能成立，故假设不成立，故与不能平行．【解析】推导出，从而，，进而，由此能求出假设与平行，则推导出，，由，得，不能成立，从而假设不成立，故与不能平行．本题考查向量的模的求法，考查向量能否平行的判断，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图，等腰梯形ABCD中，，角，，，F在线段BC上运动，过F且垂直于线段BC的直线l将梯形ABCD分为左、右两个部分，设左边部分含点B的部分面积为y．分别求当与时y的值；设，试写出y关于x的函数解析．【答案】解：如图，过A作，M为垂足，过D作，N为垂足，则，当时，，当时，．设，当时，，当时，；当时，．．【解析】过A作，M为垂足，过D作，N为垂足，则，由此能求出与时y的值．设，当时，，当时，；当时，由此能求出y关于x的函数解析．本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质、三角形及矩形形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m的取值范围．【答案】解：函数是奇函数，，故，故；当时，恒成立，即在恒成立，令，，显然在的最小值是，故，解得：．【解析】根据函数的奇偶性的定义求出a的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m的范围即可．本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(附解析版)
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（附解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：集合，，．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】C【解析】解：要使函数有意义则解得且函数的定义域为故选：C．根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．3.运行如图所示的程序，若输出y的值为2，则可输入实数x值的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，故时，，解得：舍去；时，，解得：舍，或，综上，可得可输入x的个数为1．故选：B．模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，分类讨论即可得可输入x的个数．本题的考点是函数零点几何意义和用导函数来画出函数的图象，考查了数学结合思想和计算能力，属于基础题．4.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设20个数分别为，，，，求出的平均数为，实际平均数，求出的平均数与实际平均数的差：．故选：B．求出的平均数与实际平均数的差：，由此能求出结果．本题考查求出的平均数与实际平均数的差的求法，考查平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知函数，那么的值为A. 9B.C.D.【答案】B【解析】解：，，而，．．故选：B．首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键．6.某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，其余为后勤服务人员，现用分层抽样方法从中抽取一容量为20的样本，则抽取后勤服务人员A. 3人B. 4人C. 7人D. 12人【答案】A【解析】解：根据分层抽样原理知，应抽取后勤服务人员的人数为：．故选：A．根据分层抽样原理求出应抽取的后勤服务人数．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．7.已知函数，若对任意实数，且都有成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，满足对任意实数，且都有成立，则函数为减函数，又由，则有，解可得，即a的取值范围为；故选：A．根据题意，分析可得函数为减函数，结合函数的解析式可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的应用，关键是掌握函数单调性的定义．8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a可能的取值是A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】解：函数为偶函数，图象关于原点对称，排除，又指数型函数的函数值都为正值，排除，故函数的图象只能是，当时，函数为减函数，则，得，故只有4满足故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质先确定对应的图象，然后结合指数函数的图象特点确定底数的大小即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数值的符号确定对应的图象是解决本题的关键．9.一直以来，由于长江污染加剧以及滥捕滥捞，长江刀鱼产量逐年下降为了了解刀鱼数量，进行有效保护，某科研机构从长江中捕捉a条刀鱼，标记后放回，过了一段时间，再从同地点捕捉b条，发现其中有c条带有标记，据此估计长江中刀鱼的数量为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，得：，解得．故选：D．设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，列出方程能求出结果．本题考查长江中刀鱼的数量的估计，考查随机抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知偶函数在区间上是单调递增函数，若，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：偶函数在区间上是单调递增函数，则在上为减函数，若，则，即，求得，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性可得，由此求得实数m的取值范围．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．11.如图程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】解：因为要求时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．通过要求时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“”，进而通过偶数的特征确定．本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．12.已知函数，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：当时，方程可化为，解得：或，又，所以当时，此时方程有一个实数根，当时，方程可化为，由题意有此方程必有两不等实数根，设，由二次方程区间根问题有：，解得：或，综合可得：实数a的取值范围为：，故选：C．含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题先通过讨论：当时，当时去绝对值符号，再结合区间根问题求解二次方程的根的个数即可．本题考查了含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题及区间根问题，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，那么______．【答案】3【解析】解：由得，，即，故答案为：3由，求出，直接代入即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数解析式直接转化是解决本题的关键．14.《少年中国说》是清朝末年梁启超所作的散文，写于戊戌变法失败后的1900年，文中极力歌颂少年的朝气蓬勃，其中“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，少年独立则国独立”等优秀文句激励一代又一代国人强身健体、积极竞技年，甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：则参加运动会的最佳人选应为______．【答案】丙【解析】解：从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定，故最佳人选应该是丙．故答案为：丙．从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定．本题考查最佳人选的判断，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.某汽车4S店销售甲品牌A型汽车，在2019年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：已知A型汽车的销售量y与价格x符合线性回归方程：，若A型汽车价格降到19万元，预测它的销售量大约是______辆【答案】42【解析】解：由图表可得，，．代入线性回归方程，得．，当时，．预测它的销售量大约是42辆．故答案为：42．由已知求得，代入线性回归方程求得b，得到线性回归方程，取求得y值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．16.已知函数有唯一零点，则______．【答案】【解析】解：与的图象均关于直线对称，的图象关于直线对称，的唯一零点必为，，，．故答案为：．判断函数与的图象的对称性，结合函数的对称性进行判断即可．本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件判断函数的对称性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，．Ⅰ当时，求；Ⅱ若，求实数k的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，，则，分Ⅱ，则分当时，，解得；分当时，由得，即，解得分综上，分【解析】Ⅰ直接根据并集的定义即可求出由，得，由此能求出实数k的取值范围．本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.计算下列各式的值：；．【答案】解：原式；原式．【解析】进行分数指数幂的运算即可；进行对数的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的运算性质．19.已知是奇函数．求a的值并判断的单调性，无需证明；若对任意，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】解：是奇函数，定义域为R，，解得，验证：，，即为奇函数，，在R上为增函数，对任意，不等式恒成立，，在R上为增函数，，，即对任意，恒成立，令，，，，对于，当时取最大值，最大值为3，，，故实数k的取值范围为．【解析】由奇函数的性质可得，在判断函数的单调性；利用的奇偶性和单调性，将不等式转化为：在上恒成立，然后转化为最值，最后构造函数求出最大值即可．本题考查了奇偶函数定义、函数的单调性、恒成立问题转化为最值、二次函数求最值属中档题．20.张先生和妻子李女士二人准备将家庭财产100万元全部投资兴办甲、乙两家微型企业，计划给每家微型企业投资50万元，张先生和妻子李女士分别担任甲、乙微型企业的法人根据该地区以往的大数据统计，在10000家微型企业中，若干年后，盈利的有5000家，盈利的有2x家，持平的有2x家，亏损的有x家．求x的值，并用样本估计总体的原理计算：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性用百分数示；张先生加强了对企业的管理，预计若干年后甲企业一定会盈利，李女士由于操持家务，预计若干年后盈利情况与该地区以往的大数据统计吻合求若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半．【答案】解：，，用样本估计总体计算得：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性为：．由题意得若干年后，两人家庭财产的总数量为：万元．由于婚姻期间家庭财产为共同财产，若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半为：万元．【解析】由，求出，用样本估计总体，能求出若干年后甲微型企业至少盈利的可能性．由题意求出若干年后，两人家庭财产的总数量，由此能求出若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值．本题考查实数值、至少盈利的可能性、期望值的求法，考查用样本特征估计总体特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.当今的学校教育非常关注学生身体健康成长，某地安顺小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况，抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试，测试成绩分成，，，四个部分，并画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右前三个小组的频率分别为，，，且第一小组从左向右数的人数为5人．求第四小组的频率；求参加两分钟跳绳测试的学生人数；若两分钟跳绳次数不低于100次的学生体能为达标，试估计该校二年级学生体能的达标率用百分数表示【答案】解：第四小组的频率为：．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，解得，参加两分钟跳绳测试的学生人数为50人．由题意及频率分布直方图知：样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为：，估计该校二年级学生体能的达标率为．【解析】由频率分布直方图能求出第四小组的频率．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，由此能求出参加两分钟跳绳测试的学生人数．由题意及频率分布直方图知样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为，由此能估计该校二年级学生体能的达标率．本题考查频率、频数、达标率的求法，考查频率分布直图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.已知函数，其最小值为．求的表达式；当时，是否存在，使关于t的不等式有且仅有一个正整数解，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：函数的对称轴为，当时，区间为增区间，可得；当，可得；当时，区间为减区间，可得．则；当时，即，可得，令，，可得在递减，在递增，在的图象如右图：，，由图可得，即，关于t的不等式有且仅有一个正整数解2，所以k的范围是【解析】求得的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性可得最小值；由题意可得，令，求得单调性，画出图象，可得整数解2，即可得到所求范围．本题考查二次函数的最值求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查不等式有解的条件，注意运用参数分离和对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
高一数学期末(含答案)
高一数学期末(含答案)2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学参考答案一、选择题1.解析：根据函数y=cos(-2x)的周期公式T=2π/|ω|可知，函数的最小正周期是T=π/2.故选D。
2.解析：根据勾股定理可得r=√(4^2+3^2)=5，由任意角的三角函数定义可得cosα=-4/5.故选B。
3.删除。
4.解析：由cos(π+α)=-cosα得cosα=-1/3.故选A。
5.解析：根据三角函数的基本关系sin^2α+cos^2α=1和1-cos2α=2sin^2(α/2)可得sinα=√(1-cos^2α)=√(26/169)，tanα=sinα/cosα=-2/3.故选D。
6.删除。
7.解析：由题意可得函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线，且f(-2)0，故f(0)·f(1)<0，即函数在(0,1)内有一个零点。
故选C。
8.解析：由勾股定理可得EB=√(ED^2+DB^2)=√(1+1/9)=√(10/9)，AD=AB-DB=2AB/3，故EB/AD=√(10/9)/(2AB/3)=√10/2=AB/AD。
故选A。
9.解析：由a+b=a-b两边平方得a^2+2ab+b^2=a^2-2ab+b^2，即ab=0，故a⊥b。
故选A。
10.解析：大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，故小正方形的对角线长为2√2.由勾股定理可得大正方形的对角线长为10√2，故大正方形内切圆的半径为5-√2，故其面积为(5-√2)^2π=23π-10√2.故选A。
4sinα-2cosα = 2(2sinα-cosα) = 2(2tanα-1)cosα/√(1+4tan^2α) 4(1-2sin^2α)/(5+3tanα) = 8/135cosα+3sinα = √34sin(α+0.424)sinαcosα = 22/37tanα=2.sinα=4/√20.cosα= -1/√20cos2α=5/13.cosα=±√5/13因为α是第三象限角，所以cosα=-√5/13.sinα=-2√5/131) 设X=2x+π/3，则X=2x+2πk/3.k∈Zy=sinX的单调递减区间为[2kπ+π/3.2kπ+5π/3]。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．13．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x35．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．67．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．78．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A．D（x）的值域是{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）是奇函数D．任意x∈R，都有f[f（x）]＝19．（5分）已知函数，则f（﹣6）+f（log26）＝（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．211．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．14．（5分）已知a＝1.010.01，b＝ln2，c＝log20.5，则a，b，c从小到大的关系是．15．（5分）＝．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5}；∴∁A B＝{0，2，4}．故选：A．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．1【分析】直接利用诱导公式化简求值．【解答】解：tan225°＝tan（180°+45°）＝tan45°＝1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l＝2，扇形的半径r＝OA＝1，∴则圆心角∠AOB的弧度数α＝＝＝2．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，属基础题．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x3【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y＝e x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝sin x是奇函数，在定义域上不是单调性函数，不满足条件．C．f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，∵y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则y＝2x﹣2﹣x是增函数，故C正确，D．y＝﹣x3是奇函数，则定义域上是减函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意利用正切函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期是＝2，故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．6．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．6【分析】由已知直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解tanα．【解答】解：由，得，即，解得tanα＝6．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．7【分析】由已知及向量基本运算可知，，然后结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：AD是BC边上的中线，∴，则＝＝＝＝﹣故选：B ．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．8．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（ ）A ．D （x ）的值域是{0，1}B ．D （x ）是偶函数C ．D （x ）是奇函数D ．任意x ∈R ，都有f [f （x ）]＝1【分析】根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．【解答】解：A ．函数的值域为{0，1}，故A 正确，B ．若x 是无理数，则﹣x 也是无理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝0，若x 是有理数，则﹣x 也是有理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝1，综上f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，故函数f （x ）是偶函数，故B 正确， C ．由B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C 错误，D ．当x ∈R 时，f （x ）＝1或0都是有理数，则f [f （x ）]＝1，故D 正确， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．9．（5分）已知函数，则f （﹣6）+f （log 26）＝（ ） A ．6B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （﹣6）与f （log 26）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f （﹣6）＝log 3[3﹣（﹣6）]＝log 39＝2，f （log 26）＝+1＝7，则f （﹣6）+f （log 26）＝2+7＝9； 故选：C ．【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．10．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由，，两边同时平方可求，||，进而可求在方向上的投影．【解答】解：∵||＝1，，，∴16＝，4＝，解可得，＝，||＝，则在方向上的投影为＝，故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x，（x∈[0，π]）设A（x，﹣sin x），则A，B关于x＝对称，此时B（π﹣x，﹣sin x），当0≤x≤时，|AB|＝π﹣x﹣x＝π﹣2x，当≤x≤π时，|AB|＝x﹣（π﹣x）＝2x﹣π，则对应的图象为D，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，其图象如图所示：在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x ，1），若⊥，则实数x 的值是 ．【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【解答】解：∵；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．14．（5分）已知a ＝1.010.01，b ＝ln 2，c ＝log 20.5，则a ，b ，c 从小到大的关系是 c ＜b ＜a ．【分析】容易得出，1.010.01＞1，0＜ln 2＜1，log 20.5＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵1.010.01＞1.010＝1，0＜ln 2＜lne ＝1，log 20.5＜log 21＝0； ∴c ＜b ＜a ．故答案为：c ＜b ＜a ．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．15．（5分）＝ 1 ．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝lg（）﹣2+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a 的最大值．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）在[0，a]是增函数，∴a+≤，∴a≤，则a的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得C⊆A，可得，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A＝4，ω＝2，，函数表达式为．补全数据如下表：（Ⅱ）∵，∴A＝[﹣4，4]，又A∪C＝A，∴C⊆A．依题意，∴实数m的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，集合中参数的取值范围，属于基础题．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．【分析】（Ⅰ）直接利用二倍角公式，求得sin2的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，求得cos（α+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值，可得β的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα＝，α∈（），所以cosα＝﹣＝﹣．从而sin2＝＝．（Ⅱ）因为α∈（），β∈（0，），所以α+β∈（，），所以cos（α+β）＝﹣＝﹣．∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•（﹣）﹣（﹣）•＝，∴β＝．【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，求出f（x）的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（Ⅱ）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝＝≥3﹣1＝，∴函数f（x）的值域为[，+∞）．（Ⅱ）令t＝ax2﹣4x+3，当a≥0时，t无最大值，不合题意；当a＜0时，∵t＝ax2﹣4x+3＝a（x﹣）2﹣+3，∴t≤3﹣，又f（t）＝3t在R上单调递增，∴f（x）＝3t≤＝81＝34，∴3﹣＝4，∴a＝﹣4．【点评】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得对称中心．（Ⅱ）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意有＝（2sin x，cos2x）•（cos x，﹣）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2x﹣＝kπ，则，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象．由，即，又x∈[0，π]，∴g（x）的单调增区间为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义判断即可；（Ⅱ）根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）又∵g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴g（x）为偶函数；（Ⅱ）依题意有g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（0）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，所以g（0）＝g（﹣2）＝g（2）＝0，要使得g（x）＜0，则x∈（﹣2，0）∪（0，2），由g（h（x））＜0得h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2）∵，∴，∴，∵a＞0，，又h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2），∴即，∴存在使得g（h（x））＜0恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，三角函数的性质，是一道综合题．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时求出总收益y＝y1+y2的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．（Ⅱ）根据条件转化为y＝+≥对任意x∈[0，5]恒成立，利用换元法转化为一元二次函数进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金5﹣x百万元当a ＝2时，y ＝y 1+y 2＝（5﹣x ）+•2＝，（0≤x ≤5），令t ＝，则0≤t ≤，y ＝﹣（t 2﹣2t ﹣5），其图象的对称轴t ＝1∈[0，]，∴当t ＝1时，总收益y 有最大值，此时x ＝1，5﹣x ＝4．即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………（5分）（Ⅱ）由题意知y ＝+＝≥对任意x ∈[0，5]恒成立，即﹣2x +2a+1≥0对任意x ∈[0，5]恒成立，令g （x ）＝2x +2a +1，设t ＝，则t ∈[0，]，则g （t ）＝﹣2t 2+2at +1，其图象的对称轴为t ＝，……………（7分）①当0＜≤，即0＜a ≤时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）≥g （），∴g （t ）min ＝g （）＝2a ﹣9≥0，得a ≥，又0＜a ≤∴≤a ≤②当＜≤，即＜a ≤2时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）＜g （），可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0，符合题意∴＜a ≤2③当＞，即2＜a ≤5时，易知g （t ）＝﹣2t 2+2at +1在[0，]单调递增可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0恒成立，2＜a ≤5综上可得≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[，5]．……………（12分）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题附解答解析
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，3}，B={3，5}，则A∩B=（）A. B. C. D. 3，2.下列四组直线中，互相平行的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与3.圆x2+4x+y2=0的圆心和半径分别为（）A. ，4B. ，4C. ，2D. ，24.在空间中，下列命题错误的是（）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 不共线的三个点确定一个平面5.下列各函数在其定义域内为增函数的是（）A. B. C. D.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.若x=8，y=log217，z=（）-1，则（）A. B. C. D.8.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F、G分别为C1D1、BC1上一点，C1F=1，且FG∥平面ACE，则BG=（）A. B. 4 C. D.9.已知直线l：y=kx+2（k∈R），圆M：（x-1）2+y2=6，圆N：x2+（y+1）2=9，则（）A. l必与圆M相切，l不可能与圆N相交B. l必与圆M相交，l不可能与圆N相切C. l必与圆M相切，l不可能与圆N相切D. l必与圆M相交，l不可能与圆N相离10.函数f（x）=+1的大致图象为（）A. B.C. D.11.若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（）A. 16B. 17C. 32D. 3312.光线沿直线l：3x-4y+5=0射入，遇直线l：y=m后反射，且反射光线所在的直线经过抛物线y=x2-2x+5的顶点，则m=（）A. 3B.C. 4D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线的倾斜角是直线的倾斜角的______倍．14.直线3x-4y+5=0被圆x2+y2=7截得的弦长为______．15.若函数f（x）=是在R上的减函数，则a的取值范围是______．16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，AC⊥AB，PA=3，AC=4，PC=5，且三棱锥P-ABC的外接球的表面积为28π，则AB=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f（x）=+ln（2-x）的定义域为A，集合B={x|2x＞1}．（1）求A∪B；（2）若集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，求a的取值范围．18.（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，且．（1）过点A作一条射线AG，使得AG∥BD，求证：平面PAG∥平面BDE；（2）若点F为线段PC上一点，且DF⊥平面PBC，求四棱锥F-ABCD的体积．20.已知函数f（x）=x3+e x-e-x．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数的单调性（不需要证明）；（3）求不等式f（2x-1）+f（-3）＜0的解集．21.已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．22.设函数f（x）=（）x+m的图象经过点（2，-），h（x）=ax2-2x（＜1）．（1）若f（x）与h（x）有相同的零点，求a的值；（2）若函数f（x）在[-2，0]上的最大值等于h（x）在[1，2]上的最小值，求a的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A∩B={3}．故选：A．直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】D【解析】解：因为x+2y=0与2x+4y-3=0的斜率均为-，故平行，故选：D．两直线平行则斜率相等，计算斜率判断即可．本题考查了两直线平行与斜率的关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：圆x2+4x+y2=0，即圆（x+2）2+y2=4，它的圆心为（-2，0），半径为2，故选：C．把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心和半径．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：空间中，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行或相交货异面，故A错误；如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直，也可能相交货平行，故B正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，由平行公理可C正确；由公理3可得不共线的三个点确定一个平面，故D正确．故选：A．空间垂直于同一直线的两直线可以平行、相交或异面，可判断A；垂直于同一平面的两个平面肯相交或平行，可判断B；运用平行公理和公理3，即可判断C和D．本题考查空间线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的性质和公理的运用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=-，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，y=log（4-x），其定义域为（-∞，4），令t=4-x，则y=log tx，则t=4-x为减函数，y=log tx也为减函数，则y=log（4-x）在其定义域内为增函数，符合题意；对于C，y=1-2x2，为二次函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D，y=-x3，在其定义域上是减函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判断，关键是掌握函数单调性的性质以及判断方法，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由已知三视图得到几何体如图：由团长时间得到体积为=5；故选：C．由已知几何体的三视图得到几何体为棱柱，由两个三棱锥组合成的，根据棱柱的体积公式计算即可．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．7.【答案】D【解析】解：∵x=8，∴x=4，∵z=（）-1=，y=log217＞y=log216=4，∴y＞x＞z，故选：D．分别根据对数指数幂的运算性质求出x，y，z即可比较本题考查了对数指数幂的运算性质，属于基础题8.【答案】C【解析】解：根据题意，连接BD，与AC交于点O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，则EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，而EO⊂平面ACE，则BD1∥平面ACE，又由FG∥平面ACE，则BD1∥FG，又由C1F=1，且C1D1=4，则=，则C1G=，则BG=BC1-C1G=3，故选：C．根据题意，连接BD，与AC交于点O，连接EO，分析可得EO为△BDD1的中位线，进而可得BD1∥平面ACE，由线面平行的性质可得BD1∥FG，由平行线定理分析可得答案．本题考查线面平行的性质以及应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵直线l：y=kx+2（k∈R）过点（0，2），（0，2）在圆M：（x-1）2+y2=6内，∴直线l必与圆M相交，∵（0，2）在圆N：x2+（y+1）2=9上，∴l不可能与圆N相离．故选：D．直线l：y=kx+2（k∈R）过点（0，2），（0，2）在圆M：（x-1）2+y2=6内，（0，2）在圆N：x2+（y+1）2=9上，由此得到l必与圆M相交，l不可能与圆N相离．本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．10.【答案】D【解析】解：∵f（-x）=f（x），∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C，当0＜x＜1时，log2x8＜0，x2-4＜0，∴f（x）＞1，故排除A，故选：D．先判断函数为偶函数，再求出当0＜x＜1时，f（x）＞1，故排除A，B，C本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值得变化趋势，属于基础题11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，可得y=x2-2x+a的最小值为16，由y=（x-1）2+a-1，可得a-1=16，即a=17，故选：B．由对数函数的单调性可得y=x2-2x+a的最小值为16，配方即可得到所求最小值，解方程可得a．本题考查函数的最值的求法，注意转化为二次函数的最值，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：抛物线y=x2-2x+5的顶点（1，6），点（1，6）关于直线y=m的对称点（1，2m-6），（1，2m-6）在直线3x-4y+5=0上，3-4（2m-6）+5=0，解得m=4．故选：C．求出抛物线的顶点坐标，求得点M关于直线y=m的对称点M'的坐标，代入直线方程求解m即可．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，考查直线的方程的求法，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：直线的倾斜角是150°，直线的倾斜角是30°，则直线的倾斜角是直线的倾斜角的5倍，故答案为：5．根据直线的斜率k=tanα，分别求出直线的倾斜角，问题得以解决．本题考查直线的倾斜角，考查了直线的斜率，是基础题14.【答案】2【解析】解：∵O到直线3x-4y+5=0的距离为1，∴所求距离为2=2．故答案为：2先求圆心O到直线的距离，再用勾股定理可得弦长．本题考查了直线与圆相交的性质．属中档题．15.【答案】[-6，1）【解析】解：由题意得：，解得：-6≤a＜1，故答案为：[-6，1）．根据一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了一次函数以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．16.【答案】【解析】解：∵PA=3，AC=4，PC=5，∴PA2+AC2=PC2，则PA⊥AC，又PA⊥AB，AC⊥AB，∴三棱锥P-ABC可以补成一个长方体，则其外接球的半径r=，∴，即AB=．故答案为：．由已知可得三棱锥P-ABC满足过顶点A的三条侧棱两两垂直，然后补形为长方体求解．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．17.【答案】解：（1）由得，-6≤x＜2；由2x＞1得，x＞0；∴A=[-6，2），B=（0，+∞）；∴A∪B=[-6，+∞）；（2）A∩B=（0，2）；∵集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集；∴ ；解得0≤a≤1；∴a的取值范围是[0，1]．【解析】（1）可解出A=[-6，2），B=（0，+∞），然后进行并集的运算即可；（2）可解出A∩B=（0，2），根据集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，即可得出，解出a的范围即可．考查描述法、区间表示集合的定义，指数函数的单调性，函数定义域的定义及求法，子集的定义，以及交集、并集的运算．18.【答案】解：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，则x-2y+4=0，令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，2），则|AB|==2；（2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，当直线过原点时，此时方程为x+4y=0．【解析】（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，即可求出A，B的坐标即可求出|AB|；（2）分类讨论：当直线过原点时，当直线不过原点时，代点分别可得方程．本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答19.【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE，又AG∥BD，同理得AG∥平面BDE，∵PA∩AG=A，∴平面PAG∥平面BDE．解：（2）∵DF⊥平面PBC，∴DF⊥PC．在Rt△PDC中，∵PD=4，CD=8，∴，∴DF==，∴FC==，∴=，过F作FK∥PD，交CD于K，则FK=，∵PD⊥底面ABCD，∴FK⊥底面ABCD，∴ ．【解析】（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，从而OE∥PA，进而PA∥平面BDE，由AG∥BD，得AG∥平面BDE，由此能证明平面PAG∥平面BDE．（2）由DF⊥PC，过F作FK∥PD，交CD于K，则FK⊥底面ABCD，由此能求出四棱锥F-ABCD的体积．本题考查面面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=x3+e x-e-x，则f（-x）=（-x）3+e-x-e x=-（x3+e x-e-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数；（2）f（x）=x3+e x-e-x在R上为增函数；（3）由（1）（2）的结论，f（x）=x3+e x-e-x是奇函数且在R上为增函数；f（2x-1）+f（-3）＜0⇒f（2x-1）＜-f（-3）⇒f（2x-1）＜f（3）⇒2x-1＜3，解可得x＜2，即不等式的解集为（-∞，-2）．【解析】（1）根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）由函数的解析式结合常见函数的单调性，分析易得结论；（3）根据题意，由（1）（2）的结论，可以将原不等式转化为2x-1＜3，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的证明与应用，（3）注意分析得到关于x的不等式，属于基础题．21.【答案】解：（1）由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（，）．设C（a，0），则k CM=，∴•（-）=-1，∴a=-1，∴C（-1，0），|CM|=2，即r=2，∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4．（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x-3=0，△=4+12（1+k2）＞0，x1+x2=-，x1x2=-．（i）证明：+==为定值；（ii）|PN|2+|QN|2=（x1-2）2+（y1-1）2+（x2-2）2+（y2-1）2=（x1-2）2+（kx1-1）2+（x2-2）2+（kx2-1）2=（1+k2）（x1+x2）2-2（1+k2）x1x2-（4+2k）（x1+x2）+10=+16，令3+k=t（t＞3），则k=t-3，上式即为+16=+16≤+16=2+22．当且仅当t=，即k=-3时，取得最大值2+22．【解析】（1）由题意设C（a，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解得a，再由两点的距离公式可得半径，进而得到所求圆的标准方程；（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），联立圆的方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，即可证得（ⅰ）+为定值；（ii）由两点的距离公式，以及韦达定理和基本不等式，化简整理，即可得到所求最大值．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得f（2）=m+=-，即有m=-，即f（x）=（）x-，由f（x）=0，可得x=1，由题意可得h（1）=a-2=0，即a=2；（2）函数f（x）在[-2，0]上递减，可得f（x）的最大值为f（-2）=4+m=，若函数f（x）在[-2，0]上的最大值等于h（x）在[1，2]上的最小值，由h（x）的对称轴为x=，当a＞0时，由＜1可得a＞1，即有h（x）在[1，2]递增，可得h（x）的最小值为h（1）=a-2，由a-2=，解得a=；当a＜0时，h（x）在[1，2]递减，即有h（x）的最小值为h（2）=4a-8，由4a-8=，解得a=，又a＜0，不符题意．综上可得a=．【解析】（1）由题意可得f（2）=-，解得m，由零点定义，即可得到所求值；（2）运用指数函数的单调性可得f（x）的最大值，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，解方程即可得到所求值．本题考查函数的零点求法，考查指数函数的单调性和二次函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，属于中档题．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.点（1，-1）到直线y=x+1的距离是（）A. B. C. D.2.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是（）A. B. C. D.3.已知两条平行直线l1：3x+4y+5=0，l2：6x+by+c=0间的距离为3，则b+c=（）A. B. 48 C. 36 D. 或484.下列命题中正确的个数是（）①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A. 1B. 2C. 3D. 45.如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A.B.C.D.8.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为（）A. B. C.D.9.已知a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A. B. C. D.10.过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A. B. C. D.11.如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为（）A. B. C. D.12.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. 4：3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．14.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是______．15.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成的二面角为______．16.已知两点A（-3，2），B（2，1），点P（x，y）为线段AB上的动点，假设m=，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17.求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．18.△ABC中，已知C（2，5），角A的平分线所在的直线方程是y=x，BC边上高线所在的直线方程是y=2x-1，试求顶点B的坐标．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．20.当0＜a＜2时，直线l1：ax-2y=2a-4与l2：2x+a2y=2a2+4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．21.如图所示，正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】解：点（1，-1）到直线y=x+1的距离：d==．故选：D．利用点到直线的距离公式直接求解．本题考查点到直线方程的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．2.【答案】C【解析】解：因为圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，所以圆心坐标（1，-3），代入选项可知C正确．故选：C．求出圆的圆心坐标，验证选项即可．本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，因为两条直线平行，所以b=8．由=3，解得c=-20或c=40．所以b+c=-12或48故选D．将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，利用两条直线平行及距离为3，即可求得结论．本题考查两条平行线间距离的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①若直线a不在α内，则a可能和α相交，所以①错误．②a和α相交时，直线l上有无数个点不在平面α内，但此时l∥α不成立，所以②错误．③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都没有公共点，所以直线可能平行或异面，所以③错误．④根据线面平行的定义可知，若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，以④正确．⑤根据线面平行的性质可知平行于同一个平面的两两条直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，所以⑤正确．故正确的是：④⑤．故选B．①根据直线和平面的位置关系判断．②利用直线和平面的位置关系判．③利用线面平行的定义判断．④利用线面平行的性质判断．⑤根据线面平行的性质判断．本题主要考查空间直线和平面平行判定和性质，要求熟练掌握线面平行的定义和性质．5.【答案】B【解析】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选：B．化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．6.【答案】A【解析】解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．故选：A．对选项进行分析，即可得出结论．本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据主视图和左视图可知正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，∴它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以实线画出的三角形，左上角是一个实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图，其俯视图应选C．故选C．正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，它的正视图外围是一个正方形，正方形的左上角是以虚线画出的三角形，右上角是一个实线画出的三角形，看出结果．本题考查简单空间图形的三视图，本题解题的关键是通过两个视图，想象出正方体的形状和位置，注意虚线和实线的区别．解：因为a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0化为（1-2b）x+3y+b=0，即x+3y+b（-2x+1）=0恒成立，，解得，所以直线经过定点（）．故选：B．利用已知条件，消去a，得到直线系方程，然后求出直线系经过的定点坐标．本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点的求法，考查计算能力．10.【答案】A【解析】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于-，由点斜式求得所求直线的方程为y-2=-（x-1），化简可得x+2y-5=0，故选A．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：设正四面体P-ABC，棱长为a，高为PO，O为底面正三角形外心（重心），∴底面正三角形高为AD=，S△ABC=，∵AO=，∴PO=，∴V===9，解得a=3（dm），∴表面积S=4×=18（dm2）．故选：B．先由正四面体的体积为9dm3，计算正四面体的棱长，即可计算表面积S的值．本题考查正四面体的体积、表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度13.【答案】6【解析】解：如下图示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．故答案为：6本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC-A1B1C1，结合图象分析即可得到答案．要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．14.【答案】160【解析】解：设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C=9，BD1=15，∵A1A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴A1A⊥AC，Rt△A1AC中，A1A=5，可得AC==，同理可得BD===10，∵四边形ABCD为菱形，可得AC、BD互相垂直平分，∴AB===8，即菱形ABCD的边长等于8．因此，这个棱柱的侧面积S侧=（AB+BC+CD+DA）×A1A=4×8×5=160．故答案为：160根据线面垂直的定义，利用勾股定理结合题中数据算出底面菱形的对角线长分别为和10，再由菱形的性质算出底面的边长为8，根据直棱柱的侧面积公式加以计算，可得该棱柱的侧面积．本题给出直棱柱满足的条件，求它的侧面积．着重考查了线面垂直的定义、菱形的性质和直棱柱的侧面积公式等知识，属于中档题．15.【答案】60°【解析】解：过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，由三垂线定理知CD⊥SE，所以∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，在Rt△SOE中，SE===2，OE=1，所以cos∠SEO=，则∠SEO=60°，故答案为：60°．过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，易证∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，通过解直角三角形可得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查学生推理论证能力，属中档题．16.【答案】（-∞，-1]∪[1，+∞），【解析】解：设C（0，-1），则m==k PC，表示PC的斜率观察图形，直线PA的倾斜角总是钝角，由此可得当P与A重合时，k PC==-1达到最大值；当P与B重合时，k PC==1达到最小值∴k PC∈（-∞，-1]∪[1，+∞），即m∈（-∞，-1]∪[1，+∞），故答案为：（-∞，-1]∪[1，+∞），根据直线的倾斜公式，设C（0，-1）得m=，表示PC的斜率．由此作出图形并观察PC倾斜角的变化，即可得到m=，的取值范围．本题给出线段AB，求直线斜率的范围并求距离和的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、点关于直线对称和两点的距离公式等知识，属于基础题．17.【答案】解：设直线方程为：y=x+b．可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（-b，0）．由=6，化为：b2=9，解得b=±3．∴要求的直线方程为：y=x±3．【解析】设直线方程为：y=x+b．可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（-b，0）．由=6，解得b即可得出．本题考查了直线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：依条件，由解得A（1，1）．因为角A的平分线所在的直线方程是y=x，所以点C（2，5）关于y=x的对称点C'（5，2）在AB边所在的直线上．AB边所在的直线方程为y-1=（x-1），整理得x-4y+3=0．又BC边上高线所在的直线方程是y=2x-1，所以BC边所在的直线的斜率为-．BC边所在的直线的方程是y=-（x-2）+5，整理得x+2y-12=0．联立x-4y+3=0与x+2y-12=0，解得B（7，）．【解析】首先求出A点的坐标，进而求出AB边所在的直线方程，然后根据两直线垂直求出BC边所在的直线的斜率和方程，最后联立方程即可求出B得的坐标．考查了直线的一般方程和直线的截距方程、直线的位置关系等知识，属于基础题．19.【答案】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积△ ．因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积△ ．由V A-PBC=V P-ABC，△ ，得，故点A到平面PBC的距离等于．【解析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC 的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等，而三棱锥P-ACB体积易求，三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．20.【答案】解：如图，由已知l1：a（x-2）-2（y-2）=0，l2：2（x-2）+a2（y-2）=0．∴l1、l2都过定点（2，2），且l1的纵截距为2-a，l2的横截距为a2+2．∴四边形面积S=×2×（2-a）+×2×（2+a2）=a2-a+4=（a-）2+，又0＜a＜2，故当a=时，S min=．【解析】=S△BCE-S△OAB即可得出S=（a-）2+，结合二次函数最值根据S四边形OCEA的求法解答．本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角．∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO=，设AB=a，AO=a，∴PO=AO•tan∠POA=a，tan∠PMO==．∴∠PMO=60°．（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE⊂平面PBD，∴AO⊥OE．∵OE=PD==a，∴tan∠AEO==；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．又PM=PN，∠PMN=60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC=PN，∴MG⊥平面PBC．∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．【解析】（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tan∠PAO=，设AB=a，则AO=a，PO=AO•tan∠POA=a，MO=a，tan∠PMO=，∠PMO=60°；（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB，故△AOE为直角三角形，OE=PD==a，所以tan∠AEO==；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA 的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置．本题考查二面角及平面角的求法，异面直线所成角的正切值的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题附标准答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合，，则．故选：A．化简集合A、B，根据交集的定义写出．本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2.若一个圆锥的表面积为，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则，又，由解得，，高．故选：C．设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，列方程组求得r、l和h的值．本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，是基础题．3.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】B【解析】解：由，解得．函数的定义域为．故选：B．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.已知直线与直线垂直，则a的值为A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】解：时，两条直线不垂直．，由，解得：．综上可得：．故选：C．对a分类讨论L利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了直线垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.若幂函数的图象过点，则函数的零点为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：设幂函数为常数．幂函数的图象过点，，解得．，令，即，解得：，，故选：D．求出幂函数的解析式，解方程求出函数的零点即可．本题考查了求幂函数的解析式问题，考查方程问题，是一道常规题．6.设，表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】解：A中缺少的情况；B中，也可能相交；C中缺少的情况；故选：D．前三个选项都漏掉了一种情况，最后一项有定理作保证，故选D．此题考查了直线，平面之间的位置关系，难度不大．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解：由题意可知几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，所以几何体的体积为：．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积．本题考查空间几何体的体积的求法，三视图的应用，考查计算能力．8.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，；．故选：A．容易得出，，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义，以及对数的换底公式．9.已知直线l：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则A. B. 4 C. D. 6【答案】B【解析】解：圆心到直线l的距离，圆的半径，，设直线l的倾斜角为，则，，过C作l的平行线交BD于E，则，，．故选：B．利用垂径定理计算弦长，计算直线l的倾斜角，利用三角函数的定义计算CD．本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程，属于中档题．10.关于x的方程的所有实数解的和为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：方程，可得或，即有或，可得或，则关于x的方程的所有实数解的和为4．故选：B．由绝对值的意义和对数的运算性质解方程即可得到所求和．本题考查方程的解的和的求法，注意绝对值的定义和对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．11.在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，则该四棱锥的体积为A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】解：在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，该四棱锥的体积．故选：A．作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，由此能求出该四棱锥的体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数且，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数且，当时，当时，有，而二次函数开口向下，此时函数的值域不可能为R；当时，当时，，当时，，若的值域为R，只需，可得．综上可得a的取值范围是故选：B．对a讨论，分和，结合指数函数的单调性和值域，以及二次函数的值域求法，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用，考查函数的值域的求法，注意运用指数函数的单调性和值域，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，则______．【答案】【解析】解：点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，3，，．故答案为：．利用线段中点坐标公式求出3，，再由两点间距离公式能求出的值．本题考查线段长的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14.若，则______．【答案】【解析】解：，则，，，，故答案为：．先求出，即可求出答案．本题考查了指数幂和对数的运算，属于基础题．15.一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，则______．【答案】【解析】解：一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，设斜边长为2，则直角边长为，，，．答案为：．设斜边长为2，则直角边长为，从而，，由此能求出．本题考查两个旋转体的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.定义域为的减函数是奇函数，若，则对所有的，及都成立的实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：根据题意，为定义域为的奇函数，则，则有，当时，即恒成立，令，必有，解可得：，则a的取值范围为；故答案为：．根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得，进而可得当时，即恒成立，令，分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数，，．求函数的解析式；求函数在上的值域．【答案】解：，；；解得，；；在上单调递增；；在上的值域为．【解析】根据，即可求出，，从而得出；容易判断在上是增函数，从而求出即可得出在上的值域．考查函数值域的概念及求法，一次函数和反比例函数的单调性，增函数的定义．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，，垂足为E．证明：平面ABE；若，，M是BC中点，点N在PD上，平面ABE，求线段PN的长．【答案】证明：底面ABCD，，，，平面PAC，平面PAC，，，，平面ABE．解：平面ABE，设过MN与平面ABE平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，又ABCD是平行四边形，，，平面MFNG，，是BC中点，是CE中点，，，．【解析】推导出，，从而平面PAC，由此能证明平面ABE．设过MN与平面ABM平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，，，从而平面MFNG，进而，由此能求出PN．本题考查线面垂直的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知函数且，在上的最大值为1．求a的值；当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并求函数的值域．【答案】解：根据题意，函数且，在上的最大值为1，若，则为增函数，则有，解可得；若，则为减函数，则有，解可得；故a的值为2或；根据题意，若函数为增函数，则，；有，解可得，即函数的定义域为；又由，则函数为偶函数；又由，设，，则，又由，则，则，故的值域为．【解析】根据题意，结合对数函数的最大值，分与两种情况讨论，求出a的值，即可得答案；根据题意，求出的解析式，分析可得与的关系，可得为偶函数，设，，则，分析t的取值范围，由对数函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与值域，中注意结合函数的单调性分析a的值．20.如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，，D是线段AB的中点．证明：平面；求三棱锥的体积．【答案】解：证明：在中，，D为中点，，平面，平面，平面；为中点，，易得：，在等腰三角形CAB中，，平面，且，，．故三棱锥的体积为：12．【解析】利用中位线易得线线平行，进而得线面平行；利用底或高的关系，把所求体积转化为三棱锥体积的一半，得解．此题考查了线面平行，转化法求体积等，难度适中．21.已知．判断的单调性，并用定义法加以证明；若实数t满足不等式，求t的取值范围．【答案】解：令x，，则，，任取，，且，，，，即，在R上是增函数不等式化为在R上是增函数，，的取值范围是【解析】先用换元法求出函数的解析式，再用复合函数单调性判断方法得到单调性，最后用定义证明即可；根据函数的单调性可解得．本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．22.已知圆M过点且与圆N：为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C．若直线被圆M截得的弦长为，求m的值；设直线：与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值．【答案】解：圆N的圆心为，故可设圆M的方程为，则，圆M的标准方程为，直线被圆M截得的弦长为，到直线的距离，或联立方程，消y可得，设，，则，，，，，解得或，但不满足，【解析】根据圆的标准方程，弦心距，点到直线的距离，即可求出，联立方程，消y可得，设，，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：集合，集合，．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.A. B. C. D.【答案】D【解析】解：．故选：D．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3.如图所示，D是的边AB的中点，则向量A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由三角形法则和D是的边AB的中点得，，．故选：A．根据向量加法的三角形法则知，，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化．本题主要考查了向量加法的三角形法则，结合图形和题意找出向量间的联系，再进行化简．4.函数的图象的一个对称中心为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令，；解得，；当时，，函数的图象的一个对称中心为．故选：C．根据正切函数的对称中心为，可求得函数y图象的一个对称中心．本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，故选：A．根据函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于中档题．6.设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：是定义域上的增函数，，又是定义域上的增函数，，又是定义域上的减函数，，；故选：A．考查函数，，的单调性，借助于0和1，对a、b、c比较大小．本题考查了函数数值大小的比较，解题时借助指数函数对数函数的单调性进行判定，是基础题．7.若，且，则的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，且，，，．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．8.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：函数满足，函数的偶函数，排除B、C，因为时，，此时，所以排除D，故选：A．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9.函数的值域为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，当时，．当时．，故函数的值域为：．故选：C．首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成二次函数的顶点式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用．10.已知函数，且，则A. B. 0 C. D. 3【答案】D【解析】解：，且，，则，两式相加得且，即，，则，故选：D．根据条件，建立方程组进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．11.已知是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图，、E分别是边AB、BC的中点，且，．故选：C．由题意画出图形，把、都用、表示，然后代入数量积公式得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．12.定义域为R的函数若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于A. 0B. 21g2C. 31g2D. 1【答案】C【解析】解：当时，，则由得，．当时，，由得，解得，或，．当时，，由得，解得，或，．．故选：C．分情况讨论，当时，，则由得，求出；当时，，由得，解得，或，从而求出和；当时，，由得，解得，或，从而求出和，5个不同的实数解、、、、都求出来后，就能求出的值．这是一道比较难的对数函数综合题，解题时按照题设条件分别根据、和三种情况求出关于x的方程的5个不同的实数解、、、、，然后再求出的值．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为______．【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，函数的定义域是．故答案为：．解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．14.已知平面向量，，若，则______．【答案】【解析】解：；；；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．15.若幂函数在上是减函数，则实数______．【答案】2【解析】解析为幂函数，，或．当时，在上是减函数，当时，不符合题意．综上可知．故答案为：2．根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性，属于基础题．16.已知实数，函数在上是单调递减函数，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：，，函数在上单调递减，周期，解得的减区间满足：，取，得，解之得故答案为：根据题意，得函数的周期，解得又因为的减区间满足：，而题中由此建立不等关系，解之即得实数的取值范围．本题给出函数的一个单调区间，求的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，集合．当时，求及；若，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）当m=1时，Q=，所以P Q=，C R Q=，（2）因为P∩Q=Q，所以Q⊆P，①当m-1＞3m-2，即m＜时，Q=∅，满足题意，②当m-1≤3m-2，即m时，＞＜，解得：＜＜，综合①②可得：实数m的取值范围，【解析】（1）由集合的交、并、补运算得：当m=1时，Q=，即P Q=，C R Q=，（2）集合的包含关系，得Q⊆P，讨论①Q=∅，②Q≠∅，运算可得解．本题考查了集合的交、并、补运算及集合的包含关系，属简单题．18.已知角的终边经过点，求的值；已知，求的值．【答案】解：角的终边经过点，，，．已知，．【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．利用查同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，查同角三角函数的基本关系，属于基础题．19.已知平面向量，，，且，求与若，，求向量、的夹角的大小．【答案】解：由得，解得；由得，解得；所以，；，；所以，，；所以，，所以向量、的夹角为．【解析】由求出x的值，由求出y的值，从而得出、；计算、，利用平面向量夹角的公式求出，，即得夹角的大小．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．20.已知函数求的最小正周期及其单调递增区间；若，求的值域．【答案】解：，的最小正周期．由，得，．的单调递增区间为，；，，则，，．即．的值域为【解析】由三角函数的周期公式求周期，再由复合函数的单调性求函数的单调区间；由x的范围求得相位的范围，则函数的值域可求．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是基础题．21.一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量克随着时间小时变化的函数关系式近似为，其中．若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．【答案】解：由可得，当时，，解得，此时；当时，，解得，此时，综上可得，病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时；当时，，由，在均为减函数，可得在递减，即有，由，可得，可得m的最小值为．【解析】由可得函数y的解析式，可令，分段解不等式求并集即可；由当，可得函数y的解析式，化简，结合函数的单调性，可得最小值．本题考查函数在实际问题中的运用，考查函数的单调性的运用：求最值，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．22.已知函数，，其中a为常数．当时，设函数，判断函数在上是增函数还是减函数，并说明理由；设函数，若函数有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：时，，故，在递增，，在递减，在递增，故在递增；由，得，即，若函数有且只有1个零点，则方程有且只有1个实数根，化简得，即有且只有1个实数根，①时，可化为，即，此时，满足题意，②当时，由得：，解得：或，当即时，方程有且只有1个实数根，此时，满足题意，当即时，若是的零点，则，解得：，若是的零点，则，解得：，函数有且只有1个零点，或，综上，a的范围是，．【解析】代入a的值，求出的解析式，判断函数的单调性即可；问题转化为有且只有1个实数根，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了函数的单调性，零点问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题附解答解析
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，，集合3，，集合，则为A. 4，B. 3，C. 2，D. 3，4，【答案】A【解析】解：全集2，3，4，，集合3，，，，4，．故选：A．根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.A. B. C. D.【答案】A【解析】解：；故选：A．利用诱导公式直接化简函数的表达式，通过特殊角的三角函数值求解即可．本题是基础题，考查三角函数的求值，注意正确应用诱导公式是解题的关键．3.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：利用任意角三角函数的定义，，故选：D．利用任意角三角函数的定义，分别计算和，再代入所求即可本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题4.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则，解得：，或所以原函数的定义域为．故选：C．根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．5.已知函数，在下列区间中包含零点的区间是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数，是连续函数，，，根据零点存在定理，，函数在存在零点，故选：B．要判断函数，的零点的位置，根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．要判断函数的零点位于哪个区间，可以根据零点存在定理，即如果函数在区间上存在一个零点，则，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，要分类讨论．6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】解：把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：D．由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．7.已知向量，，满足，，，，则与的夹角等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，与的夹角等于故选：A．要求夹角，就要用到数量积，所以从入手，将，代入，求得向量，的数量积，再用夹角公式求解．本题主要考查向量的数量积和向理的夹角公式，数量积是向量中的重要运算之一，是向量法解决其他问题的源泉．8.设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，即故选：D．要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．9.若扇形的圆心角是，半径为R，则扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：4【答案】C【解析】解：扇形的圆心角是，半径为R，扇形扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，几何知识，，所以内切圆的半径为，，圆形扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为：故选：C．确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积，即可得到结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，确定扇形的内切圆的半径是关键．10.如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是A. 减函数且最小值是2B. 减函数且最大值是2C. 增函数且最小值是2D. 增函数且最大值是2【答案】A【解析】解：偶函数在上是增函数且最小值是2，由偶函数在对称区间上具有相反的单调性可知，在上是减函数且最小值是2．故选：A．直接由函数奇偶性与单调性的关系得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，关键是明确偶函数在对称区间上具有相反的单调性，是基础题．11.已知的最大值为A，若存在实数，使得对任意实数x总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：或的最大值为；由题意得，的最小值为，的最小值为．故选：B．根据题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出的最小值．本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．12.定义一种运算，若，当有5个零点时，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，，其图象如下：结合图象可知，有5个零点时，实数m的取值范围是，故选：A．画出，图象，结合图象可知，求解有5个零点时m的取值，本题考查了学生对新定义的接受与应用能力及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数是幂函数，且其图象过原点，则______．【答案】【解析】解：函数是幂函数，且其图象过原点，，且，．故填．由已知知函数是幂函数，则其系数必定是1，即，结合图象过原点，从而解出m的值．本题考查幂函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用幂函数的图象，掌握图象的性质：当指数大于0时，图象必过原点需结合函数的图象加以验证．14.已知函数是定义在上的奇函数，且，则______．【答案】【解析】解：Ⅰ函数是定义在上的奇函数，，即，，，，，解得，，．故答案为：．由题意可得，，代入可求b，然后由且可求a，进而可求函数解析式；本题主要考查了奇函数定义的应用及待定系数求解函数的解析式，考查了函数的单调性在不等式的求解中的应用．15.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则______．【答案】1【解析】解：的外接圆的圆心为O，且，为BC的中点，故为直角三角形，，为等边三角形，，则．故答案为：1．由的外接圆的圆心为O满足，可知O为BC的中点，且为直角三角形，然后结合向量数量积的定义可求．本题主要考查了向量基本定理，向量的数量积的定义的应用，解题的关键是找到为直角三角形的条件．16.若，则______【答案】【解析】解：，，．故答案为：．利用诱导公式和二倍角公式，计算即可．本题考查了三角函数求值运算问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量，，点．求线段BD的中点M的坐标；若点满足，求y与的值．【答案】解：设，，，解得即．同理可得．线段BD的中点M的坐标为，，，由得，解得，．【解析】利用向量中点坐标公式和向量共线定理即可得出．熟练掌握向量中点坐标公式和向量共线定理是解题的关键．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：；；；；．试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】本小题满分12分解：方法一：选择式，计算如下：分三角恒等式为．证明如下：分方法二：同方法一．三角恒等式为．证明如下：分【解析】方法一：选择式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解发现推广三角恒等式为，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．方法二：同方法一发现推广三角恒等式为由降幂公式，三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，归纳推理，属于基本知识的考查．19.销售甲、乙两种商品所得利润分别是、万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，，其中m，a，b都为常数，函数，对应的曲线、如图所示．求函数、的解析式；若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．【答案】解：由题意，解得，分又由题意得，分不写定义域扣一分设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入万元由得，分令，则有，，当即时，y取最大值1．答：该商场所获利润的最大值为1万元分不答扣一分【解析】根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于m，a的方程组，解出m，a的值，即可得到函数、的解析式；对甲种商品投资万元，对乙种商品投资万元，根据公式可得甲、乙两种商品的总利润万元关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．20.已知函数其中，，，的部分图象如图所示．求A，，的值；已知在函数图象上的三点M，N，P的横坐标分别为，1，3，求的值．【答案】解：由图知，分的最小正周期，所以由，得分又且，所以，，解得分因为，，，所以，，，设，分在等腰三角形MNP中，设，则分所以分【解析】根据的图象特征，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值．求出三点M，N，P的坐标，在等腰三角形MNP中，设，求出、的值，再利用二倍角公式求得的值．本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．21.已知，函数．求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；当时，求函数的值域．【答案】解：分的最小正周期为，令，得，，．故所求对称中心的坐标为，分，分，即的值域为分【解析】由向量的坐标运算可求得，从而可求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；由可得，从而可求得函数的值域．本题考查平面向量数量积的运算，考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的定义域和值域及其周期，属于三角中的综合，考查分析问题、解决问题的能力．22.已知函数，．Ⅰ若在上存在零点，求实数a的取值范围；Ⅱ当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ：因为函数的对称轴是，所以在区间上是减函数，因为函数在区间上存在零点，则必有：即，解得，故所求实数a的取值范围为．Ⅱ若对任意的，总存在，使成立，只需函数的值域为函数的值域的子集．，的值域为，下求的值域．当时，为常数，不符合题意舍去；当时，的值域为，要使，需，解得；当时，的值域为，要使，需，解得；综上，m的取值范围为．【解析】在上单调递减函数，要存在零点只需，即可存在性问题，只需函数的值域为函数的值域的子集即可．本题主要考查了函数的零点，值域与恒成立问题．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(附解答)
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设U=R，A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩∁U B=（）A. B. C. D.2.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A. B. C. D.3.已知0＜a＜1，则log2a，2a，a2的大小关系是（）A. B. C. D.4.如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.函数f（x）=ln x+2x-6的零点x0所在区间是（）A. B. C. D.6.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，7.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为（）A.B. 2C.D.8.若函数f（x）的图象和g（x）=ln（2x）的图象关于直线x-y=0对称，则f（x）的解析式为（）A. B. C.D.9.已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A.B.C.D.10.过点M（1，2）的直线l与圆C：（x-2）2+y2=9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A. B. C. D.11.在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB CD的是（）A. 且B. 且C. 且D. 且12.已知函数，若|f（x）|≥ax，则a取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.点（1，1）到直线x+y-1=0的距离为______．14.已知f（x）是偶函数，当x＜0时f（x）=x（x+1）．则当x＞0时f（x）=______．15.则当（）时，．16.已知正三棱锥所有棱长均为，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+1}（1）当m=-2时，求∁R（A∪B）（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．18.如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．19.求圆心在直线l1：x-y-1=0上，与直线l2：4x+3y+14=0相切，截直线l3：3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．21.某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f（x）表示学生注意力指标，该小组发现f（x）随时间x（分钟）的变化规律（f（x）越大，表明学生的注意力越集中）如下：，，＜，＜（a＞0，a≠1）若上课后第 5 分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由．（Ⅲ）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？22.已知函数f（x）=，g（x）=f（22x）（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）判断函数y=的奇偶性，并说明理由；（3）若方程g（x）-k+l=0有实数解，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：易知A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩C U B={x|0＜x≤1}，故选：C．利用对数函数的性质，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，利用指数函数的性质确定出集合B，由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合此题属于以其他不等式的解法为平台，考查了交、并、补集的混合运算，是高考中常考的基本题型．2.【答案】B【解析】解：A．y=是奇函数，则定义域内不具备单调性，不满足条件．B．y=-x3是奇函数，则（-∞，+∞）上是减函数，满足条件．C．y=（）x是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=-|x|是偶函数，不满足条件．故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性判断，根据常见函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵0＜a＜1，则log2a＜0，2a＞1，a2∈（0，1）．∴log2a＜a2＜2a，故选：A．由0＜a＜1，可得log2a＜0，2a＞1，a2∈（0，1）．即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=-x-，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴-＞0，-＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D．先把Ax+By+C=0化为y=-x-，再由AB＜0，BC＜0得到-＞0，-＞0，数形结合即可获取答案本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题5.【答案】C【解析】解：∵连续函数f（x）=lnx+2x-6是增函数，∴f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0，∴f（2）•f（3）＜0，故函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3），故选：C．判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，A答案中：若l∥m，lα，则mα，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故A答案的情况不可能出现．B答案中：若l m，lα，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故B答案的情况不可能出现．D答案中：若l∥m，l∥α，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故D答案的情况不可能出现．故A，B，D三种情况均不可能出现．故选：C．本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，由m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，则若l∥m，lα，则mα，这与m是平面α的一条斜线矛盾；若l m，lα，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；若l∥m，l∥α，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故A，B，D三种情况均不可能出现．分析后即可得到答案．要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．7.【答案】D【解析】解：将圆x2+y2-4y=0的方程可以转化为：x2+（y-2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，∵直线的倾斜角为，作AN垂直直线l于N，如图在中，,∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=，∴弦长2，故选D．本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2-4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．8.【答案】B【解析】解：由题可知，y=f（x）与y=g（x）互为反函数，因为y=g（x）=ln（2x），所以x=ln（2y），即2y=e x，所以y=f（x）=e x，故选：B．利用反函数的概念及指对互化可得结论．本题考查函数解析式的求法及常用方法，考查反函数的概念，考查指对互化，注意解题方法的积累，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，面积是=，三棱锥的高是1，∴三棱锥的体积是=cm3，故选：C．由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，做出面积三棱锥的高是1，根据三棱锥的体积公式得到结果．本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高．本题是一个基础题．10.【答案】D【解析】解：如图，把点M（1，2）代入圆的方程左边得：（1-2）2+22=5＜9，所以点M（1，2）在圆的内部，要使过M的直线交圆后得到的∠ACB最小，也就是过M的直线交圆所截得的弦长最短，即当CM l时弦长最短，∠ACB最小，设此时直线l的斜率为k，∵，由k•k CM=-1，得：-2k=-1，所以，．∴l的方程为：，即x-2y+3=0．经验证可知，点M在圆的内部，要使过点M的直线交圆后所得的圆心角最小，则直线交圆所得的劣弧最短，也就是弦长最短，此时直线与过圆心及M点的连线垂直，根据斜率之积等于-1求出直线的斜率，由点斜式可得所求的直线方程．本题考查了圆的标准方程，考查了直线和圆的位置关系，过⊙C内一点M作直线l与⊙C交于A、B两点，则弦AB的长最短⇔弦AB对的劣弧最短⇔弦对的圆心角最小⇔圆心到直线l的距离最大⇔CM l⇔弦AB的中点为M，此题是中档题．11.【答案】D【解析】解：①∵AB BD，AB BC，BD∩BC=B，∴AB面BCD，∵CD⊂面BCD，∴AB CD，②设A在面BCD射影为O，AO面BCD，∵AD BC，AC BD，∴O为△BCD的垂心连接BO，则BO CD，AO CD∴CD面ABO．∵AB⊂面ABO．∴AB CD，③取CD中点G，连接BG，AG，∵AC=AD且BC=BD，∴CD BG，CD AG，∵BG∩AG=G，∴CD面ABG，∵AB⊂面ABG∴AB CD，综上选项A，B，C能够得出AB CD，故选：D在几何体中选取边长的中点，运用等腰三角形的性质，直线平面的垂直，平面与平面的垂直问题判断即可得出答案．本题综合考查了空间几何体中点直线，平面的垂直问题，关键是利用平面几何知识，空间直线平面的性质定理，判定定理转化直线的位置关系判断即可．12.【答案】A【解析】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据-x2+3x的取值为（-∞，0]，|f（x）|=x2-3x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x-3，即a≥-3．综上可得，a的取值为[-3，0]，故选：A．①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2-3x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】解：利用点到直线的距离可得：d==．故答案为：．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】x2-x【解析】解：设x＞0，则-x＜0，适合已知条件下的表达式，所以f（-x）=-x（-x+1）=x（x-1）=x2-x，又因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x）=x2-x故答案为：x2-x先设x＞0，则-x＜0，适合已知条件下的表达式，故f（-x）=-x（-x+1），再根据f （x）是偶函数可得到答案．本题主要用奇偶性求函数在对称区间上的解析式，属于中档题．具体解法分两歩（1）在欲求区间上设自变量x，则其对称区间上的-x符合已知条件的表达式，使用这个表达式；（2）利用奇偶性将所得表达式进行化简，对称到欲求区间上，从而得到要求的表达式．15.【答案】3【解析】解：由表格可知：f（1）=2，∵f[g（x）]=2，∴g（x）=1，而g（3）=1，∴x=3．故答案为3．利用函数的定义即可得出．本题考查了函数的定义，属于基础题．16.【答案】3π【解析】解：构造一个各棱长为1的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱为，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．此球的直径为正方体的体对角线，即，所以该球表面积S=4πR2==3π．故答案为：3π．构造一个各棱长为1的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱为，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．由此能求出该球表面积．本题考查球的表面积的求法，考查正方体、正四面体、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：（1）当m=-2时，集合B={x|-2≤x≤-1}，因为集合A={x|-1≤x≤2}，所以A∪B={x|-2≤x≤2}，从而C R（A∪B）={x|x＜-2或x＞2}．（2）因为集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+1}且B⊆A，所以，解之得-1≤m≤1，即实数m的取值范围是{m|-1≤m≤1}．【解析】（1）当m=-2时，集合B={x|-2≤x≤-1}，再由集合A={x|-1≤x≤2}，先求出A∪B，由此能求出C R（A∪B）．（2）由集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+1}且B⊆A，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．本题考查并集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、补集、子集定义的合理运用．18.【答案】解：（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2）-------------（2分）且k CE=-=1，-----------------------（4分）∴CE所在直线方程为y-2=x-3，即x-y-1=0．----------（6分）（II）由得C（4，3），-----------（8分）∴|AC|=|BC|=，AC BC，---------------------（10分）∴S△ABC=|AC|•|BC|=2．----------------（12分）【解析】（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2），利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（II）由得C（4，3），利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了斜率计算公式、点斜式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：由题意，设圆心为C（a，a-1），半径为r，则点C到直线l2的距离是d1==；--------（3分）点C到直线l3的距离是d2==；--------（6分）由题意，得，------------（8分）解得a=2，r=5，-----------（10分）即所求圆的方程是：（x-2）2+（y-1）2=25．-------（12分）【解析】根据题意设圆心为C（a，a-1），半径为r，利用点到直线的距离以及勾股定理求出圆心与半径即可．本题考查了直线与圆的应用问题，是中档题．20.【答案】解（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG平面ABCD，且EG=PA．在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，∴AP=AB=，EG=．∴S△ABC=AB•BC=××2=，∴V E-ABC=S△ABC•EG=××=．【解析】（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可．（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．只需求出底面△ABC的面积，再求出E到底面的距离，即可．本题考查棱锥的体积，只需与平面平行，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即100•a-60=140，解得，a=4；（Ⅱ）f（5）=140，f（35）=-15×35+640=115，由于f（5）＞f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（Ⅲ）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；③当20＜t≤40时，-15t+640≥140，故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持-5=分钟．【解析】（Ⅰ）由题意，100•a-60=140，从而求a的值；（Ⅱ）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=-15×35+640=115，从而可得答案；（Ⅲ）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．22.【答案】证明：（1）∵函数f（x）=，∴f′（x）=，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）函数y==为偶函数．理由如下：当令h（x）==则h（-x）====h（x），故函数y==为偶函数．（3）当x≥0时，g（x）=f（22x）==1-为增函数，g（x）∈[0，1）且g（-x）=-g（x），即g（x）为奇函数．故g（x）∈（-1，1）若方程g（x）-k+l=0有实数解，则k-1∈（-1，1）即k∈（0，2）【解析】（1）求导，分析导数的符号，可得函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）函数y=为偶函数，利用奇偶性的定义，可以判断；（3）若方程g（x）-k+l=0有实数解，则k-1∈（-1，1），进而得到答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷含解答
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁U B）=（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B. C. R D.3.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与4.已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=-，则x的值为( ）A. 5B.C. 4D.5.已知a=0.70.8，b=log20.8，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.6.设函数y=x3与y=（）x-2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A. B. C. D.7.已知tanα=3，则2sin2α+4sinαcosα-9cos2α的值为（）A. 3B.C.D.8.若两个非零向量，满足|+|=|-|=2||，则向量+与-的夹角是（）A. B. C. D.9.已知函数y=f（x）是（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.10.已知函数f（x）=x-[x]，x∈R，其中[x]表示不超过x的最大整数，如，，，则f（x）的值域是（）A. B. C. D.11.函数y=2x-x2的图象大致是（）A. B.C. D.12.定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A. 335B. 338C. 1678D. 2012二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.已知tan x=2，求cos2x=______．14.已知函数＞若f（x）=2，则x=______．15.把函数y=3sin2x的图象向左平移个单位得到图象的函数解析是______．16.有下列五个命题：①函数f（x）=a x-1+3（a＞0，a≠1）的图象一定过定点P（1，4）；②函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（2，4）；③已知f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=8，则f（2）=-8；④函数y=log（-x2-2x+3）的单调递增区间为（-1，+∞）．其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74.0分）17.已知集合A={x|1≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．18.已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（，）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=-1，求的值．19.已知二次函数f（x）=x2-16x+q+3：（1）若函数的最小值是-60，求实数q的值；（2）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围．20.辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章1y x（单位：天）的数据如下：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y=ax+b；②y=ax2+bx+c；③y=a log b x．（2）利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．21.已知：=（2cos x，sin x），=（cos x，2cos x）．设函数f（x）=-（x∈R）求：（1）f（x）的最小正周期；（2）f（x）的单调递增区间；（3）若-=，且∈，，求α．22.设函数f（x）=log2+log2（x-1）+log2（p-x）．（1）求函数的定义域；（2）当p＞3时，问f（x）是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选D．由题意全集U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，可以求出集合C U B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2.【答案】B【解析】解：∵函数，∴应满足，解答x≥-2，且x≠1，即定义域为[-2，1）（1，+∞）．故选：B．根据题意，函数解析式的分母不为0，且二次根式的被开方数大于或等于0，解出即可．本题考查了求函数定义域的问题，求定义域即是求使函数解析式成立的自变量的取值范围，是基础题．3.【答案】C【解析】解：要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域，观察四个选项，得到A答案中两个函数的对应法则不同，B选项中两个函数的定义域不同，C选项中两个函数相同，D选项中两个函数的定义域不同，故选C．要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域，观察四个选项，得到有一组函数的对应法则不同，有两组函数的值域不同，只有C选项，整理以后完全相同．本题考查判断两个函数是否为同一个函数，这种题目一般从三个方面来观察，绝大部分题目是定义域不同，有一小部分是对应法则不同，只有极个别的是值域不同．4.【答案】D【解析】【分析】由P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=-，利用任意角的三角函数的定义可得cosθ==-，即可求出x的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【解答】解：∵P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=-，∴cosθ==-，∴x=-4．故选：D．5.【答案】B【解析】解：∵0＜a=0.70.8＜0.70=1，b=log20.8＜log21=0，c=1.10.8＞1.10=1，∴b＜a＜c．故选：B．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．6.【答案】B【解析】解：∵y=（）x-2=22-x令g（x）=x3-22-x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．故选：B．根据y=x3与y=（）x-2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3-22-x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3-22-x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理．考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解．7.【答案】B【解析】解：因为tanα=3，则=．故选B利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为sin2α+cos2α，然后给分子分母求除以cos2α，把原式化为关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．此题是一道基础题，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值的能力，做题的突破点是“1”的灵活变形．8.【答案】C【解析】解：依题意，∵|+|=|-|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==-，所以向量与的夹角是，故选C利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角．9.【答案】C【解析】解：对于A，由于不能确定sinA、sinB的大小，故不能确定f（sinA）与f（sinB）的大小，可得A不正确；对于B，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴A+B＞，得A＞-B注意到不等式的两边都是锐角，两边取正弦，得sinA＞sin（-B），即sinA＞cosB∵f（x）定义在（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上单调递增∴f（x）在（0，1）上是减函数由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正确对于C，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴B+C＞，得C＞-B注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦，得cosC＜cos（-B），即cosC＜sinB∵f（x）在（0，1）上是减函数由cosC＜sinB，可得f（cosC）＞f（sinB），得C正确；对于D，由对B的证明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正确故选：C由于f（x）定义在（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上单调递增，可得f（x）在（0，1）上是减函数．而锐角三角形中，任意一个角的正弦要大于另外角的余弦，由此对题中各个选项依此加以判断，可得本题的答案．本题给出抽象函数，求用锐角三角形的内角的正、余弦作为自变量时，函数值的大小关系．着重考查了函数的单调性、奇偶性和锐角三角形中三角函数值的大小比较等知识，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵[x]是不超过x的最大整数，f（x）=x-[x]，∴函数f（x）的定义域是R，∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，即f（x）的值域是[0，1）；故选：C．由[x]是不超过x的最大整数，f（x）=x-[x]的定义域是R，从而得出值域．本题考查了新定义的函数的值域问题，解题时要充分理解[x]的含义，以便正确解答．11.【答案】A【解析】解：分别画出函数f（x）=2x（红色曲线）和g（x）=x2（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，f（x）与g（x）有3个交点，所以y=2x-x2=0，有3个解，即函数y=2x-x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，当x=-3时，y=2-3-（-3）2＜0，故排除D故选：A．根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D本题主要考查了函数图象的问题，关键是理解函数图象的交点和方程的解得个数的关系，排除是解决选择题的常用方法，属于中档题12.【答案】B【解析】解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当-1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（-1）=-1=f（5），f（0）=0=f（6）；当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，∴f（3）=f（-3）=-（-3+2）2=-1，f（4）=f（-2）=-（-2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2-1+0+（-1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故选：B．由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f （1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵tanx=2，∴cos2x===；所以cos2x=2cos2x-1=2×-1=-故答案为-已知tanx=2，根据弦切互化公式得cos2x===；而cos2x=2cos2x-1，代入求出值即可．考查学生会进行弦切互化，会化简二倍角的余弦，整体代入思想的运用能力．14.【答案】log32【解析】解：由⇒x=log32，无解，故答案：log32．要求若f（x）=2时，对应自变量x的值，我们可根据构造方程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案．本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值．属于基础知识、基本运算的考查．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．15.【答案】y=3sin（2x+）【解析】解：函数y=3sin2x的图象向左平移个单位得到图象的解析式为y=3sin2（x+），即y=3sin（2x+）．故答案为：y=3sin（2x+）．直接利用三角函数图象的平移得答案．本题考查了三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．16.【答案】①【解析】解：对于①，∵f（1）=4，函数f（x）=a x-1+3（a＞0，a≠1）的图象一定过定点P（1，4），故①正确；对于②，函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（0，2），故②错；对于③．已知f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=8，则f（2）=-24，故③错；对于④，函数y=log（-x2-2x+3）的单调递增区间为（-1，1），故④错．故答案为：①①，利用f（1）=4，可以判定；②，函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（0，2）；③．利用f（x）+8=x5+ax3+bx，可得f（2）=-24；④，函数y=log（-x2-2x+3）的单调递增区间为（-1，1）．本题考查了命题真假判定，涉及到函数的知识，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵集合A={x|1≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，全集为实数集R．∴A B={x|1≤x＜10}，C R A={x|x＜1或x≥7}，（∁R A）∩B={x|7≤x＜10}．（2）∵集合A={x|1≤x＜7}，C={x|x＜a}，A∩C≠∅，∴a＞1．∴a的取值范围是{a|a＞1}．【解析】（1）利用并集能求出A B，先求出C R A，由此能求出（∁R A）∩B．（2）由集合A={x|1≤x＜7}，C={x|x＜a}，A∩C≠∅，能求出a的取值范围．本题考查并集、补集、交集、实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、补集、交集的合理运用．18.【答案】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵∈，．∴ ．（2）∵，∴（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=-1，∴∴ ，∴．【解析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值，根据α的范围求得α．（2）根据向量的基本运算根据求得sinα和cosα的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由可确定答案．本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题．三角函数与向量的综合题是高考的重点，每年必考的，一定多复习．19.【答案】解：（1）二次函数f（x）=x2-16x+q+3=（x-8）2+q-61，函数的最小值是-60，当x=8时，取得最小值，即q-61=-60，解得q=1，（2）二次函数f（x）=x2-16x+q+3的对称轴是x=8，∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴函数在区间[-1，1]上存在零点，∴f（-1）f（1）≤0，∴（1+16+q+3）（1-26+q+3）≤0，解得-20≤q≤12，故q的范围为[-20，12]．【解析】（1）二次函数f（x）=x2-16x+q+3=（x-8）2+q-61，根据函数的最小值是-60，即可求出q的值（2）根据解析式判断f（x）在区间[-1，1]上递减，由函数零点的几何意义知f（-1）f（1）≤0，再代入方程后求不等式得解集，即是p的范围；本题考查了函数零点的几何意义和在给定区间上求二次函数的值域，属于中档题20.【答案】解：（1）∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+b 和y=a log b x显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入y=ax2+bx+c中，得解得，b=-10，c=126∴y=x2-10x+126=（x-20）2+26，∴当x=20时，y有最小值y min=26．【解析】（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论；（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入y=ax2+bx+c中，求出函数解析式，利用配方法，即可求出辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．21.【答案】解：====（1）函数f（x）的最小正周期最小正周期为（2）由得∴ ，∈∴函数f（x）的单调增区间为，，（k∈Z）（3）∵，∴∴，∴∵∈，，∴∈，，∴或，∴或（13分）【解析】利用向量的数量积公式求出f（x），利用三角函数的二倍角公式及公式化简三角函数（1）利用y=Asin（ωx+φ）+k的周期公式T=求出三角函数的周期．（2）利用整体思想令整体角在正弦的单调递增区间上，解出x的范围即为函数的单调递增区间．（3）令f （x ）的x 用自变量代替，利用特殊角的三角函数值求出角． 本题考查向量的数量积公式、利用三角函数的二倍角公式及公式化简三角函数三角函数的周期公式、整体处理的思想．22.【答案】解：（1）由题意得： ＞＞ ＞，解得 ， ①当p ≤1时，①不等式解集为∅；当p ＞1时，①不等式解集为{x |1＜x ＜p }，∴f （x ）的定义域为（1，p ），（p ＞1）；（2）原函数即f （x ）=log 2[（x +1）（p -x ）]=log 2[- + ]， 即p ＞3时，函数f （x ）有最大值2log 2（p +1）-2，但无最小值．【解析】（1）得到关于x 的不等式组，通过讨论p 的范围，求出函数的定义域即可； （2）结合二次函数的性质求出函数f （x ）的最大值即可．本题考查了对数函数的性质，考查函数的定义域以及函数的最值问题，是一道中档题．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题附解析
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合1，3，，集合1，，则以下选项正确的是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：集合1，3，，集合1，，不正确，是元素与集合之间的关系，故A不正确，不正确，集合N中的元素不都是集合M中的元素，故B不正确，对于C，1，3，，1，，，故C正确，对于D，1，3，，1，，，1，3，，故D不正确．故选：C．由元素与集合之间的关系，判断A不正确，由集合N中的元素不都是集合M中的元素，判断B不正确，再由交集以及并集运算判断C，D则答案可求．本题考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．2.若点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是b，、f，，则c与e的和为A. 7B.C.D. 1【答案】D【解析】解：点关于坐标平面xoy的对称点为，点关于y轴的对称点的坐标，点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是b，、f，，，，，故选：D．点关于坐标平面xoy的对称点为，点关于y轴的对称点的坐标，求出c与e的值，即可求得c与e的和．本题主要考查求空间中的一个点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标的求法，属于基础题．3.圆与圆的位置关系是A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】C【解析】解：圆即，表示以为圆心、半径等于3的圆．圆即，表示以为圆心、半径等于2的圆．由于两圆的圆心距，故MN等于它们的半径之和，故两圆相外切，把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距MN等于两圆的半径之和，可得两圆相外切．本题主要考查圆的标准方程，圆与圆的位置关系的判定，属于中档题．4.已知过点和点的直线为，：，：若，，则实数的值为A. B. C. 0 D. 8【答案】A【解析】解：，，解得．又，，解得．．故选：A．利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出．本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.设函数，则满足的x的值是A. 2B. 16C. 2或16D. 或16【答案】B【解析】解：当时，由，可得舍当时，由可得，故选：B．要求x的值，利用，而的表达式的求解需要根据已知条件分，两种情况中的范围代入相应的解析式求值即可本题考查分段函数求值及指数函数与对数函数的基本运算，对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高．6.已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，，且，，函数与函数在同一坐标系中的图象可能是，根据a与b的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断即可确定出其图象．此题考查了指数函数与对数函数的图象，熟练掌握指数、对数函数的图象与性质是解本题的关键．7.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：异面直线BD与AC所成角为；；三棱锥是正三棱锥；平面ADC和平面ABC垂直．其中正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由已知条件知，，所以即为二面角的平面角，又因为和互相垂直，所以，又因为，所以，所以正确因为，，所以面ACD，所以，所以正确．由正确知错误．故选：A．由已知条件知即为二面角的平面角，故，故正确．本题考查立体中的折叠问题属于简单题．8.函数的递减区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：当时，，对称轴为，此时为增函数，当时，，对称轴为，抛物线开口向下，当时，为减函数，即函数的单调递减区间为，故选：C．讨论或，结合二次函数的单调性进行判断即可．本题主要考查函数单调区间的求解，结合二次函数的单调性是解决本题的关键．9.设a、b两条不同的直线，、是两个不重合的平面，则下列结论中正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】解：由a、b两条不同的直线，、是两个不重合的平面，知：在A中，若，，则或，故A错误；在B中，若，，则a与相交、平行或，故B错误；在C中，若，，则由面面垂直的判定定理得，故C错误；在D中，若，，，则由面面平行的判定定理得，故D正确．故选：D．在A中，或；在B中，a与相交、平行或；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积为A. 120B. 80C. 100D. 60【答案】C【解析】解：由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，如图：所以几何体的体积为；故选：C．由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，画出图形，明确对应数据，计算体积即可．本题考查了由几何体的三视图求对应几何体的体积；正确还原几何体是解答的关键．11.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为A. 或B. 或C. 或D.【答案】A【解析】解：由题知：圆心，半径为2．因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，，由，得或．故选：A．利用直线被圆截得的弦长为，得到圆心到直线的距离为，求出k，即可求出直线的倾斜角．本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的倾斜角，考查学生的计算能力，属于中档题．12.方程的根为，方程的根为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：方程即为，方程即为，分别作出，的图象，可得它们关于直线对称，作出直线，可得与直线垂直，可得交点和关于直线对称，可得，，且，则，可得，故选：C．由题意可得方程即为，方程即为，分别作出，的图象，可得它们关于直线对称，即有，，再由对称点均在直线上，可得所求和．本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，注意运用对称性，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.______．【答案】【解析】解：原式．故答案为：进行对数的运算即可．考查对数的定义，以及对数的运算性质．14.有一个用橡皮泥制作的半径为4的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面半径是______．【答案】【解析】解：由已知可得球的体积为．设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆柱和圆锥的体积和为，解得，故答案为：．由已知可得球的体积，设圆柱和圆锥的底面半径为r，再由体积相等列式求解．本题考查多面体及旋转体体积的求法，是基础的计算题．15.已知两条直线：：、：，若与间的距离是，则______．【答案】3【解析】解：两条直线：：、：，与间的距离是，，由，解得．故答案为：3．利用两平行线间的距离公式能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P使得，则m的最大值为______．【答案】6【解析】解：圆C：的圆心，半径，设在圆C上，则，，，，，，的最大值即为的最大值，等于．故答案为：6．C：的圆心，半径，设在圆C上，则，，由已知得，m的最大值即为的最大值．本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知指数函数，当时，有，若不等式解集为A，函数的值域为B．用区间表示集合A；当时，求m的取值范围．【答案】解：根据题意，指数函数，当时，有，则，函数为减函数，则，解可得，则；，则，当，则，必有，解可得，即m的取值范围为．【解析】根据题意，结合指数函数的性质可得，则函数为减函数，进而分析可得，解可得x的取值范围，用区间表示即可得答案；根据题意，求出集合B，由集合间关系可得，则，分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查集合间的计算，关键是求出集合A、B，属于基础题．18.已知的三个顶点是，，，直线l过C点且与AB边所在直线平行．求直线l的方程；求的面积．【答案】解：由题意可知：直线AB的斜率为：，，直线l的斜率为，直线l的方程为：，即．，点C到直线AB的距离d等于点A到直线l的距离，，的面积．【解析】先求出直线AB的斜率为，由，得到直线l的斜率为，由此能求出直线l的方程．先求出，再由点C到直线AB的距离d等于点A到直线l的距离，由此能求出的面积．本题考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.已知一次函数满足，且．求函数的解析式；设，若，求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是减函数．【答案】解：由一次函数设，代入，所以，，，代入，得，，，则的解析式为．，，证明：在上任取，因为，，，，所以函数在上是减函数．【解析】设出一次函数的方程，代入求得a．把代入求值，用定义证明在的单调性．本题考查求函数解析式的方法和用定义证明函数单调性，属于中档题20.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，E，F分别是PB，PD的中点，．求证：平面ABCD；求证：平面平面PCD．【答案】解：证明：连接BD，因为E，F分别是PB，PD的中点，所以分又因为平面ABCD，平面ABCD，分所以平面分证明：因为，F为PD中点所以．又因为ABCD是矩形，所以．因为底面ABCD，所以．因为，所以平面分因为平面PAD，所以．又因为，所以平面分又因为平面AEF，所以平面平面PCD分【解析】连接BD，证明，然后利用直线与平面平行的判断定理证明平面ABCD．证明证明推出平面得到即可证明平面PCD，然后证明平面平面PCD．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．21.已知和，若AB为圆C的直径的端点．求圆C的方程；求过点且与圆C相切的直线方程；若圆C关于直线对称，则由点作圆的切线，求切线长度的最小值．【答案】解：，圆C的半径圆C的方程为：；，点在圆C上，，切，切线方程：，即；圆C关于直线对称，直线过圆心C，，，圆心到点的距离平方切线长度为当时，切线长度的最小值为4．【解析】求出圆心坐标和半径即可；首先判断点在圆上，求直线斜率即可；由直线过圆心C得a、b的数量关系，代入切线长度中转化为二次函数求最值．本题考查了圆的方程，切线方程，切线长的最值问题，转化为二次式求最值是关键，属中档题．22.已知函数的图象过点Ⅰ求实数k的值；Ⅱ若不等式恒成立，求实数a的取值范围；Ⅲ若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：函数的图象过点可得，即有，解得；由知，恒成立，即恒成立令，则命题等价于，而在R上单调递增，可得，则；，可得，令，，可得，可得，，当时，对称轴，当时，函数y在递增，，解得，不符舍去；当时，函数y在递减，可得y的最小值为，解得，不符舍去；当时，函数y的最小值在区间的两端，即或，解得或，当时，，时，取得最大值；当时，在上的最小值为，综上可得m的值为，符合题意．【解析】Ⅰ运用对数的运算性质即可得证；Ⅱ由题意可得恒成立令，运用单调性求得的最小值，可得a的范围；Ⅲ可得，令，，可得，可得，，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_4
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）1.已知集合，，则等于（）A. B. {2} C. {4} D. {2,4}【答案】D【解析】【分析】通过解一元二次方程，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知且，则角的终边所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】利用三角函数的定义，可确定且，进而可知所在的象限，得到结果.【详解】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B.【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.3.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（-x）=-f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=f（x），为偶函数．故选C．4.在同一直角坐标系中，与的图像可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由递增排除，由递减排除选项，从而可得结果．【详解】因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项；的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.已知，那么“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由，因为的正负性不明确，故不能由一定推出成立；由，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了指数函数和对数函数的单调性的应用.6.方程在区间[0,2π]上根的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】对方程进行恒等变形，转化为两个函数的图象的交点个数问题.【详解】当时方程不成立，图所示：可以发现有两个交点.故选：C【点睛】本题考查了方程解的个数问题，考查了转化思想，考查了数学结合思想.7.已知那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把原式变成分母为1的形式，并用替代，最后利用同角的三角函数的商关系求值即可.【详解】.【点睛】本题考查了同角的三角函数的平方和关系和商关系，考查了数学运算能力，考查了代数式恒等变换能力.8.某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大A. 16.5B. 19.5C. 21.5D. 22【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的数据可以得出日销售量与定价成一次函数关系，根据题意得到利润与定价的函数关系，最后求出最大值即可.【详解】由题目给的表中数量可以知道：定价每增加一元，日销售量减少40盒，所以设定价（元）与日销售量（盒）的函数关系式为：，任取表中两组数据，不妨取前二组，代入解析式中得：，设利润为（元），可知：根据二次函数的性质可知：当时，函数有最大值，即当这个餐厅每盒盒饭定价21.5元时，利润最大.故选：C【点睛】本题考查了数学建模思想，考查了二次函数的性质，考查了一次函数的性质，考查了数学运算能力.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9.等于_____.【答案】【解析】【分析】直接运用正弦的诱导公式，结合特殊角的正弦值求接求出即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了正弦的诱导公式，考查了特殊角的正弦值，属于基础题.10.的值等于________.【答案】3【分析】直接运用对数的运算性质求解即可.【详解】.故答案为：3【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.11.已知函数，那么当=________时，_函数的最小值为________.【答案】 (1). 2 (2). 4【解析】【分析】利用基本不等式可以直接求解即可.【详解】，当且仅当时取等号，即时，函数的最小值为4.故答案：2；4【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，属于基础题.12.函数的最大值为__________．【答案】3分析:利用复合函数的性质求已知函数的最大值.详解：由题得当=1时，函数取最大值2×1+1=3.故答案 3.点睛：本题主要考查正弦型函数的最大值，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.13.函数（）是区间上的增函数，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】函数（）的图象如图：由图像可知函数（）是区间上的增函数，则须．故答案为．【点睛】本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，解题时注意数形结合思想的应用14.已知函数. 给出下列结论：②函数在区间上增函数；③；④若则恒成立，则A的最小值为4.其中正确结论的序号是_____.（写出所有正确结论的序号）.【答案】①③④【解析】【分析】利用正弦型型函数的性质逐一判断即可.【详解】①:,所以函数是奇函数，故本结论正确；②：，所以函数在区间上是减函数，故本结论是错误的；③：，所以本结论是正确的；④：，所以A的最小值为4，所以本结论是正确的.故答案为：①③④【点睛】本题考查了正弦函数的性质，考查了绝对值的性质，属于基础题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知，且为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系式，结合已知，可以求出，的值（2）由（1）所求的值，根据诱导公式，最后代入求值即可.【详解】（1）因为，且为第三象限角，所以有所以，；（2）.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式，考查了诱导公式，考查了数学运算能力.16.已知，（1）当时，解不等式；（2）若，解关于x的不等式.【答案】（1）或；（2）见解析【解析】【分析】（1）直接按照解一元二次不等式的方法进行求解即可；（2）对不等式进行因式分解，然后分类讨论，求出不等式的解集.【详解】（1）因为，所以由所以，所以不等式的解为(2)因为，所以化为①时，②当时，；③当时，综上①时②当时，；③当时，.【点睛】本题考查了解一元二次不等式，考查了解含参的一元二次不等式，考查了分类讨论思想，考查数学运算能力.17.已知函数，.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求证：当时，.【答案】（1），，；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式、单调性直接求解即可；（2）根据正弦型函数的单调性求出函数的最小值即可证明出结论.【详解】（1）.所以函数的最小正周期为.令得，所以函数的单调减区间为，（2）因为，所以．当即时函数有最小值所以当时，【点睛】本题考查了正弦型函数的最小正周期公式、单调性，考查了数学运算能力.18.已知二次函数的图象经过三点.（1）求函数的解析式，并求的最小值；（2）是否存在常数，使得当实数满足时，总有恒成立，若存在求的值，不存在说明理由.【答案】（1），最小值；（2）存在，，理由见解析【解析】【分析】（1）设出二次函数的解析式，把三个点的坐标代入，通过解方程组求出系数、再对函数解析式进行配方即可求出最小值；（2）根据所给的等式，结合二次函数的解析式，最后可以求出的值.【详解】（1）解:的图象经过三点.设（）.将三点坐标代入，，可以解得所以，的最小值为.（2）解：存在因为，所以，又，所以，成立，当且仅当即【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，考查了二次函数的最小值求法，考查了等式恒成立问题，考查了数学运算能力.19.在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点,过做轴的垂线交轴于.(1) 求，；(2)求的面积.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出，根据三角函数的定义求出，再利用同角的三角函数的商关系求出的值；（2）根据题意，由诱导公式、三角函数的定义可以求出点的坐标，最后求出的面积.【详解】（1）由已知可得，，；(2) 因为 ,所以.所以的面积【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了同角的三角函数的商关系.20.定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．（1）下列函数①，②，③（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；（3）若为线周期函数，求的值.【答案】（1）③；（2）见解析；（3）1【解析】试题分析：（1）根据新定义判断即可，（2）根据新定义证明即可，（3）为线周期函数，可得存在非零常数，对任意，.．即可得到，解得验证即可．试题解析：（1）③；（2）证明：∵为线周期函数，其线周期为，∴存在非零常数，对任意，恒成立.∵,∴.∴为周期函数.（3）∵为线周期函数，∴存在非零常数，对任意，.∴．令，得；令，得；①②两式相加，得.∵，∴．检验：当时，．存非零常数，对任意，，∴为线周期函数，综上，.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
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2019-2020年高一上学期期末统考数学试题 含答案2017．1（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．4tan3π= ▲ ． 2．计算：2lg 2lg 25+= ▲ ．3．若幂函数()f x x α=的图象过点(4,2)，则(9)f = ▲ ． 4．已知角α的终边经过点(2,)(0)P m m >，且cos α=，则m = ▲ ． 5．在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将一根确定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ ．6．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4 cm ，则该扇形面积为 ▲ cm 2． 7．若3a b +=，则代数式339a b ab ++的值为 ▲ ．8．已知0.6log 5a =，452b =，sin1c =，将,,a b c 按从小到大的顺序用不等号“<”连接为 ▲ ．9．将正弦曲线sin y x =上所有的点向右平移23π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式y = ▲ ．10．已知函数()f x 为偶函数，且(2)()f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，1()()2x f x =，则7()2f =▲ ．11．已知21()ax x f x x++=在[2,)+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 是边CD 的中点，13D F D A=，若4A E B F ⋅=-，则EF DCBA（第12题）sin BAD ∠= ▲ ．13．已知12(1)()32(1)x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩，若对任意[0,]2πθ∈，不等式211(cos sin )032f θλθ+-+>恒成立，整数λ的最小值为 ▲ ．14．已知函数1()ln()f x a x =-（a R ∈）．若关于x 的方程ln[(4)25]()0a x a f x -+--=的解集中恰好有一个元素，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知全集U R =，集合{|27}A x x =≤<，3{|0log 2}B x x =<<，{|1}C x a x a =<<+． （1）求AB ，()U C A B ；（2）如果A C =∅，求实数a 的取值范围．16．（本题满分14分）已知：θ为第一象限角，(sin(),1)a θπ=-，1(sin(),)22b πθ=--．（1）若//a b ，求sin 3cos sin cos θθθθ+-的值；（2）若||1a b +=，求sin cos θθ+的值．17．（本题满分14分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P 和Q （万元），它们与投入资金m （万150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲，乙两种产品的投资金额不低于25万元．（1）设对乙产品投入资金x 万元，求总利润y （万元）关于x 的函数关系式及其定义域； （2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？18．（本题满分16分）已知函数)(0)4y x πωω=+>．（1）若4πω=，求函数的单调增区间和对称中心；（2）函数的图象上有如图所示的,,A B C 三点，且满足AB BC ⊥． ①求ω的值；②求函数在[0,2]x ∈上的最大值，并求此时x 的值．19．（本题满分16分）已知函数1()1x x e f x e -=+（e 为自然对数的底数，2,71828e =）．（1）证明：函数()f x 为奇函数；（2）判断并证明函数()f x 的单调性，再根据结论确定23(1)()4f m m f -++-与0的大小关系；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在定义域[,]a b 上的值域为[,]a b ke ke ．若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）设函数2()||2f x ax x b=-+（a，b R∈）．（1）当152,2a b=-=-时，解方程(2)0xf=；（2）当0b=时，若不等式()2f x x≤在[0,2]x∈上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a为常数，且函数()f x在区间[0,2]上存在零点，求实数b的取值范围．扬州市2016—2017学年度第一学期期末调研测试试题高 一 数 学 参 考 答 案 2017．11 2．2 3．3 4．1 5．3(,2)2 6． 1 7．278． a c b << 9．2sin(3)3πy x =- 10 11．1[,)4+∞ 12．4 13．1 14．(1,2]{3,4}15．解：（1）由30log 2x <<，得19x << ∴{|19}B x x =<<， ∴(1,9)AB =， ............4分(,2)[7,)U C A =-∞+∞，()(1,2)[7,9)U C A B =； ............8分（2）A C =∅ ∴12a +≤或7a ≥，解得：1a ≤或7a ≥． ............14分16．解：（1）(sin(),1)(sin ,1)a θπθ=-=-，1(cos ,)2b θ=-//a b ∴1cos sin 02θθ-=， 化简得：tan 2θ=（不求也可以）， ...........4分∴sin 3cos tan 35sin cos tan 1θθθθθθ++==-- ...........7分（2）||1a b += ∴21(sin cos )14θθ-++=，则1sin cos 8θθ= ............11分25(sin cos )12sin cos 4θθθθ∴+=+=θ为第一象限角 sin 0,cos 0θθ∴>>，则sin cos θθ+=............14分 17．解：（1）对乙产品投入资金x 万元，则对甲产品投入资金（150x -）万元；所以11(150)657619133y P Q x x =+=-+++-+， ............5分2515015025150x x ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，解得：25125x ≤≤，∴其定义域为[25,125]； ............7分（2）令t 则[5,5]t ∈，则原函数化为关于t 的函数：21()41913h t t t =-++，t ∈ .............10分 所以当6t =，即36x =时，max max ()(6)203y h t h ===（万元）答：当对甲产品投入资金114万元，对乙产品投入资金36万元时，所得总利润最大，最大利润为203万元． .............14分 18．解：（1）3sin()44y x ππ=+．22,2442k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，解得：3818,k x k k Z -+≤≤+∈∴函数的单调增区间为[38,18]()k k k Z -++∈； .............4分,44x k k Z πππ+=∈ 14,x k k Z ∴=-+∈ ∴函数的对称中心为(14,0)()k k Z -+∈.............8分（2）①由图知：点B 是函数图象的最高点，设0(B x ，函数最小正周期为T ，则003(,0),(,0)44T T A x C x -+ 3(,3),(3)44TTAB BC ∴==， ............10分 AB BC ⊥ 233016AB BC T ∴⋅=-=，解得：4T = 242ππω∴==． ............12分②[0,2]x ∈ 5[,]2444x ππππ∴+∈ s i n (),1]24x ππ∴+∈∴函数在[0,2] ............14分 此时2,242x k k Z ππππ+=+∈，则14,2x k k Z =+∈； [0,2]x ∈ 12x ∴=............16分 19．解：（1）函数()f x 定义域为R ， .............1分对于任意的x R ∈，都有11()()11x x x xe ef x f x e e -----===-++，所以函数()f x 为奇函数． .............4分 （2）在R 上任取12,x x ，且12x x <， 1212121212112()()()11(1)(1)x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++12x x < 120x x e e ∴<<12120,10,10x x x x e e e e ∴-<+>+>12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x < ()f x ∴为R 上的增函数 .............7分221331()244m m m -+=-+≥23(1)()4f m m f ∴-+≥223333(1)()(1)()()()04444f m m f f m m f f f ∴-++-=-+-≥-=. ............10分（3）()f x 为R 上的增函数且函数()f x 在定义域[,]a b 上的值域[,]a b ke ke∴0k >且()()a bf a ke f b ke⎧=⎨=⎩ 11x x x e ke e -∴=+在R 上有两个不等实根； .............12分 令,(0,)x t e t =∈+∞且单调增，问题即为方程2(1)10kt k t +-+=在(0,)+∞上有两个不等实根， 设2()(1)1h t kt k t =+-+，则2(1)4010(0)10k k k k h ⎧-->⎪-⎪->⎨⎪=>⎪⎩，解得：03k <<-． .............16分 20．解：（1）当152,2a b =-=-时，2()|2|15f x x x =+-，所以方程即为：|2(22)|150x x +-= 解得：23x =或25x =-（舍），所以2log 3x =； .............3分 （2）当0b =时，若不等式||2x a x x -≤在[0,2]x ∈上恒成立；当0x =时，不等式恒成立，则a R ∈； .............5分 当02x <≤时，则||2a x -≤在(0,2]上恒成立，即22x a -≤-≤在(0,2]上恒成立， 因为y x a =-在(0,2]上单调增，max 2y a =-，min y a >-，则222a a -≤⎧⎨-≥-⎩，解得：02a ≤≤；则实数a 的取值范围为[0,2]； .............8分 （3）函数()f x 在[0,2]上存在零点，即方程||2x a x b -=-在[0,2]上有解； 设22()()()x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩当0a ≤时，则2(),[0,2]h x x ax x =-∈，且()h x 在[0,2]上单调增，所以min ()(0)0h x h ==，max ()(2)42h x h a ==-，则当0242b a ≤-≤-时，原方程有解，则20a b -≤≤；............10分当0a >时，22()()()x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩，()h x 在[0,]2a 上单调增，在[,]2aa 上单调减，在[,)a +∞上单调增； ① 当22a≥，即4a ≥时，max min ()(2)24,()(0)0h x h a h x h ==-==，则当0224b a ≤-≤-时，原方程有解，则20a b -≤≤；② 当22a a <≤，即24a ≤<时，2max min ()(),()(0)024a a h x h h x h ====，则当2024a b ≤-≤时，原方程有解，则208a b -≤≤；③当02a<<时，2max min()max{(),(2)}max{,42},()(0)024a ah x h h a h x h==-==，当2424aa≥-，即则42a-+<时，2max()4ah x=，则当2024ab≤-≤时，原方程有解，则28ab-≤≤；当2424aa<-，即则04a<<-+max()42h x a=-，则当0242b a≤-≤-时，原方程有解，则20a b-≤≤；...........14分综上，当4a<-+b的取值范围为[2,0]a-；当44a-+≤<时，实数b的取值范围为2[,0]8a-；当4a≥时，实数b的取值范围为[2,0]a-．.....................................16 分。