转动惯量(指导书)

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转动惯量(指导书)

转动惯量指导书力学实验室2016年3月转动惯量的测量【预习思考】１．转动惯量的定义式是什么？２．转动惯量的单位是什么？３．转动惯量与质量分布的关系？４．了解单摆中摆长与周期的关系？５．摆角对周期的影响。

【仪器照片】【原理简述】1、转动惯量的定义构件中各质点或质量单元的质量与其到给定轴线的距离平方乘积的总和，即（1）转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。

刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。

图1电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。

在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。

2、转动惯量的公式推导测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。

本实验采用的是三线摆，是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是无力图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。

这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义本实验的目的就是要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法，并验证转动惯量的平行轴定理。

两半径分别为和（>）的刚性均匀圆盘，用均匀分布的三条等长的无弹性、无质量的细线相连，半径为的圆盘在上，作为启动盘，其悬点到盘心的距离为；半径为的圆盘在下，作为悬盘，其悬点到盘心的距离为。

将启动盘固定，则构成一振动系统，称为三线摆（图2）。

当施加力矩使悬盘转过角后，悬盘将绕中心轴做角简谐振动。

图2如图2所示，当悬盘转过角时，悬线点上升到，悬盘上升高度为。

则（2）(3)可得：（4）当很小时，括号中第二项远小于1，作近似（5）式中，为两盘静止时的垂直距离，和均为时间的函数。

因系统遵从机械能守恒，则对悬盘有下式（6）式中，为悬盘转到角时上升的高度，为悬盘上升的最大高度，是悬盘的质量，是悬盘绕中心轴的转动惯量，是悬盘转至角、上升至时的角速度，是悬盘的上升速度。

大学物理-转动惯量讲义

大学物理-转动惯量讲义一、基本概念惯量是一个常用的物理量，在负载被加速或减速的过程中中，是一个非常重要的参数。

转动惯量又可以称为惯性矩，它的的定义是：物体每一质点的质量与这一质点到旋转中心轴线的距离的二次方的乘积的总和，其数学表达式为：＝。

（1）在伺服控制系统中，大多数的传动机构具有圆柱状构件，因此，下面介绍几种圆柱状物体的转动惯量的计算。

图（1）和（2）分别描述了围绕着中心轴线旋转的空心圆柱体和实心圆柱体。

J m r J 21m 2r RLL1R 2R图（1）空心圆柱体图（2）实心圆柱体（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：＝（＋）[牛米秒2]（2）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：＝[牛米秒2]（3）对于己知重量为的物体，用（/）代替公式（2）和（3）中的，为重力加速度，我们可以分别得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：＝[牛米秒2]（4）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：＝[牛米秒2]（5）如果重量不知道，但知道旋转物体的体积和密度，则可用（/）代替公/式（2）和（3）中的，我们可以得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：＝[牛米秒2]（6）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：＝[牛米秒2]（7）J 21m 21R 22R ••J 21m 2R ••G G g m g J gR R G 2)(2221+••J gGR 22••V γV γg m J )(24142R R gL -γπ••J 42R gL γπ••二、计算举例说明1.换向器的惯性矩＝[克厘米秒2]。

换向器的几何尺寸：换向器的外径＝0.6[厘米]；换向器的内径＝0.38[厘米]；换向器的轴向长度＝0.5[厘米]。

在几何尺寸和材料已知的情况下，换向器的惯性矩为：＝＝＝＝4.079×[克厘米秒2]，式中，是换向器材料的平均比重，取≈7.5[克/厘米3]。

若惯性矩的单位采用[牛米秒2]，则换向器的惯性矩为：＝[牛米秒2]。

8讲义(转动惯量)

动力法测量刚体转动惯量【实验简介】转动惯量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要参数，例如设计电动机转子、钟表摆轮、精密电动圈等。

对于工程设计中，转动惯量的大小，常常用实验的方法测量。

对于不同形状的刚体，设计了不同的测量方法和测量仪器，常用的有振动法（三线摆、扭摆、复摆）和动力法法；本实验采用动力法测量刚体的转动惯量。

【实验目的】1、学习用动力法测定刚体的转动惯量；2、验证刚体的转动定理和平行轴定理。

【实验仪器】转动惯量实验仪～电脑毫秒计（两种配套形式：JM-2～HMS-2或JM-3～JM-3）、圆环、2个圆柱体、砝码及细线，滑轮，天平，水平仪，米尺，游标卡尺。

【实验原理】1、转动惯量的定义刚体是在外力作用下，形状、大小皆不变的物体，通常将受外力作用形变甚微的物体视为刚体。

刚体绕轴转动惯性的度量称为转动惯量，转动惯量是表示刚体转动惯性大小的物理量。

转动惯量的计算公式为：22i i I m r I r dm =∆⇒=∑⎰转动惯量取决于刚体的总质量、质量的分布和转轴的位置。

图1 转动惯量实验仪A 承物台B 挡光片C 绕线塔轮D 光电门E 定滑轮F 砝码G 待测物下面给出了质量均匀的几种刚体绕指定转轴转动所表现出来的转动惯量的理论计算公式：所以，我们说转动惯量时，一定要说明是相对那个转轴的转动惯量。

2、平行轴定理一般的我们将质量为m 的刚体绕着过其质心的转轴的转动惯量用c I 表示，若刚体转动轴线不过质心，并知道质心到转轴间的距离d ，由平行轴定理可知，此时刚体所表现的转动惯量为：2d c I Imd =+。

3、运动学和动力学中的基本公式 ①匀加速转动过程中角位移与时间的关系2012w t t θβ=+其中：θ为角位移，0w 为初始角速度，β为角加速度，t 为时间。

②合外力矩和角加速度之间的关系L I β=合其中：L 合为合外力矩，I 为刚体的转动惯量，β为刚体转动的角加速度。

③转动惯量满足叠加原理：12I I I =+总其中：I 总为总转动惯量，1I 、2I 为各部分的转动惯量。

大学物理实验之刚体转动惯量

大学物理实验之刚体转动惯量本实验主要是研究刚体的转动惯量，刚体转动惯量是刚体绕轴线旋转时的惯性大小，类比质点的质量。

对于一个刚体，其转动惯量与其质量的分布、形状、大小、绕轴线位置有关，因此在研究转动惯量的过程中需要关注这些因素。

实验目的：1. 理解并测量几种常见刚体的转动惯量。

2. 熟悉刚体转动实验的操作方法和数据处理方法。

实验原理：1. 转动惯量的定义I = ∫ r^2 dm其中，I 为刚体的转动惯量，r为该质量微元距离轴线的距离，dm为该质量微元的质量。

2. 旋转惯量的测量方法（1）转子法转子法是通过测量两个转动刚体的角加速度和已知两个刚体参数的关系，计算出另一刚体的转动惯量。

（2）撞击法撞击法是将一个未知转动惯量的刚体与已知的基准刚体作用在同一轴线上作匀加速的运动，测量两者所用时间，就可以通过角动量守恒原理求出未知刚体的转动惯量。

（3）摆线法摆线法是通过测量刚体绕轴线作周期性的摆动，结合周期、摆长等参数，计算出刚体的转动惯量。

实验环境：该实验包含三个部分，分别是旋转木盘法测定转动惯量、撞击法测定转动惯量、薄环法测定转动惯量。

实验过程：（1）实验仪器：旋转木盘、各种形状的物体、尺子。

（2）实验步骤：a. 将旋转木盘放在平整的水平台面上，旋转木盘电机连接电源。

b. 按钮控制旋转盘速度，手动测量转速并记录。

c. 在旋转木盘上放置不同形状、不同大小的刚体，并使之绕轴线旋转。

d. 测量转动惯量与旋转角速度的关系。

（3）实验注意事项：a. 在旋转木盘运动时，注意安全并遵守实验室规定。

b. 在加盟物体前，需确保木盘速度不会因加减物体而发生大的变化，以保证实验数据的准确性。

c. 通过测量旋转角度的速度和物体大小、轴线位置计算刚体转动惯量。

a. 在支架上安装一根直线导轨。

b. 准备物体磨损滑轮，将其装在直线导轨上并拉直。

c. 在物体与总体之间放置细线，并连接每一部分。

d. 在物体新加入之前需要测量它的质量和长度，记录在数据表中。

[2016最新精品]大学物理实验用三线摆法测定物体的转动惯量

用三线摆法测定物体的转动惯量转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它与刚体的总质量、形状大小、密度分布和转轴的位置有关。

对于形状较简单的刚体，可以通过数学方法算出它绕特定轴的转动惯量。

但是，对于形状较复杂的刚体，用数学方法计算它的转动惯量非常困难，大都用实验方法测定。

例如：机械零部件、电机转子及枪炮弹丸等。

因此学会刚体转动惯量的测定方法，具有重要的实际意义。

测量转动惯量，一般是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。

常用的测量方法有三线扭摆法、单线扭摆法、塔轮法等。

本实验采用三线扭摆法，由摆动周期及其他参数的测定计算出物体的转动惯量。

为了便于和理论值进行比较，实验中的被测物体一般采用形状规则的物体。

【实验目的】1、掌握三线扭摆法测量物体转动惯量的原理和方法；2、研究物体的转动惯量与其质量、形状（密度均匀时）及转轴位置的关系；3、学会正确测量长度、质量和时间的方法。

【实验仪器】FB210型三线摆转动惯量测定仪、游标卡尺、钢卷尺、数字毫秒计、物理天平、待测物体等。

【实验原理】图1悬挂在横梁上。

三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。

上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴O O '作扭摆运动。

当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动。

根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴O O '的转动惯量(推导过程见本实验附录)。

2002004T H gRr m I π= （1）式中各物理量的意义如下：0m 为下盘的质量；r 、R 分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；0H 为平衡时上下盘间的垂直距离；T 0为下盘作简谐运动的周期，g 为重力加速度（在杭州地区g =9.793m/s 2）。

将质量为m 的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与O O '轴重合。

测出此时下盘运动周期1T 和上下圆盘间的垂直距离H 。

同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴O O '轴的总转动惯量为：212014)(T HgRr m m I π+=（2）如不计因重量变化而引起的悬线伸长，则有0H H ≈。

转动惯量物体旋转时如何计算其转动惯量

转动惯量物体旋转时如何计算其转动惯量物体的转动惯量是描述物体旋转惯性的物理量，表示物体对绕轴旋转的转动运动的惯性大小。

对于不同形状的物体，计算其转动惯量需要采用不同的公式。

一、点质量的转动惯量计算公式对于质量集中在一个点的物体，其转动惯量可以采用以下公式进行计算：I = m·r²其中，I表示物体的转动惯量，m表示物体的质量，r表示物体与转轴之间的距离。

二、绕轴旋转的刚体的转动惯量计算公式对于绕轴旋转的刚体，需要根据其形状不同来计算转动惯量。

1. 绕轴旋转的直线形状物体对于直线形状的物体，如棒状物体或细杆等，其转动惯量可以用以下公式进行计算：I = (1/12) · m · L²其中，I表示物体的转动惯量，m表示物体的质量，L表示物体长度（直线段）。

2. 绕一端固定轴旋转的细杆对于绕一端固定轴旋转的细杆，如钟摆、秋千等，其转动惯量可以用以下公式进行计算：I = (1/3) · m · L²其中，I表示物体的转动惯量，m表示物体的质量，L表示物体长度。

3. 绕轴旋转的球体对于球体绕其直径轴旋转的情况，其转动惯量可以用以下公式进行计算：I = (2/5) · m · R²其中，I表示物体的转动惯量，m表示物体的质量，R表示球体的半径。

4. 绕轴旋转的圆盘或圆环对于圆盘或圆环绕其对称轴旋转的情况，其转动惯量可以用以下公式进行计算：I = (1/2) · m · R²其中，I表示物体的转动惯量，m表示物体的质量，R表示圆盘或圆环的半径。

5. 绕轴旋转的薄圆环对于薄圆环绕其对称轴旋转的情况，其转动惯量可以用以下公式进行计算：I = m · R²其中，I表示物体的转动惯量，m表示物体的质量，R表示薄圆环的半径。

6. 绕轴旋转的圆球壳对于圆球壳绕其对称轴旋转的情况，其转动惯量可以用以下公式进行计算：I = (2/3) · m · R²其中，I表示物体的转动惯量，m表示物体的质量，R表示圆球壳的半径。

JKY-ZS转动惯量实验仪实验操作指导书

JKY-ZS （塔轮式）转动惯量实验仪实验及操作指导书转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。

它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。

对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。

转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。

测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。

一、实验目的1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。

2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。

3、学会使用智能计时计数器测量时间。

二、实验原理1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理根据刚体的定轴转动定律：M I β= （1）只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量I 。

设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为I 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M μ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即：11M I μβ-= （2）将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。

若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T= m (g － a)。

若此时实验台的角加速度为β2，则有a= Rβ2。

细线施加给实验台的力矩为M T =T R= m (g －Rβ2) R ，此时有：212()m g R R M I μββ--= （3）将（2）、（3）两式联立消去M μ后，可得：2121()mR g R I βββ-=- （4）同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为I 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有：4243()mR g R I βββ-=- （5）由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量I 为：21I I I =- （6）测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。

刚体转动惯量的测量

实验三、刚体转动惯量的测量转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。

对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。

对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当困难的，通常要用实验的方法来测定其转动惯量。

实验上测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的特定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。

测定转动惯量的实验方法较多，如拉伸法、扭摆法、三线摆法等，本实验利用“刚体转动惯量实验仪”来测定刚体的转动惯量。

为了便于与理论计算比较，本实验采用形状规则的圆形铝圈。

实验目的1、掌握电子毫秒计的使用；2、掌握利用最小二乘法处理线性数据的方法；3、掌握由转动定律测转动惯量的方法。

实验仪器JM—2型转动惯量仪、MUJ——6B型电脑通用计时器、YP3001N型电子天平、量程125mm，分度值0.02mm游标卡尺、量程50cm钢板尺转动惯量仪：由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒和小滑轮组成,如图所示。

承物台θ=）遮挡一次固定在底转动时固定在载物台边缘并随之转动的遮光细棒，每转动半圈（π座圆周直径相对两端的光电门，即产生一个光电脉冲送入光电计时计数仪，计数器将计下时间和遮挡次数。

计数器从第一次挡光（第一个光电脉冲发生）开始计时、计数，并且可以连续记录，存储多个脉冲时间。

塔轮上有五个不同半径的绕线轮，中间一个的半径为2.5cm，其余每相邻两个塔轮之间的半径相差0.5cm。

砝码钩上可以放置一定数量的砝码，重力矩作为外力矩，结构如图：转动惯量仪结构图1、砝码，2、滑轮，3、光电门，4、承物台，5、绕线塔轮，6、遮光细棒实验原理利用转动定律公式：αJ M = （1）定轴转动系统的力矩由砝码重力所产生的拉力和系统阻力两部分组成，并且从静止开始转动，则有下列公式μM mgd M −=2/ （2）221t αθ= （3）联立有224rM J m gdt gdθ=+ （4）由上面公式可知，砝码质量与转过θ所用的时间平方分之一为线性关系，由此可以通过改变砝码质量m，测得一系列的⎟⎠⎞⎜⎝⎛21,t m ，通过最小二乘法公式，可求得斜率b 和截矩a gdM a gd J b /2/4μθ== （5）从而可求得转动惯量：θ4/gdb J = 2/gda M =μ铝圈转动惯量为全系统和空载转动惯量之差： 21J J J −= （6）最后得到 ()214b b gdJ −=θ（7）实验内容1. 测量全系统（加铝圈）时在不同重量的砝码牵引下，转过两圈所用的时间2. 测量空载时在不同重量的砝码牵引下，转过两圈所用的时间3. 测量绕线塔轮的直径4. 测量铝圈的相关参数实验步骤一、调整转动惯量仪初始状态1. 移动转动惯量仪到实验桌合适位置，以方便操作为宜；2. 使用水平仪调整转动惯量仪与桌面接触的3个脚，使其水平；3. 确定绕线塔轮轮槽，一般选取从上往下的第三个轮槽4. 试绕线：将线的末端打结，卡在轮槽边缘的狭缝里，然后均匀缠绕在轮槽上（注意不要有绞缠），一般缠绕3圈以上为宜，然后将悬挂有砝码底座的线的另一端通过桌边固定的滑轮引出，让其自由垂下；5. 通过观察轮槽与滑轮之间的细线是否水平来调节桌边滑轮的高度，使滑轮轮槽与绕线塔轮轮槽保持基本水平6. 在自由垂下的砝码底座上加砝码，调节砝码基本静止，然后释放，让系统自由转动，观察系统是否可以顺滑的转动（注意是否有磕碰，若有磕碰，需检查原因以排除）二、选择数字毫秒计的功能和参数1. 打开插线板电路开关，按下数字毫秒计的“power”键，使数字毫秒计处于工作状态；2. 连续按下“功能”键，将数字毫秒计的功能选定在“周期”上；3. 按住转换键，使周期参数从0开始增加，到“2”时松开转换键（数字毫秒计计时圈数为两圈）4. 试运行：将遮光杆放入光电门内，然后释放，直到数字毫秒计显示时间，观察转过圈数是否为两圈，制动系统三、测量全系统（加铝圈）不同质量砝码牵引下，转过两圈所用的时间1. 确定自己所要选取的7个不同质量（从20克开始，可选择每次增加10克或5克，够7组为止），填写到原始数据表格中；2.把铝圈放到转动平台上（注意铝圈边缘要和平台边缘完全重合）3.选择自己原始数据表格中的一个质量，把合适砝码加到底座上，使总质量（加砝码底座）达到预期，使砝码自由垂下，保持基本静止；4.把遮光杆放到光电门中，按下数字毫秒计“功能”键，然后释放，数字毫秒计显示时间时制动，记录砝码加底座质量和数字毫秒计时间，填在原始数据记录纸相应表格中。

JKY-ZS转动惯量实验仪实验操作指导书

JKY-ZS （塔轮式）转动惯量实验仪实验及操作指导书转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。

它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。

转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。

测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。

一、实验目的1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。

2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。

3、学会使用智能计时计数器测量时间。

若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T= m (g － a)。

若此时实验台的角加速度为β2，则有a= Rβ2。

转动惯量计算方法

转动惯量计算方法转动惯量是描述物体对转动运动的惯性特性的物理量，它是物体对绕轴转动的难易程度的度量。

计算物体的转动惯量需要考虑物体的质量分布以及绕轴转动的轴线位置。

在计算转动惯量之前，我们需要了解一些基本概念和公式。

首先是质量分布的离散情况和连续情况。

离散质点系的转动惯量可以通过以下公式计算：I = Σmi * ri²其中 I 是转动惯量，mi 是第 i 个质量点的质量，ri 是该质量点距离转轴的距离。

对于质量连续分布的物体，转动惯量可以表示为积分的形式：I = ∫r²dm其中 r 是其中一质点距离转轴的距离，dm 是该质点的质量元素。

转动惯量是一个与轴线选择具体位置相关的物理量，对于不同轴线位置，转动惯量的数值也会不同。

在实际计算中，可以根据不同情况应用转动惯量的定义公式进行求解。

下面给出一些常见物体的转动惯量计算方法。

1.刚体的转动惯量对于刚体，转动惯量通常可以分解为质量分布均匀部分和离轴部分的和。

对于质量分布均匀的刚体，可以应用以下公式进行计算：I=(1/12)*m*(a²+b²)其中m是刚体的质量，a和b是刚体的尺寸（例如长方体的长和宽）。

对于离轴部分的转动惯量，可以使用平行轴定理进行计算，即：I = Icm + m * d²其中 Icm 是刚体质心的转动惯量，m 是刚体的质量，d 是质心到轴线的距离。

2.长杆的转动惯量对于细长的杆，可以应用以下公式计算其转动惯量：I=(1/12)*m*L²其中m是杆的质量，L是杆的长度。

3.圆环的转动惯量对于质量分布均匀的圆环，可以使用以下公式计算其转动惯量：I=m*R²其中m是圆环的质量，R是圆环的半径。

4.薄圆盘的转动惯量对于质量分布均匀的薄圆盘，可以使用以下公式计算其转动惯量：I=(1/2)*m*R²其中m是薄圆盘的质量，R是薄圆盘的半径。

以上仅是一些常见物体的转动惯量计算方法，对于其他形状的物体，可以根据物体的质量分布和几何结构进行转动惯量的计算。

扭摆实验指导书

扭摆法测定物体的转动惯量实验指导书1实验仪器1.1扭摆、秒表、游标卡尺、天平；待测样品：圆柱体、球、金属杆和滑块。

2实验内容2.1测定圆柱体的转动惯量I 0：用游标卡尺测出小圆柱体的直径（重复6次），用天平称出质量（1次）；用公式算出圆柱体的转动惯量。

2.2 测定载物盘空载时20个周期的时间t 1（6次）。

2.3 测定圆柱体20个周期的时间t 2（6次）2.4 测出球体转动20个周期的时间t （6次），计算球的转动惯量I 和它的不确定度。

2.5 （选做）验证转动惯量平行轴定理。

2.5.1 装上金属细杆（金属细杆中心必须与转轴重合，螺丝要落在凹槽内），将滑块对称放置在细杆两边的凹槽内，此时滑块质心离转轴的距离X 分别为5.00，10.00，15.00 ，20.00，25.00cm ，分别测定不同距离下每10个周期的时间t X ，验证转动惯量平行轴定理，用图示法处理数据。

3相关实验数据记录（范例）表1 测定球体转动惯量M(g) D(cm) t 1(s) t 2(s) t(s) 355.25 9.968 14.82 20.17 26.30 9.972 14.68 20.30 26.25 9.968 14.72 20.10 26.20 9.970 14.75 20.28 26.35 9.970 14.65 20.20 26.329.96814.8120.1526.27表1中各项数据经肖维涅法则检查均无坏值表2 验证平行轴定理T x1(s) T x2(s) T x3(s) T x4(s) T x5(s)4数据处理（范例）4.1各物理量不确定度估算天平的Δm=0.05g =∆=3m u M 0.029g ，M E =Mu M =25.355029.0=0.000082 。

=D 99.69mm ，D S =0.0067mm ，m ∆=0.02mm ，=∆=3m u B 0.012mm=+=22BDD u S u 22)012.0()0067.0(+=0.014mm ， =1t 14.74s ， =1t S 0.028s ，m ∆=0.05s ，=∆=3m u B 0.029s ，=+=2211Bt t u S u 22)029.0()028.0(+s =0.040s ，同理，得：=2t 20.20s ， =2t u 0.043s ， =t 26.28s ，=t u 0.036s 。

转动惯量

Y
A
l
O
Z
rA
v0
ro LA
v
X
例 2. 估算同步卫星的运行高度
解：依题意自 = 卫
因为
f
为有心力

M 0
即
mr 2卫
C 赤道
r c
卫星作圆周运动
I
卫
自
f
卫
G
Mm r2

mr 2 卫
r 3
GM
自2
在地球表面 r = R
mg

G
Mm R2
GM

gR 2
3.
形状、转轴一定：转动惯量与刚体的质量有关。
4. 转动惯量具有可加性。
质量连续分布的刚体
J r2dm
dm dl 一维
dm ds 二维
dm dv 三维
例2.
一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量
解:
J r 2dm
(a)取质元dm
自

2
T
r 3 T2R2g 4 2 所以：r = 4.2 104 km
T = 8.64 104 s R = 6.4 103 km
卫星轨道高度 h = 3.6 104 km
影响卫星定点的因素：
1.月日引力 2.地球引力不均匀 3.太阳辐射压力不断改变卫星轨道的偏心率
赤道
自
三、转动惯量
1. 定义：
n
J (miri2 ) i 1
转动惯量是刚体转动惯性的量度，由刚体自身的结构（转轴、质量、形状）决定，与外界因素无关，是刚体的固有性质。
a´
o´

指导书-06用三线摆测刚体转动惯量

用三线摆测刚体转动惯量描述刚体本身相对于转轴的特征的物理量叫做刚体对于转轴的转动惯量，简称转动惯量。

转动惯量它与刚体的质量大小、质量分布和转轴的位置三个因素有关。

转动惯量表述的是刚体转动惯性的大小，是研究和描述刚体转动定律的一个重要物理量，类似于做平动的物体的质量。

在科研和生产中会遇到很多转动问题，飞轮、叶片、电机的转子、钻机等所有转动的物体都会涉及转动惯量，因此转动惯量的测量和研究具有重要意义。

对于形状简单、质量分布均匀的刚体，可以通过尺寸、质量的测量利用相应的数学公式计算出转动惯量。

但对于形状复杂或者质量分布不均匀的刚体，用公式计算就非常困难甚至不可能，一般要用实验方法来测定。

测定刚体转动惯量的方法很多，本实验中用的是三线摆法。

【实验目的】1、学会用三线摆测定物体的转动惯量；2、学会用累积放大法测量周期；3、验证转动惯量的平行轴定理。

【实验仪器]三线摆转动惯量实验仪（附待测圆环和圆柱），数显计数计时毫秒仪（或秒表），游标卡尺，钢直尺，水准仪。

【实验原理】1、测量圆盘绕中心轴的转动惯量I0图1 转动惯量测定仪图1是三线摆实验装置的示意图。

上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。

三个悬点均匀分布的等长悬O'作扭摆运动。

由于下线将两圆盘相连。

上圆盘可以固定转动，用手拧动上圆盘可以带动下圆盘绕中心轴O圆盘的摆动周期与其转动惯量大小有关，所以当下圆盘及其上面放的刚体的转动惯量不同时，相应的扭摆周期也不同。

当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动,其运动方程为：图2 三线摆原理图t T 002sinπθθ∙= (1)当摆离开平衡位置最远时，其重心升高h ，根据机械能守恒定律有：gh m I 02021=ω (2) 即:2002ωghm I =(3)而:t TT dt d ππθθω2cos 20==(4) t =0时，0002T πθωω==0002T πθωω⨯== (5) 将（5）式代入（2）式得：202202θπghT m I = (6)从图2中的几何关系可得:2220222)(cos 2)(r R H l Rr r R h H -+==-++-θ, 简化得:)c o s 1(202θ-=-Rr h Hh 因为θ很小，因此2h 是一个二阶小量，略去22h ，且取2/cos 1200θθ≈-，则有:HRr h 220θ= (7)(7)代入（6）式得202004T Hg R r m I π=(8)式中各物理量的意义如下：0m 为下盘的质量；r 、R 分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H 为平衡时上下盘间的垂直距离；0T 为下盘作简谐运动的周期，g 为重力加速度，不同地区的取值请查阅有关资料或由实验室给定。

转动惯量实验指导书

转动惯量实验指导书一：注意事项二：扭摆法测定物体转动惯量基本原理三：光电计时、计数实验仪使用指南海南大学物理实验室一：注意事项1．进入实验室不可移动、摆弄实验台/桌上的所有仪器用具。

以免拉断仪器间的连接电缆/线、改变教师设置好的各种实验参数！2．实验结束后必需经任课教师检查你所使用的实验仪器与用具，器具完好无损方可离开实验室！3．每套实验仪器的扭摆及其待测件（转盘、圆柱体、金属圆筒、尼龙球等）均为单配，实验过程中不可交换使用，否则待测件不能安装到扭摆上或者勉强安装上之后不能取下来。

实验结束后务必配套放入框内！！4．在安装待测物体时，其支架必须全部套入扭摆的主轴并适当旋紧对接紧固螺丝（不可拧死），否则扭摆不能正常工作。

5．更换不同待测物体时，务必完全松开对接紧固螺丝，并轻拿轻放待测物体！6．弹簧的扭转常数K不是固定的常数，它与摆角大小略有关系，摆角在︒90间基本相同。

为了减少实验的系统误~︒30差，测定各种物体的摆动周期时，摆角应基本保持在同一个范围内且启摆角度不可超过︒90或反向启摆。

7．光电探头支架与计数仪位置不可随意移动，以免拉断计数仪后面的联机电缆线；光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处，挡光棒不能与它接触，以免打坏光电探头或增加摩擦力矩。

8．计数仪板面的各按钮（键）只需轻轻触碰即可，不可大力反复按压。

9．机座应保持在水平状态。

二：用扭摆法测定物体的转动惯量基本原理转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表明刚体特性的一个物理量。

转动惯量的大小与物体质量、转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。

如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定轴的转动惯量。

但在工程实践中，我们常碰到形状复杂，且质量分布不均匀的刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动。

通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。

本实验使物体作扭转摆动，由摆动周期及其它参数的测定算出物体的转动惯量。

最全的转动惯量的计算

最全的转动惯量的计算转动惯量是描述物体围绕轴线旋转的惯性量，表示物体抵抗改变自身旋转状态的能力。

计算转动惯量需要考虑物体的形状、质量分布和轴线的位置等因素。

下面将详细讨论不同几何形状的转动惯量的计算方法。

1.点质量：点质量的转动惯量为质量乘以轴线到质点距离的平方。

即I=m*r^2，其中m为质量，r为轴线到质点的距离。

2.刚体：刚体是一个质点系，质点间的相对位置在运动过程中不变。

对于刚体的转动惯量，有以下几种计算方法：(1)离散质点的刚体：对于离散质点的刚体，转动惯量等于所有质点转动惯量之和。

I=Σ(m_i*r_i^2)，其中m_i为质点的质量，r_i为质点到轴线的距离。

(2)连续分布质量的刚体：对于连续分布质量的刚体，可以通过对质量微元进行积分来计算转动惯量。

I = ∫(r^2 * dm)，其中r为质量微元到轴线的距离，dm为质量微元。

根据刚体的形状，可以使用不同的积分方法来计算转动惯量：(3)直线物体：对于沿直线分布质量的刚体，可以根据轴线位置的不同，分为几种情况计算转动惯量：-细长杆：细长杆绕一个端点垂直轴线旋转，转动惯量为I=(1/3)*m*L^2，其中m为杆的质量，L为杆的长度。

-细长杆绕质心轴线：细长杆绕质心轴线旋转，转动惯量为I=(1/12)*m*L^2-细长杆绕中点轴线：细长杆绕中点轴线旋转，转动惯量为I=(1/4)*m*L^2(4)平面物体：对于平面物体，可以使用以下公式计算转动惯量：-同轴圆盘/圆环：同轴圆盘或圆环的转动惯量为I=(1/2)*m*R^2，其中m为圆盘或圆环的质量，R为圆盘或圆环的半径。

-长方形板：长方形板绕质心轴线旋转，转动惯量为I=(1/12)*m*(a^2+b^2)，其中m为板的质量，a和b分别为板的长和宽。

-正方形板：正方形板绕质心轴线旋转，转动惯量为I=(1/6)*m*a^2，其中m为板的质量，a为板的边长。

(5)立体物体：对于立体物体，可以使用以下公式计算转动惯量：-球体：球体绕直径轴线旋转，转动惯量为I=(2/5)*m*R^2，其中m为球体的质量，R为球体的半径。

转动惯量Word

实验2-10 扭摆法测物体的转动惯量【引言】转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表明刚体特性的一个物理量。

刚体相对于某转轴的转动惯量，是组成刚体的各质元质量与它们各自到该转轴距离平方的乘积之和。

刚体的转动惯量与以下因素有关：刚体的质量：各种形状刚体的转动惯量都与它自身的质量成正比；转轴的位置：并排的两个刚体的大小、形状和质量都相同，但转轴的位置不同，转动惯量也不同；质量的分布：质量一定、密度相同的刚体，质量分布不同（即刚体的形状不同）转动惯量也不同。

如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。

对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定，例如机械部件、电动机转子和枪炮的弹丸等。

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。

本实验使物体做扭转摆动，由摆动周期以及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。

在国际单位制中，转动惯量的单位是2m kg ⋅（千克·米2）。

【实验目的】1. 测定弹簧的扭转常数2. 用扭摆测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较3. 验证转动惯量平行轴定理【实验仪器】扭摆附件为塑料圆柱体金属空心圆筒实心球体金属细长杆（两个滑块可在上面自由移动）数字式定数计时器数字式电子秤【实验原理】扭摆的构造如图2-10-1所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。

在轴的上方可以装上各种待测物体。

垂直轴与支座间装有轴承，以降低磨擦力矩。

3为水平仪，用来调整系统平衡。

将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。

根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比，即 θK M -= （2-10-1）式中，K 为弹簧的扭转常数，根据转动定律 βI M =图2-10-1式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 IM =β （2-10-2）令 IK=2ω,忽略轴承的磨擦阻力矩，由（2-10-1）、（2-10-2）得 θωθθβ222-=-==I K dtd 上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。