高考数学一轮总复习第十二章概率与统计12.4离散型随机变量及其分布列均值与方差课件理新人教B版

D四所中学的学生中随机抽取50名学生参加问卷调查,已知A,B,C,D四所中学各抽取的学生人数
分别为15,20,10,5.
(1)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率;
(2)在参加问卷调查的50名学生中,从来自A,C两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用ξ表示
来自A中学的学生人数,求ξ的分布列及期望.
X
0
1
…
m
P
C
0 M
C
n N
0 M
C C1 n 1 M NM
…
C Cm n m M NM
C
n N
C
n N
C
n N
为超几何分布列.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
P
p1
p2
…
pi
…
xn
…
pn
(i=1,2,…,n) (1)均值 称EX= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量 取值的平均水平. (2)方差
P(X=1)= 7 ,
10
P(X=2)= 3 ×8 =6 ,
10 10 25
P(X=3)= 3 ×2 ×9 2=7 ,
10 10 10 500
P(X=4)= 3 ×2 ×1 1 0× 3 = .
10 10 10 10 500
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P
7
6
27
3
10
25
500
500
1-1 (2016陕西宝鸡3月月考,19,12分)某市为了解“陕西分类招生考试”的宣传情况,从A,B,C,
可能取值→利用所学概率知识
如古典概型,两点
分布,超几何分布
求P(X=k)的值→写出X的
分布列
解析 (1)由于总共有7件正品,3件次品,所以,X的可能取值是1,2,3,4,取这些值的概率分别为
P(X=1)= 7 ,
10
P(X=2)= 3 ×7 7= ,
10 9 30
P(X=3)= 3 ×2 7 × 7 = ,
突破方法
方法1 离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行:
例1 (2014安徽合肥3月月考,21,13分)一批产品共10件,其中7件正品,3件次品,每次从这批产品 中任取一件,在下述三种情况下,分别求直至取得正品时所需次数X的分布列. (1)每次取出的产品不再放回; (2)每次取出的产品仍放回; (3)每次取出一件次品后,总是另取一件正品放回到这批产品中. 解题导引 确定X的
n
称DX=
i 1
(xi-EX)2pi 为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度,其
算术平方根 D为X 随机变量X的标准差,记作σX. 注:D(ξ)=E(ξ)2-(Eξ)2,由ξ的分布列唯一确定. 5.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aEX+b (a,b为实数). (2)D(aX+b)= a2DX (a,b为实数). 6.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则EX=p,DX= p(1-p) .
10 10
P(X=3)= 3 ×3
10 10
…
=2 1 ,
100
×7 =6 3 ,
1 0 1 000
P(X=k)= 3 k 1. 7
1 0 1 0
… 所以X的分布列为
X
1
2
3
…
k
…
P
7
21
63
…
3
k 1
7
…
10
100
1 000
1 0 1 0
(3)与情况(1)类似,X的可能取值是1,2,3,4,而其相应概率为
X
1
0
P
p
q
其中0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的 两点分布 .
3.超几何分布列
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中含有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=
C
k M
C
nk N M
C
n N
(k=0,1,2,…,m) ,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,称分布列
10 9 8 120
P(X=4)= 3 ×2 1 × 7 ×1 = . 所以X的分1 0 布9 列为8 7 1 2 0
X
1
2
3
4
P
7
7பைடு நூலகம்
7
1
10
30
120
120
(2)由于每次取出的产品仍放回,每次取时完全相同,所以X的可能取值是1,2,…,k,…,相应的
取值概率为
P(X=1)= 7 ,
10
P(X=2)= 3 ×7
高考理数
§12.4 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
知识清单
1.离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xn,ξ取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(ξ=xi)=pi,则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为随机变量ξ的概率分布列,具有性质: a.pi≥0,i=1,2,…,n; b.p1+p2+…+pi+…+pn=1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2.两点分布 如果随机变量X的分布列为
值的平均状态. (3)公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn,直接给出了EX的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后 相加.由此可知,求随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列. 4.方差的意义 DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度,DX越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散, DX越小,说明X的取值越集中,由方差定义知,方差是建立在期望这一概念之上的.在EX附近,统计 中常用 D来X 描述X的分散程度.
(2)若X~B(n,p),则EX=np,DX= np(1-p) . 【知识拓展】 1.随机变量的本质 (1)所谓随机变量,就是试验结果和实数之间的一个对应关系,这与函数概念本质上是相同的,只 不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在随机变量的概念中,随机变量X的自变量是试 验结果. (2)随机变量具有如下特点:其一,在试验之前不能断言随机变量取什么值,即具有随机性;其二,在 大量重复试验中能按一定统计规律取实数值,即存在统计规律性. 2.离散型随机变量的分布列的作用 对于随机变量X的研究,需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率,对于离散型随机 变量,它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率. 3.对均值(或数学期望)的理解 (1)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均. (2)EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,而EX是不变的,它描述X取