高考数学一轮总复习第十二章概率与统计12.4离散型随机变量及其分布列均值与方差课件理新人教B版
2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差教师用书理PDF含解析
１ 为４．
（２） 随机变量 Ｘ 的可能取值为 ０，１，２，３，４．
Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝
１ ４
，Ｐ（Ｘ ＝ １） ＝
２ Ａ２４
＝
１ ６
，Ｐ（Ｘ ＝
２） ＝
１ Ａ２４
＋ Ａ２２ Ａ３４
＝
１ ，
６
Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝
Ｃ１２ Ａ２２ ＝ Ａ３４
１ ６
，Ｐ（ Ｘ ＝ ４）＝
Ａ
３ ３
Ａ
４ ４
＝
１ ４
．
所以随机变量 Ｘ 的分布列为
的两点分布．
３．超几何分布列
在含有 Ｍ 件次品的 Ｎ 件产品中，任取 ｎ 件，其中含有 Ｘ 件
次 品， 则 事 件 ｛ Ｘ ＝ ｋ ｝ 发 生 的 概 率 为 Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ ） ＝
ＣｋＭ
·Ｃｎ－ｋ Ｎ－Ｍ ＣｎＮ
（
ｋ
＝
０，１，２，…，ｍ） ，其中
ｍ ＝ ｍｉｎ｛ Ｍ，ｎ｝ ，且
ｎ≤Ｎ，Ｍ≤
Ｎ，ｎ、Ｍ、Ｎ∈Ｎ∗ ，称分布列
中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则
Ｐ（ Ａ）＝
６ １２
×
３ ６
×
２ ３
×
１ ２
＝
１ １２
．
（２） 随机变量 Ｘ 的取值可以为 １，２，３，４．
Ｐ（Ｘ ＝ １）＝
６＝ １２
１ ２
，
Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝
６× １２
３ ６
＝
１ ４
，
Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝
６× １２
３ ６
×
１ ３
＝ １， １２
Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝
（１） ｐｉ ≥０，ｉ ＝ １，２，…，ｎ； （２）ｐ１ ＋ｐ２ ＋…＋ｐｉ ＋…＋ｐｎ ＝ １． 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率之和． ２．两点分布 如果随机变量 Ｘ 的分布列为
高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2离散型随机变量及其分布列均值与方差课件
P(X=3)= 3 × 2 ×1 × 1 + 1 ×1 ×3 × 2 = 12 = 1 ,
4 3 4 3 4 3 4 3 144 12
P(X=4)=2×
3 4
2 3
3 4
1 3
3 4
2 3
1 4
2 3
= 16404
= 5 ,
12
P(X=6)= 3 × 2 × 3 × 2 = 36 = 1 .
21 21 21 42
解后反思 (1)求离散型随机变量X的分布列的步骤: ①理解X的含义,写出X所有可能的取值; ②求X取每个值时的概率; ③写出X的分布列. (2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意 应用计数原理,古典概型概率公式等知识.
考点二 均值与方差
3 4
1 3
1 4
1 3
1 4
2 3
1 4
1 3
= 10
144
= 5 ,
72
P(X=2)= 3 × 1 ×3 × 1 + 3 ×1 × 1 × 2 +1 ×2 × 3 ×1 +1 × 2 × 1 ×2 = 25 ,
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144
2.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响, 具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心 理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名 男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人 接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.
高中总复习第一轮数学 第十二章概率与统计(理)12.1 离散型随机变量的分布列
第十二章概率与统计(理)网络体系总览考点目标定位1.离散型随机变量的分布列.离散型随机变量的期望和方差.2.抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归.复习方略指南在复习中,要注意理解变量的多样性,深化函数的思想方法在实际问题中的应用,充分注意一些概念的实际意义,理解概率中处理问题的基本思想方法,掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类:一类是应用随机变量的概念,特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识,讨论随机变量的取值范围,取相应值的概率及期望、方差的求解计算;另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用,教材以实习作业作为一节给出,应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识,迅捷准确的运算能力,严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程,引导学生发现解决问题的方法,达到举一反三的目的,还要进行题后反思,使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构,形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系,从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验,找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练,以培养利用所学知识解决实际问题的能力.12.1 离散型随机变量的分布列巩固·夯实基础一、自主梳理1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母ξ、η等表示.(1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a、b是常数,则η也是随机变量.2.离散型随机变量的分布列(1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,x i,…,ξ取每一个值x i(i=1,2,…)的概率P(ξ=x i)=p i,则称表为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(ξ=k)=C k n p k q n-k .C k n p k q n-k =b(k;n,p). 二、点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（ ） A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 解析:对A 、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键. 答案:DA.1B.1±22 C.1+22 D.1-22解析：∵0.5+1-2q+q 2=1,∴q=1±22. 当q=1+22时,1-2q<0,与分布列的性质矛盾, ∴q=1-22. 答案：D3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k21,k=1,2,…,则P(2<ξ≤4)等于( ) A.163 B.41 C.161 D.51 解析:P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=321+421=163.答案:A4.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布列为 __________________________.解析:本题中商品数量较大,故从中任意抽取5件(不放回)可以看作是独立重复试验n=5,因而次品数ξ服从二项分布, 即ξ—B(5,0.1).5.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数ξ的分布列为___________________________. 解析：ξ可以取1,2,3,4,5,P(ξ=1)=0.9,P(ξ=2)=0.1×0.9=0.09,P(ξ=3)=0.12×0.9=0.009,P(ξ=4)=0.13×0.9=0.000 9,P(ξ=5)=0.14=0.000 1. 诱思·实例点拨【例1】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.剖析:因为在编号为1,2,3,4,5的球中,同时取3只,所以小号码可能是1或2或3,即ξ可以取1,2,3.解:随机变量ξ的可能取值为1，2，3.当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53;当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523C C =103;当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522C C =101.讲评:求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等.本题中基本事件总数,即n=C 35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率).【例2】(2005北京高考,理)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率为32. (1)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ;(2)求乙至多击中目标2次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.剖析:(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且3次射击是3次独立重复试验.∴ξ—B(3,21).(2)“乙至多击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中目标或甲击中目标3次乙击中1次”.解:(1)P(ξ=0)=C 03(21)3=81; P(ξ=1)=C 13(21)3=83;P(ξ=2)=C 23(21)3=83;P(ξ=3)=C 33(21)3=81.∵ξ—B(3,2), ∴E ξ=3×21=1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1-C 33(32)3=2719. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2,B 1、B 2为互斥事件,∴P(A)=P(B 1)+P(B 2)=83×271+81×92=241. ∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为241.讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量ξ的所有可能的值x i (i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=x i )=p i ;(3)列成表格.【例3】(2005广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s ∶t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n 次.以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.(2)ξ的数学期望为E ξ=0×t s s ++1×2)(t s st++2×32)(t s st ++…+(n-1)×n n t s st )(1+-+n ×n n t s t )(+. ① t s t +E ξ=3)(t s st ++42)(2t s st ++…+n n t s st n )()2(1+--+1)()1(++-n n t s st n +11)(+++n n t s nt . ②①-②,得E ξ=s t +1)()1(-+-n n t s s t n -n n t s t n )()1(+--nn t s s nt )(1++. 讲评:本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和,注意运算的严谨性.。
人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列(课件 共32张PPT)
机变量的取值,例如x,y,z.
3.离散型随机变量的散布列
(1)定义
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值
xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率散布列,简称散布列.
(2)性质
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
4.两点分布
由题意知P(X<1)=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.2+0.2+0.1=0.5.
3.(多选)设随机变量X的散布列为 P = =ak(k=1,2,3,4,5) ,则(ABC)
5
A.15a=1
B.P(0.5<X<0.8)=0.2
C.P(0.1<X<0.5)=0.2
D.P(X=1)=0.3
①求此人到达当日空气重度污染的概率.
②设X是此人停留期间空气质量良好的天数,求X的散布列.
解 ①设 Ai 表示“此人于 3 月 i 日到达该市”,i=1,2,…,13,
1
根据题意,P(Ai)= ,且
13
Ai∩Aj=⌀,i≠j,
设 B 表示“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8,
故此人到达当日空气重度污染的概率
均失败,第三次实验无论成功与否,之后都停止实验.而错误解法误认为X=3
表示前两次实验均失败,第三次实验成功.
正确解法
依题意,X的可能取值为1,2,3,
2
1 2 2
则 P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,
1 1
2 1
1
P(X=3)= × × + = .
高考数学一轮复习第章计数原理概率随机变量及其分布第讲离散型随机变量的均值与方差正态分布
第9讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．若离散型随机变量X 的分布列为 X0 1 Pa 2 a 22则X 的数学期望EX ＝( )A ．2 B ．2或 12C. D ．112解析：选C.因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)a 2a 22或a ＝1，所以EX ＝. 122．(2016·江西省八校联考)在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在[80，120]内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2解析：选B.P (0<ξ<80)＝[1－P (80≤ξ≤120)]＝(1－0.8)＝0.1. 12123．(2016·嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6解析：选B.由题意可知，X 可以取3，4，5，6，P (X ＝3)＝＝，P (X ＝4)＝＝， 1C 120C C 320P (X ＝5)＝＝，P (X ＝6)＝＝. C C 310C C 12由数学期望的定义可求得EX ＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25. 120320310124．(2016·河北省监测)已知某高级中学高三学生有2 000 名，在第一次模拟考试中数学成绩ξ服从正态分布N (120，σ2)，已知P (100<ξ<120)＝0.45，若学校教研室欲按分层抽样的方式从中抽出100份试卷进行分析研究，则应从140分及以上的试卷中抽( )A ．4份B ．5份C ．8份D ．10份解析：选B.因为P (ξ>140)＝＝0.05，所以从140分及以上的试1－2P （100<ξ<120）2卷中抽×100＝5份． 0.05× 2 0002 0005．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000，0. 1)， 所以EY ＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，所以EX ＝E (2Y )＝2EY ＝200.答案：2006．(2016·邯郸一模)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的．设男子身高X 服从正态分布N (170，72)(单位：cm)，参考以下概率P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997 4，则车门的高度(单位：cm)至少应设计为________cm.解析：因为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4，所以P (X ≥μ＋2σ)＝＝0.022 8， 1－0.954 42所以车门的高度至少设计为μ＋2σ才符合要求，即为170＋2×7＝184 cm.答案：1847．(2015·高考山东卷)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C ＝84，39随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此P (X ＝0)＝＝， C C 23P (X ＝－1)＝＝， C C 114P (X ＝1)＝1－－＝. 114231142所以X 的分布列为 X 0 －1 1P 23 114 1142则EX ＝0×＋(－1)×＋1×＝. 2311411424218．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都为，且面试是否合格相互不影响. 1213(1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数X 的分布列和数学期望.解：(1)用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝，P (B )＝P (C )＝， 1213所以至少有一人面试合格的概率为1－P ( )＝1－·＝. A － B － C － (1－12)(1－13)(1－13)79(2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝P ( )＋P (B )＋P ( C )＝； A － B － C － A － C － A － B － 49P (X ＝1)＝P (A C )＋P (AB )＋P (A )＝； B － C － B － C － 49P (X ＝2)＝P (BC )＝；P (X ＝3)＝P (ABC )＝. A － 118118所以X 的分布列为X 0 1 2 3P 49 49 118 118EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 494911811813189．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，EY ＝1，DY ＝11，试求a ，b 的值．解：(1)X 的取值为0，1，2，3，4，其分布列为X 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15所以EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5， 1212011032015DX ＝(0－1.5)2×＋ (1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝12120110320152.75.(2)由DY ＝a 2DX 得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又EY ＝aEX ＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，所以或 {a ＝2，b ＝－2){a ＝－2，b ＝4.)1．(2016·南昌第一次模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X <75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望EY .解：(1)由题知，P (80≤X <85)＝－P (X <75)＝0.2， 12P (85≤X <95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A ×0.2×0.2×0.1＝0.024.3(2)P (75≤X ≤85)＝1－2P (X <75)＝0.4，所以Y 服从二项分布B (3，0.4)，P (Y ＝0)＝0.63＝0.216，P (Y ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P (Y ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (Y ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量Y 的分布列是Y 0 1 2 3P 0.216 0.432 0.288 0.064EY ＝3×0.4＝1.2.2．(2016·西安地区八校联考)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：ξ1 110 120 170P m 0.4 n且ξ1的期望Eξ1＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X(次)与ξ2的关系如下表所示：X 01 2ξ241.2117.6204(1)求m，n的值；(2)求ξ2的分布列；(3)若Eξ1＜Eξ2，则选择投资乙项目，求此时p的取值范围．解：(1)由题意得{m＋0.4＋n＝1，110m＋120×0.4＋170n＝120，)解得m＝0.5，n＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)，所以ξ2的分布列为：ξ241.2117.6204P p(1－p)p2＋(1－p)2p(1－p)(3)由(2)可得：Eξ2＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，由Eξ1＜Eξ2，得120＜－10p2＋10p＋117.6，解得：0.4＜p＜0.6，即当选择投资乙项目时，p的取值范围是(0.4，0.6)．。
2023版高考数学一轮总复习第十二章概率第三讲离散型随机变量及其分布列均值与方差课件理
P(X=k)=
−
C C
−
C
,k=0,1,2,…,m,即
其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布,
记作X~H(N,M,n).
考点3
离散型随机变量的均值与方差
1. 离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格形式表示如下,
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
xn
pn
则上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.为了简单起
见,也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
考点1
离散型随机变量的分布列
2. 离散型随机变量的分布列的性质
考点3
注意
离散型随机变量的均值与方差
(1)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均;
(2)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X是可变
的,可取不同值,而E(X)是不变的,它描述X取值的平均状态;(3)随机变
量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散
的程度.D(X)越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)
(2)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关. ( × )
(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是
一回事.
( × )
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程
高考数学一轮复习 离散型随机变量的分布列、均值与方差共53页
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.2.2 离散型随机变量的分布列、均值、方差的应用课件
第2讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
考点二 离散型随机变量的分布列、均值、方差的应用
撬点·基础点 重难点
1 离散型随机变量的方差与标准差 若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称 D(X)＝___i＝∑_n_1__(_x_i－__E__(X__))_2_p_i ___为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏 离程度，其算术平方根___D__X____为随机变量 X 的标准差，记作 σ(X)． 2 均值与方差的性质 若 Y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E(aX＋b)＝__a_E_(_X_)_＋__b_.__ 证明：E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋ xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
3 两点分布与二项分布的均值与方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布，则_E__(X__)＝__p_，__D__(X__)＝__p_(_1_－__p_)_．____ (2)若随机变量 X～B(n，p)，则 E(X)＝__n_p__，D(X)＝_n_p_(_1_－__p_)．_
注意点 随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系
[解] (2)①由(1)及列表可知，X 可能的取值为 60,70,80，并且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝
80)＝0.7.
X 的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
X 的数学期望为 E(X)＝60×0.1＋70×0－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
高三数学第十二章-概率与统计知识点归纳
高中数学知识点第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．（2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计 知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1Λ=i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.有性质①Λ,2,1,01=≥i p ； ②121=++++ΛΛi p p p .注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0Λ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C kn kkn⋅=-.⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A AP(k)P(ξk 1k 21-==Λ.根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-==Λ),3,2,1(1Λ==-k p q k 于是得到随机变量ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中Λ3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C r m =，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a Λ=⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n ba C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nkn k k n Λ=+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ΛΛ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ.⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===k p x P k k ξ时，则称ΛΛ+-++-+-=n n p E x pE x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差.显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（+ q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)( ⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积图像的函数)(x f 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f . （σμ,,R x ∈为常数，且0φσ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E .⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近. ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=-ππx ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤π.注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)(φx Φ.比如5.00793.0)5.0(π=-Φσμ则σμ-5.0S 阴=0.5S a =0.5+S如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.。
福建专用高考数学一轮复习第十二章概率12.3离散型随机变量及其分布列课件理新人教A版
C.取到白球的个数
D.取到的球的个数
关闭
选项A,B表述的都是随机事件,选项D是确定的值2,并不随机;选项C是随 机变量,可能取值为0,1,2.
关闭
C
解析 答案
-8-
知识梳理 考点自测
12345
3.(2017 福建厦门质检)设随机变量 X 的分布列为
P(X=k)=m
2 3
������
(k=1,2,3),则 m 的值为(
������M1 ������Nn--M1 ������Nn
…
������Mm ������Nn--Mm ������Nn
其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分
布列具有上表的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
-5-
知识梳理 考点自测
1.若X是随机变量,则Y=aX+b(a,b是常数)也是随机变量. 2.随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的.
X
0
1
P
1-p
p
其中p=P(X=1)称为成功概率.
(2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰
有X件次品,P则(X=k)=C
������ ������
C������������--������������
C
������ ������
,k=0,1,2,…,m,即
X0
1
…m
P
������M0 ������Nn--M0 ������Nn
10
10
5
5
5 15 15 15
2.
5
答案
-12-
考点1 考点2 考点3
思考利用离散型随机变量的分布列的性质能解决哪些问题?
高考数学艺体生文化课总复习第十二章概率与统计第2节离散型随机变量的均值与方差点金课件
…
m
…
C C m nm M NM CnN
精选例题
【例1】
随机变量的概率分布规律为P(
n)
a n(n
1)
(n
1,
2,
3,
4),
其中a为常数,则P
1 2
5 2
的值为(
)
A.
2 3
B.
3 4
C.
4 5
D.
5 6
【答案】 D
【解析】
P(
n)
a n(n 1)
, 1a 2
a 23
a 3
4
a 4
5
7.一家面包房根据以往某种面包的
销售记录,绘制了日销售量的频率
分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为
概率,并假设每天的销售量相互独
立.X表示在未来3天内日销售量不
低于100个的天数,
则数学期望E(X)=
,
方差D(X)=
.
【答案】 1.8;0.72
【解析】 由题意知,日销售量不低于100个的频率为 (0.006+0.004+0.002)×50=0.6,且X~B(3,0.6), 所以期望E(X)=3×0.6=1.8, 方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
量X的方差.它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度. 其中算术平方根 D( X ) 为随机变量X的标准差.
(3)性质
E(ax+b)=aE(x)+b
D(ax+b)=a2D(x)
D(x)=E(x2)-(E(x))2
4.两点分布 (1)若随机变量X的分布列为
X
0
1
高三数学一轮复习 第十二章 计数原理、概率、随机变量及其分布第八节 离散型随机变量的均值与方差课件
h
26
•因为EX1＝EX2，DX1>DX2，所以两个保护区 内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙 保护区内的违规事件次数更集中和稳定，甲保 护区的违规事件次数相对分散和波动．
h
20
•(1)求该学生考上大学的概率； •(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束， 记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ 的数学期望．
解析：(1)记“该生考上大学”为事件 A，
其对立事件为 A ，则
P( A )＝C41(13)(23)3(23)＋(32)4＝26443＋1861＝121423，
h
36
P(X＝1)＝P(A1)P( A2 )＋P( A1 )P(A2)＝2p(1－p)， P(X＝2)＝P(A1)P(A2)＝p2. 故 X2 的概率分布列为
X2 1.3
1.25 0.2
P (1－p)2 2p(1－p) p2
h
37
•所以E(X2)＝×(1－p)2＋×2p(1－p)＋×p2 •＝×(1－2p＋p2)＋×(p－p2)＋×p2
•∴乙保护区的管理水平相对要好．
•【方法探究】 数学期望反映了随机变量取 值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能 解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值 周围变化的情况，即方差．
h
27
2．某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每 个阶段选手要回答一个问题，规定回答问题正确者进入下一 阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决 赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第12章 概率 第5节 离散型随机变量的均值与方差
4
.又随机变量
9
1
p=3,即
X~B
1
2, 3
X,Y 满足:Y=3X-1,
,
考点三
均值与方差在决策中的应用
例3(2021新高考Ⅰ,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每
位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回
答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽
(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如:两点分布、二项分布
等),可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
2.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列;
(4)由均值的定义求EX;
(5)由方差的定义求DX.
常用结论
1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=(EX1)·(EX2).
2.均值与方差的关系:DX=E(X2)-(EX)2.
3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
4.E(X1+X2)=EX1+EX2.
研考点•精准突破
考点一
离散型随机变量的均值与方差
例1(1)(2023山西长治模拟)从装有3个白球、m个红球和n个黄球(这些小球
3
C 22
,P(ξ=4)=C 3
35
7
=
1
,
35
规律方法 1.求随机变量的期望和方差的基本方法:
(1)已知随机变量的分布列,直接利用期望和方差公式直接求解;
(2)已知随机变量X的期望、方差,求aX+b(a,b∈R)的期望与方差,利用期望
2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差教师用书PDF含解析
考点一 离散型随机变量及其分布列
１.离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量 Ｘ 可能取的不同值为 ｘ１ ꎬｘ２ ꎬ������ꎬｘｎ ꎬＸ 取
每一个值 ｘｉ( ｉ ＝ １ꎬ２ꎬ������ꎬｎ) 的概率 Ｐ( Ｘ ＝ ｘｉ ) ＝ ｐｉ ꎬ则称表
Ｘ
ｘ１
ｘ２
������
ｘｉ
������
ｘｎ
Ｐ
评判规则:若至少满足以上两个不等式ꎬ则生产状况为优ꎬ 无需检修ꎻ否则需检修生产线.试判断该生产线是否需要检修ꎻ
(２)将数据不在(μ－ ２σꎬμ＋ ２σ) 内的产品视为次品ꎬ从该生 产线加工的产品中任意抽取 ２ 件ꎬ次品数记为 Ｙꎬ求 Ｙ 的分布列 与数学期望 Ｅ(Ｙ).
解析 (１)由频率分布直方图可得 Ｐ(１２<Ｘ<１６) ＝ (０.２９＋０.１１) ×２ ＝ ０.８ꎬ
Ｐ(１０<Ｘ<１８) ＝ (０.０４＋０.２９＋０.１１＋０.０３) ×２ ＝ ０.９４ꎬ
Ｐ(８<Ｘ<２０)＝ (０.００５＋０.０４＋０.２９＋０.１１＋０.０３＋０.０１５)×２＝ ０.９８ꎬ
∴ 符合①ꎬ不符合②③ꎬ故该生产线需要检修.
(２)１００ 件产品中ꎬ次品个数为 １００×(１－０.９４) ＝ ６ꎬ正品个数
第十二章 概率与统计 １ １５
§ １２.２ 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
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高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2离散型随机变量及其分布列均值与方差课件
2.(2019课标Ⅱ文,19,12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100
P(X=0)=P( C D )=P( C )P( D )=0.24. 所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1. (3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”. 假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由上个月的样本数
解析 本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加
法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽 取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
7
7
14
随机变量X的数学期望E(X)=1× 1 +2× 3 +3× 3 +4× 1 = 5 .
14 7 7 14 2
评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量的分布列与数学期望等基 础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.
5.(2014天津理,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学 来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中 随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
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§12.4 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
知识清单
1.离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xn,ξ取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(ξ=xi)=pi,则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为随机变量ξ的概率分布列,具有性质: a.pi≥0,i=1,2,…,n; b.p1+p2+…+pi+…+pn=1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2.两点分布 如果随机变量X的分布列为
D四所中学的学生中随机抽取50名学生参加问卷调查,已知A,B,C,D四所中学各抽取的学生人数
分别为15,20,10,5.
(1)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率;
(2)在参加问卷调查的50名学生中,从来自A,C两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用ξ表示
来自A中学的学生人数,求ξ的分布列及期望.
(2)若X~B(n,p),则EX=np,DX= np(1-p) . 【知识拓展】 1.随机变量的本质 (1)所谓随机变量,就是试验结果和实数之间的一个对应关系,这与函数概念本质上是相同的,只 不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在随机变量的概念中,随机变量X的自变量是试 验结果. (2)随机变量具有如下特点:其一,在试验之前不能断言随机变量取什么值,即具有随机性;其二,在 大量重复试验中能按一定统计规律取实数值,即存在统计规律性. 2.离散型随机变量的分布列的作用 对于随机变量X的研究,需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率,对于离散型随机 变量,它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率. 3.对均值(或数学期望)的理解 (1)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均. (2)EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,而EX是不变的,它描述X取
10 10
P(X=3)= 3 ×3
10 10
…
=2 1 ,
100
×7 =6 3 ,
1 0 1 000
P(X=k)= 3 k 1. 7
1 0 1 0
… 所以X的分布列为
X
1
2
3
…
k
…
P
7
21
63
…
3
k 1
7
…
10
100
1 000
1 0 1 0
(3)与情况(1)类似,X的可能取值是1,2,3,4,而其相应概率为
X
0
1
…
m
P
C
0 M
C
n N
0 M
C C1 n 1 M NM
…
C Cm n m M NM
C
n N
C
n N
C
n N
为超几何分布列.
4.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
P
p1
p2
…
pi
…
xn
…
pn
(i=1,2,…,n) (1)均值 称EX= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量 取值的平均水平. (2)方差
可能取值→利用所学概率知识
如古典概型,两点
分布,超几何分布
求P(X=k)的值→写出X的
分布列
解析 (1)由于总共有7件正品,3件次品,所以,X的可能取值是1,2,3,4,取这些值的概率分别为
P(X=1)= 7 ,
10
P(X=2)= 3 ×7 7= ,
10 9 30
P(X=3)= 3 ×2 7 × 7 = ,
n
称DX=
i 1
(xi-EX)2pi 为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度,其
算术平方根 D为X 随机变量X的标准差,记作σX. 注:D(ξ)=E(ξ)2-(Eξ)2,由ξ的分布列唯一确定. 5.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aEX+b (a,b为实数). (2)D(aX+b)= a2DX (a,b为实数). 6.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则EX=p,DX= p(1-p) .
P(X=1)= 7 ,
10
P(X=2)= 3 ×8 =6 ,
10 10 25
P(X=3)= 3 ×2 ×9 2=7 ,
10 10 10 500
P(X=4)= 3 ×2 ×1 1 0× 3 = .
10 10 10 10 500
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P
7
6
27
3
10
25
500
500
1-1 (2016陕西宝鸡3月月考,19,12分)某市为了解“陕西分类招生考试”的宣传情况,从A,B,C,
10 9 8 120
P(X=4)= 3 ×2 1 × 7 ×1 = . 所以X的分1 0 布9 列为8 7 1 2 0
X
1
2
3
4
P
7
7
7
1
10
30
120
120
(2)由于每次取出的产品仍放回,每次取时完全相同,所以X的可能取值是1,2,…,k,…,相应的
取值概率为
P(X=1)= 7 ,
10
P(X=2)= 3 ×7
值的平均状态. (3)公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn,直接给出了EX的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后 相加.由此可知,求随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列. 4.方差的意义 DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度,DX越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散, DX越小,说明X的取值越集中,由方差定义知,方差是建立在期望这一概念之上的.在EX附近,统计 中常用 D来X 描述X的分散程度.
X
1
0
P
p
q
其中0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的 两点分布 .
3.超几何分布列
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中含有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=
C
k M
C
nk N M
C
n N
(k=0,1,2,…,m) ,其中m={M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,称分布列
突破方法
方法1 离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行:
例1 (2014安徽合肥3月月考,21,13分)一批产品共10件,其中7件正品,3件次品,每次从这批产品 中任取一件,在下述三种情况下,分别求直至取得正品时所需次数X的分布列. (1)每次取出的产品不再放回; (2)每次取出的产品仍放回; (3)每次取出一件次品后,总是另取一件正品放回到这批产品中. 解题导引 确定X的