复数代数形式的四则运算(教学设计)(2)
《复数的四则运算》教案全面版
《复数的四则运算》教案[教学目标]：知识与技能：1、掌握复数代数形式的加法、减法及乘法运算及意义.2、理解并掌握共轭复数的概念.过程与方法：1、由实数的运算法则来研究复数的运算.2、通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生学会与别人共同学习.3、让学生学会运用类比推理研究数学问题，培养学生理性思维能力. 情感、态度与价值观：1、通过本节课的学习，能提高学生分析问题解决问题的能力.2、学生初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识.[教学重点]：复数代数形式的加法、乘法运算.[教学难点]：复数代数形式的乘法运算.[教学过程]：一、自学质疑1、明确学习目标，揭示课题师：今天我们将要学习什么知识？（板书课题）我们知道实数有加、减、乘法等运算，且有运算律，请同学们回忆一下它们的运算法则是什么？（提问1-2个学生，师总结）师：那么复数应怎样进行加、减、乘法运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘法运算呢？运算律仍成立吗？交流导学案 [知识链接] .2、学生质疑师：通过预习，在你的学习过程中还有哪些问题没有解决？二、交流展示在交流过程中解决学生提出的疑问.1、交流学案（提问2-3位同学）通过学生的回答师总结如下：（1）复数加、减法的运算法则已知两复数1z ＝bi a +,2z ＝di c +,(a 、b 、c 、d ∈R)加法法则：i d b c a z z )()(21+++=+减法法则： i d b c a z z )()(21-+-=-结论：两个复数相加（减）即实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.注意：○1两个复数的和、差仍是一个复数. ○2复数的减法是加法的逆运算. ○3复数的加减法可类比多项式的加减法进行. 容易验证，复数的加减法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有： 1221z z z z +=+)()(321321z z z z z z ++=++ .例1、 计算)94()52(31i i i +-++--）（ （由学生口头讲述，师板书）解：)94()52(31i i i +-++--）（=i )953()421(+--+--=i +-5（2）复数的乘法运算法则2))(bdi bci adi ac di c bi a +++=++（i ad bc bd ac )()(++-=注意：○1两个复数的积仍然是一个复数. ○2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把2i 换成-1，然后实、虚部分别合并.容易验证，复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有： 1221z z z z =)()(321321z z z z z z =3121321)(z z z z z z z +=+例2、计算)31)(23)(2(i i i +----（由学生口头讲述，师板书）解：)31)(23)(2(i i i +----=)31)(8(i i +-+-=i 255-例3、 计算))((bi a bi a -+ （找2-3位学生板演，师总结）解：方法1；))((bi a bi a -+=222i b abi abi a -+-=222i b a -=22b a +方法2；))((bi a bi a -+=22b a - 一步到位注意：bi a +与bi a -两复数的特点.定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数bi a z +=的共轭复数记作z ，即 bi a z -=.三、互动探究1、小组讨论：○1 当a>0时，方程02=+a x 的解是 .○2 在复数集C 内，将22y x +分解因式为 .○3 设bi a z += ),(R b a ∈，那么=+z z ；=-z z . 2、交流、填写学案.四、精讲点拨○1复数的和、差、乘仍是一个复数. ○2复数的加、减及乘法可类比多项式的运算法则进行.五、矫正反馈学生依据本节课所学知识,矫正学案.六、迁移应用学生独立完成[巩固练习].复数的四则运算(一) 导学案、巩固案[学习目标]：1、掌握复数代数形式的四则运算法则.2、能进行复数代数形式的加法、减法、乘法运算.3、理解并掌握共轭复数的概念.4、学会运用类比推理研究数学问题，培养理性数学思维能力.[重点难点]：复数代数形式的加、减及乘法的运算.[知识链接]：1、复数加法的法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 .2、满足的运算律（用式子表示）（1）交换律： .（2）结合律： .3、复数减法的法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 . 总结： .4、复数的乘法法则：设bi a z +=1,di c z +=2,)(R d c b a ∈、、、，则 . 复数乘法满足的运算律（用式子表示）（1）交换律： .（2）结合律： .（3）分配律： .[基础练习]：(1).=--+-i i i 4)57()35( .(2).=+++----)71()2()42(i i i .(3).=+--++)65()43()21(i i i .(4).=+--)5)(32(i i .(5).=+++）i i i 3)(2)(1( . (6).=-++-++-)]()[()]()[(bi a b a bi a b a .(7).=-++++-)]())][(()[(bi a b a bi a b a .(8).复数bi a z +=,)(R b a ∈、,且0≠b ,若bz z 42-是:（1）实数 （2）纯虚数 （3）虚数；分别写出一组有序实数对)(b a 、．[学习小结]：1、复数的和、差、乘仍是一个 .2、复数的减法是 的逆运算.3、复数的加、减及乘法可类比 的运算法则进行.[互动探究]：1、 当a>0时，方程02=+a x 的解是 .2、 在复数集C 内，将22y x +分解因式为 .3、 设bi a z += ),(R b a ∈，那么=+z z ；=-z z .[学习反思]：1、归纳本节课学习的内容，你记住了哪些知识？2、在这节课的学习中，你还有哪些问题没有解决？[巩固练习]1、复数i -2的虚部是 .2、如果复数bi a +为实数0，则实数a = b = .3、如果i m m m z )1()1(2-++=为纯虚数，则实数m 的值为 .4、以12--i 的虚部为实部，以22i i +的实部为虚部的复数为 .5、已知M={1,2,(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i},N={-1,3},M ∩N={3},则实数a = .6、如果1)(-=+x i y x ,求实数x ,y 的值及复数yi x z +=.7、如果i m m m )2()1(22-+->0,求实数m 的值.8、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足i y i y x -=-+-)3()12(,(1)求x ,y ；(2)若R y x ∈，,其余条件不变，求x ,y 的值；（3）若bi a x +=R b a ∈，(是虚数,R y ∈,其余条件不变，求虚数x 中实部与虚部间的关系.。
人教版高中选修1-23.2复数代数形式的四则运算课程设计
人教版高中选修1-23.2复数代数形式的四则运算课程设计一、课程设计背景和目的在人教版高中选修1的23.2复数代数形式的四则运算的学习中，我们需要掌握复数的四则运算。
复数是一类数，由实数及虚数形成。
虚数由一个实数和i（虚数单位）相乘得到。
本课程设计旨在帮助学生掌握复数的四则运算，并能够灵活应用于解决实际问题。
二、教学内容及教学目标2.1 教学内容本课程设计的教学内容包括：•复数的定义及表示•复数的加法、减法•复数的乘法、除法•复数的幂运算•复数方程的解法•复数的实部、虚部及共轭2.2 教学目标通过本课程设计的教学，学生应达到以下目标：•熟练掌握复数的定义及表示方法•能够进行复数的加、减、乘、除、幂运算•能够使用复数解决实际问题•了解复数的实部、虚部及共轭三、教学重点和难点3.1 教学重点•复数的加、减、乘、除、幂运算•复数方程的解法3.2 教学难点•复数的乘、除法运算•复数方程的解法四、教学方法4.1 教师讲授教师使用PPT等多媒体工具向学生讲解复数的定义、四则运算、幂运算等概念及方法。
4.2 学生探究学生结合实际问题，通过小组协作、讨论等方式，探究复数的应用及解决方法。
4.3 课堂练习教师设计各种类型的练习，帮助学生理解和掌握知识。
4.4 课后作业教师布置相应的作业，巩固和扩展学生的知识。
五、课程安排本课程设计教学时间为6学时，具体安排如下：学时教学内容1 复数的定义及表示，复数的加、减法2 复数的乘法、除法，复数的幂运算3 复数在实际问题中的应用4 复数方程的解法5 复数的实部、虚部及共轭6 课程总结和评价六、教学评估本课程设计的评估方式主要包括：6.1 日常测评根据教师布置的课后作业、课堂练习等，对学生进行日常评估。
6.2 作品展示学生根据课程内容，进行小组或个人作品设计，进行展示和评价。
6.3 课程评价和反思学生对本节课程进行自我评价和学习反思，对本课程设计提出建议和改进建议。
七、结语本课程设计旨在帮助学生掌握复数的四则运算，并能够灵活应用于解决实际问题。
《复数的四则运算》单元教学设计(2课时)
《复数的四则运算》单元教学设计（2课时）一、内容和内容解析1.内容复数的加减运算及其几何意义，复数的乘除运算．本单元的知识结构：本单元建议用2课时：第一课时，复数的加减运算及其几何意义；第二课时，复数的乘、除运算.2.内容解析引入一类代数对象，就要研究它的运算．本节主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则，本节还讨论复数加、减运算的几何意义.通过本节的学习，侧重提升学生的数学运算、直观想象素养．复数的四则运算法则都是规定的，但这种规定是有“依据”的，也是有层次的.第一层次，复数的加法和乘法法则是直接规定的，规定的“依据”就是在复数概念引入时，得到的“规则”，即实数系扩充到复数系后，我们希望“数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”. 教学时应引导学生体会复数运算法则和运算律规定的合理性. 以此为载体，教给学生研究数学问题的思路和方法. 第二层次，复数的减法运算和除法运算法则，是通过复数的减法运算是加法运算的逆运算，除法运算是乘法运算的逆运算得到的，为什么可以看成逆运算，是类比了实数减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算得到的.在教学过程中，要让学生感受转化与化归的数学思想，感受加减运算和乘除运算中辩证统一的思想，进一步体会类比是研究数学问题的重要方法,教材在规定了复数的四则运算后，让学生分别与多项式的运算法则进行比较，发现两者的共性.目的是通过类比，让学生借助多项式的四则运算法则去进行复数的四则运算，从而避免了不必要的死记硬背．如：复数a+bi中实部和虚部a，b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个“一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”. 通过这种比较，加深理解，淡化记忆，提升学生的数学运算素养.复数加法和减法的几何意义是借助复数的几何意义以及向量加法和减法的几何意义得到的，主要体现在三方面：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法和减法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法和减法的运算法则．教学中要让学生充分感受数形结合以及类比的数学思想，感受普遍联系的唯物主义观点，提升学生的直观想象素养.综上所述，本单元的教学重点是：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．二、目标和目标解析1. 目标（1）掌握复数代数表示的四则运算的运算法则和运算律，体会转化与化归的数学思想方法，发展数学运算素养.（2）发现复数的四则运算和多项式的四则运算的共性，体会类比的思想方法.（3）了解复数加、减运算的几何意义，体会数形结合的思想方法，发展直观想象素养.（4）了解在复数集中求解一元二次方程的方法.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够依据数系扩充的规则，自主探索，合理地规定复数加法和乘法的运算法则，能够通过减法和加法互为逆运算，除法和乘法互为逆运算，得到减法和除法的运算法则，并在其中体会转化与化归的思想方法.学生能够利用复数的四则运算法则，进行简单的复数代数表示的运算.达成目标（2）的标志是：学生能够通过类比发现复数的加减运算和乘除运算与多项式的加减运算和乘除运算的“共性”，得到“两个复数相加（减）或相乘（除），类似于两个多项式相加（减）或相乘（除）”.达成目标（3）的标志是：学生能够通过复数与平面向量一一对应的关系、平面向量加法和减法的几何意义以及复数加减运算法则，得出复数加减运算的几何意义.达成目标（4）的标志是：学生能够利用复数的四则运算法则,在复数集范围内求解一元二次方程，得出复数集内一元二次方程的求根公式.三、教学问题诊断分析学生在初中已经学习过多项式的四则运算，在“数系的扩充和复数的概念”一节已经了解了数系扩充的规则，即：“数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”.在教师的引导下，应该能够得出复数加法运算和乘法运算运算法则的“合理”规定.因前一节刚刚学习了复数的几何意义，学生对复数与复平面上的点以及平面向量三者之间一一对应的关系比较熟悉，所以，较易得出复数加法的几何意义，同时类比加法的几何意义，能够得出复数减法的几何意义.由于减法运算和除法运算是分别通过加法运算和乘法运算的逆运算得到的，而学生对逆运算会感觉不好理解，学习中可能会存在一些困难，所以本单元的教学难点是：复数减法和除法的运算法则.四、教学支持条件分析在复数加法和减法几何意义的教学中，可借助几何画板或Geogebra软件，呈现复数所对应的平面向量以及加减运算后所得到的平面向量，帮助学生更好地理解复数加法和减法的几何意义.五、课时教学设计第一课时7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（一）课时教学内容复数的加减运算及其几何意义.（二）课时教学目标1.掌握复数加法和减法运算的运算法则及其运算律.2.了解复数加法运算和减法运算的几何意义.（三）教学重点与难点教学重点：复数加法运算的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．教学难点：复数减法运算的运算法则．（四）教学过程设计1.复数加法运算和减法运算引言：同学们，上一节课，我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，我们就要研究其中的数之间的运算.我们通过上一节的研究，已经了解了，数集扩充后，复数集中的数依然满足四则运算和相应的运算律.本单元我们主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则.这一单元分为两课时，我们这节课先来学习复数的加减运算及其几何意义.下节课我们再学习复数的乘除运算.问题1上一节，我们在将实数集扩充到复数集的时候，遵循了数系扩充的规则，这个规则是什么？师生活动：学生思考回答：数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.设计意图：复数加法运算法则是规定的，但这种规定是基于数系扩充的一般规则，先让学生复习数系扩充的一般规则，温故知新，为后续复数加法运算法则的规定做好铺垫.问题2 我们规定，复数的加法法则如下：设是任意两个复数，那么它们的和当b=0,d=0时，？和规定的复数的加法运算法则比较，说明了什么？师生活动：学生易得a+c. 教师引导学生得出：复数的加法法则与实数的加法法则一致，这说明复数系与实数系中加法运算协调一致．设计意图：通过特例，让学生感受复数系中加法的运算法则和实数系中加法的运算法则是协调一致的.问题3 同学们，我们已经规定了复数的加法运算法则，请大家类比一下，复数的加法运算和多项式的加法运算有什么共性？师生活动：教师引导，学生思考回答：可以把复数a+bi中实部和虚部看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个“一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.教师总结：两个复数相加，类似于两个多项式相加.对复数的加法法则不需要死记硬背.设计意图：让学生通过类比，体会复数加法运算法则和多项式加法运算法则的联系性.问题4 复数的加法是否和多项式的加法一样，也满足交换律和结合律呢？追问：你能试着证明你的结论吗？师生活动：教师引导，学生由多项式加法的交换律和结合律，容易猜测得出复数的加法也满足交换律和结合律.之后让学生分成两大组，分别证明复数加法的交换律和结合律，证明完成后，由学生进行展示与互评.设计意图：让学生经历观察、类比、猜想、证明的过程，培养逻辑推理素养.问题5我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？师生活动：学生思考回答.教师引导：首先类比实数的减法，规定复数的减法是加法的逆运算，即用两个复数的加法定义两者的差；即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi（x，y∈R）叫做复数a+bi（a，b∈R）减去复数c+di（c，d∈R）的差，记作(a+bi)-(c+di)．然后依据复数的加法、复数相等的定义，c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d.所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.教师要指出这里实际上使用的是待定系数法，它也是确定复数的一个一般性的方法．追问：复数的减法和多项式减法有什么共同点？师生活动：学生通过类比，易得：两个复数相减，类似于两个多项式相减，也可以看成是合并同类项.设计意图：通过类比实数减法是加法的逆运算，引导学生推导得出复数减法的法则，体会待定系数法是确定复数的一般方法，体会类比是研究问题的常用的逻辑思维方法.通过与多项式减法的类比，发展学生的逻辑推理素养.2.复数加、减运算的几何意义问题6 复数的几何意义是什么？追问1：向量加法的几何意义是什么？追问2：你能由向量加法的几何意义出发，得出复数加法的几何意义吗？师生活动：学生思考回答，教师利用PPT展示复数的几何意义以及向量加法的几何意义.师生活动：教师从三个方面进行引导：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法法则.师生共同推导得出：这说明两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，如下图所示，这就是复数加法的几何意义．设计意图：让学生通过类比、推理，得出复数加法的几何意义，体会数形结合思想的作用，加深对复数几何意义的理解，提升数学直观想象素养.追问2：类比复数加法几何意义得出的过程，你能得出复数减法的几何意义吗？师生活动：学生自主探究，类比加法几何意义得出的过程，得出复数减法的几何意义，即：复数的减法可以按照向量的减法来进行，如下图所示：3.复数加减运算及其几何意义的简单应用例1计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).师生活动：学生独立完成，教师展示学生答题结果，并进行评价.解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.设计意图：让学生利用向量加、减运算法则和运算律进行简单的运算求解，巩固新知.4. 课堂练习教科书第77页练习第1题.师生活动：学生独立完成，口答结果，教师进行评价反馈.教师进一步指出复数的加减运算类似于多项式加减运算的“合并同类项”，复数的减法运算可以转化成加法运算.设计意图：及时巩固新知，检查学生对复数加减运算法则和运算律的掌握程度，培养学生运用所学知识解决数学问题的能力，提升数学运算素养.师生活动：学生独立完成，教师利用信息技术进行展示、评价、反馈.设计意图：通过该例题加深学生对复数代数形式加法运算几何意义的理解，通过画图培养学生数形结合思想和直观想象素养.例3根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离．教师指出：本题的计算结果实际上就是平面上两点间的距离公式，在高二年级的解析几何的教学中还会进一步学习.5. 课堂练习教科书第77页练习第2，4题.设计意图：进一步巩固复数加减法运算的几何意义，体会利用复数的几何意义可以将几何问题代数化，体会转化与化归的数学思想.6. 课堂小结问题7通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈.师生活动：学生思考回答，教师补充完善.预设答案：知识方面：学习了复数加减运算的运算法则、运算律以及几何意义；思想方法方面：类比的研究方法，转化与化归的数学思想等.设计意图：通过对本节内容从知识和方法上进行总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识.7. 课后作业教科书习题7.2第1，2，5题.（五）目标检测设计1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )．A．0 B．2iC．6 D．6－2i设计意图：考查学生对复数加法运算掌握的情况.2．已知＝2＋i，＝1＋2i，则复数z＝－对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限设计意图：考查学生对复数加减法运算法则和复数加法运算几何意义的掌握情况.设计意图：考查复数的加减运算.第二课时7.2.2 复数的乘、除运算（一）课时教学内容复数的乘除运算.（二）课时教学目标1.掌握复数乘、除运算的运算法则及其运算律.2.会在复数范围内求解一元二次方程.（三）教学重点与难点教学重点：复数乘法运算的运算法则．教学难点：复数除法运算的运算法则．（四）教学过程设计1.复数的乘法运算及其应用引言：上节课，我们学习了复数的加减运算及其几何意义，这节课我们来继续学习复数的乘除运算.问题1我们规定，复数的乘法法则如下：设=a+bi，= c+di(a，b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.复数的乘法法则和多项式的乘法法则有什么共性和差异？师生活动：学生思考口答，教师板书.学生通过类比，易得：将复数a+bi看成是关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式的乘法进行，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可．教师指出，复数的乘法法则类似多项式的乘法法则，也没有必要专门去记忆复数乘法的法则．设计意图：通过类比，进一步加强数学知识间的联系，问题2合理规定了复数乘法的运算法则之后，你认为我们还应该继续研究什么？师生活动：学生类比复数加法的研究过程，容易想到接下来应该去研究复数乘法的运算律.追问1：你认为复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？师生活动：学生类比多项式乘法，易得出复数的乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律的猜想.即：追问2：怎样证明你的猜想？师生活动：教师根据学情，让学生证明他们的猜想.可以分成3个大组，每组同学分别证明其中一个结论，也可以证明其中一个，如复数乘法的交换律，另两个留作课后作业.教师重点展示（或板书）其中一个结论的证明过程.以复数乘法的交换律为例：设计意图：让学生经历猜想、证明的过程，感受数学的严谨性.通过形式化的证明，培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养．例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)．师生活动：学生独立完成，之后利用信息技术手段展示、自评、互评.解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.教师要提醒学生注意(-2i)(4i)=8，而不是-8.设计意图：一是让学生明晰，依据复数乘法的结合律，这种连乘形式有意义，可以看成左到右依次相乘；二是让学生熟悉复数的乘法．例2计算：（1）(2+3i)(2-3i)；（2）(1+i)2.师生活动：教师应先引导学生观察两个式子的特点，进而指出计算时，可以用复数的乘法法则计算，也可以用初中学过的乘法公式计算．学生独立完成后进行展示、自评、互评.（5）如果一元多项式方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对出现”．设计意图：由特殊到一般，猜想得出共轭复数的性质，体会推广和一般化是得出数学结论的一种逻辑思维方法.问题4类比复数减法运算法则的规定，你怎样来规定复数除法的运算法则？师生活动：类比复数的减法是加法的逆运算，以及实数的除法是乘法的逆运算，学生可以得出可以由复数的除法是乘法的逆运算来探求复数除法的法则．追问1：请尝试由复数的除法是乘法的逆运算以及复数乘法的运算法则，来规定复数除法的运算法则.师生活动：教师指出：把满足(c+di) (x+yi)=a+bi（a，b，c，d，x，y∈R，且c+di≠0）①的复数x+yi，叫做复数a+bi除以复数c+di的商. 学生尝试推导，教师巡视并给予个别指导.由①计算可得(c x -dy)+ (cy+d x) i =a+bi.根据复数相等的定义，有c x -dy=a，cy+d x=b.师生活动：学生思考回答，可以将“分母实数化”，即：教师指出，这是求两个复数商的简便方法，类似于两个根式相除，只要把分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），就可以使分母“实数化”，化简后就得出所求．因此无需记忆复数除法的运算法则.设计意图：通过问题串的引导，让学生进一步经历研究问题的思路和方法，感受转化与化归的思想，发展逻辑推理素养.例3 计算（1+2i）÷（3-4i）．师生活动：学生独立完成，教师反馈评价.设计意图：让学生及时掌握上述复数除法运算的过程.例4在复数范围内解下列方程：师生活动：教师引导分析，学生自主完成. 师生共同利用信息技术反馈、评价.设计意图：呼应本章章引言提出的问题，彻底解决一元二次方程的求解问题，培养学生的运算求解能力.3.课堂练习教科书第80页练习第3，4题.4.单元小结（1）你对复数四则运算法则规定的合理性，以及复数的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？（2）复数的四则运算和多项式的四则运算有哪些异同点？师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、回答，互相补充，教师进行点评，帮助完善.设计意图：帮助学生梳理本单元的重点知识以及主要的研究思路和方法.5.课后作业教科书习题7.2第3，4，6，7题.（五）目标检测设计1.已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=（）.（A）-2-i（B）-2+i（C）2-i（D）2+i设计意图：考查学生对复数代数表示式四则运算法则和运算律的掌握程度，同时评价数学运算能力.2.若复数满足.设计意图：评价学生对共轭复数概念的理解程度和复数代数表示式乘、除运算的掌握程度.3.若复数是关于x的方程的一个根，则pq的值为．设计意图：考查学生对实系数方程根、复数相等条件的理解程度和对复数代数表示式四则运算的掌握程度，同时评价运算求解能力.。
人教课标版高中数学选修1-2：《复数代数形式的四则运算》教案-新版
3.2 复数代数形式的四则运算一、教学目标 1.核心素养通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.学习重点复数代数形式四则运算法则. 4.学习难点复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用. 二.教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材P 56---P 60,完成P 58和P 60相应练习题 任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则 任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义 2.预习自测1.设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为（ ） A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 答案：D解析：∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i .2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（ ） A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. （二）课堂设计 1.知识回顾1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )的模为22z a b =+2.问题探究问题探究一：复数的加减法●活动一 怎样计算复数的加法与减法?设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么（1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ （2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-. ●活动二 从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）. ●活动三 复数的和与差还是一个复数吗？ 显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数.●活动四 我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？ 对任意123,,z z z C ∈.（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++.●活动五 复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？（1）复平面内的点(,)Z a b OZ ←−−−→uu u r 一一对应平面向量（2）复数i z a b OZ =+←−−−→uu u r一一对应平面向量 （3）复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图，OZ uu u r 表示复数12z z +所对应的向量，12Z Z uuuu r 表示复数12z z -所对应的向量，即OZuu u r表示复数()()i a c b d +++所对应的向量，12Z Z uuuu r表示复数()()i a c b d -+-所对应的向量注： 两个复数的差12z z -表示与连接两个终点12,z z 且指向被减数的向量对应. 问题探究二：复数的乘除法●活动一 复数的乘法怎么算？复数的乘法是否有似曾相识的感觉？设1z =a ＋b i ，2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，则1z ·2z =（a ＋b i ）（c ＋d i ）=_________________.从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ●活动二 复数的乘法是否也满足运算律呢？ 对任意123,,z z z C ∈. （1）交换律：2121z z z z ⋅=⋅（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅1z●活动三 复数的除法又该如何计算呢？设1z =a ＋b i , 2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ，且c ＋d i≠0），122222i i(i 0)i z a b ac bd bc ad c d z c d c d c d+++==++≠+++ 几个运算性质：①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ). ②(1±i)2＝±2i ，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+，1i i=-. ③设13i 22ω=-+，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.●活动四 什么叫做共轭复数？一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常记复数i(,)z a b a b R =+∈的共轭复数为i(,)z a b a b R =-∈.共轭复数有如下性质：①z R z z ∈⇔=；②22z z z z ⋅==；③2z z a +=，2i z z b -=；④1212z z z z +=+，1212z z z z -=-；⑤1212z z z z ⋅=⋅，1122z zz z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(z 2≠0).例 1 计算下列各题： (1)3(2-3i)(2i)12+-++； (2)i 1i 1()()i 2332----+；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【知识点：复数的四则运算】详解：33=(22)(3)i 11i 22-+-++=-（1）原式 111111=()(1)i i 322366-++--+=+（2）原式.（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i. （4）z ＋1＋2i ＝10－3i ，∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.点拔：复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.例2 设及分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出复数z 1＋z 2所对应的向量.【知识点：复数的四则运算，复数加减法的几何意义】 【思路探究】利用加法法则求z 1＋z 2详解：∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ，∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i ∵15,3OZ =uuu r （），24,1OZ =uuu r （），由复数的几何意义可知，12OZ OZ +uuu r uuu r 与复数z 1＋z 2对应， ∴12OZ OZ +uuu r uuu r ＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量12OZ OZ OZ +=uuu r uuu r uu u r如图所示.点拔：1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.变式：在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量. 解：z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.复数z 1－z 2所对应的向量为21Z Z uuuu r.例3 （1）设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. （2）已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值.【知识点：复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：数形结合】（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ).由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0. ∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2.∴|z1－z2|＝2.（2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.解法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(1)(2)解法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.点拔：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.例4 （1）计算61i23i 1i32i ++⎛⎫+⎪--⎝⎭.（2）计算：2013 23i21i123i⎛⎫-++ ⎪⎪-+⎝⎭；(3)若复数1i1iz+=-，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值.【知识点：复数的四则运算】（1）分析：先计算1i1i+-再乘方，且将23i32i+-的分母实数化后再合并.详解：626(1i)23i32i62i3i6 =i1i 255⎡⎤+++++-+=+=-+⎢⎥⎣⎦()()原式又解：626(1i)23i i23i i =i1i 232i i23i⎡⎤++++=+=-+⎢⎥-+⎣⎦()()原式().（2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解.详解：10062i(123i)22(2)=1i 1i 123i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式 100622(1i)=i 2i 2+⎛⎫+⋅⎪-⎝⎭10062(1i)=i i 2++⋅222=i 22--+(3)201422013111z z z zz-++++=-L ， 而21i (1i)2i =i 1i (1i)(1i)2z ++===--+，所以201422201311i 11i 11iz z z zz --++++===+--L 点拔：1.要熟记i n 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若3i 13i z z z ⋅-⋅=+，求z .【知识点：复数的四则运算，共轭复数】详解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点拔：1.22z z z z ⋅==是共轭复数的常用性质.2.实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔ z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数.3.若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 3.课堂总结 【知识梳理】1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.2.复数加减法的几何意义3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 【重难点突破】(1)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式.(2)复数加法的几何意义：如果复数12z z ，分别对应于向量12OP OP uuu r uuu r、，那么，以12OP OP 、为两边作平行四边形，对角线OS 表示的向量OS uu r就是12z z +的和所对应的向量.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. (3)复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式.(4)两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简 .(5)复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化. 4.随堂检测 1.21i=+（ ） A.22 B.2 C.2 D.1 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】 原式211i==+ 2.复数i(2－i)等于（ ） A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.3.已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于（ ） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】由(1－i)2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.（三）课后作业 ★基础型 自主突破 1.()212i1i +-等于（ ）A.11i 2--B.11i 2-+C.11i 2+D.11i 2-答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】 原式12i i12i 2+==-+- 2. i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（ ） A.i B.－i C.1 D.－1 答案：A解析：【知识点：共轭复数相关概念，i 的周期性】 方法一：i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二：i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.3.已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)等于（ ） A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】4.复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】 5.复数z 满足(i)i 2i z -=+，则z =（ ） A.1i -- B.1i - C.13i -+ D.12i - 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】2iz i i+-=，∴1z i =- 6.复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（ ） A.2+i B.2－i C.－1+iC.－1－i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数的定义】(3)(2)15i i z i -++==-+，1z i =-- 7.若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】117(117)(2)3525i i i z i i +++===+- 8. (1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案：1i -+解析：【知识点：复数的四则运算】 原式6(23i)(32i)5i i 11i 325++=+=-+=-++ ★★能力型 师生共研1.已知复数z 满足z (1＋i )＝1＋ai (其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B 解析：【知识点：复数的四则运算】由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限，故选B.2.若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2,3b c ==B.2,1b c ==-C.2,1b c =-=-D.2,3b c =-=答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，复数的相等】 把12i +代入方程20x bx c ++=，利用复数的相等即可3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】4.设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A.若2z ≥0，则z 是实数B.若2z <0,则z 是虚数C.若z 是虚数，则2z ≥0D.若z 是纯虚数，则2z <0答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】6.设复数1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ，若12z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为______.答案：6解析：【知识点：复数的概念，复数的四则运算】∵a ∈R ，1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ， ∴12z z ＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i 2＝a －22＋a ＋22i ，依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6.7.若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案：5解析：【知识点：复数的模，复数的四则运算】∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎨⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b.∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋bi |＝|2－i |=222(1)+-＝ 5.8.计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i).答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算】解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i★★★探究型 多维突破A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】2.已知1122,,,x y x y R ∈，定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为________.答案：90o解析：【知识点：复数的四则运算】设 111a b i ω=+，222a b i ω=+ （12,0a a ≠）故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b . 从而有1212121OP OP b b k k a a ==-g g ，故21OP OP ⊥. 3.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，且z 1＝z 2，则λ的取值范围是_____________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：【知识点：复数的四则运算，三角函数的值域】由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916， 因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 4.已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则 y x 的最大值为________. 答案： 3解析：【知识点：复数的加减法的几何意义，复数的模，直线的斜率的应用】∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 5.已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】设D （x,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +y i)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i.6.已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z ++的值.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模，复数的概念】设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-即2213i i 0a b a b +--++=,则224,10,43i.3,30a a b a z b b ⎧=-⎧⎪++-=⇒=-+⎨⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i34i22(43i)43i z ++-++===+-+-.(四)自助餐1.若12,z z ∈C ，1212z z z z --+是（ ）A.纯虚数B.实数D.不能确定答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的概念】121212i,i(,,,),(i)(i)(i)(i)--=+=+∈+=+-+-+z a b z c d a b c d z z z z a b c d a b c d R 22ac bd =+∈R .2.为正实数，i 为虚数单位，i 2i a +=，则a =（ ） A.2 B.3 C.2D.1答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】2i |1i |12,i +=-=+=a a aa >0,故3a =. 3.36(13i)2i (1i)12i -+-++++的值是（ ） A.0B.1C.iD .2i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】33336(13i)2i 13i (2i)(12i)-1+3i 15i ()()()+(1i)12i 2i 52i 5-+-+-+-+-+=+=++=i+i =2i .4 若复数z 满足3(1)i 1z z -+=,则2z z +的值等于（ ）A .1D .13i 22-+答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】13i133i 3i 10,i ,2213i z z z ω+---===-+=-221z z ωω+=+=-.5.已知33i (23i)z -=⋅-,那么复数z 在复平面内对应的点位于（） A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】33132223iz i i -==+-6.已知复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝（ ）A.－2iB.－iC.iD.2i答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】解：B 依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.7.设456121z i i i i =++++L ，456121z i i i i =⋅⋅⋅L 则12,z z 的关系是（）A .12z z =B .12z z =-C .121z z =+D .无法确定答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，等比数列的前n 项和，等比数列的前n 项和】491(1)1111i i i z i i--===--，456127221z i i ++++===L 故选A. 8.已知2()i i (i 1,n n f n n -=-=-∈N )，集合{}()f n 的元素个数是（ ） A.2B.3C.4D.无数个答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】00-12-23-31(0)i -i 0,(1)i-i =i-=2i,(2)i -i 0,(3)i -i =-2i.i f f f f ======9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A ,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案：C解析：【知识点：复数的加减法的几何意义】A 点坐标为(6,5),B 点坐标为(-2,3),则中点C 的坐标为(2,4),∴C 点对应的复数为2+4i.10.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i ＋i ·z 等于（ ）A.－2B.－2iC.2D.2i解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴ z i ＋i ·z ＝1－i ＋i (1－i )＝(1－i )(1＋i )＝2.故选C.11.若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为（ ）A.－4B.－45C.4D.45答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎨⎧ 3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45. 故选D12.若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】∵z 1－i ＝i ，∴z ＝i (1－i )＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i .故选A.13.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）A.AB.BC.CD.D解析：【知识点：复数的概念，复平面，共轭复数】表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.14.设z =（2-i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .答案：5解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】15. i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若1z =2-3i,则2z = . 答案：2z = -2+3i解析：【知识点：复数的几何意义】由于z 1对应的点的坐标为(2,-3),所以z 2对应的点的坐标为(-2,3), 2z = -2+3i .16.（1） i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)已知复数z ＝(5＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.答案：-2；21解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】（1）(1－2i )(a ＋i )＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2（2）因为z ＝(5＋2i )2＝25＋20i ＋(2i )2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 17.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. 答案：1解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. 18.－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 答案：1i +解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i . 19.已知f (x )＝⎩⎨⎧ 1＋x ，x ∈R ，(1＋i)x ，x ∉R ，则f [f (1－i )]＝________. 答案：3∵f (1－i )＝(1＋i )(1－i )＝2，∴f [f (1－i )]＝f (2)＝1＋2＝3.20.已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i )z 是纯虚数，求z .答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，复数的模】设z ＝x ＋y i （x, y ∈R ），∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数，∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i21.设1zz +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，共轭复数，复数的模】 ∵1z z + 是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，即20(z 1)(z 1)zz z z ++=++, 设(x,y R)z x yi =+∈，则222()20x y x ++=∴ 2211(y 0)24x y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.它为复数z 对应点的轨迹方程. 22.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO→、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数. 答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】①AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i . ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i . ②CA→＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . ③OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .点评：因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.23.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i . ∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6).三、数学视野以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一. 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献.复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.。
高中数学_复数代数形式的四则运算教学设计学情分析教材分析课后反思
探究二：复数代数形式的加、减运算的几何意义[典例2]如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1)AO ―→表示的复数； (2)对角线CA ―→表示的复数；四、新知再探：新知4．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ . 新知5．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有新知6.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则：_______________________新知7：复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝________________(c ＋d i ≠0)．交换律 z 1·z 2＝ 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律 z 1(z 2＋z 3)＝运用所学的知识解决问题，在具体题目中体会数形结合思想的重要性。
学生独立思考后，再小组交流自己的观点。
学生回答。
教师点评。
这一部分有、由师生共同完成学情分析：1、学生已经了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。
2、学生已经通过课前预习案预习过复数代数形式的加减法法则3、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。
4、学生积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
5、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。
效果分析：本节课采用循序渐进由易到难的方法进行推进，并在课前进行知识铺垫，使学生在思想上，方法上，知识上都做了充足的准备。
在上课的过程中与老师的配合度较好。
在课后与学生的交流中，学生反映上课的效果不错，都能听懂，课后作业也能顺利地完成。
教材分析数系的扩充与复数的引入是人教A版选修1-2与选修2-2的内容，复数的内容是高中数学课程中的传统内容，对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学的内部矛盾在数系扩充中的作用。
最新人教版高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》示范教案
3．2.2复数代数形式的乘除运算整体设计教材分析本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．过程与方法目标1．运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程．2．培养学生的发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．情感、态度与价值观通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．重点难点重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点：复数除法的运算法则．教学过程引入新课提出问题：试计算5(2＋i)．活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法．学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i.设计意图通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：m(a＋bi)＝ma＋mbi，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复数相乘又该如何计算？探究新知提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)?活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)(1)规定，复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积：(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i2＝4＋7i.设计意图遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程．理解新知提出问题1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满足哪些运算律？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流．学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律．活动成果：(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中：对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.设计意图准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础．提出问题2：计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测i n(n∈N*)的值有什么规律吗？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导．学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性．活动成果：i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N*)．设计意图了解i的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力．运用新知例1计算：(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．思路分析：第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．解：(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.点评：此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.探究新知提出问题1：在例1中1－2i与1＋2i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？活动设计：学生独立思考，然后交流．学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同．活动成果：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数．注意：z 的共轭复数常用z 表示．即：若z ＝a ＋bi ，则z ＝a －bi.设计意图例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，使学生对知识的接受变得自然．提出问题2：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则． 活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则．活动成果：(1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c ＋di)(x ＋yi)＝a ＋bi(c ＋di ≠0)的复数x ＋yi ，叫做复数a ＋bi 除以c ＋di 的商．(2)经计算可得(cx －dy)＋(dx ＋cy)i ＝a ＋bi.根据复数相等的定义，有cx －dy ＝a ，dx ＋cy ＝b.由此得x ＝ac ＋bd c 2＋d 2，y ＝bc －ad c 2＋d 2. 于是得到复数除法的法则是：(a ＋bi)÷(c ＋di)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．理解新知提出问题1：若z 1，z 2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z 1·z 2是一个怎样的数？(3)若z 1是实数，则它的共轭复数是怎样的数？活动设计：学生独立探究，然后再小组交流．教师巡视指导．学情预测：学生通过独立思考，然后与同学交流看法，最后能够得出正确的结论． 活动成果：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称；(2)z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2；(即z·z ＝|z|2＝|z |2)(3)z 1的共轭复数仍是z 1，即实数的共轭复数是它本身．设计意图使学生加深对共轭复数概念的了解．提出问题2：在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解．学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律．活动结果：(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a ＋bi)÷(c ＋di)写成a ＋bi c ＋di的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c －di ，化简整理后即可．(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．设计意图简化求解过程，有利于熟练运用法则．运用新知例2计算(1＋2i)÷(3－4i)．思路分析：先把(1＋2i)÷(3－4i)写成1＋2i 3－4i的形式，然后分子、分母都乘以3＋4i ，计算整理即可．解：(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3－8＋6i ＋4i 32＋42＝－5＋10i 25＝－15＋25i. 点评：例2是复数除法的计算题，目的是让学生熟练操作上述作除法的简便过程． 巩固练习计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(3＋2i)(－3＋2i)；(3)(－1＋i )(2＋i )－i. 解：(1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i 25＝1－i ； (2)(3＋2i)(－3＋2i)＝(2i)2－(3)2＝2i 2－3＝－2－3＝－5；(3)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－2－i ＋2i ＋i 2－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )i －i·i＝－1－3i. 变练演编1．已知：________÷________＝1＋2i ，则横线上可以填的条件是什么？(可以多写几种)2．计算：3＋4i 4－3i；并自己编制一道类似的题目． 答案：1.11＋2i ，3－4i 或5,1－2i 等等．(先写出被除数或除数中的一个，然后求另一个)2．解法一：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＝25i 25＝i ； 解法二：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )i (4－3i )i ＝(3＋4i )i 3＋4i＝i. 编制的题目：5＋3i 3－5i ，－5i ＋6－6i －5(编制的原则设分子是z 1＝a ＋bi ，则分母为z 2＝b －ai ，即分母与i 的乘积就是分子，可直接约分，从而达到分母实数化)．设计意图第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处理问题，熟练运用知识的能力，而且可以培养学生发散思维与集中思维的能力，还可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻．第二个题的目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化．达标检测1．复数a ＋bi 与c ＋di 的积是实数的充要条件是( )A ．ad ＋bc ＝0B ．ac ＋bd ＝0C ．ac ＝bdD ．ad ＝bc2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z.3．计算－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 010. 解析：1.若(a ＋bi)(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i 是实数，则只需虚部ad ＋bc ＝0.故答案为A.2．由已知可得z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，所以z ＝2＋i. 3.－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 010＝i (1＋23i )1＋23i＋[(21－i )2]1 005＝i ＋(2－2i )1 005 ＝i ＋i 1 005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i.课堂小结对给定的三个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，你能研究些什么？用什么样的方法来研究？(数系的扩充，当复数的虚部为0时，复数也就是特殊的实数；复数的分类；复数相等的概念；复数的几何意义；复数的模；复数的运算；复数的运算律；任一个复数的共轭复数及性质等本章所学的所有知识．用类比、转化、数形结合、化虚为实等思想方法来研究．)布置作业习题3.2 A 组4、5题．补充练习基础练习1．复数(15＋8i)(－1－2i)的值为________．2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－343．复数z ＝m －2i 1＋2i在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i 且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为__________． 5．已知z 1＝5＋10i ，z 2＝3－4i ，1z ＝1z 1＋1z 2，求z. 答案：1.1－38i 2.A 3.A 4.83 5.5－52i. 拓展练习6．已知2i －3是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．思路分析：2i －3是方程的根，代入方程后根据复数相等的定义，化虚为实，即可求得． 解：由已知得：2(2i －3)2＋p(2i －3)＋q ＝0，从而(10－3p ＋q)＋(2p －24)i ＝0.于是，有⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，2p －24＝0，解得p ＝12，q ＝26. 点评：解决复数问题的关键就是转化为实数问题来处理，复数相等就是实现这一转化的很好的工具．设计说明本节课是本章的重点内容，同时复数乘、除法的法则的理解更是难点．故在本节课的设计上多次采取类比的方法，使知识在不失其本质的情况下，更易于理解．同时这种处理方法可以使新知识与所学知识建立联系性，有利于知识的网络化和系统化．在整个设计上突出了问题驱动式的教学方法，以问题为主线，以学生为主体，随着问题的提出与解决，教学内容也被随之很好地学习与理解．在例题和习题的设计环节上，力求突出本节课的重点：熟练掌握复数的乘除法运算以及数学思维方式与技能形成的培养．例题的选题目的有三：一是巩固所学法则及运算律；二是通过一题多解培养学生的发散思维能力；三是培养计算能力，以形成技能．变练演编的第1题考查学生灵活运用知识、发散思维及逆向思维的能力；第2题则是使学生更加深刻地体会复数除法的实质就是“分母实数化”，培养学生问题理解的深刻性、全面性．为了进一步巩固所学，又设计了巩固练习、达标检测和补充练习等环节．在补充练习中为学有余力的同学安排了拓展练习，增加思维量的同时也开阔了视野．备课资料我们知道，对于实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，如果b 2－4ac<0，那么它在实数集R 内没有实根．现在把实数集R 扩充为复数集C ，再来考察这一问题．经过变形，原方程可以化为x 2＋b a x ＝－c a， ∴x 2＋2·x·b 2a ＋(b 2a )2＝(b 2a )2－c a ，(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac (2a )2，(x ＋b 2a )2＝－[－(b 2－4ac )(2a )2]． 由于－(b 2－4ac )(2a )2是正实数，我们可以得到x ＋b 2a ＝±－(b 2－4ac )·i 2a . 所以当b 2－4ac<0时，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在复数集C 内有且只有两个根x ＝－b±－(b 2－4ac )·i 2a(b 2－4ac<0). 显然，它们是一对共轭复数．(设计者：许彩霞 董伟伟)。
高中数学《3.2复数代数形式的四则运算(二)》教案 文 新人教A版选修1-2
湖南省蓝山二中2014年高中数学《3.2复数代数形式的四则运算(二)》教案 文 新人教A 版选修1-2教学任务分析：（1）复数代数形式的乘除运算是本章的重点之一.在乘除法中，重点是乘法运算.复数的除法运算是乘法的逆运算.（2）两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成－1，并且把是实部与虚部合并即可，而不必记忆公式.教学重点：掌握复数代数形式的乘、除运算；教学难点：复数的除法运算.教学过程复数的乘法设z 1＝a ＋b i ， z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积是一个确定的复数．复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律?复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有 z 1 ∙ z 2＝z 2 ∙ z 1 ，z 1∙z 2 ∙z 3＝z 1∙(z 2 ∙ z 3)，z 1∙ (z 2＋z 3)＝z 1∙ z 2＋z 1∙ z 3 ．例1. 计算(1－2i)(3＋4i)(－2＋i).例2. 计算：(1)(3＋4i)(3－4i)； (2)(1＋i)2.类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探究复数除法的法则.复数除法的法则是(a ＋b i)÷(c ＋d i) )0i (i 2222≠++-+++=d c d c ad bc d c bd ac 两个复数相除，（除数不为0），所得到的商是一个确定的复数．例3. 计算(1＋2i)÷(3－4i).课堂练习1.已知：复数z 满足z 2＝3＋4i ，求z .2. 复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4 的值是( B )A. －1B. 0C. 1D. i) ( i1i) 21(i) 1( .3C 等于++- A. －2－i B. －2＋i C. 2－i D. 2＋i4. 若复数) ( i21i 3R a a ∈++是纯虚数，则实数a 的值是( C ) A. －2 B. 4 C. －6 D. 6)A ( i313i 11 1 .5是的复数满足z z -++= A. 2＋i B. －2＋3i C. 2＋2i D. 2－i.3i 4 2i)(1 .6的值及，求已知z z z z +=+ . 11 2)( 1)(.111 .7111121121是纯虚数，求证：若的实部的取值范围；的值以及求是实数，且是虚数，设ωωz z z z z z z z z +-=≤≤-+=。
《复数代数形式的四则运算》教学设计
3.2 复数代数形式的四则运算（罗静）一、教学目标1.核心素养通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力.2.学习目标（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力.3.学习重点复数代数形式四则运算法则.4.学习难点复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用.二.教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 预习教材P56---P60,完成P58和P60相应练习题任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义2.预习自测1.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为（）A.1＋iB.2＋iC.3D.－2－i答案：D解析：∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i . 2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（ ） A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. （二）课堂设计 1.知识回顾1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )2.问题探究问题探究一：复数的加减法●活动一 怎样计算复数的加法与减法?设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么（1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ （2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-. ●活动二 从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.●活动三 复数的和与差还是一个复数吗？ 显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数. ●活动四 我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？ 对任意123,,z z z C ∈.（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++.●活动五 复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？（1）复平面内的点(,)Z a b OZ ←−−−→一一对应平面向量（2）复数i z a b OZ =+←−−−→一一对应平面向量 （3）复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图，OZ 表示复数12z z +所对应的向量，12Z Z 表示复数12z z -所对应的向量，即OZ 表示复数()()i a c b d +++所对应的向量，12Z Z 表示复数()()i a c b d -+-所对应的向量 注： 两个复数的差12z z -表示与连接两个终点12,z z 且指向被减数的向量对应. 问题探究二：复数的乘除法●活动一 复数的乘法怎么算？复数的乘法是否有似曾相识的感觉？设1z =a ＋b i ，2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，则1z ·2z =（a ＋b i ）（c ＋d i ）=_________________.从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ●活动二 复数的乘法是否也满足运算律呢？ 对任意123,,z z z C ∈. （1）交换律：2121z z z z ⋅=⋅（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅1z ●活动三 复数的除法又该如何计算呢？设1z =a ＋b i , 2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ，且c ＋d i ≠0），122222i i(i 0)i z a b ac bd bc ad c d z c d c d c d+++==++≠+++ 几个运算性质：①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ). ②(1±i)2＝±2i ，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+，1i i=-.③设122ω=-+，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0. ●活动四 什么叫做共轭复数？一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常记复数i(,)z a b a b R =+∈的共轭复数为i(,)z a b a b R =-∈.共轭复数有如下性质：①z R z z ∈⇔=；②22z z z z ⋅==；③2z z a +=，2i z z b -=；④1212z z z z +=+，1212z z z z -=-；⑤1212z z z z ⋅=⋅，1122z zz z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(z 2≠0).例1 计算下列各题：(1)(1++； (2)i 1i 1()()i 2332----+；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【知识点：复数的四则运算】详解：(11++=-（1）原式 111111=()(1)i i 322366-++--+=+（2）原式.（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i.（4）z ＋1＋2i ＝10－3i ，∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.点拔：复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.例2 设及分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出复数z 1＋z 2所对应的向量.【知识点：复数的四则运算，复数加减法的几何意义】 【思路探究】利用加法法则求z 1＋z 2详解：∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ，∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i∵15,3OZ =（），24,1OZ =（），由复数的几何意义可知，12OZ OZ +与复数z 1＋z 2对应， ∴12OZ OZ +＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量12OZ OZ OZ +=如图所示.点拔：1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.变式：在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量. 解：z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.复数z 1－z 2所对应的向量为21Z Z .例3 （1）设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|2，求|z 1－z 2|. （2）已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值.【知识点：复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：数形结合】（1）设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R).由题意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，∴2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2.∴|z1－z2|＝2.（2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.解法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(1)(2)解法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.点拔：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.例4 （1）计算61i23i 1i32i ++⎛⎫⎪--⎝⎭.（2）计算：2013 23i2123i-+++；(3)若复数1i1iz+=-，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值.【知识点：复数的四则运算】（1）分析：先计算1i1i+-23i32i+-.详解：626(1i)=i 1i 2⎡⎤++=+=-+⎢⎥⎣⎦原式又解：626(1i)=i 1i 2⎡⎤++==-+⎢⎥⎣⎦原式. （2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解.详解：10062(2)=⎡⎤⎢⎥⋅⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式10062i)=i 2i 2+⎛⎫+⋅⎪-⎝⎭1006i)=i i 2++⋅2=i 22-+(3)201422013111z z z zz-++++=-， 而21i (1i)2i=i 1i (1i)(1i)2z ++===--+， 所以201422201311i 11i 11iz z z zz --++++===+-- 点拔：1.要熟记i n 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若3i 13i z z z ⋅-⋅=+，求z .【知识点：复数的四则运算，共轭复数】详解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ， 则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3， 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点拔：1.22z z z z ⋅==是共轭复数的常用性质.2.实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔ z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数.3.若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 3.课堂总结 【知识梳理】1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.2.复数加减法的几何意义3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 【重难点突破】(1)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式. (2)复数加法的几何意义：如果复数12z z ，分别对应于向量12OP OP 、，那么，以12OP OP 、为两边作平行四边形，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. (3)复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式.(4)两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简 .(5)复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化. 4.随堂检测 1.21i=+（ ）A. B.2D.1 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】 原式211i==+ 2.复数i(2－i)等于（ ）A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i 答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.3.已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于（ ） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】由(1－i)2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.（三）课后作业 ★基础型 自主突破 1.()212i1i +-等于（ ）A.11i 2--B.11i 2-+C.11i 2+D.11i 2-答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】 原式12i i12i 2+==-+- 2. i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（ ）A.iB.－iC.1D.－1 答案：A解析：【知识点：共轭复数相关概念，i 的周期性】 方法一：i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二：i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.3.已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)等于（ ） A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】4.复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】 5.复数z 满足(i)i 2i z -=+，则z =（ ） A.1i -- B.1i - C.13i -+ D.12i - 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】2iz i i+-=，∴1z i =-6.复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是（ ）A.2+iB.2－iC.－1+iC.－1－i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数的定义】(3)(2)15i i z i -++==-+，1z i =-- 7.若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】117(117)(2)3525i i i z i i +++===+- 8. (1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案：1i -+解析：【知识点：复数的四则运算】原式65i i 11i 5=+=-+=-+ ★★能力型 师生共研1.已知复数z 满足z (1＋i )＝1＋ai (其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限，故选B.2.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2,3b c ==B.2,1b c ==-C.2,1b c =-=-D.2,3b c =-=答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，复数的相等】把1代入方程20x bx c ++=，利用复数的相等即可3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】4.设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A.若2z ≥0，则z 是实数B.若2z <0,则z 是虚数C.若z 是虚数，则2z ≥0D.若z 是纯虚数，则2z <0答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】6.设复数1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ，若12z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为______. 答案：6解析：【知识点：复数的概念，复数的四则运算】∵a ∈R ，1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ， ∴12z z ＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i 2＝a －22＋a ＋22i ， 依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6.7.若a 1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案：解析：【知识点：复数的模，复数的四则运算】∵a ，b ∈R ，且a 1－i＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎨⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b.∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋bi |＝|2－i |=＝ 5. 8.计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i )+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i).答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算】解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i★★★探究型 多维突破1.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】2.已知1122,,,x y x y R ∈，定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为________.答案：90解析：【知识点：复数的四则运算】设 111a b i ω=+，222a b i ω=+ （12,0a a ≠）故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b . 从而有1212121OP OP b b k k a a ==-，故21OP OP ⊥. 3.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，且z 1＝z 2，则λ的取值范围是_____________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：【知识点：复数的四则运算，三角函数的值域】由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 4.已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则 y x 的最大值为________.答案： 3 解析：【知识点：复数的加减法的几何意义，复数的模，直线的斜率的应用】 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 5.已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】设D （x,y ),则-=对应的复数为(x +y i)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i.6.已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z ++的值. 答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模，复数的概念】设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-2213i i 0a b a b +-++=, 则224,10,43i.3,30a a b a z b b =-⎧++-=⇒=-+⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i 34i 22(43i)43i z ++-++===+-+-.(四)自助餐1.若12,z z ∈C ，1212z z z z --+是（ ）A.纯虚数B.实数C.虚数D.不能确定答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的概念】121212i,i(,,,),(i)(i)(i)(i)--=+=+∈+=+-+-+z a b z c d a b c d z z z z a b c d a b c d R 22ac bd =+∈R .2.为正实数，i 为虚数单位，i 2i a +=，则a =（ ） A.2D.1答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】i |1i |2,i +=-==a aa >0,故a =2i 12i -+++的值是（ ） A.0B.1C.iD .2i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】3332i (2i)(12i)15i()+12i 5i 5-+-+-=+=+=i+i =2i .4 若复数z 满足)i 1z z -+=,则2z z +的值等于（ ）A .1B .0C .1-D .12-答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】1i 10,,2z z ω-===-+=221z z ωω+=+=-.5.已知3(z -=⋅-,那么复数z 在复平面内对应的点位于（） A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】12z ==+6.已知复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝（ ）A.－2iB.－iC.iD.2i答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】解：B 依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.7.设456121z i i i i =++++，456121z i i i i =⋅⋅⋅则12,z z 的关系是（ ）A .12z z =B .12z z =-C .121z z =+D .无法确定答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，等比数列的前n 项和，等比数列的前n 项和】 491(1)1111i i i z i i --===--，456127221z i i ++++=== 故选A.8.已知2()i i (i 1,n n f n n -=-=-∈N )，集合{}()f n 的元素个数是（ ） A.2B.3C.4D.无数个答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A ,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案：C解析：【知识点：复数的加减法的几何意义】A 点坐标为(6,5),B 点坐标为(-2,3),则中点C 的坐标为(2,4),∴C 点对应的复数为2+4i.10.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i＋i ·z 等于（ ） A.－2B.－2iC.2D.2i答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴ z i ＋i ·z ＝1－i ＋i (1－i )＝(1－i )(1＋i )＝2.故选C.11.若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为（ ）A.－4B.－45C.4D.45答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎨⎧ 3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45. 故选D12.若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】∵z 1－i ＝i ，∴z ＝i (1－i )＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i .故选A.13.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）A.AB.BC.CD.D答案：B解析：【知识点：复数的概念，复平面，共轭复数】表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.14.设z =（2-i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .答案：5解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】15. i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若1z =2-3i,则2z = . 答案：2z = -2+3i解析：【知识点：复数的几何意义】由于z 1对应的点的坐标为(2,-3),所以z 2对应的点的坐标为(-2,3), 2z = -2+3i .16.（1） i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)已知复数z ＝(5＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.答案：-2；21解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】（1）(1－2i )(a ＋i )＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2（2）因为z ＝(5＋2i )2＝25＋20i ＋(2i )2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 17.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. 答案：1解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1.18.－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 答案：1i +解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i . 19.已知f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x ∈R ，(1＋i)x ，x ∉R ，则f [f (1－i )]＝________. 答案：3解析：【知识点：复数的四则运算，函数的概念】∵f (1－i )＝(1＋i )(1－i )＝2，∴f [f (1－i )]＝f (2)＝1＋2＝3.20.已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i )z 是纯虚数，求z .答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，复数的模】设z ＝x ＋y i （x, y ∈R ），∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数， ∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i21.设1zz +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程. 答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，共轭复数，复数的模】 ∵1z z + 是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭ ，即20(z 1)(z 1)zz z z ++=++, 设(x,y R)z x yi =+∈，则222()20x y x ++=∴ 2211(y 0)24x y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.它为复数z 对应点的轨迹方程. 22.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO→、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数. 答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】①AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i . ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i . ②CA→＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . ③OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .点评：因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.23.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i . ∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6).三、数学视野以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献.复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.。
复数代数形式的四则运算(教学设计)(2)
复数代数形式的四则运算（教学设计）（2）§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算。
理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质过程与方法目标：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观目标：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程：一、复习回顾，新课引入：1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.4、复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)二、师生互动、新课讲解：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.例1（课本P58例2）计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2（课本P59例3）计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。
复数的四则运算法则教案1北师大版选修22
总结反思：i的乘方运算的周期性规律是？
探究三：有关 1的三次方根
例1.设 ，求证：
（1） （2） （3）
变式练习：（B级）设 ，求证：
（1） (2) (3)
探究四：复数的除法的定义与运算法则：
例2.计算
解法一：（待定系数法）
解法二：（除法法则）
模块三达标提升
当堂检测：
1.（A级）若复数 ，则复数 的虚部等于
教学
重点
1.复数的加法运算法则
2.复数的减法运算法则
3.复数的乘法运算法则
教学
难点
1.复数的加、减法运算法则
2.复数的乘法运算法则
学法
指导
在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。复数的加、减法运算法则类似于多项式中的合并同类项。复数的乘法与多项式的乘法完全类似，只是在运算过程中要把 换成 ，然后把实部与虚部分别合并。
教学过程
师生互动
反思
模块一预习导学
基础训练回顾：
1.分别写出下列复数 的共轭复数
2.
3. =
4.若复数 满足 ，则 =
5.计算
模块二合作探究
探究一：复数的正整数指数幂运算律：
（1）
（2）
(3)
探究二：复数的乘方运算：
。。。。。。
4n+1=, 4n+2=, 4n+3=, 4n=
1.（A级）计算：
（1） （2）
（2）设 ，在复数集C内，你能将 分解因式吗？
例3.已知复数Z满足 ，求Z的值
模块三达标提升
1.(A级) 的值为
2.(A级)i表示虚数单位，则 =
3.(A级)计算： =
学案-复数的四则运算2
复数的四则运算（2）学习目标：1.理解复数代数形式的四则运算法则2.能运用运算律进行复数的四则运算学习重点：复数的加减运算、乘除运算、乘方运算学习难点：灵活准确地进行复数代数形式的四则运算学习过程：设Z 1=a+b i(a,b ∈R) Z 2=c+d i(c,d ∈R)则Z 1Z 2=两个复数的积依然是一个复数，它的实部是 ，它的虚部是复数的乘法满足交换律、 、一 复数的乘法已知两个复数Z 1=a+b i(a,b ∈R) Z 2=c+d i(c,d ∈R)则Z 1Z 2=两个复数的积依然是一个复数，它的实部是 ，它的虚部是 复数的乘法满足交换律、 、对任何123,,z z z 即有：例1 计算:(1) (2-3i)(4+2i) (2)(1+2i)(3+4i)(-2+i) （3)(a+bi)(a-bi)二 复数的乘方复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.对任意复数z, z 1 ,z 2 以及正整数m,n 有z z ) z (z z )(z z z z n2n 1n 21mn n m n m n m ===⋅+12123123()()z z z z z z z z ==+=对于i ，有i 4n =1,i4n +1=i ，i 4n +2=-1，i 4n+3=-i (n ∈N*)例2 计算:( 1+2i) 2例3练习: 1+1i +2i +3i +…+2007i 的值为(1) 1 (2) -1 (3) 0 (4) i三 复数的除法已知两个复数z 1=a+bi ，z 2=c+di (a,b,c,d ∈R)，则例4 计算()0≠2z 其中()()i d c ad bc d c bdac di c di c bi a di c bi a z z 2222221+-+++=+-+=++=().n i ∈+-当时计算所有可能的取值*n n N ,i 1000222)12(321321)2(1)21()3()2(913)2(11)1(i i i i i i i i i i i ++++-++---++++-小结=±=⋅⋅⋅=+++≠++++++⨯23 21321414414) 1(:.2)()(:.1ii ii iiiiiiinnnnnnnn常用的结果分数指数幂因为在复数集中未定义注意。
复数代数形式的四则运算精品教案
复数的减法及其几何意义教课目的1．理解并掌握复数减法法例和它的几何意义．2．浸透转变，数形联合等数学思想和方法，提升剖析、解决问题能力．3．培育学生优秀思想质量（思想的谨慎性，深刻性，灵巧性等）．教课要点和难点要点：复数减法法例．难点：对复数减法几何意义理解和应用．教课过程设计（一）引入新课上节课我们学习了复数加法法例及其几何意义，今日我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法复数减法是加法逆运算，那么复数减法法例为（a+b i）-（c+d i）=（a-c）+（b-d ）i ，1．复数减法法例（1）规定：复数减法是加法逆运算；（2）法例：（a + b i ） -（c + d i） =（c - d） +（b - d）i （a，b，c，d∈R）．把（ a +b i）-（ c +d i）当作（ a +b i）+（-1）（ c +d i）怎样推导这个法例．（a +b i）-（ c +d i）=（ a +b i）+（-1）（ c +d i）=（ a +b i）+（- c -d i）=（ a - c ）+（b - d） i．推导的想法和依照把减法运算转变为加法运算．推导：设（ a +b i）-（ c +d i）= x +y i（ x ， y ∈R）．即复数 x + y i为复数 a +b i减去复数 c +d i的差．由规定，得（x + y i）+（ c +d i）= a +b i，依照加法法例，得（x + c ）x c a, x a c,+（y + d） i= a + b i，依照复数相等定义，得yd b. y b d .故（ a +b i）-（ c +d i）=（ a - c ）+（b-d）i．这样推导每一步都有合理依照．我们获得了复数减法法例，两个复数的差还是复数．是独一确立的复数．复数的加（减）法与多项式加（减）法是近似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ a +b i）±（ c +d i）=（ a ± c ）+（b±d）i．（三）复数减法几何意义我们有了做复数减法的依照——复数减法法例，那么复数减法的几何意义是什么？设 z= a + b i（a，b∈ R）， z1= c + d i（c，d∈ R），对应向量分别为，如图因为复数减法是加法的逆运算，设z=（a - c）+（b - d） i ，因此 z-z1=z2，z2 +z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线， 1 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 2 所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（ a - c ）+（b-d）i 对应，如图．在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量 2 吗？还有．因为OZ 2 Z1Z ，因此向量，也与z-z1差对应．向量是以Z1 为起点， Z 为终点的向量．能归纳一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z 1与连结这两个向量终点并指向被减数的向量对应．（四）应用举例在直角坐标系中标Z1（ -2， 5），连结OZ 1，向量 1 与多半z1对应，标点Z 2（ 3，2）， Z2 对于 x 轴对称点Z2（ 3， -2），向图．例 2 依据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．解：设复平面内的随意两点 Z1， Z2分别表示复数 z1， z2，那么Z1Z2即复数 z2-z1的模．假如用 d 表示点 Z1， Z 2之间的距离，那么d=|z2-z1 |．例 3在复平面内，知足以下复数形式方程的动点Z 的轨迹是什么．（1） |z-1-i|=|z+2+i| ；方程左式能够当作|z-（ 1+i ） |，是复数 Z 与复数 1+i 差的模．几何意义是是动点Z 与定点（ 1， 1）间的距离．方程右式也能够写成|z-（-2-i ） |，是复数 z 与复数 -2-i 差的模，也就是动点 Z 与定点（ -2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（ -2， -1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1， 1），（ -2， -1）为端点的线段的垂直均分线．（2） |z+i|+|z-i|=4 ；方程能够当作 |z-（ -i ） |+|z-i|=4 ，表示的是到两个定点（0， -1）和（ 0，1）距离和等于 4 的动点轨迹．知足方程的动点轨迹是椭圆．（3） |z+2|-|z-2|=1．这个方程能够写成 |z-（ -2） |-|z-2|=1，因此表示到两个定点（ -2， 0），（2， 0）距离差等于 1 的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．由 z1 -z2几何意义，将 z1-z2取模获得复平面内两点间距离公式 d=|z1-z2|，由此获得线段垂直均分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更加简捷．且反应曲线的实质特点．例 4设动点Z与复数z=x+y i对应，定点P 与复数 p= a + b i 对应．求（1）复平面内圆的方程；解：设定点P 为圆心， r 为半径，如图由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．（2）复平面内知足不等式 |z-p|＜ r（ r∈ R+）的点 Z 的会合是什么图形？解：复平面内知足不等式 |z-p|＜r（ r∈ R+）的点的会合是以 P 为圆心， r 为半径的圆面部分（不包含周界）．利用复平面内两点间距离公式，能够用复数解决分析几何中某些曲线方程．不等式等问题．（五）小结我们经过推导获得复数减法法例，并进一步获得了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，能够用复数研究分析几何问题，不等式以及最值问题．。
《复数的四则运算》教案
3.2《复数的四则运算》教案（1）教学目标1、理解复数代数形式的四则运算法则。
2、能运用运算律进行复数的四则运算。
教学习重难点重点：复数的加、减、乘法运算 难点：复数的加、减、乘法运算 教学过程： 一、复习回顾： 1.虚数单位i 的引入； 2.复数有关概念：复数的代数形式： (,)z a bi a R b R =+∈∈ 复数的实部a ，虚部b 。
实数：()0;b a R =∈ 虚数：()0;b a R ≠∈纯虚数：0a b =⎧⎨≠⎩复数相等a bi c di +=+⇔a cb d=⎧⎨=⎩特别地，a+bi =0⇔a=b=0。
问题1：a=0是z=a+bi(a 、b ∈R)为纯虚数的必要不充分条件问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大。
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小。
虚数不可以比较大小。
二、问题引入：我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：a b b a +=+ ab ba =()()a b c a b c ++=++ ()()ab c a bc = ()a b c ab ac +=+ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？注意到i =-21，虚数单位i 可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！ 三、知识新授：1、复数加减法的运算法则：(1) 运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i; z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。
即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。
(2)复数的加法满足交换律、结合律即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。
高中数学_3.2复数代数形式的四则运算教学设计学情分析教材分析课后反思
选修2-2 第三章 复数代数形式的四则运算教学设计教学目标：掌握复数的代数形式的加减乘除运算法则， 会进行复数代数形式的运算；了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义教学重点：复数的代数形式的加减乘除运算法则 教学难点：复数的代数形式的乘、除运算法则一、课前热身：1．复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－i C ．－45－35iD ．－45＋35i2．复数(3＋4i)i (其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．复数z ＝2＋m i1＋i (m ∈R )是纯虚数，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24复数3)2321(i +等于（ ） （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ） 15．若i iz 21+=,则复数z = 6.复数的11Z i =-模为（ ）A ．12B ．2CD ．2教学过程 二、题型分析题型一、复数的代数运算例1、计算（1）)1)(2123)(2321(i i i +++- （2）iii i 32233223+---+变式训练：（1）已知2i -3是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一根，求p,q 的值（2）已知z 是纯虚数，iz +-12是实数，求zi z b b ib b ib b i i i bi i bi i z b R b bi 2202222222)2(2)1)(1()1)(2(1212)0(z -=∴-==+++-=++-=-+--=+-=+-≠∈=，，设 拓展探究：1、试求87654321i i i i i i i i 、、、、、、、的值2、由1推论猜测*)(N n i n∈有什么规律？并把这个规律用式子表示出来。
3计算（1）=+++++124321 (i)i i i i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011题型二、共轭复数（1）已知复数i z 21+=，求z z ⋅ （2）若2)(,2=-=+i z z z z ,求复数z变式训练：（1）已知复数z 满足8,4=⋅=+z z z z ，求复数z题型三、复数加法、减法的几何意义例3、已知212121212,1,,z z z z z z C z z -=+==∈，求变式提升：在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1+z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OABC（1） 若| z 1+z 2|=| z 1-z 2|，则四边形OABC 为 （2） 若| z 1|=| z 2|，则四边形OABC 为（3） 若| z 1|=| z 2|且| z 1+z 2|=| z 1-z 2|，则四边形OABC 为练习：已知212121211,1,,z z z z z z C z z +=-==∈，求知识整合1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=则=±21z z=⋅21z z =21z z2、i 的周期性3．共轭复数（1）定义 （2）性质：4、复数加法、减法的几何意义：课堂小结达标检测1 ．设复数z 满足(1)2i z i -=,则=z （ ）A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -12．若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（ ）A ．4-B ．45-C ．4D ．453. 在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a = （ ） （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-25.已知复数1z i =-，则21z z =-（ ） A. 2B. －2C. 2iD. －2i6.已知,43,10521i z i z -=+=21111z z z +=，求z七、板书设计：学情分析:我所授课班级是理科班，学生的数学基础较差，自主研究获得知识和解法有较大的困难。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复数代数形式的四则运算（教学设计）（2）§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算。
理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质过程与方法目标：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观目标：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程：一、复习回顾，新课引入：1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.4、复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)二、师生互动、新课讲解：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.例1（课本P58例2）计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2（课本P59例3）计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i ）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。
4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bi a ++ 5.除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222dc ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法例3（课本P60例4）计算(12)(34)i i +÷-解：(12)(34)i i +÷-1234i i+=- 22(12)(34)386451012(34)(34)342555i i i i i i i i ++-++-+====-+-++例4i 43+ 解：ii i i 4342)1)(41(++++-22143247(7)(34)343434i i i i i i i +-++++-===+++ 21432825251.2525i i i i ++--===- 课堂练习：（课本P60练习NO ：1；2；3）三、课堂小结、巩固反思：复数的乘法法则是：(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.复数的除法法则是：2222d c ad bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简四、布置作业：A 组：1、（课本P61习题3.2 A 组：NO ：4）2、（课本P61习题3.2 A 组：NO ：5）3、（课本P61习题3.2 B 组：NO ：1）B 组：1.【2012高考安徽文1】复数z 满足i i i z +=-2)(，则 z =（A ） i --1 （B ） i -1（C ） i 31+- （D ）i 21-【答案】B【解析】2()21i z i i i z i i i +-=+⇔=+=-。
2.【2012高考新课标文2】复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是 （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i【答案】D【解析】i i i i i i i i z +-=+--+-+-=++-=1555)2)(2()2)(3(23，所以其共轭复数为i z --=1，选D. 3.【2012高考山东文1】若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i【答案】A 【解析】i i i i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 4.【2012高考浙江文2】已知i 是虚数单位，则31i i +-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i【答案】D【解析】31i i +-(3)(1)2412(1)(1)2i i i i i i +++===+-+.5.【2012高考上海文15】若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=【答案】D 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ，选D.6.【2012高考陕西文4】设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】00=⇔=a ab 或0=b ，而复数bi a i b a -=+是纯虚数00≠=⇔b a 且，i b a ab +⇐=∴0是纯虚数，故选B.7.【2012高考辽宁文3】复数11i =+ (A) 1122i - (B)1122i + (C) 1i - (D) 1i + 【答案】A 【解析】11111(1)(1)222i i i i i i --===-++-，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。