1.线性规划及单纯形法1
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③
①
x1
16
4. 图解法的作用
揭示了线性规划问题有关规律和结论。
（1）规律：
有可行解 LP问题
有最优解
唯一解 无穷多解
无最优解（可行域为无界）
无可行解（无解）
（2）结论：若LP问题有最优解，则要么最优解唯一（对 应其中一个顶点），要么有无穷多最优解（对 应其中两个顶点连线上的所有点）。
17
五、 线性规划问题的标准型
多项式时间算法每次迭代不是从一个顶点出发求改进的顶点，而是使 迭代点保持在某个单纯形的内部，因此是一种内点算法。
3
LP是数学规划的一个重要分支，数学规划着重解决资源的 优化配置，一般可以表达成以下两个问题中的一个：
（1）当资源给定时，要求完成的任务最多； （2）当任务给定时，要求为完成任务所消耗的资源最少。 若上述问题的目标﹑约束都能表达成变量的线性关系， 则这类优化问题称LP问题。 LP是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目 标函数的方法。
工 1 下 : 厂 ( 2 x 游 1 ) /5 0 .2 % 0s.t .
工 2 下 厂 :游
x1 0.8xx11
x2 x2
1.0 1.6 2.0 1.4
[0 .8 (2x 1)(1 .4x 2)/]70 0 .0 2 %
x1, x2 0
7
二、总结
线性规划问题（LP问题）的共同特征：
n :变量个数；m : 约束条件个数。
bi (, )0, i 1,2,m
9
四、两变量线性规划问题的图解法
1.线性不等式的几何意义— 半平面
2.图解法步骤
例1 （典型示例）：
• 作出LP问题的可行域
• 作出目标函数的等值线
• 移动等值线到可行域边界 得到最优点
OBJ : max Z 2x1 3x2
1.线性规划及单纯形 法1
第一章 线性规划及其单纯形法
第一第节一章 线线性性规规划划及问单题纯及形数法学模型
Linear Programming , LP
• 1939年 苏 康托洛维奇和1941年 美 Hichook
在生产组织管理和制定交通运输方案方面研究和应用线性规划，求 解方法——解乘数法
• 1947年 G. B. Dantzig 单纯形法 • 1979年 苏 哈奇安多项式算法（椭球算法） • 1984年 Karmarkar算法
8
12
8, 3
x1
13
无界解示例
x2
①
可行域不闭合 Z增大方向
②
x1
14
产生原因：缺少约束条件 注 意：可行域不闭合不一定就会出现无界
解，这要看目标函数的性质。若目 标函数是min，则有最优解。无论 有无最优解，一定有可行解。
15
无可行解示例
x2
④
②
无公共区域(可行域) 产生原因：
有相互矛盾的 约束条件。
图解法意义不大，但可直观揭示有关概念。
11
3.LP解的类型
有4类： （1）唯一最优解
如例1的Q2点。 （2）无穷多最优解（多重解） （3）无界解 （4）无可行解
12
多重解示例
x2 当例1 的目标函数变为 max Z =2x1+4x2
①
96 3
③
4, 6
②
可行域
0
4
此线段上的点 均为最优点
Z=36
b2
s.t.
am1 x1
am2 x2
amn xn
bm
x j 0, j 1,2,n
n :变量个数; m :约束行数; c j : 价值系数 bi : 右端项，bi 0, i 1,2,m; aij : 技术系数
19
简写的解析式
原 A 约 料4 束 x 10x ： 216
原 B 约 料0 束 x 14x ： 212
变量非负约 x1 束0， ： x2 0
5
Step 3: 给出目标函数
mZ a 2 x x 1 3 x 2
Step 4: 整理数学模型
OBJ:maxZ 2x1 3x2
x1 s.t. 4x1
2x2 8 16
4x2 12 x1,x2 0
说明：OBJ 表示Objective;
s.t. 表示Subject to
6
例2 污水处理问题 (书P9)
2万m3 ，1000元/万m3 o工厂1
500万m3
200万m3
1.4万m3，800元/万m3 o工厂2
设 x1﹑x2 为 工 厂 1﹑2
OBJ : minZ 1000x1 800x2
的日污水处理量。建 立该问题的数学模型 为：
4
一、实例
例1 生产计划问题 (书P8，典型示例)
产品 I 设备 1 原料A 4 原料B 0 利润 2
II 资源限量 2 8台时 0 16公斤 4 12公斤 3
Step 1:明确问题，设定决策变量
设I、II两种产品的产量分别为x1, x2 。 Step 2: 确定约束条件
工时约x束 12： x2 8
1. 标准型的构成要素 （1）目标函数：max （2）约束条件：等式 （3）变量约束：非负 xj0 （4）资源限量：非负bi 0
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2. 标准型的表示方法
（1）解析式
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21 x1
wk.baidu.com22x2
a2n xn
• 每一个问题变量都用一组决策变量（x1, x2, …, xn）表
示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案，这 些变量是非负的且在某范围内连续取值。
• 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组
线性等式或线性不等式来表示。
• 目标函数用决策变量的线性函数来表示。按问题
的不同，要求目标函数实现最大化和最小化。
8
三、线性规划问题的一般形式
max(min)Z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn
(, )b2
s.t .
am1 x1
am2 x2
amn xn
(, )bm
x j (, )0, j 1,2,n
x1 2x2 8
s.t
.
4
x1
16 4x2 12
x1, x2 0
10
x2
Q6(0,4) Q4(0,3)
4x1=16 x1+2x2=8
Q3(2,3) Q5(4,3) Q2(4,2)
4x2=12
O(0,0)
Q1(4,0) Z=2x1+3x2
x1
Q7(8,0)
做目标函数2x1+3x2的等值线，与阴影部分的 边界相交于Q(4,2)点，表明最优生产计划为：生产I 产品4件，生产II产品2件。
①
x1
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4. 图解法的作用
揭示了线性规划问题有关规律和结论。
（1）规律：
有可行解 LP问题
有最优解
唯一解 无穷多解
无最优解（可行域为无界）
无可行解（无解）
（2）结论：若LP问题有最优解，则要么最优解唯一（对 应其中一个顶点），要么有无穷多最优解（对 应其中两个顶点连线上的所有点）。
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五、 线性规划问题的标准型
多项式时间算法每次迭代不是从一个顶点出发求改进的顶点，而是使 迭代点保持在某个单纯形的内部，因此是一种内点算法。
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LP是数学规划的一个重要分支，数学规划着重解决资源的 优化配置，一般可以表达成以下两个问题中的一个：
（1）当资源给定时，要求完成的任务最多； （2）当任务给定时，要求为完成任务所消耗的资源最少。 若上述问题的目标﹑约束都能表达成变量的线性关系， 则这类优化问题称LP问题。 LP是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目 标函数的方法。
工 1 下 : 厂 ( 2 x 游 1 ) /5 0 .2 % 0s.t .
工 2 下 厂 :游
x1 0.8xx11
x2 x2
1.0 1.6 2.0 1.4
[0 .8 (2x 1)(1 .4x 2)/]70 0 .0 2 %
x1, x2 0
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二、总结
线性规划问题（LP问题）的共同特征：
n :变量个数；m : 约束条件个数。
bi (, )0, i 1,2,m
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四、两变量线性规划问题的图解法
1.线性不等式的几何意义— 半平面
2.图解法步骤
例1 （典型示例）：
• 作出LP问题的可行域
• 作出目标函数的等值线
• 移动等值线到可行域边界 得到最优点
OBJ : max Z 2x1 3x2
1.线性规划及单纯形 法1
第一章 线性规划及其单纯形法
第一第节一章 线线性性规规划划及问单题纯及形数法学模型
Linear Programming , LP
• 1939年 苏 康托洛维奇和1941年 美 Hichook
在生产组织管理和制定交通运输方案方面研究和应用线性规划，求 解方法——解乘数法
• 1947年 G. B. Dantzig 单纯形法 • 1979年 苏 哈奇安多项式算法（椭球算法） • 1984年 Karmarkar算法
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8, 3
x1
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无界解示例
x2
①
可行域不闭合 Z增大方向
②
x1
14
产生原因：缺少约束条件 注 意：可行域不闭合不一定就会出现无界
解，这要看目标函数的性质。若目 标函数是min，则有最优解。无论 有无最优解，一定有可行解。
15
无可行解示例
x2
④
②
无公共区域(可行域) 产生原因：
有相互矛盾的 约束条件。
图解法意义不大，但可直观揭示有关概念。
11
3.LP解的类型
有4类： （1）唯一最优解
如例1的Q2点。 （2）无穷多最优解（多重解） （3）无界解 （4）无可行解
12
多重解示例
x2 当例1 的目标函数变为 max Z =2x1+4x2
①
96 3
③
4, 6
②
可行域
0
4
此线段上的点 均为最优点
Z=36
b2
s.t.
am1 x1
am2 x2
amn xn
bm
x j 0, j 1,2,n
n :变量个数; m :约束行数; c j : 价值系数 bi : 右端项，bi 0, i 1,2,m; aij : 技术系数
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简写的解析式
原 A 约 料4 束 x 10x ： 216
原 B 约 料0 束 x 14x ： 212
变量非负约 x1 束0， ： x2 0
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Step 3: 给出目标函数
mZ a 2 x x 1 3 x 2
Step 4: 整理数学模型
OBJ:maxZ 2x1 3x2
x1 s.t. 4x1
2x2 8 16
4x2 12 x1,x2 0
说明：OBJ 表示Objective;
s.t. 表示Subject to
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例2 污水处理问题 (书P9)
2万m3 ，1000元/万m3 o工厂1
500万m3
200万m3
1.4万m3，800元/万m3 o工厂2
设 x1﹑x2 为 工 厂 1﹑2
OBJ : minZ 1000x1 800x2
的日污水处理量。建 立该问题的数学模型 为：
4
一、实例
例1 生产计划问题 (书P8，典型示例)
产品 I 设备 1 原料A 4 原料B 0 利润 2
II 资源限量 2 8台时 0 16公斤 4 12公斤 3
Step 1:明确问题，设定决策变量
设I、II两种产品的产量分别为x1, x2 。 Step 2: 确定约束条件
工时约x束 12： x2 8
1. 标准型的构成要素 （1）目标函数：max （2）约束条件：等式 （3）变量约束：非负 xj0 （4）资源限量：非负bi 0
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2. 标准型的表示方法
（1）解析式
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21 x1
wk.baidu.com22x2
a2n xn
• 每一个问题变量都用一组决策变量（x1, x2, …, xn）表
示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案，这 些变量是非负的且在某范围内连续取值。
• 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组
线性等式或线性不等式来表示。
• 目标函数用决策变量的线性函数来表示。按问题
的不同，要求目标函数实现最大化和最小化。
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三、线性规划问题的一般形式
max(min)Z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn
(, )b2
s.t .
am1 x1
am2 x2
amn xn
(, )bm
x j (, )0, j 1,2,n
x1 2x2 8
s.t
.
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x1
16 4x2 12
x1, x2 0
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x2
Q6(0,4) Q4(0,3)
4x1=16 x1+2x2=8
Q3(2,3) Q5(4,3) Q2(4,2)
4x2=12
O(0,0)
Q1(4,0) Z=2x1+3x2
x1
Q7(8,0)
做目标函数2x1+3x2的等值线，与阴影部分的 边界相交于Q(4,2)点，表明最优生产计划为：生产I 产品4件，生产II产品2件。