创意平板折叠桌设计

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创意平板折叠桌参数设计
摘要
折叠桌具有使用方便易于携带的特点， 创意精美的折叠桌由于需要巧妙的结 构设计会使得加工难度增大， 因此材料形状和加工尺寸的选择对折叠桌设计方案 的确定十分重要。 本文基于力学原理和几何理论，详细研究了一类创意折叠桌的 动态变化过程和加工参数。 对于问题一，基于力学原理分析了桌子保持稳定的临界条件和承重能力，在 桌腿投影与桌面投影相切的几何约束下， 得出折叠桌最外侧桌腿长度及其与水平 线之间的夹角； 通过判断钢筋沿着桌腿槽口的滑动是单向运动，确定钢筋的运动 路程就是桌腿要开槽的长度， 再根据几何理论计算钢筋与桌腿交点到桌面边缘的 距离， 结合钢筋初始固定位置得到每条桌腿的开槽长度分别为 4.67、 8.11、 10.93、 13.28、15.21、16.76、17.94、18.78、19.27；通过建立空间坐标系并引入桌腿旋 转角度 ，描述了桌子的动态变化过程，并用参数方程给出了桌脚边缘线。 对于问题二，以木板长、宽与桌面圆半径及桌高的几何关系为约束，建立以 木板面积最小为目标的非线性规划模型； 接着利用桌腿开槽长度与钢筋固定位置 的优化模型，得出钢筋越靠近桌腿底端，桌腿开槽长度越短的结论。通过施加最 短的桌腿不会滑出钢筋这一约束条件，确定了固定钢筋的合理位置，最终得到最 优平板尺寸为长 161.05cm、宽 80cm，每条桌腿的具体开槽长度见表 4。 对于问题三，假定客户给出的桌面边缘线为 g( x , y ) ，通过确定其外接圆曲线 然后根据客户 f ( x , y ) ，利用问题二的模型即可确定合理的木材尺寸和支撑腿长度。 给出的桌脚边缘线 ( x , y , z ) ，利用其与桌面边缘线之间的距离可以得到每条桌腿的 长度。 利用问题二中确定钢筋位置的模型，根据最短的桌腿长度计算钢筋最优位 置， 进而确定每条桌腿的开槽长度。最后根据特定的桌面边缘线正六边形和桌角 边缘线椭圆，给出了折叠桌的动态变化过程见图 5。 最优平板尺寸及加工参数的计算模型， 在力学理论的基础上兼顾了美观和实 用的要求，显得更为合理科学。
图中所示是两根相同的支撑杆， 他们的极限承重能力是 G ， 那么竖值杆可撑 起的最大重力为 G ，倾斜杆可支撑的最大重力为 F2 ,根据力学原理明显可以得出
G F2 ，这也就是说支撑杆越竖直承重能力越强。
综合上述分析， 发现桌子的稳定性和承重能力的决定因素是矛盾的。为了兼 顾这两个关键性的要求， 我们认为桌腿在地面的支撑点所围成的四边形与桌面圆 在地面垂直投影相切时即可保证稳定性和承重能力同时达到最优。 3）最外侧桌腿长度的确定 根据相切的约束条件，我们设桌腿编号为 i(1 i 20) ，桌面最边缘木条的长 度为 2d1 , 最中间的木条长为 2d10 , 桌面圆半径为 r , 那么最外侧桌腿的长度为
表中给出了十根桌腿的长度，由于圆的对称性，圆直径另一侧的桌腿长度与 这十根桌腿相等， 因此我们可以根据桌腿长度将平板切割确定桌子最终撑开时的 旋转角度，平板切割方案如图：
图 2：长方形平板切割方案
根据图 2 所示，我们将平板切割同时确定钢筋的位置即木条开槽的初始位置。 5.1.2 桌腿木条开槽长度分析 1）开槽位置的确定 附件视频描述了折叠桌变化的整个过程， 通过观察可以发现每根木条都是绕 着桌面与桌腿的交点做圆周运动，而且钢筋的旋转角度小于 90 度，因此钢筋沿 着桌腿的平移运动是单方向运动，即不会出现往复的情形，那么槽的两端就由折
X 2 Y 2 25.812
由于每根木条宽度为 2.5cm,通过桌面圆方程得出桌面上所有木条的长度和
5
对应桌腿的长度，所以桌面第 i 根木条长度：
di r 2 (2.5 2.5 (10 i))2
(2)
第 i 条桌腿长度：
L di 2
各桌腿的长度如下表：
表 1：所有桌腿的长度 桌腿 长度 1 53.59 2 47.36 3 43.69 4 41.03 5 38.99 6 37.42 7 36.21 8 35.30 9 34.68 10 34.31
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叠桌的两个极限位置确定，即平板和完全撑开这两个状态决定了开槽的位置。 每条桌腿上的槽口起点与桌腿上端点的距离 Di1 ：
1 Di1 di 53.59 2
2）槽长度的计算 为了能够精确地确定折叠桌整个变化过程中各点的具体位置， 我们以桌子的 下底面作为 xoy 平面， 桌面圆的圆心为原点， 垂直桌面向下的方向作为 z 轴方向， 建立空间直角坐标系如图所示：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模 竞赛参赛规则》 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模 竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的 成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表 述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺， 严格遵守竞赛章程和参赛规则， 以保证竞赛的公正、 公平性。 如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表 等） 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ： B
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2）支撑杆承重分析 直杆若只有两端受力，且不计重力，那么它就是二力体[2]，二力体受力时其 力的方向必定沿着杆的轴线方向。桌腿的自重与它的承重相比可以忽略不计，而 且它只有两端受力，因此桌腿可近似看做二力体。当桌腿的强度相同时，它的倾 斜角度与承重的能力有很大的关系，具体分析如下图所示：
图 1：支撑杆倾斜角度
单位 cm cm 度 cm cm cm cm cm cm 个 cm cm
Di
i
L
W
h
a
ti
d
n
R
r
其余符号在在首次出现出说明
四、问题分析
4.1 问题一分析 问题一中给定了平板尺寸为 120cm× 50cm× 3cm， 为了确定折叠桌的加工参数 以及准确地描述折叠的动态过程， 首先要计算出最外侧四个支撑腿的长度和桌面 圆的半径， 这样就得出了折叠桌从平板到完全撑开的过程中的运动轨迹。对于桌 腿木条的开槽长度以及桌脚边沿线的数学描述，我们建立了空间直角坐标系，便 容易得到钢筋在桌腿完全撑开状态下的坐标值， 根据点的距离公式计算折叠前后 钢筋位置与桌腿端点的距离， 进而确定出桌腿木条的开槽长度；引入桌腿旋转角 度 和沿桌面圆直径方向偏移量 x ，利用钢筋始终保持水平这一约束条件，用参 数方程表示桌脚边沿线。 4.2 问题二分析
60 d1 ，因此可得如下方程组：
2 d12 252 d10 2.52 2 2 2 d10 d1 50 60 d1
(1)
求解该方程得到 d1 6.41 cm, d10 25.69 cm,计算得到桌面圆半径 r 25.81 cm，最外侧桌腿长度为 53.59cm，所以桌面圆方程为：
关键词： 稳定性
边缘线
非线性规划
动态变化
外接圆
1
一、
问题重述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊 成一张平板。 桌腿由若干根木条组成， 分成两组， 每组各用一根钢筋将木条连接， 钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上， 并且沿木条有空槽以保证滑 动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。 试建立数学模型并讨论下列问题： 1） 给定长方形平板尺寸为 120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽 2.5 cm，连 接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设 计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图 4 中红色曲线） 的数学描述。 2） 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给 定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求， 讨论长方形平板材料和折叠桌的最 优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm， 桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。 3） 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、 桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状， 给出所需平板材料的形状尺寸 和切实可行的最优设计加工参数， 使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形 状。 你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型 给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出 至少 8 张动态变化过程的示意图。
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问题二要求给出平板尺寸和最优加工参数，我们将问题分为两部分。平板尺 寸的确定是建立在问题一的基础上， 满足桌子稳固性的条件下尽量节省材料的解 决方案可以利用问题一的力学分析结论，因此在给定了桌面直径和桌高后，桌子 最外侧支撑腿的长度就完全确定， 然后用规划理论进行最优化设计确定平板尺寸； 对于加工参数即钢筋位置和开槽长度的分析， 我们从理论上计算钢筋位置与开槽 长度函数关系，寻找最短开槽长度的钢筋位置。 4.3 问题三分析 问题三建立在问题二的基础上，给定桌面边缘线和折叠桌高度，设计出最优 化的平板尺寸以及加工参数。 由于此时桌面形状不唯一，所以不能用一个确定的 模型描述加工过程， 考虑到问题二圆形桌面仅用圆半径来确定桌面大小，我们针 对客户任意给定的桌面形状求其外接圆，这意味着当给定桌高和桌面边缘线后， 问题三就可以利用问题二求解平板尺寸及加工参数的模型确定平板前后边缘长 度。 而宽度方向的平板尺寸需要由客户给定的桌脚边缘线及桌面边缘线在桌子撑 开后的距离确定。