高数函数与极限习题06574
高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =αβ，是∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<x e （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sin lim ∞→＝（ x ）．∵x x nx n xn n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sinlimsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→x x x 101lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时，1-x e 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
高数函数极限练习题
函数与极限练习题直禅IS□ >肖时"用减JE)在冠ttK恵Ifr的盘守呦.削下刮式于中楠课的业€5C ■ •^r,)+oU* )=€<■*)D： d(x) + XJt：)=^)I 二 e =](2> ^#/(>)=—的可去间斷底的牛妆为f;r(x 十1)L1 蓋IB) 1Q> n-aaftbm^"31?3111=F・扁冲乱r 舸擒巒・B.c *=», m <B> 2.^«—'4 I I '.2、H T J「忘廿jl*：= 5T1[1Y-llIl沁'•才r/苇八七目小・眄“让=7■3 af€>- □-町可E THf J；旳个枝为曲充HC7> =^i /(JI)- j-suiflrl3jti)=i1尤曲也Nl(B)昶* = 1 - t=—6:CI ff = -1.B •- 1C .■ ijl+^Jx — LtD、1—COS-^I= e=1 »AW*W«X «*®a,b 为 __Ixdsinfx —21请数门工)=_-—— 在尸列券个区阖内有界一z(x-l)(x-2J(A> (-1,0) (B> (OJ) CO (12) (D> (23)(19)下列riNffliE 踊的是(A)若1诃/X®工1曲> S 当Q q 窗―旺K 占时fW 土 g(r)星 T J^Jt —►齐CB)®3(f >O h ttO<r-^忙方时且伽才⑴二心!!™呂⑴二心均日■则忌》氏*(C> #35>O 3ttO<|x-i o K^0f/(<)>£(x}=>lim/(jr)>]im£(r). gXt g 如 (D)若 lira /(r) > Um g(R =耳必 > Q 当0 q 龙-无 |< 占时冇 /■何 >g(r)if宀片C1L )设Fh)展连慈聃《tf (幻的一牛原曲載，哪必有(A) FWJtlSS»«f{B )是奇««.CB> FG)足奇函敦O £3足偶画蠡.(€) FW 是舄期由数O 虫<!)是罔期函軌(D) P(x)盘单iH 函鑒O 舟3建单谒函数十 X 3 +3^+1 ..、lim;—(EinJC4- cog 耳｝=十 r+Jt 3C13) limf^-f-j^—+- + ^—)n 2+2 n 2+n=1-则/(0)=1(15)着Hf 0时，(1-™3)*-!与工曲工是辱儘无男4 则沖 ________________________X 2 +匕网<c2 , , )内连渎，■<： =41空割(16)⑶川Im ®"祝叭L 求応曲⑴2<33)或FO) ■ ®十卩E"在匿间卜f 町上的何断点.井指明类型。
关于高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
关于高等数学函数的极限与连续习题精选及答案Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误=-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x∴点0=x 是函数xx y =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）．答案：（1）∵10<<x e （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2-）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sin lim ∞→＝（ x ）．∵x x nx n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）．∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()bax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±， 上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→xxax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ），()=-→xx x 101lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim 1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时，1-x e 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在∵1sin lim sin lim sin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
高等数学函数极限练习题
：(x)2X X1 X设 f (X)对一切实数 X 1, X 2 成立 f(x 1 X 2) = f (X 1) f (X 2),且 f(0) =0, f(1) =a,求f (0)及f(n).(n 为正整数)定义函数I (X)表示不超过X 的最大整数叫做X 的取整函数，若f (X)表示将X 之值保留二 位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用I (x)表示f(X) o定义函数I (X )表示不超过X 的最大整数叫做X 的取整函数，若g (X )表示将X 依4舍5入 法则保留2位小数，试用I (X)表示g(x) o在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售 出不能退给报社，只好亏本。
若每天进报纸t 份，而销售量为X 份，试将报摊的利润y 表示为 X 的函数。
定义函数I (X)表示不超过 X 的最大整数叫做 X 的取整函数，试判定L(X) = X _ I (X)的周期性。
判定函数 f(x) =(e x ^∣ _i) J∏(i + X _x)的奇偶性。
设f (X) = e x Sin x ，问在IO,亠「上f (x)是否有界？函数y =f(χ)的图形是图中所示的折线OBA ，写岀y =f(x)的表达式5X ， 0 兰 X £ 2;平 Y X ，≤ X £ 4; 亠丘 T V Γ I设 f (X)=丿<P (x)=」 求 f [ζP (x)及申 Lf (x) 1X +2,2 兰 X 兰4. x-2,4 兰 X 兰6.「(X) = 2x -1，求 f L(X)]及“丨 f (X)].(X)(X)设 f (X)(X) 1—(x + X )， S0;(X)■ 0.2，‘0,：：：0;(X)-0. 0, X 込 0;I . I求f (x)的反函数 g (x)及f ISP(X) J.X - 0.If (X) 1.求 f L(X)].■ 1， X 1; 求 f (x) + CP (X).X - 1.2x ,求f (X)的定义域及值域设 f(x)=Xe ,设 f (X )= * √7 +ι, x — 1 , -：：：:：X .：: 0 ；0 < X <4 ； 求f (X)的反函数:(x) • 4 ：：： X ：：： ■::X , 一 OQ £ X £ 1 ； 设 f (X) = X 2, ^X <4 ; 求 f (X)的反函数(X) • I X2 , 4 ：： X ：： 设 f (X)I- 2 1 -X , X ：：: 0； 求:X _ 0∙ (1) f (X)的定义域； (2) f (2)及 f (a 2)∙(a 为常数)。
高数极限62道经典例题
高数极限62道经典例题高数极限是数学中的重要概念之一，也是学习数学的学生需要掌握的基本技能之一。
在高数极限的学习过程中，经典例题是帮助学生深入理解和掌握极限概念的重要辅助工具。
以下是62道经典的高数极限例题，通过这些例题的学习和解答，学生可以提高自己的极限运算能力。
1. 求极限lim(x→0)(sinx/x)2. 求极限lim(x→∞)(1/x)3. 求极限lim(x→∞)(x^2/(1+x^2))4. 求极限lim(x→0)(x^3/(1+2x)^2)5. 求极限lim(x→0)(1-cosx/x)6. 求极限lim(x→0)(sqrt(1+x)-1)/x7. 求极限lim(x→0)(e^x-1)/x8. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/x)9. 求极限lim(x→∞)(ln(x+1)/ln(x))10. 求极限lim(x→0)(1-cosx)/(x^2)11. 求极限lim(x→0)(sin2x/2x)12. 求极限lim(x→0)(sin(ax)/bx)，其中a和b为常数13. 求极限lim(x→0)(e^x-x-1)/x^214. 求极限lim(x→∞)(e^x/x)15. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/(x+a))16. 求极限lim(x→0)(e^x-ax-1)/x^2，其中a为常数17. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x18. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^(kx)，其中k为常数19. 求极限lim(x→0)(sinx+cosx)/x20. 求极限lim(x→0)(sinx-cosx)/x21. 求极限lim(x→0)(e^x+e^-x-2)/x22. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(e^x)，其中a为常数23. 求极限lim(x→0)(a^x-1)/x，其中a为常数24. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/(1+sinx))25. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(lnx)，其中a为常数26. 求极限lim(n→∞)(1+1/n)^n27. 求极限lim(n→∞)(1+1/n)^n^228. 求极限lim(n→∞)(1+1/n^n)29. 求极限lim(n→∞)(1+1/n^n^2)30. 求极限lim(n→∞)(1+1/n!)^n31. 求极限lim(n→∞)(n^a)/(a^n)，其中a为常数32. 求极限lim(x→0)(sin(ax^2)/tanx^2)，其中a为常数33. 求极限lim(x→0)(tan(ax^2)/sinx^2)，其中a为常数34. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^a，其中a为常数35. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^(1/x)36. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^(1/x)^237. 求极限lim(x→0)(sin(ax)/bx)，其中a和b为常数38. 求极限lim(t→0)(sin(at)/bt)，其中a和b为常数39. 求极限lim(x→0)(a^x-b^x)/(x-c)，其中a、b和c为常数40. 求极限lim(x→0)(sin(ax)-sin(bx))/(x-c)，其中a、b和c为常数41. 求极限lim(x→0)(ln(ax)-ln(bx))/(x-c)，其中a、b和c为常数42. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(e^bx)，其中a和b为常数43. 求极限lim(x→∞)(e^ax)/(x^b)，其中a和b为常数44. 求极限lim(x→0)(sinx/x^a)，其中a为常数45. 求极限lim(x→0)(cosx/x^a)，其中a为常数46. 求极限lim(x→0)(tanx/x^a)，其中a为常数47. 求极限lim(x→0)(cotx/x^a)，其中a为常数48. 求极限lim(x→0)(secx/x^a)，其中a为常数49. 求极限lim(x→0)(cscx/x^a)，其中a为常数50. 求极限lim(x→0)(ln(1+ax))/(x^b)，其中a和b为常数51. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^2)，其中a为常数52. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^2)，其中a为常数53. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^3)，其中a为常数54. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^4)，其中a为常数55. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^5)，其中a为常数56. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^6)，其中a为常数57. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^7)，其中a为常数58. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^8)，其中a为常数59. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^9)，其中a为常数60. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^10)，其中a为常数61. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^3)，其中a为常数62. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^4)，其中a为常数以上是62道经典的高数极限例题，每道题目都能帮助学生巩固和拓展自己的极限运算能力。
函数与极限试题
函数与极限试题1. 题目描述：求以下函数的极限：a) 当x趋近于0时，求函数f(x) = (sinx)/x的极限值；b) 当x趋近于无穷大时，求函数g(x) = x/(x+1)的极限值；c) 当x趋近于2时，求函数h(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)的极限值。
2. 解答：a) 函数f(x) = (sinx)/x的极限：考虑极限lim(x→0) (sinx)/x，我们可以利用泰勒级数展开对sinx进行近似计算。
根据泰勒级数展开，我们有：sinx = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...因此，lim(x→0) (sinx)/x = lim(x→0) [1 - (x^2)/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7! + ...]由于幂次越高的项对于x趋于0时的极限值的贡献越小，我们只需要考虑最高次项。
因此，当x趋近于0时，(x^4)/5!及更高次项可以忽略不计。
因此，lim(x→0) (sinx)/x ≈ lim(x→0) [1 - (x^2)/3!]= 1所以，函数f(x) = (sinx)/x在x趋近于0时的极限值为1。
b) 函数g(x) = x/(x+1)的极限：考虑极限lim(x→∞) x/(x+1)，我们可以进行有理化处理，得到：lim(x→∞) x/(x+1) = lim(x→∞) (1 - 1/(x+1))当x趋近于无穷大时，1/(x+1)趋近于0，因此极限值为：lim(x→∞) x/(x+1) = 1 - 0 = 1所以，函数g(x) = x/(x+1)在x趋近于无穷大时的极限值为1。
c) 函数h(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)的极限：考虑极限lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2)，我们可以进行因式分解，得到：lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2) = lim(x→2) [(x - 2)(x + 2)]/(x - 2)由于在x = 2处分母为0，我们需要对被除数进行化简，得到：lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2) = lim(x→2) (x + 2) = 4所以，函数h(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)在x趋近于2时的极限值为4。
(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→xxax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
高数函数与极限练习题
高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。
高数极限习题
关系
函数在某一点极限存在的 充分必要条件是，该点的 左、右极限都存在且相等。
夹逼定理及其应用举例
夹逼定理内容
如果三个函数在某点的极限存在，且 满足“夹逼”条件，则中间函数的极 限也存在，且等于两侧函数的极限。
应用举例
利用夹逼定理可以证明一些复杂函数 的极限存在性，如三角函数、指数函 数等。
单调有界数列必有极限
何值。
05
无穷级数中的极限问题
级数收敛与发散判断方法
比较判别法
通过比较级数的Βιβλιοθήκη 项与已知收敛或发散的级数通 项，来判断级数的收敛性。
比值判别法
求出级数相邻两项的比值，根据比值的极限值来 判断级数的收敛性。
根值判别法
求出级数各项的绝对值，然后取n次方根，根据根 值的极限值来判断级数的收敛性。
级数求和公式推导过程
等差数列求和公式
通过倒序相加法或错位相减法，将等差数列求和转化为等比数列 求和，从而得到求和公式。
等比数列求和公式
通过错位相减法，将等比数列求和转化为等差数列求和，从而得到 求和公式。
幂级数求和公式
通过逐项积分或逐项微分法，将幂级数求和转化为已知函数的求和， 从而得到求和公式。
级数收敛半径和收敛域求解
单调有界数列定义
单调有界数列是指一个数列既单调递增又有上界，或单调递减又有下界。
必有极限原因
根据实数完备性定理，单调有界数列必有极限。这是因为单调有界数列是一个 有界闭区间上的点列，根据闭区间套定理或聚点定理，这个点列必有收敛子列， 而单调性保证了收敛子列的极限就是原数列的极限。
04
连续性与间断点问题
函数连续性概念及性质
连续性的定义
函数在某一点连续，当且仅当函数在该点的极限值等于函数 值。
第一章 函数与极限
《高等数学》（上）题库 第一章 函数与极限一、选择题1.函数)cos(ln x e y =的复合过程为（ ）.A.)cos(,ln x e u u y ==B.)cos(,ln ,x e v v u u y ===C.x e v v u u y === ,cos ,lnD. cos , ,ln x v e u u y v ===．2.“)(x f 在点0x x =处有定义”是当0x x →时)(x f 有有极限的（ ）.A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件3.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0101sin x x x x x f ，， ，则()0lim x f x →=（ ）. A. 1 B. 0 C.不存在 D.无法判断4.下列函数中是无穷小量的是（ ）.A.时，当0 1.02→+x x xB.时，当3 912→-+x x x C.时，当∞→++x xx x 23122 D.时，当+∞→x x ln 5.已知函数⎩⎨⎧≥+<=0,20,3)(x a x x e x f x 在0x =处极限存在，则a =（ ）． A ． 0 B ．1 C ．2 D ．36.设函数1()(2)f x x x =-的所有间断点是（ ）. A. 0,1x x == B. 0,2x x == C. 1,2x x == D. 0,1,2x x x ===7.当0x →时，1x e -是（ ）.A.与x 等价无穷小B.较x 低阶的无穷小C.较x 高阶的无穷小D.不能比较8.函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0101sin x x x x x f ，， 在0=x 处间断，则该点为( ). A.振荡间断点 B.跳跃间断点 C.无穷间断点 D.可去间断点9.函数2)(-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是( ).A ．)1,2(-- B.)0,1(- C.)1,0( D.)2,1(10.下列说法中正确的是( ).A.发散数列一定无界B.有界数列一定收敛C.单调数列必定有极限D.收敛数列极限唯一二、填空题1.)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的 条件。
函数及极限习题及答案
函数及极限习题及答案第一章函数与极限（A ）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。
6、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
7、函数xxy sin =有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当0≠x 时，x xx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn nn n n n n Λ 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(lim xx x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e nn ，则k= 。
13、函数23122+--=x x x y 的间断点是。
14、当+∞→x 时，x1是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。
16、函数xe y 1=在x=0处是第类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的间断点。
18、已知33=??πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设??>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在，则a= 。
20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是。
21、114)(2-=x x x f 的连续区间为。
22、设?>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数a= 。
二、计算题1、求下列函数定义域（1）211xy -= ；（2）x y sin = ；（3）xe y 1= ；2、函数)(x f 和)(x g 是否相同为什么（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ；（2）2)(,)(x x g x x f == ；（3）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ；3、判定函数的奇偶性（1）)1(22x x y -= ；（2）323x x y -= ；（3）)1)(1(+-=x x x y ；4、求由所给函数构成的复合函数（1）22,sin ,x v v u u y === ；（2）21,x u uy +==；5、计算下列极限（1）)2141211(lim n n ++++→Λ ；（2）2)1(321limn n n -++++∞→Λ ；（3）35lim 22-+→x x x ；（4）112lim 221-+-→x x x x ；（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ；（6）2232)2(2lim -+→x x x x ；（7）x x x 1sin lim 20→ ；（8）xx x x +---→131lim 21 ；（9）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；6、计算下列极限（1）x wx x sin lim 0→ ；（2）x xx 5sin 2sin lim 0→ ；（3）x x x cot lim 0→ ；（4）xx xx )1(lim +∞→ ；（5）1)11(lim -∞→-+x x x x ；（6）x x x 10)1(lim -→ ；7、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时；（2）)1(21112x x x --→与，时；8、利用等价无穷小性质求极限（1）30sin sin tan lim xx x x -→ ；（2）),()(sin )sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ；9、讨论函数的连续性。
函数与极限测试题及答案一
函数与极限测试题（一）一、 填空题 二、 一、若1ln 11ln x f x x+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()f x =_____。
三、 二、函数()f x 的概念域为[],a b ，则()21f x -的概念域为_____。
四、3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。
五、 4、设()()21lim 1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的中断点为x =_____。
六、 单选题七、 一、当0x →时，变量211sin x x是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、二、设函数()bx xf x a e=+在(),-∞+∞上持续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 知足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232xxf x =+-，则当0x →时（ ）十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞-=⎡⎤⎣⎦，则()lim x f x →∞为（ ）十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不必然等于零 十八、 C 、必然不存在 D 、不必然存在 十九、 例：()()()11,,221x x f x x g x x x x ϕ==+=+++ 二十、 求下列极限二十一、一、limx 二、()221212lim 1xx x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭二十二、确信,a b 的值，使()322ln 10011ln 01ax x f x bx x x x x x x ⎧+<==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩在(),-∞+∞内持续。
函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析 （同济大学第六版高等数学）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。
6、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
7、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
8、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn nn n n n n Λ 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。
13、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时，x1是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
16、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是 。
21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为 。
22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
函数与极限练习题
函数与极限练习题Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数二．极限（一）数列的极限1.数列极限的定义2.收敛数列的基本性质3.数列收敛的准则（二）函数的极限1.函数在无穷大处的极限2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量1.无穷小量2.无穷大量3.无穷小量的性质4.无穷小量的比较5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性x处连续的定义1.函数在点02.函数的间断点3.间断点的分类4.连续函数的运算5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明自测题一一．填空题二．选择题三． 解答题3月18日函数与极限练习题一．填空题1.若函数121)x (f x-⎪⎭⎫⎝⎛=，则______)x (f lim x =+∞→2.若函数1x 1x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________4. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________5.已知函数 20()1ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2 6. 函数 3x 2x y --=的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞7. 已知 11()1f x x=- ，则 (2)f = __________ 8.y =+，其定义域为 __________ 9. 22x11x 1arcsin y -+-= 的定义域是 ______10. 考虑奇偶性，函数ln(y x = 为 ___________ 函数11.计算极限：（1） sin limx xx→∞= _______；（2）711lim 1x x x →-=- ______（3）xx xx sin lim +∞→ = _______；（4）1253lim 22-+∞→n n n n = _______12.计算：（1）当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量； （2）当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；13.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在14. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-15. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( )（A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量计算与应用题设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a求极限：20cos 1lim2x x x →- 求极限： 121lim()21x x x x +→∞+- 求极限： 512lim 43-+-∞→x x x x求极限：x x x 10)41(lim -→ 求极限：2x x )x 211(lim -∞→- 求极限：20cos 1lim xxx -→求极限： 2111lim()222n n →∞+++求极限：22lim(1)n n n →∞- 求极限：lim()1xx x x →∞+求极限 211lim ln x x x →- 求极限：201lim x x e x x →-- 求极限：21002lim(1)x xx +→∞+求极限： limx →- 求极限：21lim()1xx x x →∞-+ 求极限： 3131lim()11x x x →---4月28日函数与极限练习题一．基础题 1.设函数,11)(1-=-x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.2． 下列极限正确的（ ）A ． sin lim1x x x →∞= B ． sin lim sin x x xx x→∞-+不存在C ． 1lim sin 1x x x →∞=D ． limarctan 2x x π→∞=3. 设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 4. 已知9)ax a x (lim xx =-+∞→，则=a ( )。
最新高等数学(函数与极限)习题及解答
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
2003年，全年商品消费价格总水平比上年上升1%。消费品市场销售平稳增长。全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元，比上年增长9.1%。
此次调查以女生为主，男生只占很少比例，调查发现58％的学生月生活费基本在400元左右，其具体分布如（图1-1）
新材料手工艺品。目前，国际上传统的金银、仿金银制成饰品的销售在逐步下降，与此形成鲜明对比的是，数年以前兴起的崇尚然风格、追求个性的自制饰品--即根据自己的创意将各种材质的饰珠，用皮、布、金属等线材串出的品，正在各国的女性中大行其道。
Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。
图1-3大学生偏爱的手工艺品种类分布
2、传统文化对大学生饰品消费的影响
（三）上海的文化对饰品市场的影响
可是创业不是一朝一夕的事，在创业过程中会遇到很多令人难以想象的疑难杂症，对我们这些80年代出生的温室小花朵来说，更是难上加难。
练习1-1
据调查统计，有近94%的人喜欢亲戚朋友送给自己一件手工艺品。无论是送人，个人兴趣，装饰还是想学品的目的。如图（1-4）
市场环境所提供的创业机会是客观的，但还必须具备自身的创业优势，才能使我们的创业项目成为可行。作为大学生的我们所具有的优势在于：
高二数学函数极限练习题及答案
高二数学函数极限练习题及答案一、选择题1. 若函数f(x) = 2x³ + ax² + 4x + b，对于x的取值范围，使得f(x)存在极限，则a和b的关系是（）A. a = 2bB. a = -2bC. a = -4bD. a = 4b2. 已知函数g(x) = (x - a) / (x + a)，若lim(x→∞) g(x)存在，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≠ 0C. a < 0D. a = 03. 已知函数h(x) = sin(x) / x，若lim(x→0) h(x)存在，则函数h(x)在x = 0处的连续性是（）A. 连续B. 不连续C. 可导但不连续D. 半连续二、判断题1. 对于函数f(x) = √(x² + 1) - √(x² - 1)，当x趋向于正无穷时，f(x)的极限不存在。
（）2. 设函数g(x)在点x = a处连续，则必定在点x = a处存在极限。
（）3. 若lim(x→0) f(x) = lim(x→0) g(x) = 1，则lim(x→0) (f(x) + g(x)) = 2。
三、计算题1. 计算lim(x→0) (sin(3x) / x)。
2. 设函数f(x) = x² - 4x + 3，求f(x)在x = 2处的极限。
3. 若函数g(x)满足lim(x→2) g(x) = 5和lim(x→2) [f(x) - g(x)] = 3，求lim(x→2) f(x)。
四、应用题1. 某物体的运动距离s(t)与时间t的函数关系为s(t) = 2t² - 3t + 1，其中t表示时间（s），s表示距离（m）。
求物体在t = 2s时的瞬时速度。
2. 一块圆形薄片的直径随时间的变化关系为d(t) = t² - 2t + 3，其中t表示时间（s），d表示直径（cm）。
求薄片在t = 3s时的瞬时变化率。
(完整版)函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn n n n n n n 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
13、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时，x1是比3-+x15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x xx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a=。
20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是 。
21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为 。
22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
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p ( x ) x 3 2 x 2 a b x ~ x ( x 0 )
从而 b0 得 ,a1. 故 p (x ) x 3 2 x 2 x
x1, x1
例6
讨论 f(x)cos2x,
的连续 . 性 x1
解 将f(x)改写成
1 x, x 1 f (x) cos2x, 1 x 1
lifm (x )s2 ix n 0 x 0
从而由等价无穷小的代换性质得
2lx i0m 1fe (3 xx) s1i2n x1
1 f (x)sin2x
lim2
x0
3x
1limf(x)sin 2x
3x0
2x
由limsin2x1 x0 2x
lif m (x )存在 lif m ( ， x )6且
得cln2
解二
lim x
x x
c c
x
1 lim x 1
c x x
c x
x
ec e c
e2c
例 证明 limn n1 n
证 首先 nn1 记 nn1hn
n ( 1 h n 2 )n 1 n n h n (n 2 !1 )h n 2 1n(n2! 1)hn2
0hn2
2 n
x
limf(x)limcos 0.
x1
x1
2
lif m (x )lif m (x )
x 1
x 1
limf(x)lim (x1)0. 故 f(x)在 x1连.续
x1
x1
f(x )在 (, 1 ) ( 1 ,)连 . 续
例 设 f(x)在闭 [0,1区 ]上间 连 ,且 f(0 续 )f(1),
解 由 lx i0m 1fe (3 x x ) s1 i2n x12 而 lim (e3x1)0
x 0
li(m 1 f(x )s2 ix n 1 ) x 0
lx i0m 1 fe (3 x x ) s1 i2 x n 1 (e 3 x 1 )
20 0
lim 1 f(x )s2 ix n 1 x 0
证明必 [0 有 ,1]使 一 f(得 点 1)f().
2
证明 令 F (x)f(x1)f(x),
2
则F(x)在[0,1]上连. 续 2
F(0)f(1)f(0), 2
F(1)f(1)f(1),
2
2
讨论: 若 F(0)0, 则0, f(01)f(0);
2
若F(1) 0, 则 1 , f(11)f(1);
x 1, x 1
显 f(x ) 然 在 (, 1 )( ,1 ,1 )(1 ,,) 内 .连续
当 x1时 ,
limf(x)lim (1x)2.
x1
x1
lif m (x )lif m (x )
x 1
x 1
limf(x)limcosx0. 故 f(x)在 x1间.断
x1
x1
2
当x1时,
x0
xl ixm 0 f(x)f(x0)
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的性质
1、连续的定义
单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性
又x=1为可去间断，故limf(x)存在 x1
1 b li(x m b ) li[f m (x )(x a )x ( 1 )]
x 1
x 1
lif( m x )li (x m a )x ( 1 )0 x 1 x 1
b1
例
已 l x 0 i知 1 m fe (3 x x ) s1 2 ix n 1 2 ,求 l x 0 ifm (x )
2
2
22 2
若 F(0)0,F(1)0,则 2
F(0)F(1) [f(1)f(0)]2 0.
2
2
由零点定理பைடு நூலகம்,
(0,1)使 , F()0.
2
即f(1)f()成.立
2
综上, 必有 一 [0,1] 点 [0,1],
2
使f(1)f()成.立
2
例 设 x 10 ,证 x n 明 11 2(x nx a n)有(极 a0 )限 证 显然 xn0
由夹逼定理知
ln im hn 0
lim nn1 n
例 确a定 ,b的值f， (x)使xb 有无 (xa)(x1)
间断 x点 0,，有可去 x1间断点
解 因f(x)在x=0处为无穷间断，即
limf(x)
x0
0lim 1li(m x a )x ( 1 ) x 0 f(x ) x 0 x b
limxa a0 ,b0 x0 xb
第一章 函数与极限习题课
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
（一）函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1.函数的定义 函数的分类 2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期 3.反函数 4.隐函数 5.基本初等函数
lim
x
x0(1cosx)ln(1 x)
解一
sinxxcos1 原式lxim 0(1cxosx)ln1(xx)
x 10 1
21 2
例 求 lx i1m ( x1)(3 (xx 11 )n ) 1(nx1) 解 令 ux1 则 x1u
由 (1u)1~u得
I l u 0 i(m 1 u 1 )3 1 ( u u n 1 1 ) ( n 1 u 1 )
1 x
n
例 求lim (1tanx)x13. x0 1sinx
解 原式 li[m 1(1tax n1)x 1 ]3 x 0 1sixn
lim [1taxnsix n]x13
x 0
1six n
lx i0m ta 1 xn ssix n ix nx13lx i0m (s1ix n s(1i x n)ccoo xx)ssx13
积化和差 sinαsinβ = [cos(α+β)-cos(α-β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
1u1u 1u
lim2 u0
3 un1
n
1 n!
例. 求极限
ln i c m o 2 x cs2 o x 2 s c2 o x ns ,(x 0 )
解
原式 lim co2 xsco2xs2co2xsn2sin 2xn
n
2sin 2xn
ln i m co2 xsco4 xs 22csoi2 n 2sxn xn12sin 2n x1
x
xn
lx i (m a0a x 1a x n n 1 1a x n n)
a0 0
故由函数极限的保号性质可知 X 0 0 ,使 |x | 当 X 0 时 fx(nx)与a0同号， 亦即 |x | X 0 时 ， f(x ) 与 ， 当 a 0 x n 同号
又 n 是奇数，所以 a0( 2X 0)n与 a0(2X 0)n异号
f ( 2 X 0 ) f ( 2 X 0 ) 0 而 f(x)在 [2X 0,2X 0]上连续
故由零点定理知 ( 2 X 0 ,2 X 0 ) ， f() 使 0
即 a 0xna 1xn 1a n 1xa n0 至少有
和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
xn11 2(xnxan) a
xn1xn12(xanxn)
1 a xn2 0 2 xn
即xn单调减，有下界
故由单调有界原理得 ln imxn存在
设 ln i m xnA ，A 则 0
在xn1 12(xnxan)两边取极限得
A1(A a) 2A
解得 A a,A a（舍去）
例求
sinx x2 cos1
2、间断点的定义
间断点的分类 第一类、第二类
3、初等函数的连续性
连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性
4、闭区间上连续函数的性质
最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理
二、例题
例 当 x1时 ,
求 li(m 1x)1 (x2)1 (x4)(1x2n). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
lx i0s m x ixn 1x c2o x(s 1s1 ixn )co xs12
1
原 式 e2 .
例 设p(x)是多项 ,且式 lx i mp(xx)2x3 2, limp(x)1,求p(x). x x0
解 lx i mp(xx)2x3 2, 可 p (x 设 )x32x2a x b (其 a ,b 中 为待 )
原 li 式 ( 1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n )
n
1 x
(1 x 2 )1 ( x 2 )1 ( x 4 ) (1 x 2 n)