全等三角形几种类型总结(供参考)
全等三角形的10个模型(一)
全等三角形的10个模型（一）引言概述：全等三角形是指两个或多个三角形的对应边和对应角完全相等的情况。
全等三角形在几何学中有广泛的应用，不仅在证明和推导定理时起到重要的作用，还在实际问题的解决中提供了有力的工具。
本文将介绍十个关于全等三角形的模型。
这些模型旨在帮助读者更好地理解和运用全等三角形的性质和应用。
正文：1. 模型一：完全相等的三边- 全等三角形的基本条件就是三边相等。
- 通过边的对应关系确定两个三角形是否全等。
- 证明时可利用边长相等的性质进行推导。
2. 模型二：完全相等的两边和夹角- 如果已知两个三角形的两边和夹角都相等，则这两个三角形全等。
- 通过边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
3. 模型三：完全相等的两角和夹边- 如果已知两个三角形的两角和夹边都相等，则这两个三角形全等。
- 边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
4. 模型四：等腰三角形和全等条件- 等腰三角形是指两边相等或两角相等的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是等腰三角形，且两个等腰三角形的两边或两角都相等，则这两个三角形全等。
5. 模型五：直角三角形和全等条件- 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是直角三角形，且两个直角三角形的两边或两个锐角均相等，则这两个三角形全等。
总结：通过十个模型的介绍，我们可以看到全等三角形是几何学中一个重要而广泛应用的概念。
理解全等三角形的性质和应用对于解决几何问题具有重要意义。
在实际问题中，我们常常可以利用全等三角形的模型来推导和证明定理，从而得出更深入的结论。
专题三----全等三角形判定的三种类型
专题三全等三角形判定的三种类型类型一:已知一边一角型应用1 一次全等型1、如图，在ΔABC中，BD=CD，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.2、如图,在ΔABC中，D是BC边上一点,连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD 交AD的延长线于点F,且BE=CF。
求证:AD是ΔABC的中线。
应用2 二次全等型3、如图，∠C=∠D，AC=AD,求证：BC=BD4、如图，D是ΔABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE.求证：∠ABE=∠ACE.类型二已知两边型应用1 一次全等型5、如图,在RtΔABC中，∠ACB=90o,CA=CB,D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD,BD 的延长线与AE交于点F，度猜想BF与AE的位置关系，并说明理由。
应用2 两次全等型6、如图，AB=CB,AD=CD，E是BD上任意一点。
求证：AE=CD7、如图，∠BAC是钝角,AB=AC，点D、E分别在AB、AC上,且CD=BE.求证：∠ADC=∠AEB类型三已知两角型应用1 一次全等型8、如图，已知∠BDC=∠CEB=90O，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC。
求证：OB=OC.应用2 两次全等型9、如图，在ΔABC与ΔDCB中，AC与BD六于点E,且∠BAC=∠CDB,∠ACB=∠DBC，分别延长BA 与CD交于点F。
求证：BF=CF。
添加辅助线之倍长中线法1. 1、如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线,且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．2. 如图，在△ABC 中,D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ,BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．3. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． E D C B AF E D C B A求证：AD为△ABC的角平分线．FAGE D C。
全等三角形几种类型总结
全等三角形几种类型总结1. SSS 全等三角形（Side-Side-Side）：在两个三角形中，各对应的边长都相等。
当三边分别对应相等时，可以得出两个三角形是全等的。
2. SAS 全等三角形（Side-Angle-Side）：在两个三角形中，两个对应的边和夹角分别相等。
当两个对应的边长和夹角对应相等时，可以得出两个三角形是全等的。
3. ASA 全等三角形（Angle-Side-Angle）：在两个三角形中，两个对应的角和一个对应的边相等。
当两个对应的角和一个对应的边对应相等时，可以得出两个三角形是全等的。
4. AAS 全等三角形（Angle-Angle-Side）：在两个三角形中，两个对应的角和另一个对应的旁边相等。
当两个对应的角和另一个对应的旁边对应相等时，可以得出两个三角形是全等的。
5. RHS 全等三角形（Right Angle-Hypotenuse-Side）：在两个三角形中，其中一个是直角三角形，且两个对应的斜边和另一个对应的边相等。
当一个三角形是直角三角形，且两个对应的斜边和另一个对应的边对应相等时，可以得出两个三角形是全等的。
这些全等三角形的概念和性质可以帮助我们在解决几何问题时判断两个三角形是否全等。
通过观察给定的条件，我们可以确定适当的全等三角形的类型，然后使用这些方法来解决问题。
例如，如果我们知道两个三角形的三个边长相等，则可以判断这两个三角形是SSS全等三角形。
如果我们只知道两个三角形的两个边对应相等，并且这两个边之间的夹角也相等，则可以判断这两个三角形是SAS全等三角形。
同样地，我们可以通过已知条件和全等三角形的类型来确定两个三角形是否全等。
总之，全等三角形是非常重要且有用的概念，它们帮助我们在解决几何问题时确定两个三角形是否全等。
理解和掌握这些全等三角形的类型和性质将有助于解决各种与三角形有关的问题。
全等三角形题型归类及解析
全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。
另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。
1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。
2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。
(1) 求证：∠ABE=∠C ；(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
．AB C DE PD A CBM N5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）21PFMDBA CE6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=12BD ；（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。
8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．二、中点型由中点应产生以下联想：ED C BA1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =D AE FCHGB3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论。
证明全等三角形黄金总结(初中几何)
证明全等三角形黄金总结全等三角形是初中几何的重点学习内容，学习好初中几何有利于将来学习高中立体几何，更有助于日常的几何关系处理。
这里，结合本人经验，给亲爱的初中同学总结了一下比较典型的证明方法，希望可以帮到学子学习上更上一层楼。
全等三角形指两个三角形的三条边及三个角都对应相等，全等三角形共有5种基本的判定方式：1. SSS（只要两个三角形对应的三条边长度一样，即可证明两个三角形全等，简称：边边边）举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证△ACD与△BDC全等。
证明：AC=BD，AD=BC，CD=CD（SSS）.∴△ACD≌△BDC.2. SAS（只要两个三角形的两条边对应相等，且两条边的夹角也相等，即可证明两个三角形全等，简称：边角边）举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证△ACB≌△ADB全等。
证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.∵AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB（SAS）.∴△ACB≌△ADB.3. ASA（只要两个三角形的两个角对应相等，且两个角夹的边也对应相等，即可证明两个三角形全等。
简称：角边角）举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：∵∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C（ASA）.∴△ABE≌△ACD.4. AAS（只要两个三角形的两个角对应相等，且其中一个相等的角的侧边也对应相等，即可证明两个三角形全等。
简称：角角边）。
注意：不要与ASA（角边角）搞混。
举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证△ABC≌△EDC。
证明：∵∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE （AAS）.∴△ABC≌△EDC.5. HL（只要两个直角三角形的一条斜边和一条直角边对应相等，即可证明两个三角形全等。
简称：斜边、直角边）（Rt：直角三角形）举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证△ADC≌t△BCD.证明：AC=BD，CD=CD（HL）.∴△ADC≌t△BCD.注意事项：SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形.注意SSA、AAA不能判定全等三角形.几何题要多加练习，熟练掌握以上5种方法即可破解大部分初中几何难题。
全等三角形必考题型
全等三角形必考题型
在数学中，判断两个三角形是否全等是一种常见的题型。
以下是几种常见的全等三角形必考题型：
1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，且它们所夹的两边分别相等，则可以判定这两个三角形全等。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，且它们的夹角所对的边也相等，则可以判定这两个三角形全等。
4. RHS判定法：如果两个三角形的一个直角相等，且它们的斜边相等，则可以判定这两个三角形全等。
这些判定法是基于全等三角形的性质和定义来推导的。
学生在解答全等三角形的题目时，通常需要根据提供的条件进行分析，并利用这些判定法来做出判断。
此外，还存在一些需要应用多种判断法的复合题型，考察学生对不同判定法的理解和运用能力。
为了顺利解答全等三角形的必考题型，学生需要掌握三角形的性质和各种判定法的条件，以及具备逻辑思维和推理能力。
平时的课堂学习和练习中，应注重对这些知识点的理解和掌握，并通过大量的练习题来提高解题能力。
全等三角形八大模型归纳
全等三角形八大模型归纳全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的对应边相等且对应角相等。
全等三角形具有许多性质和特点，可以归纳为八大模型，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL、LLL、LLA、LAL。
下面将分别介绍这八种模型的特点和应用。
第一种模型是SSS，即三边全等。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在实际生活中的应用非常广泛，比如在建筑、工程设计中，需要测量房屋的各个边长是否相等，以确保建筑物的稳定性和均衡性。
第二种模型是SAS，即两边夹角边全等。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型常常用于证明两个三角形全等的情况，可以通过辅助线的引入来简化证明过程。
第三种模型是ASA，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在解题过程中也经常用到，特别是在证明题中，可以根据已知条件找到相等的角和边，从而得出结论。
第四种模型是AAS，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形也是全等的。
这种情况在证明过程中比较常见，可以通过找到两个角和一边相等来得出结论。
第五种模型是HL，即斜边和直角边全等。
当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种情况在解决直角三角形的问题时经常用到，可以利用勾股定理和全等三角形的性质来求解。
第六种模型是LLL，即三边全等。
这种模型和SSS模型类似，只不过LLL模型更加具体，强调了三个边全部相等的情况。
在实际问题中，可以通过测量三角形的三边长度来判断两个三角形是否全等。
第七种模型是LLA，即两边和一个角全等。
当两个三角形的两个边和一个非夹角的角相等时，这两个三角形是全等的。
这种情况在解题过程中也会经常遇到，可以通过找到两个边和一个非夹角的角相等来证明两个三角形全等。
第八种模型是LAL，即一边和两个角全等。
当两个三角形的一条边和两个角分别相等时，这两个三角形也是全等的。
全等三角形的常见类型归纳
全等三角形的常见类型全等三角形是初中平面几何的一个重要内容，也是中考必考的内容之一。
识别两个三角形全等一般有边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）四种方法。
全等三角形的题目很多，但不外乎以下四种类型：一、轴对称型全等三角形 把一个图形沿着某一条直线折叠过来，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。
把△ABC沿直线L翻折后，能与△A”B”C”重合，则称它们是轴对称型全等三角形。
下图是常见的轴对称型全等三角形，其对称轴L是对称点所连线段的垂直平分线。
识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含条件，例如有些具有公共边（如图（1）中的AC，图（4）中的AA”），有些具有公共角或对顶角（如图（2）中的∠BAC＝∠B”AC”，图（3）中的∠ACB＝∠A”CB”）。
例1.如下图，在∠A的两边截取AB＝AC，又截取AD＝AE，连CD、BE交于F。
试说明：AF平分∠A。
二、平移型全等三角形 把△ABC沿着某一条直线L平行移动，所得△A”B”C”与△ABC称为平移型全等三角形。
有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线。
下图是常见的平移型全等三角形。
图（1）中AB∥A”B”，AB＝A”B”，AC∥A”C”，AC＝A”C”。
图（2）中AB∥A”B”，AB＝A”B”，AC∥A”C”，AC＝A”C”，BC∥B”C”，BC＝B”C”。
例2. 如下图，△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于D点，∠C的平分线CE交AB、AD于E、F，过F作FG∥BC交AB于G点。
试说明：AE＝BG。
三、旋转型全等三角形 将△ABC绕顶点A旋转角后，到达△AB”C”的位置，则称△ABC和△AB”C”为旋转型全等三角形。
如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形。
识别旋转型全等三角形时，要注意图（1）（2）（3）中以点A、B、B”和点A、C、C”为顶点的三角形都是顶角为的等腰三角形，∠BAC和∠B”AC”隐含着一个等量减（加）等量的条件，通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等。
(完整版)全等三角形几种类型总结
全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩ 找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB AA BOP三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质【例1】 在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．21E ODCBA【巩固】如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．板块二、三角形全等的判定与应用【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．FEDCBA【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．ODCBA【巩固】如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证：OA OD =．FAE P DCBABCO【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．F E ODCB A【例5】 已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例6】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BCDEF【例7】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．M EDC B板块三、截长补短类【例1】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?NEB M A D【巩固】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A【例2】 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .FEDCBA【例4】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBA【例5】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDECEDB A板块四、与角平分线有关的全等问题【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【例2】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．ADOC BD CBA【例3】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【例4】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例5】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例6】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【例7】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【巩固】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．F GE DCBA【巩固】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例8】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例9】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MFD CB A【巩固】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥ 且1()2DE AB AC =+．E DCB A【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【例10】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【巩固】已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求证：⑴ DE AB ∥；⑵ ()12DE AB BC CA =++．EBA D C【例11】 在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++FEN M CBA【巩固】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-N MCBA【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且)(21AD AB AE +=，则ADC ABC ∠+∠等于多少？EDCBA【例12】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A版块一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCB A【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBA【例3】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA【例4】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例5】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBA【例6】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？F EDCBA【巩固】如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMDCBA【例7】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA版块二、中位线的应用【例8】 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =．FADE CB【例9】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．EDCB A【巩固】已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证CD =2CEE DB CA【例10】 已知：ABCD 是凸四边形，且AC <BD ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点． 求证：∠GMN >∠GNM ．NM GFEDCBA【例11】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例12】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【例13】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．LPMD CBA【例14】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： (1) DEM FDN ∆∆≌； (2) PAE PBF ∠=∠．MADEPFE家庭作业【习题1】如图，已知AC BD =，AD AC ⊥，BC BD ⊥，求证：AD BC =．DC BA【习题2】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．NM DCBA【习题3】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．C EDB A【习题4】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【习题5】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DFECBA【习题6】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【习题7】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．。
全等三角形各种类型证明培优
全等三角形各种类型证明培优题目要求证明全等三角形培优，需要说明全等三角形的各种类型。
全等三角形是指所有对应的边和角都相等的两个三角形。
培优是指三角形的三条高线交于同一点，这个点称为高心（或垂心）。
为了证明全等三角形培优，我们需要先了解全等三角形的几种类型：1. SAS（Side-Angle-Side）三边对应分别相等。
如果两个三角形的两边和夹角分别对应相等，则这两个三角形全等。
2. ASA（Angle-Side-Angle）两角和夹边分别相等。
如果两个三角形的两角和夹边分别对应相等，则这两个三角形全等。
3. SSS（Side-Side-Side）三边分别相等。
如果两个三角形的三边分别对应相等，则这两个三角形全等。
4. RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side）直角三角形的斜边和一条直角边的长度分别相等。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边的长度分别对应相等，则这两个三角形全等。
现在我们来证明全等三角形培优。
为了证明三角形培优，我们需要先证明三角形的三条高线交于同一点。
首先，我们假设有一个三角形ABC，其三边分别为AB、BC、CA。
三条高线分别为AD、BE、CF，交于点H（高心）。
我们需要证明D、E、F三点共线。
首先，我们可以得知三角形ABC的外接圆，其圆心为O，半径为R。
三角形ABC的外接圆上的任意一条弦，其两端点和圆心构成的向量和为零。
接下来，我们可以根据这个结论来证明点D、E、F三点共线。
我们可以分别考虑三角形的三边上的垂足与圆心的连线：1.连线AO，交垂线AD于点M；2.连线BO，交垂线BE于点N；3.连线CO，交垂线CF于点P。
由于三角形ABC的外接圆上的任意一条弦，其两端点和圆心构成的向量和为零，我们可以得知AM+AN+AP=0。
又因为垂线AD、BE、CF分别垂直于边BC、AC、AB，我们可以得到AM⊥BC，AN⊥AC，AP⊥AB。
由于AM+AN+AP=0，我们可以得知三点M、N、P在一条直线上。
全等三角形几种类型
全等三角形几种类型1.SSS（边边边）全等：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。
这是全等三角形最基本的类型。
例如，如果两个三角形的边长分别是AB=DE，AC=DF，BC=EF，则三角形ABC和DEF是全等的。
2.SAS（边角边）全等：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等的。
例如，如果两个三角形的边长和夹角分别是AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则三角形ABC和DEF是全等的。
3.ASA（角边角）全等：如果两个三角形的两角和一边分别相等，则它们是全等的。
例如，如果两个三角形的两角和一边分别是∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AC=EF，则三角形ABC和DEF是全等的。
4.AAS（角角边）全等：如果两个三角形的两角和一边的对应边分别相等，则它们是全等的。
例如，如果两个三角形的两角和一边的对应边分别是∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AC=DF，则三角形ABC和DEF是全等的。
5.RHS（直角边斜边）全等：如果两个三角形的其中一个角是直角，且另外两边分别相等，则它们是全等的。
例如，如果两个三角形的其中一个角是直角ABC，且边AC=DE，BC=EF，则三角形ABC和DEF是全等的。
在这些全等三角形类型中，SSS和SAS是最基本的类型，其他类型都可以由它们推导出来。
此外，这些全等性质不仅适用于平面内的三角形，也适用于三维空间中的三角形。
全等三角形在几何中具有重要的应用，例如在证明几何定理和解决几何问题时，可以通过使用全等三角形来得到更多的结论。
全等三角形还可以帮助我们计算形状的未知尺寸，以及在建筑、工程和计算机图形学等领域中的实际应用。
总结起来，全等三角形有SSS、SAS、ASA、AAS和RHS五种类型。
根据这些类型，我们可以根据给定的信息判断三角形的全等关系，并利用这些关系解决各种几何问题。
全等三角形的六种模型全梳理(学生版)--初中数学专题训练
全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
全等三角形经典模型总结
全等三角形经典模型总结1.S-A-S（边-角-边）全等法则：当一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，∠ABC=∠DEF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
2.A-S-A（角-边-角）全等法则：当一个三角形的两角和夹边分别等于另一个三角形的两角和夹边时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，BC=EF，并且∠BCA=∠EFD，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
3.S-S-S（边-边-边）全等法则：当两个三角形的三边分别对应相等时，两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且AC=DF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
4.H-L（高-底）全等法则：如果两个三角形的高和底分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果h1是三角形ABC的高，b1是它的底，h2是三角形DEF的高，b2是它的底，如果h1=h2，b1=b2，则三角形ABC全等于三角形DEF。
5.A-A-S’（角-角-边）全等法则：若三角形的两个角和两个边分别与另一三角形的两个相对角和边对应，则两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，并且AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
6.1-1-1全等法则：如果两个三角形的边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，AC=DF，并且BC=EF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
7.1-1-边（边-边）全等法则：如果两个三角形的两个边和一个夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形ABC和DEF中，如果AB=DE，BC=EF，并且∠ABC=∠DEF，那么三角形ABC全等于三角形DEF。
全等三角形常见题型5种
全等三角形是初中数学中的一个重要知识点，其常见题型主要有以下五种：
1. 已知两边及其夹角，求证全等：这是全等三角形最基本的题型，也是最常见的题型。
解题的关键在于理解全等三角形的定义，即两个三角形如果它们的三边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
在解答这类题目时，我们通常会使用SAS（边角边）或ASA（角边角）定理。
2. 已知一边及其对角，求证全等：这类题目的解题思路与第一种类似，但是需要用到的是AAS（角角边）定理。
在解答这类题目时，我们需要先找出两个三角形的对应角和对应边，然后利用AAS定理进行证明。
3. 已知两角及其夹边，求证全等：这类题目的解题思路与前两种有所不同，需要用到的是HL（直角边边）定理。
在解答这类题目时，我们需要先找出两个三角形的对应角和对应边，然后利用HL定理进行证明。
4. 已知一边及其高，求证全等：这类题目的解题思路与前三种有所不同，需要用到的是SSS （边边边）定理。
在解答这类题目时，我们需要先找出两个三角形的对应边，然后利用SSS 定理进行证明。
5. 已知一边及其中线或高线，求证全等：这类题目的解题思路与第四种相似，但是需要用到的是RHS（旋转、平移、缩放）定理。
在解答这类题目时，我们需要先找出两个三角形的对应边和对应的中线或高线，然后利用RHS定理进行证明。
以上就是全等三角形的五种常见题型，每种题型都有其特定的解题方法和技巧。
在解答这类题目时，我们需要灵活运用全等三角形的各种定理，同时也需要注意观察和分析题目中的条件，以便找到最合适的解题方法。
全等三角形常见模型整理
全等三角形常见模型整理1. 全等三角形的定义全等三角形是指具有相等三边或者三角形之间所有对应边、对应角均相等的三角形。
当两个三角形的三边分别相等，或者三个对应角分别相等时，我们可以判断这两个三角形是全等的。
全等三角形的形状和大小是完全相同的，只是位置、方向可能不同。
2. 全等三角形的性质（1）三边相等：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
（2）两边一角相等：如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
（3）两角一边相等：如果两个三角形的一对对应角和其中一边分别相等，则这两个三角形是全等的。
（4）全等三角形的特点：全等三角形的对应边和对应角是一一对应的，也就是说对应角相等的对应边也是相等的，反之亦然。
3. 全等三角形的判定方法（1）SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。
（2）SAS判定法：如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
（3）AAS判定法：如果两个三角形的一对对应角和其中一边分别相等，则这两个三角形是全等的。
（4）ASA判定法：如果两个三角形的一对对应角和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
（5）HL判定法：如果两个直角三角形的一对直角和斜边分别相等，则这两个三角形是全等的。
4. 全等三角形的常见模型在几何学中，全等三角形的常见模型有很多，下面我们来整理一些常见的模型及其解题方法。
（1）对顶角相等模型对顶角相等是指两个三角形的一个内角与另一个对应角相等。
解题方法：根据对顶角相等的性质，可以很容易判断两个三角形是否全等。
（2）一边一角一边相等模型一边一角一边相等是指两个三角形的一个角和与之相邻的一条边分别相等。
解题方法：根据一边一角一边相等的性质，可以通过对应边和对应角的关系来判断两个三角形是否全等。
（3）SAS模型SAS（边角边）是指两个三角形的两条边和夹角分别相等。
解题方法：通过给定的边和角的信息，可以判断两个三角形是否全等。
全等三角形几种类型总结
全等三角形几种类型总结全等三角形是高中几何学中重要的概念之一，它在理论研究和实际应用中都有着广泛的运用。
全等三角形指的是两个三角形的所有对应角度相等且对应边长相等。
在几何学中，全等三角形的性质和判定方法是学生必须掌握的基本知识之一。
本文将从角度和边长两个方面进行总结和归纳，介绍全等三角形的各种类型。
一、角度相等的全等三角形1. 直角全等三角形直角全等三角形是指两个直角三角形的对应角度相等，且对应边长相等。
根据勾股定理，直角全等三角形的两直角边长度相等，斜边长度也相等。
这种三角形常见于解决直角三角形的题目，具有重要的应用价值。
2. 等腰全等三角形等腰全等三角形是指两个等腰三角形的对应角度相等，且对应边长相等。
等腰全等三角形的底边长度相等，顶角也相等。
这种三角形在解决等腰三角形相关问题时经常出现，具有一定的特殊性。
3. 等边全等三角形等边全等三角形是指两个等边三角形的对应角度相等，且对应边长相等。
等边全等三角形的三个边长均相等，三个内角均为60度。
它是最特殊的全等三角形，具有对称性和稳定性，常用于解决等边三角形相关问题。
二、边长相等的全等三角形1. 边边边（SSS）全等三角形SSS全等三角形是指两个三角形的对应边长相等。
当两个三角形的三条边长度各个对应相等时，可判定这两个三角形全等。
这是最基本的全等三角形判定方法，在实际运用中非常常见。
2. 边角边（SAS）全等三角形SAS全等三角形是指两个三角形的一个对应边长和两个对应角度相等。
当两个三角形的一条边和两个夹角各个对应相等时，可判定这两个三角形全等。
这种判定方法在实际应用中较为常见。
3. 角边角（ASA）全等三角形ASA全等三角形是指两个三角形的两个对应角度和一个对应边长相等。
当两个三角形的两个角度及一边对应相等时，可判定这两个三角形全等。
ASA判定方法在解决三角形全等问题时也是常用的一种方法。
三、其他全等三角形的特殊情况1. 等腰直角全等三角形等腰直角全等三角形是指一个直角三角形的斜边与一个等腰三角形的两个等边分别相等。
熟悉全等三角形的几种常见类型
熟悉三角形全等的几种常见类型一般地，一个图形经过平移、翻折、旋转等位置后变化了，由于形状、大小都没有发生改变，因此三角形经过平移、翻折、旋转后所得三角形与原三角形全等．然而全等三角形的位置虽然各异，但从基本图形的构造上划分，主要有：平移全等型、翻折全等型、旋转全等型这三种类型，了解这些基本类型不仅可以增强我们分辨图形的能力，而且可以提高我们分析和解决问题的能力．现归纳分析如下：一、平移全等型平移全等型可视为由对应相等的边沿同一方向移动所构成的全等三角形，它是全等三角形中较简单的一类，其对应边、对应角、对应顶点比较明显．证明平移全等型对应边的全等关系常常会由同一直线上线段和（或差）证线段相等．如图1：若已知AD＝BE，则AD＋AE＝BE＋AE，即DE＝AB．图1 图2 图3二、翻折全等型翻折全等型特征是有对应相等的边（角或顶点）重合，可沿某一直线翻折且直线两旁的部分能完全重合．因此，其重合的边是对应边，重合的角是对应角，重合的顶点为对应点．图4 图5 图6 图7 图8三、旋转全等型旋转全等型的特征是以三角形某一顶点为中心旋转所构成，如图和图都以A为旋转中心，或旋转之后再进行平移．常常有一对相等的角隐含于对顶角、平行线、某些角的和（或差）之中．图9 图10 图11 图12你能写出以上各图中的全等三角形吗？请你写一写，要注意对应的元素哟！！参考答案：图1：△ABC≌△DEF；图2△ABC≌△DAE；图3△ABC≌△DEF；图4：△ABC≌△DBC（BC为公共边）；图5：△ABC≌△DCB（BC为公共边）；图6：△ABC≌△DEF；图7 ：△ABC≌△AED；图8：△ABC≌△AED；图9：△ABC≌△ADE；图10：△ABC≌△CDA；图11：△ABC≌△DEF；图12：△ABC≌△ADE．。
(完整版)全等三角形题型总结
全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.(答案）证明：连接DC ， 在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD ≌△BDC （SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.(答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形的判定3——“角边角”例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN类型四、全等三角形的判定4——“角角边”例题、已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.解：图2成立； 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A B AD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD ≌△DNB （AAS ）∴DM ＝DN∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ＝90°，∴∠ MDE ＝∠NDF在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DN MDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME ≌△DNF （ASA ）∴DME DNF S S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形，∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△类型五、直角三角形全等的判定——“HL ”下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）(答案）（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，如下图：1、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.(答案与解析）证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ） ∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BFDEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF ∴AB ∥DC. (点评）从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt△CDE ≌Rt △ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.2、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线， 过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. （1）求证：AE ＝CD ；（2）若AC ＝12cm ，求BD 的长.(答案与解析）（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．∴∠D ＝∠AEC ．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ． （2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ） ∴BD ＝EC ＝12BC ＝12AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.角的平分线的性质及判定1、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC.求证：BE ＝CF.(答案）证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC ，AD 是∠BAC 的平分线， ∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠DFC ＝90°在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，DB DCDE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ） ∴BE ＝CF2、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．(答案与解析）证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N12PAC S AC PM =△∵，12PBD S BD PN =△，且PAC S =△PBD S △ ∴ 12AC PM 12BD PN =又∵AC ＝BD ∴PM ＝PN又∵PM⊥OA，PN⊥OB ∴OP平分∠AOB(点评）观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.3、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.(答案）证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1＝∠2，∵AF＝AB AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠3＝∠4，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.(答案)证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EACAB ACB C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （SAS）∴BD＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：1、在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C(答案)证明：过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.(2)．倍长中线法：1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(答案）证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵EC为中线，∴AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEFCE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．2、若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )A.1 ＜x＜6B.5 ＜x＜7C.2 ＜x＜12D.无法确定(答案)A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD ＝BD. (1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B ＋2∠DGA ＝180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD ＝∠BAD, AD ＝AD, ∴ △AHD ≌△AMD. ∴ HD ＝MD, ∠AHD ＝∠AMD. ∵ HD ＝DB, ∴ DB ＝ MD. ∴ ∠DMB ＝∠B.∵ ∠AMD ＋∠DMB ＝180︒,∴ ∠AHD ＋∠B ＝180︒. 即 ∠B 与∠AHD 互补. （2）由（1）∠AHD ＝∠AMD, HD ＝MD, ∠AHD ＋∠B ＝180︒.∵ ∠B ＋2∠DGA ＝180︒,∴ ∠AHD ＝2∠DGA. ∴ ∠AMD ＝2∠DGM.∵ ∠AMD ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ 2∠DGM ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ ∠DGM ＝∠GDM. ∴ MD ＝MG.∴ HD ＝ MG.∵ AG ＝ AM ＋MG, ∴ AG ＝ AH ＋HD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC,求证：AB －AC ＞BD －DC (答案）证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD在△AED 与△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD ACAE∴△AED ≌△ADC （SAS ）∴DE ＝DC 在△BED 中，BE ＞BD －DC即AB －AE ＞BD －DC ∴AB －AC ＞BD －DCM G HDCBAEDC BA2、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．(答案与解析)证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，()()()AC AECAM EAMAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．(点评)因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．(答案与解析）证明：作ME⊥AF于M，连接EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE为∠FAD的平分线，∴ME＝DE．在Rt△AME与Rt△ADE中，()()AE AEDE ME=⎧⎨=⎩公用边，已证，∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴AD＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵E为CD中点，∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF与Rt△ECF中，()(ME CEEF EF=⎧⎨=⎩已证，公用边)，∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴MF＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF＝AM＋MF，∴AF＝AD＋FC(等量代换)．(点评）与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．2、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD=，求证：BD是∠ABC的平分线．(答案与解析）证明：延长AE和BC，交于点F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD（2）当点D 运动到线段BC 的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.(答案）证明：（1）∵正方形ADEF ∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°∴∠DAF －∠DAC ＝∠BAC －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACF （SAS ） ∴BD ＝CF（2）当点D 运动到线段BC 的延长线上时，仍有BD ＝CF此时∠DAF ＋∠DAC ＝∠BAC ＋∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACF （SAS ） ∴BD ＝CF2、如图(1)，△ABC 中，BC ＝AC ，△CDE 中，CE ＝CD ，现把两个三角形的C 点重合，且使∠BCA ＝∠ECD ，连接BE ，AD ．求证：BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗?为什么?(答案)证明：∵∠BCA ＝∠ECD ， ∴∠BCA －∠ECA ＝∠ECD －∠ECA ，即∠BCE ＝∠ACD在△ADC 与△BEC 中ACD=BCE AC BC CD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△BEC(SAS) ∴BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等，因为还是可以通过SAS 证明△ADC ≌△BEC.。
全等三角形13种基本模型
序号
模型名称
描述与判定方法
1
边边边（SSS）
三边对应相等的两个三角形全等。
2
边角边（SAS/边-角-边）
两边பைடு நூலகம்它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
3
角边角（ASA/角-边-角）
两角及它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
4
角角边（AAS/角-角-边）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
12
“构造等腰三角形”型全等
通过添加辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明全等。
13
“构造平行四边形”型全等
通过添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等）证明全等。
5
斜边、直角边（HL/直角三角形的HL）
在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。
6
“K”型全等
通过构造辅助线，形成两个具有公共边的三角形，利用SAS或ASA证明全等。
7
“X”型全等
通过两条相交线形成的四个三角形，利用对顶角相等和公共边证明全等。
8
“中线”型全等
利用三角形中线性质（中线将对边平分），结合其他条件证明全等。
9
“角平分线”型全等
利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等），结合其他条件证明全等。
10
“高”型全等
利用三角形高（从顶点垂直于对边或对边的延长线）的性质证明全等。
11
“中位线”型全等
利用三角形中位线性质（中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合其他条件证明全等。
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全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形.全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角•全等多边形的对应边、对应角分别相等•如下图,两个全等的五边形,记作：五边形ABCQE里五边形A'B'C'D'E' .这里符号徑"表示全等，读作"全等于"•全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形•全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等•全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形•能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角•全等符号为“空‘ •全尊三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等•寻找对应边和对应角,常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的,公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角•(5)有对顶角的，对顶角常是对应角•全等三角形的判定方法：(1)边角边走理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等•⑵角边角走理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等•(3)边边边走理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等•(4)角角边走理(MS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等•(5)斜边、直角边定理(HD :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.判定三角形全等的基本思路:找夹角TSAS已知两边找直角THL找另一边TSSS边为角的对边一找任意一角一A4S找这条边上的另一角一ASA 找这条边上的对角一AAS 找该角的另一边一SAS全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:已知一边一角《边就是角的一条边已知两角＜找两角的夹边T ASA 找任意一边T AAS（1）平移全等型⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等•⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上•⑶等腰三角形的性质走理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）•⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线底边上的高互相重合•⑸等腰三角形的判走走理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等•（7）和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上•它们具有互逆性•角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 •由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2・过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形，3 . OA = OB ,这种对称的图形应用得也较为普遍,三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：彫吉三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线•三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半•中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边•中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无^是倍长中线以及中位线走理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等臺关系时，倍长中线的应用更是较为常见•【例1】在初、AC 上各取一点E. D, ^AE = AD 9连接3D 、CE 相交于O 再连结AO . BC 9若Z1 = Z2,则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由・【巩固】如图所示，AB = AD 9 BC = DC, E 、尸在AC 上，AC 与BQ 相交于P.图中有几对全等三 角形？请一一找出来，并简述全等的理由.【例2】（2008年巴中市髙中阶段教育学校招生考试）如图，AC//DE 9 BC 〃 EF , AC = DE.求证: AF=BD ・【例3】（2008年宜宾市）已知：如图，AD = BC, AC = BD,求证：ZC = ZD ・【巩固】如图，AC. 3D 相交于O 点，RAC = BD 9 AB = CD 9求证：OA = OD.板块二、三角形全等的判定与应用【例4】（哈尔滨市2008年初中升学考试）已知:如图，B.E.F.C 四点在同一条直线上，AB = DC 9 BE = CF ■ = 求证：OA= OD.A I)【例5】 已知，如图，AB = AC 9 CE 丄AB 9 BF 丄AC 9求证：BF = CE.【例6】E 、F 分别是正方形ABCQ 的CQ 边上的点，且BE = CF •求证：AE 丄BF ・【巩固】E. F. G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE 丄EF, GE = EF.求证:BG + CF = BC ・【例7】 在凸五边形中，Zfi = ZE, ZC = ZD, BC = DE , M 为CD 中点.求证：AM 丄CD.I) C板块三、截长补短类【例1】如图，点M为正三角形的边加所在直线上的任意一点（点3除外），作ZDMV = 60。
, 射线MN与ZDBA外角的平分线交于点N, DM与MN有怎样的数量关系？【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边M上任意一点，MV丄DM且与ZABC外角的平分线交于点N, MD与MN 有怎样的数量关系？【例2】如图，AD1.AB9 CBLAB9 DM二CM=a , AD= h , CB=k , ZAA/D=75。
，ZBMC=45°,则AB 的长为（）k + hA. aB. kC. ------D. h2【例3】已知：如图，ABCD是正方形，ZfAEZFAE.求证：BE+DF=AE・【例4】如图所示，A4BC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的ZMDN,点M、N分别在AB、AC上，求AAMV的周长・【例5】五边形ABCDE中，AB=AE f BC+DE二CD, ZABC+ZAED=180°,求证：AD 平分ZCDE板块四.与角平分线有关的全等问题【例1】如图，已知WC的周长是21, OB , OC分别平分ZABC和ZACB 9 OD丄3C于D,且OD = 3,求A4BC的面积•【例2】在W3C中.D为BC边上的点,已知ZE4£> = ZCAD 9 BD = CD.求证：AB = AC.【例3】已知比ABC中，AB = AC9 BE. CD分别是ZABC及ZACB平分线.求证：CD = BE・【例4】已知AABC中，ZA = 60 , BD. C£分别平分ZABC和ZACB , BD、CE交于点O,试判断处、CD. BC的数量关系，并加以证明.【例5】如图，已知E是AC上的一点，又Z1 = Z2, Z3 = Z4.求证：ED = EB.D【例6】（“希望杯”竞赛试题）长方形ABCD中，BCT, ZBAD的角平分线交BC于点E, EF丄ED交AB于F,贝【）EF二 ________________________________________ .【例7】如图所示，已知A4BC中，AD平分ZBAC, E.F分别在BD.ADA L. DE = CD9 EF = AC •求证：EF // AB【巩固】如图，在A4BC中，AD交BC于点6 点£是肚中点，必〃AD交C4的延长线于点八交AB于点G,若BG = CF,求证：AD为ABAC的角平分线.【巩固】在AABC中.AB>AC 9 AD是ABAC的平分线.P是AD上任意一点.求证: AB-AC>PB-PC・【例8】如图，在AABC中，ZB = 2ZC, ABAC的平分线AD交与D.求证：AB + BD = AC.【例9】如图所示，在A4BC中，AC>AB, M^JBC的中点，AD是ABAC的平分线，若CF丄AD 且交AD的延长线于F,求证MF = ^(AC-AB).【巩固】如图所示，AD是中ZBAC的外角平分线，CQ丄AD于D, £是3C的中点，求证DE//AB且DE斗AB + AC).2【巩固】如图所示，在A4BC中，AQ平分ABAC 9 AD = AB9 CM丄AD于求证AB + AC = 2AM .【例10】如图，A4BC中，AB = AC9 BD. CE分别为两底角的外角平分线，AD丄BD于D, AE丄C£于£\求证：AD = AE.【巩固】已知：AD和他分别是/XABC的ZCAB和ZCBA的外角平分线，CD丄AD 9 CE丄BE,求证：(1) DE//AB；⑵ DE= ^(AB + BC + CA).【例11】在比4BC中，MB. NC分别是三角形的外角/ABE. ZACF的角平分线，AM丄3M, /W 丄CN 垂足分别是M、N .求证：MN 〃 BC , MN = ^(AB + AC + BC)【巩固】在AABC中.MB、NC分别是三角形的内角ZABC ZACB的角平分线，AM丄3M, AN丄CN 垂足分别是M、N.求证：MN//BC , MN = t(AB + AC-BC)M【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD过C作C£丄AB^E, ^AE = -(AB+AD)9则ZABC+ZADC等于多少？2【例12】如图，ZA + Z£)= 180°, 处平分ZABC,平分ZBCD 9点E在AD上.①探讨线段仞和BC之间的等量关系.②探讨线段处与CE之间的位置关系.I)版块一、倍长中线【例I】已知：WC中，AM是中线.求证：皿M + ©【巩固】(2002年通化市中考题中，AB = 5.AC = 9f则边上的中线AD的长的取值范围是什么？【例2】如图，比ABC中，AB<AC , AD是中线・求证：^DAC<ZDAB.【例3】如图，已知在A4BC中，AD是边上的中线，£是AD±一点，延长处交AC于F, AF = EF,求证：AC = BE.BC 于 G,求证GD=GE.已知AM为A43C的中线，ZAMB, ZAMC的平分线分别交初于£、交AC于F.求证:BE + CF>EF.【例6】在RtMBC中，ZA = 90°,点D为BC的中点，点E、F分别为AC上的点，且【例4】已知△ABC, ZB=ZC, D9 E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE,连接DE交底【例5】4AED丄FD・以线段处、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【巩固】如图所示，在AABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN,如果BM2+CN2 = DM2 + DN29 求证AD2 =^（AB2+AC2）.【例7】（2008年四川省初中数学联赛复赛•初二组）在RtMBC中，F是斜边AB的中点，D. £分别在边C4. CB±,满足5应=90。