第二章球面与共轴球面系统(2014)
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第二章 共轴球面系统(1)
符号规则的应用举例：
20º 20º
20º 20º
100
100
符号规则的应用举例：
光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则
表示该几何量的方位。 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的 公式具有普遍性。
举例：
透镜的结构参数： r1 = 10
d=5
n1 = 1.0 n1’ = n2 = 1.5163 (K9)
r2 = -50
n2’ = 1.0
§ 2-3
近轴成像
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小，则这 些角度的正弦值可近似地用弧度值来代替， 并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时， 其他各量均用相应小写字母来表示。 此时，由于u角很小，光线很靠近光轴， 这样的光线称为近轴光线（或称傍轴光线）。 近轴光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
〈讨论〉
③ 当一物点位于反射镜的球心时，此时 I= -I″= 0 ，即说明从球心发出的 光线被球面镜反射后，反射光线按原 路返回；也就是说，从C点发出的任 何光线经球面镜反射后，仍会聚于C点。
何谓理想光学系统？
此即是把近轴区成完善像的范围扩 大到整个光学系统的任意空间；亦即当 任意大范围的物体以任意宽的光束经光 学系统后均能成完善像的光学系统。
A
-u
C
A’ B’
- u’
O
-l’ -l
球面反射镜的成像特性
1、焦距公式：
f ′= f = r / 2 2、物像关系：
（2-18）
1 / l′+ 1 / l = 2 / r
β=-l’/l α= - β 2 γ= -1 / β
第二章-共轴球面系统的物像关系
I ' I
折射定律
n sin I n' sin I '
看成是折射的一种特殊情形： n' n
1.
2.
3.
4.
Lr sin I sinU r n sin I ' sin I n' U ' I U I' sin I ' L' r r sinU '
n' n
一、概念
1. 子午面——包含物点与光轴的平面 2. 截距：物方截距——物方光线与光轴交点到顶点的距离 像方截距——像方光线与光轴交点到顶点的距离 3. 倾斜角：物方倾斜角——物方光线与光轴的夹角 物方倾斜角——物方光线与光轴的夹角
P
U A O
φ C
Uˊ Aˊ
n
nˊ
二、表示光线位置的坐标——光路的位置
5
O
各参量的符号规则规定如下：
1．线段： 由左向右为正，由下向上为正，反之为负。 规定线段的计算起点：
L、L'—由球面顶点算起到光线与光轴的交点 r—由球面顶点算起到球心 d—由前一面顶点算起到下一面顶点 h —以光轴算起
2．角度：
一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始轴： U、U'—由光轴起转到光线； I、I'—由光线起转到法线； ψ—由光轴起转到法线，
转面公式：
L2 L2 'd
' U 2 U1 '
l2 l1 'd1 u2 u1 '
上述公式称为近轴光线的光路计算公式。
靠近光轴的区域叫近轴区，近轴区域内的光线 叫近轴光线（高斯光学） • 近轴光路计算公式有误差 • 相对误差范围
折射定律
n sin I n' sin I '
看成是折射的一种特殊情形： n' n
1.
2.
3.
4.
Lr sin I sinU r n sin I ' sin I n' U ' I U I' sin I ' L' r r sinU '
n' n
一、概念
1. 子午面——包含物点与光轴的平面 2. 截距：物方截距——物方光线与光轴交点到顶点的距离 像方截距——像方光线与光轴交点到顶点的距离 3. 倾斜角：物方倾斜角——物方光线与光轴的夹角 物方倾斜角——物方光线与光轴的夹角
P
U A O
φ C
Uˊ Aˊ
n
nˊ
二、表示光线位置的坐标——光路的位置
5
O
各参量的符号规则规定如下：
1．线段： 由左向右为正，由下向上为正，反之为负。 规定线段的计算起点：
L、L'—由球面顶点算起到光线与光轴的交点 r—由球面顶点算起到球心 d—由前一面顶点算起到下一面顶点 h —以光轴算起
2．角度：
一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始轴： U、U'—由光轴起转到光线； I、I'—由光线起转到法线； ψ—由光轴起转到法线，
转面公式：
L2 L2 'd
' U 2 U1 '
l2 l1 'd1 u2 u1 '
上述公式称为近轴光线的光路计算公式。
靠近光轴的区域叫近轴区，近轴区域内的光线 叫近轴光线（高斯光学） • 近轴光路计算公式有误差 • 相对误差范围
几何光学 第二章 球面和球面系统
1 反射面只是折射面在 n ' n 的特殊情况 2 平面是半径为无穷大的球面
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
+第2章球面和共轴系统
说明：1）β>0，y与y’同号，成正像，反之倒像。
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
第二章 球面与共轴球面系统
3. 放大率公式1） Nhomakorabea轴放大率：
yk y1
1 2 k
n 1 l 1l 2 l k n k l1 l 2 l k
n1u 1 nkuk
意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。 2）轴向放大率： 3）角放大率： 4）三者关系：
lk lk rk
远轴光的过渡公式：
L 2 L 1 d 1 , L 3 L 2 d 2 ,......
U
2
L k L k 1 d k 1
U 1 , U
3
U 2 ,...... U
k
U k 1
n 2 n 1 , n 3 n 2 ,......, n k n k 1
第二章 球面与共轴球面系统
§ 2－1 光线光路计算与共轴光学系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。 物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。 子午面— 包含物面与光轴的截面。
一、 光线经过单个折射面的折射
n I E I′ φ U′ C n′ h -U
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间 n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′ u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′ y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′ l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1 h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′ 各面近轴光线成像公式： n k n k nk nk
yk y1
1 2 k
n 1 l 1l 2 l k n k l1 l 2 l k
n1u 1 nkuk
意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。 2）轴向放大率： 3）角放大率： 4）三者关系：
lk lk rk
远轴光的过渡公式：
L 2 L 1 d 1 , L 3 L 2 d 2 ,......
U
2
L k L k 1 d k 1
U 1 , U
3
U 2 ,...... U
k
U k 1
n 2 n 1 , n 3 n 2 ,......, n k n k 1
第二章 球面与共轴球面系统
§ 2－1 光线光路计算与共轴光学系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。 物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。 子午面— 包含物面与光轴的截面。
一、 光线经过单个折射面的折射
n I E I′ φ U′ C n′ h -U
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间 n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′ u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′ y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′ l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1 h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′ 各面近轴光线成像公式： n k n k nk nk
工程光学(第二章)
L' r(1 sin I ' ) （2－4） sinU '
i lru r
i' n i n'
u' u i i'
l' r(1 i' ) u'
称为小 l 公式
ni
E
n’
h φC
O
r
当无限远物点发出的平行光入射时，有 继续用其余三个公式。
i h r
小 l 公式也称为近轴光线的光路追迹公式
例2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
L1 B
L2 B’
A1
A
A’
B1
对于L1而言，A1B1是AB的像;
对L2而言，A1B1是物，A’B’是像，则A1B1称为中 间像
※物所在的空间为物空间，像所在的空 间为像空间，两者的范围都是 （-∞,+∞）
※ 通常对于某一光学系统来说，某一 位置上的物会在一个相应的位置成一个 清晰的像，物与像是一一对应的，这种 关系称为物与像的共轭。
n' u' nu h( n' n ) r
将 l u = l’ u’ = h 代入，消去u和u’ , 可得
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
rl
r l'
也可表示为
n' n n' n l' l r
上式称为单个折射球面物像位置公式
n' u' nu h( n' n ) r
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
nI
第二章 共轴球面系统(二)
= l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
第2章 共轴球面系统的物像关系
12
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
第2章 共轴球面系统
2.2 单个折射球面的成像放 大率及拉赫不变量
如果在轴上点A附近从球面上取一小块面积 ds并 把它的细光束像记为ds′ ，当面积足够小时，可 近似认为物和像均为在两球面的切平面上。 结论： 结论：当物体以细光束成像时，只有位于近轴 只有位于近轴 区的物体才能成完善像。 区的物体才能成完善像。 二、单个折射球面成像的放大率及拉赫不变量
y′ nl′ β= = y n′l
lu = l ′u ′ = h
nyu = n′y ′u ′ = J
——拉格朗日赫姆霍兹定理，J为拉赫不变量 拉赫不变量 结论：实际光学系统在近轴区内成像时，对于一 对共轭平面来说，物高、物方孔径角和物方介质 折射率的乘积是一个常数。 阿贝不变量： 1 1 阿贝不变量 1 1
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
一、垂轴平面物体以细光束成像
A’是A的完善像点 是 的完善像点，根据物像之间等光程性，可 知 ∑′ 面是 ∑ 面的细光束像。 根据物像位置关系公式知，B点的像在 ∑′ 面左侧 面左侧. B 结论： 结论：如果物是垂轴平面物体，则它经过单个 折射球面折射后，它的细光束像不再是平面， 而是一个比 ∑′ 面更弯曲的曲面，成像不完善 成像不完善— 成像不完善 —像面弯曲 像面弯曲。 像面弯曲
结论：位于近轴区的轴外物点，利用近轴光线 成像时，符合点对点的理想成像关系。
2.1光线经单个折射球面的折射 2.1光线经单个折射球面的折射
4.物像位置关系公式（ 4.物像位置关系公式（l ′与l ) 物像位置关系公式
第二章球面和共轴球面系统分析
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大 小问题，必须计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 光线经过单个折射球面的情况如图所示。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。 计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由物 点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
应用光学【第二章】复习
第二章共轴球面系统的物像关系本章内容：共轴球面系统求像。
由物的位置和大小求像的位置和大小。
φ U ˊ - UO C A A ˊ n n ˊ P- LrL’II’Q1. 符号规则反射情形看成是折射的一种特殊情形：n’= －n把反射看成是n’= －n 时的折射。
往后推导公式时，只讲折射的公式；对于反射情形，只需将n’用－n代入即可，无需另行推导。
（1） 物像位置关系式rn n l n l n -=-'''2. 近轴光学的基本公式（2） 物像大小关系式这就是物像大小的关系式。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
对由若干个透镜组成的共轴球面系统，逐面应用公式就可以求得任意共轴系统所成的近轴像的位置和大小。
l n nl y y '''==β3. 共轴理想光学系统的基点——主平面和焦点近轴光学基本公式的缺点：物面位置改变时，需重新计算，若要求知道整个空间的物像对应关系，势必要计算许多不同的物平面。
已知两对共轭面的位置和放大率，或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上的两对共轭点的位置，则其任意物点的像点就可以根据这些已知的共轭面和共轭点来求得。
光学系统的成像性质可用这些基面和基点求得最常用的是一对共轭面和轴上的两对共轭点。
（1） 放大率β=1的一对共轭面——主平面rn n l n l n -=-'''l n nl y y '''==β不同位置的共轭面对应着不同的放大率。
放大率β=1的一对共轭面称为主平面。
物平面称为物方主平面，像平面称为像方主平面。
两主平面和光轴的交点分别称为物方主点和像方主点，用H 、H’表示，H 和H’显然也是一对共轭点。
主平面性质：任意一条入射光线与物方主平面的交点高度和出射光线与像方主平面的交点高度相同（2）无限远轴上物点和它所对应的像点F’——像方焦点rn n l n l n -=-''' 当轴上物点位于无限远时，它的像点位于F’处。
第二章 球面和球面系统
（4）r = -40mm, L’ = 200mm, U’ = -10° （5）r = -40mm, L = -100mm, U = 10°, L’= -200mm
符号规则是人为规定 的，一经定下，就要 严格遵守，只有这样 才能导出正确结果
不同版本的书符号规则可能不同，使用公 式时必须要注意。
二.光线经折射球面的光路计算公式
1、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一 同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线， 分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和 像方倾斜角U’ ） 2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
与单个折射球面一样有如下关系：
对于拉赫不变量：
J n1u1 y1 n2u2 y2 nkuk yk nk ' uk ' yk '
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
lr u r n i' i n' i
u' u i i'
l ' r( 1 i' ) u'
（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
若β＜０，成倒像 ，l 和 l '异号。对实物成实像， 对虚物成虚像。
符号规则是人为规定 的，一经定下，就要 严格遵守，只有这样 才能导出正确结果
不同版本的书符号规则可能不同，使用公 式时必须要注意。
二.光线经折射球面的光路计算公式
1、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一 同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线， 分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和 像方倾斜角U’ ） 2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
与单个折射球面一样有如下关系：
对于拉赫不变量：
J n1u1 y1 n2u2 y2 nkuk yk nk ' uk ' yk '
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
lr u r n i' i n' i
u' u i i'
l ' r( 1 i' ) u'
（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
若β＜０，成倒像 ，l 和 l '异号。对实物成实像， 对虚物成虚像。
工程光学 章节2 球面系统
3. 光路计算是根据给定的光学系统，由物求像或由像 求物的过程。 4. 光路计算是根据几何光学的基本定律利用成像光路 图建立起的物象计算式。
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
第二章球面与共轴球面系统
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第十一页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十二页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十三页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十四页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十五页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第十六页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第一页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第二页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第三页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第四页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第五页，编辑于星期二：二十三点 八分。
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第二十二页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第二十三页，编辑于星期二：二十三点 八分。
第二章 球面和共轴球面系统
2）物体移动有限距离
此时轴向倍率可以表示为：
α＝
l2 '− l1 ' l2 − l1
高斯公式
β1为第一位置处的垂轴放大率；β2为第二位置处的垂轴放大率。
2.2.3 角倍率γ
角放大率γ ：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径 角u与物方孔径角u’之比， 即：
2.2.4
三个倍率之间的关系
即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
现在对于已知的现在对于已知的ll和和uu值无论值无论uu为何值为何值l表明表明轴上点在近轴区成像轴上点在近轴区成像时其像可认为是时其像可认为是完善完善的称为称为高斯像点高斯像点过高斯像点垂直于光轴的面称为过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面高斯像面构成物像关系的一对点称为构成物像关系的一对点称为共轭点共轭点
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
2.1.3 近轴光的光路计算公式
此时轴向倍率可以表示为：
α＝
l2 '− l1 ' l2 − l1
高斯公式
β1为第一位置处的垂轴放大率；β2为第二位置处的垂轴放大率。
2.2.3 角倍率γ
角放大率γ ：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径 角u与物方孔径角u’之比， 即：
2.2.4
三个倍率之间的关系
即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
现在对于已知的现在对于已知的ll和和uu值无论值无论uu为何值为何值l表明表明轴上点在近轴区成像轴上点在近轴区成像时其像可认为是时其像可认为是完善完善的称为称为高斯像点高斯像点过高斯像点垂直于光轴的面称为过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面高斯像面构成物像关系的一对点称为构成物像关系的一对点称为共轭点共轭点
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
2.1.3 近轴光的光路计算公式
应光第二章 球面系统 答案
第二章球面和共轴球面系统2.1某一透镜结构参数如下：r/mm d/mm n100300 1.5∞当l=-∞时，求l'，在第二个面（平面）上刻十字线，试问通过球面的共轭像在何处？当入射高度h=10mm时，实际光线和光轴的交点应在何处？在高斯面上的交点高度是多少？这个值说明了什么问题？解：l'=0，在第二面上十字线其共轭像在无限远。
H=10mm，实际光线与广州交点l'=299.33203mm，这说明了该光线经球面折射后不交于锦州光像点，所以一个物点得到的1像是一个弥散斑。
2.2一个玻璃球的直径为400mm，玻璃折射率n=1.5，球中有两个小气泡，一个正在球心，另一个在1/2半径处，沿两气泡的连线方向在球的两边观察两个气泡，它们应在什么位置？如果在水中（n=1.33）观察。
则它们应在什么位置？解：设一个气泡在中心处，另一个在第二面和中心之间。
（1）从右侧观察时，如图a：a b（2）从左侧观察时如图b：（3）在水中时： 中心气泡所成像： ，n '=1.33 n=1.5，r=200mm ，l=200mm 得到：l'=200mm 仍在圆心处1/2半径处气泡所成像：，n '=1.33 ，n=1.5，r=200mm ，l=100mm 时 ， l'=94mml=-300mm 时 ， l'=-320mm2.3一个玻璃球直径为60mm ，玻璃折射率n=1.5，一束平行光射在玻璃球上，其会聚点应在什么位置？解：首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式：由 1n '=1.5 1r =30mm 1n =1 1l =∞得到：1l '=90mm对于第二面，d=60mm ，2l =1l '-d=30mm由 22'222'22'r n n l n l n -=- 2n =1.5 2n '=1 2r =-30mm 1n =1 2l =30mm 得到：2l '=15mm会聚点位于第二面后15mm 处。
工程光学第二章知识点
第二章共轴球面光学系统第一节符号规则●常见的光学系统有多个光学零件组成，每个光学零件往往由多个球面组成●这些球面的球心在一条直线上即为“共轴球面系统”●这条直线称为“光轴”●折射球面的结构参数：曲率半径r、物方折射率n、像方折射率n'●入射光线的参数：物方截距L、物方孔径角U●像方量在相应的物方量字母旁加“ ’ ”区分●光线的传播方向为自左向右●规定符号规则如下：●1）沿轴线段（如L、L’和r）●以顶点为原点，与光线方向相同为正，相反为负●2）垂轴线段（如h、y和y’）●以光轴为基准，光轴以上为正，以下为负●3）光线与光轴的夹角（如U、U’）●光轴转向光线；角量均以锐角计、顺时针为正、逆时针为负●4）光线与法线的夹角（如I、I’、I”）●光线转向法线●5）光轴与法线的夹角（如φ）●光轴转向法线●6）折射面间隔d●前一面顶点到后一面顶点，与光线方向相同为正，相反为负；在折射系统中，d恒为正●物方截距、像方截距、物方孔径角、像方孔径角等物理量是可以有正负的，但作为几何量AO、OA’、∠EAO、∠EA’O等应为正值；在负值物理量前加负号，以保证相应几何量为正●根据物像的位置判断物像的虚实●负（正）物距对应实（虚）物●正（负）像距对应实（虚）像第二节物体经过单个折射球面的成像1，单球面成像的光路计算已知折射球面的结构参数曲率半径r ，物方折射率n ，像方折射率n ’已知入射光线AE 的参数物方截距L ，物方孔径角U （轴上物点）求出射光线参数像方截距L ’，像方孔径角U ’（轴上像点）光路计算2在ΔAEC 中用正弦定律，有 sin sin()I U r L r -=-导出求入射角I 的公式sin sin L r I U r -=（2-1）由折射定律可以求得折射角I ’sin sin n I I n '=='（2-2）由角度关系，可以求得像方孔径角U ’U U I I ''=+-（2-3） 在ΔA ’EC 中应用正弦定律，得像方截距L ’ sin sin I L r r U ''=+' （2-4）式（2-1）至（2-4）就是子午面内实际光线的光路计算公式，利用这组公式可以由已知的L 和U 求L ’和U ’ sin sin L r I U r -= sin sin n I I n '=='U U I I ''=+-sin sin I L r r U ''=+'当物点A 位于轴上无限远处时，相应的L=∞，U=0，则式（2-1）须改变为sin hI r =（2-5）●若L 是定值，L ’是U 的函数，即从同一点发出的光线，孔径角不同，将在像方交在不同的点上 ● 同心光束经过单球面后不再是同心光束●这种误差被称为“球差” ●球差是各种像差中最常见的一种●如果把孔径角U 限制在很小的范围内，光线距光轴很近，称为“近轴光”，U 、U ’、I 和I ’都很小，式（2-1）~（2-4）中的正弦值用弧度来表示 ● 用小写字母u 、u ’、i 、i ’、l 和l ’表示近轴量● l r i u r n ii n u u i i i l r r u -='='''=+-''=+'（2-6）~（2-9） ● 当入射光线平行于光轴时，也以h 作为入射光线的参数，有●h i r =（2-10） ●近轴光线l ’与u 无关，即当物点位置确定后，其像点位置与孔径角u 无关，物点发出的同心光束经折射后在近轴区仍为同心光束 ●在近轴区成的是完善像，这个完善像通常称为“高斯像” ● 近轴区最常用的物像位置公式●n n n n l l r ''--='（2-14） ●已知物点位置l 求像点位置l ’时（或反过来）十分方便 ●1、轴上物点：轴上同一物点发出的近轴光线，经过球面折射以后聚交一点，即轴上物点近轴成像时是符合理想成像条件的。
应用光学(02)
细光束
A
A' 曲面 A1'A'A2' 曲面 B1’A’B2’
完善成像 完善成像 像面弯曲
同心球面 A1A A2 平面 B1AB2
物平面是靠近光轴很小的垂轴平面， 物平面是靠近光轴很小的垂轴平面，认为像面弯曲可 以忽略，平面物得到平面像， 以忽略，平面物得到平面像，完善成像
细小平面以细光束成像的三种放大率
§2-2 折射球面
O
C
一、由折射球面的入射光线求出射光线 r, n, n', L, U L', U'，
利用三角形正弦定律、 利用三角形正弦定律、折射定律和
ϕ = U + I = U′ + I ′
L−r sin I = sin U r n sin I ′ = sin I n′
U′ = U + I − I′
J 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的物、 的光线入射成像。 的光线入射成像。 J 值大，表明系统能对物体成像的范围大，成像的孔径角大， 值大，表明系统能对物体成像的范围大，成像的孔径角大， 传输光能多。同时， 传输光能多。同时，孔径角还与光学系统分辨微细结构的能力 有关。 大的系统具有高的性能。 有关。所以 J 大的系统具有高的性能。
= α1α 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅α k
或
′ ′ ′ nk 2 n1 2 n2 2 α = β1 β2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ βk n1 n2 nk
′ nk 2 2 = β1 β 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅β k2 n1
2
′ nk α = β n1
3、角放大率 、
γ
= γ 1γ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅γ k
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说明：1）l′＝f (r、n、n′、l)
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2）l′与u无关，象方光束同心，近轴光以细光束成完善象。
n(l ? r ) ? n'(l'?r ) ?
rl
rl '
l'? r ? nl' l ? r n'l
lu ? h ? l'u'
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l l一定时， l'一定， β一定，取决于共轭面的位置。
在一对共轭面内，像必与物相似。 b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反；
第二章 球面与共轴球面系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。
物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。
共轴球面光学系统 本章的思路： 基本概念与符号规则-? 单个折射球面的计算公式? 单个折射球面
的成像倍率与特殊关系? 反射球面镜的成像。
n
?
k
?
2
n1
3）角放大率：
?
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u ?k u1
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n1 1
n?k ?
4）三者关系：
??
?
n
?
k
?
2
n1
1
??
n1 nk? ?
4. 拉赫不变量： J ? n1u1 y1 ? ? ? nk uk yk
意义： 1、 J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用 J来校
对光路计算是否正确。 2、J 表征光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角的光线入射成
r1=50
n=1.5
-r2=100
200
500
先算位置关系，再计算垂轴放大率，再分析大小、虚实和正倒
§ 2－4 球面反射镜
令 n′= -n，
n?? n ? n?? n l? l r
l1??
1 l
?
2 r
? ? n l?? ? l?
n? l l
? ? n?? 2 ? ? ? 2
n
???1 ?
? ? ??
各面近轴光线成像公式： nk? ? nk ? nk? ? nk
lk? lk
rk
远轴光的过渡公式：
L2 ? L1?? d1 , L3 ? L2? ? d 2 ,...... Lk ? Lk??1 ? dk?1 U 2 ? U 1?,U 3 ? U 2?,......U k ? U k??1 n2 ? n1?, n3 ? n2?,......, nk ? nk??1
a. 光线传播方向：从左向右 b. 线段：沿轴线段 ( L,L',r ) 以顶点 O 为基准，左“ - ”右“ + ”
垂轴线段 ( h ) 以光轴为准，上“ + ”下“ - ” 间隔 d(O1O2) 以前一个面为基准，左“ - ”右“ + ” c. 角度：光轴与光线组成角度 ( U,U' ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到光线，顺“ + ”逆“ - ” 光线与法线组成角度 ( I,I' ) 以光线为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 光轴与法线组成角度 ( φ ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 优先级：光轴? 光线? 法线
3. 放大率公式
1）垂轴放大率：
?
?
y?k y1
?
?1? 2 ?
?k
?
n1 l1?l2?? n?k l1l2 ?
lk? ? n1u1 lk nk?uk?
意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。
2）轴向放大率：
?
?
dl
?
k
dl1
?
?
1?
2
?
?k
?
n1? n1
?
2 1
?
n
?
k
nk
?
2 k
?
(u′、u关系)
3、
n?? n ? n?? n l? l r
（常用的物象位置关系）
六、（近轴区）折射球面的光焦度，焦点和焦距
n?? n ? n?? n l? l r
像方焦距：
l?
??
,
f ' ? l'l?
??
?
r n'
n'? n
物方焦距：
l'?
?,
f
? ll '?
?
?? r n n'? n
f ' ? ? n' fn
§ 2－2 单个折射球面的成像放大率、拉赫不变量
1. 垂轴放大率：像的大小和物的大小的比值
B
n
E
n′
y
-u A
? ? y?? l?? r ? nl?? nu
y l ? r n?l n?u'
-l
h
O
C
r
u′
- y′ A′
B′
l′
利用三角形相似和阿贝不变量
n(1 r
?
1) l
?
n?(1 r
?
l1?)
?
n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′
u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′
y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′
l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1
h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′
3）在光学设计中有重要作用。为了设计出一定垂 轴倍率的光学系统，在物方参数nuy固定的条件下，常通 过改变像方孔径角u′的大小来改变y′的数值，使得y′与y 的比值满足系统设计的要求。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
J ? uy ? ?u?y?
β<0， l 、 l′同号，物象虚实一致，倒立。 β>0， l 、 l′异号，物象虚实相反，正立。
当物沿光轴移动时，像总是以相反的方向 沿轴移动。
说明：
1. 当物处于球心时，有：
l ? l?? r
? ? ? 1,? ? ?1,? ? 1
2. l ? ??
l?? f ?? r 2
1. 共轴球面系统的结构参量：
各球面半径：r1 、 r2 …… rk-1 、 rk
相邻球面顶点间隔：d1 、 d2 …… dk-1
各球面间介质折射率：n1 、 n2 ……
、 n n nk-1
k 、 k+1
r1=50
-r2=100
n=1.5
200
500
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间
§ 2.1 光线经过单个折射面的折射
一、 基本概念
n
IE
n′
I′ h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
r
-L
L′
1、子午平面: 包含光轴的平面, 轴上点，轴外点 2、物方截距: 物方光线与光轴的交点到顶点的距离
像方截距: 像方光线与光轴的交点到顶点的距离 3、物方孔径角：物方光线与光轴的夹角
像方孔径角：像方光线与光轴的夹角
三、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）
给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′
其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
正弦定理、折射定律，三角关系
sin I ? L ? r sinU
n
IE
n′
r
I′ h
-U
φ
U′
sin I?? n sin I
A
O
C
A′
n?
U?? U ? I ? I ?
? ? u?? l ? n 1 u l? n??
4. 三者关系：
a? ? n?? 2 ? n 1 ? ? n n??
5. 拉赫不变量J：折射面前后三个量n、u、y的乘积相等
? ? y?? n ?l?? n ?u
y n??l n??u?
J ? nuy ? n?u?y?
意义：1）计算象差的公式中出现；
2）校对计算结果的正确性；
3. 通过球心的光线被反射镜原路反射回来，球面反 射镜对其曲率中心为等光程面。
4. 对于平面反射镜，有：
r ? ??
l1??
1 l
?
0
? ? ? l?? 1
l
位置、大小、正倒，虚实
例：凹面反射镜半径为-400mm，物放在何处成放大 两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？
思考题：一月凸薄透镜的两个球面半径为r1 =-200mm， r2 ＝-150mm，n=1.5，后表面凸面渡银，在前表面前 方400mm处的轴上放一高为10mm的物，求最后所成
3）物点位于物方无限远时，入射光线位置由高度h决定。
sin I ? h r
i? l?ru r
i?? nn?i u?? u ? i ? i?
l ??
r
?
r
i? u?
说明：1）l′＝f (r、n、n′、l)
sin ? ? ? sin ?
?
0.1 00
l??
r
?
n ?r ??l ? r ? n?l ? n?l ? r ?
2）l′与u无关，象方光束同心，近轴光以细光束成完善象。
n(l ? r ) ? n'(l'?r ) ?
rl
rl '
l'? r ? nl' l ? r n'l
lu ? h ? l'u'
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l l一定时， l'一定， β一定，取决于共轭面的位置。
在一对共轭面内，像必与物相似。 b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反；
第二章 球面与共轴球面系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。
物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。
共轴球面光学系统 本章的思路： 基本概念与符号规则-? 单个折射球面的计算公式? 单个折射球面
的成像倍率与特殊关系? 反射球面镜的成像。
n
?
k
?
2
n1
3）角放大率：
?
?
u ?k u1
?
?1? 2 ?
?k
?
n1 1
n?k ?
4）三者关系：
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?
n
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2
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1
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n1 nk? ?
4. 拉赫不变量： J ? n1u1 y1 ? ? ? nk uk yk
意义： 1、 J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用 J来校
对光路计算是否正确。 2、J 表征光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角的光线入射成
r1=50
n=1.5
-r2=100
200
500
先算位置关系，再计算垂轴放大率，再分析大小、虚实和正倒
§ 2－4 球面反射镜
令 n′= -n，
n?? n ? n?? n l? l r
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各面近轴光线成像公式： nk? ? nk ? nk? ? nk
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远轴光的过渡公式：
L2 ? L1?? d1 , L3 ? L2? ? d 2 ,...... Lk ? Lk??1 ? dk?1 U 2 ? U 1?,U 3 ? U 2?,......U k ? U k??1 n2 ? n1?, n3 ? n2?,......, nk ? nk??1
a. 光线传播方向：从左向右 b. 线段：沿轴线段 ( L,L',r ) 以顶点 O 为基准，左“ - ”右“ + ”
垂轴线段 ( h ) 以光轴为准，上“ + ”下“ - ” 间隔 d(O1O2) 以前一个面为基准，左“ - ”右“ + ” c. 角度：光轴与光线组成角度 ( U,U' ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到光线，顺“ + ”逆“ - ” 光线与法线组成角度 ( I,I' ) 以光线为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 光轴与法线组成角度 ( φ ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 优先级：光轴? 光线? 法线
3. 放大率公式
1）垂轴放大率：
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意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。
2）轴向放大率：
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(u′、u关系)
3、
n?? n ? n?? n l? l r
（常用的物象位置关系）
六、（近轴区）折射球面的光焦度，焦点和焦距
n?? n ? n?? n l? l r
像方焦距：
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物方焦距：
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§ 2－2 单个折射球面的成像放大率、拉赫不变量
1. 垂轴放大率：像的大小和物的大小的比值
B
n
E
n′
y
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利用三角形相似和阿贝不变量
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n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′
u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′
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l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1
h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′
3）在光学设计中有重要作用。为了设计出一定垂 轴倍率的光学系统，在物方参数nuy固定的条件下，常通 过改变像方孔径角u′的大小来改变y′的数值，使得y′与y 的比值满足系统设计的要求。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
J ? uy ? ?u?y?
β<0， l 、 l′同号，物象虚实一致，倒立。 β>0， l 、 l′异号，物象虚实相反，正立。
当物沿光轴移动时，像总是以相反的方向 沿轴移动。
说明：
1. 当物处于球心时，有：
l ? l?? r
? ? ? 1,? ? ?1,? ? 1
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1. 共轴球面系统的结构参量：
各球面半径：r1 、 r2 …… rk-1 、 rk
相邻球面顶点间隔：d1 、 d2 …… dk-1
各球面间介质折射率：n1 、 n2 ……
、 n n nk-1
k 、 k+1
r1=50
-r2=100
n=1.5
200
500
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间
§ 2.1 光线经过单个折射面的折射
一、 基本概念
n
IE
n′
I′ h
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U′
A
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L′
1、子午平面: 包含光轴的平面, 轴上点，轴外点 2、物方截距: 物方光线与光轴的交点到顶点的距离
像方截距: 像方光线与光轴的交点到顶点的距离 3、物方孔径角：物方光线与光轴的夹角
像方孔径角：像方光线与光轴的夹角
三、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）
给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′
其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
正弦定理、折射定律，三角关系
sin I ? L ? r sinU
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4. 三者关系：
a? ? n?? 2 ? n 1 ? ? n n??
5. 拉赫不变量J：折射面前后三个量n、u、y的乘积相等
? ? y?? n ?l?? n ?u
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J ? nuy ? n?u?y?
意义：1）计算象差的公式中出现；
2）校对计算结果的正确性；
3. 通过球心的光线被反射镜原路反射回来，球面反 射镜对其曲率中心为等光程面。
4. 对于平面反射镜，有：
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位置、大小、正倒，虚实
例：凹面反射镜半径为-400mm，物放在何处成放大 两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？
思考题：一月凸薄透镜的两个球面半径为r1 =-200mm， r2 ＝-150mm，n=1.5，后表面凸面渡银，在前表面前 方400mm处的轴上放一高为10mm的物，求最后所成
3）物点位于物方无限远时，入射光线位置由高度h决定。
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