第二章球面与共轴球面系统(2014)

3. 通过球心的光线被反射镜原路反射回来，球面反 射镜对其曲率中心为等光程面。
4. 对于平面反射镜，有：
r ? ??
l1??
1 l
?
0
? ? ? l?? 1
l
位置、大小、正倒，虚实
例：凹面反射镜半径为-400mm，物放在何处成放大 两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？
思考题：一月凸薄透镜的两个球面半径为r1 =-200mm， r2 ＝-150mm，n=1.5，后表面凸面渡银，在前表面前 方400mm处的轴上放一高为10mm的物，求最后所成
sin U ?
i? l?ru r
i?? nn?i u?? u ? i ? i?
l ??
r
?
r
i? u?
说明：1）l′＝f (r、n、n′、l)
sin ? ? ? sin ?
?
0.1 00
l??
r
?
n ?r ??l ? r ? n?l ? n?l ? r ?
2）l′与u无关，象方光束同心，近轴光以细光束成完善象。
系统参数：n、n‘，r，（O点、C点） 物方参数：U、L，（A点） 像方参数：U'、L‘，（A'点） 过渡参数: I、I'， φ，h，（E点）
n
IE
n′
二、符号规则（GB/T 1224-1999）
I′
h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
r
-L
L′
分界面有左右、球面有凹凸、交点可能在光轴上或下，为使推导的公式 具有普遍性，参量具有确切意义，规定下列规则：
? ? h / r ? u ? i ? u'? i'
-L
ni ? n'i'
r L′
n(h / r ? h / l) ? n'(h / r ? h / l')
1、阿贝不变量
Q
?
n( 1 r
?
1) l
?
n?(1 r
?
l1?)
(物象方的折射率、球面半径和截距之间的关系) Q随物象共轭点位置变化而变化。
2、 n?u?? nu ? n?? n h r
光焦度 ? ? n?? n 表征折射面偏折光线的能力
r
? ? n?? n ? n' ? ? n
r f' f
n' ?
?
f ',n
? ? ? f , 带入
高斯公式
nl???
n l
?
n?? r
n
?
?
可得
f' ? l?
f l
? 1, f '? f
?r
七、本节小结 1、基本概念 2、符号规则 3、实际光线的单折射球面光路计算 4、近轴光线的单折射球面光路计算 5、常用推导公式 6、（近轴区）折射球面的光焦度，焦点和焦距
3. 放大率公式
1）垂轴放大率：
?
?
y?k y1
?
?1? 2 ?
?k
?
n1 l1?l2?? n?k l1l2 ?
lk? ? n1u1 lk nk?uk?
意义：整个光学系统的放大率为各个折射面放大率的乘积。
2）轴向放大率：
?
?
dl
?
k
dl1
?
?
1?
2
?
?k
?
n1? n1
?
2 1
?
n
?
k
nk
?
2 k
?
3）成的完善像称为高斯像，由l′决定；通过高斯像点垂直于光轴的 像面称为高斯像面；构成物象关系的一对点称为共轭点。
4）物位于无限远，
i? h r
不要中间变量，物方参数与像方参数是否有简单的数值关系？
五、 常用推导公式
n
IE
n′
I′ h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
lu ? h ? l?u? 物象方的截距与孔径角之积不变
1. 共轴球面系统的结构参量：
各球面半径：r1 、 r2 …… rk-1 、 rk
相邻球面顶点间隔：d1 、 d2 …… dk-1
各球面间介质折射率：n1 、 n2 ……
、 n n nk-1
k 、 k+1
r1=50
-r2=100
n=1.5
200
500
2. 转面公式
原则：前一折射面的象为后一面的物 ，前一面的象空间为后一面的物空间
n(l ? r ) ? n'(l'?r ) ?
rl
rl '
l'? r ? nl' l ? r n'l
lu ? h ? l'u'
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l l一定时， l'一定， β一定，取决于共轭面的位置。
在一对共轭面内，像必与物相似。 b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反；
dl n? l 2 n
b）轴上大线段·
n
n′
A1
A2
A1′
A2′
n?? n ? n?? n 微分 l? l r
说明：α≠β ，轴向和垂轴不具放大相似性 α> 0，物象沿轴向同向移动。
?
?
l2? ? l1? ? l2 ? l1
n l1?l2? ? n ? l1l 2
n??
n
1
?
2
推导P22
3. 角放大率：共轭光线与光轴的夹角u′和u的比值
J ? uy ? ?u?y?
β<0， l 、 l′同号，物象虚实一致，倒立。 β>0， l 、 l′异号，物象虚实相反，正立。
当物沿光轴移动时，像总是以相反的方向 沿轴移动。
说明：
1. 当物处于球心时，有：
l ? l?? r
? ? ? 1,? ? ?1,? ? 1
2. l ? ??
l?? f ?? r 2
第二章 球面与共轴球面系统
共轴球面系统— 光学系统一般由球面和平面组成， 各球面球心在一条直线（光轴）上。
物象关系的研究方法— 光线的光路计算。逐面计 算物象的大小、虚实、正倒、位置等特性。
共轴球面光学系统 本章的思路： 基本概念与符号规则-? 单个折射球面的计算公式? 单个折射球面
的成像倍率与特殊关系? 反射球面镜的成像。
像的位置、大小、正倒、虚实。
作业：
2.1、2.6、2.7 前面一道思考题 把需要重点记忆的公式，自己摘抄出来。
三、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）
给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′
其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
正弦定理、折射定律，三角关系
sin I ? L ? r sinU
n
IE
n′
r
I′ h
-U
φ
U′
sin I?? n sin I
A
O
C
A′
n?
U?? U ? I ? I ?
(u′、u关系)
3、
n?? n ? n?? n l? l r
（常用的物象位置关系）
六、（近轴区）折射球面的光焦度，焦点和焦距
n?? n ? n?? n l? l r
像方焦距：
l?
??
,
f ' ? l'l?
??
?
r n'
n'? n
物方焦距：
l'?
?,
f
? ll '?
?
?? r n n'? n
f ' ? ? n' fn
a. 光线传播方向：从左向右 b. 线段：沿轴线段 ( L,L',r ) 以顶点 O 为基准，左“ - ”右“ + ”
垂轴线段 ( h ) 以光轴为准，上“ + ”下“ - ” 间隔 d(O1O2) 以前一个面为基准，左“ - ”右“ + ” c. 角度：光轴与光线组成角度 ( U,U' ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到光线，顺“ + ”逆“ - ” 光线与法线组成角度 ( I,I' ) 以光线为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 光轴与法线组成角度 ( φ ) 以光轴为起始边，以锐角方向转到法线，顺“ + ”逆“ - ” 优先级：光轴? 光线? 法线
n2 ＝ n1′， n3 ＝ n2′ …… nk ＝ nk-1′
u2 ＝ u1′， u3 ＝ u2′ …… uk ＝ uk-1′
y2 ＝ y1′， y3 ＝ y2′ …… yk ＝ yk-1′
l2 ＝ l1′- d1 ， l3 ＝ l2′- d2 …… lk ＝ lk-1′- dk-1
h2 ＝ h1 - d1u1′ ， h3 ＝ h2 – d2u2′ …… hk ＝ hk-1 – dk-1uk-1′
像。 J 值大，表明系统对物体成像的范围大，成像孔径角大，传输光能多。 3、同时，孔径角还与光学系统分辨微细结构的能力有关。所以 J 大的系
统具有高的性能。
例：厚透镜：
n2 ? n1 ? n2 ? n1
l1? l1
r1
l2 ? l1'? d1
n?2 ? n2 ? n2? ? n2
l2? l2
r2
例：一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球 面，半径分别为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂 直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，求箭头 经玻璃棒成像后像的位置、大小、正倒、虚实。
? ? u?? l ? n 1 u l? n??
4. 三者关系：
a? ? n?? 2 ? n 1 ? ? n n??
5. 拉赫不变量J：折射面前后三个量n、u、y的乘积相等
? ? y?? n ?l?? n ?u
y n??l n??u?
J ? nuy ? n?u?y?
意义：1）计算象差的公式中出现；
2）校对计算结果的正确性；
§ 2－2 单个折射球面的成像放大率、拉赫不变量
1. 垂轴放大率：像的大小和物的大小的比值
B
n
E
n′
y
-u A
? ? y?? l?? r ? nl?? nu
y l ? r n?l n?u'
-l
h
O
C
r
u′
- y′ A′
B′
l′
利用三角形相似和阿贝不变量
n(1 r
?
1) l
?
n?(1 r
?
l1?)
?
3）在光学设计中有重要作用。为了设计出一定垂 轴倍率的光学系统，在物方参数nuy固定的条件下，常通 过改变像方孔径角u′的大小来改变y′的数值，使得y′与y 的比值满足系统设计的要求。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
r
-L
L′
L??
r
?
r
sin I? sinU ?
sin I ? L ? r sin U r
公式的对称性 n?sin I ?? n sin I
U ?? I ?? U ? I
sin I ?? L?? r sin U ? r
说明：
1）L′＝f (U、L、n、n′、r) 2）当L为定值时，L′随U变化而变化，象方光束失去同心性， 成不完善象，形成球差。
3）物点位于物方无限远时，入射光线位置由高度h决定。
sin I ? h r
四、 近轴光计算公式（小光路光线计算公式）
U、U′、I、I′很小，正弦值可用弧度代替。 ? ? 5?
（基本量均小写）
sin I ? L ? r sin U r
sin I ?? nn?sin I U ?? U ? I ? I ? L?? r ? r sin I ?
§ 2.1 光线经过单个折射面的折射
一、 基本概念
n
IE
n′
I′ h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
r
-L
L′
1、子午平面: 包含光轴的平面, 轴上点，轴外点 2、物方截距: 物方光线与光轴的交点到顶点的距离
像方截距: 像方光线与光轴的交点到顶点的距离 3、物方孔径角：物方光线与光轴的夹角
像方孔径角：像方光线与光轴的夹角
n
?
k
?
2
n1
3）角放大率：
?
?
u ?k u1
?
?1? 2 ?
?k
?
n1 1
n?k ?
4）三者关系：
??
?
n
?
k
?
2
n1
1
??
n1 nk? ?
4. 拉赫不变量： J ? n1u1 y1 ? ? ? nk uk yk
意义： 1、 J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用 J来校
对光路计算是否正确。 2、J 表征光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角的光线入射成
β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同； c) β> 0，成正象
β< 0，成倒象
d) |β|> 1，成放大象
|β| < 1，成缩小象
B
n
E
n′
y
h
-u
A
O
C
r
Hale Waihona Puke Baidu
u′
- y′ A′
B′
-l l′
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
a）轴上无限小线段 ? ? dl? ? n l?2 ? n?? 2
各面近轴光线成像公式： nk? ? nk ? nk? ? nk
lk? lk
rk
远轴光的过渡公式：
L2 ? L1?? d1 , L3 ? L2? ? d 2 ,...... Lk ? Lk??1 ? dk?1 U 2 ? U 1?,U 3 ? U 2?,......U k ? U k??1 n2 ? n1?, n3 ? n2?,......, nk ? nk??1
r1=50
n=1.5
-r2=100
200
500
先算位置关系，再计算垂轴放大率，再分析大小、虚实和正倒
§ 2－4 球面反射镜
令 n′= -n，
n?? n ? n?? n l? l r
l1??
1 l
?
2 r
? ? n l?? ? l?
n? l l
? ? n?? 2 ? ? ? 2
n
???1 ?
? ? ??